2013高考数学一轮复习 2.7 幂函数精品教学案(学生版)新人教版
2013新人教A版必修一2.3《幂函数》word教案
幂函数教学目标： 知识与技能 通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用． 过程与方法 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质． 情感、态度、价值观 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．教学重点：重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．难点 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律． 教学程序与环节设计：一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数． 幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，引导学生注意辨析．下面我们举例学习这类函数的一些性质． 作出下列函数的图象：利用所学知识和方法尝试作出五个具体幂函数的图象，观察所图象，体会幂函数的变化规律．（1）x y =；（2）21x y =；（3）2x y =；（4）1-=x y ；（5）3x y =．问题引入．解] ○1 列表（略） ○2 图象 师：引导学生应用画函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性． 师生共同分析，强调画图象易犯的错误．材料二：幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 例1、求下列函数的定义域；()()()()()1133212212345y xy xy xy x y x--=====例2、比较下列两个代数值的大小：()()()()33 1.5 1.55522 1.2 1.23311.5,1.720.7,0.632.2,1.840.15,0.17----[例3] 讨论函数25y x =的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性．练习、1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：（1）433.2，434.2； （2）5631.0，5635.0；（3）23)2(-，23)3(-；（4）211.1-，219.0-．2．作出函数23x y =的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明． 3．作出函数2-=x y 和函数2)3(--=x y 的图象，求这两个函数的定义域和单调区间．4．用图象法解方程：（1）1-=x x ； （2）323-=x x函数αx y =在第一象限内的图象，已1．如图所示，曲线是幂知α分别取2,21,1,1-四个值，则相应图象依次为： ．2．在同一坐标系内，作出下列函数的图象，你能发现什么规律？（1）3-=x y 和31-=xy ；（2）45x y =和54x y =．。
高中数学幂函数教案试讲
高中数学幂函数教案试讲
目标：学生能够理解幂函数的概念、性质及应用，并能够解决相关问题。
一、引入
1. 引导学生回顾指数函数的概念和性质。
2. 引出幂函数的定义，并介绍幂函数的概念。
3. 提出问题：幂函数与指数函数的联系是什么？
二、概念解释
1. 讲解幂函数的定义：f(x) = ax^b，其中a和b为常数且a ≠ 0。
2. 讲解幂函数的图像特点：当b为正偶数时，图像开口朝上；当b为正奇数时，图像开口朝上或朝下；当b为负数时，图像在x轴上方或下方。
三、性质探讨
1. 讲解幂函数的增减性与最值：根据b的奇偶性讨论函数的增减性及最大值最小值。
2. 讨论幂函数的奇偶性质。
四、应用拓展
1. 解决一些幂函数相关的实际问题，并让学生进行解答和讨论。
2. 引导学生自行研究其它类型的幂函数，并分享给全班同学。
五、练习与作业
1. 完成相关习题，巩固所学知识。
2. 布置作业：设计一个实际问题，用幂函数来解答并讨论。
六、总结
1. 回顾本节课所学内容，强调幂函数的重要性和应用。
2. 鼓励学生勤奋学习，积极思考。
以上为本节课的教案范本，敬请参考。
人教A版高中数学必修一 2-3 幂函数 教案 精品
2.3 幂函数一、教学目标：知识与能力1、通过实例，了解幂函数的概念；2、会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；3、能应用幂函数的图像和性质解决有关简单问题。
过程与方法培养学生数形结合能力，合作交流能力，以及应用数学的能力。
情感态度与价值观让学生感受到数学来源于生活，应用于生活，并认识到现代信息技术在人们认识世界过程中的作用,激发学生的学习动力。
二、重点难点重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难．三、教学方法通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现幂函数的性质.四、教学过程（一）实例观察，引入新课(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P = W元P是W的函数（y=x）(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2S是a的函数（y=x2）(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V =a3S是a的函数（y=x3）(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么正方形的边长a=12S a是S的函数（y=12 x）(5)如果某人t s内骑车行进 1 km,那么他骑车的平均速度v=t-1 V是t的函数（y=x-1）问题一：以上问题中的函数具有什么共同特征?学生反应：底数都是自变量，指数都是常数.【设计意图】引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征. （二）类比联想，探究新知1.幂函数的定义；一般地，函数y=xɑ叫做幂函数(power function) ，其中x为自变量，ɑ为常数。
注意:幂函数的解析式必须是y = ｘa 的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”．（让学生判断y=2x2y=（x+1）2 y=x2+1 是否为幂函数）【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解.2.幂函数的图像与简单性质同前面的指数函数和对数函数一样，先画出函数的图像，再由图像来研究幂函数的相关性质（定义域，值域，单调性，奇偶性，定点）不妨也找出典型的函数作为代表：y=x y=x2y=x3 y=12x y=x-1让学生自主动手，在同一坐标系中画出这5个函数的图像问题三：所有图像都过第几象限，所有图像都不过第几象限，为什么？学生反应：都过第一象限，而都不过第四象限，因为当x>0时所有幂函数都有意义,且函数值都为正.问题四:第一象限内函数图像的变化趋势与指数有什么关系,为什么？学生反应:当指数为正时是增函数,指数为负时是减函数.为什么却讲不清楚.教师讲解：指数为正分为正分数和正整数，正无理数我们高中不做研究，当是正整数时很显然递增，当是正分数时，可以化成根式，很显然当被开方数为正时，被开方数越大，整个根式值越大。
人教版高中必修一《幂函数》教案
人教版高中必修一《幂函数》教案一、教学目标1.了解幂函数的定义和特点；2.学习叠加思想，并掌握简单的幂函数叠加方法；3.能够解决一些实际问题。
二、教学重难点1.幂函数的定义及其特点；2.幂函数的叠加思想；3.幂函数的绘图方法；三、教学过程1.引入幂函数的定义：$y=x^p(p\\in \\mathbb{R})$让学生发现x的取值范围对函数图象的影响，并对函数图象进行描述。
2. 概念讲解1.首先讲解幂函数的定义，指出它是一种基本函数；2.介绍幂函数的性质，让学生知道幂函数的图像不可能横切x轴；3.引入幂函数的叠加思想，让学生知道可以将不同的函数图像叠加在一起。
3. 具体例子讲解1.书写公式，说明函数图象的性质；2.给出幂函数的图象，描出函数的图象；3.确定函数图象的性质，让学生明白函数图象的变化。
4. 例题解析1.给出实际问题，提供数据；2.根据实际问题列出函数式，确定函数图象；3.通过实际问题，解释函数图象的意义。
5. 分组讨论1.将学生分成若干小组，每组做一道练习题；2.每组向其他组展示自己的想法、方法及结果；3.学生之间相互交流，共同探讨出最佳答案。
四、教学方法1.板书法：结合具体例子进行讲解；2.案例法：让学生通过实际问题练习解题思路；3.分组讨论法：提高学生探究问题、思考问题和解决问题的能力。
五、教学帮助1.帮助学生理解定义和性质；2.尤其帮助学生掌握幂函数的叠加思想，找出函数图象的变化规律。
六、课堂反馈1.倾听学生提出的疑问和问题；2.鼓励并指导学生提出自己的解决方案；3.搜集学生反馈，及时调整教学进度和方法。
七、课堂作业1.完成教师布置的作业；2.阅读教材给出的例题；3.自己找出一些幂函数的例子进行探究。
高考数学一轮复习教学案二次函数与幂函数(含解析)
