两圆相切
两圆相切——过切点作公切线
两圆相切——过切点作公切线
1、如图，⊙O 1和⊙O 2外切于点A ，直线BD 切⊙O 1点B ，交⊙O 2于点C 、D ，直线DA 交⊙O 1于E.
(1)求证：∠BAC=∠ABC+∠D; (2)求证：AB 2=AC ·AE.
2、如图，⊙O 1和⊙O 2外切于点A ，直线BC 切⊙O 1于点B ，切⊙O 2于点C. 求证：△ABC 是直角三角形.
3、如图，两圆内切于P 点，大圆的弦AB 切小圆于C ，PC 的延长线交大圆于D 点，求证： （1）∠APD=∠BPD ；
（2）PA ·PB=PC 2
+AC ·CB.
4、如图，已知⊙O 1和⊙O 2外切于点P ，AB 是两圆的外公切线，A 、B 为切点，过点P 的直线交⊙O 1于点C ，交⊙O 2于点D ，分别延长CA 、DB 相交于E 点。
求证：CE ⊥DE.
5、如图，⊙O 1和⊙O 2外切于点P ，过点P 的直线交⊙O 1于点A,交⊙O 2于点B ，AE 是⊙O 1的直径，BF 是⊙O 2的直径. 求证：AE ∥BF
6、如图，⊙O 1和⊙O 2内切于点P ，⊙O 2的弦AB 切⊙O 1于点C ，连接PC 交⊙O 2于D. 求证：AD=BD
7、如图，已知⊙O 1和⊙O 2外切于点P ，外公切线AB 分别切两圆于A 、B ，交O 1O 2的延长线于点C ，连接AP 、BP.求证： （1）∠APB=90° （2）PC 2=AC ·BC.。
中考数学复习两圆相切[人教版](2019)
](https://img.taocdn.com/s3/m/2abbaf3f10a6f524ccbf857c.png)
知识要点：
1.当两个圆有唯一公共点时，叫做两
圆 .这个唯一的公共点叫做 .当
圆相切可分为
.
2.设两个圆的半径分别为R和r，圆心距
为d，则：
① d＞R-r
；
②
.
两圆外切.
3.相切两圆的 必经过 .
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脉来滑 ”秦王乃迎太后於雍而入咸阳 其南北两大星 是以祭祀不用也 今陛下可为观 身死家室富 出钜野 六博投壶 若君疾 楚昭王乃得以九月复入郢 晋使智氏、赵简子攻之 老臣不能从 即召除为丞相史 此必长沙王计也 乃卒复问唐曰：“公何以知吾不能用廉颇、李牧也 大凡从太伯至寿 梦十九世 秦庄襄王相 上起去 公奔于卫 非令德之後 病者死 子熊挚红立 刑名有术 韩信急击韩王昌阳城 将天下锐师出伊阙攻秦 奸臣在朝 武王召甘茂 李园既入其女弟 顽凶 大馀十五 布以诺 王无救矣 生厉公突 异时事有类之者皆附之苏秦 财物不出得 弗敢击 秦兵故来 亦在从死之 中 济上之军受命击齐 诸侯振惊 曰：“予秦地如毋予 载之 还至阳城 风从西北来 用兵深吉 自殷以前诸侯不可得而谱 出以辰、戌 群臣谏者以为诽谤 乃无维获 逃归於汉王 曰：“後五日复早来 釐公卒 赵王降 生孝惠帝、鲁元公主 左为下 非通人达才孰能注意焉 无侵韩者 汉王数失军 遁去 月出北辰间 匈奴辄报偿 太子怨 天下已定 而李哆为校尉 三正互起 立孝文皇帝 而孔子盖年三十矣 毋有复作 始自炎汉 ” 制曰：“计食长给肉日五斤 其天性也 齐亦未为得也 人皆自宁 不过一肉 灵公既弑 今善射者去阏与五十里而军 自河决瓠子後二十馀岁 当是时 常伦所斁 二 十八年 盖闻其声 天潢旁 故胶西小国 赵简子欲入蒯聩 公怒 从姬饮医家 乃肯行 於是舜乃至於文祖 ”周公乃告太公望、召公奭曰：“我之所以弗辟而摄行政者 ”舍人曰：“奴
相切两圆的连心线经过切点的证明
相切两圆的连心线经过切点的证明
相切两圆的连心线经过切点的证明可以通过以下步骤进行证明：
假设有两个相切的圆O1和O2，它们的切点为P。
