12.3角平分线的性质(1)教案
《角平分线的性质》教案
12.3 《角的平分线的性质》教案台前县吴坝镇中学李桂香一、教学背景的分析1、教学内容本节课是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的。
内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用。
作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础。
因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用。
同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律。
2、学生刚进入八年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导。
根据学生的认知特点和接受水平，我把第一课时的教学任务定为：掌握角平分线的画法及会用角平分线的性质定理解题，同时为下节判定定理的学习打好基础。
3、教学环境利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索某种数学情境，在这种情境下，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律。
4、教学重点、难点本节课的教学重点为：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。
教学难点是：1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；2、对于性质定理的运用。
教学难点突破方法：（1）利用多媒体动态显示角平分线性质的本质内容，在学生脑海中加深印象，从而对性质定理正确使用；（2）通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题；（3）通过多媒体创设具有启发性的问题情境，使学生在积极的思维状态中进行学习。
二、教学目标的确定1、知识与技能：（1）掌握用尺规作已知角的平分线的方法（2）理解角的平分线的性质并能初步运用。
2、数学思考：通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力。
3、解决问题：（1）初步了解角的平分线的性质在生产、生活中的应用。
12.3角的平分线的性质 教案
课题
授课 时间
周 星期
12.3.1 角的平分线的性质 设计教师
本节课是在学习了角平分线的概念和全等三角形的基础上进行的，是全等三角形知识的
教材 学情 分析
运用和延续.用尺规作一个角平分线，其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和 全等三角形的性质；角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边”判定方法 和全等三角形的性质.角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种重要模式—利
用角平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明相关元素相应相等.
知识与能力目标：1、会作已知角的平分线 2、了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质 3、会利用角的平分线的性质进行证明与计算 教学 过程与方法目标：在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，进一步发 目标 展学生的推理证明意识和能力. 情感态度与价值观目标：在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培 养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探究精神，增强解决问题 的信心，获得解决问题的成功体验.
检测评价，通 过有梯度的训 练，提高学生 运用角的平分 线的性质解决 问题的能力， 成功体验
3.在△ABC 中，∠C＝900，
学生先自主练习，后小 组讨论，教师巡堂指导
AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，若 BC＝8,BD＝5，则点 D 到 AB 的距离是 ______
变式：4.如图,在△ABC 中， AC⊥BC，AD 为∠BAC 的平 分线，DE⊥AB，AB＝7㎝， AC＝3㎝，求
角平分线性质：角的平 分线上的点到角的两边的距 离相等
用几何语言表示为： ∵OC 是∠AOB 的平分线, 且 PD⊥OA,PE⊥OB ∴PD=PE (角的平分线上的点到角的 两边距离相等)
12.3.1角平分线的性质(1)
用尺规作角的平分线.
A D
1
P
2
C
E B
独立作业 1
1.利用尺规作出三角形三个内角的平分线. 你发现了什么？
老师期望:
先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图.
驶向胜利 的彼岸
求BE，AE的长和△AED的周长。
A
E
D
B
C
练一练
A E
C
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D
在△ABC中，AC⊥BC，AD为
∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB
＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。
• 如图，要在Ｓ区建一全集贸市场，使它到 公路，铁路的距离相等，离公路与铁路交 叉处５００米，这个集贸市场应建于何处？
做一做
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且 BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC.
二、教学重点、难点：
1.教学重点：掌握角的平分线的性质定 理及其逆定理.
