2013高考数学(理)一轮复习课件：4-6
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2013届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件：10.2排列、组合应用题(第1课时)
• 4. 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 ⑤ _________，叫做从n个不同元素中取 并成一组 出m个元素的一个组合. • 5.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 ⑥ ______________，叫做从n个不同元 所有组合的个数 素中取出m个元素的组合数，记作⑦ m Cn ____ . m n n 1 n 2 n m 1 A=⑧ ____________________. n • 6. m n n 1 n 2 n m 1 C =⑨ ____________________. • 7. n m m 1 m 2 2 1
14
题型2
• • • • • • • • •
(2)方程要有实根，需Δ=b2-4ac≥0. 当c=0时，a、b可在1、3、5、7 2 中任取2个，有 A 4 个； 当c≠0时，b只能取5、7. 2 b取5时，a、c只能取1、3，有 A 2 个； b取7时，a、c可取1、3或1、5， 2 有2 A 2 个. 故有实数根的一元二次方程共有 2 2 2 A4 A2 2 A2 18 个.
A5 A4
5 4
6
• 2.若2n个学生排成一排的排法数为x，这 2n个学生排成前后两排，每排各n个学生 的排法数为y，则x、y的关系为( ) C • A. x>y B. x<y • C. x=y D. x=2y • 解：第一种排法数为 ，第二种排法数 2n A2 n 为 n n = 2 n ，从而x=y.
25
• 2.元素相邻用“捆绑法”，即将必须相邻的元 素“捆”在一起当作一个元素进行排列. • 3.元素相离用“插空法”，即把可相邻元素每 两个元素留出一个空位，将不能相邻即相离的 元素插入空位中进行排列. • 4.定序元素用“除法”，即n个元素的全排列 中若有m个元素必须按一定顺序排列，这m个 元素相邻或不相邻都可以，
2013高考数学(理)一轮复习教案：第六篇_数列第2讲_等差数列及其前n项和
第2讲 等差数列及其前n 项和泊头一中韩俊华 【2013年高考会这样考】1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题（知三求二问题，知三求一问题）．2．考查等差数列的性质、前n 项和公式及综合应用． 【复习指导】1．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n 项和公式等．2．掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法．基础梳理1．等差数列的定义（1）文字定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个叫做 等差数列的 ，通常用字母d 表示（2）符号定义： ①． ② 2．等差数列的通项公式：n a = ，变式：d = ()1n ≠或n a = ，变式：d = ()n m ≠（其中*,m n N ∈）或n a = 。
（函数的一次式） 3．等差中项如果A ＝a ＋b2A 叫做a 与b 的等差中项．4 等差数列的判定方法 ①定义法：②等差中项法： ③通项公式法： 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则 (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别的若：m ＋n ＝2p ，则(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为 的等差数列(4)在有穷等差数列中与首末两项等距离的任意两项的和相等：即： (5)等差数列的单调性：若d ＞0,则数列{a n }为 若d=0,则数列{a n }为 若d ＜0,则数列{a n }为（6）等差数列中公差d= = (7)等差数列中a n =m ,a m =n 则a m+n =(8)若数列{a n } {b n }均为等差数列，则若{c a n +kb n }仍为 ，另外数列 (9)若项数为2n ，则 ①S S -=奇偶； ②S S =偶奇； ③2n S =（用1,n n a a +表示，1,n n a a +为中间两项） (10)若项数为21n +，则 ①S S -=奇偶； ②S S =奇偶； ③21n S +=（用1n a +表示，1n a +为中间项）(11)若等差数列{n a }，{n b }的前n 项和分别为n n S T ，，则2121n n nn a S b T --=（12）.23243m m m m m m m S S S S S S S --- ，，，，为等差数列。
2013版高考数学人教A版一轮复习课件第1单元-集合与常用逻辑用语(理科)
第1讲 │ 问题思考
► 问题3 集合的运算 (1)A∩B＝A∪B的充要条件是A＝B.( (2)A∩B＝∅的充要条件是A＝B＝∅.(
) )
第1讲 │ 问题思考
[答案] (1)对；(2)错．
[解析] (1)根据韦恩图分析可知． (2)A∩B＝∅时，只要集合 A，B 没有公共元素即可，不一 定是 A＝B＝∅.
