8.1两点间距离公式及中点坐标公式
8.1.1两点间的距离和中点坐标公式解析[优质ppt]
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x
A1（x1,0)
A2（x2,0)
P 1 P 2x2x12y2y 12
我们将向量 P1P2 的模，叫做点 P1 、 P2 之间的距离，记作
动 脑
P1 P 2 ，则
思 考
|P 1 P 2 | P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2
由两点间的距离公式得，A、B两点间的距离为
A Bx2x12y2y12
2(3)2512
61
【例2】已知：点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0) 求证：三角形ABC是等腰三角形。
证明：因为 d(A,B)= 312422 8
d(A,C)= d(C,B)=
x
O A(0,0) B(a,0)
中点公式
如图所示．设 P是 A(x1，y1)，B(x2，y2) 的中点，怎样求 点P的坐标？
y
设点P的坐标是（x,y），
B( x2, y2 ) 则
P
A( x1, y1 )
AP(xx1, yy1), AB(x2 x1, y2 y1)
O
x AP1AB,所以
识
典
xD(22 )01 ， yD1 232．
型
例
故 |A D |(11)2(20)222,
题 即BC边上的中线AD的长度为2 2 ．
8．1 两点间的距离与线段中点的坐标
【例4】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标
A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。
B2D b2a2c2
A2 C B2 D 4 a 2 2 b 2 2 c 2 4 a,b 2(2a2b2c22a)b,
A2 B A2D 2 a 2 b 2 c2 2 a,b
8.1两点间距离及中点公式
年级：高一科目：数学课型：新授执笔：高一数学备课组学习内容：§8.1两点间距离公式及中点公式（两课时）时间：15年4月教学目标：1. 了解平面直角坐标系中的距离公式和中点公式的推导过程．2. 掌握平面直角坐标系中的距离公式和中点公式，并能熟练应用这两个公式解决有关问题．3. 培养学生勇于发现、勇于探索的精神以及合作交流等良好品质．教学重点：平面直角坐标系中的距离公式、中点公式．教学难点：距离公式与中点公式的应用．教学方法：问题解决法、分组教学法、练习法。
教学过程：一、探究引入：【探究1】已知点A（-1，3），B（3，-2），C（6，-1），D（2，4）.求证：四边形ABCD是平行四边形.（1）如图8-1所示：求点A(3，4)到原点的距离.(2)已知点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，求两点间的距离.①当y1=y2时②当x1=x2时③其他情况时归纳：【探究2】设线段AB的两个端点分别是A(x1,y1)，B(x2,y2)，点C为线段AB的中点，求点C的坐标(x,y).归纳：2、试用向量推导这两个公式。
二、例题讲解：例1：求平面上两点A(-1,2)，B(3,-3)之间的距离及线段AB的中点坐标.例2 ：如图8-2所示，已知△ABC的顶点分别为A（0，0），B（7，2）,C(-1,4),求此三角形的中线AD的长度.例3：已知点A（3，-4），B（1，-2），求点A关于点B的对称点C的坐标.例4：已知平行四边形ABCD中，A（-3,0）,B（0,4）,D（4,0），求顶点C的坐标。
三、练习：1、已知点A（0,3），B（0，–3），则A、B两点间的距离为。
2、已知点M（4，–4），N（8,10），则线段MN的长为。
3、已知点A（a，–5），B（0,10），│AB│=17，则a=4、已知A（0,6），B点在x轴上，若│AB│=6，则点B的坐标是5、已知点A（4，–3），B（–2，–5），则线段AB的中点坐标为6、已知点P（–3,4）是线段MN的中点，且M（1，m），N（n，–2），则m+n=7、求一点关于另一点的对称点.①A（-1，2），B（-2，5）;②C（3，-1），D（-4，5）.8、已知点A（-1,3），关于点P的对称点为A’（-5,-3）,求P的坐标。
8.1 两点间距离公式与线段中点公式
8.1.2 线段中点公式
重点分析：
本节课的重点是线段中点的坐标公式的运用．中点坐标公式是解析几何的基本公式，应要求学生理解和掌握这个公式，并能熟练应用．教材采用“观察”、“试一试”的方式.讲授时可结合图形给予验证，但讲解的重点应放在公式的应用上．本节课主要通过坐标计算，即代数的手段．即几何问题用代数方法解决，要突出“解析法”，进行数学思维培养．
突破重点的方法：
本节利用数形结合的方法推导出已知线段两个端点的坐标，求线段的中点的坐标的公式．线段AB的中点M又可称为A，B两点的对称中心．所以，求线段AB的中点M，又可说成求A，B的两点的对称中心．比如会求点P关于点Q的对称点B的坐标．在应用中点坐标公式时，要强调公式的特点，让学生清楚中点坐标是对应坐标之和的一半. 要充分结合图形进行讲解，让学生体会到用解析法求四分点的思想及优点．。
中点公式和距离公式
8． 1
两点间的距离与线段中点的坐标
巩 固 知 识 典 型 例 题
例1 解
求A（−3，1）、B（2，−5）两点间的距离． A、B两点间的距离为
| AB | (3 2)2 1 (5) 61．
2
第1题图
8． 1
两点间的距离与线段中点的坐标
运 用 知 识 强 化 练 习
，、 B(3， 在平面直角坐标系内，描出点 A(11) 4) ．
故 | AD | (1 1)2 (2 0)2 2 2, 即BC边上的中线AD的长度为 2 2．
8． 1
两点间的距离与线段中点的坐标
1．已知点 A(2,3) 和点 B (8, 3)，求线段AB中点的坐标．
运 用 知 识 强 化 练 习
5,0 .