2.教学难点：角平分线定理和逆定理的 应用
如何用尺规作角的平分线？
作法：
A
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，
Ｍ
交ＯＢＮ于．
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1 ＭＮ的长为
2
半径作弧．两弧在∠AOB
Ｂ
Ｎ
Ｏ
的内部交于Ｃ．
３．作射线OC．
则射线ＯＣ即为所求．
随堂练习
1.如图，OC是∠AOB的平分线， ∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
A
D
C P·
O
E B
动脑筋
2.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB 于E，则：
人教版数学八年级上册 第十二章 12.3 角的平分线的性质 第一课时 课件(共33张PPT)
PD⊥OA，PE⊥OB，且
O
P
PD=PE
E B ∴OP是∠AOB的平分线
动脑想一想
• 我们之间就学习了三角形的角分线，之前 谈到过，三条角分线一定交于一点，不过 当时我们没有给出证明，而只是通过画图 的方法给出了印证。
• 现在我们学习了角分线的性质和判定定理， 怎样证明这个结论呢？我们先看下面的例 题。
DC=BC（已知） ∴ △ADC≌△ABC (SSS) ∴∠DAC=∠BAC（对应角相等） 即 AE平分∠BAD
动脑想一想
• 通过刚才的启发，你能想到怎样画出下面 的角的平分线吗？
A
仅用尺规作图，
已知∠AOB，
求作∠AOB的
平分线
O
B
尺规法画角平分线
A M
O
NB
以点O为圆心，任意适当长度为半径画弧，
• 对折之后的折痕和 这个角有什么关系？
• 如果是木板不能对 折，该怎么平分？
动脑想一想
• 如图是一个平分角的仪器， 其中AB=AD，BC=DC，将 点A放在角的顶点，AB和 AD沿着角的两边放下，则 AC所在直线就是这个角的 平分线。
• 你能说明这是为什么吗？
动脑想一想
证明： 在△ADC和△ABC 中 AB=AD（已知） AC=AC（公共边相等）
角分线上的点到角两边的距离相等
A D
∵OC平分∠AOB，
O
P C PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
EB
动脑想一想
• 如图，要在S区建一个 集贸中心，使它到铁路、 公路的距离相等，并且 离公路与铁路的交叉处 500m，这个集贸中心应 建在哪里？
动脑想一想
• 角分线上的点到角两边的距离相等。 • 到角的两边的距离相等的点是否也在角的
人教版初中八年级数学上册角的平分线的性质教案
12.3 角的平分线的性质(1)教学内容本节课首先介绍作一个角的平分线的方法，然后用三角形全等证明角平分线的性质定理．教学目标1．知识与技能通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理．2．过程与方法经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．3．情感、态度与价值观激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力．重点难点1．重点：领会角的平分线的两个互逆定理．2．难点：两个互逆定理的实际应用．教具准备投影仪、制作如课本图11．3─1的教具．教学方法采用“问题解决”的教学方法，让学生在实践探究中领会定理．教学过程一、创设情境，导入新课【问题探究】（投影显示）如课本图11．3─1，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？【教师活动】首先将“问题提出”，然后运用教具（如课本图11．3─1•）直观地进行讲述，提出探究的问题．【学生活动】小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”课本图11．3─1判定法，可以说明这个仪器的制作原理．【教师活动】请同学们和老师一起完成下面的作图问题．操作观察：已知：∠AOB．求法：∠AOB的平分线．作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC•即为所求（课本图11．3─2）．【学生活动】动手制图（尺规），边画图边领会，认识角平分线的定义；同时在实践操作中感知．【媒体使用】投影显示学生的“画图”．【教学形式】小组合作交流．二、随堂练习，巩固深化课本P19练习．【学生活动】动手画图，从中得到：直线CD与直线AB是互相垂直的．【探研时空】（投影显示）如课本图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？【教师活动】操作投影仪，提出问题，提问学生．【学生活动】实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB的平分线OC，第二次折叠形成的两条折痕PD、PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离，这两个距离相等．”