两圆相切--浙教版
[14502337]【核心素养目标】2
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浙教版九年级下册数学2.1 直线和圆的位置关系（1）教学设计课题 2.1 直线和圆的位置关系（1）单元第2单元学科数学年级九教材分析本节课是浙教版九年级下册数学第二章第一节的内容，圆的教学在平面几何中乃至整个中学教学都占有重要的地位，而直线和圆的位置关系的应用又比较广泛，它是初中几何的综合运用，又是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，为后面的圆与圆的位置关系作铺垫的一节课，在今后的解题及几何证明中，将起到重要的作用.核心素养分析在解决问题中，教师创设情境导入新课，以观察素材入手，一轮红日从海平面升起的图片，提出问题，让学生结合学过的知识，把它们抽象出几何图形，再表示出来。
让学生感受到实际生活中，存在的直线和圆的三种位置关系，便于学生用运动的观点观察圆与直线的位置关系，有利于学生把实际的问题抽象成数学模型，也便于学生观察直线和圆的公共点的变化。
学习目标1.理解直线与圆有三种位置关系，并能利用公共点的个数，圆心到直线的距离与半径之间的关系来判定它们.2.掌握直线与圆相切的判断方法和如何作出直线与圆相切，并能利用公共点的个数和圆心到直线的距离与半径之间的关系来判定.重点理解直线和圆的三种位置关系——相交、相切、相离。
难点能够利用圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系，判断直线与圆的位置关系。
教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课同学们坐过火车吗？你知道火车的车轮与铁轨之间是什么位置关系吗？很多人都喜欢去泰山看日出，你知道太阳出来的时候和地平线有什么位置关系吗？学生观看图片，思考问题。
激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。
讲授新课在观察日出过程中，如果我们把太阳与地平线分别抽象成圆和直线，那么我们就会发现直线与圆有三种位置关系。
如果把太阳看成圆，地平线看成一条直线，你能画出这三种位置关系吗？如果把太阳看成圆，地平线看成一条直线，你能画出这三种位置关系吗？一般地，当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交；当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点；当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。
关于浙教版九年级数学知识点
关于浙教版九年级数学知识点学问点是学问、理论、道理、思想等的相对独立的最小单元。
以下是为大家整理的关于浙教版九年级数学学问点【三篇】,欢迎品鉴!【篇1】浙教版九年级数学学问点①平行四边形的对边相等;②平行四边形的对角相等;③平行四边形的对角线相互平分。
矩形的性质①矩形具有平行四边形的一切性质;②矩形的四个角都是直角;③矩形的对角线相等.正方形的判定与性质1.判定方法：(1)邻边相等的矩形;(2)邻边垂直的菱形;(3)对角线垂直的矩形;(4)对角线相等的菱形;2.性质：(1)边：四边相等，对边平行;(2)角：四个角都相等都是直角，邻角互补;(3)对角线相互平分、垂直、相等，且每长对角线平分一组内角。
【篇2】浙教版九年级数学学问点1、圆的对称性(1)圆是图形，它的对称轴是直径所在的直线。
(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
(3)圆是对称图形。
2、垂径定理。
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
(2)推论：平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
(1)同弧所对的圆周角相等。
(2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙O的半径为r，OP=d。
7、(1)过两点的圆的圆心肯定在两点间连线段的中垂线上。
(2)不在同始终线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。
(直角的外心就是斜边的中点。
)8、直线与圆的位置关系。
d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径。
直线与圆有两个交点，直线与圆相交;直线与圆只有一个交点，直线与圆相切;直线与圆没有交点，直线与圆相离。
9、中，A(x1，y1)、B(x2，y2)。
浙教版九年级数学提纲
浙教版九年级数学提纲数学是让许多同学头疼的科目，许多人都怕数学，不知道怎么才能学好数学，你知道数学提纲怎么写吗?下面是我为大家整理的浙教版九年级数学提纲，假如喜爱，欢送共享给你身边的挚友!浙教版九年级数学提纲1、圆的有关概念：(1)、确定一个圆的要素是圆心和半径。
(2)①连结圆上随意两点的线段叫做弦。
②经过圆心的弦叫做直径。
③圆上随意两点间的局部叫做圆弧，简称弧。
④小于半圆周的圆弧叫做劣弧。
⑤大于半圆周的圆弧叫做优弧。
⑥在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧。
⑦顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫圆周角。
⑧经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，外心是三角形各边中垂线的交点;直角三角形外接圆半径等于斜边的一半。
⑨与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点。
2、圆的有关性质(1)定理在同圆或等圆中，假如圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。
(2)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
(3)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。
推论1在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90。
90的圆周角所对的弦是圆的直径。
浙教版九年级下册数学《6.6弦切角》PPT课件
⊙O于C 、AD⊥CD，延长AD
交BC延长线于E。
求证：
B O
1.AB=AE
A
2.BC=CE
1
C2
D
E
变式已3、知：AB是直径、E是 ⊙O外一点，ED⊥AB于D， EC切⊙O于C，连结BC交DE 于F。
求证：
B
D
CE=E F
3
O
F
1
A
2
E
C
思考题:、如图；已知BE、CF
是△ABC两条高，O是外心，
90° 120° 270°
180°
猜想:弦切角的度数等于它所夹的弧度 数的__一_半_____
证明:分三种情况
(1)圆心O在∠BAC的边AC上
∵AB切圆O于A ,AC是直径 ∴ ∠BAC＝90 °
∵ AmC是半圆
∴ AmC= 180°
1 ∴ ∠BAC＝ AmCm 2
C
m O
A
B
(2)圆心0在∠BAC的内部
A
E B
O F
D
C
顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角。
弦切角定理: 弦切角的度数等于它所
夹的弧度数的一半
推论: 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
一般情况下，弦切角、圆周角、圆心角都是通过它们夹的（或对的）
小 时常添线 同一条弧（或等弧）联系起来，因此，当已知有切线 结 构建弦切角或添切点处的半径应用切线的性质
圆中的∠BAC和∠BOC分别是 什么角？与所对弧有何关系？
A
O
B C
∠CAB的顶点及两边与圆 的位置关系是什么？
C
B
A
∠CAB的顶点及两边与圆 的位置关系是什么？
浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点
浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点一、圆的有关概念及圆的确定要点一、圆的定义1、圆的描述概念（1）如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；（2）圆是一条封闭曲线.2、圆的集合概念（1）圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.（2）平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.（3）圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：（1）定点为圆心，定长为半径；（2）圆指的是圆周，而不是圆面；（3）强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.要点二、点与圆的位置关系（1）点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.（2）若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内d＜r；点P在圆上d=r；点P在圆外d＞r.“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：（1）点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1、弦：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径.（3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：（1）直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.（2）为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2、弧（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：（1）半圆是弧，而弧不一定是半圆；（2）无特殊说明时，弧指的是劣弧.3、等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：（1）等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；（2）圆中两平行弦所夹的弧相等.4、同心圆与等圆（1）圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.（2）圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.二、图形的旋转要点一、旋转的概念（1）一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角.要点诠释：（1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.（2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点.点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段.要点二、旋转的性质一般地，图形的旋转有下面的性质：（1）图形经过旋转所得的图形和原图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.要点三、旋转的作图（1）在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的各对应点.三、垂径定理知识点一、垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图，几何语言为：CD 是直径要点诠释：2、推论（1）定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.（2）定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.要点诠释：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：（1）在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）四、圆心角要点一、圆心角与弧的定义1、圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB 就是一个圆心角.要点诠释：（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）圆心角∠AOB 所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.2、1°的弧的定义：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，要点诠释：（1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.CD ⊥ABAE=BE（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.要点二、圆心角定理及推论1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．要点诠释：（1）圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.（3）注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.2、圆心角定理的推论：（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.要点诠释：（1）在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.五、圆周角要点一、圆周角1、圆周角定义：（1）像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．要点诠释：（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）3、圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4、圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.六、圆内接四边形要点一、圆内接四边形（1）如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.要点二、圆内接四边形性质定理（1）圆内接四边形的对角互补.（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七、正多边形和圆知识点一、正多边形的概念（1）各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；（2）各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点二、正多边形的重要元素1、正多边形的外接圆和圆的内接正多边形（1）正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2、正多边形的有关概念（1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．（4）正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3、正多边形的有关计算（1）正ｎ边形每一个内角的度数是；（2）正ｎ边形每个中心角的度数是；（3）正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点三、正多边形的性质（1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.（2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.（4）边数相同的正多边形相似。