2．已知ABC 的三个顶点为 A(2, 2)、B(4,6)、C (3, 2)， 求AB边上的中线CD的长度．
作业
继 续 探 索 活 动 探 究
读书部分：阅读教材相关章节 书面作业：教材习题8.1 A（必做） 教材习题8.1 B（选做） 实践调查：编写一道关于求线段
中点坐标的问题并求解．
8． 1 两点间的距离与线段中点的坐标
学习效果
自 我 反 思 目 标 检 测
学习行为
学习方法
8． 1
两点间的距离与线段中点的坐标
已知点 M (0, 2)，N (2, 2)， 求线段MN的长度，并写出线段
自 我 反 思 目 标 检 测
MN的中点P的坐标．
MN 2； P 1， 2 ．
8． 1
两点间的距离与线段中点的坐标
并计算两点之间的距离．
5.
8． 1
两点间的距离与线段中点的坐标
8.1两点距离公式和中点公式
；
给出两点的距离d．
例1 已知 A(8，10)，B(12，22) ，求线段 AB 的长度． 解： 因为 x1＝8，x2＝12，y1＝10，y2＝22， 所以 dx＝x2－x1＝12－8＝4， dy＝y2－y1＝22－10＝12． 因此
2 2 | AB | d x dy (4)2 122 4 10．
B(2，－2)，C(5，2)，求顶点 D 的坐标． 解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同， 所以它们的坐标也相同．
设点 D 的坐标为 (x，y) ，则
x 2 3 5 2 2 1 y2 02 1 2 2
解得
x 0 y 4
所以顶点 D 的坐标为 (0，4) ．
设点 A(x1，y1)，B(x2，y2) ，则
| AB | ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2．
A(x2 ，y2)
O x
求两点之间的距离的计算步骤：
S1 给两点的坐标赋值： x1＝？，y1＝？，x2＝？，y2＝？
S2 计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即
dx＝x2－x1，dy＝y2－y1； S3 S4
8.1两点间距离公式和中点公式
1.数轴上的距离公式
一般地，如果 A(x1)，B(x2) ，则这两点的距离公式为 |AB|＝|x2－x1|．
2.数轴上的中点公式
一般地，在数轴上，A(x1)，B(x2) 的中点坐标 x 满足关系式
x1 x2 ． x= 2
P 64
平面上两点间的距离公式点O对称的两点：(x,y)与(-x,-y) 关于x轴对称的两点：(x,y)与(x,-y) 关于y轴对称的两点：(x,y)与(-x,y)
8.1 两点间的距离和中点坐标公式-
(6 1)2 17 5213Leabharlann 动手试一试 P36页的练一练
1A10,6, A20,2 2B13,7, B21,4
基础题:请你动手画一画！
在平面直角坐标系中，描出下列各点：
A（1，1）、B（3，4） 、C（5，7），
并计算每两点间的距离．.y 7
.C
6.
B是AC的中点，那么
.
5
4.
.B
3.
问 它们之间的坐标有什
题
么关系呢？
.2 .
