(完整版)一元二次方程整数根问题的十二种思维
求一元二次方程的整数根的方法
2.关于x的方程x2 mx m 1 0的两个根都是正整数，
求m的值.
解：设方程的两个正整数根分别为x1, x2 则x1 x2 m，于是m必为正整数 设＝m2－4m－4 k 2(k为非负整数)
则(m＋k－2)(m－k－2)＝8,
m＋k－2 m－k－2, m＋k－2与m－k－2
同奇偶，则
＝－
2
2 m＋1
所以m＋1＝1， 2，
所以m＝－3，－2，0，1
关于因式分解法的总结整理
• 当一元二次方程整数根具 有这样的特征：几个因式 的积=整数常数，此时方 可使用因式分解法。
•二、求根公式法
1.设关于x的方程x2－（m－2）x＋m2－m－2＝0有正整数根， 求正整数m的值.
解：＝(m - 2)2 4(m2 m 2) 3m2 12 0, 所以m2 4. 所以－2 m 2，所以m＝1或2； 当m＝1时，x＝1或－2； 当m＝2时，x1＝x2＝0. 所以m＝1【. 可否用因式分解法？】
一、因式分解法
1.设关于x的方程2x2 -mx-m2 -2＝0只有整数根，
求m的值.
解：设方程的两个整数根分别为x1, x2
则x1
x2
m ，于是m必为偶数. 2
原方程可化为（x－m）（2x m) 2因x，m均为整数
Байду номын сангаасx－m 1 2x m＝2
或
2x－x mm＝21或
2x－x mm＝－－1 2或
• 3、已知方程(x-a)(x-8)-1=0有两个整根， 求a的值.(展开、移项、讨论)
• 4、
解：由韦达定理得 :
x1
x2
10 m m
,
x1x2
2m m
6
含参数的一元二次方程的整数根问题.
含参数的一元二次方程的整数根问题本帖隐藏的内容需要回复才可以浏览例1 m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整数根．解法1首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根公式可得由于x1，x2是正整数，所以m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，解得m=2．这时x1=6，x2=4．解法2首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5．经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根．说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法．例2 已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．分析“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来．解因为a≠0，所以所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5．例3设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，求m的值．解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令Δ=(m-1)2-4m＝n2，其中n是非负整数，于是m2-6m+1=n2，所以 (m-3)2-n2=8，(m-3＋n)(m-3-n)＝8．由于m-3＋n≥ｍ-3-n，并且(m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3)是偶数，所以m-3＋n与m-3-n同奇偶，所以说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．例4 关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值．解当a=0时，原方程变成-6x-2=0，无整数解．当a≠０时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式Δ＝4(a-3)2-4a(a-2)＝4(9-4a)为完全平方数，从而9-4a是完全平方数．令9-4a=n2，则n是正奇数，要使x1为整数，而n为正奇数，只能n=1，从而a=2．要使x2为整数，即n-3｜4，n可取1，5，7，从而a=2，-4，-10．综上所述，a的值为2，-4，-10．说明本题是前面两种方法的“综合”．既要用判别式是平方数，又要用直接求根．有时候，往往是几种方法一同使用．例5 已知关于x的方程x2＋(a-6)x＋a=0的两根都是整数，求a的值．解设两个根为x1≥ｘ2，由韦达定理得从上面两式中消去a得x1x2+x1+x2＝6，所以 (x1＋1)(x2+1)=7，所以a=x1x2=0或16．