切线长定理[下学期]--浙教版PPT精品文档18页
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B
（2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
（3）写出图中所有的≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
（4）写出图中所有的相似三角形 △AOC∽ △BOC∽ △AOP∽△BOP∽ △ACP∽BCP
（5）写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB
B
A
D ·O
C
2、如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、BC 是切线，点A、E、B为切点，若BC=9， AD=4，求OE的长.
C E
D
F
A
·O B
C E D
A
·O B
小 结：
1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切 线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
B
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
E
。
OC
D
P OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，角
A
相等，弧相等，垂直关系提供了理论
依据。必须掌握并能灵活应用。
2.圆的外切四边形的两组对边的和相等
想 一 想
如图：用两根带有刻度的木条做一个夹角为60°的 工具尺，你能用它量出一个圆的半径吗？
若量出角的顶点到切点的距离为10cm，试求这个圆 半径的近似值。
B
CA=CB
。
C
O
P
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴PC=PC
∴ △PCA ≌ △PCB ∴AC=BC
切线长定理的基本图形的研究
A
PA、PB是⊙O的两条切线，A、B
为切点，直线OP交于⊙O于点D、 E E，交AB于C。
圆的切线证明方法专题(巩固篇)2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练(浙教版)
专题2.12 圆的切线证明方法专题（巩固篇）（专项练习） 1．如图，AD ，BD 是O 的弦，AD BD ⊥，且28BD AD ==，点C 是BD 的延长线上的一点，2CD =，求证：AC 是O 的切线．2．如图，四边形OAEC 是平行四边形，以O 为圆心，OC 为半径的圆交CE 于D ，延长CO 交O 于B ，连接AD 、AB ，AB 是O 的切线． (1) 求证：AD 是O 的切线． (2) 若O 的半径为4，8AB =，求平行四边形OAEC 的面积．3．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的一条弦，,AB CD ⊥连接,.AC OD(1) 求证：2;BOD A ∠=∠(2) 连接DB ,过点C 作,CE DB ⊥交DB 的延长线于点E ，延长,DO 交AC 于点F ，若F 为AC 的中点，求证：直线CE 为O 的切线．4．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的△O 与AC ，BC 分别交于点D 和点E ，过点E 作EF △AC ，垂足为F ．(1) 求证：EF 是△O 的切线；(2) 若CD ＝4，EF ＝3，求△O 半径．5．如图，AB 是△O 的直径，BD 平分△ABC ，DE △BC (1) 求证：DE 是△O 的切线：(2) 若CE=2，DE=4，求△O的半径．6．如图，D为△O上一点，点C在直径BA的延长线上，且△CDA=△CBD．(1) 求证：CD是△O的切线；(2) 若AC=8，CD=12，求半径的长度．7．如图，以AB为直径作O，在O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，DCB DAC∠=∠，过点A作AE AD⊥交DC的延长线于点E．(1) 求证：CD 是O 的切线；(2) 若4CD =，2DB =，求AE 的长．8．如图，AB 是O 的直径，过点A 作O 的切线AC ，点P 是射线AC 上的动点，连接OP ，过点B 作BD //OP ，交O 于点D ，连接PD ．(1) 求证：PD 是O 的切线；(2) 当APO ∠的度数为______时，四边形POBD 是平行四边形．9．如图，AB 为△O 的直径，AC 是△O 的一条弦，过点D 作DE △AC ，垂足为AC 的延长线上的点E ．连接DA 、DB ． (1) 求证：DE 是△O 的切线；(2) 延长ED交AB的延长线于F，若AD＝DF，DE3△O的半径．10．如图，四边形ABCD是△O的内接四边形，AC是△O直径，BE△AD交DC延长线于点E，若BC平分△ACE．(1) 求证：BE是△O的切线；(2) 若BE＝3，CD＝2，求△O的半径．11．如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作△O，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝CF，连接AE．(1) 求证：AE是△O的切线；(2) 连接AC交△O于点P，若3AP=BF＝1，求△O的半径．=，12．如图，在ABC中，以AB为直径作O，交BC于点D，交AC于点E，且BD CD 过点D作O的切线交AC于点F，过点D作AB的垂线，交AB于点G，交O于点H．⊥；(1) 求证：DF ACOG=，求AE的长．(2) 若1⊥，垂足为点E，交O于点13．如图，AB为O的切线，B为切点，过点B作BC OAC，延长CO与AB的延长线交于点D．(1) 求证：AC为O的切线；(2) 若2OC=，5OD=，求线段AD的长．14．如图，AB为△O的切线，B为切点，过点B作BC△OA，垂足为点E，交△O于点C，延长CO与AB的延长线交于点D．(1)求证：AC为△O的切线；(2)若OC＝2，OD＝5，求线段AD和AC的长．15．如图，在四边形ABCD中，AD△BC，AD△CD，AC＝AB，△O为△ABC的外接圆．(1) 如图1，求证：AD是△O的切线；(2) 如图2，CD交△O于点E，过点A作AG△BE，垂足为F，交BC于点G．△ 求证：AG＝BG；△ 若AD＝2，CD＝3，求FG的长．16．如图，AB是△O的直径，D在AB上，C为△O上一点，AD＝AC，CD的延长线交△O于点E．(1)点F在CD延长线上，BC＝BF，求证：BF是△O的切线；(2)若AB＝2，2CE=△CAE的度数．17．如图，ABC中，2∠<∠，CO平分ACBACB B∠交AB于O点，以OA为半径的圆O与AC相切于点A，D为AC上一点且ODA B∠=∠．(1) 求证：BC所在直线与圆O相切；(2) 若1CD=，2AD=，求圆O的半径．18．如图，P A为△O的切线，A为切点，过点A作AB△OP，垂足为点C，交△O于点B，延长BO与P A的延长线交于点D．(1) 求证：PB为△O的切线；(2) 若OB＝3，OD＝5，求PB和AB的长．19．如图所示，△O是Rt△ABC的外接圆，其中△BAC＝90°，过点A作直线AD交CB 的延长线于D，且△BAD＝△C．(1)求证：AD为△O的切线；(2)△F为OB中点，OE△AC于E，连接OA、EF交于G点，探究EG与GF的关系并说明理由；△ 延长AO 交△O 于H ，连接FH ，若EF ＝FH ，则△ACB ＝______度．