1 . . A. . . . . . . o 1 23 4 5 6 7 8x
动脑思考 探索新知
一般地，设 P1(x1, y1) 、P2 (x2 , y2 ) 为平面内任意两点， 则线段P1P2中点P0 (x0 , y0 ) 的坐标为
Y
临在平海面市直到角涌坐泉标镇系下的求
直点A线到距点离B的是距多离少？
A
B
O
X
复习
1、在x轴上两点的距离公式
-3
3
A
0
B
AB 3 3 6
复习
一般地，在X轴上两点的距离公式
xA
xB
A
0
B
AB xB xA
复习
2、请同学们思考：在y轴上两点的距离 公式为：
AB yB yA
3、平行于x轴或y轴的两点间的距离
巩固知识 典型例题
| P1P2 | (x2 x1)2 (y2 y1)2
例1 求A（2， −5 ）、B（5，−1）两点间的距离．
解：由两点间的距离公式得，A、B两点间的距离为
AB x2 x12 y2 y12 (5 2)2 1 52
两点间距离公式和中点公式word版本
求两点之间的距离：
（1）A（6，2），B（－2，5）； （2）C（2，－4），D（7，2）．
如图所示．设 P(x，y) 是 P1(x1，y1) ，P2(x2，y2) 的中点．
y
P P1
O
(1)向量P1P和向量PP2方向是否相同？
P2
(2) 向量P1P和向量 PP2的模的大小 关系如何？
x (3) 向量P1P和向量PP2是相等向量吗？
y
P2
如何求两点之间的距
离P1P2？
P1
O
x
平面上两点间的距离公式
y
P1(x1，y1) O
P2(x2，y2)
设点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) ，则
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2．
x
例1 已知 M(8，10)，N(12，22) ，求 线段MN的长 度．
例2 已知 ΔABC的顶点分别为A(2，6)，B( 4，3) ， C(1,0)，求ΔABC三条边的长 ．
2、已知平行四边形ABCD的四个顶点为A（-3,0）， B(3,0)，C（6，-4），D（0,4）, 求： （1）边BC的长； （2）平行四边形ABCD的对角线中点的坐标.
1．直角坐标系中两点间的距离公式． 设点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) ，则
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2．
2．直角坐标系中两点的中点公式．
在坐标平面内，两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
的中点 P(x，y) 的坐标之间满足： x x1 x2 ， y y1 y2 ．
2
2
中点坐标公式
在坐标平面内，两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 的中点 P(x，y) 的坐标之间满足：
[中学教育]8.1两点间距离公式与线段中点的坐标
【课题】8．1 两点间的距离与线段中点的坐标
【教学目标】
知识目标：
掌握两点间的距离公式与中点坐标公式；
能力目标：
用“数形结合”的方法，介绍两个公式．培养学生解决问题的能力与计算能力．
【教学重点】
两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用
【教学难点】
两点间的距离公式的理解
【教学设计】
两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何的基本公式，教材采用“知识回顾”的方式给出这两个公式．讲授时可结合刚学过的向量的坐标和向量的模的定义讲解，但讲解的重点应放在公式的应用上．
例1是巩固性练习题．题目中，两个点的坐标既有正数，又有负数．讲授时，要强调两点间的距离公式的特点特别是坐标为负数的情况．
例2是中点公式的知识巩固题目．通过连续使用公式（8.2），强化学生对公式的理解与运用．
例3是本节两个公式的综合性题目，是知识的简单综合应用．要突出“解析法”，进行数学思维培养．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
=
61
图8－2
【教师教学后记】。
§8.1两点间的距离公式和中点公式
设点 A(x1，y1)，B(x2，y2) ， 分别过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，
两线交于点C，点C坐标为(x2, y1)， 则|AC|=|x2–x1|, |BC|=|y2–y1|, y B(x2, y2)
还能怎样 说明？
从而，AB两点间的距离为 A(x1 , y1) C ( x2 , y1 ) O x
两点间的中点公式
问 AP PB ？
y
AP ( x x1 , y y1 ), PB ( x2 x, y2 y), x1 x2 x x x1 x2 x 2 y y1 y2 y y y1 y2 B(x2, y2) 2
AB 5 , BC 5 2 , AC 29
平面上两点间的距离公式 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2) ，
AB ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2
2
x1 x2 y y2 ,y 1 2 2 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2) ， 点 P(x，y)是AB的中点， x
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
已知点A(1, 2)，B(3,5)，求线段AB的长度. 解：根据平面内两点间的距离公式，有
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
(3 1) 2 [5 (2)]2
53
若P(3,4), Q(2, 1)，求 PQ .
1 已知△ABC三个顶点分别为A( , 2)，B(3, 4)，C (2, 6)， 2 求BC 边上的中线AD的长.