第六节二次函数与幂函数[知识能否忆起]一、常用幂函数的图象与性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0} 值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0]减(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)二、二次函数1．二次函数的定义形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．2．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．3．二次函数的图象和性质a>0a<0 图象图象特点①对称轴：x＝－b2a；②顶点：⎝⎛⎭⎫－b2a，4ac－b24a性质定义域 x ∈R值域y ∈⎣⎡4ac －b 24a ，＋∞y ∈⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a 奇偶性b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数单调性x ∈－∞，⎦⎤－b 2a 时递减，x ∈－b2a，＋∞时递增x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 时递增，x ∈⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞时递减[小题能否全取]1．若f (x )既是幂函数又是二次函数，则f (x )可以是( ) A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝5x 2 C ．f (x )＝－x 2D ．f (x )＝x 2解析：选D 形如f (x )＝x α的函数是幂函数，其中α是常数．2．(教材习题改编)设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3解析：选A 在函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 3中，只有函数y ＝x 和y ＝x 3的定义域是R ，且是奇函数，故α＝1,3.3．(教材习题改编)已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，120B.⎝⎛⎭⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎫120，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－120，0 解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0得a >120.4．(教材习题改编)已知点M ⎝⎛⎭⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为________．解析：设幂函数的解析式为y ＝x α，则3＝⎝⎛⎭⎫33α，得α＝－2.故y ＝x －2. 答案：y ＝x －25．如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的最小值为________．解析：由题意知⎩⎨⎧－a ＋22＝1，a ＋b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝6.则f (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5≥5. 答案：51.幂函数图象的特点(1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性；(2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内；(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 2．与二次函数有关的不等式恒成立问题 (1)ax 2＋bx ＋c >0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.[注意] 当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．幂函数的图象与性质典题导入[例1] 已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x－5m －3在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________.[自主解答] ∵函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x －13在(0，＋∞)上是减函数； 当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1. [答案] －1由题悟法1．幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查： (1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸； 0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．以题试法1．(1)如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是( )A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 13，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析：选B 由图①知，该图象对应的函数为奇函数且定义域为R ，当x >0时，图象是向下凸的，结合选项知选B.(2)(·淄博模拟)若a <0，则下列不等式成立的是( ) A ．2a >⎝⎛⎭⎫12a>(0.2)aB ．(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a>2aC.⎝⎛⎭⎫12a>(0.2)a>2aD ．2a >(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a解析：选B 若a <0，则幂函数y ＝x a 在(0，＋∞)上是减函数，所以(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a>0.所以(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a>2a .求二次函数的解析式典题导入[例2] 已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且它有最小值－1. (1)求f (x )解析式；(2)若g (x )与f (x )图象关于原点对称，求g (x )解析式． [自主解答] (1)由于f (x )有两个零点0和－2， 所以可设f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)， 这时f (x )＝ax (x ＋2)＝a (x ＋1)2－a ， 由于f (x )有最小值－1，所以必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a ＝－1，解得a ＝1.因此f (x )的解析式是f (x )＝x (x ＋2)＝x 2＋2x .(2)设点P (x ，y )是函数g (x )图象上任一点，它关于原点对称的点P ′(－x ，－y )必在f (x )图象上，所以－y ＝(－x )2＋2(－x )， 即－y ＝x 2－2x ， y ＝－x 2＋2x ， 故g (x )＝－x 2＋2x .由题悟法求二次函数的解析式常用待定系数法．合理选择解析式的形式，并根据已知条件正确地列出含有待定系数的等式，把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法．以题试法2．设f (x )是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ，当x >2时，y ＝f (x )的图象是顶点为P (3,4)，且过点A (2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f (x )的草图； (3)写出函数f (x )的值域．解：(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝a(x－3)2＋4，将(2,2)代入可得a＝－2，则y＝－2(x－3)2＋4，即x>2时，f(x)＝－2x2＋12x－14.当x<－2时，即－x>2.又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14，即f(x)＝－2x2－12x－14.所以函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式为f(x)＝－2x2－12x－14.(2)函数f(x)的图象如图，(3)由图象可知，函数f(x)的值域为(－∞，4]．二次函数的图象与性质典题导入[例3]已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．[自主解答](1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]．所以f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，故f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.