20．如图，半圆O 的直径是AB ，AD 、BC 是两条切线，切点分别为A 、B ，CO 平分BCD ∠． (1) 求证：CD 是半圈O 的切线．(2) 若20AD =，50CD =，求BC 和AB 的长．21．如图，PB 切△O 于点B ，连接PO 并延长交△O 于点E ，过点B 作BA △PE 交△O 于点A ，连接AP ，AE ．(1) 求证：P A 是△O 的切线；(2) 如果AB ＝DE ，OD ＝3，求△O 的半径．⊥，垂足为点E，交O于22．如图，AB为O的切线，B为切点，过点B作BC OA点C，延长CO与AB的延长线交于点D．(1)求证：AC为O的切线；(2)若2OC=，5OD=，求线段AD和AC的长．23．如图，AB是△O的直径，AC是弦，P为AB延长线上一点，△BCP＝△BAC，△ACB 的平分线交△O于点D，交AB于点E，(1) 求证：PC是△O的切线；(2) 若AC＋BC＝2时，求CD的长．24．如图，点O 是矩形ABCD 中AB 边上的一点，以O 为圆心，OB 为半径作圆，O 交CD 边于点E ，且恰好过点D ，连接BD ，过点E 作EF ∥BD ，(1) 若120BOD ∠=︒，△ 求CEF ∠的度数；△ 求证：EF 是O 的切线．(2) 若2CF =，3FB =，求OD 的长．25．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 是对角线，90CAB ∠=︒，以点A 为圆心，以AB 的长为半径作A ，交BC 边于点E ，交AC 于点F ，连接DE ．(1) 求证：DE 与A 相切； (2) 若30ADE ∠=︒，6AB =，求EF 的长．26．如图，AB是△O的直径，点C是劣弧BD中点，AC与BD相交于点E．连接BC，△BCF＝△BAC，CF与AB的延长线相交于点F．(1) 求证：CF是△O的切线；(2) 求证：△ACD＝△F；(3) 若AB＝10，BC＝6，求AD的长．27．已知：四边形ABCD是O的内接四边形，AC是直径，点D是AC的中点，过点D DE AC交BA的延长线于点E，四边形ABCD的面积为25作∥(1) 求证：DE是O的切线；(2) 求BD的长．28．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AB 边上的一点，以AD 为直径的O 交BC 于点E ，过点C 作CG AB ⊥交AB 于点G ，交AE 于点F ，过点E 作EP AB ⊥交AB 于点P ，EAD DEB ∠=∠．(1) 求证：BC 是O 的切线；(2) 求证：CE EP =；(3) 若12CG =，13AC =，求四边形CFPE 的面积．参考答案1．证明见分析．【分析】先由勾股定理的逆定理证明垂直，再由切线的判断进行解答即可．证明：连接AB ，△AD BD ⊥，且28BD AD ==△AB 为直径，AB 2=82+42=80，△CD =2，AD =4△AC 2=22+42=20△CD =2，BD =8,△BC 2=102=100△222AC AB CB +=，△90BAC ∠=︒△AC 是O 的切线．【点拨】本题考查切线的判定，圆周角定理的推论，勾股定理的逆定理，解题关键是作出辅助线构造直角三角形．2．(1)见分析(2)32【分析】（1）连接OD ，证明AOB AOD △≌△，可得OBA ODA ∠∠=，根据切线的性质可得90OBA ∠=︒，进而可得90ODA =∠°，即可证明AD 是O 的切线；（2）根据平行四边形OAEC 的面积等于2倍ADO S △即可求解．(1)证明：连接OD ．△四边形OAEC 是平行四边形，△AO CE ∥，,AOD ODC AOB OCD ∠∠∠∠∴==OD OC =ODC OCD ∴∠=∠AOB AOD ∴∠=∠又△,AO AO OD OB ==，AOB AOD ∴△≌△△OBA ODA ∠∠=，△AB 与O 相切于点B ，OB AB ∴⊥90OBA ∴∠=︒△90ODA =∠°，OD AD ∴⊥又△OD 是O 的半径，△AD 为O 的切线．(2)△AOB AOD ≅△△8AB AD ∴==在Rt △AOD 中，84AD OD ==，△平行四边形OABC 的面积是28432ADO S =⨯=△【点拨】本题考查了切线的性质与判定，平行四边形的性质，三角形全等的性质与判定，掌握切线的性质与判定是解题的关键．3．(1)答案见分析(2)答案见分析【分析】（1）设AB 交CD 于点H ，连接OC ，证明Rt COH Rt DOH ∆≅∆ ，故可得COH DOH ∠=∠ ，于是BC BD = ，即可得到2BOD A ∠=∠；（2）连接，解出60COB ∠=︒，根据AB 为直径得到90ADB ∠=︒，进而得到60ABD ∠=︒，即可证明//OC DB ，故可证明直线CE 为O 的切线．（1）证明：设AB 交CD 于点H ，连接OC ，由题可知，OC OD ∴=，90OHC OHD ∠=∠=︒，OH OH =，()Rt COH Rt DOH HL ∴∆≅∆，COH DOH ∴∠=∠，BC BD ∴=，COB BOD ∴∠=∠，2COB A ∠=∠，2BOD A ∴∠=∠；（2）证明：连接AD ，OA OD =，OAD ODA ∠=∠∴，同理可得：OAC OCA ∠=∠,OCD ODC ∠=∠，△点H 是CD 的中点，点F 是AC 的中点，OAD ODA OAC OCA OCD ODC ∴∠=∠=∠=∠=∠=∠，180OAD ODA OAC OCA OCD ODC ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，30OAD ODA OAC OCA OCD ODC∴∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒，223060COB CAO∴∠=∠=⨯︒=︒，AB为O的直径，90ADB∴∠=︒，90903060ABD DAO∴∠=-∠=︒-︒=︒，60ABD COB∴∠=∠=︒，//OC DE∴，CE BE⊥，CE OC∴⊥，∴直线CE为O的切线．【点拨】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键．4．(1)见分析(2)△O半径为13 4【分析】(1)连接OE，利用等腰三角形的性质，证明OE// AC即可解答；(2)过点O作OG△AD，垂足为G，易证四边形OEFG是矩形，从而得出OG = EF= 3，设△O的半径为x，然后利用垂径定理表示出AG，最后在Rt∆OAG利用勾股定理列出关于x 的方程进行计算即可解答．(1)证明：连接OE，△EF△AC，△△EFD=△EFC=90°△AB= AC，△△B=△C，△OB= OE，△△B=△OEB，△△OEB=△C，△OE// AC，△△OEF=△EFC = 90°，△OE是△O的半径，△EF是△O的切线；(2)过点O作OG△AD，垂足为G，△△OGF = 90°△△OEF=△EFG=90°△四边形OEFG是矩形，△OG= EF= 3，设△O的半径为x，△AB=AC=2x，△CD= 4，△AD= AC-CD= 2x- 4，△OG△AD，△AG=12AD=x-2，在Rt△OAG中，AG2 +OG2 =OA2 (x-2)2+9=x2x=13 4△O的半径为134．【点拨】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．(1)见分析(2)5【分析】（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质和角平分线得出OD △BE ，再根据垂线和平行线的性质得出OD △DE ，进而得出DE 是△O 的切线；（2）根据圆周角定理和垂径定理得出AF =FC =DE =4，在Rt △OAF 中，由勾股定理列方程求解即可．(1)解：如图，连接OD ，△BD 平分△ABC ，△△ABD =△DBC ，又△OB =OD ，△△ABD =△ODB ，△△ODB =△DBC ，△OD △BE ，△DE △BE ，△OD △DE ，△DE 是△O 的切线；(2)如图，连接AC ，交OD 于F ，△AB 是△O 的直径，△△ACB =90°，又△△FDE =90°，△DEC =90°，△四边形FDEC 是矩形，△DF =CE =2，FC =DE =4．