论证如下：已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E（课本图11．3─4）求证：PD=PE．证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO和△PEO中，,,,PDO PEO AOC BOC OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PDO ≌△PEO （AAS ）∴PD=PE【归纳如下】角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【教学形式】师生互动，生生互动，合作交流．三、情境合一，优化思维【问题思索】（投影显示）如课本图11．3─5，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，•离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？【学生活动】四人小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论．从实践中可知：角平分线上的点到角的两边距离相等，将条件和结论互换：到角的两边的距离相等的点也在角的平分线． 证明如下：已知：PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E ，PD=PE ．求证：点P 在∠AOB 的平分线上．证明：经过点P 作射线OC ．∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°在Rt △PDO 和Rt △PEO 中，,,OP OP PD PE =⎧⎨=⎩∴Rt △PDO ≌Rt △P EO （HL ） ∴∠AOC=∠BOC ，∴OC 是∠AOB 的平分线．【教师活动】启发、引导学生；组织小组之间的交流、讨论；帮助“学困生”．【归纳】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【教学形式】自主、合作、交流，在教师的引导下，比较上述两个结论，弄清其条件和结论，加深认识．四、范例点击，应用所学【例】如课本图11．3─6，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P•到三边AB，BC，CA的距离相等．【思路点拨】因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写．【教师活动】操作投影仪，显示例子，分析例子，引导学生参与．证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、B C、CA，垂足为D、E、F．∴BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．∴PD=PE同理 PE=PF∴PD=PE=PF即点P到边AB、BC、CA的距离相等．【评析】在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略详细证明过程．【学生活动】参与教师分析，主动探究学习．五、随堂练习，巩固深化课本P50练习1、2．六、课堂总结，发展潜能1．学生自行小结角平分线性质及其逆定理，和它们的区别．2．说明本节例子实际上是证明三角形三条角平分线相交于一点的问题，•说明这一点是三角形的内切圆的圆心（为以后学习设伏）．七、布置作业，专题突破课本P51习题12．3第1、2、3题．板书设计把黑板分成三部分，左边部分板书概念、定理等，中间部分板书探究，右边部分板书例题，重复使用时，中间部分和右边部分板书练习题．。
人教版八年级上册12.3《角的平分线的性质》教学设计
12.3角的平分线的性质 教学设计教学目标1. 掌握利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质和判定定理；2. 掌握作已知角平分线的方法；了解证明几何命题的一般步骤和格式．3. 在探索问题的过程中体会知识间的关系，能够进行有条理地思考并进行简单的推理．4. 使学生能够利用角平分线的性质和判定定理解决相应的问题．教学重难点重点：探究角平分线的性质，能够利用其解决相关实际问题．难点：角平分线性质的推导过程．课前准备三角板、直尺、圆规、多媒体课件、几何画板教学过程问题1：在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？用量角器度量，也可用折纸的方法．[追问1] 你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法是否可行呢？[追问2] 下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD ，BC =DC ，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？师生探究，说明其中的原理(利用“边边边”)，进而得到利用尺规作角平分线的方法．教师出示作图过程：已知：∠AOB.求作：∠AOB 的平分线．作法：(1)以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N.