与两圆相切有关问题
有关圆的七种辅助线的作法
有关圆的七种辅助线的作法作者：来源：《语数外学习》2015年第10期圆是初中几何的重要内容之一，与圆有关的大部分几何题都需要添加辅助线来解答.只要添上合适的辅助线，就可以化繁为简、化难为易. 下面举例说明有关圆的几种辅助线的作法.一、有关直径问题，常作直径上的圆周角例1 ; 如图1，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB 于点M，交BC于点N.（1）求证：BA·BM=BC·BN;（2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值.图1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图2（1）证明：如图2，连结MN，则∠BMN=90°=∠ACB，∴△ACB∽△NMB，∴ ;= ;，∴AB·BM=BC·BN;（2）解：如图2，联结OM，则∠OMC=90°，∵N为OC中点，∴MN=ON=OM，∴∠MON=60°，∵OM=OB，∴∠B= ;∠MON=30°，∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6.说明：若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用“直径所对的圆周角是直角”，从而得到90°的角或直角三角形来证明问题.二、有关弦的问题，常作其弦心距例2 ; 如图3，AB是⊙O的直径，PO⊥AB交⊙O于点P，弦PN与AB相交于点M，求证：PM·PN=2PO2.图3 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图4证明：如图4，过O作OC⊥NP于点C，则PC= ;PN，∵OC⊥NP，PO⊥AB，∴∠POM=∠PCO= 90°，又∵∠OPM=∠CPO，∴△OPM∽△CPO，∴ ;= ;，∴PO2=PM·PC=PM·（ ;PN），即PM·PN= 2PO2.说明：求解圆中与弦有关的问题，常需作弦心距，其目的是构造以半径、弦心距、弦为边的直角三角形，并利用垂径定理来将弦、弧、弦心距联系起来.三、对于直线与圆相切的问题，常连结过切点的半径例3 ; 如图5，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于P.（1）若PC=PF，求证：AB⊥ED.（2）点D在劣弧的什么位置时，才能使AD2=DE·DF，为什么？图 5 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图6证明：（1）如图6，连接OC.∵PC=PF，∴∠4=∠5，∵∠4=∠3，∴∠3=∠5.∵OA=OC，∴∠1=∠2，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∴∠1+∠5=90°，∠2+∠3=90°.∴∠AHF=90°，即AB⊥DE.（2）当D在劣弧AC的中点时，才能使AD2=DE·DF.如图6，连接AE，∵ ;= ;，∵∠ADF=∠ADE，∴△ADF∽△EDA，∴ ;= ;.即AD2=DE·DF.说明：命题的条件中含有圆的切线，解题时往往连结过切点的半径，利用“切线与半径垂直”这一性质来证明问题.四、对于相切两圆，常添公切线作辅助线例4 ; 如图7，已知⊙O1、⊙O2外切于点P，A是⊙O1上一点，直线AC切⊙O2于点C，交⊙O1一点B，直线AP交⊙O2于点D .（1）求证：PC平分∠BPD;（2）将“⊙O1与⊙O2外切于点P”改为“⊙O1、⊙O2内切于点P”，其它条件不变，①中的结论是否仍然成立？画出图形并证明你的结论.图7证明：（1）如图8，过P点作两圆公切线PQ，∵∠QPC=∠PCQ，∠QPB=∠A，∠CPD=∠A+∠QCP，∴∠CPD=∠CPB，即PC平分∠BPD.图8 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 图9（2）上述结论仍然成立.如图9，过点P作两圆公切线PM，则∠MPB=∠A，∴∠BPC=∠MPC-∠MPB=∠BCP-∠A=∠CPA，说明：在解答有关两圆相切的问题时，作辅助线的方法是作两圆的公切线.公切线是连接两圆的桥梁，可使两圆的圆周角产生联系，运用弦切角定理.五、两圆相交，常连结公共弦或连心线例5 ;已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，连结EB并延长交⊙O1于点C，直线CA交⊙O2于点D.（1）如图10，当点D与点A不重合时，试猜想线段EA=ED是否成立，证明你的结论.（2）当点D与点A重合时，直线AC与⊙O2有怎样的位置关系？此时若BC=2，CE=8，求⊙O1的直径.图10 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 图11（1）EA=ED成立.证明：如图11，联结AB，在EA延长线上取点F，∵AE是⊙O1的切线，切点为A，∴∠FAC=∠ABC，∵∠FAC=∠DAE， ;∴∠ABC=∠DAE，而∠ABC是⊙O2内接四边形ABED的外角∴∠ABC=∠D，∴∠DAE=∠D，∴EA=ED;（2）当点D与点A重合时，直线CA与⊙O2只有一个公共点，所以直线CA与⊙O2相切.解：如图12，由弦切角定理知：∠PAC=∠ABC，∠MAE=∠ABE，∴∠ABC=∠ABE=90°，∴AC与AE分别为⊙O1和O2的直径， ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图12∴由切割线定理知：AC2=CB·CE，而CB=2，CE=8 ;∴AC2=2×8=16，AC=4，故⊙O1直径为4.说明：在解两圆相交问题时，常作两圆的公共弦，构成圆内接四边形，再利用圆内接四边形定理，架设两圆之间的”桥梁”，从而寻找两圆之间的等量关系.六、圆中有相交弦，常作线段构造相似三角形例5 ;如图13，已知⊙O的两条弦AB、CD交于P点，求证：AP·BP=CP·DP.图13 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图14证明：如图14，连结AC，BD，∵∠C和∠B都是⊙O中弧 ;所对的圆周角，∴∠C=∠B，同理可得∠A=∠D，∴△ACP∽△DBP，∴ ;= ;，即AP·BP=CP·DP.说明：在求解圆中与线段有关的等积式（或比例式）问题时，通常需要连结两条相交弦的两组端点，利用相似三角形的有关性质来帮助求解;若两条相交弦均是直径，则连线后可以构成全等的等腰三角形.