故a 的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．本例条件不变，求当a ＝1时，f (|x |)的单调区间． 解：当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，则f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，故f (|x |)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－6,0]．由题悟法解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论．(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题的求法．以题试法3．(·泰安调研)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，则a 的值为________．解析：f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， 当a >1时，y max ＝a ；当0≤a ≤1时，y max ＝a 2－a ＋1； 当a ＜0时，y max ＝1－a .根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1－a ＝2，解得a ＝2或a ＝－1. 答案：2或－1二次函数的综合问题[例4] (·衡水月考)已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1. (1)若存在x ∈R 使f (x )<b ·g (x )，求实数b 的取值范围；(2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围．[自主解答] (1)∃x ∈R ，f (x )<bg (x )⇒∃x ∈R ， x 2－bx ＋b <0⇒(－b )2－4b >0⇒b <0或b >4. 故b 的取值范围为(－∞，0)∪(4，＋∞)． (2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2， Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4. ①当Δ≤0，即－255≤m ≤255时，则必需⎩⎨⎧m2≤0，－255≤m ≤255⇒－255≤m ≤0.②当Δ>0，即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)．若m2≥1，则x 1≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1，F (0)＝1－m 2≤0⇒m ≥2； 若m2≤0，则x 2≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0，F (0)＝1－m 2≥0⇒－1≤m ≤－255.综上所述，m 的取值范围为[－1,0]∪[2，＋∞)．由题悟法二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”，它们之间有着密切的联系，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关“三个二次”的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．4．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由f (0)＝1，得c ＝1.即f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，则a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1， 由－m －1>0得，m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．1．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表：x 1 12 f (x )122则不等式f (|x |)≤2的解集是(A ．{x |0<x ≤2} B ．{x |0≤x ≤4} C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |－4≤x ≤4}解析：选D 由f ⎝⎛⎭⎫12＝22⇒α＝12，即f (x )＝x 12，故f (|x |)≤2⇒|x |12≤2⇒|x |≤4，故其解集为{x |－4≤x ≤4}．2．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )解析：选D ∵a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0， ∴a >0，c <0.∴图象开口向上与y 轴交于负半轴．3．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 解析：选C 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a ，故f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a .4．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( ) A ．f (－3)<c <f ⎝⎛⎭⎫52 B ．f ⎝⎛⎭⎫52<c <f (－3) C ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)<cD ．c <f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)解析：选D 由已知可得二次函数图象关于直线x ＝1对称，则f (－3)＝f (5)，c ＝f (0)＝f (2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f (－3)＝f (5)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (2)＝f (0)＝c .5．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]解析：选D 二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)≤0，x ∈[0,1]，所以a >0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x ＝1. 所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.6．若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－52B.⎝⎛⎭⎫52，＋∞ C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫－52，＋∞ 解析：选B 设f (x )＝x 2－2mx ＋4，则题设条件等价于f (1)<0，即1－2m ＋4<0，解得m >52. 7．对于函数y ＝x 2，y ＝x 12有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增； ③它们的图象关于直线y ＝x 对称； ④两个函数都是偶函数； ⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)； ⑥两个函数的图象都是抛物线型． 其中正确的有________．解析：从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较． 答案：①②⑤⑥8．(·北京西城二模)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，则实数b ＝________，不等式f (x －1)<x 的解集为________．解析：因为f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，所以b ＝0，则f (x )＝x 2＋1，解不等式(x －1)2＋1<x ，即x 2－3x ＋2<0得1<x <2.答案：0 {x |1<x <2}9．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为________． 解析：由x ≥0，y ≥0，x ＝1－2y ≥0知0≤y ≤12，令t ＝2x ＋3y 2＝3y 2－4y ＋2， 则t ＝3⎝⎛⎭⎫y －232＋23. 在⎣⎡⎦⎤0，12上递减，当y ＝12时，t 取到最小值，t min ＝34.答案：3410．如果幂函数f (x )＝x －12p 2＋p ＋32(p ∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．求p的值，并写出相应的函数f (x )的解析式．解：∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴－12p 2＋p ＋32>0，即p 2－2p －3<0.∴－1<p <3.