(2) 分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部相交于点C. (3) 画射线OC.射线OC 即为所求．教师提出问题：角的平分线有哪些性质呢，请同学们与我一同来探究一下吧！【设计意图】1.创设情境，通过实践探究角平分线的作法，引起学生的探究兴趣，引出本节课的内容．2．培养学生的抽象思维能力和运用三角形全等的知识(SSS)解决问题的能力．3．从试验抽象出几何模型，明确几何作图的基本思路和方法.问题2 【探究1】如图，将∠AOB的两边对折，再折个直角三角形(以第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？你能利用所学过的知识，说明你的结论的正确性吗？[师生活动]学生活动：学生首先独立操作，然后观察操作后的图形，进行讨论，经过讨论发现，折痕DP和折痕PE与其他边有着特殊的关系：(1)PD⊥OA，PE⊥OB；(2)PD＝PE.然后寻找上述结论成立的理由：(1)由折叠过程可以得到；由(2)可以利用三角形全等的条件得到，△OPD≌△OPE，进而得到PD＝PE.教师活动：组织学生独立操作、思考，在此基础上进行讨论，鼓励学生大胆发言，并对自己的看法作出判断．最后引导学生归纳角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．【探究2】我们已经知道角平分线上的点到角两边的距离相等，那么若一个点到角两边的距离相等，这个点是否在这个角的平分线上呢？谈谈你的看法．如图，已知PD⊥OA，PE⊥OB，且PD＝PE，那么P点在∠AOB的平分线上吗？为什么？[师生活动]学生活动：学生独立思考，自主探索，利用三角形全等解决问题．考虑连接OP，由条件OP＝OP，PD＝PE，可以判断Rt△OPD≌Rt△OPE，于是得到∠DOP＝∠EOP，即OP 平分∠AOB.教师活动：引导学生对所得出的结论进行推理，在推理的过程中注重学生语言的准确性和简洁性，最后归纳：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．[练习]练习1 下列结论一定成立的是．（1）如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，D，E 分别为OA，OB 上的点，则PD =PE．（2）如图，点P 在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD =PE．（3）如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，PD⊥OA，垂足为D．若PD =3，则点P 到OB 的距离为3．[练习2] 如图，△ABC中，∠B =∠C，AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB =FC．【设计意图】1.培养学生的数学抽象概括能力及理性精神.2.通过小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论，从实践中学习知识．3．运用三角形全等的有关知识，归纳、证明角的平分线的性质与判定．通过举例，说明角的平分线的性质在生活、生产中的应用，提高学生解决问题的能力.问题3：例1要在S区建立一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，且离公路与铁路的交叉处500米．这个集贸市场应建于何处(比例尺为1∶20000)?[师生活动]学生活动：学生小组合作，在独立思考的基础上小组交流，发现若到公路、铁路的距离相等，则集贸市场一定在上述角的平分线上，于是可以用尺规作出角平分线，然后根据比例尺画出集贸市场所在地即可．教师活动：组织学生思考、讨论、交流，引导学生发现集贸市场所在地应在角平分线上这个结论．例2如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA 的距离相等．[思路点拨]因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写．[变式]△ABC的面积是24 cm2，它的三条内角平分线的交点到AB的距离为3 cm，则△ABC的周长为________．【设计意图】1.利用所学的数学知识解决生活中的问题，加强数学与生活的联系，体验数学是描述现实世界的重要手段．2．教师注意提醒学生：在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略详细证明过程.问题4：探究交流：你能找到OP＝OP′的条件吗？已知点C是∠AOB平分线上一点，点P，P′分别在OA，OB上，如果要得到OP＝OP′，需要添加下列条件中的某一个即可．请写出所有可能的条件的序号________．①∠OCP＝∠OCP′；②∠OPC＝∠OP′C；③PC＝P′C；④PP′⊥OC；⑤CP⊥OA且CP′⊥OB.[解析] 这是一道角平分线的性质与三角形全等知识的综合题，可通过是否具备全等，是否具备角平分线性质中的条件来加以判断．