说明利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于x1，x2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的．例6求所有有理数r，使得方程rx2+(r+1)x＋(r-1)=0的所有根是整数．分析首先对r=0和r≠０进行讨论．r=0时，是关于x的一次方程；r≠０时，是关于x的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效．可用韦达定理，先把这个有理数r消去．解当r=0时，原方程为x-1=0，所以x=1．当r≠０时，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为x1，x2，且x1≥ｘ2，则消去r得x1x2-x1-x2＝2，所以(x1-1)(x2-1)=3．例7已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2＋2(2a-1)x＋4(a-3)=0至少有一个整数根，求a的值．解将原方程变形为(x＋2)2a= 2(x＋6)．显然x＋2≠0，于是由于a是正整数，所以a≥1，即所以 x2+2x-8≤0，(x＋4)(x-2)≤0，所以-4≤x≤2(x≠-2)．当x=-4，-3，-1，0，1，2时，得a的值为1，6，10，3，说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4，2；当a=3，6，10时，方程只有一个整数根．有时候，在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解．例8 已知方程x2+bx+c=0与x2+cx＋b=0各有两个整数根x1，x2(2)求证：b-1≤c≤b＋1；(3)求b，c的所有可能的值．解 (1)由x1x2＞0知，x1与x2同号．若x1＞0，则x2＞0，(2)由(1)知，x1＜0，x2＜0，所以x1≤-1，x2≤-1．由韦达定理c-(b-1)=x1x2＋x1＋x2＋1=(x1＋1)(x2+1)≥0，所以c≥ｂ-1．同理有所以c≤b+1，所以 b-1≤c≤b+1．(3)由(2)可知，b与c的关系有如下三种情况：(i)c=b＋1．由韦达定理知x1x2=-(x1＋x2)＋1，所以 (x1＋1)(x2＋1)=2，解得x1＋x2=-5，x1x2=6，所以b=5，c=6．(ii)c=b．由韦达定理知x1x2=-(x1＋x2)，所以 (x1+1)(x2＋1)=1，所以x1=x2=-2，从而b=4，c=4．(iii)c=b-1．由韦达定理知所以综上所述，共有三组解：(b，c)=(5，6)，(4，4)，(6，5)．练习二十六1．填空：(1)方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1，x2，(2)已知k为整数，且关于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x＋18=0有两个不相同的正整数根，则k=____．(3)两个质数a，b恰好是关于x的方程x2-21x＋t=0的两个根，(4)方程x2+px＋q=0的两个根都是正整数，并且p+q=1992，则方程较大根与较小根的比等于____．(5)已知方程(a2-1)x2-2(5a+1)x＋24=0有两个不相等的负整数根，则整数a的值是____．2．设m为整数，且4＜m＜40，又方程(x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8＝0有两个整数根，求m的值及方程的根．3．已知关于x的一元二次方程x2+(m-17)x+m-2=0的两个根都是正整数，求整数m的值．4．求使关于x的方程a2x2＋ax＋1-7a2=0的两根都是整数的所有正数a．5．求所有的整数a，使得关于x的二次方程ax2＋2ax＋a-9＝0至少有一个整数根．。
一元二次方程整数根问题的解法技巧
7 7
时,
1 2
7 ( 舍去). 故所有正数 a 的和是: 1 +
①
+
2 (x + 6) ≥ 1, 解得 - 4 ≤ x ≤ 2. 取 x 的整数 (x + 2) 2 值为 x = - 4, - 3, - 1, 0, 1, 2, 分别代入 ①, 得 a 的整
26;
= [ a (a + 2) ] 2 是完全平方式, 则原方程可用十字相乘
当 2m + 1 = 49 时, m = 24, 方程两根分别为 38,
52.
法因式分解为: [ ax -
《数学教学通讯》 2005 年 9 月 ( 下半月) ( 总第 238 期) ③ 令 ∃ = p t + q = n 2 ( 或 ( 2n + 1) 2 ) , 由此求出 t 后 代入原方程, 先求出两根, 再求参数. 例 5 ( 1991 年南昌市初中数学竞赛题) 已知 a 为 整数, 方程 x + ( 2a + 1) x + a = 0 有整数根 x 1、 x 2,
6 (k + 1) = 1.
