一道两圆相切问题的探究
探究直角三角形中圆的相切问题
探究直角三角形中圆的相切问题 姓名：课前热身1．在Rt △ABC 中，AB=10cm ，BC=6cm ，AC=8cm ，问以点C 为圆心，r 为半径作⊙C ，若r=4cm ，则⊙C 与直线AB 的位置关系是 ；若r=4.8cm ，则⊙C 与直线AB 的位置关系是 ；若r=6cm ，则⊙C 与直线AB 的位置关系是 ．2.已知∠AOB=60°，P 是OA 上一点，OP=4cm ，以r 为半径作⊙P .若r=2cm ，则⊙P 与直线OB 的位置关系是 ；若⊙P 与直线OB 相离，则r 需满足的条件是 .3.如图，已知Rt △ABC ，AC=6，AB=10，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，则AD= .例1 已知Rt △ABC ，∠C=90°，AC=6，BC=8.（1）如图1，若∠ACB 角平分线交AB 于点O ，作以点O 为圆心，与边AC 相切的圆.①这个圆与BC 相切吗？请说明理由.②求⊙O 的半径.（2）如图2，若点O 是边BC 上一点，作以点O 为圆心，与△ABC 两边都相切的圆，并求出⊙O 的半径.图1 图2变式1：如图，AC 是⊙O 的切线，C 为切点，过点C 作CD ⊥AO 交⊙O 于点D ，延长CO 交⊙O 于点F ，交AD 的延长线于点B.（1）求证：AD 是⊙O 的切线.（2）连结FD ，求证：FD ∥AO（3）若∠B=30°，BC=6，求弧CD 的长.（4）若tan ∠CAO=32，OE=4，求AC 的长和tanB 的值备用图例2 已知Rt △ABC ，∠C=90°，AC=6，BC=8.点O 为边AB 上一点，以点O 为圆心的圆，与△ABC 的一边相切，并且经过△ABC 的其中一个顶点，求⊙O 的半径.备用图变式2：如图，已知点E 在△ABC 的边AB 上，∠C=90°，以AE 为直径的⊙O 与BC 相切于点D.（1）证明：AD 平分∠BAC.（2）若AC=3，∠B=30°：①求⊙O 的半径.②求线段BE 、BD 与弧DE 所围成的面积.（3）若DC=1，AD=5：①求⊙O 半径长；②求BE 的长．（4）若32DAC tan =∠，求BDBE 的值．备用图例1拓展：如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 是AC 上一点，CD=6，以CD 为直径的⊙O 切AB 于点G ，设y =2AG ，AC=x.（1）求y 关于x 的函数表达式，并指出自变量的取值范围.（2）利用所求出的函数关系式，求当AC 为何值时，才能使得BC 与⊙O 的直径相等？（3）△ACB 有可能为等腰三角形吗？若可能，请求出x 的值；若不可能，请说出理由．。
与两圆相切有关问题
B（2，1）的圆的方程.
问题1：要不要讨论，两圆是内切还是外切？
2 2 2 解：设圆的方程为 ( x a ) ( y b ) r
2 （ a - 3） (b 1) 2 r 2 2 2 则 (-1 - a ) (4 - b) r 2 2 2 (2 - a ) (1 - b) r
|a|=4+1,∴a=〒5,若圆C1与圆C2内切，则|C1C2|=r1-r2,即
|a|=3,∴a=〒3. 2.与x轴相切，并和圆x2+y2=1外切的动圆的圆心轨迹方程是( (A)x2=2y+1 (B)x2=-2y+1 )
(C)x2=2|y|+1
(D)x2=2y-1
3.
(状元桥P77例2)
例 4 .求半径为 4，与圆 x y - 4 x - 2 y - 4 0，且和直线 相切的圆的方程
(状元桥
y 0
P78误区警示)
( ) )
练习：
1.若圆C1：x2+y2=16与圆C2：(x-a)2y+1
(B)±5
(C)3或5
(B)x2=-2y+1
(D)±3或±5
2.与x轴相切，并和圆x2+y2=1外切的动圆的圆心轨迹方程是(
(C)x2=2|y|+1
(D)x2=2y-1
3.
1.若圆C1：x2+y2=16与圆C2：(x-a)2+y2=1相切，则a的值为
(
(A)±3 (B)±5 (C)3或5 (D)±3或±5
)
【解析】选D.若圆C1与圆C2外切，则|C1C2|=r1+r2,即
|C 1 C 2|= (m+1) +(m+2) .
一道两圆相切问题的探究
一道两圆相切问题的探究
杨标桂
【期刊名称】《中等数学》
【年(卷),期】2017(0)6
【摘要】1问题的提出笔者自编了一道平面几何题:题目如图1,AD为△ABC外接
圆的一条弦,P为AD的中点,且PD平分∠BPC、O、O1、O2分别为△ABC、△APB、△APC的外心.证明:△O1PB的外接圆与△O2PC的外接圆相切.笔者探索发现,题目中蕴含了一个丰富有趣的几何构型.2问题的分析与解如图1,设O3、O4分别为
△O1BP、△O2CP的外心.欲证⊙O3与⊙O4相切,只要证
∠O3PO1+∠O1PO2+∠O2PO4=180°.