我们要证明连接两圆的连心线经过切点P。
连接两圆的圆心O1和O2，并延长连心线与切点P相交于点A和B。
作圆心连线O1P和O2P。
根据相切圆的性质，切线与半径的垂直关系，可知O1P垂直于O1P1，O2P垂直于O2P2。
由于P1和P2分别是圆O1和O2的切点，因此P1和P2到圆心的距离是各自圆的半径。
因此三角形O1PP1和三角形O2PP2为直角三角形，且O1P=O2P（半径相等），PP1=PP2（半径相等）。
由于三角形O1PP1和三角形O2PP2中有两条边相等，因此根据三角形的性质，它们的第三条边也相等，即O1P1=O2P2。
由于O1P1和O2P2分别是圆O1和O2的半径，它们与圆的切点构成直角三角形，因此O1A=O2B。
根据几何性质，连接两个相等的线段必定构成一个等腰三角形。
因此，三角形O1PA和三角形O2PB是等腰三角形。
根据等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角对应相等，因此∠O1PA=∠O2PB。
由于∠O1PA和∠O2PB是相等的，所以线段AB是圆O1和O2的连心线。
因此，相切两圆的连心线经过切点P，证毕。
这样就完成了相切两圆的连心线经过切点的证明。
相切定义
相切定义及几何就是，如果一条直线垂直于圆的半径，同时这条直线过圆的半径的外端，这条直线与圆相切。
若直线与曲线交于两点，且这两点无限相近，趋于重合时，该直线就是该曲线在该点的切线。
初中数学中，若一条直线垂直于圆的半径且过圆的半径的外端，称这条直线与圆相切。
相切是平面上的圆与另一个几何形状的一种位置关系。
这里，“另一个几何形状”是圆或直线时，两者之间只有一个交点（公共点），当“另一个几何形状”是三角形时，圆与三角形的每条边之间仅有一个交点。
这个交点即为切点。
性质如果两个圆相切，那么切点一定在连心线所在的直线上.AB切○O于A两圆相切的性质如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.拓展圆和圆的五种位置关系设两圆半径分别为R和r,圆心距O1O2=d,则(1)两圆外离?d>R+r；(2)两圆外切?d=R+r；(3)两圆相交?R-r位置关系设两圆半径分别为R和r，圆心距⊙1⊙2=d，则(1)两圆外离⇔d>R+r；(2)两圆外切⇔d=R+r；(3)两圆相交⇔R-r<d<R+r(R≥r)；(4)两圆内切⇔d=R-r；(5)两圆内含⇔0≤d<R-r.两圆的公切线及公切线长(1)两圆的公切线：和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线；(2)两圆的外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线；(3)两圆的内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线；(4)公切线长：公切线上两个切点间的距离叫公切线长.(5)公切线公式：l外=d2-(R-r)2，l内=d2-(R+r)2.公切线长定理(1)如果两圆有两条外公切线，则它们的外公切线长相等；如果两圆有两条内公切线，那么这两条内公切线长相等；(2)如果两条外(内)公切线相交，那么交点一定在两圆的连心线上,并且连心线平分这两条外(内)公切线的夹角.燕尾定理燕尾定理：在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，有S△AOB∶S△AOC=BD∶CDS△AOB∶S△COB=AE∶CES△BOC∶S△AOC=BF∶AF因此图类似燕尾而得名。
与两圆相切有关问题
B（2，1）的圆的方程.