解得 k = 8, 或 k = 46. 分别代入
41 130 ,2或 , - 17. 9 9
原方程可解得方程的有理根为 -
∴ x 1 = - n2, x 2 = ∴
4 4
(n + 1) 2 ,
4
x2 1
-
x2 2
=
4
(- n2) 2
-
三、 利用一元二次方程根与系数的关系求 解
= k (k + 2) ,
2
k- 1 = 1k
1
k
( 因 k 为实数, 此时不能推出 k = 1, - 1) ・・ ② - ① 消去参数 k , 得 x 1 x 2 - x 1 - x 2 = 2,
一元二次方程的整数根问题--数不清
设(5p－132)2－17 404＝n2(n＞0，n为自然数).移项分解可得
(5p－132＋n)(5p－132－n)
＝22×19×229. 又(5p－132＋n)，(5p－132－n)同奇偶，所以，
解得p＝76.
注：从表面上看，此题中的p是一切实数，但由韦达定理判断它实际上是 自然数，故可采用前法求得.
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一元二次方程的整数根问题
数不清
[ 2011-3-5 22:15:00 | By: 数不清 ]
一元二次方程的整数根问题
1
推荐 迄今为止，尚未找到使得整系数一元二次方程有整数根的充分条件， 通常的方法都是通过讨论其判别式，利用根与系数的关系进行分析和归纳，即使用必要条 件解题，然后通过检验确定答案.下面举例说明常用的几种方法，并指出每种方法适合的 范围.
例4
设m为整数，且4＜m＜40，又方程x2－2(2m－3)x＋4m2－14m＋8
＝0有两个整数根.求m的值及方程的根.
(1993,天津市初中数学竞赛)
分析：考察判别式△＝4(2m＋1)，因是关于m的一次式，故例1，例2的方法均不可用 .
广 Re:期末宣誓词 Re:《牵一只蜗牛去散步》 Re:《牵一只蜗牛去散步》 Re:我心目中的好老师(29号的 家长 Re:真情献给党 Re:我心目中的好老师(29号的 家长 Re:真情献给党 Re:信封?关爱?感悟
有理根问题本质上也是整数根的问题，要求方程的根的判别式必须为 一个整数或有理数的完全平方.考察判别式
△ ＝232＋36(n2＋2n＋2)
＝36(n＋1)2＋565.
一元二次方程整数根问题的几种思维策略
一元二次方程整数根问题的几种思维策略一、利用判别式例1. 当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数。
解：∵方程2440mx x -+=有整数根，∴⊿=16-16m ≥0，得m ≤1又∵方程2244450x mx m m -+--=有整数根∴⊿=16m 2－4(4m 2－4m －5) ≥0 得54m ≥-. 综上所述，54-≤m≤1 ∴x 可取的整数值是－1，0，1 当m=－1时，方程为－x 2-4x+4=0 没有整数解，舍去。
而m≠0 ∴ m=123.（东城） 已知关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=，0,0>>b a .（1）若方程有实数根，试确定a ，b 之间的大小关系；（2）若a ∶b 1222x x -=，求a ，b 的值；（3）在（2）的条件下，二次函数222y x ax b =++的图象与x 轴的交点为A 、C （点A 在点C 的左侧），与y 轴的交点为B ，顶点为D .若点P （x ，y ）是四边形ABCD 边上的点，试求3x －y 的最大值.解：(1) ∵ 关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实数根,∴ Δ=,04)2(22≥-b a 有a 2－b 2≥0，（a+b ）（a-b ）≥0. ∵ 0,0>>b a ,∴ a+b ＞0,a －b ≥0.∴ b a ≥. …………………………2分（2） ∵ a ∶b，∴ 设2,a k b ==(k ＞0).解关于x 的一元二次方程22430x kx k ++=，得 -3x k k =-或.当12,= -3x k x k =-时，由1222x x -=得2k =.当123,= -x k x k =-时，由1222x x -=得25k =-（不合题意，舍去）.∴ 4,a b ==. …………………………5分（3）当4,a b ==2812y x x =++与x 轴的交点为、C 的交点坐标分别为A （－6，0）、（－2，0），与y 轴交点坐标为（0，12），顶点坐标D 为（－4，－4）.设z ＝3x －y ，则3y x z =-.画出函数2812y x x =++和3y x =的图象，若直线3y x =平行移动时，可以发现当直线经过点C 时符合题意，此时最大z 的值等于－6 ……………7分二、利用求根公式例2．设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。