B∩A A ∅ (3)交集：A∩B＝______，A∩A＝____，A∩∅＝____， ⊆ A∩B____A，A∩B＝A⇔A⊆ B. ∅ U (4)补集：A∩(∁UA)＝____，A∪(∁UA)＝____.
（∁UA）∪（∁ (5)∁U(A∪B)＝________，∁U(A∩B)＝________. UB ） （∁UA）∩（∁UB）
集合 常用逻 辑用语 集合 常用逻 辑用语
集合的含义、运算、 基本关系 命题、充要条件、逻 辑联结词、量词
了解 理解 了解 理解 了解 理解 理解
2011江苏1 2011陕西12 2010北京20 2010安徽20
解 答 题
第一单元 │ 使用建议 使用建议
第1讲 │ 知识梳理
(4)几个常用集合的表示法 数集 自然数 正整数 集 集 整数集 有理数 集 实数集
N*或N Q R 表示法 ______ ______+ ______ ______ ______ N Z 列举法 描述法 (5)集合有三种表示法：________，________， Venn图法 ________.
第1讲 │ 问题思考
► 问题4 元素、集合的关系 (1)a {a}．( ) (2)∅∈{∅}．( ) (3){(1,2)}⊆ {1,2}．( )
第1讲 │ 问题思考
[答案] (1)错；(2)对；(3)错．
2013届高考数学一轮复习课件(理)人教A版-第23讲 正(余)弦定理
1 2 2 ＝ ×4R sinAsinB× 2 2 3π ＝ 2R sinAsin( －A) 4
2
1 2 π ＝ R [ 2sin(2A－ )＋1]． 2 4 3π π π 5π 因为 0<A< ，所以－ <2A－ < ， 4 4 4 4 π π 3π 所以当 2A－ ＝ ，即 A＝ 时，S△ABC 取最大值． 4 2 8 2＋1 2 (SR，它的内接△ABC 中，有 2R(sin2A－sin2C)＝( 2a－b)sinB，求角 C 和△ABC 面积 S△ABC 的最大值．
a b c 【解析】由正弦定理得 sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝ ， 2R 2R 2R a2 c2 b 则 2R( 2－ 2)＝( 2a－b)× ， 4R 4R 2R 即 a2－c2＝( 2a－b)b， a2＋b2－c2 2 π 3π 所以 cosC＝ ＝ ，于是 C＝ ，A＋B＝ . 2 4 4 2ab 1 所以 S△ABC＝ ab· sinC 2
π π π asin －C 2RsinAsin －C sinAsin －C 6 6 6 (3) ＝ ＝ b－c 2RsinB－2RsinC sinB－sinC 31 3 cosC－ sinC 2 2 2 ＝ π sin －C－sinC 3 3 3 cosC－ sinC 4 4 1 ＝ ＝ . 2 3 3 cosC－ sinC 2 2
1 1 3 【解析】由 S＝ bcsinA，即 3＝ ×1×c× ，所以 c＝4. 2 2 2 所以 a＝ b2＋c2－2bccos120° 1 ＝ 16＋1＋2×4×1× 2 ＝ 21. a 21 所以 2R＝ ＝ ＝2 7. sinA 3 2 a＋b＋c 2RsinA＋sinB＋sinC 所以 ＝ ＝ 2R ＝ sinA＋sinB＋sinC sinA＋sinB＋sinC 2 7.
2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第5课时 对数与对数函数
第5课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
(3)由指数函数的性质： ∵0<0.9<1，而5.1>0， ∴0<0.95.1<1，即0<m<1. 又∵5.1>1，而0.9>0，∴5.10.9>1，即n>1. 由对数函数的性质： ∵0<0.9<1，而5.1>1，∴log0.95.1<0， 即p<0.综上，p<m<n.