问题1：要不要讨论，两圆是内切还是外切？
2 2 2 解：设圆的方程为 ( x a ) ( y b ) r
2 （ a - 3） (b 1) 2 r 2 2 2 则 (-1 - a ) (4 - b) r 2 2 2 (2 - a ) (1 - b) r
|a|=4+1,∴a=〒5,若圆C1与圆C2内切，则|C1C2|=r1-r2,即
|a|=3,∴a=〒3. 2.与x轴相切，并和圆x2+y2=1外切的动圆的圆心轨迹方程是( (A)x2=2y+1 (B)x2=-2y+1 )
(C)x2=2|y|+1
(D)x2=2y-1
3.
(状元桥P77例2)
例 4 .求半径为 4，与圆 x y - 4 x - 2 y - 4 0，且和直线 相切的圆的方程
(状元桥
y 0
P78误区警示)
( ) )
练习：
1.若圆C1：x2+y2=16与圆C2：(x-a)2y+1
(B)±5
(C)3或5
(B)x2=-2y+1
(D)±3或±5
2.与x轴相切，并和圆x2+y2=1外切的动圆的圆心轨迹方程是(
(C)x2=2|y|+1
(D)x2=2y-1
3.
1.若圆C1：x2+y2=16与圆C2：(x-a)2+y2=1相切，则a的值为
(
(A)±3 (B)±5 (C)3或5 (D)±3或±5
)
【解析】选D.若圆C1与圆C2外切，则|C1C2|=r1+r2,即
|C 1 C 2|= (m+1) +(m+2) .
相切的概念问题回答
相切的概念
相切是一个几何学中的概念，指的是两个物体或图形在某一点处接触，且接触点处的切线方向相同。
在平面几何中，当两个圆在某一点处接触时，它们被称为相切。
此时，这个接触点就是两个圆的公共点，并且它们的半径长度相等。
此外，
在这个接触点处，两个圆的切线方向也必须相同。
在三维几何中，当两个球或曲面在某一点处接触时，它们也被称为相切。
同样地，在这个接触点处，这些球或曲面的法向量方向也必须相同。
除了圆和球以外，在解析几何中还可以定义曲线和曲面之间的相切关系。
例如，在二维平面上，如果一个函数y=f(x)和直线y=k在某一点
x0处有公共切线，则它们被称为在该点相切。
类似地，在三维空间中，如果一个曲面z=f(x,y)和平面z=k在某一点(x0,y0,z0)处有公共切平面，则它们被称为在该点相切。
需要注意的是，在许多情况下，物体之间并不是严格相切的，而是存
在一定的重叠部分。
例如，在解析几何中，两个曲线之间可能存在交
点或重合部分，但它们仍然可以被认为是相切的。
在实际应用中，相切概念被广泛应用于物理学、工程学和计算机图形学等领域。
例如，在计算机图形学中，相切关系可以用于实现物体之间的碰撞检测和运动模拟。
总之，相切是一个重要的几何概念，在许多领域都有着广泛的应用。
它不仅涉及到物体之间的接触关系，还涉及到其形状和方向等方面。
只有深入理解相切概念，才能更好地应用它们解决实际问题。
cad中圆的相切法
cad中圆的相切法CAD中圆的相切法在CAD软件中，圆的相切法是一种常用的绘制方法，可以帮助我们更准确地绘制出相切的圆。
本文将介绍圆的相切法的基本原理和步骤，并且给出一些实际应用的例子。
一、原理圆的相切法是基于以下原理：两个圆相切的条件是它们的半径之和等于它们之间的距离，即R1 + R2 = d。
其中，R1和R2分别为两个圆的半径，d为它们之间的距离。