七、圆中有特殊角，常作直径构造直角三角形例6 ; 如图15，点A、B、C在⊙O上（AC不过O点），若∠ACB=60°，AB=6，求⊙O 半径的长.图15 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 图16解：如图16，作直径AD，连结BD.∵∠ACB与∠D都是 ;所对的圆周角，∴∠D=∠ACB=60°，又∵AD是直径，∴∠ABD=90°，∴∠DAB=30°，∴BD= ;AD，设BD=x，则AD=2x，∴AB= ;= ;= ;x，∴x= ;= ;=2 ;，∴r= ;AD=x=2 ;.说明：当题设中未告诉有直角三角形但却含有30°、45°、60°、90°等特殊角时，通常需要作直径构造直角三角形，以利用特殊三角形的边长关系及勾股定理来帮助求解.《轴对称》拓展精练参考答案1.C;2.B;3.B;4.C;5.18;6.108°;7.60°;8.309087;9.15°;10.480m2或768 m211. 解：（1）图略，∠ABC=90°时，PR=7.证明如下：连接PB、RB，∵P、R为O分别以直线AB、直线BC为对称轴的对称点，∴PB=OB=3 ;，RB=OB=3 ;，∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠CBR=∠ABO+∠CBO=90°，∴点P、B、R三点共线，∴PR=2×3 ;=7;（2）PR的长度是小于7，理由如下：∠A BC≠90°，则点P、B、R三点不在同一直线上，∴PB+BR>PR，∵PB+BR=2OB=2×3 ;=7，∴PR图形的平移与旋转强化练习参考答案1.C;2.A;3.D;4.45;5. ;;6.5;7. ;+1;8. （1）△ABC扫过面积即S梯形ABFD=32;（2）a=5或a=6.9.（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形.（2）解：当α=150°时，△AOD是直角三角形.∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，∵∠α=150°，∠AOB=110°，∠COD=60°，∴∠AOD=360°-∠α-∠AOB-∠COD=360°-150°-110°-60°=40°，∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形.（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，∵∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，∴190°-α=α-60°，∴α=125°;②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，∵∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=180°-（190°-α+α-60°）=50°，∴α-60°=50°，∴α=110°;③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD.∵∠OAD=360°-110°-60°-α=190°-α，∠AOD= ;=120°- ;，∴190°-α=120°- ;，解得α=140°.综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形.。
初三有关圆的解答题及答案
初三有关圆的解答题及答案初三数学教学中，圆是一个非常重要的内容，也是经常考察的一道题型。
下面，我们来探讨一些初三有关圆的解答题及其答案。
一、相切问题问题：两个圆相切，半径分别为$r_1$和$r_2$，求它们的公切线的长度$L$。
解析：根据勾股定理，可得：$(r_1 + r_2)^2 = L^2 + (r_1 - r_2)^2$化简得：$L = 2\sqrt{r_1r_2}$答案：$L = 2\sqrt{r_1r_2}$二、切线问题问题：已知一个圆心坐标$(a, b)$，与一直线$y=k$相切，求这个圆的方程。
解析：由于圆与直线相切，所以该直线的距离等于圆的半径。
直线$y=k$与圆的距离为$|b-k|$，因此圆的方程为：$(x-a)^2 + (y-b)^2 = (b-k)^2$答案：$(x-a)^2 + (y-b)^2 = (b-k)^2$三、垂直问题问题：已知直线$y=k$和圆$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$相交于点$P(x_0,y_0)$，求直线$OP$的斜率，其中$O(a,b)$为圆心。
解析：首先，求点$P$的坐标。
因为$P$是圆和直线的交点，所以可以列出以下方程组：$\begin{cases} y=k \\ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \end{cases}$将$y=k$代入第二个方程，可得：$(x-a)^2 + (k-b)^2 = r^2$将$(x,y)$代入，得到：$(x_0-a)^2 + (k-b)^2 = r^2$整理可得：$x_0 = a\pm \sqrt{r^2-(k-b)^2}$由于直线$OP$与$x$轴垂直，所以直线$OP$的斜率为$-\frac{1}{\frac{y_0-b}{x_0-a}}$。
代入$x_0$和$y_0$，即可得到答案。
答案：$-\frac{1}{\frac{y_0-b}{x_0-a}}$四、分割问题问题：一个圆$O$被圆弧$AB$和直径$CD$所分割，分别为弧$AB$和弧$BCD$。
圆的相交和相切关系
圆的相交和相切关系圆是几何学中的重要概念之一，对于圆的相交和相切关系，我们需要了解其定义、特性以及相关的定理。
本文将围绕这一主题展开讨论，并通过实例来进一步说明。
一、圆的定义和基本特性在几何学中，圆是由到圆心距离等于某个给定长度的所有点所组成的集合。
对于一个圆，我们可以得到以下的基本特性：1. 圆心与圆周上的任意一点的距离相等，这个距离被称为半径。
2. 圆周上的任意两点可以确定一条弦。
若弦的两个端点均在圆上，则称之为弦。
3. 圆周上的弧是由两点确定的曲线段。
4. 圆一周的长度被称为周长，记作C。
周长与半径r的关系可以表示为C = 2πr，其中π是一个常数，约等于3.14159。
二、圆的相交关系当两个圆存在交点时，我们称它们为相交圆。
1. 外离与内离：两个圆半径之和小于它们之间的距离时，我们称这两个圆为外离圆。