解：设点BC边上的中点D坐标为( x, y)， 根据中点坐标公式
3 2 1 46 x , y 5, 2 2 2 1 所以线段AB的中点D的坐标为( ,5). 2 1 1 2 AD ( ) (5 2)2 10. 2 2
§8-1两点间距离公式及中点公式(2)
章节
§8-1 中点公式
___月___日第___周星期___ 课型
新授
教时
1
1. 知识目标：掌握中点公式； 2. 能力目标：能借助“数形结合”的方法，培养学生解决问题的能
教学目的
力并提高其计算能力； 3. 情感目标：通过学生自主的探索活动，获得新知识，让学生感受 到成功的喜悦，从中培养67 三、小结 中点公式 小结 四、布置作业 1. P68 习题 1.2.6. 2. 复习与预习
2
x1 x2 x 2 y y 1 y2 2
教法、学法
回答
提出问题 思考
讲解推导 理解记忆
典型例题 例 3 P66 解题思路：直接运用中点公式。 例 4 P66 解题思路： 本题可以画图， 帮助学生从数形结合方面理解题意。 提问提示 例 5 P66 解题思路：本题可以画图，帮助学生从数形结合方面理解题 意。 思考交流 P67 求中线的长的问题，有一定的综合性，注意在数形结合中启 发学生。
教学重点
中点公式
教学难点
中点公式和距离公式的综合运用
教具及准备工作
收集教学资料，了解学生预习情况
授课主要内容及板书设计
§8.1 中点公式 1.中点公式
x1 x2 x 2 y y 1 y2 2
例
练习
教学札记
1
教学过程与内容
一、复习 两点间距离公式 提问 二、新授 探究 P65 通过对上一章知识的回顾，引导学生思考中点坐标公式。 1. 中点公式 已知平面内两点 P1 (x1,y1), P2 (x2,y2)，P(x,y)为线段 P1 P2 的 中点，则
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2、讲解例题（15分钟）
3、练习及讲评（20分钟）
4、本次课小结（5分钟）
课后记
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
在平面直角坐标系中，任何一点 都可以用有序实数对 表示，我们把 叫做点 的坐标，记做 。那么如果给出了两个点的坐标，我们如何计算这两点间的距离和确定这两个点的中点位置呢？
教学重点
求两点间距离及求线段的中点坐标教学Biblioteka 点两点间距离公式及中点坐标公式
课型
新授课
教学方法
启发式教学
教具
直尺或三角板
教学内容及教学过程(含时间分配)（90分）
第一课时（45分钟）
1、导入（5分钟）
2、介绍定义（5分钟）
3、讲解例题（15分钟）
4、练习及讲解（15分钟）
5、本节课小结（5分钟）
第二课时（45分钟）
广西机电工程学校教案
本课题共3页
课题
8.1两点间距离公式及中点坐标公式
授课顺序
第1周
授课班级
数媒101班
目的及要求
1、掌握两点间距离公式及中点坐标公式
2、培养学生的数形结合思想、分类讨论的思想及公式应用能力。
3、通过创设问题情景和多媒体教学，让学生在参与中感受和体验数学美，激发学生的学习兴趣和求知欲望。
生:上黑板做练习
师：点评
师：介绍公式
师：分析例子
生：边听边记公式
生：上黑板做练习
师：讲评并教学生记忆公式
理解公式为求距离准备
巩固所学知识，学以致用
掌握公式为求线段中点坐标准备
巩固所学知识，学以致用
小
结
两点间距离公式和中点坐标公式
师生合作．
梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．
作
业
练习
巩固拓展．
例2求下列两点的线段的中点坐标
（1）
解：（1）根据中点坐标公式得：
，
（2）
解：（2）根据中点坐标公式得
，
8.跟踪练习 练一练
9.点评
10.例3 已知 ，求三角形 中 边上的中线长.
解：设 是 边上的中点，根据中点坐标公式
即点 的坐标是
再由两点间距离公式，得
师:分析给出公式
生:思考回答
师:讲解例题
生:听解并掌握公式
师：复习提问
生:自由回答
复习旧知识为学习新知识准备
新
课
新
课
1、一般地，如果 轴上的两点 与 的坐标分别 ，那么 与 的距离为
2.平面直角坐标系内任意两点 间的距离公式：
想一想：
两点距离公式表示为 可以吗？
3例题分析
例1计算 两点间距离.
解：
4.巩固练习 练一练
5.点评
6.中点坐标公式： ，
7.例题分析