一元二次方程结题12种思路
初三数学一元二次方程整数根问题的十二种思维策略一. 利用判别式例1.（黑龙江中考题）当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数。
解：∵方程2440mx x -+=有整数根，∴⊿=16-16m ≥0，得m ≤1又∵方程2244450x mx m m -+--=有整数根∴22164(445)0m m m =---≥V 得54m ≥-综上所述，－45≤m ≤1 ∴x 可取的整数值是-1，0，1当m=-1时，方程为－x 2-4x+4=0 没有整数解，舍去。
而m ≠0 ∴ m=1例2．（四川竞赛题）已知方程210x mx m +-+= 有两个不相等的正整数根，求m 的值。
解：设原方程的两个正整数根为x 1，x 2，则m =－(x 1+x 2)为负整数.∴244m m =+-V 一定是完全平方数设2244m m k +-=（k 为正整数）∴22(2)8m k +-=即：(2)(2)8m k m k +++-=∵m+2+k ≥m+2-k,且奇偶性相同∴2422m k m k ++=⎧⎨+-=⎩或2224m k m k ++=-⎧⎨+-=-⎩ 解得m=1＞0（舍去）或m=－5。
当m=－5时 ，原方程为x 2-5x+6=0，两根分别为x 1=2，x 2=3。
二. 利用求根公式例3．（全国联赛题）设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。
解：22222(264)4(4)(68)4(6)k k k k k k =-----+=-V 由求根公式得222642(6)2(68)k k k x k k -++±-=-+ 即 12241,142x x k k =--=---- 由于x ≠-1，则有12244,211k k x x -=--=-++ 两式相减，得1224211x x -=++ 即 12(3)2x x +=-由于x 1，x 2是整数，故可求得122,4x x ==-或122,2x x =-=-或121,5x x ==-分别代入，易得k=310，6，3。
一元二次方程整数根问题的十二种思维策略
一元二次方程整数根问题的十二种思维策略邹振兴 (江苏省兴化市城西中学 225700) 含有字母系数的一元二次方程整数根问题,一般要求待定字母值或整数根.这类问题涉及的知识面广,其解法灵活多样,技巧性强,需要有较强的综合分析问题的能力,是近几年各地数学竞赛及中考的热门问题.本文试图在已有常用解法的基础上,再作新的探索,并归纳出这类问题的思考策略.1 利用判别式例1 当m是什么整数时,关于x的一元二次方程m x2-4x+4=0与x2-4m x+ 4m2-4m-5=0的根都是整数.(2000年黑龙江省中考试题)解 ∵方程m x2-4x+4=0有整数根,∴∃=16-16m≥0,得m≤1.∵方程x2-4m x+4m2-4m-5=0有整数根,∴∃=16m2-4(4m2-4m-5)≥0,得m ≥-54.综上有-54≤m≤1.∴m可取的整数值为-1,0,1.将此三个数分别代入原方程,可知:当m =1时,已知的两方程的根都是整数.例2 已知方程x2+m x-m+1=0有两个不相等的正整数根,求m的值.(1996年四川省初中数学竞赛题)解 设原方程的两个正整数根为x1, x2,则m=-(x1+x2)为负整数.∴原方程为整系数一元二次方程,它有整数根,从而判别式∃=m2+4m-4一定是完全平方数.设m2+4m-4=k2(k为正整数),∴(m+2)2-k2=8,即(m+2+k)(m+2-k)=8.注意到m+2+k>m+2-k,且这两式同奇偶性,可得m+2+k=4,m+2-k=2或m+2+k=-2,m+2-k=-4.解得m=1>0(舍去)或m=-5.