又∵f (x )是偶函数且p ∈Z ， ∴p ＝1，故f (x )＝x 2.11．已知二次函数f (x )的图象过点A (－1,0)、B (3,0)、C (1，－8)． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在x ∈[0,3]上的最值； (3)求不等式f (x )≥0的解集．解：(1)由题意可设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)， 将C (1，－8)代入得－8＝a (1＋1)(1－3)，得a ＝2. 即f (x )＝2(x ＋1)(x －3)＝2x 2－4x －6. (2)f (x )＝2(x －1)2－8，当x ∈[0,3]时，由二次函数图象知， f (x )min ＝f (1)＝－8，f (x )max ＝f (3)＝0. (3)f (x )≥0的解集为{x |x ≤－1，或x ≥3}．12．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－m ·x 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝5，f (2)＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. 当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝2，f (2)＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2. g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2， ∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6.1．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13 B.12 C.34D ．1解析：选D 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.2．(·青岛质检)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2 3．(·滨州模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知得c ＝1，a －b ＋c ＝0，－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.则f (x )＝(x ＋1)2.则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.故F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意得f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又当x ∈(0,1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，故－2≤b ≤0.1．比较下列各组中数值的大小． (1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)4.125，3.8－25，(－1.4)35；(4)0.20.5,0.40.3.解：(1)函数y ＝3x 是增函数，故30.8>30.7. (2)y ＝x 3是增函数，故0.213<0.233.(3)4.125>1,0<3.8－25<1，而(－1.4)35<0，故4.125>3.8－25>(－1.4)35.(4)先比较0.20.5与0.20.3，再比较0.20.3与0.40.3，y ＝0.2x 是减函数，故0.20.5<0.20.3；y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是增函数，故0.20.3<0.40.3.则0.20.5<0.40.3.2．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D 当－b2a <0时，ab >0，从而c >0，可排除A ，C ；当－b2a >0时，ab <0，从而c <0，可排除B ，选D.3．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋1. (1)试讨论函数f (x )的单调性；(2)若13≤a ≤1，且f (x )在[1,3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，令g (a )＝M (a )－N (a )，求g (a )的表达式；(3)在(2)的条件下，求证：g (a )≥12.解：(1)当a ＝0时，函数f (x )＝－2x ＋1在(－∞，＋∞)上为减函数； 当a >0时，抛物线f (x )＝ax 2－2x ＋1开口向上，对称轴为x ＝1a ，故函数f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，1a 上为减函数，在⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞上为增函数； 当a <0时，抛物线f (x )＝ax 2－2x ＋1开口向下，对称轴为x ＝1a ，故函数f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，1a 上为增函数，在⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞上为减函数． (2)∵f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2＋1－1a， 由13≤a ≤1得1≤1a ≤3，∴N (a )＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1－1a . 当1≤1a <2，即12<a ≤1时，M (a )＝f (3)＝9a －5，故g (a )＝9a ＋1a－6；当2≤1a ≤3，即13≤a ≤12时，M (a )＝f (1)＝a －1，故g (a )＝a ＋1a－2.∴g (a )＝⎩⎨⎧a ＋1a－2，a ∈⎣⎡⎦⎤13，12，9a ＋1a －6，a ∈⎝⎛⎦⎤12，1.(3)证明：当a ∈⎣⎡⎦⎤13，12时，g ′(a )＝1－1a 2<0， ∴函数g (a )在⎣⎡⎦⎤13，12上为减函数； 当a ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，g ′(a )＝9－1a 2>0， ∴函数g (a )在⎝⎛⎦⎤12，1上为增函数，∴当a ＝12时，g (a )取最小值，g (a )min ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝12. 故g (a )≥12.。
高三数学第一轮复习 幂函数教案 文
幂函数一、知识梳理：（阅读教材必修1第77页—第79页）1、幂函数的定义和性质（1）、一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数。
（2）、幂函数的定义依据的取值的不同而不同，在（0，上都有意义，所以对于幂函数性质的讨论，先讨论幂函数在（0，上的性质，在根据函数的奇偶性（如果函数具有奇偶性），讨论其在（0上的性质即可。
（3）、几个常见的幂函数，=，2，3，-1，-2, ，它们的图象如图：y= y= y= y=定义域奇偶性在第一象限增减性图象过定点二、题型探究[探究一]：应用幂函数的单调性比较大小及解不等式例1：（1）已知，试比较， ,的大小。
例2：比较与的大小例3：与，则的取值范围是。
[探究二]：综合应用幂函数的图象及性质例4：已知幂函数 (p)在（0，）上是增函数，且在定义域上是偶函数，求P 的值，并写出相应的函数解析式。
三、 方法提升幂函数问题主要考虑到与y= （）,y= （）, y= （）时的图象进行比较分析即可。
四、 反思感悟五、 课时作业幂函数单元测试题一.选择题(36分)1.下列函数是幂函数的是( )(A) y=2x (B) y=2x -1 (C) y=(x+1)2 (D) y=32x2.下列说法正确的是( )(A) y=x 4是幂函数,也是偶函数; (B) y=-x 3是幂函数, 也是减函数;(C) y=x 是增函数, 也是偶函数; (D) y=x 0不是偶函数.3. 下列幂函数中,定义域为R 的是( )(A) y=x -2(B) y=21x (C) y=41x (D) y=21x4.若A=2,B=33,则A 、B 的大小关系是( )(A) A>B (B) A<B (C) A 2>B 3(D) 不确定 5.下列是y=32x 的图象的是( )(A) (B) (C) (D) 6.y=x 2与y=2x的图象的交点个数是（ ）（A ）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 二．填空题（21分）7．y=(m 2-2m+2)x 2m+1是一个幂函数，则m= . 8. y=x 的单调增区间为 .y9.在函数①y=x 3②y=x 2③y=x -1④y=x 中，定义域和值域相同的是 .三．解答题（43分）10．证明：f(x)=x 在定义域内是增函数。
高三数学一轮复习精品教案3：2.7二次函数与幂函数教学设计