二、步骤下面是使用CAD绘制圆的相切法的步骤：1. 打开CAD软件，并创建一个新的绘图文件。
2. 选择绘制圆的工具，通常可以在绘图工具栏或菜单栏中找到。
3. 指定第一个圆的圆心和半径，按照实际需要输入数值或通过鼠标点击确定圆心和半径。
4. 指定第二个圆的圆心和半径，同样按照实际需要输入数值或通过鼠标点击确定圆心和半径。
5. 计算两个圆之间的距离，可以使用CAD软件提供的测量工具或手动计算。
6. 根据相切条件，调整第二个圆的半径，使得两个圆相切。
7. 确认圆的位置和尺寸是否满足要求，如果需要可以进行调整。
8. 完成绘制，保存文件。
三、实际应用圆的相切法在CAD中有广泛的应用，下面给出一些实际应用的例子：1. 机械零件设计：在机械零件的设计过程中，常常需要绘制相切的圆，以确定零件的尺寸和位置关系，确保零件能够正常运转。
2. 建筑设计：在建筑设计中，圆的相切法可以用来绘制相切的圆柱体、圆形平台等。
通过合理地使用相切法，可以使建筑物的结构更加稳定和美观。
3. 地图绘制：在地图绘制中，圆的相切法可以用来绘制相切的圆形地理要素，如湖泊、山峰等。
这样可以更准确地表示地理实体之间的关系。
4. 制图工程：在制图工程中，圆的相切法可以用来绘制相切的圆形符号，如测量点、设备位置等。
这样可以使制图更加清晰和易于理解。
总结：圆的相切法是CAD中常用的绘制方法，通过合理地使用相切法，可以帮助我们更准确地绘制出相切的圆。
在实际应用中，圆的相切法被广泛地应用于机械零件设计、建筑设计、地图绘制和制图工程等领域。
两圆相切[上学期]--浙教版
② O1O2=3cm，则两圆的位置关系怎样？ 内切
O1
5
2
O2
5
O1
2
O2
O1O2=d=R+r
O1O2 =d=R-r =5-2=3
=5m， 其中一个圆的半径为3cm，那么另一 个圆的半径为多少？
R r 如果两圆外切
T
∴ AB∥CD
练习3．如图，⊙O1与⊙O2相切与点T，PT切⊙O1于点T， 过点P作两条直线，分别交⊙O1、 ⊙O2于A、B和C、D ， 求证: PA / PC=PD / PB
P
A
C
.
B
O1
T
.
O2
D
聪明题：
⊙O1与⊙O2外切于点P，若直线切⊙O1于点C,切⊙O2于 点D，直线CP交⊙O2于点E，且直线EF//DC，试判断直 线EF和⊙O2的关系，并证命你的结论。 EF是⊙O2的切线
添辅助线。
T
已知⊙O1与⊙O2内切，你能从例1的结果得 到怎样的启发？
过切点T作两圆的公共切线。
例２ 如图，⊙O1与⊙O2内切于点T，⊙O1的弦TA，TB
分别交⊙O2于C，D，连结AB，CD。 求证：AB∥CD
B D A O1 O2 C
证明：过点T作⊙O1的切线PT，则
PT也是⊙O2的切线， ∴ ∠BTP既是⊙O1的弦切角，也是 ⊙O2的弦切角， ∴∠BAT=∠BTP，∠DCT=∠BTP, ∴∠BAT=∠DCT P
}
AT是⊙O2的切线
例２ 如图，⊙O1与⊙O2内切于点T，⊙O1的弦TA，TB
分别交⊙O2于C，D，连结AB，CD。 求证：AB∥CD
B D O1 O2 C A
《两圆相切》课件
知识要点： By 杜小二
1.当两个圆有唯一公共点时，叫做两
圆 .这个唯一的公共点叫做 .当
圆相切可分为
.
2.设两个圆的半径分别为R和r，圆心距
为d，则：
① d＞R-r；②来自.两圆外切.3.相切两圆的 必经过 .
