3 平行线的判定
平行线与平行线的性质及判定方法
平行线与平行线的性质及判定方法平行线是指在同一平面内永远不会相交的两条直线。
在数学中，平行线有着许多独特的性质和判定方法，对于几何学的研究和实际应用都具有重要意义。
一、平行线的性质1. 平行线上的两个点到另一直线的距离相等：如果两条直线L₁和L₂平行，那么这两条线上的任意两个点A和B到第三条直线L的距离都是相等的。
2. 平行线的内角和为180度：当一条直线与两条平行线相交时，两对内角之和是180度。
这可以通过数学证明得出。
3. 平行线的外角相等：当两条平行线被一条横截线相交时，这两条平行线的对应外角是相等的。
4. 平行线的平行线仍然平行：如果两条直线L₁和L₂平行，而L₃与L₁平行，那么L₃也与L₂平行。
二、平行线的判定方法1. 直角判定法：如果两条直线上的任意一对相邻内角之一是直角，那么这两条直线是平行线。
这种判定方法是由两条直线的垂直性质推导出来的。
2. 三角形内角和判定法：如果一条直线与一条平行线相交，那么直线上的一对内角与平行线上的一对内角之和为180度时，这两条直线是平行线。
3. 平行线定理：如果两条直线分别与第三条直线相交，并且两对同位角分别相等，那么这两条直线是平行线。
这个定理也被称为同位角定理。
4. 夹角判定法：如果两条直线分别与第三条直线相交，而且同位角相等或互补，则这两条直线是平行线。
5. 平行线公理（欧几里德公理）：如果直线上的一点和直线外一点，有且只有一条通过这两个点的平行线。
这个公理是建立在欧几里德几何的基础上的。
以上是常见的一些关于平行线性质的说明和判定方法，通过这些性质和方法，我们可以在几何学中更好地理解和应用平行线。
在实际生活中，平行线也有着广泛的应用，例如建筑设计、道路规划、制图等领域都需要运用到平行线的概念和性质。
总结：在数学中，平行线是指在同一平面内永远不会相交的两条直线。
平行线有许多独特的性质，如平行线上的两个点到另一直线的距离相等、平行线的内角和为180度等等。
平行线的性质与判定
平行线的性质与判定平行线作为几何学中的基本概念，在我们日常生活和学习中都有着广泛的应用。
本文将探讨平行线的性质以及判定方法，帮助读者更好地理解和应用平行线的知识。
一、平行线的性质平行线具有以下几个重要性质：1. 线与平面平行性质：如果一条直线上的两个点在一个平面内，且这条直线与这个平面内的某一直线平行，那么这条直线也与这个平面内的其他所有直线平行。
2. 平行线的交角性质：平行线与一条横切线相交时，所形成的对应角相等。
换句话说，平行线与横切线所形成的内角与外角互补。
3. 平行线的距离性质：平行线之间的任意两条线段之间的距离相等。
这意味着平行线可以通过测量两线段之间的距离来验证是否平行。
二、平行线的判定方法在几何学中，判定两条线是否平行有多种方法，下面将介绍其中常用的几种方法：1. 没有公共点的线平行：如果两条直线在平面上没有任何一个公共点，那么这两条直线是平行线。
2. 平行线的夹角关系判定：如果两条直线分别与第三条直线相交，并且两组对应角都是相等的，那么这两条直线是平行线。
3. 平行线的斜率判定：两条直线的斜率相等时，它们是平行线。
数学公式表达为：如果直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，且k1=k2，则L1与L2平行。
4. 平行线的倾斜角判定：如果两条直线的倾斜角相等，那么它们是平行线。
倾斜角是直线与坐标轴正方向的夹角。
三、实际应用平行线的性质和判定方法在日常生活和学习中有着广泛的应用。
以下列举几个实际应用的例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，平行线的性质被广泛应用于绘制图纸、测量墙壁与地板之间的距离等方面。
建筑师通过合理运用平行线的性质和判定方法来确保建筑物的结构稳定和美观。
2. 道路规划：道路规划中的平行线应用主要体现在车道的规划上。
为了保证交通的有序与安全，道路规划者通常使用平行线判定车道的宽度和方向，确保车辆行驶的流畅和安全。
3. 地理测量：地理测量学中的平行线性质和判定方法被广泛应用于测量地球表面上的距离、面积和方位等。
七年级-人教版-数学-下册-第3课时-平行线的判定的应用
类型三、平行线判定的实际应用 7．如图，在海上有两个观测所 A 和 B，且观测所 B 在 A 的正