图所示，则a，b满足的关系是( A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1 C．0<b－1<a<1 D．0<a 1<b 1<1
－ －
第二章
第5课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
【解析】 首先由于函数φ(x)＝2x＋b－1单调递增， 可得a>1；又－1<f(0)<0，即－1<logab<0，所以a－
【解析】 设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，只需f1(x)＝(x－ 1)2在(1,2)上的图像在f2(x)＝logax的下方即可．(如图所示)
第二章
第5课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
当0<a<1时，显然不成立． 当a>1时，如图，要使在(1,2)上， f1(x)＝(x－1)2的图像在f2(x)＝logax的下方，只需 f1(2)≤f2(2)， 即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，∴1<a≤2.
第二章
第5课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
2013版高考数学人教A版一轮复习课件第6单元-不等式(理科)
第六单元 │ 使用建议
(2)从高考的客观情况看，二元一次不等式(组)所表示 的平面区域和简单的线性规划问题，是高考必考的两个知 识点，我们把探究点不是设置为简单的线性规划问题，而 是设置为目标函数的最值(这样可以涵盖线性规划和非线性 规划)，含有参数的平面区域以及生活中的优化问题，这样 在该讲就覆盖了高考考查的基本问题． (3)在各个讲次穿插了不等式的应用，但不涉及过度综 合的题目，其目的是使学生认识到不等式应用的广泛性， 不等式更多的、更综合的应用我们留在其余各讲中．
第六单元 │ 网络解读
x－a (3)简单的分式不等式 >0可以转化为一元二次不等式 x－b x－a (x－a)(x－b)>0，在解这类不等式时，如果是 >c(c≠0)，那 x－b 么应把一端化为零再进行转化．
第六单元 │ 网络解读
3．二元一次不等式(组)和简单的线性规划问题 (1)一个二元一次不等式表示一个半平面，几个二元一次不 等式组成的不等式组就表示这些半平面的交集，也就是一个平 面上的区域，要会根据特殊点的位置确定不等式表示的半平 面，正确求出不等式组表示的平面区域． (2)简单的线性规划问题有两类，一类是不含实际背景的线 性规划问题，一类是必须首先建立模型的含有实际背景的线性 规划问题，难点是后者，在解这类试题时要注意准确提炼线性 规划模型，不要忽视了必要的限制条件．
新课标·人教A版
第六单元
不等式
第六单元 │ 知识网络 知识网络
第六单元 │ 网络解读
网络解读
本单元包括不等关系与不等式、一元二次不等式、二元一 次不等式(组)表示的平面区域和简单的线性规划问题、基本不 等式． 1．不等关系和不等式，主要内容是不等式的概念、不等 式的性质、两个数式比较大小
2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第6课时 空间向量及运算
y2－y1，z2－z1)． _________________
6．向量 a 与 b 的夹角 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
Cos<a，b>＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 2 2 a2＋a2＋a2· b1＋b2＋b2 1 3 2 3
.
第八章
第6课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
高三数学（新课标版· 理）
→ 1→ 1 → → 解析 FG＝ AC＝ (BC－BA)， 2 2 → → 1 → → → ∴FG· ＝ (BC－BA)· BA BA 2 1 → → →2 1 1 1 ＝ (BC· －BA )＝ ×( －1)＝－ . BA 2 2 2 4
第八章
第6课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
第八章
第6课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
5．空间向量的直角坐标运算 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)则 ①a＋b＝ ； (a1－b1，a2－b2，a3－b3) ②a－b＝ ；
2 a1b1＋a2b2＋a3b3 ， a2＋a2＋a2 ； 3 ③a· b＝ 特殊地 a· a＝ 1 a1 ④a∥b⇔ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)或b1
|a|cos<a，e>，e 为单位向量
；
b＝0 ； ②a⊥b⇔ a·
a ③|a|2＝ a· .