由垂径定理可知4AF CF ==设△O 的半径为r ，在Rt△OAF中，由勾股定理得，222+=OF AF OA即（r-2）2+42=r2，解得r=5．即半径为5．【点拨】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理、垂径定理以及勾股定理，掌握切线的判定方法，掌握圆周角定理、垂径定理以及勾股定理是正确解答的关键．6．(1)答案见分析(2)5【分析】（1）连接OD，根据直径所对的圆周角是直角，可得△DAB+△DBA＝90°，再由△CDA ＝△CBD可得△CDA+△DAO＝90°，然后利用OD＝OA证出△DAB＝△ADO，从而得△CDO ＝90°，根据切线的判定即可得出；（2）在Rt△CDO中利用勾股定理列出关于r的方程即可解答．(1)证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∵∠CDA＝∠CBD，∴∠DAB+∠CDA＝90°，∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠CDA+∠ADO＝90°，∴∠CDO＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；(2)解：在Rt△CDO中，CD2+OD2＝OC2，∴122+r2＝（8+r）2，∴半径的长度为5．【点拨】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．7．(1)见分析(2)AE＝6【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理的推论得到△ACB＝90°，即△BCO＋△ACO＝90°，求得△ACO＝△DCB，得到△DCO＝90°，根据切线的判定定理得到CD是△O的切线；（2）根据勾股定理求出OB＝3，可得AB＝6，AD＝8，根据切线长定理得到AE＝CE，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可得到结论．（1）证明：连接OC，如图，△AB为直径，△△ACB＝90°，即△BCO＋△ACO＝90°，△OC＝OA，△△ACO＝△CAD，又△△DCB＝△CAD，△△ACO＝△DCB，△△DCB＋△BCO＝90°，即△DCO＝90°，△OC是△O的半径，△CD是△O的切线；（2）解：△△DCO＝90°，OC＝OB，△OC2＋CD2＝OD2△OB2＋42＝（OB＋2）2，△AB＝6，AD＝8，△AE△AD，AB是△O的直径，△AE是△O的切线，△CD是△O的切线，△AE＝CE，△在Rt△ADE中，AD2＋AE2＝DE2，△82＋AE2＝（4＋AE）2，△AE＝6．【点拨】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论、切线长定理和勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．8．(1)见分析(2)45°【分析】（1）连接OD，根据切线的性质求出△P AO=90°，根据平行线的性质和等腰三角形的性质求出△DOP=△AOP，根据全等三角形的判定推出△AOP△△DOP（SAS），根据全等三角形的性质得出△PDO=△P AO=90°，再根据切线的判定得出即可；（2）根据全等得出P A=PD，根据平行四边形的性质得出PD=OB，求出P A=OA，再求出答案即可．（1）解：证明：连接OD，△P A切△O于A，△P A△AB，即△P AO=90°，△OP△BD，△△DBO=△AOP，△BDO=△DOP，△OD=OB，△△BDO =△DBO ，△△DOP =△AOP ，在△AOP 和△DOP 中，AO DO AOP DOP PO PO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AOP △△DOP （SAS ），△△PDO =△P AO ，△△P AO =90°，△△PDO =90°，即OD △PD ，△OD 过O ，△PD 是△O 的切线；（2）由（1）知：△AOP △△DOP ，△PA=PD ，△四边形POBD 是平行四边形，△PD=OB ，△OB=OA ，△PA=OA ，△△APO=△AOP ，△△PAO=90°，△△APO=△AOP=45°．【点拨】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形等知识点，能熟记圆的切线垂直于过切点的半径是解此题的关键．9．(1)详见分析(2)2【分析】（1）连接OD，由圆周角定理及等腰三角形的性质可得出OD△DE，则可得出结论；（2）由等腰三角形的性质及直角三角形的性质得出△EAD＝△F＝△DAB＝30°，则得出答案．（1）证明：连接OD，△D为弧BC的中点，△△CAD＝△BAD，△OA＝OD，△△BAD＝△ADO，△△CAD＝△ADO，△DE△AC，△△E＝90°，△△CAD+△EDA＝90°，即△ADO+△EDA＝90°，△OD△DE，△DE为半圆O的切线；（2）解：△AD＝DF，△△DAF＝△DF A，又△△EAD＝△DAF，△△EAD＝△DAF＝△DF A，△DE△AC，△△AEF＝90°，△△EAD＝△F＝△DAB＝30°，△AD＝2DE＝3△BD33232AD=，△AB＝2BD＝4，△△O的半径为2．【点拨】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．10．(1)见分析(2)10r =【分析】(1）连接OB ，求出OB △DE ，推出EB △OB ，根据切线的判定得出即可；(2）根据圆周角定理得到△ABC =△D =90°，构造矩形BEDF ，根据矩形性质、垂径定理、勾股定理即可得到结论．(1)证明：△AC 是△O 直径，△90ADC ∠=︒△BE AD ∥，△1801809090BED D ∠=︒-∠=︒-︒=︒连接OB ，△OC OB =，△13∠=∠又△BC 平分ACE ∠，△12∠=∠，△23∠∠=△OB DE ∥，△18090OBE DEB ∠=︒-∠=︒又△OB 为半径，△BE 为△O 切线(2)延长BO 交AD 于点F ，△90D DEB FBE ∠=∠=∠=︒△四边形FBED 为矩形，△90DFB ∠=︒，即OF △AD ，△OF 过圆心， 3DF BE ==，△11×6=322DF AF AD === Rt ADC 中，222262210AC DC AD ++=△10r 【点拨】本题考查了切线的判定和性质，矩形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，熟知这些基本知识点正确添加辅助线是解题的关键．11．(1)见分析(2)32【分析】（1）如图所示，连接AF ，先证明△AFB =90°，然后证明△AED △△AFB 得到△DAE =△BAF ，即可证明△BAE =90°，从而证明结论；（2）如图所示，连接BP ，根据三线合一定理求出23AC AP ==O 的半径为r ，则2AB BC r ==，21CF BC BF r =-=-，根据勾股定理可得(()22232141r r --=-，由此即可求解．(1)解：如图所示，连接AF ，△AB 是圆O 的直径，△△AFB =90°，△四边形ABCD 是菱形，△AD =AB =CD =BC ，△B =△D ，AD BC ∥，△△DAF =△AFB =90°，△CE =CF ，△CD -CE =BC -CF ，即DE =BF ，△△AED △△AFB （SAS ），△△DAE =△BAF ，△△DAE +△EAF =90°=△BAF +△EAF ，△△BAE =90°，又△AB 是圆O 的直径，△AE 是圆O 的切线；(2)解：如图所示，连接BP ，△AB 是圆O 的直径，△△APB =90°，△四边形ABCD 是菱形，△AB =CB ，△23AC AP ==设圆O 的半径为r ，则2AB BC r ==，△21CF BC BF r =-=-，在Rt △ACF 中，222AF AC CF =-，在Rt △ABF 中，222AF AB BF =-，△(()22232141r r --=-，解得32r =或1r =-（舍去）， △圆O 的半径为32．