【总页数】3页(P15-17)
【作者】杨标桂
【作者单位】福建师范大学数学与计算机科学学院,350117
【正文语种】中文
【中图分类】O123.1
【相关文献】
1.一种证明两圆相切的方法 [J], 金磊
2.例谈“两圆相交和相切”问题的解法 [J], 徐燕
3.关于两圆相切的问题剖析与解题探究 [J], 罗荣昭
4.关于两圆相切的问题剖析与解题探究 [J], 罗荣昭
5.一类两圆相切中考新题型探究 [J], 周继承
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巧用圆中的“一题多解”，培养学生发散性思维
巧用圆中的“一题多解”，培养学生发散性思维摘要:在初中数学教学中，习题解答是重要的组成部分，这不仅是由数学学科能用于解决现实问题的特征决定的，更是为了培养学生的逻辑思维、解题能力。
一题多解指的就是学生在解决数学问题的时候，不再局限一道题目一个解题思路和方法的限制，而是学会从不同的角度寻找切入点，使用多种方法解决问题。
本文从初中数学教学“圆”的一题多解教学入手展开研究，进行有效的一题多解训练，带出多种数学知识与方法，培养学生的发散性思维。
关键词：发散性思维；一题多解；初中数学；圆数学本身具有着一定的抽象性和逻辑性，而且解决问题的方式也是多样的。
教师注重转变教学理念和教学方法，引导学生从多角度和多层面进行问题的分析，学会使用一题多解来找到解决问题的多种方式，对发散学生的思维，培养学生的数学能力至关重要。
一、数学课程中的一题多解数学学科教学本身具有一定的抽象性与综合性内涵，它旨在培养学生的灵活逻辑思维能力。
在新课改背景下，为了实现数学教学实效性的有效提升，教师也希望从多个方面思考，实现多角度数学教学，引入一题多解训练模式，在提炼数学知识内容过程中也希望培养学生良好的变式思维，更多结合数学问题、条件、结论之间的相互转换来彰显学生对于教学内容、方法的不同理解，培养学生思维的广阔性和慎密性。
在该过程中，教师的教学过程不再固定于某一局限性定式思维上思考问题，要鼓励学生充分的发挥出想象力，能针对一个题目从多角度和多方向进行观察和分析，多角度和多变并且多层次的应用学习过的知识，得出不同类型解决问题的方式方法，同时也养成任何问题都去多方面思考的习惯。
二、圆的一题多解问题探析在学完圆的有关知识后，很多学生会发现有些习题常出现一题多解的特点.这是由于图形的位置及圆的对称性等特性而出现的情况。
本文将课本中的例、习题的改编题及近几年来全国各地的中考题有关圆中一题多解的问题归纳起来，作为培养学生发散思维的有效路径并展开分析。
初三有关圆的解答题及答案
初三有关圆的解答题及答案初三数学教学中，圆是一个非常重要的内容，也是经常考察的一道题型。
下面，我们来探讨一些初三有关圆的解答题及其答案。
一、相切问题问题：两个圆相切，半径分别为$r_1$和$r_2$，求它们的公切线的长度$L$。
解析：根据勾股定理，可得：$(r_1 + r_2)^2 = L^2 + (r_1 - r_2)^2$化简得：$L = 2\sqrt{r_1r_2}$答案：$L = 2\sqrt{r_1r_2}$二、切线问题问题：已知一个圆心坐标$(a, b)$，与一直线$y=k$相切，求这个圆的方程。
解析：由于圆与直线相切，所以该直线的距离等于圆的半径。
直线$y=k$与圆的距离为$|b-k|$，因此圆的方程为：$(x-a)^2 + (y-b)^2 = (b-k)^2$答案：$(x-a)^2 + (y-b)^2 = (b-k)^2$三、垂直问题问题：已知直线$y=k$和圆$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$相交于点$P(x_0,y_0)$，求直线$OP$的斜率，其中$O(a,b)$为圆心。
解析：首先，求点$P$的坐标。
因为$P$是圆和直线的交点，所以可以列出以下方程组：$\begin{cases} y=k \\ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \end{cases}$将$y=k$代入第二个方程，可得：$(x-a)^2 + (k-b)^2 = r^2$将$(x,y)$代入，得到：$(x_0-a)^2 + (k-b)^2 = r^2$整理可得：$x_0 = a\pm \sqrt{r^2-(k-b)^2}$由于直线$OP$与$x$轴垂直，所以直线$OP$的斜率为$-\frac{1}{\frac{y_0-b}{x_0-a}}$。