第八章
第6课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
向量的数量积满足如下运算律：
b) ①(λ· b＝ λ(a· ； a)·
②a· b＝ b· a ③a· (b＋c)＝
(交换律)；
2013高考数学(理)一轮复习课件：4-7
解 在△ACD 中，已知 CD＝a，∠ACD＝60° ，∠ADC＝60° ， 所以 AC＝a.① asin 105° 3＋1 在△BCD 中，由正弦定理可得 BC＝ sin 45° ＝ 2 a.② 在△ABC 中，已经求得 AC 和 BC，又因为∠ACB＝30° ，所以 利 用 余 弦 定 理 可 以 求 得 A ， B 两 点 之 间 的 距 离 为 AB ＝ 2 AC ＋BC －2AC· cos 30° 2 a. BC· ＝
在△A1B2B1 中，由余弦定理得
2 2 B1B2＝A1B1＋A1B2－2A1B1· 1B2· 45° A cos 2
2 ＝20 ＋(10 2) －2×20×10 2× ＝200， 2
2 2
∴B1B2＝10 2. 10 2 因此，乙船的速度为 20 ×60＝30 2(海里/时)．(12 分) 利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画 出示意图，结合示意图构造三角形，然后转化为解三角形的问 题进行求解．
基础梳理 1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问 题、物理问题等．
2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方 的角叫仰角， 在水平线 下方 的角叫俯角(如图(1))．
(2)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位 角为 α(如图(2))． (3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东 30° ，北偏西 45° ，西偏东 60° 等． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．
双基自测 1．(人教 A 版教材习题改编)如图，设 A，B 两点在河的两岸， 一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离 为 50 m，∠ACB＝45° ，∠CAB＝105° 后，就可以计算出 A，B 两点的距离为( )．
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2
1 2π 即 cos A＝－2，∵0＜A＜π，∴A＝ 3 . 2π (2)由余弦定理得，a ＝b ＋c －2bccos A，A＝ ， 3
2 2 2
则 a2＝(b＋c)2－bc，又 a＝2 3，b＋c＝4， 1 有 12＝4 －bc，则 bc＝4，故 S△ABC＝ bcsin A＝ 3. 2
2
考向三 正、余弦定理的综合应用 【例 3】►在△ABC 中，内角 A，B，C 对边的边长分别是 a，b， π c，已知 c＝2，C＝3. (1)若△ABC 的面积等于 3，求 a，b； (2)若 sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC 的面积． [审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关 于 a，b 的方程，通过方程组求解；第(2)问根据 sin C＋sin(B－ A)＝2sin 2A 进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系， 求出边 a，b 的值即可解决问题．
)．
由正弦定理知：
sin A cos B . sin A＝ sin B ，∴sin B＝cos B，∴B＝45° 答案 B
3．(2011· 郑州联考)在△ABC 中，a＝ 3，b＝1，c＝2，则 A 等 于( )． B．45° C．60° D．75°
A．30° 解析
b2＋c2－a2 1＋4－3 1 由余弦定理得：cos A＝ ＝ ＝ ， 2bc 2×1×2 2
a b a 10 由正弦定理sin A＝sin B，可得sin 30° 3 ， ＝ 5 所以 a＝3.
1 3 (2)因为△ABC 的面积 S＝2ac· B，sin B＝5， sin 3 所以 ac＝3，ac＝10. 10 由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B， 8 得 4＝a ＋c －5ac＝a2＋c2－16，即 a2＋c2＝20.