反之，两个圆半径之和大于它们之间的距离时，我们称这两个圆为内离圆。
2. 相交：两个圆半径之和等于它们之间的距离时，我们称这两个圆为相交圆。
相交圆一定有两个交点。
3. 同心圆：如果两个圆的圆心重合，即它们的半径相等，那么这两个圆被称为同心圆。
同心圆的半径相等，但没有交点。
三、圆的相切关系当两个圆刚好有一个公共的切点时，我们称它们为相切圆。
以下是常见的相切关系：1. 内切：当两个圆的半径之差等于它们的圆心之间的距离时，我们称这两个圆为内切圆。
内切圆的切点在圆的内部。
2. 外切：当两个圆的半径之和等于它们的圆心之间的距离时，我们称这两个圆为外切圆。
外切圆的切点在圆的外部。
3. 焦点：当两个圆的圆心之间的距离等于它们半径之和的一半时，我们称这两个圆为焦点圆。
焦点圆的切点在圆的外部。
四、定理与实例1. 定理1：两个相交圆的交点之间的连线必定垂直于两个圆的半径。
实例：如图1所示，圆O和圆P相交于点A和点B。
连接OA、OB、PA、PB。
根据定理1可知，线段AB与线段OP垂直。
2. 定理2：内切圆和外切圆的切点、切线所在的半径和过切点的直径共线。
圆的8种必考题型
圆的8种必考题型
圆的常见考题类型。
这些类型包括：
1. 圆的定义与性质：这类题目可能要求证明圆的某些性质，或者要求利用圆的性质解决一些问题。
2. 点与圆的位置关系：这类题目可能要求判断一个点是否在圆内、圆上或圆外，或者根据点与圆的位置关系求解一些问题。
3. 圆心角、弧长与弦长的关系：这类题目可能要求利用圆心角、弧长和弦长之间的关系求解一些问题，例如求圆心角或弦长等。
4. 切线与割线的性质：这类题目可能要求证明切线与割线的某些性质，或者利用这些性质求解一些问题。
5. 两圆的位置关系：这类题目可能要求判断两个圆的位置关系，如相离、相切或相交，或者根据两圆的位置关系求解一些问题。
6. 圆的方程：这类题目通常要求求解圆的方程，可能涉及到圆的标准方程或一般方程。
7. 直线与圆的位置关系：这类题目可能要求判断直线与圆的位置关系，如相离、相切或相交，并求解相关问题。
8. 圆的综合题：这类题目通常涉及圆的多个知识点，需要综合运用所学知识进行求解。
请注意，这些只是一些常见的关于圆的考题类型，并不代表特定的考题。
在备考时，建议结合具体的教材和考纲，对这些考点进行深入的学习和练习。
圆与圆有关的位置关系切线课件
06
总结与回顾
重点回顾
圆与圆的位置关系
总结了五种位置关系，包括外离、外切、相交、内切和内含，并 介绍了如何利用圆心距与两圆半径的关系来判断位置关系。
切线的定义与性质
回顾了切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线，以及切线的 性质，如垂直于过切点的半径等。
切线与圆的位置关系
总结了切线与圆的位置关系，包括相离、相切和相交，并介绍了 如何利用圆心到切线的距离与半径的关系来判断位置关系。
详细描述
相离是两圆位置关系的一种，当两圆心之间的距离大于两圆的半径之和时， 两圆处于相离位置关系。此时，两个圆没有交点，无法相切或相交。在切线 课件中，相离位置关系的圆与圆之间可以有公共的切线。
相切
总结词
指两个圆心之间的距离等于两个圆的半径之和，两圆处于相 切位置关系。
详细描述
相切是两圆位置关系的一种，当两圆心之间的距离等于两圆 的半径之和时，两圆处于相切位置关系。此时，两个圆只有 一个交点，该交点称为切点。在切线课件中，相切位置关系 的圆与圆之间只有一条公共的切线。
详细描述
切线的性质可以用于解决实际问题，如计算圆的面积、周长等。例如，如果我们知道一个圆的半径， 我们可以利用切线的性质来计算圆的面积或周长。此外，切线的性质还可以用于解决其他与圆有关的 问题。
05
圆的切线在生活中的应用
车辆行驶中的转弯问题
车辆转弯时需要利用圆的切线，确 保车辆以安全速度和轨迹转弯，避 免侧滑或侧翻。
圆的切线定义
直线与圆只有一个公共点时， 称为直线与圆相切。这条直线
称为圆的切线。
切线和圆心的距离称为切线长 度，通常用字母d表示。
切线和圆的半径之间的夹角称 为切线角，通常用字母θ表示。
与圆有关的难题
１、在平面直角坐标系xoy 中,已知圆O:222211,:(4)4x y O x y +=-+=，动点Ｐ在直线0x b +-=上，过P 分别作圆O,O 1的切线，切点分别为A Ｂ,若满足PB=2PA 的点Ｐ有且只有两个,则实数b 的取值范围是２、过点(4,0)P -的直线l 与圆22:(1)5C x y -+=相交于,A B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点,则直线l 的方程为 ▲3、已知圆22:(2)4C x y -+=,线段E Ｆ在直线:1l y x =+上运动,点P 为线段EF 上任意一点,若圆Ｃ上存在两点Ａ、Ｂ,使得0PA PB ⋅≤,则线段ＥF 长度的最大值是 4、在平面直角坐标系xOy 中,圆1C :22(1)(6)25x y ++-=,圆2C :222(17)(30)x y r -+-=.若圆2C 上存在一点P ,使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ,B ，满足2PA AB =,则半径ｒ的取值范围是 ▲ ．5、在平面直角坐标系xOy 中,设直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>交于,A B 两点，O为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB =+，则r = ▲ . ７、已知圆()()()22:10C x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于,P Q 两点,则当CPQ ∆的面积最大时,此时实数a 的值为 ▲８、在平面直角坐标系xO ｙ中，圆C 的方程为(ｘ－1)2＋ｙ2=４，Ｐ为圆C 上一点.若存在一个定圆Ｍ，过Ｐ作圆M 的两条切线ＰA ,PB ,切点分别为A ，B ，当P 在圆Ｃ上运动时,使得∠ＡＰB 恒为60︒,则圆Ｍ的方程为9已知圆22:(2)1C x y -+=，点P 在直线:10l x y ++=上,若过点P 存在直线m 与圆C 交于A 、B 两点,且点A 为PB 的中点，则点P 横坐标0x 的取值范围是 . 1０、已知点0,2A 位圆22:2200M x y ax ay a 外一点,圆M 上存在点T 使得45MAT，则实数a 的取值范围是 ．6、已知圆22:(1)(1)4M x y -+-=,直线:60,l x y A +-=为直线l 上一点，若圆M 上存在两点,B C ,使得60BAC ∠=︒,则点Ａ的横坐标的取值范围是11在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,2)A -，(2,6)B ，一条直线l 过点(0,)m ,且与单 位圆221x y +=恒相切． 若有且只有两个点P 满足:①4PA PB ⋅=-；②点P 到直线l 的距离为1,则实数m 的取值范围是 。