代入$x_0$和$y_0$，即可得到答案。
答案：$-\frac{1}{\frac{y_0-b}{x_0-a}}$四、分割问题问题：一个圆$O$被圆弧$AB$和直径$CD$所分割，分别为弧$AB$和弧$BCD$。
关于两圆相切的问题剖析与解题探究
关于两圆相切的问题剖析与解题探究作者：罗荣昭来源：《数学教学通讯·初中版》2021年第04期[摘要] 两圆相切是初中几何常见的位置关系，分析两圆的位置关系、计算圆心距、推导圆方程在中考试题中十分常见. 解题探究时要关注相切时圆心距与圆半径的关系，总结不同知识背景下的突破思路. 文章将深入剖析两圆相切，结合问题探讨解题策略，并提出相应的教学建议.[关键词] 圆;相切;函数;几何图形问题背景相切是几何中较为特殊的位置关系，两圆相切时圆心距等于两圆半径的和差. 对于以两圆相切为背景的综合题，探究时要充分利用圆心距与圆半径之和的关系，结合圆的几何性质构建模型. 在中考命题中关于两圆相切主要有两种形式：一是以函数为背景探究两圆相切;二是以几何图形为背景探究两圆相切. 针对不同类型的问题，需要掌握两圆相切的知识核心以及对应问题的解题策略，这也是教学探究的重点.问题剖析1. 函数背景中的两圆相切探究以函数为背景的两圆相切问题融合了函数知识，常结合坐标系综合构建模型，相切时圆心距与点坐标紧密相关，两点之间的距离公式是突破的核心方法. 对于较为复杂的图像，可提取其中的特殊图形，结合图形的特殊关系来简化解析. 其中的线段问题需要转化为距离问题，结合点坐标求出.例1：在图1所示的平面直角坐标系中，已知四边形OABC为等腰梯形，且OA=AB=BC=4，tan∠BCO= ，试回答下列问题.（1）试求经过O，B，C三点的二次函数解析式;（2）如果点P位于第四象限，且△POC与△AOB为相似关系，试写出所有满足条件的点P的坐标;（3）在（2）问条件成立下，如果⊙P与以OC为直径的圆相切，求出⊙P的方程.整体分析：（1）二次函数经过点O，B，C，可求出点坐标，使用待定系数法求解析式.（2）已知OA=AB=BC=4，tan∠BCO= ，则可推得OA=AB=BC，即△OAB为等腰三角形，若△POC与△AOB相似，则△POC必然也为等腰三角形，故存在两种情形：PO=PC和OC=CP，后续构建具体模型，结合相似性质逐步剖析即可.（3）该问在（2）问条件的基础上深入探究，已知⊙P与直径为OC长的圆相切，需根据点P坐标判断相切情形（内切或外切）;然后结合相切时圆心距与半径之间的关系可确定⊙P的半径;最后结合点P坐标即可求出⊙P的方程.过程探究：（1）四边形OABC为等腰梯形，已知OA=AB=BC=4，tan∠BCO= ，则点O （0，0），B（6，2 ），C（8，0），可设二次函数解析式为y=ax（x-8），将点B坐标代入其中，解得a= - ，所以二次函数的解析式为y= - x2+ x.（2）因为tan∠BCO= ，所以∠AOC=∠BCO=60°，又知等腰梯形中AB∥CO，则∠CBA=∠BAO=120°. 因为OA=AB=BC=4，进而可得∠OBA=∠BOA=30°，OC=8. 若△POC 与△AOB相似，则△POC也为等腰三角形.①当PO=PC时，如图2所示，则∠OPC = 120°，所以∠POC=∠PCO=30°. 过点P作x轴的垂线，设垂足为点D，在Rt△POD中，已知∠POD=30°，OD=4，则DP=OD·tan∠POD= ，所以点P的坐标为4，- .②当OC=CP时，如图3所示，则∠OCP=120°，所以∠COP=∠CPO=30°. 同樣过点P作x 轴的垂线，设垂足为点D，已知OC=PC=8，则∠PCD=60°，PD=PC·sin∠PCD=4 ，CD=4，所以点P的坐标为（12，-4 ）.综上可知，满足条件的点P的坐标有两个，分别为4，- 和（12，-4 ）.（3）①当点P坐标为4，- 时，如图4所示，由于点P位于⊙D内，故⊙D与⊙P只可能是内切关系，但存在“互包”两种情形. 则⊙D的半径应为CD±DP，即R=4± . 当⊙P位于⊙P内时，⊙P的半径为4+ ;当⊙D位于⊙P外时，⊙P的半径为4- . 所以⊙P的方程为（x-4）2+y+ 2=4± 2.