-一元二次方程的整数根分析
解一元二次方程——一元二次方程的根的判别式
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
课后作业
1 利用判别式判断下列方程的根的情况.
3
2
2
1 2 − 3 − = 0，
2
3 − 4 2 + 9 = 0，
2
9
2
2 16 − 24 + = 0，
2
2
4 3 + 10 = 2 + 8.
2 在不解方程的情况下，判断关于 的一元二次方程
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2�� + 6 = 0.
9
；
2
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
9
；
2
2
解： 化方程为 4 − 12 + 9 = 0.
= 4， = −12， = 9.
2
= − 4
2
= (−12) − 4 × 4 × 9
+ = 0.
移项，得
2
=−
.
2
+
=−
.
配方，得
2
+
+
2
+
2
2
2
=− +
2
− 4
=
.
2
4
2
,
2
2
+
2
2
− 4
=
.
一元二次方程整数根问题的几种思维策略
一元二次方程整数根问题的几种思维策略一、利用判别式例1. 当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数。
解：∵方程2440mx x -+=有整数根，∴⊿=16-16m ≥0，得m ≤1又∵方程2244450x mx m m -+--=有整数根∴⊿=16m 2－4(4m 2－4m －5) ≥0 得54m ≥-. 综上所述，54-≤m≤1 ∴x 可取的整数值是－1，0，1 当m=－1时，方程为－x 2-4x+4=0 没有整数解，舍去。
而m≠0 ∴ m=123.（东城） 已知关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=，0,0>>b a .（1）若方程有实数根，试确定a ，b 之间的大小关系；（2）若a ∶b 1222x x -=，求a ，b 的值；（3）在（2）的条件下，二次函数222y x ax b =++的图象与x 轴的交点为A 、C （点A 在点C 的左侧），与y 轴的交点为B ，顶点为D .若点P （x ，y ）是四边形ABCD 边上的点，试求3x －y 的最大值.解：(1) ∵ 关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实数根,∴ Δ=,04)2(22≥-b a 有a 2－b 2≥0，（a+b ）（a-b ）≥0. ∵ 0,0>>b a ,∴ a+b ＞0,a －b ≥0.∴ b a ≥. …………………………2分（2） ∵ a ∶b，∴ 设2,a k b ==(k ＞0).解关于x 的一元二次方程22430x kx k ++=，得 -3x k k =-或.当12,= -3x k x k =-时，由1222x x -=得2k =.当123,= -x k x k =-时，由1222x x -=得25k =-（不合题意，舍去）.∴ 4,a b ==. …………………………5分（3）当4,a b ==2812y x x =++与x 轴的交点为、C 的交点坐标分别为A （－6，0）、（－2，0），与y 轴交点坐标为（0，12），顶点坐标D 为（－4，－4）.设z ＝3x －y ，则3y x z =-.画出函数2812y x x =++和3y x =的图象，若直线3y x =平行移动时，可以发现当直线经过点C 时符合题意，此时最大z 的值等于－6 ……………7分二、利用求根公式例2．设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。
一元二次方程整数根问题的解法技巧
6 (k + 1) = 1.
解得 k = 8, 或 k = 46. 分别代入
41 130 ,2或 , - 17. 9 9
原方程可解得方程的有理根为 -
∴ x 1 = - n2, x 2 = ∴
4 4
(n + 1) 2 ,
4
x2 1
-
x2 2
=
4
(- n2) 2
-
三、 利用一元二次方程根与系数的关系求 解
・94・ 重庆
《数学教学通讯》 2005 年 9 月 ( 下半月) ( 总第 238 期)
一元二次方程整数根问题的解法技巧
( 云南省曲靖市会泽县大井镇一中 654222) 朱家海
在近些年来的初中数学竞赛中, 经常出现含参数 的一个或几个一元二次方程有整数根的问题, 这类试 题或求整数根或求参数或求含参数的代数式的值, 其 类型繁多涉及的知识面广, 解法灵活多样且技巧性极 强. 本文试对这类问题的常用解法技巧系统归纳如下, 供读者参考.