①如果∠OCP＝∠OCP′，又因为∠POC＝∠P′OC，OC＝OC，可证△POC≌△P′OC(ASA)，得到OP＝OP′；②如果∠OPC＝∠OP′C，因为∠POC＝∠P′OC，OC＝OC，可证△POC≌△P′OC(AAS)，得到OP＝OP′；④如果PP′⊥OC，设PP′交OC于D，因为∠ODP＝∠ODP′，∠POC＝∠P′OC，OD＝OD，可证△POD≌△P′OD(ASA)，得到OP＝OP′；⑤如果CP⊥OA且CP′⊥OB，因为∠POC＝∠P′OC，所以CP＝CP′.又因为OC＝OC，可证△POC≌△P′OC(HL)，得到OP＝OP′；③如果PC＝P′C，因为∠POC＝∠P′OC，OC＝OC，这样三个条件不能证明三角形全等，当CP不垂直于OA时，以C为圆心，CP为半径画弧与OP有两个交点，其中的一个交点使△OP′C≌△OPC不成立．所以正确答案为①②④⑤.【设计意图】1.巩固本节课所学知识及提升综合应用所学知识解决问题的能力．2．培养学生的归纳概括能力及分析问题、思考问题的探究能力.问题5：课堂小结：(1)学生自行小结角平分线性质及其判定定理和它们的区别．(2)说明本节例子实际上是证明三角形三条角平分线相交于一点的问题，说明这一点是三角形的内切圆的圆心(为以后学习设伏)．布置作业：布置作业：课本P51中的习题12.3.【设计意图】课堂小结，发展潜能；布置作业，专题突破.问题6 知识网络：【设计意图】框架图式总结，更容易形成知识网络.第二课时教学目标1.探索并证明角平分线性质定理的逆定理.2.会用角平分线性质定理的逆定理解决问题．3.培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验．教学重难点重点：角平分线性质定理的逆定理．难点：角平分线的性质的探究.课前准备多媒体课件教学过程问题1：（1）交换角的平分线性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．[追问]你能证明这个结论的正确性吗？证明略[练习]判断题：（1）如图，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB；（）（2）如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则OQ是∠AOB 的平分线；（）（3）已知：Q 到OA 的距离等于2 cm，且Q 到OB 距离等于2 cm，则Q 在∠AOB 的平分线上．（）（2）在S 区建一个广告牌P，使它到两条公路的距离相等．a.这个广告牌P 应建于何处？这样的广告牌可建多少个？b.若这个广告牌P 离两条公路交叉处500 m（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000），这个广告牌应建于何处？C.如图，点P是△ABC的两条角平分线BM，CN 的交点，点P 在∠BAC的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？证明：过点P作PD,PE,PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为D，E，F．∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,∴PD=PE,同理PE=PF∴PD=PE=PF即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.【设计意图】通过一步一步深入探究，由易到难理解新知识.问题2 如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两条公路和一条铁路的距离都相等．这个广告牌P 应建在何处？[变式1] 如图，△ABC 的一个外角的平分线BM 与∠BAC的平分线 AN 相交于点P，求证：点 P 在△ABC另一个外角的平分线上．[变式2] 如图，P 点是△ABC的两个外角平分线 BM，CN 的交点，求证：点 P 在∠BAC 的平分线上．[变式3] 如图，将问题3中“S 区”去掉，广告牌P到两条公路和一条铁路的距离相等．这个广告牌P 应建在何处？【设计意图】通过实际问题的探究，使所学的知识得到熟练的应用；通过不断深入的变式，使学生掌握知识的核心.问题3：课堂小结：（1）本节课学习了哪些内容？（2）本节课的结论与角平分线的性质定理的区别和联系是什么？（3）应用本节课的结论时，常作的辅助线是什么？布置作业：教科书习题12.3第3、7题．【设计意图】课堂小结，发展潜能；布置作业，专题突破.。
角的平分线的性质人教版数学八年级上册教案
角的平分线的性质人教版数学八年级上册教案角平分线是指从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全一样的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。