东方向．若在观测所 A 测得船 M 的航行方向是北偏东 55°，在观 测所 B 测得船 N 的航行方向也是北偏东 55°，问：船 M 的航向 AM 与船 N 的航向 BN 是否平行？请说明理由．
北 E北F MN
C
M
N
D
E
F
类型二、平行线判定中辅助线的应用 5．如图，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，
∠E＝10°，试判断 AB 与 EF 的位置关系，并说明理由．
根据“内错角相等，两直线平行”知，AB∥CM，EF∥DN，
又∵∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，
∴∠DCM＝20°，∠CDN＝20°，
第3课时 平行线的判 定的应用
平行线的判定方法有哪些？ 1．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 2．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相 平行． 3．同位角相等，两直线平行． 4．内错角相等，两直线平行． 5．同旁内角互补，两直线平行． 6．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
类型三、平行线判定的实际应用 解析：汽车行驶的方向不变，即汽车拐弯前与两次拐弯后的行
驶方向所在的直线互相平行．如图，先右转后左转的两个角是同位 角，根据同位角相等，两直线平行，可知选项 D 正确．
汽车行驶方向
A
B
C
D
归纳
解答此类问题的关键在于先画出示意图，准确 地找到拐角，将实际问题转化为数学问题，再利用 平行线的几种判定方法进行判定．
关系．
分析：本题要判断 AB 与 CD 的位置关系， 由图可判断是平行关系，关键是通过作辅助线
平行线与垂直线的判定
平行线与垂直线的判定平行线和垂直线是几何学中重要的概念，对于建筑、工程和其他领域的测量和设计都具有重要的作用。
判定两条线是否平行或垂直，可以通过不同的方法和几何性质来实现。
本文将介绍常用的判断平行线和垂直线的方法。
一、平行线的判定方法平行线是指在同一个平面内永远不会相交的两条线。
以下是常见的判定平行线的方法：1. 通过线段的斜率给定两条线段AB和CD，如果AB的斜率等于CD的斜率，那么AB和CD是平行线。
可以通过计算线段的斜率来判定它们是否平行。
线段的斜率可以通过计算两个点的纵坐标差与横坐标差的比值得出。
2. 利用平行线的性质如果两条线段AB和CD之间有一条第三条线段EF与AB、CD相交，且EF与AB的夹角等于EF与CD的夹角，那么AB和CD是平行线。
这是因为平行线之间的夹角都是相等的。
3. 利用平行线的转角性质如果两组直线，其中一组直线的两条直线分别与另一组直线的两条直线转角相等，那么这两组直线是平行的。
二、垂直线的判定方法垂直线是指在同一个平面内相交时，交点的角度为90度的两条线段。
以下是常见的判定垂直线的方法：1. 通过线段的斜率给定两条线段AB和CD，如果AB和CD的斜率互为倒数，即斜率之积为-1，那么AB和CD是垂直线。
这是因为互为倒数的斜率的直线之间的夹角为90度。
2. 利用垂直线的性质如果两条线段AB和CD相交，且它们的夹角等于90度，那么AB 和CD是垂直线。
垂直线的性质是两条直线相交时夹角为90度。
3. 利用垂直线的转角性质如果两组直线，其中一组直线的两条直线分别与另一组直线的两条直线转角互补，即转角之和为90度，那么这两组直线是垂直的。
总结：判定平行线和垂直线的方法虽然会根据具体情况有所变化，但以上所述的方法是最常见和实用的。
通过计算线段的斜率、利用平行线或垂直线的性质以及转角性质，我们可以准确地判定平行线和垂直线。
在实际应用中，掌握这些判定方法对于几何问题的解决非常重要。
无论是在数学学习中还是实际应用中，理解和掌握平行线和垂直线的判定方法都是必要的。
平行线判定的六种方法
平行线的判定方法6：
垂直于同一条直线的两条直线平行。 几何书写： ∵b⊥a且c⊥a
∴b∥c（垂直于同一条
直线的 两条直线平行。）
二．学会分析，应用方法
问题3 如图，当∠1=∠2时,AB 与CD平行吗？ 为什么？ 答： AB∥CD . 1 A B 理由如下： 3 ∵ ∠1=∠2， C D 2 又∵ ∠2=∠3 ， ∴ ∠1=∠3 . F ∵∠1和∠3是同位角， ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）.