当m=-5时,原方程为x2-5x+6=0,两根分别为x1=2,x2=3.2 利用求根公式例3 设关于x的二次方程(k2-6k+ 8)x2+(2k2-6k-4)x+k2=4的两根都是整数,求满足条件的所有实数k的值.(2000年全国初中数学联赛试题)解 ∃=(2k2-6k-4)2-4(k2-4)(k2-6k+8)=4(k-6)2,由求根公式可得x=-2k2+6k+4±2(k-6)2(k2-6k+8).即x1=-1-2k-4,x2=-1-4k-2.由于x≠-1,则有k-4=-2x1+1 ①,k-2=-4x2+1 ②.②-①得:2x1+1-4x2+1=2.即x1(x2+3)=-2.由于x1,x2是整数,故可求得x1=2,x2 =-4;或x1=-2,x2=-2;或x1=1,x2= -5.分别代入①,②并检验可得k=103,6,3. 3 利用方程根的定义例4 b为何值时,方程x2-bx-2=0和x2-2x-b(b-1)=0有相同的整数根?并且求出它们的整数根.(1992年四川省初中数学竞赛试题)解 设相同的整数根为Α,由根的定义,它们适合于两方程,有Α2-bΑ-2=Α2-2Α-b(b-1),整理得(2-b)Α=(2-b)(1+b).当b≠2时,Α=1+b,代入第一个方程得(1+b)2-b(1+b)-2=0,解得b=1,Α=2;・43・ 中学数学月刊 2001年第12期当b=2时,两方程无整数根.∴b=1,相同的整数根为2.4 利用因式分解例5 已知关于x的方程(a-1)x2+2x -a-1=0的根都是整数,那么符合条件的整数a有个.(2000年全国初中数学竞赛试题)解 当a=1时,x=1.当a≠1时,原方程左边因式分解得(x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0,即得x1=1,x2=-1+21-a.∵x是整数,∴1-a=±1,±2,∴a=-1,0,2,3.由上可知符合条件的整数a有5个.例6 当m是什么整数时,关于x的方程x2-(m-1)x+m+1=0的两根都是整数?(1994年福州市初中数学竞赛试题)解 设方程的两整数根分别是x1,x2,由韦达定理得x1+x2=m-1 ①,x1x2=m +1 ②,②-①消去m,可得x1x2-x1-x2 =2.∴(x1-1)(x2-1)=3=1×3=(-1)×(-3).则有x1-1=1,x2-1=3,即x1=2,x2=4;或x1-1=-1,x2-1=-3,即x1=0,x2=-2.由此x1・x2=8或0,分别代入②得:m=7或m=-1.∴当m=7或-1时,原方程两根都是整数. 5 利用根与系数的关系例7 求所有正实数a,使得方程x2-ax +4a=0仅有整数根.(1998年全国初中数学联赛试题)解 设方程两整数根为x1,x2,且x1≤x2,由根与系数关系得x1+x2=a>0 ①,x1x2=4a>0 ②.由①得 a2≤x2≤a ③.将③代入②得4a=x1x2≤x1a;4a=x1x2≥x1・a2,∴4≤x1≤8.显然x1≠4,故x1可取5,6,7,8,依次代入原方程可得a1=x21x1-4=25,x2=20;a2=x21x1-4=18,x2=12;a3=x21x1-4=493不是整数;a4=x21x1-4=16,x2=8.∴a取25或18或16.6 构造新方程例8 方程(x-a)(x-8)-1=0有两个整数根,求a的值.(1996年全国初中数学联赛试题)解 原方程变为(x-8)2+(8-a)(x-8)-1=0.设y=x-8,则得新方程为y2+(8-a)y-1=0.设它的两根为y1,y2,则y1+y2=a-8,y1y2=-1.∵x是整数,∴y1,y2也是整数,则y1,y2只能分别为1,-1或-1,1,即y1+y2=0,∴a=8.7 构造等式例9 求所有的正整数a,b,c,使得关于x的方程x2-3ax+2b=0,x2-3bx+2c=0,x2-3cx+2a=0的所有的根都是正整数.(2000年全国初中数学联赛试题C卷)解 设三个方程的正整数解分别为x1与x2,x3与x4,x5与x6,则有x2-3ax+2b=(x-x1)(x-x2);x2-3bx+2c=(x-x3)(x-x4);x2-3cx+2a=(x-x5)(x-x6).令x=1并将三式相加,注意到x i≥1(i=1,2,…,6),有3-(a+b+c)=(1-x1)(1-x2)+(1-x3)(1-x4)+(1-x5)(1-x6)・53・2001年第12期 中学数学月刊 ≥0+0+0=0,但a≥1,b≥1,c≥1,又有3-(a+b+c)≤0,∴3-(a+b+c)=0.