两圆的公切线方程
两圆的公切线方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：两圆的公切线是指能同时切到两个圆的直线或射线。
在解析几何中，我们常常需要研究圆与圆之间的关系，其中两圆的公切线就是一个重要的问题。
本文将讨论两个圆的公切线方程的推导过程和应用实例。
一、两个圆的公切线分类在二维平面上，两个圆可能存在以下几种情况：1. 内含关系：一个圆完全包含在另一个圆内部，此时两圆没有公共切线。
2. 相交关系：两个圆相交于两个点，此时存在两条外公切线和两条内公切线。
3. 外切关系：两个圆相切于外部，此时存在一条外公切线。
4. 内切关系：一个圆完全包含在另一个圆内部且二者相切，此时存在一条内公切线。
下面我们以相交关系为例，推导两个圆的公切线方程。
二、两个圆的公切线方程的推导设两个圆的方程分别为：圆1：(x - a1)² + (y - b1)² = r1²圆2：(x - a2)² + (y - b2)² = r2²(a1, b1)和(a2, b2)分别为两个圆的圆心坐标，r1和r2分别为两个圆的半径。
圆1和圆2相交于两个点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)，则有：(x1 - a1)² + (y1 - b1)² = r1²(x2 - a1)² + (y2 - b1)² = r1²(x1 - a2)² + (y1 - b2)² = r2²(x2 - a2)² + (y2 - b2)² = r2²由上述四个方程可得到两个未知数x1和y1的线性方程组，通过求解线性方程组即可得到两个公切点P1和P2的坐标。
进一步，我们可以根据两点式求得直线P1P2的方程，即为两个圆的公切线方程。
计算两个圆的圆心坐标和半径：圆1：圆心坐标(2, 3)，半径4圆2：圆心坐标(-1, -1)，半径3根据上述推导方法，可以求得两个公切点P1(1, 2)和P2(-0.5, -0.5)的坐标，进而求得公切线P1P2的方程。
专题06 与圆有关的问题(解析版)
专题06 与圆有关的问题【提要】与圆有关的知识包括圆的半径处处相等，垂径定理，点、直线、圆分别与圆的位置关系，等等．需要注意的是两圆相切包括内切和外切两种情况．【范例】【例1】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BA＝5，点P是AC上的动点(P不与A、C重合)，设PC＝x，点P到AB的距离为y.(1)求y与x的函数关系式；(2)试讨论以P为圆心，半径为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围．【解】(1)过P作PQ⊥AB于Q，则PQ＝y则Rt△AQP∽Rt△ACB，∴PQ∶BC＝AP∶AB即y3＝4－x5∴y＝－35x＋125(0＜x＜4)(2)当x<y时，x<－35x＋125，∴x<32∴当0＜x＜32时，圆P与AB所在直线相离；当x＝32时，圆P与AB所在直线相切；当32＜x ＜4时，圆P 与AB 所在直线相交．【例2】 如图，已知△ABC 内接于圆O ，如果AB ＝AC ，圆O 的直径为26，且tan ∠ABC ＝23.求BC的长．【解】 联结OA 、OB ，OA 交BC 于点D ，则OA ＝OB ＝13. ∵AB ＝AC ，∴AB ＝AC ， ∴OA ⊥BC ，BD ＝DC .在△ABD 中，∠ADB ＝90°，tan ∠ABC ＝AD BD ＝23，设AD ＝2k ，BD ＝3k ，则OD ＝13－2k在△BOD 中，∠BDO ＝90°，BD 2＋OD 2＝OB 2， ∴(3k )2＋(13－2k )2＝132， 13k 2－52k ＝0，k 1＝0(舍去)，k 2＝4， ∴BD ＝3k ＝12， BC ＝24.【例3】 如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上的一点，PC 与⊙O 分别相交于点E 和点C ，过点C 作CD ⊥AB ，交⊙O 于点D ，联结PD .(1)求证：PC ＝PD ；(2)如果PE 的长等于⊙O 的半径OC ，求证：∠AOC ＝3∠APC . 【证明】 (1)设P A 与DC 交点为H ，由PH ⊥CD ，PH 经过圆心，所以CH ＝HD ，从而△PCH ≌△PDH ，故PC ＝PD .(2)联结OE ，因为PE ＝OE ，所以∠APC ＝∠EOP ，又因为OE ＝OC ，所以∠OCE ＝∠OEC ，而且∠OEC ＝∠OPE ＋∠POE ＝2∠OPE ，所以∠AOC ＝∠APC ＋∠OCP ＝2∠APC ＋∠APC ＝3∠APC . 【例4】 如图：A 是⊙O 1、⊙O 2的一个交点，点B 是O 1O 2的中点，过点A 的直线垂直于AB 交⊙O 1、⊙O 2于点M 、N ，O 2H ⊥AB 于点H .(1)求证：AM ＝AN ；(2)设⊙O 1、⊙O 2的半径分别为R 、r ，BH ＝x ，BA ＝y 且R 2－r 2＝4，求y 与x 之间的函数关系式(不必求自变量x 的范围)．(1)【证明】 作O 1P ⊥MN ，O 2Q ⊥MN 垂足分别为P 、Q ，在梯形O 1O 2QP 中，AB 是中位线，所以P A ＝QA ，又由垂径定理，P A ＝PM ，QA ＝QN ，所以AM ＝AN .(2)【解】 设O 1P ＝m ，O 2Q ＝n ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2ym －n ＝2x ，得m 2－n 2＝4xy ；另一方面设P A ＝PM ＝QA ＝QN ＝t ，则⎩⎪⎨⎪⎧R 2－m 2＝t 2r 2－n 2＝t 2，得R2－r 2＝m 2－n 2，所以4xy ＝4，即y ＝1x . 【例5】 已知：如图，在平面直角坐标系中，点B 在x 轴上，以3为半径的⊙B 与y 轴相切，直线l 过点A (－2，0)，且和⊙B 相切，与y 轴相交于点C .