2.已知直线l1,l2被l3所截，1=45º ，2=135º ， 判断l1 与 l2 是否平行，并说明理由。 解： l1 // l2 理由如下： 由已知，得2+3=180º ， 2=135º
3=180º -2 =180º -135º =45 º
l3 2 1 l1
又∵ 1=45º ，
D A 2 1 E F 3 C B
二．学会分析，应用方法
问题2 在同一平面内，如果两条直线都垂 直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？ 为什么？ 已知条件： 直线b与直线c都垂直于 直线a.
要说明的结论： 直线b与直线c平行。
二．学会分析，应用方法
已知：b⊥a且c⊥a 说明：b∥c吗？ 答：b∥c 理由如下： ∵ b⊥a， 2 1 ∴ ∠1= 90°. 同理∠2= 90°. 你还能用其他方 ∴ ∠1=∠2. 法说明理由吗？ ∵ ∠1和∠2是同位角， ∴ b∥c（同位角相等，两直线平行）.
D A 2 1 E F C 3 B
一．梳理旧知，归纳方法源自（2）结合图形回答问题： ②如果∠1=∠3，能判定哪两条直线平行？ 为什么？ 答： DE∥FB.根据同位角相等，两直线平 行．
D A 2 1 E F 3 C B
一．梳理旧知，归纳方法
平行线的判定
平行线的判定
在几何中，在同一平面内，永不相交也永不重合的两条直线叫做平行线。
平行线的定义包括三个基本特征：一是在同一平面内，二是两条直线，三是不相交。
平行线的判定方法如下：
1、同位角相等，两直线平行；
2、内错角相等，两直线平行；
3、同旁内角互补，两直线平行；
4、两条直线平行于第三条直线时，两条直线平行；
5、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行；
6、在同一平面内，平行于同一直线的两条直线互相平行；
7、同一平面内永不相交的两直线互相平行。
平行线的判定3原创初中数学课件
理由是__同__旁__内__角__互__补__，__两__直__线__平__行__.
A
（4）从∠5=∠_A__B_C__，可以推出AB∥CD， 1
B
2
理由是_同__位__角__相__等___，__两__直__线__平__行________.
D 3
4
5 C
课堂小结
判定两条直线平行的方法
文字叙述
符号语言
线平行
∴a∥b
图形
c
1
a
3
4 2
b
理由是___内__错__角__相__等__，__两__直__线__平__行__.
1
B
2
（2）从∠___2___=∠___3___，可以推出AD∥BC，
理由是__内__错__角__相__等__，__两__直__线__平__行__.
D 3
4
5 C
4.如图：
（3）从∠ABC +∠__B_C_D__=180°，可以推出AB∥CD ，
_同___位__角___ 相 等 ， 两 直 ∵∠___1_=_∠___2__（已知），
线平行
∴a∥b
_内___错__角___ 相 等 ， 两 直 ∵_∠___3_=_∠___2__（已知），
线平行
∴a∥b
_同__旁___内__角__互补，两直 ∵_∠___2_+_∠___4_=_1_8__0_°_，
图示
两条直线被第三条
c
同位角相等， 直线所截，如果同 a
两直线平行 位角相等，那么这 b
1
两条直线平行符号Βιβλιοθήκη 言∵∠1=∠2， ∴a∥b
思考： 两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和 同旁内角，由同位角相等可以判定两直线平行.