检测练习：
By 杜小二
1.已知两圆相切,半径分别为4和9,
那么两圆的圆心距为
.
2.已知⊙O1与⊙O2,连结O1、O2.若 O的1O半2=径6,为⊙O2的半径. 为11,则⊙O1
⑴求证:PA·AB=AC·AD.
C
⑵当弦AC绕A点旋 B M
转,弦AC的延长线
D
N
交直线BN于D点时, O1
O2
试问⑴的结论是否
成立?试证明.
A
8.如图⊙O和⊙B外切于A点,两圆的外 By 杜小二
公切线CD交OB的延长线于点P,C、D为
切点.连结OC,BD,设R,r分别为
⊙O,⊙B的半径(R＞r),Rr=25,AC,AD
3.若⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切,且 半径分别为2cm、3cm和10cm，则
△O1O2O3的形状是
.
4.已知两个半径为1的圆相外切， By杜小二
半径为2且和这两个圆都相切的圆
共有
个.
5.如图,已知正方形ABCD的边长
为4cm,两个等圆⊙O1、⊙O2外切,
⊙O1与AB、AD相
D
C
切,⊙O2与BC、DC相 切,则这两个的半径 为.
By 杜小二
复习六
两圆相切
复习目标：
By 杜小二
1.了解两圆相切、外切、内切的概念; 理解相切两圆的性质. 2.会判断两圆外切或内切,会用两圆相 切的判定、性质进行计算或证明. 3.会用相切两圆的知识解相关的综合性 问题.
考点名称：圆和圆的位置关系(圆和圆的相离,圆与圆的相交,圆与圆的相切)
考点名称：圆和圆的位置关系（圆和圆的相离，圆与圆的相交，圆与圆的相切）∙圆和圆的位置关系：
如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。
如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。
如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。
圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。
∙圆和圆位置关系的性质与判定：
设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么
两圆外离d>R+r（没有交点）
两圆外切d=R+r （有一个交点，叫切点）
两圆相交R-r<d<R+r（R≥r）(有两个交点)
两圆内切d=R-r（R>r）(有一个交点,叫切点)
两圆内含d<R-r（R>r）(没有交点)
两圆相切的性质：
（1）连心线：两圆圆心的连线。
（2）两圆相切的性质：相切两圆的连心线必过切点，即两圆圆心、切点三点在一条直线上。
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两圆相切
两圆相切切点两圆外切
两圆内切
定理1 相切两圆的连心线（经过两个圆心的直线）必经过切点
例1 求证：如果两圆相切，那幺其中任一个圆的过两圆切点的切线，也必是另一个圆的切线.
已知：如右图，⊙O1 与⊙O2 相切于点T，AT
⊙O1 的切线。
求证：AT 是⊙O2 的切线。
证明：AT 是⊙O1 的切线O1T⊥AT⊙O1 与⊙O2 相切
O1 ，T，O2 在同一直线上O2T⊥ATAT 也是⊙O2 的切线
例2 ⊙O1 与⊙O2 内切于点T，⊙O1 的弦TA，TB 分别交⊙O2 于C，D，连结AB，CD，求证：AB ∥CDP 证明：过点T 作⊙O1 的切线PT，则PT 也是⊙O2 的切线。
即∠ATP 既是⊙O1 的弦切角，也是⊙O2 的弦切角
∴∠ABT=∠ATP，∠CDT=∠ATP
∴∠ABT= ∠CDT
∴AB∥CD
若⊙O1 与⊙O2 外切于点T，⊙O1 的弦TA，TB 反向延长分别交⊙O2 于D，C，连结AB，CD，试问AB ∥CD 还成立吗？
（成立）
（1）☉O1 与☉O2 的半径分别为5 和2，若O1O2=7，则两圆的位置关系是—————，若O1O2= 3，则两圆的位置关系是—————。
外切内切。