②当点P坐标为（12，-4 ）时，如图5所示，此时⊙Q与⊙P有内切和外切两种情形，当两者外切时，⊙P的半径R=PQ-4=4 -4;当两者内切时，⊙P的半径R= PQ+4=4 +4;所以⊙P的方程为（x-12）2+（y+4 ）2=（4 ±4）2.综上可知，⊙P的方程为（x-4）2+y+ 2=4± 2或（x-12）2+（y+4 ）2=（4 ±4）2.解后评析：上述第（3）问探究两圆相切时圆的方程，问题突破的难点有两个，一是两圆相切时的情形判断;二是不同相切情形下半径的计算方法. 即使是两圆内切时也可能存在两圆“互包”两种情形，采用数形结合可避免漏解，同时有助于利用圆心距推导圆的半径.2. 几何图形背景中的两圆相切探究几何图形背景中的两圆相切，其探究重点有两个：一是圆的相切关系，二是圆与其他图形的知识关系. 而其中的距离问题需要转化为线段问题，可结合勾股定理、相似关系和全等关系推导，也可结合三角函数进行计算.例2：已知，如图6，在直角△ABC中，∠ABC=90°，点M在边BC上，且AB=12，BM=4，如果将△ABM沿AM所在的直线翻折，点B恰好落在边AC上的点D处，点O为AC 边上的一个动点，连接OB，以O圆心，OB为半径作⊙O，交线段AB于点B和点E，作∠BOF=∠BAC交⊙O于点F，OF交线段AB于点G.（1）分别求点D到点B的距离，以及到直线AB的距离;（2）若点F平分劣弧BE，求此时线段AE的长度;（3）若△AOE为等腰三角形，以A为圆心的⊙A与此时的⊙O相切，求⊙A的半径.整体分析：（1）可设BD与AM的交点为N，则∠BNM=90°，BN=DN，通过解直角三角形可分别求距离.（2）求AE的長，需要求出BE的长，可先确定∠CAB的正弦值，然后设出BG=3m，OG=4m，构建关于m的方程，求出m的值，最后解直角三角形求BE长.（3）该问讨论两圆相切，可先求出△AOE为等腰三角形时⊙O的半径以及圆心距，然后讨论相切情形下⊙A的半径.过程探究：（1）简答，BD=2BN= ，点D到AB的距离为 .（2）过点D作AB的垂线，设垂足为H，如图7所示. 在Rt△ADH中，已知DH= ，AD=AB=12，则sin∠CAB= .按照题意绘制如图8所示图像，其中点F平分弧BE，连接DF，与AB的交点设为G. 分析可知OF⊥BE，BG=EG. 在Rt△BOG中，已知∠BOF=∠BAC，可设BG=3m，OG=4m，在Rt△AOG中，由tan∠A= = = ，解得m= . 所以AE=AB-BE=12-6m= .（3）下面采用分步突破的方法，先求“⊙O的半径”，然后讨论“两圆相切”.第一步，求△AOE为等腰三角形时⊙O的半径.由于△AOE为等腰三角形，则可能EO=EA，如图9所示，作EK⊥AC于K. 在Rt△AEK 中，设EK=3n，则AK=4n，EA=5n. 然后作OP⊥AB于P，在Rt△AOP中，OA=2AK=8n，AP= OA= ，所以PE=AP-AE= n. 由于AB=2PE+EA= n+5n=12，可得n= ，所以⊙O的半径rO =OE=5n= ，圆心距d=OA= .第二步，讨论⊙A与⊙O的相切情形.⊙A与⊙O相切，有外切和内切两种情形.①如图10所示，若⊙A与⊙O外切，有rO +rA=d，所以rA=d-rO = ;②如图11所示，若⊙A与⊙O内切，有rA- rO =d，所以rA=d+rO =20;综上可知，⊙A的半径为或20.解后评析：上述第（3）问探究几何图形背景中两圆的相切，结合相关知识推导两圆的圆心距及半径是重点，通常将距离问题转化为线段问题. 上述充分把握特殊三角形性质，利用直角三角形构建代数方程. 突破过程涉及了垂径定理、勾股定理、解直角三角形、两圆相切的位置关系等知识，同时涉及数形结合、分类讨论思想，是知识与方法综合的典型代表.总结思考1. 关于两圆相切的解读归纳两圆相切是一种特殊的位置关系，通常有内切和外切两种情形，即对于半径长分别为R 和R 的两个圆，当两圆为外切关系时，圆心距d=R +R ;为内切关系时，d=R -R . 当一圆心位于另一圆内时，只能为内切关系，同时由于“互包”会出现两种情形. 实际上，“线段和差”是两圆相切的本质，故求线段和距离长是解析的关键. 在不同背景下可按照对应思路进行问题转化，如函数背景下可将“两点之间的距离”作为研究重点，而几何图形背景下可将“线段长”作为研究的重点.另外，在实际解题时有如下解题思路：思路一：结合动点的运动方式来表示相关线段长，重点是理解动点条件.思路二：利用几何性质来表示线段间的关系，重点是提取几何特性.