故a=b=c=1.8 分析等式例10 n为正整数,方程x2-(3+ 1)x+3n-6=0有一个整数根,则n=.(1993年安徽省初中数学竞赛试题)解 不妨设已知方程的整数根为Α,则Α2-(3+1)Α+3n-6=0,整理得Α2-Α-6=3(Α-n).因为Α为整数,所以Α2-Α-6为整数, 3(Α-n)也一定为整数,要使3(Α-n)为整数,必有Α=n,由此得Α2-Α-6=0,即n2-n-6=0.解得n=3或-2(舍去).∴n=3.9 反客为主例11 求出所有正整数a,使方程ax2+ 2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数解.(第三届《祖冲之杯》初中数学竞赛试题)解 由原方程知x≠2,不妨反客为主,将原方程整理成关于a的一元一次方程(x2+4x+4)a=2x+12,得a=2x+12(x+2)2≥1(因a是正整数).则得(x+4)(x-2)≤0,解得-4≤x≤2.因此,x只能取-4,-3,-1,0,1,2.将这六个值分别代入a的表达式得x=-4, a=1; x=-3,a=6;x=-1, a=10; x=0,a=3;x=1,a=149;x=2,a=1.故所求a的正整数值是1,3,6,10.10 利用配方法例12 已知方程(a2-1)x2-2(5a+1)x+24=0有两个不等的负整数根,则整数a 的值是.(第四届《祖冲之杯》初中数学竞赛试题)解 原方程可变为a2x2-10ax-x2-2x+24=0,即a2x2-10ax+25=x2+2x+1,亦即(ax-5)2=(x+1)2.∴ax-5=±(x+1),得x1=6a-1,x2=4a+1 (a≠±1).当a-1=-1,-2,-3,-6,即a=0, -1,-2,-5时,x1为负整数.但a=0时,x2>0;a=-5时,x1=x2=-1,又a≠-1,∴a=-2.11 利用奇偶分析例13 已知方程x2-1999x+a=0有两个质数根,则常数a=.(1999年江苏省第十四届初中数学竞赛试题)解 设方程的两个质数根为x1,x2(x1< x2).由根与系数关系得:x1+x2=1999,故x1,x2不可能均为奇数,其中必有一个偶数,而2是唯一的偶质数,于是x1=2,x2=1997 (也是质数),所以a=p q=2×1997=3994. 12 利用反证法例14 不解方程,证明方程x2-1997x +1997=0无整数根.证明 假设方程有两个整数根Α,Β,则Α+Β=1997,ΑΒ=1997,由第二式知Α,Β均为奇数,于是Α+Β为偶数,但这与第一式相矛盾,所以Α,Β不可能都是整数.假设方程只有一个整数根,则Α+Β不可能是整数,也与第一式矛盾,所以方程不可能只有一个整数根.综上可知,原方程无整数根.・63・ 中学数学月刊 2001年第12期。
一元二次方程整数根问题
一元二次方程整数根问题的十二种思维策略班级__________ 姓名________________1•利用判别式例1.( 2000年黑龙江中考题) 当m是什么整数时，关于x的一元二次方程2 2 2mx 4x 4 0与x 4mx 4m 4m 5 0的根都是整数。
解：丁方程mx 4x 4 0有整数根，=16-16m>0,得 m K 1又T方程x 2 4 mx 4 m 2 4 m 5 0有整数根二V 16 m24(4 m24m 5) 0 得m545综上所述，—K n K 14/• x可取的整数值是-1 , 0, 1当m=-1时，方程为—x 2-4x+4=0没有整数解，舍去。
而 0 /• m=1例2. (1996年四川竞赛题)已知方程x2mx m 1 0有两个不相等的正整数根，求m的值。
解：设原方程的两个正整数根为x1，x2，则m=- (x1+x2)为负整数.2-V m 4m 4 一定是完全平方数设m2 4 m 4 k 2 ( k为正整数)二(m 2) 2k 28即: (m 2 k)(m 2 k) 8■/ m+2+k> m+2-k,且奇偶性相同m 2 k 4 或m2k 2 m 2 k 2 m 2 k 4 解得m=1> 0 (舍去)或 m=- 5。
2当m=—5时，原方程为x -5x+6=0，两根分别为x1 =2，x2=3。