【点拨】本题主要考查了圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理,解一元二次方程等知识，正确作出辅助线是解题的关键．12．(1)证明见分析(2)2AE =【分析】（1）根据切线，得到90ODF ∠=︒；连接OD ，通过证OD 是ABC 的中位线，证OD AC ∥，进而得到90CFD ODF ∠=∠=︒，即可证明；（2）连接DE ，分别证AC = AB =2OB ，CD =DE ，得到CF =BG ，CF =EF ，再利用222AE AC CF EF OB BG OG =--=-=，即可求解．(1)证明：△过点D 作O 的切线交AC 于点F ，△90ODF ∠=︒，连接OD ，△BD CD =，OA =OB ，△OD 是ABC 的中位线，△OD AC ∥，△90CFD ODF ∠=∠=︒，△DF AC ⊥．(2)解：设圆与AC 相交于点E ，连接DE ，由（1）可知，OD AC ∥，△ODB C ∠=∠，△OD =OB ，△ODB ABC ∠=∠，△C ABC ∠=∠，△AC = AB =2OB ，△在Rt CFD △和Rt BGD 中，90DFC DGB C ABCCD BD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △()Rt CFD Rt BGD AAS ≌，△CF =BG ，又△四边形ABDE 是圆内接四边形，△180AED ABC ∠+∠=︒，又△180AED CED ∠+∠=︒，△ABC CED ∠=∠，△C CED ∠=∠，△CD =DE ，又△DF AC ⊥，△CF =EF ，△22AE AC CF EF OB BG =--=-，即()222AE OB BG OG =-==．【点拨】本题考查圆、全等三角形和等腰三角形的相关知识．包括圆的切线，圆内接四边形；以及全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性强．熟练掌握圆、全等三角形和等腰三角形的判定和性质是本题解题的关键．13．(1)见分析；521 【分析】（1）连接OB ，证明△CAO △△BAO （SSS ），由全等三角形的性质得出△OCA ＝△OBA ．由切线的性质得出△ABO ＝90°，则△OCA ＝90°，可得出结论；（2）由勾股定理求出BD 的长，设AC ＝x ，则AC ＝AB ＝x ，得出方程(222721x x +=+，解方程可得x ，进一步得出答案．(1)证明：如图，连接OB ，△OC OB =，△ △OBC 是等腰三角形，△OA BC ⊥，△EC BE =，△OA 是CB 的垂直平分线，△AC AB =，在△CAO 和△BAO 中AC AB AO AO CO BO =⎧⎪=⎨⎪=⎩△CAO BAO ≌（SSS ），△OCA OBA ∠=∠，△AB 为O 的切线，△OB △AB ,△90OBA ∠=︒，△90OCA ∠=︒，△AC OC ⊥，△OC 是O 的半径，△AC 为O 的切线；(2)解：△2OC =，5OD =，△2OB =，7CD OC OD =+=，△90OBD ∠=︒， △2221BD OD OB -设AC x =，则AC AB x ==，△222AC CD AD +=，△(222721x x +=，△221x =（负根已舍去）， △221AC = △22152121AD AB BD AC BD =+=+=【点拨】此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明△CAO △△BAO 是解题的关键．14．(1)证明见分析52132213【分析】（1）连接OB ，证明△CAO △△BAO （SSS ），由全等三角形的性质得出△OCA ＝△OBA ．由切线的性质得出△ABO ＝90°，则△OCA ＝90°，可得出结论；（2）由勾股定理求出BD 的长，设AC ＝x ，则AC ＝AB ＝x ，得出方程(222721x x +=+，解方程可得出答案．(1)证明：连接OB ，则OC ＝OB ，如图所示：△OA △BC ，△EC ＝BE ，△OA 是CB 的垂直平分线，△AC ＝AB ，△在△CAO 和△BAO 中AO AO AC AB OC OB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，△△CAO △△BAO （SSS ），△△OCA ＝△OBA ．△AB 为△O 的切线，B 为切点，△△ABO ＝90°，△△OCA ＝90°，即AC △OC ，△AC 是△O 的切线．(2)解：△OC＝2，OD ＝5，△OB ＝2，CD ＝OC +OD ＝7，△△OBD ＝90°，△BD 22225221OD OB --设AC ＝x ，则AC ＝AB ＝x ，△CD 2+AC 2＝AD 2，△(222721x x +=，解得2213x = △2213AC = △AD ＝AB +BD ＝AC +BD 2521212133 【点拨】本题主要考查了切线的性质与判定，三角形全等的性质与判定，勾股定理，切线长定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．15．(1)AD 是OO 的切线(2)△AG BG =；△54FG =【分析】（1)连接OA ，OB ，OC ，由AC =AB ，OA =OA ，OC =OB 可证出ΔOAC ≌ΔOAB (SSS ),利用全等三角形的性质可得出△OAC =△OAB ,即AO 平分△BAC ，利用垂径定理可得出AO △BC ,结合AD //BC 可得出AD △AO ，由此即可证出AD 是OO 的切线；（2)△连接AE ，由圆内接四边形对角互补结合△BCE =90°可得出△BAE =90°，由同角的余角相等可得出△BAG =△AEB ，结合△ABC =△ACB =△AEB 可得出△BAG =△ABC ，再利用等角对等腰可证出AG =BG ；△由△ADC =△AFB =90°，△ACD =△ABF ，AC =AB 可证出ΔADC ≌ΔAFB (AAS )，利用全等三角形的性质可求出AF ，BF 的长，设FG =x ，在Rt ΔBFG 中，利用勾股定理可求出x 的值，此题得解．(1)证明：如图1，连接OA ，OB ，OC ．在△OAC 和△OAB 中，AC AB OA OA OC OB =⎧⎪=⎨⎪=⎩△()OAC OAB SSS ≌，△OAC OAB ∠=∠，△AO 平分BAC ∠，△AO BC ⊥，又△AD BC ∥，△AD AO ⊥，△AD 是O 的切线．(2)△证明：如图2，连接AE ．△90BCE ∠=︒，△90BAE ∠=︒.又△AF BE ⊥，△90AFB ∠=︒．△90BAG EAF AEB EAF ∠+∠=∠+∠=︒△BAG AEB ∠=∠.△ABC ACB AEB ∠=∠=∠，△BAG ABC ∠=∠，△AG BG =．△在△ADC 和△AFB 中，90ADC AFB ACD ABFAC AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △()ADC AFB AAS ≌，△2AF AD ==，3BF CD ==．设FG x =，在Rt BFG 中，FG x =，3BF =，2BG AG x ==+，△222FG BF BG ，即()22232x x +=+， △54x =， △54FG =． 【点拨】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定义、平行线的性质、圆内接四边形、等腰三角形的判定以及勾股定理，解题的关键是：（1)利用全等三角形的性质及垂径定理，找出AO △BC ；(2)△利用等角的余角相等及圆周角定理，找出△BAG =△ABC ；△在Rt ΔBFG 中，利用勾股定理求出FG 的长。
九级数学下册(浙教版)课件：2.2 切线长定理 (共20张PPT)
)
初中数学
10．如图，△ABC的边与⊙O分别相切于点D，E，F，且BD＝3 cm，DC 6 ＝ 5 cm，△ABC的周长为22 cm，那么AB的长为____cm.