思路三：根据相似或全等关系、勾股定理构建关于线段长的代数方程，重点是探索特性成立的条件.思路四：把握坐标系中的点坐标，结合两点之间的距离关系直接求线段长.2. 关于相切问题教学中的建议建议一：挖掘知识本质，开展知识归纳.两圆相切是一种特殊的位置关系，在探究教学中需要引导学生挖掘相切的知识本质，结合图像归纳相切的不同的情形，归纳圆心距与圆半径之间的关系. 虽然两圆相切的问题类型较为众多，但实则可归为函数与几何两大构建背景，探究教学要立足知识本质，把握求“线段”或“距离”这一本质内容，探索关联知识，串联知识体系.建议二：关注解题思想，形成解题策略.两圆相切问题中有两大难点：一是相切关系的多样性，二是问题转化解析多视角. 前者与图形位置关系相关，后者关系到解题思路的构建，问题突破过程常涉及分类讨论、数形结合、化归转化等思想方法. 教学中建议教师引导学生体验问题的突破过程，关注学生思维，合理渗透数学思想，充分探究审题突破的视角，形成相应的解题策略.。
442 圆相切问题的分类讨论(学生版)
1
圆相切问题的分类讨论 知识定位
知识梳理
知识梳理1：直线和圆相切
直线与圆相切问题的求解方法和策略：
①利用题目中的条件找到圆心到直线的距离d ；
②用含x 的代数式表示圆的半径r 和圆心到直线的距离d ；
③根据圆与直线位置关系列方程求解：当直线与圆相切时d r =； ④解方程并根据题目中的条件取舍答案。
知识梳理2：圆和圆相切
圆与圆相切问题的求解方法和策略：
（1）先用x 的代数式表示两圆的半径和圆心距，再分内切和外切讨论： ①当两圆外切时：12d
r r =+；（d 表示圆心距，12r r 、分别表示两圆的半径） ②当两圆内切时：12d r r =-；（d 表示圆心距，12r r 、分别表示两圆的半径）
（2）根据题目条件，求解时注意取舍解的情况。
例题精讲
【题目】如图，∠ABC=90°，O 为射线BC 上一点，以点O 为圆心， 1OB 2长为半径作⊙O ，当射线BA 绕点B 按顺时针旋转 °（0° ＜
＜180°）时与⊙O 相切。
C O。
两相切圆的公切线对应的夹角
两相切圆的公切线对应的夹角，首先我想说明一下这个主题的基本概念和定义。
在数学中，两相切圆的公切线对应的夹角是指两个相切圆之间的两条公切线所夹的角度。
这个主题涉及到圆的性质、几何关系和角度的计算，是数学中的一个经典问题。
接下来，让我们从简单的几何图形开始，看看两相切圆的公切线对应的夹角是如何产生的。
我们可以通过画图来直观地理解这个问题。
假设有两个相切的圆，它们的公切线就是相切点处的切线，而公切线对应的夹角就是这两条切线之间的夹角。
在这里可以引入切线的性质和相切圆的性质，以及夹角的计算方法，来逐步理解公切线对应的夹角的概念。
我们可以进一步深入探讨两相切圆的公切线对应的夹角的计算方法。
利用几何关系和角度的知识，我们可以推导出夹角的计算公式，同时也可以讨论一些特殊情况下夹角的性质和特点。
通过具体的例子和计算过程，我们可以更加直观地理解公切线对应的夹角的计算方法，并且可以探讨一些应用问题和拓展思路。
在文章的总结部分，我会对这个主题进行回顾和总结，重点强调两相切圆的公切线对应的夹角的定义、计算方法、性质和应用，并且指出一些需要注意的地方和可能的拓展方向。
我会分享一些我个人对这个主题的观点和理解，希望能给读者一些启发和思考。
根据知识的文章格式，我会适当地添加一些插图和示意图，以便更好地解释和展示相关的几何关系，并且会在适当的位置多次提及“两相切圆的公切线对应的夹角”，以加强主题的表达和阐释。
文章总字数将会超过3000字，以确保对这个数学问题的全面讨论和分析。
这篇文章将从简单到复杂、由浅入深地探讨两相切圆的公切线对应的夹角这个数学问题，希望能帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
我们可以从一个简单的案例入手，来直观地理解两相切圆的公切线对应的夹角这个概念。
假设我们有两个相切的圆，它们的半径分别为r1和r2，它们的公切线对应的夹角为α。
我们可以利用三角形的性质来推导出夹角α的计算公式。
在这个案例中，可以通过利用勾股定理和正弦定理来求解夹角α，这样读者可以更加直观地感受到夹角计算方法的实际应用。
作一线两圆的切圆(CCL)
阿波罗尼奥斯问题之常规解答金占魁湖北随县第一高级中学写在前面的话这个暑期酷热而慢长，闲寂室内，偶翻昔日的读书笔记，忽然有一股想把所学知识系统归纳的冲动。