x2 0 x2 0 bx 0 -
( 1) 判别式 ∃ = b2 - 4ac 为参数的一次式
① 结合已知, 利用 ∃ ≥ 0 求出参数的范围. 例 3 ( 1997 年江西省赣州地区初三数学竞赛题) k 为何整数时, 关于 x 的一元二次方程 kx 2 - 4x + 4 = 0 和 x 2 - 4kx + 4k 2 - 4k - 5 = 0 的根都是整数. 解析: 设两方程的判别式分别为 ∃ 1 , ∃ 2 , 则依题意, 有
- x ± 28 - 3x 2 , ∴ 当x 2 (x 2 - 7)
四、 方程中参数均为一次则分离参数求解
11 分离参数后, 依参数范围列不等式求解
一元二次方程的整数解问题是初中数学竞赛中的一个重要知识点
一元二次方程的整数解问题是初中数学竞赛中的一个重要知识点，也是近几个全国初中数学竞赛考试的一个热点。
对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解。
实际上，经常要用到根的判别式、完全平方数的特征和数整除性的性质，以及这几种方法的结合来解题。
下面举几个常见的例子：例1，当 m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整数根。
解法1：首先，m2-1≠0，m≠±1。
Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3。
用求根公式可得由于x1，x2是正整数，所以m-1=1，2，3，6；m+1=1，2，3，4，6，12，解得m=2。
这时x1=6，x2=4。
解法2 ：首先，m2-1≠0，m≠±1。
设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5。
经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根。
归纳：解法1先把方程的根求出来，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题；解法2利用韦达定理，得到两个整数，再利用整数的整除性质求解。
例2，已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值。
分析：“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根。
我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来。
解：因为a≠0，所以所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5。
例3，设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，求m的值。
-一元二次方程的整数根
第6讲 一元二次方程的整数根精巧的论证常常不是一蹴而就的，而是人们长期切磋积累的成果。
我也是慢慢学来的，而且还要继续不断的学习。
-----阿贝尔知识方法扫描1．当含有某个参数k 的一元二次方程的左边比较容易分解成两个一次因式的积时，我们可以先利用因式分解直接求方程的解，通常它们是关于k 的分式形式的解。
然后利用其根是整数的要求来解不定方程。
此时因参数k 的条件不同，常有两种处理方法。
其一是k 为整数，这时只需注意分式形式的解中，分子是分母的倍数即可；其二是k 为实数，此时应该消去参数k ，得到关于两根的关系式，也就是关于两根的不定方程，再解此不定方程即可。
2．我们知道一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0在△＝b 2－4ac ≥0时有实数根x ＝ab 2∆±-。
所以要使整系数的一元二次方程方程有整数根，必须△＝b 2－4ac 为完全平方数，并且－b ±∆为2a 的整数倍.故处理此类问题，常可用判别式来解决。
又可细分为两类：（1）先求参数范围。
可利用题设参数的范围，直接求解；也可由不等式△≥0求出参数的范围.再求解。
（2）再设参数法，即设△＝k 2（k 是整数）。
当△＝k 2为关于原参数的一次式时，用代入法来解；当△＝k 2为关于原参数的二次式时，用分解因式法来解.此外，对有理系数的二次方程有有理根的问题，上述解法也是适用的。
3．韦达定理即根与系数的关系是一元二次方程的重要性质，我们也常用它来处理含参数的一元二次方程的整数解得问题，常用的方法有：（1） 从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程.（2） 利用“当两根为整数时，其和、积必为整数”来解。
4．在含有参数的一元二次方程中，参数和未知数都是用字母表示的，通常是将未知数看作是主元必要时也可反过来将参数看成是主元，即将方程看成是以参数为未知数的方程，这种方法就是变更主元法。
（1）当方程中参数的次数为一次时，可将参数直接用未知数表示出来，再利用已知参数的范围或性质来求解。
一元二次方程的整数根问题讲解