2.利用求根公式例 3. ( 2000 年全国联赛)设关于 x 的二次方程根都是整数，那么符合条件的整数 a 有 ______________解:当a=1时,x=1当a z 1时，原方程左边因式分解，得(x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0 即得X 1 1,X 21 21 a•/ X 是整数/. 1-a= ± 1, ± 2, /• a=-1,0,2,3 由上可知符合条件的整数有 5个.例6.(1994年福州竞赛题)当m 是什么整数时,关于x 的方程(k 2 6k 8)X 2 (2k 2 6k 4)X k 24的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。
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一元二次方程整数根问题的十二种思维策略
一.利用判别式
例1.（2000年黑龙江中考题）当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440
mx x 与2244450x mx m m 的根都是整数。
解：∵方程2440mx x 有整数根，
∴⊿=16-16m ≥0，得m ≤1
又∵方程2244450x mx m m 有整数根
∴22164(445)0m m m V 得5
4
m 综上所述，－45
≤m ≤1
∴x 可取的整数值是-1，0，1
当m=-1时，方程为－x 2-4x+4=0 没有整数解，舍去。
而m ≠0∴ m=1
例2．（1996年四川竞赛题）已知方程210x mx m 有两个不相等的正整数根，求m 的值。
解：设原方程的两个正整数根为x 1，x 2，则m=－(x 1+x 2)为负整数.
∴244m m V 一定是完全平方数
设2244m m k （k 为正整数）
∴22(2)8
m k 即：(2)(2)8
m k m k ∵m+2+k ≥m+2-k,且奇偶性相同
∴24
22m k m k 或22
24
m k m k 解得m=1＞0（舍去）或m=－5。
当m=－5时，原方程为x 2-5x+6=0，两根分别为x 1=2，x 2=3。
二.利用求根公式
例3．（2000年全国联赛）设关于x 的二次方程2222(68)(264)4
k k x k k x k 的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。
解：22222(264)4(4)(68)4(6)k k k
k k k V 由求根公式得222642(6)2(68)
k k
k x k k 即12
2
41,142x x k k 由于x ≠-1，则有1224
4,21
1k k x x 两式相减，得122
421
1x x 即12(3)
2x x 由于x 1，x 2是整数，故可求得
122,4x x 或122,2x x 或121,5x x 分别代入，易得
k=3
10，6，3。
三.利用方程根的定义例4.b 为何值时，方程
220x bx 和22(1)0x x b b 有相同的整数根？并且求出它们的整数根？
解：两式相减，整理得(2-b)x=(2-b)(1+b)
当b ≠2时,x=1+b,代入第一个方程,得2(1)
(1)20b b b 解得b=1,x=2
当b=2时,两方程无整数根.
∴b=1,相同的整数根是
2 四.利用因式分解
例5.（2000年全国竞赛题）已知关于
x 的方程2(1)210a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数
a 有___________个. 解: 当a=1时,x=1
当a ≠1时,原方程左边因式分解
,得(x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0 即得122
1,11x x a
∵ x 是整数∴ 1-a=±1,±2,∴a=-1,0,2,3
由上可知符合条件的整数有5个.
例6.(1994年福州竞赛题) 当m 是什么整数时,关于x 的方程2(1)10
x
m x m 的两根都是整数?
解：设方程的两整数根分别是x 1，x 2，由韦达定理得121x x m L ①121x x m L ②
由②①消去m ，可得12212
x x x x 12(1)(1)3131(3)
x x 则有121113x x 或1211
13
x x 解得：1224x x 或120
2
x x 由此128x x 或0，分别代入②，得7m 或1
m 五.利用根与系数的关系
例7.(1998年全国竞赛题) 求所有正实数a,使得方程240x ax a 仅有整数根.