初中数学
11．如图，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.
下列结论中：
①OP垂直平分AB；②∠APB＝∠BOP；③△ACP≌△BCP；④PA＝PB； ①③④⑤ ⑤若∠APB＝80°，则∠OBA＝40°.则正确的是___________．(填序号)
B
)
A．12 B．6 C．8 D．4
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4．如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C
的切线，且∠BDC＝110°.连结AC，则∠A的度数是____ 35 °.
初中数学
5．如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于点L，M， C N，P.若四边形ABCD的周长为20，则AB＋CD等于( ) A ．5 B．8
1 解：(1)证明略 (2)OF＝2CD，理由略
初中数学
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14．如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线，点 C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形． (1)求AD的长； (2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．
解：(1)2 (2)是，证明略
初中数学
12．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连结PO，AB相交于点D，C是 ⊙O上一点，∠C＝60°. (1)求∠APB的大小； (2)若PO＝20 cm，求△AOB的面积．
解：(1)60° (2)25 3 cm2
初中数学
13．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E， 交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连结OF. (1)求证：OD∥BE； (2)猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由．
[14629317]【核心素养目标】2
浙教版九年级下册数学2.1 直线和圆的位置关系（2）教学设计课题 2.1 直线和圆的位置关系（2）单元第二单元学科数学年级九教材分析切线的判定的教学在平面几何乃至整个中学数学教学中都占有重要地位和作用；除了在证明和计算中有着广泛的应用外，它也是研究三角形内切圆的作法，它在本章的学习中起着承上启下的作用，切线判定定理的探究过程体现了由一般到特殊的研究方法，当探究出判定后，为了提高学生将所学的知识应用于实际，通过增加例题，让学生总结出“证明一条直线是圆的切线时，常常添加轴助线的两种方法”，帮助学生进一步理解切线的判定定理，达到学以致用。
核心素养分析学生已经掌握了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆周角的知识，与圆有关的性质等，具有初步的逻辑推理能力和基本的作图能力等。
学习本节课内容切线的判定定理，能够让学生灵活地运用有关知识解题，掌握一些解题技巧，培养学生的逻辑思维能力和综合运用知识解决问题的能力。
学习目标1.理解直线与圆相切的判定定理；2.会用切线的判定定理解决简单的问题；3.通过判定定理的学习，培养观察、分析、归纳问题的能力，充分领会数学转化思想。
重点理解切线的判定定理，会运用切线的判定定理解决简单的数学问题。
难点利用切线的判定定理解决几何问题中辅助线的添加和方法。
教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课直线与圆的位置关系有什么？①当直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交。
②当直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切。
③当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，①直线l和圆O相交d<r有__2___个公共点。
②直线l和圆O相切d=r有__1___个公共点。
学生复习上节课知识，思考回答问题。
通过复习，激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。
A·【小组交流】思考以下问题：(1)圆心O到直线证明：连结OB.OB=OC，AB=BC，∠D(370，540)中，哪些受到这次台风的影响，哪些不受到这次台风的影响?解：如图，在直角坐标系中画出以点P(100，200)为圆心，以200为半径的⊙P，再在点P处画出北偏东30°方向的方向线，作垂直于方向线的⊙P的直径HK，分别过点H，K作⊙O的切线l1，l2，则l1//l2.因为台风圈在两条平行线l1，l2之间移动，点A，D 落在切线l1，l2之间，所以受到这次台风的影响；而点B，C不在切线l1，l2之间，所以不受到这次台风的影响.【总结归纳】证明圆的切线时常用的辅助线有哪些？(1)如果已知直线经过圆上一点，则连结这点和圆心，得到半径，再证所作半径与这条直线垂直。
初三年级上册数学复习资料浙教版
初三年级上册数学复习资料浙教版1.二次根式：普通地，式子叫做二次根式.留意：(1)若这个条件不成立，则不是二次根式;(2) 是一个重要的非负数，即; ≥0.2.重要公式： (1) ,(2) ;3.积的算术平方根：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积;4.二次根式的乘法法则： .5.二次根式比拟大小的方法：(1)利用近似值比大小;(2)把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小;(3)分别平方，然后比大小.6.商的算术平方根：，商的算术平方根等于被除式的算术平方铲除以除式的算术平方根.7.二次根式的除法法则：(1) ;(2) ;(3)分母有理化的方法是：分式的份子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.8.最简二次根式：(1)满意以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或者因式;(2)最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母;(3)化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或者分解因式;(4)二次根式计算的最终结果必需化为最简二次根式.10.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，假如被开方数一样，这几个二次根式叫做同类二次根式.12.二次根式的混合运算：(1)二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都合用;(2)二次根式的运算普通要先把二次根式发展适当化简，例如：化为同类二次根式才干合并;除法运算有时转化为分母有理化或者约分更为简便;使用乘法公式等.第22 章一元二次方程1. 