第7课时 二次函数与幂函数1．了解幂函数的概念． 2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 12的图象，了解它们的变化情况． 3．掌握二次函数的概念、图象特征．4．掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上的最值．5．掌握二次函数、二次方程、二次不等式之间的密切关系，提高解综合问题的能力．『梳理自测』一、幂函数1．下列函数中是幂函数的是( ) A ．y ＝2x 2 B ．y ＝1x 2C ．y ＝x 2＋xD ．y ＝－1x2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13『答案』1.B 2.A◆以上题目主要考查了以下内容：(1)形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 为自变量，α为常数． (2)五种幂函数的性质二、二次函数1．一般式：f (x )＝________________________________． 2．顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h ，k )，则其解析式为： f (x )＝______________________．3．两根式：若相应一元二次方程的两根为x 1，x 2，则其解析式为f (x )＝____________________________．4．函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈『－1，1』，则y 的最小值是( ) A ．－32 B ．3C ．－1D ．不存在5．抛物线y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，则m ＝________．6．若函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈『a ，b 』)的图象关于直线x ＝1对称，则f (x )max ＝________．『答案』1.ax 2＋bx ＋c ，(a ≠0) 2.a (x －h )2＋k 3.a (x －x 1)(x －x 2) 4.C 5.9或25 6.30 ◆以上题目主要考查了以下内容： 二次函数的图象和性质『指点迷津』1．研究二次函数的性质要注意二次项系数a的正负，及对称轴的位置，两点不应忽视．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．3．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如y＝x＋1，y＝x2－2x等都不是幂函数．考向一 幂函数图象性质及应用(1)(2014·山西太原模拟)当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是________．(2)(2014·江西临川模拟)已知幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象与x 轴、y 轴无交点且关于原点对称，则m ＝________．『审题视点』 利用幂函数图象结合指数的奇偶性解答． 『典例精讲』 (1)分别作出f (x )，g (x )，h (x )的图象，如图所示． 可知h (x )＞g (x )＞f (x )．(2)由题意知m 2－2m －3为奇数且m 2－2m －3＜0，由m 2－2m －3＜0得－1＜m ＜3，又m ∈N *，故m ＝1，2.当m ＝1时，m 2－2m －3＝1－2－3＝－4(舍去)． 当m ＝2时，m 2－2m －3＝22－2×2－3＝－3，∴m ＝2. 『答案』 (1)h (x )＞g (x )＞f (x ) (2)2『类题通法』 (1)在(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时，曲线下凸； 0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸．1．幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )『解析』选C.设幂函数y ＝x α，∴2＝4α，∴α＝12，∴y ＝x 12，图象为C.考向二 求二次函数解析式已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且它有最小值－1. (1)求f (x )解析式；(2)若g (x )与f (x )图象关于原点对称，求g (x )解析式．『审题视点』 对于(1)，可设二次函数的零点式，再结合最值求出系数a 即得；对于(2)，可通过图象上点的对应关系求g (x )解析式．『典例精讲』 (1)由于f (x )有两个零点0和－2， 所以可设f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)， 这时f (x )＝ax (x ＋2)＝a (x ＋1)2－a ， 由于f (x )有最小值－1，所以必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0－a ＝－1，解得a ＝1.因此f (x )的解析式是f (x )＝x (x ＋2)＝x 2＋2x .(2)设点P (x ，y )是函数g (x )图象上任一点，它关于原点对称的点P ′(－x ，－y )必在f (x )图象上，所以－y ＝(－x )2＋2(－x )， 即－y ＝x 2－2x ， y ＝－x 2＋2x ， 故g (x )＝－x 2＋2x .『类题通法』 求二次函数解析式的方法及思路求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：2．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间『－1，1』上，不等式f (x )＞2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 『解析』(1)由f (0)＝1得，c ＝1. ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1. 因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )＞2x ＋m 等价于x 2－x ＋1＞2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m ＞0，要使此不等式在『－1，1』上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在『－1，1』上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在『－1，1』上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1＞0，得m ＜－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．考向三 二次函数图象性质及应用函数f (x )＝x 2－2x ＋2在闭区间『t ，t ＋1』(t ∈R)上的最小值记为g (t )． (1)试写出g (t )的函数表达式； (2)作g (t )的图象并写出g (t )的最小值．『审题视点』 分类讨论t 的范围分别确定g (t )解析式． 『典例精讲』 (1)f (x )＝(x －1)2＋1. 当t ＋1≤1，即t ≤0时，g (t )＝t 2＋1.当t ＜1＜t ＋1，即0＜t ＜1时，g (t )＝f (1)＝1， 当t ≥1时，g (t )＝f (t )＝(t －1)2＋1， 综上可知g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1≤0，t ≤0，1，0＜t ＜1，t 2－2t ＋2，t ≥1.(2)g (t )的图象如图所示，可知g (t )在(－∞，0』上递减，在『1，＋∞)上递增，因此g (t )在『0，1』上取到最小值1.『类题通法』 (1)二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．(2)求二次函数最值的类型及解法①二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；②常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得．(3)二次函数单调性问题的解法结合二次函数图象的升、降对对称轴进行分析讨论求解．3．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈『－4，6』． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间『－4，6』上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．『解析』(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈『－4，6』， ∴f (x )在『－4，2』上单调递减，在『2，6』上单调递增， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在『－4，6』上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.