(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需 直接用正弦定理代入求解即可． (2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一 边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．
π 【训练 1】 (2011· 北京)在△ABC 中，若 b＝5， ∠B＝4，tan A＝2，则 sin A＝________；a＝________. 解析 因为△ABC 中，tan A＝2，所以 A 是锐角， sin A 且cos A＝2，sin2A＋cos2A＝1， 2 5 联立解得 sin A＝ 5 ， a b 再由正弦定理得sin A＝sin B， 代入数据解得 a＝2 10. 2 5 答案 2 10 5
π π 4 3 2 3 当 cos A＝0，即 A＝ 时，B＝ ，a＝ ，b＝ ； 2 6 3 3 当 cos A≠0 时，得 sin B＝2sin A，由正弦定理，得 b＝2a. a＝2 3， a2＋b2－ab＝4， 3 联立方程组 解得 b＝2a， 4 3 b＝ 3 . 1 2 3 所以△ABC 的面积 S＝ a bsin C＝ . 2 3
a2＋c2－b2 解 (1)由余弦定理知：cos B＝ ， 2ac a2＋b2－c2 cos C＝ . 2ab cos B b 将上式代入 ＝－ 得： cos C 2a＋c a2＋c2－b2 2ab b 2ac ·2＋b2－c2＝－2a＋c， a 整理得：a2＋c2－b2＝－ac. a2＋c2－b2 －ac 1 ∴cos B＝ ＝ ＝－ . 2ac 2ac 2 2 ∵B 为三角形的内角，∴B＝ π. 3
2 (2)将 b＝ 13，a＋c＝4，B＝ π 代入 b2＝a2＋c2－2accos B，得 3 b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B，
1 ∴13＝16－2ac1－2，∴ac＝3.
1 3 3 ∴S△ABC＝ acsin B＝ 2 4 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边 进行变形是迅速解答本题的关键． (2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程 思想在解题过程中的运用．
2 2
所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40. 所以 a＋c＝2 10.
阅卷报告 4——忽视三角形中的边角条件致错 【问题诊断】 考查解三角形的题在高考中一般难度不大， 但稍 不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因 就是忽视三角形中的边角条件. 【防范措施】 解三角函数的求值问题时， 估算是一个重要步骤， 估算时应考虑三角形中的边角条件.
∵0＜A＜π，∴A＝60° . 答案 C
1 4．在△ABC 中，a＝3 2，b＝2 3，cos C＝3，则△ABC 的面 积为( A．3 3 )． B．2 3 C．4 3 D. 3
1 2 2 解析 ∵cos C＝3，0＜C＜π，∴sin C＝ 3 ， 1 ∴S△ABC＝2absin C 1 2 2 ＝2×3 2×2 3× 3 ＝4 3. 答案 C
2．余弦定理：a2＝ b2＋c2－2bccos A
2 2 c2＝a ＋b －2abcos C
，b2＝ a2＋c2－2accos B ，
b2＋c2－a2 ．余弦定理可以变形为：cos A＝ 2bc ，
a2＋c2－b2 a2＋b2－c2 cos B＝ 2ac ，cos C＝ 2ab .
1 1 1 abc 1 3．S△ABC＝2absin C＝2bcsin A＝2acsin B＝ 4R ＝2(a＋b＋c)· 是三 r(R 角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.
【示例】►(2011· 安徽)在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B， C 所对的边长，a＝ 3，b＝ 2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边 BC 上的高． 错因 忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根．
实录 由 1＋2cos(B＋C)＝0， 1 知 cos A＝2， π ∴A＝3， a b 根据正弦定理sin A＝sin B得： bsin A 2 sin B＝ a ＝ 2 ， π 3π ∴B＝4或 4 . 以下解答过程略．
解
(1)由余弦定理及已知条件，得 a2 ＋b2 －ab＝4.又因为△
1 ABC 的面积等于 3，所以 absin C＝ 3，得 ab＝4，联立方程 2
a2＋b2－ab＝4， 组 ab＝4， a＝2， 解得 b＝2.
(2)由题意，得 sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sin Acos A， 即 sin Bcos A＝2sin Acos A.