想到了就干起来。
第一系列是阿波罗尼奥斯问题，前后共四篇，先作如下简介：《解法基础》：介绍尺规作图中常见的概念，如位似中心、相似轴、根轴、根心、极线、极点、反演变换、正交圆等等，以及它们的尺规作法。
同时还介绍圆退化为点或线后，位似中心、相似轴、根轴、根心、极点是如何跟随变化的。
最后用CCC的“热尔岗解法”、“庞斯列—福切解法”，作出PPC、PCC、PLC、LLC、LCC的切圆。
《常规解答》：把阿波罗尼奥斯问题退化为十种组合，本书全面介绍每种组合中一般情况下的多种解法，并介绍该种情况下的全部解圆的作法。
可谓洋洋大观解法大全了。
《特款解法》：这里特款指点线圆组合中，比较特殊的位置关系，不在《常规解答》讨论之列，比如：两条平行线＋点或线或圆，两个同心圆+点或线或圆，这些特款在反演变换过程中，经常用到。
书中还介绍了“鞋匠的刀“形中的切圆的解法、相交三圆的休伯特·舒特里克解法、以及相切三圆的Soddy圆的多种解法。
《名家解法》：以阿波罗尼奥斯问题历史为序，介绍世界上著名数学家们的解法，重点介绍他们的解法思路或详细作法，但不介绍多解的作法，只是尊重他们当时的情况。
需要说明的是，由于本人的笔记中鲜有原著原作者的记录，当时只为了省事为了记重点，所以本系列书丛中，不说明其引用来源和出外，在此向原著作者表示歉意，同时也表达自己对原作者们的崇高敬意!谢谢他们的辛勤付出!2019年7月于随州目录一．PPP：求作一圆经过不共线的三点 (3)二、LLL：求作一圆与不共点三线都相切 (3)三、PPL：求作一圆经过已知两点且与已知直线相切 (3)四、PLL：求作一圆经过已知点且与两相交直线都相切 (4)五、LLC：求作一圆与两已知直线和已知圆都相切 (6)六、PPC：求作一圆与已知圆相切并过圆外两已知点 (10)七、PCC：求作一圆与两已知圆相切并过圆外一已知点 (11)八、PLC：求作一圆经过定点且与定直线、定圆相切 (15)九、LCC：求作一圆与两定圆、一定直线都相切 (17)十、CCC：求作一圆与三个已知圆都相切 (19)简介及说明：Apollonius问题是给定三个圆，作这三个圆的切圆。
展示课《圆和圆的位置关系》课例研修报告及反思
展示课《圆和圆的位置关系》课例研修报告及反思郧西县城北中学江克芝我上课的内容是人教版九年级上册第十四章第二节《圆和圆的位置关系》(P98-100) ，我将从教材分析，教学目标，教法与学法教学过程设计，课后反思五个方面来具体阐述对本节课的理解和教学设计。
一、教材分析：1.地位和作用：本节课是人教版《义务教育课程标准实验教科书》九年级上册第二十四章第二节第三部分内容，《圆和圆的位置关系》是学生在已掌握了点与圆、直线和圆的位置关系等知识的基础上，来研究平面上两圆的不同位置关系，是学生对圆的知识应用的基础，也是今后到高中继续研究平面与球的位置关系，球与球的位置关系的基础。
因此本节课的内容是至关重要的，它对知识起到了承上启下的作用。
2.内容分析：《圆和圆的位置关系》内容是分两课时完成，本次课设计的是第一课时的教学。
主要内容是学习圆和圆的五种位置关系，然后能够初步利用圆和圆的位置关系和数量关系解题。
3.教学重点：两圆位置关系的判定和性质。
4.教学难点：探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距和两圆半径之间的数量关系。
二、教学目标：依据《数学课程标准》，以教材特点和学生认知水平为出发点，确定以下三个方面为本课时的教学目标。
1.了解圆和圆的五种位置关系，掌握两圆圆心距和两圆半径之间的数量关系，能够利用圆和圆的位置关系和数量关系解题。
2.通过本节课的学习，培养学生自己动手操作，学会观察、比较、想象、概括的逻辑思维能力；运用类比的方法探求新知识的能力。
3.结合本节课的教学实验向学生渗透用运动的观点来探究两圆的位置关系中的数量关系，让学生体会事物由量变到质变的辨证唯物主义观点；利用直观教学来激发学生学习的兴趣，感受数学中的美感；通过鼓励式教学让他们爱学，想学从而会学。
三、教法与学法1.学情分析学生在日常生活中接触过一些反映圆和圆的位置关系的实例，同时在前两节已学过有关点和圆、直线和圆的几种位置关系的内容，有一定的基础，而且圆这一知识又充满趣味性和吸引力，所以学生乐于参与数学活动，敢于质疑。
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ＡＦＥ