(1)求直线l 的解析式；(2)若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)经过点O 和B ，顶点在⊙B 上，求抛物线的解析式； (3)若点H 在直线l 上，且以A 为圆心，AH 为半径的圆与⊙B 相切，求点H 的坐标．【解】 (1)过点B 作BD 垂直于l 交于点D ， ∵⊙B 与l 相切，∴BD ＝3 在Rt △ADB 中，AB ＝5， AD ＝（5）2－（3）2＝4 在Rt △ACO 中，tan ∠ACO ＝AO CO ＝AD DB ＝43， ∵AO ＝2，∴CO ＝1.5设l ：y ＝kx ＋1.5，A (－2，0)代入得k ＝34，∴y ＝34x ＋1.5(2)过OB 的中点F 作EF 垂直于x 轴交⊙B 于点E ，联结BE .∵在Rt △EFB 中，BE ＝3，BF ＝1.5， EF ＝（3）2－（1.5）2＝323， 又∵a >0 ∴E (32，－323)将O (0，0)、B (3，0)、E (32，－323)代入y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0) 得y ＝233x 2－23x(3)当两圆外切时，AH ＝2，H (－25，65)当两圆内切时，AH ＝8，H (225，245)【训练】1．（2019•上海）已知A e 与B e 外切，C e 与A e 、B e 都内切，且5AB =，6AC =，7BC =，那么C e 的半径长是( ) A ．11B ．10C ．9D ．8【分析】如图，设A e ，B e ，C e 的半径为x ，y ，z ．构建方程组即可解决问题． 【解答】解：如图，设A e ，B e ，C e 的半径为x ，y ，z ．由题意：567x y z x z y +=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得329x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故选：C ．2．（2018•上海）如图，已知30POQ ∠=︒，点A 、B 在射线OQ 上（点A 在点O 、B 之间），半径长为2的A e 与直线OP 相切，半径长为3的B e 与A e 相交，那么OB 的取值范围是( )A ．59OB <<B ．49OB <<C ．37OB <<D ．27OB <<【分析】作半径AD ，根据直角三角形30度角的性质得：4OA =，再确认B e 与A e 相切时，OB 的长，可得结论．【解答】解：设A e 与直线OP 相切时切点为D ，连接AD ， AD OP ∴⊥，30O ∠=︒Q ，2AD =， 4OA ∴=，当B e 与A e 相内切时，设切点为C ，如图1， 3BC =Q ，4325OB OA AB ∴=+=+-=；当A e 与B e 相外切时，设切点为E ，如图2， 4239OB OA AB ∴=+=++=，∴半径长为3的B e 与A e 相交，那么OB 的取值范围是：59OB <<，故选：A ．3．（2020•金山区一模）已知在矩形ABCD 中，5AB =，对角线13AC =．C e 的半径长为12，下列说法正确的是( )A ．C e 与直线AB 相交 B ．C e 与直线AD 相切 C ．点A 在C e 上D ．点D 在C e 内【分析】根据点和圆的位置关系及直线和圆的位置关系判断即可． 【解答】解：Q 在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，13AC =，5AB =，12BC ∴==，C Q e 的半径长为12， C ∴e 与直线AB 相切，故A 选项不正确， 512CD AB ==<Q ， C ∴e 与直线AD 相交，故B 选项不正确， 1312AC =>Q ，∴点A 在C e 外，故C 选项不正确， 512CD =<Q ，∴点D 在C e 内，故D 选项正确， 故选：D ．4．（2020•奉贤区一模）在ABC ∆中，9AB =，212BC AC ==，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且//DE BC ，2AD BD =，以AD 为半径的D e 和以CE 为半径的E e 的位置关系是( )A ．外离B ．外切C ．相交D ．内含【分析】分别计算D e 和以CE 为半径的E e 的半径，并计算DE 的长，根据外切的定义可解答． 【解答】解：如图，//DE BC Q ，∴DE ADBC AB=， 12BC =Q ，2AD BD =，∴2123DE =，8DE =，D Q e 的半径为6AD =，E e 的半径2CE =， 628AD CE DE ∴+=+==，∴以AD 为半径的D e 和以CE 为半径的E e 的位置关系是外切，故选：B ．5．（2019•青浦区二模）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，2AD =，4AB =，6BC =，点O 是边BC 上一点，以O 为圆心，OC 为半径的O e ，与边AD 只有一个公共点，则OC 的取值范围是( )A ．1343OC <…B ．1343OC剟 C ．1443OC <…D ．1443OC剟 【分析】作DE BC ⊥于E ，当O e 与边AD 相切时，圆心O 与E 重合，即4OC =；当OA OC =时，O e 与AD 交于点A ，设OA OC x ==，则6OB x =-，在Rt ABO ∆中，由勾股定理得出方程，解方程得出133OC =；即可得出结论．【解答】解：作DE BC ⊥于E ，如图所示： 则4DE AB ==，2BE AD ==， 4CE DE ∴==，当O e 与边AD 相切时，切点为D ，圆心O 与E 重合，即4OC =； 当OA OC =时，O e 与AD 交于点A ， 设OA OC x ==，则6OB x =-，在Rt ABO ∆中，由勾股定理得：2224(6)x x +-=， 解得：133x =； ∴以O 为圆心，OC 为半径的O e ，与边AD 只有一个公共点，则OC 的取值范围是1343x剟； 故选：B ．6．（2019•虹口区二模）如图，在ABC ∆中，AB AC =，4BC =，tan 2B =，以AB 的中点D 为圆心，r 为半径作D e ，如果点B 在D e 内，点C 在D e 外，那么r 可以取( )A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】先求出DB 和DC 的长，根据点B 在D e 内，点C 在D e 外，确定r 的取值范围，从而确定r 可以取的值．