正解 ∵在△ABC 中，cos(B＋C)＝－cos A， π ∴1＋2cos(B＋C)＝1－2cos A＝0，∴A＝ . 3 a b 在△ABC 中，根据正弦定理 ＝ ， sin A sin B bsin A 2 ∴sin B＝ ＝ . a 2 π ∵a＞b，∴B＝ ， 4 5 ∴C＝π－(A＋B)＝ π. 12
第6讲 正弦定理和余弦定理
【2013年高考会这样考】 1．考查正、余弦定理的推导过程． 2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法． 【复习指导】 1．掌握正弦定理和余弦定理的推导方法． 2．通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题 过程中做到正余弦定理的优化选择．
基础梳理 a b c 1．正弦定理：sin A＝sin B＝sin C＝2R，其中 R 是三角形外接 圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (2)a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ； a b c (3)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R等形式，以解决不同的三 角形问题．
考向二 利用余弦定理解三角形 【例 2】►在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且 cos B b ＝－ . cos C 2a＋c (1)求角 B 的大小； (2)若 b＝ 13，a＋c＝4，求△ABC 的面积． cos B b [审题视点] 由cos C＝－ ，利用余弦定理转化为边的关系 2a＋c 求解．
两种途径 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角 转换．
双基自测 1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60° ，B＝75° ，a ＝10，则c等于( A．5 2 10 6 C. 3 )． B．10 2 D．5 6
a 解析 由A＋B＋C＝180° ，知C＝45° ，由正弦定理得： sin A ＝ c 10 c 10 6 sin C，即 3＝ 2.∴c＝ 3 . 2 2 答案 C
sin A cos B 2．在△ABC 中，若 a ＝ b ，则 B 的值为( A．30° 解析 B．45° C．60° D．90°
【训练 2】 (2011· 桂林模拟)已知 A，B，C 为△ABC 的三个内 A 角，其所对的边分别为 a，b，c，且 2cos ＋cos A＝0. 2
2
(1)求角 A 的值； (2)若 a＝2 3，b＋c＝4，求△ABC 的面积．
A 解 (1)由 2cos ＋cos A＝0，得 1＋cos A＋cos A＝0， 2
a b 3 2 解 由正弦定理得sin A＝sin B，sin A＝sin 45° ， 3 ∴sin A＝ . 2 ∵a＞b，∴A＝60° A＝120° 或 . 6＋ 2 bsin C 当 A＝60° 时，C＝180° －45° －60° ＝75° ，c＝ sin B ＝ 2 ； 6－ 2 bsin C 当 A＝120° C＝180° 时， －45° －120° ＝15° c＝ sin B ＝ 2 . ，
∴sin C＝sin(B＋A)＝sin Bcos A＋cos Bsin A 6＋ 2 2 1 2 3 ＝ × ＋ × ＝ . 2 2 2 2 4 6＋ 2 3＋1 ∴BC 边上的高为 bsin C＝ 2× ＝ . 4 2
【试一试】 (2011· 辽宁)△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边 分别为 a，b，c，asin Asin B＋bcos2 A＝ 2a. b (1)求a； (2)若 c2＝b2＋ 3a2，求 B. [尝试解答] (1)由正弦定理得，
1 2π 即 cos A＝－2，∵0＜A＜π，∴A＝ 3 . 2π (2)由余弦定理得，a ＝b ＋c －2bccos A，A＝ ， 3
2 2 2
则 a2＝(b＋c)2－bc，又 a＝2 3，b＋c＝4， 1 有 12＝4 －bc，则 bc＝4，故 S△ABC＝ bcsin A＝ 3. 2
2
考向三 正、余弦定理的综合应用 【例 3】►在△ABC 中，内角 A，B，C 对边的边长分别是 a，b， π c，已知 c＝2，C＝3. (1)若△ABC 的面积等于 3，求 a，b； (2)若 sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC 的面积． [审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关 于 a，b 的方程，通过方程组求解；第(2)问根据 sin C＋sin(B－ A)＝2sin 2A 进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系， 求出边 a，b 的值即可解决问题．
)．
由正弦定理知：
sin A cos B . sin A＝ sin B ，∴sin B＝cos B，∴B＝45° 答案 B
3．(2011· 郑州联考)在△ABC 中，a＝ 3，b＝1，c＝2，则 A 等 于( )． B．45° C．60° D．75°
A．30° 解析
b2＋c2－a2 1＋4－3 1 由余弦定理得：cos A＝ ＝ ＝ ， 2bc 2×1×2 2
a b a 10 由正弦定理sin A＝sin B，可得sin 30° 3 ， ＝ 5 所以 a＝3.
