第7课 两圆相切 衍生曲线+解析几何+命题探秘第二版一题一课

椭'J圆详」J，～护故、轨’～迹产～E一’的叫甲方一程 ’一为 ～ 军 4 ＋荟3 一 1. (n）如图 13 ，延长 C1Q 到点尸，使｝QP ｝一｝ QC2} ，贝山口 P{
= 2a = 4,
设 P(x尸 ,yp),Q(XQ,yQ)，则｝ ClQ ｝一 丫(XQ 十 1)2 十关 ＝二
A'V‘/!月/‘r急, W十．'~八 2工'～甘。十
上面这两道习题给出了两定圆的条件，且指定动圆与其中一圆内切，与另一圆外切，
或与两圆都外切，求动圆圆心的轨迹．变换两圆位置关系，或把一定圆换为一个点或一条
直线，或不限定动圆与定圆内切或外切，则可探索出多种变式结果．
下面，我们根据两定圆的位置关系作为分类标准，作若干变式探究． 设两定圆以，q 的半径分别为 r1 ,r2 ，圆 M与两定圆 01,02 都相切．以下如无特殊说
图3
点 M的轨迹是以 01,q 为焦点，实轴长为 2a = r1 十 r2 的双曲
线的一支；
同理可知，若动圆 M与定圆02 外切，与圆 01内切时，点 M的轨
迹是以以，q 为焦点，实轴长为 2a = r1 十 r2 的双曲线的另一支．
若 r1~ r2 ，则上述变式 1和变式 2 中的轨迹为线段 01q 的垂直
(n）对于曲线 C 上任意一点 P(x,y)，由于｝P1\引一｝PN} = 2R -2 镇 2，所以 R 镇 2, 当且仅当圆尸的圆心为（2,0）时，R=2. 所以当圆尸的半径最长时，其方程为（x_2)2 十 y2 = 4,
当 1的倾斜角为 90。时，贝归与 y 轴重合，可得｝AB}=2万．
当 I的倾斜角不为 90。时，由 ri 半 R 知 I不平行 I轴，设 I与 I轴的交点为 Q,
!M0川十｝M02}=r1十 r2, 点 M的轨迹是以 01,02 为焦点，长轴长为 2a 一八十 r2 的椭圆的 一部分； 若动圆 M与定圆 01 内切，与圆 02 外切时，同理可得点 M的轨迹 是以 01,q 为焦点，长轴长为 2a = r1十 r2 的椭圆的另一部分，此两部 分的轨迹可组成一个椭圆（两圆交点除外）.
图6 图丁
42
畴之二
． 第 7 课 两圆相切 衍生曲线
变式 8 若动圆 M 与定圆 01q 均外切时（如图 8) ，则有 IMO川一｝MO1！一 r2 一 r1,
点 M的轨迹是以 01,认为焦点，实轴长为 2a = r2 一r1的双曲线的一 支在两圆外的部分；
若动圆 M 在两圆公共部分内与两圆内切时（如图 9) ，同样有 } MO川一｝MO1}= r2 一八，
切，求动圆的圆心轨迹方程，并说明是什么样的曲线．
题 2 与圆丈2 十少2= 1及圆扩十少一 8x 十 12 = 0 都外切的圆的圆心在（ )
A．一个椭圆上
B．双曲线的一支上
C．一条抛物线上
D．一个圆上
题 1中，圆工2 十 y2 十 6x 十 5=0 和圆扩十 y2 一 6x 一 91 = 0 的
标准方程为（a: 十 3)2 十 y2 =4,(x-3)2 十夕2= 100．如图 1，记两圆的
43
嘴矛
课堂笔记尸
., 产题～课高考数学命题探批（ ：版）
、课堂笔记
所以｝PM｝十｝PN I =（尺十 r1）十（r2 一尺）= r1 十 r2 = 4, 由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M,N 为左，右焦点，长半轴长为 2,短半轴长为办的
椭""圆~~（～左一～顶、J点、、、除 “~外~）～，、其～方 ’一程～为4军＋半 = 1(x 并一 2)
点 M的轨迹是以 01,q 为焦点，实轴长为 2a = r2 一 r1 的双曲 线的一支在两圆内的部分，此两部分的轨迹合成一支双曲线（两圆 交点除外）.