【解答】解：如图，过点A 作AF BC ⊥于点F ，连接CD 交AF 于点G ， AB AC =Q ，4BC =， 2BF CF ∴==， tan 2B =Q ，∴2AFBF=，即4AF =，AB ∴==，D Q 为AB 的中点，BD ∴=，G 是ABC ∆的重心，1433GF AF ∴==，CG ∴= 32CD CG ∴=，Q 点B 在D e 内，点C 在D e 外，∴r <故选：B ．7．（2020•金山区一模）已知相交两圆的半径长分别为8与15，圆心距为17，则这两圆的公共弦长为．【分析】根据相交两圆的性质，两圆的公共弦垂直于两圆心连接的直线上，又知两圆的半径，进而可以在直角三角形中解得公共弦长．【解答】解：在以两圆的一个交点和两圆圆心为顶点的三角形中，其三边分别为8，15，17，由于22217158=+，∴这个三角形是以17为斜边的直角三角形，斜边上的高8151201717⨯==，故公共弦长12024021717=⨯=，故答案为240 17．8．（2020•崇明区一模）两圆的半径之比为3:1，当它们外切时，圆心距为4，那么当它们内切时，圆心距为．【分析】只需根据两圆的半径比以及两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，列方程求得两圆的半径；再根据两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差求解．【解答】解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，则有:1:3r R=；又4R r+=，解，得3R=，1r=，∴当它们内切时，圆心距312=-=．故答案为：2．9．（2020•闵行区一模）已知在Rt ABC∆中，90C∠=︒，3AC=，4BC=，Ce与斜边AB相切，那么Ce的半径为．【分析】r的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出r的值．【解答】解：Rt ABC∆中，90C∠=︒，3AC=，4BC=；由勾股定理，得：2223425AB=+=，5AB∴=；又ABQ是Ce的切线，CD AB ∴⊥， CD r ∴=；1122ABC S AC BC AB r ∆==Q g g ， 125r ∴=， 故答案为：125．10．（2020•嘉定区一模）如图，O e 的半径长为5cm ，ABC ∆内接于O e ，圆心O 在ABC ∆的内部．如果AB AC =，8BC cm =，那么ABC ∆的面积为 2cm ．【分析】作AD BC ⊥于D ，根据等腰三角形的性质得142BD CD BC ===，即AD 垂直平分BC ，根据垂径定理得到圆心O 在AD 上；连接OB ，在Rt OBC ∆中利用勾股定理计算出3OD =，然后根据三角形面积公式进行计算．【解答】解：作AD BC ⊥于D ， AB AC =Q ，142BD CD BC ∴===， AD ∴垂直平分BC ，∴圆心O 在AD 上，连接OB ，在Rt OBC ∆中，4BD =Q ，5OB =，3OD ∴===，如图，538AD OA OD =+=+=，此时188322ABC S ∆=⨯⨯=；故答案为：32．11．（2020•闵行区一模）半径分别为3cm 的1O e 与2O e 相交于A 、B 两点，如果公共弦AB =，那么圆心距12O O 的长为 cm ．【分析】利用连心线垂直平分公共弦的性质，构造直角三角形利用勾股定理及有关性质解题． 【解答】解：如图，1O Q e 与2O e 相交于A 、B 两点， 12O O AB ∴⊥，且AD BD =；又AB =QAD ∴=∴在Rt △1AO D 中，根据勾股定理知11O D =厘米；在Rt △2AO D 中，根据勾股定理知23O D =厘米， 12124O O O D O D ∴=+=厘米；同理知，当小圆圆心在大圆内时，解得123O O =厘米1-厘米2=厘米． 故答案是：4或2；12．（2020•奉贤区一模）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，O e 是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径OA 的长为1，如果用它的面积来近似估计O e 的面积，那么O e 的面积约是 ．【分析】设AB 为正十二边形的边，连接OB ，过A 作AD OB ⊥于D ，由正十二边形的性质得出30AOB ∠=︒，由直角三角形的性质得出1122AD OA ==，求出AOB ∆的面积1124OB AD =⨯=，即可得出答案．【解答】解：设AB 为正十二边形的边，连接OB ，过A 作AD OB ⊥于D ，如图所示： 3603012AOB ︒∴∠==︒， AD OB ⊥Q ， 1122AD OA ∴==，AOB ∴∆的面积111112224OB AD =⨯=⨯⨯=∴正十二边形的面积11234=⨯=， O ∴e 的面积≈正十二边形的面积3=，故答案为：3．13．（2019•青浦区二模）如图，在O e 中，OA 、OB 为半径，连接AB ，已知6AB =，120AOB ∠=︒，那么圆心O 到AB 的距离为 ．【分析】过O 作OC AB ⊥交AB 于C 点，由垂径定理可知，OC 垂直平分AB ，再解直角三角形即可求解． 【解答】解：过O 作OC AB ⊥交AB 于C 点，如右图所示： 由垂径定理可知，OC 垂直平分AB ，则132AC AB ==， OA OB =Q ，120AOB ∠=︒，30OAB ∴∠=︒，tan tan30OCOAB AC∴∠=︒=，tan303OC AC ∴=︒==g O 到AB14．（2019•静安区二模）已知在ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC BC ==，如果以点C 为圆心的圆与斜边AB 有且只有一个交点，那么C e 的半径是 ．【分析】根据等腰直角三角形的性质和直线与圆的位置关系解答即可．【解答】解：Q 在ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC BC ==， Q 以点C 为圆心的圆与斜边AB 有且只有一个交点，CD AB ∴⊥，1122CD AB ∴==⨯，即C e15．（2019•嘉定区二模）在Rt ACB ∆中，90C ∠=︒，3AC =，BC =A 为圆心作圆A ，要使B 、C 两点中的一点在圆A 外，另一点在圆A 内，那么圆A 的半径长r 的取值范围是 ．【分析】熟记“设点到圆心的距离为d ，则当d r =时，点在圆上；当d r >时，点在圆外；当d r <时，点在圆内”即可求解，【解答】解：Rt ACB ∆Q 中，90C ∠=︒，3AC =，BC = 6AB ∴=，如果以点A 为圆心作圆，使点C 在圆A 内，则3r >， 点B 在圆A 外，则6r <，因而圆A 半径r 的取值范围为36r <<． 