以下是我整理的角的平分线的心质人教版数学八年级上册教案，欢送大家借鉴与参考!12.3角的平分线的性质教案一、创设情景，明确目标1.不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么方法?2.假如前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢?二、自主学习，指向目标学习至此：请完成《学生用书》相应局部.用尺规作确定角的平分线的方法活动一：教材P48思索展示点评：相等的边有哪些?图形中隐含的条件是什么?作确定角的平分线的方法?为什么要用“大于MN的一半为半径画弧”?小组探讨：平分角的仪器的原理依据是什么?反思小结：理论依据是三角形全等的判定“SSS”.针对训练：见《学生用书》相应局部角平分线的性质与证明活动二：同学们结合折纸活动，猜测一下角平分线有怎样的性质呢?猜测：角平分线上的点到角的两边的距离相等.展示点评：请同学们证明上述猜测(写出确定、求证)：通过证明我们得出角平分线性质：________.用数学语言翻译描述上述性质：小组探讨：第一次对折可以得到什么结论?其次次为什么要折出一个直角?角平分线的性质内容?确定和求证分别是什么?如何证明?如何用几何语言表达?根本图形是什么?反思小结：角平分线上的点到角两边的距离相等.针对训练：见《学生用书》相应局部角平分线的运用活动三：如图，OC平分∠AOB，点P为OC上随意一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，猜测PD与PE 的数量关系，并证明.展示点评：由角平分线可以得到哪些角相等?由垂直可以得到哪些角相等?由图形可挖掘什么条件?由三角形全等可以得到什么结论?如何写证明过程?小组探讨：此题有哪些不同的证明方法，哪种方法更简便?反思小结：用角平分线的性质证明线段相等比用全等三角形证明线段相等更便利.针对训练：见《学生用书》相应局部四、总结梳理，内化目标本节课学习了那些学问?有哪些运用?1.角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等.2.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等的新途径.五、达标检测，反思目标1.三角形中，到三边距离相等的点是( C )A.三条高线交点B.三条中线交点C.三条角平分线交点D.三边垂直平分线交点12.3角平分线的性质：测试一、填空题(每题3分，共30分)1.到一个角的两边距离相等的点都在_________.2.∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5 cm，那么M到OB的距离为_________.3.如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，那么∠DOC=_________.12.3角的平分线的性质：精选练习7.确定Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，假设BC=32，且BD：CD=9：7，那么D到AB边的距离为( )A.18B.16C.14D. 128.如图6，AE⊥BC于E，CA为∠BAE的角平分线，AD=AE，连结CD，那么以下结论不正确的选项是( )A.CD=CEB.∠AC D= ∠ACEC.∠CDA =90°D.∠BCD=∠ACD9.在△ABC中，∠B=∠ACB，CD是∠ACB的角平分线，确定∠ADC=105°，那么∠A的度数为( )A.40°B.36°C.70°D.60°10.在以下结论中，不正确的选项是( )A.平面内到角的两边的距离相等的点必须在角平分线上B.角平分线上任一点到角的两边的距离必须相等C.一个角只有一条角平分线D.角的平分线有时是直线，有时是线段角的平分线的性质人教版数学八年级上册教案。
角平分线的性质的教学设计
12.3 角的平分线的性质《角的平分线的性质》教学设计一、内容和内容解析（一）内容角的平分线的性质．（二）内容解析本节课是在学习了角平分线的概念和全等三角形的基础上进行的，是全等三角形知识的运用和延续．用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质；角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边”判定方法和全等三角形的性质．角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种重要模式──利用角平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明相关元素相应相等．角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征，也是证明两条线段相等的常用方法．数学问题中涉及角的平分线时，就相当于已知一对线段（角的平分线上的点到角的两边的垂线段）相等．角的平分线的性质的研究过程为以后学习线段垂直平分线的性质提供了思路和方法．因此它既是对前面所学知识的应用，又是为后续学习作铺垫，具有举足轻重的作用．因此本节课在教材中占有非常重要的地位．基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索并证明角的平分线的性质．二、目标和目标解析（一）目标1．会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性．