变式 9 若两圆均内切于动圆 M 内时（如图 10)，则有 }M011一 MO2 ｝一 r2 一 r1,
点 M的轨迹是以 01,q 为焦点，实轴长为 2a = r2 - r1 的双曲线的另 一支．
二、与两圆都内切的动圆圆心的轨迹
2.（工）（衡水金卷 ・ 2018 年普通高校招生全国 工卷 ・ 模拟试题 A ・ 信息卷（五）理科 第 20 题）已知圆 Ci:(x 十 1)2 十 y2 = 1，圆 Q:（劣一 1)2 十 y2 = 25 ，圆 M与圆 Ci ,C2 都相 内切．求圆心 M的轨迹 E 的方程；
则m．『由4｛川黑Q才尸｛！ =：二上，可求得 一～ }QM}
Q（一
4,0)
，所以可设直线 I的方程为 y
=
k(x 十 4),
由 z 与圆相切得
1 3k 1
丫V1+k2
=
1 解得 走一士
4
当 k=4 时将 y = 争＋涯代人142 十 y32 = 1(x 并一 2) ，并整理得 7扩十 8x 一 8
即 /x2 十 y2:=d 一 I十犷，
图8 图9
图 10
化简可得，y2 =-2(d+ 犷）(x 一 d宁）
若动圆与一定圆内切，如图 12, 则类似可得｝0i引十 r=d一 I,
化简可得 y2 =-2(d 一 r)(x 卫音二）
若直线 z 与圆 0 相交或相切，可以仿照上面的方法讨论，
得知动点 M 的轨迹类型是抛物线． 由此可见，动圆与两定圆相切，动圆圆心的轨迹类型可能是圆、椭
图生
平分线．
类型 2 两定圆 01,02 内含时，动点 M的轨迹是椭圆（或圆）. 变式 4 若动圆 M与定圆 01 夕卜切，与定圆 q 内切时（如图 5)，则有
IMO川十｝MO川一 r1 十 r2,
点 M的轨迹是以 01,q 为焦点，长轴长为 2a = r1 十 r2 的椭圆． 变式 5 若动圆 M与定圆 01,02 都内切（如图 6) ，则有
2为 = 0,
其 ～、判．,.．别曰．.式．、L‘ 一 (/1士止Q兰普x。 Q ）\2 一 4J . 号9 ・ 共a荡旦一 ，O、．-故I-!- Z一 C1～q,几4.的i. i外.t 角...平分I' 1线A I与-. .曲.圆 M与两定圆 01,q 都内切时（如图 3) ，则有
图2
}MO川一｝MO2}= r2 - r1,
点 M的轨迹是以 01,02 为焦点，实轴长为 2a 一犷2 一 r1 的双曲线的另
一支；
变式 3 动圆 M与定圆 01 外切，与圆 q 内切时（如图 4) ，则有
}M0川一｝M0川 = r1 十 r2,
1十3
-'~
一芬场一令(r。十 ‘全4 ～甘 ‘2 、～W
4). -.
所以 尸＝ r. = ~“．二寸
1,1 ' %
-
｛廿女｝
・
clQ
一 。8一 一 .XQ +4
・' ;c':1 ；1坎砚 Q’,
队r p
}~r
十.
，1 一一=工 :8（~。 工～Q甘十．十几41一)‘，
1沙 阮 L~一 一JX:rQ88、如平十十 44j,'
}
｝ 综上，lAB 1= 华或｝AB ｝一 2丫丁
}.
！谬热点纵幢
｝一 、与两圆都外切的动圆圆心的轨迹
}
1. (1993 年高考全国卷理科第 12 题、2017 年北京大学自主招生第 19 题）若动圆与两
！圆才 +y2 = 1 和工2 + 少? ～十 7= 。都外切’则动圆的圆心轨迹是（ )
! A 双曲线
B 双曲线的一支
{ C 抛物线
D 前三个答案都不对
｛ 方法 易知圆 .2:2 勺z 一 1的圆心是。(0,0)’半径是 1；圆 x2+y2-6x+7 = 。的
｝圆心是 A(3 ’。）’半径是办 ｝ 设动圆的圆心为 M('")”半径是 r 再由题设可倒 M口卜r+1,}M州一 r+\/ ｝ 因而｝M引一｝M叫一在一 1<3 钊。叫’ ｛ 所以动圆的圆心 M的轨迹是以。,A 为焦点’实半轴长为丫玄一 1的双曲线的一支故 ｛选 13.
第 7 课 两圆相切 衍生曲线
课堂笔记
) 典型考题‘
(2013 年高考全国课标工卷理科第 20 题，文科第 21 题）已知圆 M:（工十 1)2 十 y2 = 1，圆 N: (x - 1)2 十 y2 = 9，动圆尸与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心尸的轨迹为曲线 C.
（工）求 C 的方程； (n)z 是与圆尸，圆 M都相切的一条直线，z 与曲线C 交于A ,B 两点，当圆尸的半径最 长时，求｝八丑｛ .
李探市溯源‘
背景 普通高中课程标准实验教科书《数学 ・ 选修 2 一 l.A 版》（人民教育出版社
2007 年 2 月第 2 版）（以下简称课本）第 49 页习题 A 组第 7 题和第 80 页复习参考题 A 组
第 3(2）题： 题 1 一个动圆与圆扩十少十 6x+5 = 0 外切，同时与圆工2 + 少一 6x-91 = 0 内
}MO1｝十｝MO川 = r2 - r1,
点 M的轨迹是以 01,q 为焦点，长轴长为 2a = r2 一 r1 的椭圆．
图5
变式 6 若两定圆 q,q 同心于点 0 ，则由变式 4 和变式 5 可知，
}MO I = r2 护（或r2 2 - r1),
点 M的轨迹是以。为圆心，半径分别为 r2 吉 rl 或r2 百 r1 的圆 类型 3 两定圆 01,02 相交时，动点 M的轨迹是椭圆或双曲线． 变式 7 若动圆 M与定圆 01 夕卜切，与圆 q 内切时（如图 7)，则有
(n）若点 Q 是轨迹 E 上的一点，求证：△印IC2 中，艺 c1印2 的外角平分线与曲线 E
44
窿居之＝二
． 第 7 课 两圆相切 衍生曲线
相切． 方法 （ I）设圆 M的半径为 r，则｝MC川 =r-1, IMC2 1=5 一 r，所以｝MC1}+