一元二次方程的整数根问题讲解资料编号:202209071101对于含参一元二次方程,我们经常会遇到整数根的问题.这类问题的解决,往往要借助公式法或因式分解法,用参数表示出方程的两个实数根（或表示出其中一个实数根）,然后对结果进行变形处理,并作出讨论.得出参数的值之后,需要进行检验,看参数的值是否符合题意.例1. 已知关于x 的一元二次方程()0222=++-x m mx .（1）证明:不论m 为何值,方程总有实数根;（2）m 为何整数时,方程有两个不相等的正整数根?分析:（1）要证明一元二次方程总有实数根,只需证明总有△≥0即可,注意△≥0是要证明的结论,不是证明的条件;（2）利用公式法或因式分解法,用参数表示出方程的根,然后对结果进行变形或作出讨论.得出参数的值后需要进行检验.（1）证明:()[]m m 822-+-=∆()22244-=+-=m m m ∵()22-m ≥0∴△≥0∴不论m 为何值,方程总有实数根;（2）解:()0222=++-x m mx ()m m m m m m x 2222222-±+=-±+=∴mm m m x m m m m m x 2222,12222221=+-+===-++= ∵m 为整数,21,x x 为正整数∴1=m 或2=m由题意可知:12≠m,∴2≠m ∴1=m .点评 （1）也可利用因式分解的方法求解方程,如下:由题意可知:0≠m()0222=++-x m mx()()()()02101210222=--=---=+--mx x x x mx x mx mx∴01=-x 或02=-mx ∴mx x 2,121==. （2）若把题目改为“已知关于x 的方程()0222=++-x m mx .”结果又将如何? 例2. 已知关于x 的一元二次方程05242=+--m x x 有两个不相等的实数根.（1） 求实数m 的取值范围;（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数,求整数m 的值.分析:（1）根据方程有两个不相等的实数根,即0>∆,建立关于参数m 的不等式求解;（2）这里对参数m 的要求比较苛刻,有三点:①m 的值是整数;②保证方程的两个根符号相同;③保证方程的两个根都是整数.注意,最后要对求出的m 的值进行检验.解:（1）由题意可得:()()025442>---=∆m 解之得:21>m ; （2）由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧>->02521m m 解之得:2521<<m ∵m 为整数∴1=m 或2=m .当1=m 时,0342=+-x x ,解之得:3,121==x x ,符合题意;当2=m 时,0142=+-x x ,解之得:32,3221-=+=x x ,不符合题意,舍去. 综上所述,整数m 的值为1.例3. 已知关于x 的一元二次方程()01222=+++-k k x k x .（1）求证:无论k 取何值,方程都有两个不相等的实数根;（2）如果方程的两个实数根为21,x x ,且k 与21x x 都为整数,求k 所有可能的值. 分析:（1）只需证明无论k 取何值,都有0>∆即可;（2）由求根公式或因式分解的方法,求出方程的两个实数根,分别作为21,x x ,共有两种表示结果,分两种情况讨论.（1）证明:()[]()k k k +-+-=∆22412 ()01441222>=--+=k k k ∴无论k 取何值,方程都有两个不相等的实数根;（2）解:()01222=+++-k k x k x21122112±+=±+=k k x ∴k k x k k x =-+=+=++=2112,1211221或1,21+==k x k x 当k x k x =+=21,1时,k k k x x 11121+=+= ∵k 与21x x 都为整数 ∴1-=k 或1=k ;当1,21+==k x k x 时,111111121+-=+-+=+=k k k k k x x ∵k 与21x x 都为整数 ∴0=k 或2-=k .综上所述,1-=k 或1=k 或0=k 或2-=k . 例4. 关于x 的一元二次方程()01212=++--m mx x m .（1）求出方程的根;（2）m 为何整数时,此方程的两个根都为正整数? 解:（1）由题意可知:01≠-m ,1≠m . ()()()()()11122212114222-±=-±=--+--±=m m m m m m m m m x ∴111,1121=--=-+=m m x m m x ; （2）∵m 为整数,21,x x 为正整数121121111-+=-+-=-+=m m m m m x ∴11=-m 或21=-m∴2=m 或3=m .。
一元二次方程整数根问题求解方法导析
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（责任编辑 赵良河）
中学生数理化 （初中版 ・ 初三使用）
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$， )， 1， +!
欲使 "&， 则 ! 应 取 $， 故所求的整数 ! "$ 均为正整数， )! 注 意 到 !!) ， 的值为 $! 二、 判别式法 例" 设 # 为自然数， 且 13#31-! 若方程 "$%$#$#%)’"*1#$%&1#*/, 求 # 的值 ! - 的两根均为整数， 导析： 方程两根均为整数， 4 # ,1#$#%)’$%1#1#$%&1#*/’,1#$#*&’ ，
导析： 如果我们只把注意力盯在 两 个 方 程 及 ! 为 整 数 上 ， 很容易钻 的牛角尖 ! 进 “设法求出两个方程的根， 再去求出 ! 的值” 实际上， 由于两个方程都有实数根， 所以 ! *!’ ， ! "!’! 这样便躲过 一元二次方程的求根公式， 直接找到 ! 所在的范围 !
! *&+#$,"#$-!-$!’. 即 */#*/!!’ ， !"*!