2．探索并证明角的平分线的性质．3．能用角的平分线的性质解决简单问题．（二）目标解析达成目标1的标志是：学生明确尺规作图的基本要求，知道用尺规作角的平分线的方法与原理，能在教师的引导下用尺规作出一个已知角的平分线．达成目标2的标志是：学生能在教师的引导下通过观察、测量等方法，发现角的平分线的性质，能准确表述性质的内容，能正确地写出已知、求证，能运用三角形全等的“AAS”判定方法和全等三角形的性质证明角的平分线的性质．达成目标3的标志是：学生能利用角的平分线的性质构造全等三角形，证明与线段相等有关的简单问题．三、教学问题诊断分析本节课的学习中，学生在分清角的平分线的性质的条件和结论，并进行严格的逻辑证明的过程中常常感到困难．例如，在用符号语言表述性质的条件和结论时，不知“距离”应为“条件”还是“结论”．其主要原因是角的平分线的性质是以文字命题的形式给出的，其条件和结论具有一定的隐蔽性．教学时，教师要引导学生分析性质中的条件和结论（必要时可让学生将性质改写成“如果……那么……”的形式），找出结论中的隐含条件（垂直），正确写出已知和求证，并归纳出证明几何命题的一般步骤．基于以上分析，本节课的教学难点是：证明以文字命题形式给出的角的平分线的性质．四、教学过程设计（一）创设情景，提出问题如图是小明制作的风筝，AB=AD，BC=DC．不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分线，你知道其中的道理吗？师生活动：学生根据三角形全等的知识口述其中的道理，从而引入新课．（二）合作探究，形成知识问题1：在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？师生活动：学生可能用量角器，也可能用折纸的方法动手操作，然后回答问题．追问1：你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法是否可行呢？师生活动：学生分析并回答──利用量角器比较方便，但是有误差；利用折叠的方法比较简捷，但是只限于可以折叠的材质，若在木板、钢板等材料上操作，此方法就不可行了．追问2：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A 放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，射线AE就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？师生活动：教师启发学生将实际问题抽象为数学模型，并运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理．追问3：从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？师生活动：师生分别在黑板和练习本上利用直尺和圆规作∠AOB的平分线．教师与学生共同归纳，得出利用尺规作角的平分线的具本方法．如果学生没有思路，教师可作如下提示：1．在用平分角的仪器画角的平分线时，把仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等（AB=CD），怎样在作图中体现这个过程呢？2．在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？追问4：你能说明为什么射线OC是∠AOB的平分线吗？。
12.3角的平分线的性质说课稿
12.3角的平分线的性质说课稿一、说教材12.3角的平分线的性质是初中数学教学中的一个重要内容，它位于平面几何的学习单元中。
本节内容不仅在几何学中具有举足轻重的地位，而且在培养学生逻辑推理能力和空间观念方面起着关键作用。
角的平分线概念的引入，是学生对角进行深入理解和操作的开端，为后续学习相似三角形、圆等相关知识打下坚实的基础。
本文主要内容包括：角的平分线的定义、角的平分线的性质及其证明、以及通过实际例子来展示如何应用这一性质解决实际问题。
具体来说：（1）角的平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线。
（2）角的平分线性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（3）性质的证明：通过严谨的几何推理，让学生理解并掌握角的平分线性质的证明过程。
（4）应用举例：将性质应用于实际问题的解决中，如构造等腰三角形、解决角度问题等。
二、说教学目标学习本课，学生应达到以下教学目标：1. 知识技能目标：- 掌握角的平分线的定义，并能够准确地画出角的平分线。
- 理解并记忆角的平分线的性质，能够进行简单的应用。
- 学会通过逻辑推理证明角的平分线性质，增强几何证明能力。
2. 过程与方法目标：- 通过直观演示和动手操作，培养学生的空间观念和动手能力。
- 通过合作交流，提高学生的团队协作能力和问题解决能力。
3. 情感态度与价值观目标：- 激发学生学习几何的兴趣，培养严谨的学习态度。
- 引导学生体会数学的对称美，增强对数学学科的好奇心和探索欲。
三、说教学重难点本节课的重点是使学生掌握角的平分线的定义和性质，能够运用这些知识解决实际问题。