故答案为36r <<；16．（2019•长宁区二模）在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，6AB =，8BC =．分别以点A 、C 为圆心画圆，如果点B 在A e 上，C e 与A e 相交，且点A 在C e 外，那么C e 的半径长r 的取值范围是 ． 【分析】根据勾股定理求出斜边AC ，根据点和圆的位置关系求出A e 的半径，再求出C e 的半径即可． 【解答】解：在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，6AB =，8BC =，由勾股定理得：226810AC =+=，Q 点B 在A e 上，A ∴e 的半径是6，设A e 交AC 于D ，则6AD =，1064CD =-=， Q 点A 在C e 外，C ∴e 的半径小于10，即r 的取值范围是410r <<， 故答案为：410r <<．17．（2019•闵行区二模）如图，已知在O e 中，半径OC 垂直于弦AB ，垂足为点D ．如果4CD =，16AB =，那么OC = ．【分析】根据垂径定理可得182AD AB ==，90ADO ∠=︒，设CO x =，则AO x =，4DO x =-，再利用勾股定理列出方程，解出x 的值即可． 【解答】解：Q 半径OC 垂直于弦AB ， 182AD AB ∴==，90ADO ∠=︒， 设CO x =，则AO x =，4DO x =-，2228(4)x x =+-， 解得：10x =， 10CO ∴=，故答案为：10．18．如图，在矩形ABCD 中，过点A 的圆O 交边AB 于点E ，交边AD 于点F ，已知5AD =，2AE =，4AF =．如果以点D 为圆心，r 为半径的圆D 与圆O 有两个公共点，那么r 的取值范围是 ．【分析】连接EF ，知EF 是O e 的直径，取EF 的中点O ，连接OD ，作OG AF ⊥，知点G 是AF 的中点，据此可得122GF AF ==，112OG AE ==，继而求得OF ==OD =，最后根据两圆的位置关系可得答案． 【解答】解：如图，连接EF ，Q 四边形ABCD 是矩形，90BAC ∴∠=︒，则EF 是O e 的直径，取EF 的中点O ，连接OD ，作OG AF ⊥， 则点G 是AF 的中点， 122GF AF ∴==， OG ∴是AEF ∆的中位数，112OG AE ∴==，OF ∴=OD ， Q 圆D 与圆O 有两个公共点，∴r <<r <19．（2019•徐汇区二模）如图，把半径为2的O e 沿弦AB 折叠，¶AB 经过圆心O ，则阴影部分的面积为 （结果保留)π．【分析】过O 作OD AB ⊥于D ，交劣弧AB 于E ，根据勾股定理求出AD ，根据垂径定理求出AB ，分别求出扇形AOB 和三角形AOB 的面积，即可得出答案．【解答】解：过O 作OD AB ⊥于D ，交劣弧AB 于E ，如图：Q 把半径为2的O e 沿弦AB 折叠，¶AB 经过圆心O ，1OD DE ∴==，2OA =， Q 在Rt ODA ∆中，1sin 2OD A OA ==， 30A ∴∠=︒，60AOE ∴∠=︒，同理60BOE ∠=︒， 6060120AOB ∴∠=︒+︒=︒，在Rt ODA ∆中，由勾股定理得：AD = OD AB ⊥Q ，OD 过O ，2AB AD ∴==，∴阴影部分的面积2120214136023AOBAOB S S S ππ∆⨯=-=-⨯=-扇形故答案为：43π． 20．（2018•上海）已知O e 的直径2AB =，弦AC 与弦BD 交于点E ．且OD AC ⊥，垂足为点F ．（1）如图1，如果AC BD =，求弦AC 的长；（2）如图2，如果E 为弦BD 的中点，求ABD ∠的余切值；（3）联结BC 、CD 、DA ，如果BC 是O e 的内接正n 边形的一边，CD 是O e 的内接正(4)n +边形的一边，求ACD ∆的面积．【分析】（1）由AC BD =知¶¶¶¶AD CD CD BC +=+，得¶¶AD BC =，根据OD AC ⊥知¶¶AD CD =，从而得¶¶¶AD CDBC ==，即可知60AOD DOC BOC ∠=∠=∠=︒，利用sin AF AO AOF =∠可得答案； （2）连接BC ，设OF t =，证OF 为ABC ∆中位线及DEF BEC ∆≅∆得2BC DF t ==，由1DF t =-可得13t =，即可知23BC DF ==，继而求得143EF AC ==，由余切函数定义可得答案；（3）先求出BC 、CD 、AD 所对圆心角度数，从而求得BC AD =OF =公式计算可得．【解答】解：（1）OD AC ⊥Q ， ∴¶¶AD CD=，90AFO ∠=︒， 又AC BD =Q ，∴¶¶AC BD =，即¶¶¶¶AD CD CD BC +=+， ∴¶¶AD BC=， ∴¶¶¶AD CDBC ==， 60AOD DOC BOC ∴∠=∠=∠=︒，2AB =Q ，1AO BO ∴==，sin 1AF AO AOF ∴=∠==，则2AC AF==；（2）如图1，连接BC，ABQ为直径，OD AC⊥，90AFO C∴∠=∠=︒，//OD BC∴，D EBC∴∠=∠，DE BE=Q、DEF BEC∠=∠，()DEF BEC ASA∴∆≅∆，BC DF∴=、EC EF=，又AO OB=Q，OF∴是ABC∆的中位线，设OF t=，则2BC DF t==，1DF DO OF t=-=-Q，12t t∴-=，解得：13t=，则23DF BC==、3AC=，1124EF FC AC∴==，OB OD=Q，ABD D∴∠=∠，则2cot cotDFABD DEF∠=∠==；（3）如图2，BC Q 是O e 的内接正n 边形的一边，CD 是O e 的内接正(4)n +边形的一边， 360BOC n ∴∠=、3604AOD COD n ∠=∠=+， 则36036021804n n +⨯=+， 解得：4n =，90BOC ∴∠=︒、45AOD COD ∠=∠=︒，BC AC ∴==90AFO ∠=︒Q ，cos OF AO AOF ∴=∠=，则1DF OD OF =-=111(12222ACD S AC DF ∆∴==-=g ． 21．（2020•闵行区一模）如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，4BC =，tan 3B =．