1 3 (2)因为△ABC 的面积 S＝2ac· B，sin B＝5， sin 3 所以 ac＝3，ac＝10. 10 由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B， 8 得 4＝a ＋c －5ac＝a2＋c2－16，即 a2＋c2＝20.
(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需 直接用正弦定理代入求解即可． (2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一 边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．
π 【训练 1】 (2011· 北京)在△ABC 中，若 b＝5， ∠B＝4，tan A＝2，则 sin A＝________；a＝________. 解析 因为△ABC 中，tan A＝2，所以 A 是锐角， sin A 且cos A＝2，sin2A＋cos2A＝1， 2 5 联立解得 sin A＝ 5 ， a b 再由正弦定理得sin A＝sin B， 代入数据解得 a＝2 10. 2 5 答案 2 10 5
π π 4 3 2 3 当 cos A＝0，即 A＝ 时，B＝ ，a＝ ，b＝ ； 2 6 3 3 当 cos A≠0 时，得 sin B＝2sin A，由正弦定理，得 b＝2a. a＝2 3， a2＋b2－ab＝4， 3 联立方程组 解得 b＝2a， 4 3 b＝ 3 . 1 2 3 所以△ABC 的面积 S＝ a bsin C＝ . 2 3
a2＋c2－b2 解 (1)由余弦定理知：cos B＝ ， 2ac a2＋b2－c2 cos C＝ . 2ab cos B b 将上式代入 ＝－ 得： cos C 2a＋c a2＋c2－b2 2ab b 2ac ·2＋b2－c2＝－2a＋c， a 整理得：a2＋c2－b2＝－ac. a2＋c2－b2 －ac 1 ∴cos B＝ ＝ ＝－ . 2ac 2ac 2 2 ∵B 为三角形的内角，∴B＝ π. 3
2 (2)将 b＝ 13，a＋c＝4，B＝ π 代入 b2＝a2＋c2－2accos B，得 3 b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B，
1 ∴13＝16－2ac1－2，∴ac＝3.
1 3 3 ∴S△ABC＝ acsin B＝ 2 4 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边 进行变形是迅速解答本题的关键． (2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程 思想在解题过程中的运用．
2 2
所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40. 所以 a＋c＝2 10.
阅卷报告 4——忽视三角形中的边角条件致错 【问题诊断】 考查解三角形的题在高考中一般难度不大， 但稍 不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因 就是忽视三角形中的边角条件. 【防范措施】 解三角函数的求值问题时， 估算是一个重要步骤， 估算时应考虑三角形中的边角条件.
∵0＜A＜π，∴A＝60° . 答案 C
1 4．在△ABC 中，a＝3 2，b＝2 3，cos C＝3，则△ABC 的面 积为( A．3 3 )． B．2 3 C．4 3 D. 3
1 2 2 解析 ∵cos C＝3，0＜C＜π，∴sin C＝ 3 ， 1 ∴S△ABC＝2absin C 1 2 2 ＝2×3 2×2 3× 3 ＝4 3. 答案 C
2．余弦定理：a2＝ b2＋c2－2bccos A
2 2 c2＝a ＋b －2abcos C
，b2＝ a2＋c2－2accos B ，
b2＋c2－a2 ．余弦定理可以变形为：cos A＝ 2bc ，
a2＋c2－b2 a2＋b2－c2 cos B＝ 2ac ，cos C＝ 2ab .
1 1 1 abc 1 3．S△ABC＝2absin C＝2bcsin A＝2acsin B＝ 4R ＝2(a＋b＋c)· 是三 r(R 角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.