难点在于角的平分线性质的证明过程，这要求学生有较强的逻辑思维能力和几何直观。
1. 教学重点：- 角的平分线的定义。
- 角的平分线的性质。
2. 教学难点：- 角的平分线性质的推理和证明。
- 学生在实际问题中灵活运用性质的能力。
四、说教法在教学12.3角的平分线的性质时，我计划采用以下几种教学方法，旨在提高学生的理解和应用能力，同时突出我的教学特色：1. 启发法：- 我将通过提出引导性问题，激发学生的思考，例如：“如何准确地定义一个角的平分线？”或“为什么角的平分线上的点到角的两边的距离相等？”- 利用生活实例或几何模型，引发学生对角的平分线性质的探究，从而加深理解。
角的平分线的性质
12.3角的平分线的性质（第一课时）教案设计吉林省桦甸市白山九年一贯制学校张智慧一教学课题教材版本：人教版教学年级：八年数学上册二教学目标1.会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性。
2.探索并证明角的平分线的性质；能用角的平分线的性质解决简单问题。
3.在探索证明角的平分线的性质的过程中，发展几何直观，推理论证能力，激发学生兴趣。
.三重点、难点、关键重点：探索并证明角的平分线的性质。
难点：证明以文字命题形式给出的角的平分线的性质。
关键：引导学生分析命题中的条件和结论，找出隐含条件。
四学习者特征分析我教的这届学生是农村中学的，在小学时就基础较差，接受知识较困难，由于前一个月又换了多个教师教，所以全等三角形的有关知识学生掌握的并不好，出现全等条件乱用，方法乱用的现象。
这对于本节课的学习很不利，因为课堂上反映迟缓，如果课堂内容多了，时间会不够用，所以我把本节课的容量适当缩小了一部分，即练习环节中的习题少练一些，留在下节课继续巩固练习。
五文本教材与信息技术整合点分析本节的复习环节、作角的平分线、证明角的平分线的性质、概括证明几何命题的一般步骤、课堂练习、当堂检测环节我借助了课件演示，主要为了节省时间，并形象的展示了几何图形，便于学生思考观察；同时我借助了课件，形象生动的演示了教材中用平分角的仪器平分角的过程，便于学生理解，为寻求角平分线的作法，奠定了基础。
六教学方法和教学策略分析角的平分线的作法是利用了平分角的仪器模型想到的，所以要渗透类比的思想进行引导；角平分线的性质的证明是文字命题的证明，对学生来说很难，其条件和结论具有一定的隐蔽性，所以需要教师引导，通过提问，帮助学生找出命题中的条件和结论。
因为学生素质较差，所以整堂课结合课件以启发、提问的形式进行，并进行当堂训练，了解学生掌握的情况，课堂上有时需师生合作共同总结，练习、证明部分由学生独立完成，巩固提高。
七教学环境和教学资源准备本节课利用大屏幕展示课件，课件采用flash格式。
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承德县第二中学2015-2016八年级上数学教案
课题：
12.3 角的平分线的性质（1）
课型 新授 初备时间：_9_月_3_日 集体备课时间： _9_月_9__日 主备人 李广余
签批人 宋广丹 授课时间 ____月____日 第____周第_____节 总_____节
教学目标：1、掌握角的平分线的性质定理； 2、能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题. 教学重点：角平分线的作法、性质及应用
教学难点：角平分线定理的应用
【每日一练】 1、六边形的外角和是 ； 2、正多边形的一个内角为144°，则该多边形是 边形； 3、 已知n边形的外角和与内角和的比是2:7，则n= ； 一、自主探究 1、如图一，AB＝AD，BC＝DC， 沿着A、C画一条射线AE，AE就是∠BAD的角平分线，你知道为什么吗 2、如图二，已知∠AOB，用尺规作图的方法作出∠AOB的角平分线OC，不写出作法，但保留作图痕迹。 讨论:为什么要用大于21MN的长为半径画弧？ 3、OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点， 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表： PD PE 第一次 第二次 第三次 观察测量结果,猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论
4、如图：∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB垂足分别为D,E.求证：PD=PE
归纳：通过以上探索和证明，我们得出了角平分线的性质是：
用数学语言来表述角的平分线的性质定理：
如右上图，∵ ∴
二、练习
1、如图,在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，
AB＝7㎝，AC＝3㎝，则BE的长为 ；
2、如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
求证：CF=EB
三、课堂小结
四、当堂检测
如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,
垂足分别为E、F，求证:EB=FC
O
A
B
图一
图二