平行线的性质与判定方法
平行线的性质与判定方法平行线是几何学中的重要概念，它们具有一些独特的性质和判定方法。
本文将详细介绍平行线的性质和判定方法。
1. 性质一：不相交的平行线在任意平面上不会相交。
两条平行线永远保持相同的距离，无论它们延长到多远。
2. 性质二：平行线具有相同的斜率。
两条平行线的斜率都相等，这是判定平行线的一个重要性质。
3. 性质三：互补角相等。
如果两条平行线被一条横截线切割，那么同位角是互补角，即它们的和等于180度。
4. 性质四：内错角相等。
当两条平行线被一条横截线所穿过时，内错角是相等的。
根据以上性质，我们可以推导出一些平行线的判定方法。
下面我们将重点介绍三种常见的判定方法。
1. 通过线段的平行判定：如果两个线段的对应边平行且长度相等，那么这两个线段所在直线就是平行线。
这个方法利用了平行线的性质一。
2. 通过角的平行判定：如果两个角的对应边平行且对应角相等，那么这两个角所在的直线就是平行线。
这个方法利用了平行线的性质二和性质三。
3. 通过垂直判定：如果两条线段互相垂直，并且其中一条线段与第三条线段平行，那么第三条线段也与另一条垂直线段平行。
这个方法利用了平行线的性质二和性质四。
除了这些常见的判定方法，还有其他一些特殊情况下的判定方法。
例如，当两条直线被一条平行于它们的直线所切割时，如果同位角相等，那么这两条直线就是平行线。
在实际应用中，平行线的性质和判定方法在解决几何问题和证明几何定理时起着重要的作用。
它们帮助我们确定直线的相对位置，并应用于建筑、工程、地理测量等领域。
总结起来，平行线具有不相交、斜率相同、互补角相等和内错角相等等性质。
通过线段的平行判定、角的平行判定和垂直判定等方法可以确定平行线的存在。
这些性质和判定方法在几何学中具有重要的应用价值。
《平行线的判定定理》课件
平行线的同旁内角互补定理
总结词
同旁内角互补是判断两直线平行的关键条件。
详细描述
当两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行。具体来 说，如果同旁内角之和等于180度，则这两条直线平行。
平行线的内错角相等定理
总结词
内错角相等是判断两直线平行的又一 重要条件。
详细描述
当两条直线被第三条直线所截，如果 内错角相等，则这两条直线平行。具 体来说，如果内错角相等，则这两条 直线平行。
平行线表示方法
用“//”表示两条直线平行。
平行线性质符号表示
同位角相等（∠1=∠2），内错角相等（∠3=∠4），同旁内角互补（ ∠5+∠6=180°）。
平行线的性质
平行线的性质
同位角相等、内错角相等、同旁内角 互补。
平行线性质的应用
证明两直线平行、计算角度大小、解 决几何问题。
02
平行线的判定定理
键之一。
04
练习题与解析
基础练习题
01
基础练习题1：题目1 、2、3
02
基础练习题2：题目4 、5、6
03
基础练习题3：题目7 、8、9
进阶练习题
1 2
3
进阶练习题1
题目10、11、12
进阶练习题2
题目13、14、15
进阶练习题3
题目16、17、18
综合练习题
综合练习题1 综合练习题2 综合练习题3
题。
角的度量与计算
02
介绍角的度量单位和方法，以及如何进行角的计算。
复习与巩固
03
对本单元所学知识进行复习巩固，强化学生对平行线和相交线
知识的掌握。
THANKS
平行线与垂直线的判定
平行线与垂直线的判定在几何学中，平行线和垂直线是基本的概念。
它们在解决几何问题时具有重要的作用。
在本文中，我们将探讨如何判断两条线是否平行或垂直，并介绍几种常用的方法。
一、平行线的判定1. 通过斜率判断我们知道，直线的斜率是通过直线上两个点的纵坐标差除以横坐标差得到的。
如果两条直线的斜率相等，那么它们就是平行线。
设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，如果k1=k2，则l1和l2为平行线。
2. 通过角度判断另一种判定平行线的方法是通过角度判断。
如果两条直线的倾斜角度相等，那么它们就是平行线。
可以通过绘制两条直线并测量它们的角度来判断是否平行。
3. 通过向量判断平行线还可以通过向量判断。
如果两条直线的方向向量平行，则它们是平行线。
设直线l1的方向向量为v1，直线l2的方向向量为v2，如果v1与v2平行，则l1和l2为平行线。
二、垂直线的判定1. 通过斜率判断垂直线的一个特点是，两条直线的斜率的乘积等于-1。
设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，如果k1*k2=-1，则l1和l2为垂直线。
2. 通过角度判断另一种判定垂直线的方法是，如果两条直线的倾斜角度之和等于90度或π/2弧度，那么它们是垂直线。
可以通过绘制两条直线并测量它们的角度来判断是否垂直。
3. 通过向量判断垂直线也可以通过向量判断。
如果两条直线的方向向量垂直，则它们是垂直线。
设直线l1的方向向量为v1，直线l2的方向向量为v2，如果v1与v2垂直，则l1和l2为垂直线。
总结判定平行线和垂直线的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择合适的方法。
通过斜率、角度或向量判断都是常用的方法，而且它们互相印证，可以增加结果的准确性。
在几何学问题中，正确判断平行线和垂直线的关系对于解题至关重要，希望本文的讨论能为读者提供一些帮助。
注意：以上所介绍的方法仅适用于直线。
对于曲线或其他特殊情况，判定平行线和垂直线的方法可能略有不同。
在实际问题中，应根据实际情况选择合适的方法进行判断。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
线互相平行.