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解(基础)
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（基础）责编：常春芳【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】知识点一、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况.2. 一元二次方程根的判别式的逆用在方程()002≠=++a c bx ax 中， （1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0； （2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0； （3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0.要点诠释： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42-≥0.知识点二、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-； ②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+； ④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++；⑦12||x x -== ⑧22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==；⑨12x x -==⑩12||||x x +===(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数；当△≥0且120x x >，120x x +<时，两根同为负数．②当△＞0且120x x <时，两根异号．当△＞0且120x x <，120x x +>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x <，120x x +<时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根a +a a ，b 为有理数）．【典型例题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用1．不解方程，判断下列方程的根的情况：(1)???2x 2+3x-4=0 (2)ax 2+bx=0(a≠0)【答案与解析】(1) 2x 2+3x-4=0a=2, b=3, c=-4,? ∵Δ=b 2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0? ∴方程有两个不相等的实数根.(2)∵a≠0, ∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，? ∵Δ=b 2-4·a·0=b 2,? ∵无论b 取任何关数，b 2均为非负数，∴Δ≥0， 故方程有两个实数根.【总结升华】根据ac b42-的符号判定方程根的情况. 举一反三：【高清ID 号：388522 关联的位置名称（播放点名称）：判别含字母系数的方程根的情况---例2（1）】【变式】不解方程，判别方程根的情况：2210x ax a -++= .【答案】无实根.2．（2015?本溪）关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0.【答案】k ＜2且k≠1； 【解析】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，∴k ﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k ﹣1）＞0，解得：k ＜2且k ≠1．故答案为：k ＜2且k≠1．【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件.举一反三：【高清ID 号：388522 关联的位置名称（播放点名称）：证明根的情况---例3】 【变式】m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m 2+10m+37=(m+5)2+12＞0，∴关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根. 类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3．已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求另一个根及k 的值．【思路点拨】根据方程解的意义，将x ＝2代入原方程，可求k 的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根．【答案与解析】方法一：设方程另外一个根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系， 得125k x +=-，1625x =-，从而解得：135x =-，k ＝-7． 方法二：将x ＝2代入方程，得5×22+2k -6＝0，从而k ＝-7． 设另外一根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系，得1725x +=，从而135x =-， 故方程的另一根为35-，k 的值为-7． 