ｊ Ａ ＭＰＮ ＋Ａ ＭＡＦ＝１ ８ ０ ｏ
Ａ、 Ｍ、 Ｐ、 Ｎ 四点 共 圆．
因此 ， Ｐ、 、 Ｅ、 ０ 四点 共 圆．
又 Ｂ Ｐ Ｄ＝ Ｃ Ｐ Ｄ＝Ａ Ｂ Ａ Ｃ， 则
ＢＰ Ｃ ＝２ Ａ Ｃ ＝Ａ ＢＯＣ
类 似地 ， 尸 、 Ⅳ、 Ｆ 、 ０ 四点共 圆．
，
０２ Ｙ Ｆ一
９ ０。一 ９ ０。一
０５ ０５ ＥＡ ＝ Ｂ ＡＰ ，
＝
０ｌ Ｅ Ｘ
＝
０１ ＢＡ 一
０１
则 ＭＰ Ｏ ５ 十 ０ ３ Ｐ Ｏ ｌ ＝ ９ ０ 。 ． 故Ｐ Ｏ 为ｏ０ ， 与ｏ０ 的 内公切线． 由性质 ６， 自然得 到如下推论 ： 推论 直线 ０ ０ 为ｏＤ 的切线．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
又０ ０ ： ／ ／ Ｍｌ Ｖ ， 则 Ｘ、 Ｅ 、 Ｎ三点共线．
类似地 ， ｙ 、 Ｆ 、 三点共线．
故 Ｘ Ｅ Ｏ ＝ Ｘ Ｎ Ｍ＝ Ｘ Ｙ Ｍ＝ Ｘ Ｙ Ｆ ．
从而 ， 、 】 ， 、 Ｅ、 Ｆ 四点 共 圆．
性质 ６的证明 由性质 ３ 、 ４知
参 考 文献 ：
［ １ ］ 沈文选 ， 杨 清桃 主编 ． 高 中数学竞赛解 题策 略（ 几何
性 质 ７的证 明 （ １ ） 由垂径定理知
０ ３ Ｋ－ ｊ — Ｋ Ｏ ５ ．
又 由性 质 ６， 知０ 。 Ｐ上 Ｐ Ｏ ． 从而 ， Ｐ 、 ０ ， 、 Ｋ、 ０ 四点 共 圆， 且以 ０ ， ０
２ 问题 的 分 析 与 解
约定 ： Ａ Ｄ为△ Ａ Ｂ Ｃ外 接 圆 的一条 弦 ， Ｐ 为Ａ Ｄ 的中点 ， 且 肋 平分 Ｂ Ｐ Ｃ， ０、 ０ 】 、 ０ ２ 分别 为△ Ａ Ｂ Ｃ 、 △Ａ Ｐ Ｂ、 △Ａ Ｐ Ｃ的外心． 从题 目可引 申出下面一些性 质． 性质 １ 四边形 Ａ Ｏ Ｏ ０ ２ 为平行 四边形．
１ ８ ０。一
＝
ＸＹＯ２＝ １ ８ ０。一
０２ Ｃ Ａ一
０１ 腿
于是 ， 只要 证 ０ １ Ｂ Ａ＝ ０ Ｃ Ａ ．
由于 Ａ Ｐ Ｂ＝ Ａ Ｐ Ｃ， 故
ＡＯ Ｂ： ＡＯ， Ｃ．
性质 ７ 设 、 分别为 ０ Ｅ 、 ０ ２ Ｆ的 中
点． 则
（ ２ ） 、 ｌ ， 、 、 Ｆ， 、 Ｙ 、 ０ １ 、 ０ ２ 分另 Ｊ 『 四点 共
圆（ 记这两个 圆为ｏＤ 、 ｏ０ 。 ） ．
等 的圆的 内接 四边形． 因此 ， 本文 的相关性 质 可看作是 调和 四边 形 的一 些有 趣性 质． 有关 调和 四边形 的性 质 及其 应 用 ， 读 者 可参 考文 献［ １ ， ２ ］ ．
０１ ＰＥ ＝
０， ＰＦ ＝ ＥＰＦ ＝
０１ ＡＥ ＝
０， Ｆ ＝ Ｂ ＡＣ．
０１ ＢＥ ，
０， ＣＦ ，
因此 ， ０ １ Ｐ Ｏ ２ ＝ ０ １ ＋ ０ ２ Ｃ Ｊ Ｐ ．
Ｄ
３ 问题 的 引 申性 质 探 究
图１
笔者探索 发现 ， 题 目中蕴 含 了一个 丰 富 有趣 的几何构型．
１ ２个 非常有趣 的圆．
ｏ０ 及 ｏ０ ９ 共轴 于 Ｐ Ｘ ； ｏ０ ４ 、 ｏ０ ５ 及Ｏ０ ｏ
共轴 于 ＰＥ
事实上 ， 熟 悉调 和 四边 形 性质 的读 者 会 发现 ， 题 目中的条 件其 实 就是 要求 圆 的内接
四边 形 Ａ Ｂ ＤＣ是 调 和 四边 形 — — 对 边 之 积 相
、
又Ｏ Ｐ ／ ／ ０ ０ ， 于是 得到
性 质 ２ 四边形 Ｏ Ｐ Ｏ ０ ： 为等腰 梯形．
Ｍ、 Ｐ、 Ｎ， Ｂ、 Ｃ 、 ０、 Ｐ分别 四点共 圆． 记 四个 圆分别为 Ｑｏ ３ 、 Ｇｏ 、 （ ９ ０ 、 Ｇｏ ．
图２
性质 ３的证明 由 ０ ０ 垂直平分 Ｐ知
从而 ， ０ １ Ｂ Ａ＝ ０ ２ Ｃ Ａ ．
至此 ， 从 两 圆相 切 问 题 出发 ， 逐 步 引 出 了
（ １ ） Ｐ 、 ０ ３ 、 Ｋ、 ０ ５ ， Ｐ 、 ０ ４ 、 、 ０ ５ 分别 四点共
圆（ 记这 两个 圆为 ｏ０ ｏ ０ 。 。 ） ． 进而， ｏ０ 。 、
１
Ｍ Ｐ Ｏ ５ ＝ ９ ０ 。 一 ÷ Ｍ Ｏ ５ Ｐ
＝
再证 明 ： 、 Ｙ 、 ０ ０ ：四点 共 圆．
只 要 证 Ｘ Ｏ ｌ Ｅ＋ ＸＹ Ｏ ２ ＝１ ８ ０ 。 ．
９ ０。一
ＢＡＰ．
又 ０ ３ Ｐ Ｏ１＝９ ０。 一 ０１
＝
事实上 ，
ＸＯｌ Ｅ ＝１ ８ ０。一 ０ｌ ＸＥ 一
（ ２ ） 先证 明 ： 、 Ｅ、 Ⅳ三点共线． 事 实上 ，