寻求真理的只能是独自探索的人，和那些并不真 心热爱真理的人毫不相干。 ——帕斯捷尔纳克
已知：∠1和∠2是直线a、b被直 线c截出的内错角，且∠1=∠2． 求证：a∥b
c a
b
1
2
已给的公理,定义和 定理以后都可以作为 依据,用来证明新的
命题.
公理:
平行线的判定方法
a b
2 1
同位角相等,两直线平行.
∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.
c
判定定理:
c a
1 2
内错角相等,两直线平行.
∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.
b
a
判定定理:
c
1 2
同旁内角互补,两直线平行.b
∵∠1+∠2=180°, ∴ a∥b.
议一议
据说,人类知识的75%是在操作中学到的.
小明用下面的方法作出平行线，你能说 明其中的道理吗？
读一读
蜜蜂的本领
达尔文曾经说过：“蜜蜂巢房的精 巧构造十分符合需要，如果一个人看到 巢房而不倍加赞扬，那他一定是个糊涂 虫.”这些小小的动物，它们用蜂蜡一
钝角都等于109°28′，而其锐角都等
于70°32′。
• 法国物理学家列奥缪拉由这个有趣的
发现得到一个启示：蜂房的这一特殊 形状，可能是为了保证得到同样大的
容积而所用材料最省.多么令人惊奇，
小小的蜜蜂在人类有史以前就已经解
决了的问题，十八世纪的数学家竟要
用高等数学才能解决！
随堂练习
数学就在我们身边！
∠DAB或∠PCD=∠BAC或∠BAC+∠ACD=180°等.
答案：答案不唯一，如∠CDA=∠DAB
你今天的收获是什么？
平行线的判定方法
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行
线．
同位角相等，两直线平行 . ——— 内错角相等，两直线平行. 同旁内角互补，两直线平行.
公理
两条直线都和第三条直线平行，则这两条直
简述成：同位角相等，两直线平行.
•你认为“两条直线被第 三条直线所截，如果同 旁内角互补，那么这两 条直线平行”这个命题 正确吗？说明理由.
已知：如图，∠1和∠2是直线a、b被 直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互 c 补.
a
求证：a∥b
1
2
b
•你认为“两条直线被 第三条直线所截，如 果内错角相等，那么 这两条直线平行”这 个命题正确吗？说明 理由.
复习回顾
•请你完成定理 “同角的补角 相等”的证明.
证明一个命题的一般步骤：
• (1)弄清题设和结论；
• (2)根据题意画出相应的图形； • (3)根据题设和结论写出已知,求证； • (4)分析证明思路,写出证明过程.7.3平行线的判定
公理
两条直线被第三条直线所截，
如果同位角相等，那么这两条直线 平行.
D
)
2.如图，直线AB，CD与EF相交于G，H，下列条件：
①∠1=∠2； ②∠3=∠6；
③∠2=∠8； ④∠5+∠8=180°， 其中能判定AB∥CD的是(B ) A.①③ C.①③④ B.①②④ D.②③④
3.（铜仁²中考）如图，请填写一个你认 为恰当的条件______，使AB∥CD.
【解析】此题答案不唯一，填写的条件可以是∠CDA=
昼夜可以造出几千间巢房,而且每间的
体积几乎都是0.25 cm3，壁厚都精确地
保持在0.073±0.002 mm范围内.
• 如果你仔细进行观察就会发现，每个
巢房从正面看去都是正六边形（每个
角都是120°），而它的尖顶形成的底
部则都是由三个完全相同的菱形拼接
而成的.十八世纪初，法国学者马拉尔 其经过测量发现，所有的底部菱形的
蜂房的底部由三个全等的四边
形围成,每个四边形的形状如 图所示,其中∠α=109°28′,
β
β ∠β=70°32′.
试确定这三个四边形的形状, 并说明你的理由.
1.(潜江²中考）对于图中标记的各角，下列条件能够 推理得到a∥b的是( A.∠1=∠2 B.∠2=∠4 C.∠3=∠4 D.∠1+∠4=180° 【解析】选D.∠1的对顶角与∠4是同旁内角，若∠1+ ∠4=180°，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到 a∥b.