【总结升华】根据一元二次方程根与系数的关系12b x x a +=-，12c x x a=易得另一根及k 的值． 举一反三：【高清课堂：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（二）---例2】【变式】已知方程220x x c -+=的一个根是3，求它的另一根及c 的值．【答案】另一根为-1；c 的值为-3．4．（2015?咸宁）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【答案与解析】解：（1）△=（m+2）2﹣8m=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解方程得，x=，x1=2m，x2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意，∴m=1．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，此外要掌握整数根的意义及正确求解适合条件的整数根．。
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第6讲 一元二次方程的整数根精巧的论证常常不是一蹴而就的，而是人们长期切磋积累的成果。
我也是慢慢学来的，而且还要继续不断的学习。
-----阿贝尔知识方法扫描1．当含有某个参数k 的一元二次方程的左边比较容易分解成两个一次因式的积时，我们可以先利用因式分解直接求方程的解，通常它们是关于k 的分式形式的解。
然后利用其根是整数的要求来解不定方程。
此时因参数k 的条件不同，常有两种处理方法。
其一是k 为整数，这时只需注意分式形式的解中，分子是分母的倍数即可；其二是k 为实数，此时应该消去参数k ，得到关于两根的关系式，也就是关于两根的不定方程，再解此不定方程即可。
2．我们知道一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0在△＝b 2－4ac ≥0时有实数根x ＝ab 2∆±-。
所以要使整系数的一元二次方程方程有整数根，必须△＝b 2－4ac 为完全平方数，并且－b ±∆为2a 的整数倍.故处理此类问题，常可用判别式来解决。
又可细分为两类：（1）先求参数范围。
可利用题设参数的范围，直接求解；也可由不等式△≥0求出参数的范围.再求解。
（2）再设参数法，即设△＝k 2（k 是整数）。
当△＝k 2为关于原参数的一次式时，用代入法来解；当△＝k 2为关于原参数的二次式时，用分解因式法来解.此外，对有理系数的二次方程有有理根的问题，上述解法也是适用的。
3．韦达定理即根与系数的关系是一元二次方程的重要性质，我们也常用它来处理含参数的一元二次方程的整数解得问题，常用的方法有：（1） 从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程.（2） 利用“当两根为整数时，其和、积必为整数”来解。
4．在含有参数的一元二次方程中，参数和未知数都是用字母表示的，通常是将未知数看作是主元必要时也可反过来将参数看成是主元，即将方程看成是以参数为未知数的方程，这种方法就是变更主元法。
（1）当方程中参数的次数为一次时，可将参数直接用未知数表示出来，再利用已知参数的范围或性质来求解。
（2）当方程中参数的次数为二次时，可考虑以参数为主元构造一个二次方程，再运用前述的方法（如利用判别式，韦达定理）来处理。
经典例题解析例1．(1995年山东省初中数学竞赛试题)k 为什么整数时，方程(6－k )(9－k )x 2－(117－15k )x ＋54＝0的解都是整数？分析 此方程的系数均为整数，而且方程的左边可以直接分解成两个整系数的一次因式，故可考虑直接求根来解答此题。
另外此题的条件中并未说明方程是一元二次方程，故还应考虑二次项系数为0，原方程是一次方程的情况。
解 若k=6, 则x=-2; 若k=9, 则x=3；若k ≠6且k ≠9，原方程可化为 [(k-6)x-9][(k-9)x-6] = 0 ,故方程的二根为 x 1＝69-k ，x 2＝96-k .为使x 1 和x 2都是整数，则应有k -6 = ±1,±3,±9 ， k=-3,3,5,7,9,15;还应有k -9 = ±1,±2, ±3,±6, k=3,6，7,8,10,11,12，15. 所以k=3,7,15时，x 1 和x 2都是整数，综上所述，当k 值为3，6，7，9，15时方程的解都是整数。
例2 (2000年全国初中数学联赛试题)设关于x 的二次方程(k 2－6k ＋8)﹒x 2＋(2k 2－6k －4)x ＋k 2＝4的两根都是整数.求满足条件的所有实数k 的值.分析 此题也可通过直接求根法求出二根，但是它的条件与例1不同，例1中的参数k 是整数，而本题中的参数k 是实数。
因此求得二根后不能像例1那样讨论，因为使x 1（或x 2）为整数的实数k 有无穷多个，所以要先消去k ，得到关于x 1，x 2的不定方程，先求出这个不定方程的整数解，然后再反过来求k 的值。
解 将原方程变形得 (k －2)(k －4)x 2＋(2k 2－6k －4)x ＋(k －2)(k ＋2)＝0. 分解因式得 [(k －2)x ＋k ＋2][(k －4)x ＋k －2]＝0.显然，k ≠2，k ≠4.解得x 1＝－42--k k = 421---k ； x 2＝－22-+k k =241---k . 于是有 1241+-=-x k ， 1422+-=-x k （x 1≠-1, x 2≠-1） 两式相减消去k 整理得 x 1x 2＋3x 1＋2＝0即 x 1(x 2＋3)＝－2.于是有 ⎩⎨⎧=+-=;13,221x x 或⎩⎨⎧-=+=;13,221x x 或⎩⎨⎧-=+=.23,121x x 或⎩⎨⎧=+-=.23,121x x 解得⎩⎨⎧-=-=;2,221x x 或⎩⎨⎧-==;4,221x x 或⎩⎨⎧-==;5,121x x 或⎩⎨⎧-=-=.1,121x x (舍去) 因为 1241+-=-x k ,当 x 1 = -2 时， k=6; 当 x 1 = 2 时， k=310;当 x 1 = 1 时， k=3. 经检验，k =6，3，310 都满足题意。