ＸＥＯ１＝ Ｄ１＝ ＸＰＭ ＝ ＸＮＭ ．
因此 ， ＭＮ ／ ／ ０ １ ０ ２ ．
既然知道 ｏ０ 。与 ｏ０ 外 切 ， 那么， 内公 切线 的位置该如何确定 呢？有 如下性质 ：
性质 ６ Ｐ ０ ５ 为ｏ（ ） ３ 与 ｏ 的 内公 切线 ．
０１ Ｐ ＝ ０１ Ｅ ＝Ａ ０ｌ Ｂ Ｅ，
以下性质均参 考图 ２ ． 性质 ４ Ｐ、 Ｍ、 Ｅ、 ０ ５ ， Ｐ、 Ｎ、 Ｆ、 ０ ５分别 四 点共 圆． 记 这两个 圆分别 为 ｏ０ 、 ｏ０ ．
性 质４的证 明 显 然 ， 点 在 直 谶 ０ ０ ２ 上 由性 质 ３， 知 Ａ、 、 Ｊ Ｐ 、 Ⅳ 四 点 共 圆． 又 由对 称 性 ， 知Ｅ Ａ＝Ｅ Ｐ ．
ＰＡ ：Ｐ Ａ． ＰＤ ：ＰＢ ． Ｐ ：ＰＢ ． ＰＣ
①
笔者 自编 了一道平 面几何 题 ：
题目 如图 １ ， Ａ Ｄ为△ Ａ Ｂ Ｃ外接 圆的一 条弦， Ｐ为 Ａ Ｄ 的中点 ， 且Ｐ Ｄ平分 Ｂ Ｐ Ｃ， ０、
Ｄ 、 Ｄ ， 分别为／ ｋ Ａ Ｂ Ｃ、 △Ａ Ｐ Ｂ、 △Ａ Ｐ Ｃ 的 外
于是 ， ＭＯ Ｐ＝ ２ ＭＡ Ｐ＝ ＭＥ Ｐ ．
即０ 、 Ｂ、 Ｐ、 Ｅ四点共 圆．
类 似地 ， ０ 、 Ｃ 、 Ｐ 、 Ｆ四点共 圆． 题 目的证 明中 ， 得 到式①．
受 ０ Ｌ Ｐ Ｏ ２ ＝ Ｐ Ｅ Ｆ＋ Ｐ Ｆ Ｅ
＝
ＡＥＦ ． ４ －
性 质 １的证 明 由
ＡＯ１ Ｂ ＝２ ＢＡＣ ＢＡＣ
如图 １ ， 设０ ３ 、 ０ ４ 分别 为／ ｋ ０ １ 、 △ ｃ Ｐ 的外心． 欲证 ｏ０ 与ｏ０ 相切 ， 只要证
０ ３ ＰＯ１ ＋／ ０１ ＰＯ ２＋ ０ ２ ＰＯ ４＝１ ８ ０ 。 ．
中 图分 类 号 ： ０ １ ２ ３ ． １
１ 问 题 的 提 出
故只要证
０ １ Ｐ Ｏ ２ ＝ ０ １ ＋ ０ ２ ｃ 尸 ． 利用 已知条件得 Ｐ Ａ ＝ Ｐ Ｂ ・ Ｐ Ｃ ． 事实上 ， 延长 ， 与 ｏ０交 于点
由对称性得 Ｐ Ｖ ＝Ｐ Ｉ Ｃ ． 再 由相交弦定理得
为直径 ， ０ 为０ ０ 的 中点． 因此 ， ｏ０ ３ 、 ｏ０ ５ 及 ｏ０ ９ 共轴． 类似地 ， Ｐ 、 ０ 、 Ｌ 、 ０ 四点 共 圆于 ｏ ０ 。 ， ｏ 、 ｏ０ 及 ００ 。 共轴．
分册 ） ［ Ｍ］ ． 杭州 ： 浙江大学 出版社 ， ２ ０ １ ２ ， ６ ． ［ ２ ］ 杨天 禹 ， 王震， 于 鹏 飞． 调 和 四边形 的性 质及 其应 用 ［ Ｊ １ ． 中等数学 ， ２ ０ １ ２ （ ３ ） ．
性质 ５ Ｏ Ｐ ／ ／ Ｍ Ｎ／ ／ ０ １ ０ ．
性质 ５的证 明 由性质 ２ ， 知Ｏ Ｐ ／ ／ ０ ０ ．
ｊ Ｂ、 Ｃ、 ０、 Ｐ 四点 共 圆．
２ ０ １ ７年第 ６期
１ ７
由性质 ３知
ＰＭ Ｎ ＝ Ｐ ＡＮ ＝ ＰＢＡ ＝ ＰＯ Ｅ．
心． 证明 ： △ ０ 船 的外 接 圆与 △ ０ ： Ｐ Ｃ的外 接 圆相切．
△
∽△ Ｐ
ＰＣ Ａ．
Ｃ ＰＤ ＝
ＰＡＢ ＝
ＢＰＤ ＝
ＰＢＡ ＝
Ｂ ＡＣ．
Ｐ ＡＣ
设直线 ０ ０ 与 Ａ Ｂ、 Ａ Ｃ分别 交 于点 Ｅ、 由于点 ４、 Ｐ关 于直线 ０ ０ 对称 ， 于是 ，
２ ０ １ ７年第 ６期
ｌ ５
一
道 两 圆 相 切 问题 的 探 究
杨 标 桂
（ 福建师范大学数学 与计算 机科学学院 ， ３ ５ ０ １ １ ７ ）
文献 标 识 码 ： Ａ 文章 编号 ： １ ０ ０ ５— ６ ４ １ ６ （ ２ ０ １ ７ ） ０ ６— ０ ０ １ ５— ０ ３
ｌ ６
ｌ Ｊ等 数 学
类似地 ， ０ ： Ａ ／ ／ Ｏ ０ ．
因此 ， 四边 形 Ａ Ｏ ， Ｏ ０ 为平行 四边形．
从而 ， ０ １ Ｐ＝０ｌ Ａ＝Ｏ ０ ２ ．
性质 ３ 如图 ２ ， 设 ０ 。 Ｐ与 Ａ Ｂ 交 于 点
Ｍ， ０ ２ Ｐ与 Ａ Ｃ交于点 Ⅳ， 直线 ０ ０ 与 Ａ Ｂ、 Ａ Ｃ 分别交 于点 Ｅ、 则 ０ １ 、 Ｂ、 Ｐ、 Ｅ， ０ 、 Ｃ、 Ｐ、 Ｆ，
又 ０ ３ ＰＯ１ ＝９ ０。 一 ０１ ，
Ｏ２ ＰＯ４＝９ ０。一 收稿 日期 ： ２ ０ １ ６— ０ ９— ２ ６ ０２ ，
０ ＡＢ ＝９ ０。一
０ １ Ａ上 Ａ Ｃ ．
修 回 日期 ： ２ ０ １ ７— ０ １— ２ ４
又 易知 Ｏ ０ 上Ａ Ｃ ， 从而， ０ Ａ ／ ／ Ｏ ０ ．