一元二次方程的普通形式: a≠0时，ax2+bx+c=0 叫一元二次方程的一般形式，讨论一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为普通形式，目的是确定普通形式中的 a、 b、 c; 其中 a 、 b,、c 可能是详细数，也可能是含待定字母或者特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求敏捷运用，其中直接开平方法虽然简洁，但是合用范围较小;公式法虽然合用范围大，但计算较繁，易发生计算错误;因式分解法合用范围较大，且计算简便，是首选方法;配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式: 当 ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请留意以下等价命题：Δ>0 有两个不等的实根; Δ=0 有两个相等的实根;Δ 无实根; 4.平均增长率问题--------应用题的类型题之一(设增长率为x)：(1) 第一年为 a , 其次年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.(2)常利用以下相等关系列方程：第三年=第三年或者第一年+ 其次年+第三年=总和.第23 章旋转1、概念：把一个图形围着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.旋转三要素：旋转中心、旋转方面、旋转角2、旋转的性质：(1) 旋转先后的两个图形是全等形;(2) 两个对应点到旋转中心的距离相等(3) 两个对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角3、中心对称：把一个图形围着某一个点旋转180°,假如它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或者中心对称，这个点叫做对称中心. 这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.4、中心对称的性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分.(2)关于中心对称的两个图形是全等图形.5、中心对称图形：把一个图形围着某一个点旋转180°, 假如旋转后的图形能够与原来的图形重合，那末这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 6、坐标系中的中心对称两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点O的对称点P′(-x，-y).第24 章圆1、(要求深刻理解、娴熟运用)1.垂径定理及推论:如图：有五个元素，“知二可推三”;需记忆其中四个定理，即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”.几何表达式举例：∵ CD 过圆心∵CD⊥AB3. “角、弦、弧、距”定理： (同圆或者等圆中)“等角对等弦”;“等角对等弧”;“等弦对等角”;“等弧对等角”;“等弧对等弦”;“等弦对等(优，劣)弧”;“等弦对等弦心距”; “等弦心距对等弦”.几何表达式举例：(1) ∵∠AOB=∠COD∴ AB = CD(2) ∵ AB = CD∴∠AOB=∠COD(3)……………4.圆周角定理及推论:(1)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半;(2)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;(如图)(3) “等弧对等角”“等角对等弧”;(4)“直径对直角”“直角对直径”;(如图)(5)如三角形一边上的中线等于这边的一半，那末这个三角形是直角三角形.(如图)(1) (2)(3) (4)几何表达式举例：(1) ∵∠ACB=∠AOB∴……………(2) ∵ AB是直径∴∠ACB=90°(3) ∵∠ACB=90°∴ AB是直径(4) ∵ CD=AD=BD∴ΔABC是R tΔ5.圆内接四边形性质定理:圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.几何表达式举例：∵ ABCD是圆内接四边形∴∠CDE =∠ABC∠C+∠A =180°6.切线的判定与性质定理:如图：有三个元素，“知二可推一”;需记忆其中四个定理.(1)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;(2)圆的切线垂直于经过切点的半径;几何表达式举例：(1) ∵OC是半径∵OC⊥AB∴AB是切线(2) ∵OC是半径∵AB是切线∴OC⊥AB9.相交弦定理及其推论:(1)圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等;(2)假如弦与直径垂直相交，那末弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.(1) (2)几何表达式举例：(1) ∵PAPB=PCPD∴………(2) ∵AB是直径∵PC⊥AB∴PC2=PAPB11.关于两圆的性质定理:(1)相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦;(2)假如两圆相切，那末切点肯定在连心线上.(1) (2)几何表达式举例：(1) ∵O1，O2 是圆心∴O1O2垂直平分A B(2) ∵⊙1、⊙2相切∴O1、A、O2 三点一线12.正多边形的有关计算:(1)中心角a n ，半径R N ，边心距r n ，边长a n ，内角 bn ，边数n;(2)有关计算在R tΔAOC 中发展.公式举例：(1) an = ;(2)二定理：1.不在始终线上的三个点确定一个圆.2.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3.正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n 个全等的直角三角形.三公式：1.有关的计算：(1)圆的周长C=2πR;(2)弧长L= ;(3)圆的面积S=πR2.(4)扇形面积S扇形 = ;(5)弓形面积S弓形 =扇形面积S AOB±ΔAOB的面积.(如图)2.圆柱与圆锥的侧面绽开图：(1)圆柱的侧面积：S 圆柱侧=2πrh; (r:底面半径;h:圆柱高)(2)圆锥的侧面积：S 圆锥侧 = = πrR.(L=2πr，R 是圆锥母线长;r 是底面半径)四常识：1. 圆是轴对称和中心对称图形.2. 圆心角的度数等于它所对弧的度数.3. 三角形的外心两边中垂线的交点三角形的外接圆的圆心;三角形的内心两内角平分线的交点三角形的内切圆的圆心.4. 直线与圆的位置关系： (其中d表示圆心到直线的距离;其中r表示圆的半径)直线与圆相交 dr.5. 圆与圆的位置关系：(其中d表示圆心到圆心的距离，其中R、r 表示两个圆的半径且R≥r)两圆外离 d>R+r; 两圆外切 d=R+r; 两圆相交 R-r两圆内切 d=R-r; 两圆内含 d6.证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法加匡助线.第25 章概率1、必然大事、不行能大事、随机大事的区分2、概率普通地，在大量重复试验中，假如大事A发生的频率会稳定在某个常数p 四周，那末这个常数p就叫做大事A的概率(probability), 记作P(A)=p.留意：(1)概率是随机大事发生的可能性的大小的数量反映.(2)概率是大事在大量重复试验中频率渐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中大事发生的频率去估计得到大事发生的概率，但二者不能简洁地等同.3、求概率的方法(1)用列举法求概率(列表法、画树形图法)(2)用频率估计概率：一大面，可用大量重复试验中大事发生频率来估计大事发生的概率.另一方面,大量重复试验中大事发生的频率稳定在某个常数(大事发生的概率)四周，说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简洁地等同.。