. 例3．（2000年广东奥林匹克学校高中入学考试数学试题）求当m 为何整数时，关于x 的一元二次方程mx 2-6x+9=0与x 2-4mx+4m 2-4m-5=0的根都是整数。
分析 从此题的两个方程无法得到用有理式形式表示的二根，但方程有整数根的前提是有实数根，我们可以先求出两个方程有实根的条件，从而求出参数m的取值范围，再由m 是整数的条件，确定其值。
不过最后还得代入验证此时的方程是否根都是整数。
解 依题意有⎪⎩⎪⎨⎧≥----≥--≠0)544(4)4(036)6(0222m m m m m 解得145≤≤-m ，且m ≠0.又m 为整数，故m = ±1。
当m =1时，方程mx 2-6x+9=0的二根均为1，方程x 2-4mx+4m 2-4m-5=0的二根为-1和5，符合要求。
当m =-1时，方程mx 2-6x+9=0的二根均不是整数,不符合要求.所以仅当m=1时，方程的两根都是整数。
例4． (1996年上海市初中数学竞赛试题)若关于x 的方程ax 2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数根，且a 为整数，求a.分析 此题和上题不同在于：若利用判别式求出参数a 的取值范围，计算后会发现，满足此范围的整数a 有无数多个，无法一一验证。
注意到要使整系数的一元二次方程方程有整数根，必须判别式为完全平方数。
本题的判别式是关于参数a 的一次式，一般可以设其为t 2（t 为非负整数），再将方程的根用t 表示出来从而求得其整数解。
解 当a = 0时，方程为-6x-2=0，无整数解。
当a≠0时，方程为一元二次方程，要使方程至少有一个整数根，必须判别式为完全平方数。
∵△=4(a-3)2-4a(a-2)=4(9-4a), ∴9-4a 为完全平方数。
设9-4a = t 2（t 为正奇数，且t≠3）, 则 a=492t -. 此时，方程的二根为 x 1,2=a t a 2262±+- = -1+ a t ±3= -1 + 4932t t -± = -1+29)3(4tt -± x 1= -1+t +34 , x 2= -1+t-34 要使x 1为整数，而t 为正奇数，只能t=1，此时a=2;要使x 2为整数，t 只能为1,5,7，此时a = 2,-4,-10.综上所述，a 的值为2,-4,-10.例5 (2004年全国初中数学联赛试题)已知方程x 2-6x-4n 2-32n=0的根都是整数，求整数n 的值。
分析1 此题与上题的差别在于其判别式是关于参数的一次式，而是二次式，就不能用代入法了。
此类问题一般采用因式分解的方法求解。
解法1 因二次方程的根都是整数， 故△=4n 2+32n+9应为完全平方数。
设 4n 2+32n+9=k 2(k>0,k 为整数)，即(2n+8)2-k 2=55，所以 (2n+8+k)(2n+8-k)=55因2n+8+k> 2n+8-k, 故可得如下4个方程组⎩⎨⎧=-+=++1825582k n k n ，⎩⎨⎧=-+=++5821182k n k n ，⎩⎨⎧-=-+-=++5582182k n k n ，⎩⎨⎧-=-+-=++1182582k n k n 分别解得n=10,n=0,n=-18,n=-8.分析2 因4n 2+32n+9=k 2又可以看作是关于n 的一元二次方程，本题也可以再用判别式来求解。
解法2 因二次方程的根都是整数，故△1=4n 2+32n+9应为完全平方数。
设 4n 2+32n+9=k 2(k>0,k 为整数)，即4n 2+32n+9-k 2=0。
将其看作关于n 的一元二次方程，其判别式也应为完全平方数，即△2=322-4×4×(9-k 2)=16(k 2+55) 为完全平方数设k 2+55=t 2, (t>0,t 为整数), 即 (t + k)( t - k)=55因t+k>t-k 故可得如下4个方程组⎩⎨⎧=-=+155k t k t ,⎩⎨⎧=-=+511k t k t ，⎩⎨⎧-=--=+551k t k t , ⎩⎨⎧-=--=+115k t k t , 分别解得k=27, 3, -27或-3，于是 4n 2+32n+9=272，或4n 2+32n+9=33，分别解得n=10, n=-18,n=-8, n=0. 所以整数n 的值为-18,-8,0,10.例6（1996年湖北省黄冈地区初中数学竞赛试题）求使关于x 的方程 (a+1)x 2-(a 2+1)x+2a 3-6=0有整数根的所有整数a解 当a=-1时，方程为 -2x-8=0,x=-4 为整数根；当a≠-1时，Δ=-7a 4-8a 3+2a 2+24a+25若a≥2，由于-a 4+2a 2<0,-6a 4+24a<0,-8a 3+25<0,所以Δ<0，原方程无实根； 若a≤-2，由于-4a 4-8a 3<0,-2a 4+25<0,-a 4+2a 2<0,24a<0,所以Δ<0，原方程无实根； 当a=0时，原方程变为x 2-x-6=0 ，二根为-2，3；当a=1时，原方程变为2x 2-2x-4=0 ，二根为 -1，2。
综上所述，仅当a=-1,0,1,原方程才有可能有整数根评注1 本题条件中的有整数根，应该理解成至少有一个整数根。
2 本题中的判别式是一个四次式，不易求出其取值范围。
上面的解法是先对判别式的取值用分类讨论结合放缩的方法求出其范围来，再对这个范围中的整数逐一讨论。