【示例】►(2011· 安徽)在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B， C 所对的边长，a＝ 3，b＝ 2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边 BC 上的高． 错因 忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根．
实录 由 1＋2cos(B＋C)＝0， 1 知 cos A＝2， π ∴A＝3， a b 根据正弦定理sin A＝sin B得： bsin A 2 sin B＝ a ＝ 2 ， π 3π ∴B＝4或 4 . 以下解答过程略．
解
(1)由余弦定理及已知条件，得 a2 ＋b2 －ab＝4.又因为△
1 ABC 的面积等于 3，所以 absin C＝ 3，得 ab＝4，联立方程 2
a2＋b2－ab＝4， 组 ab＝4， a＝2， 解得 b＝2.
(2)由题意，得 sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sin Acos A， 即 sin Bcos A＝2sin Acos A.
正解 ∵在△ABC 中，cos(B＋C)＝－cos A， π ∴1＋2cos(B＋C)＝1－2cos A＝0，∴A＝ . 3 a b 在△ABC 中，根据正弦定理 ＝ ， sin A sin B bsin A 2 ∴sin B＝ ＝ . a 2 π ∵a＞b，∴B＝ ， 4 5 ∴C＝π－(A＋B)＝ π. 12
第6讲 正弦定理和余弦定理
【2013年高考会这样考】 1．考查正、余弦定理的推导过程． 2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法． 【复习指导】 1．掌握正弦定理和余弦定理的推导方法． 2．通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题 过程中做到正余弦定理的优化选择．
基础梳理 a b c 1．正弦定理：sin A＝sin B＝sin C＝2R，其中 R 是三角形外接 圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (2)a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ； a b c (3)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R等形式，以解决不同的三 角形问题．
考向二 利用余弦定理解三角形 【例 2】►在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且 cos B b ＝－ . cos C 2a＋c (1)求角 B 的大小； (2)若 b＝ 13，a＋c＝4，求△ABC 的面积． cos B b [审题视点] 由cos C＝－ ，利用余弦定理转化为边的关系 2a＋c 求解．
两种途径 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角 转换．
双基自测 1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60° ，B＝75° ，a ＝10，则c等于( A．5 2 10 6 C. 3 )． B．10 2 D．5 6
a 解析 由A＋B＋C＝180° ，知C＝45° ，由正弦定理得： sin A ＝ c 10 c 10 6 sin C，即 3＝ 2.∴c＝ 3 . 2 2 答案 C
sin A cos B 2．在△ABC 中，若 a ＝ b ，则 B 的值为( A．30° 解析 B．45° C．60° D．90°
【训练 2】 (2011· 桂林模拟)已知 A，B，C 为△ABC 的三个内 A 角，其所对的边分别为 a，b，c，且 2cos ＋cos A＝0. 2
2
(1)求角 A 的值； (2)若 a＝2 3，b＋c＝4，求△ABC 的面积．
A 解 (1)由 2cos ＋cos A＝0，得 1＋cos A＋cos A＝0， 2
a b 3 2 解 由正弦定理得sin A＝sin B，sin A＝sin 45° ， 3 ∴sin A＝ . 2 ∵a＞b，∴A＝60° A＝120° 或 . 6＋ 2 bsin C 当 A＝60° 时，C＝180° －45° －60° ＝75° ，c＝ sin B ＝ 2 ； 6－ 2 bsin C 当 A＝120° C＝180° 时， －45° －120° ＝15° c＝ sin B ＝ 2 . ，
∴sin C＝sin(B＋A)＝sin Bcos A＋cos Bsin A 6＋ 2 2 1 2 3 ＝ × ＋ × ＝ . 2 2 2 2 4 6＋ 2 3＋1 ∴BC 边上的高为 bsin C＝ 2× ＝ . 4 2
【试一试】 (2011· 辽宁)△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边 分别为 a，b，c，asin Asin B＋bcos2 A＝ 2a. b (1)求a； (2)若 c2＝b2＋ 3a2，求 B. [尝试解答] (1)由正弦定理得，