解：设方程的两整数根分别是x 1，x 2，且12
x x 由根与系数的关系得
120x x a L ①1240x x a L ②
由①得22a
x a ③
将③代入②得1214a x x x a
12142
a
a x x x ∴148
x 显然x 1≠4，故x 1可取5，6，7，8。
从而易得a=25，18，16。
六.构造新方程
例8.(1996年全国联赛)方程()(8)10x a x 有两个整数根,求a 的值. 解：原方程变为2(8)(8)(8)10
x a x 设y=x-8，则得新方程为2(8)10
y a y 设它的两根为y 1，y 2，则12128,1
y y a y y ∵x 是整数，∴y 1，y 2也是整数，则y 1，y 2只能分别为1，-1或-1，1即y 1+y 2=0 ∴a=8。
七.构造等式
例9.(2000年全国联赛C 卷) 求所有的正整数a,b,c,使得关于x 的方程
222320,320,320x ax b x bx c x cx a 的所有的根都是正整数. 解：设三个方程的正整数解分别为123456,,,,,x x x x x x ，则有21232()()
x ax b x x x x 23432()()
x bx c x x x x 25632()()
x cx a x x x x 令x=1，并将三式相加，注意到x i ≥1（i=1，2，…6），有1234563()(1)(1)(1)(1)(1)(1)0000a b c x x x x x x 但a ≥1，b ≥1，c ≥1，又有 3-（a+b+c ）≤0，∴ 3-（a+b+c ）=0
故a=b=c=1
八.分析等式
例10.(1993年安徽竞赛题) n 为正整数，方程2(31)360x x n 有一个整数根，则n=__________.
解：不妨设已知方程的整数根为α，则
2(31)360
a a n 整理。
得263()
a a a n 因为a 为整数，所以26a a 为整数
3()a n 也一定是整数，要使3()a n 为整数，必有a n 由此得260a a ，即260
n n 解得n=3或-2（舍去）
∴ n=3。
九.反客为主
例11.(第三届《祖冲之杯》竞赛题)求出所有正整数a,使方程22(21)4(3)0
ax a x a 至少有一个整数根.
解：由原方程知x ≠2，不妨将方程整理成关于的一元一次方程2(44)212
x x a x 得2212
1(2)x a x （因为是正整数）
则得(4)(2)0x
x 解得42
x 因此，x 只能取-4，-3，-1，0，1，2。
分别代入a 的表达式，故所求的正整数
a 是1，3，6，10。
十.利用配方法
例12. (第三届《祖冲之杯》竞赛题
) 已知方程22(1)2(51)240a x a x 有两个不等的负整数根
,则整数a 的值是__________.
解：原方程可变为222102240a x ax
x x 即2221025
21a x ax x x 22(5)
(1)ax x 5
(1)ax x 得：1264,11
x x a a 当a-1=-1，-2，-3，-6，即a=0，-1，-2，-5时，x 1为负整数。
但a=0时，x 2＞0； a=-5时,x
1=2=-1 又a ≠-1 ∴ a=-2。
十一.利用奇偶分析
例13.(1999年江苏第14届竞赛题)已知方程219990x
x a 有两个质数根,
则常数a=___________.
解：设方程的两个质数根为
x 1，x 2( x 1＜x 2) 由根与系数的关系得x 1+x 2=1999. 显然x 1=2,x 2=1997,于是a=2×1997=3994.
十二.利用反证法
例14.不解方程,证明方程2199719970x x 无整数根
证明:假设方程有两个整数根αβ
,则α+β=1997,αβ=1997,由第二式知αβ均为奇数,于是α+β为偶数,但这与第一式相矛盾
,所以α,β不可能都是整数. 假设方程只有一个整数根
,则α+β不可能是整数, 也与第一式相矛盾,所以方程不可能只有一个整数根.
综上所述,原方程无整数根.。