(3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈『－6，6』，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]x 2＋2x ＋3，x ∈（0，6]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0，6』， 单调递减区间是『－6，0』．二次函数闭区间上的最值讨论(2014·安阳高三模拟)已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．『审题视点』 本题针对字母a 进行讨论，a ＝0、a ＞0，a ＜0及抛物线对称轴与区间『0，1』的位置关系．『思维流程』a ＝0，f (x )是一次函数．开口向上的抛物线的对称轴x ＝1a ∈『0，1』，x ＝1a时，取最小值． 开口向上时，对称轴x ＝1a ∈(1，＋∞)，x ＝1时，取最小值．开口向下时，对称轴x ＝1a∈(－∞，0)，x ＝1时，取最小值．总结答案．『规范解答』 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在『0，1』上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.2分(2)当a ＞0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.①当1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在『0，1』内，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上递增．∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＝－1a.6分②当1a ＞1，即0＜a ＜1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在『0，1』的右侧，∴f (x )在『0，1』上递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.8分(3)当a ＜0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a ＜0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在『0，1』上递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.10分综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a ＜1，－1a，a ≥1.12分『规范建议』 (1)函数f (x )＝ax 2－2x 中，a ∈R ，并不一定是二次函数，故本题讨论中易丢失a ＝0，a ＜0，及(2)中1a＞1的情况．(2)分清本题讨论的层次 第一层：函数类型a ＝0和a ≠0. 第二层：开口方向a ＞0和a ＜0.第三层：对称轴x ＝1a与区间『0，1』的位置关系，左、内、右．1．(2013·高考广东卷)设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R}，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R}，则M ∪N ＝( )A ．{0}B ．{0，2}C ．{－2，0}D ．{－2，0，2}『解析』选D.先确定两个集合的元素，再进行并集运算．集合M ＝{0，－2}，N ＝{0，2}，故M ∪N ＝{－2，0，2}，选D.2．(2013·高考浙江卷)已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)＞f (1)，则( ) A ．a ＞0，4a ＋b ＝0 B ．a ＜0，4a ＋b ＝0 C ．a ＞0，2a ＋b ＝0 D ．a ＜0，2a ＋b ＝0『解析』选A.根据条件可确定函数图象的开口方向和对称轴，化简即得．因为f (0)＝f (4)>f (1)，所以函数图象应开口向上，即a >0，且其对称轴为x ＝2，即－b2a ＝2，所以4a ＋b＝0，故选A.3．(2013·高考重庆卷)（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92C ．3 D.322『解析』选B.利用配方法结合函数的定义域求解． （3－a ）（a ＋6）＝－a 2－3a ＋18 ＝－⎝⎛⎭⎫a 2＋3a ＋94＋814 ＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋814， 由于－6≤a ≤3，∴当a ＝－32时，（3－a ）（a ＋6）有最大值92.4．(2012·高考江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)的值域为『0，＋∞)，若关于x 不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．『解析』f (x )＝(x ＋a 2)2＋b －a 24，∵值域为『0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝(x ＋a2)2，由f (x )＜c ，(x ＋a2)2＜c ，－a 2－c ＜x ＜－a2＋c ， ∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m －a2＋c ＝m ＋6，①②∴②－①得2c＝6，c＝9.『答案』9。
高中数学幂函数的教案
高中数学幂函数的教案
一、教学目标：
1. 理解幂函数的基本概念和特点；
2. 掌握幂函数的图像特征和性质；
3. 能够解决幂函数相关的问题。
二、教学重点：
1. 幂函数的定义和基本特点；
2. 幂函数的图像性质。
三、教学难点：
1. 幂函数的特殊情况的解决方法；
2. 幂函数的应用问题的解决。
四、教学过程：
1. 导入：通过实际生活中的例子引入幂函数的概念，引发学生的兴趣。
2. 概念讲解：介绍幂函数的定义和基本特点，解释幂函数的图像特征和性质。
3. 实例演练：通过案例分析，让学生运用所学知识解决幂函数相关的问题。
4. 拓展应用：引导学生探讨幂函数在实际问题中的应用，开拓思维。
五、课堂讨论：组织学生讨论幂函数的特殊情况和解决方法，促进学生之间的交流和思考。
六、练习测试：布置与幂函数相关的习题，检验学生对知识的掌握程度。
七、总结反思：引导学生总结本节课的重点知识，反思学习过程中的问题和感悟。
八、课后复习：提醒学生及时复习幂函数相关知识，完成作业，并准备下节课内容。
九、教学手段：采用多媒体教学、案例分析、讨论互动等方式，激发学生学习兴趣。
十、教学评估：根据学生的学习情况和表现，及时调整教学策略，确保教学效果。
十一、教学延伸：鼓励学生主动学习，拓展幂函数相关知识，提高数学思维能力。
以上是高中数学幂函数的教案范本，仅供参考。
祝教学顺利！。
2013版高考数学一轮复习精品学案：2.7幂函数
2013版高考数学一轮复习精品学案：第二章函数、导数及其应用2.7幂函数【高考新动向】一、考纲点击（1）了解幂函数的概念。
（2）结合幂函数y=x，y=x2，y=x3，1yx=，12y x=的图象，了解它们的变化情况。
二、热点提示（1）高考主要考查幂函数的概念、图象与性质，单独考查的频率较低.（2）常与函数的性质及二次函数、指数函数、对数函数等知识交汇命题.（3）题型多以选择题、填空题的形式出现，属低中档题.【考纲全景透析】1、幂函数的定义形如y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。
2、五种幂函数的图象比较注：在上图第一象限中如何确定y=x3，y=x2，y=x，12y x=，y=x-1方法：可画出x=x0；当x0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x2，y=x，12y x=，y=x-1；当0<x0<1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x-1，12y x=，y=x，y=x2，y=x3。
3、幂函数的性质比较提示：（1）由于在第四象限x>0，又因为此时0x >因此幂函数图象上的点不会在第四象限； （2）由函数的定义可知，幂函数的图象最多出现在两个象限内。
【热点难点全析】一、幂函数定义的应用 1、相关链接（1）判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：①指数为常数；②底数为自变量;③幂系数为1.（2）若一个函数为幂函数，则该函数解析式也必具有以上的三个特征. （3）几个具体函数的定义 ①正比例函数(0)y kx k =≠； ②反比例函数(0,0)ky k x x=≠≠； ③一次函数(0)y kx b k =+≠； ④二次函数2(0)y ax bx c a =++≠； ⑤幂函数y x α=（R α∈） 2、例题解析〖例1〗已知函数f(x)=(m 2-m-1)x -5m-3,m 为何值时，f(x)：(1)是幂函数；(2)是幂函数，且是(0，+∞)上的增函数； (3)是正比例函数； (4)是反比例函数.【方法诠释】利用幂函数必须满足的三个特征，构建关于m 的式子求解(1)(2)；利用正比例函数、反比例函数的定义，构建关于m 的方程，求解(3)(4).解析：(1)∵f(x)是幂函数，故m 2-m-1=1,即m 2-m-2=0, 解得m=2或m=-1.(2)若f(x)是幂函数，且又是(0,+∞)上的增函数，则,⎧--=⎨--⎩2m m 115m 30＞∴m=-1. (3)若f(x)是正比例函数， 则-5m-3=1,解得.=-4m 5此时m 2-m-1≠0,故.=-4m 5(4)若f(x)是反比例函数，则-5m-3=-1,则=-2m 5，此时m 2-m-1≠0,故.=-2m 5〖例2〗已知y=(m 2+2m-2)·211m x -+(2n-3)是幂函数，求m 、n 的值.思路解析：本题是求实数m 、n 的值，由于已知幂函数的解析式，因此在解题方法上可从幂函数的定义入手，利用方程思想解决.解答：由题意得：2222110230m m m n ⎧+-=⎪-≠⎨⎪-=⎩，解得332m n =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以3m =-，32n =。
高考数学一轮复习 第二章函数 幂函数教学案 理 新人教A版
2.7 幂函数考纲要求1．了解幂函数的概念．2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，12y x＝，y＝1x的图象，了解它们的变化情况．知识梳理：1．幂函数的定义形如______(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是______，α为____．2．五种幂函数的图象3．五种幂函数的性质1．下列函数中是幂函数的是( )．①y ＝1x2；②y ＝ax m(a ，m 为非零常数，且a ≠1)；③13y x ＝＋x 2；④y ＝x n；⑤y ＝(x －1)3；⑥y ＝2x 2；⑦y ＝x 2＋1.A ．①②③④B ．①④C ．②④⑤⑥D ．②④⑦2．幂函数f (x )＝x α(α是有理数)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则f (x )的一个单调递减区间是( )．A ．[0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．(－∞，0)3．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝12x ，h (x )＝x －2，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是__________．4．已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，33在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的定义域为__________，奇偶性为__________，单调减区间为__________．一、幂函数定义的应用【例1】已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，求当m 为何值时，f (x )：(1)是幂函数；(2)在(1)的条件下是(0，＋∞)上的增函数；(3)是正比例函数；(4)是反比例函数．方法提炼1．判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)幂系数为1.2．若一个函数为幂函数，则该函数解析式也必具有以上的三个特征．请做演练巩固提升4二、幂函数的图象与性质【例2－1】已知幂函数f (x )＝21()m m x -+(m ∈N *)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．【例2－2】已知幂函数f (x )＝(t 3－t ＋1)27325t t x +-(t ∈Z )是偶函数，求实数t 的值． 方法提炼1．幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α的正负：α＞0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸． 2．幂函数的图象不经过第四象限，幂函数的图象最多只能经过两个象限．请做演练巩固提升2忽视y ＝x 0这一特殊情况而致误【典例】已知幂函数223m m y x --＝(m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，则m 的值为__________，幂函数的解析式为__________．解析：先根据幂函数的图象与x 轴、y 轴都无公共点这一条件构建关于m 的不等式求出m 的取值范围，再根据幂函数图象关于y 轴对称，确定出m 的具体值，从而得到幂函数的解析式．因为幂函数223m m y x --＝ (m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴都无公共点，所以m 2－2m －3≤0，解得－1≤m ≤3. 又m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3.而223m m y x --＝的图象关于y 轴对称，∴m 2－2m －3为偶数．当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，为偶数；当m ＝0时，m 2－2m －3＝－3，为奇数；当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，为偶数；当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，为奇数；当m ＝3时，m 2－2m －3＝0，为偶数． 综上m ＝－1,1,3.故幂函数的解析式为y＝x－4或y＝1(x≠0)．答案：－1,1,3 y＝x－4或y＝1(x≠0)答题指导：1．在解答本题时，有两大误区：(1)本题易漏掉m2－2m－3＝0的情况，此时y＝x0(x≠0)与x轴、y轴也无交点，且关于y轴对称．(2)对函数y＝1(x≠0)忽视了注明“x≠0”而失误．2．利用幂函数的图象与性质时，还有以下几个误区，在备考中要高度关注：(1)画的图象太粗糙而致误；(2)忽视函数的定义域，产生增根；(3)将幂函数的单调性记混，造成结论错误．1．设a＝log32，b＝ln 2，125c-=，则( )．A．a＜b＜c B．b＜c＜aC．c＜a＜b D．c＜b＜a2．如图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )．A．①y＝13x，②y＝x2，③y＝12x，④y＝x－1B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝12x，④y＝x－1C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝12x，④y＝x－1D ．①y ＝13x ，②y ＝12x ，③y ＝x 2，④y ＝x －13．下图中曲线是幂函数y ＝x n在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )．A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－124．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝__________.5．设f (x )是定义在R 上以3为最小正周期的周期函数，当－1≤x ＜2时，y ＝f (x )的表达式是幂函数，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18，求函数在[3k －1,3k ＋2)(k ∈Z )上的表达式f (x )．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．y ＝x α自变量 常数3．R R R [0，＋∞) {x |x ∈R ，且x ≠0} R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ∈R ，且y ≠0} 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 增 x ∈[0，＋∞)时，增 x ∈(－∞，0)时，减 增 增 x ∈(0，＋∞)时，减 x ∈(－∞，0)时，减 (1,1)基础自测1．B 解析：根据幂函数的定义，形式上符合y ＝x α(α∈R )的函数才是幂函数，于是y ＝1x2＝x －2，y＝x n是幂函数，其余都不是．2．B 解析：∵图象过⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则14＝2α， ∴α＝－2.∴f (x )＝x －2.由y ＝x －2图象可知f (x )的单调减区间是(0，＋∞)．3．h (x )＞g (x )＞f (x ) 解析：分别作出f (x )，g (x )，h (x )在第一象限内的图象，如图所示．可知h (x )＞g (x )＞f (x )．4．(－∞，0)∪(0，＋∞) 奇函数 (－∞，0)和(0，＋∞) 解析：设f (x )＝x α(α∈R )，则⎝⎛⎭⎪⎫33α＝33， 即3223=3α-.∴－α2＝32，得α＝－3.∴f (x )＝x －3＝1x3.∴f (x )的定义域为{x |x ≠0}，且f (x )为奇函数，单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． 考点探究突破【例1】 解：(1)∵f (x )是幂函数，故m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1.(2)当m ＝－1时，f (x )＝x 2，在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝2时，f (x )＝x －13，在(0，＋∞)上不是增函数，故不符合题意． (3)若f (x )是正比例函数，则－5m －3＝1，解得m ＝－45，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－45.(4)若f (x )是反比例函数， 则－5m －3＝－1，即m ＝－25，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－25.【例2－1】 解：(1)∵m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N *)，而m 与m ＋1中必有一个为偶数， ∴m 2＋m 为偶数．∴函数f (x )＝21()m m x -+(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数． (2)∵函数经过点(2，2)，∴2＝21()2m m -+，即211()222m m -+=，∴m 2＋m ＝2， 解得m ＝1或m ＝－2.又∵m ∈N *，∴m ＝1，f (x )＝12x ， 又∵f (2－a )＞f (a －1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a ＜32.故m 的值为1，满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围为1≤a ＜32.【例2－2】 解：∵f (x )是幂函数，t ∈Z ， ∴t 3－t ＋1＝1.∴t ＝－1,1或0. 又∵函数f (x )是偶函数，∴7＋3t －2t 2是偶数． ∴t ＝1或t ＝－1. 演练巩固提升1．C 解析：∵12＜log 32＝ln 2ln 3＜ln 2，而c ＝5－12＜12，∴c ＜a ＜b .2．B 解析：可以根据图象对应寻求函数，故应选B. 3．B 4．32解析：由题意可知k ＝1， ∵22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α，∴α＝12. 故k ＋α＝32.5．解：因为当－1≤x ＜2时，y ＝f (x )的表达式是幂函数，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18， 令y ＝f (x )＝x α，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝18，所以α＝3，即f (x )＝x 3.又因为f (x )是定义在R 上以3为最小正周期的周期函数， 所以当x ∈[3k －1,3k ＋2)(k ∈Z )时，x －3k ∈[－1,2)．所以f (x )＝f (x －3k )＝(x －3k )3，即函数在[3k －1,3k ＋2)(k ∈Z )上的表达式为f (x )＝(x －3k )3.。
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2013年高考数学一轮复习精品教学案2.7 幂函数（新课标人教版，
学生版）
【考纲解读】
1．了解幂函数的概念．
2．结合函数
21
3
2,1,,,x y x
y x y x y x y =====的图象，了解它们的变化情况． 3．了解幂函数的增长特征；了解幂函数模型在社会生活中普遍使用的函数模型的广泛应用. 【考点预测】
高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:
1.幂函数是历年来高考重点内容之一,经常以选择题与填空题的形式出现,还常与二次函数等知识相联系，以考查函数知识的同时，又考查函数思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题的能力.
2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查幂函数的图象与性质,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】
1.函数---------------------------（α∈R ）叫做幂函数. 2．幂函数的图象都通过-------------------------点。
3.在幂函数y=x ，y=x 2
，y=x 3
,y =1
x
，y=1
2x 中，为奇函数的是----------------------------------------；为
偶函数的是----------------------------------------；定义域为R 的是------------------------------------------，定义域为
[)
0,+∞的是
-------------------------------------------------
；在第一象限内是增函数的是
-----------------------------------------
，是减函数的是-------------------------------------------------。
4．幂函数的性质:
一般地，当a>0时,幂函数y=x α
有下列性质:
(1)图象都通过点-----------------------,------------------------.
(2)在第一象限内,函数值随x 的增大而------------------------. (3)在第一象限内,α>1时,图象是向----------------------凸的；0<α<1时, 图象是向----------------------凸的.
(4)在第一象限内,过点(1,1)后,图象向右上方无限伸展,当α<0时,幂函数y=x α
有下列性质:
①图象都过点-------------------;
②在第一象限内,函数值随x 的增大而-----------------------,图象是向----------------------凸的； ③在第一象限内,图象向上与------------轴无限地接近,向右与--------------轴无限地接近; ④在第一象限内,过点(1,1)后,|α|越大,图象下落的速度越-------------------. 5.一般幂函数的图象
对于幂函数y=x α
,当α=1时,y=x 的图象是-------------------------------;
当α=0时,y=x 0
=1(x ≠0)的图象是--------------(不包括(0,1)点).其他一般情况的图象如 下表:
【例题精析】
考点一 幂函数的概念 例1. 已知函数f(x)=(m 2+2m-2)·2
1m m x +-,求当
m 为何值时,函数()f x 是幂函数.
【变式训练】
1.下列函数中：(1)3
1y x
=
;(2)32y x =-;(3)42y x x =+;(4)y =是幂函数的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
考点二 幂函数的图象与解析式 例2. 幂函数43
y x =的图象是（ ）
【变式训练】
2.已知幂函数()f x 的图象经过点(2,4),则()f x 的解析式为( ) A.()2f x x = B.2()f x x = C.()2x f x = D.()2f x x =+
考点三 幂函数的性质
例3. (2010年高考安徽卷文科7)设232555
322555
a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关
系是
（A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a
【变式训练】
3.1112
2
2
0.3,2.2,2.1这三个数从小到大排列为 . 【易错专区】
问题：对幂函数的定义及性质理解不透
例.下列命题中，正确命题的序号是
①当0=α时函数y x α=的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过（0，0）点; ③幂函数的图象都经过（1，1）点；④若幂函数y x α=是奇函数，则y x α=是定义域上的增函数；⑤幂函数的图象不可能出现在第四象限;⑥幂函数在第一象限内一定有图象.
【课时作业】
1.在下列函数中,定义域和值域不同的是( ) A.1
3y x
= B.12y x -
= C.53y x = D.23
y x =
2.设函数f(x)=1221(0)(0)x x x
x -⎧-≤⎪
⎨⎪>⎩,若f(x 0)>1,则x 0的取值范围是( )
A.(-1,1)
B.(-1,+∞)
C.(- ∞,-2)∪(0,+∞)
D. (- ∞,-1)∪(1,+∞)
3. （安徽省安庆市2012年3月高三第二次模拟文科）下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是( ) A 、y= －
1x
B 、y=lnx C.y=x
e D.y=x 3＋x x e e -- 4．(浙江省温州市2012年2月高三第一次适应性测试)若函数
22,0(),()1,0
x f x f a x x >⎧==⎨≤⎩则满足的实数a 的值为 .
【考题回放】
1.（2011年高考陕西卷文科4)函数13
y x =的图像是 ( )
2．(2010年高考北京卷文科6)给定函数①
1
2
y x
=，②
1
2
log(1)
y x
=+，③|1|
y x
=-，④
1
2x
y+
=，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是( ) （A）①②（B）②③（C）③④（D）①④
3.（2011年高考浙江卷文科11)设函数
4
()
1
f x
x
=
-
,若()2
f a=,则实数a=____。