以AB 为直径作O e ，交边DC 于E 、F 两点．（1）求证：DE CF =； （2）求：直径AB 的长．【分析】（1）直接利用垂径定理结合平行线分线段成比例定理得出DH HC =，进而得出答案； （2）过点A 作AG BC ⊥，垂足为点G ，再利用已知结合勾股定理得出答案． 【解答】（1）证明：过点O 作OH DC ⊥，垂足为H ． //AD BC Q ，90ADC ∠=︒，OH DC ⊥，90BCN OHC ADC ∴∠=∠=∠=︒． ////AD OH BC ∴．又OA OB =Q ． DH HC ∴=．OH DC ⊥Q ，OH 过圆心，EH HF ∴=，DH EH HC HF ∴-=-．即：DE CF =．（2）解：过点A 作AG BC ⊥，垂足为点G ，90AGB ∠=︒， 90AGB BCN ∠=∠=︒Q ， //AG DC ∴． //AD BC Q ， AD CG ∴=．2AD =Q ，4BC =，2BG BC CG ∴=-=．在Rt AGB ∆中，tan 3B =Q ， tan 236AG BG B ∴==⨯=g ．在Rt AGB ∆中，222AB AG BG =+AB ∴=22．（2020•嘉定区一模）如图，在O e 中，AB 、CD 是两条弦，O e 的半径长为rcm ，弧AB 的长度为1l cm ，弧CD 的长度为2l cm （温馨提醒：弧的度数相等，弧的长度相等，弧相等，有联系也有区别）．当12l l =时，求证：AB CD =．【分析】根据弧长公式求得AOB COD ∠=∠，然后利用ASA 证得AOB COD ∆≅∆，即可证得结论． 【解答】解：设AOB m ∠=︒，COD n ∠=︒， 由题意，得1180mr l π=，2180nr l π=， QBG FH DG CH =，∴180180mr nr ππ=， m n ∴=，即AOB COD ∠=∠，OA Q 、OB 、OC 、OD 都是O e 的半径，OA OB OC OD ∴===，OA OC =Q ，AOB COD ∠=∠，OB OD =，()AOB COD SAS ∴∆≅∆ AB CD ∴=．23．（2019•杨浦区三模）ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3tan 4B =，5AB =，点O 为边AB 上一动点，以O 为圆心，OB 为半径的圆交射线BC 于点E ，以A 为圆心，OB 为半径的圆交射线AC 于点G ．（1）如图1，当点E 、G 分别在边BC 、AC 上，且CE CG =时，请判断圆A 与圆O 的位置关系，并证明你的结论；（2）当圆O 与圆A 存在公共弦MN 时（如图2)，设OB x =，MN y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）设圆A 与边AB 的交点为F ，联结OE 、EF ，当OEF ∆为以OE 为腰的等腰三角形时，求圆O 的半径长．【分析】（1）由三角函数得出3AC =，4BC =，作OP BE ⊥于P ，则PB PE =，//OP AC ，得出OB PBAB BC=，设PB PE x ==，则42CG CE x ==-，得出54OB x =，21AG AC CG x =-=-，得出方程，得出43x =，53OB ==，求出2OA AB OB OB =-=，即可得出结论；（2）连接OM ，由相交两圆的性质得出OA 与MN 垂直平分，90ODM ∠=︒，1122DM MN y ==，1(5)2AD OD x ==-，由勾股定理得出方程，整理即可；（3）分三种情况：①当圆O 与圆A 外切，OE OF =时，圆O 与圆A 外切，圆O 的半径长53OB =； ②当OE FE =时，圆O 与圆A 相交，作EH OF ⊥于H ，则52OF OH OB ==-，证明BEH BAC ∆∆∽，得出158EH =，在Rt OEH ∆中，由勾股定理得出方程，解方程即可； ③当O 与A 重合时，OE OF =，5OE AB ==；即可得出结论． 【解答】解：（1）圆A 与圆O 外切，理由如下： 90ACB ∠=︒Q ，3tan 4B =，5AB =，3AC ∴=，4BC =， 作OP BE ⊥于P ，如图1所示： 则PB PE =，//OP AC ，∴OB PBAB BC=， 设PB PE x ==，则42CG CE x ==-， 5544x OB x ⨯∴==，21AG AC CG x =-=-， AG OB =Q ， 5214x x ∴-=， 解得：43x =， 53OB ∴==， 5105233OA AB OB OB ∴=-=-==，∴圆A 与圆O 外切；（2）连接OM ，如图2所示： Q 圆O 与圆A 存在公共弦MN ，OA ∴与MN 垂直平分， 90ODM ∴∠=︒，1122DM MN y ==，1(5)2AD OD x ==-， 由勾股定理得：222DM OM OD =-，即22215()()22x y x -=-，整理得：2231025y x x =+-， 525(5)3y x ∴<<；（3）分三种情况：①当圆O 与圆A 外切，OE OF =时，圆O 与圆A 外切，圆O 的半径长53OB =； ②当OE FE =时，圆O 与圆A 相交，如图3所示： 作EH OF ⊥于H ，则52OF OH OB ==-， B B ∠=∠Q ，90EHB C ∠=︒=∠，BEH BAC ∴∆∆∽，∴EH BFAC BC=， 5315248EH ⨯∴==， 在Rt OEH ∆中，由勾股定理得：2222155()()82OB OE OB +-==，解得：12564OB =； ③当O 与A 重合时，OE OF =，F 与B 重合，5OE AB ==；综上所述，当OEF ∆为以OE 为腰的等腰三角形时，圆O 的半径长为53或12564或5．24．（2019•青浦区二模）已知：在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，1AC=，D是AB的中点，以CD为直径的Qe 分别交BC、BA于点F、E，点E位于点D下方，连接EF交CD于点G．（1）如图1，如果2BC=，求DE的长；（2）如图2，设BC x=，GDyGQ=，求y关于x的函数关系式及其定义域；（3）如图3，连接CE，如果CG CE=，求BC的长．【分析】（1）如图1中，连接CE．在Rt CDE∆中，求出CD，CE即可解决问题．（2）如图2中，连接CE，设AC交Qe于K，连接FK，DF，DK．想办法用x表示CD，DE，证明//FK AB，推出DG DEGQ FQ=，延长构建关系式即可解决问题．根据点E位于点D下方，确定x的取值范围即可．（3）如图3中，连接FK．证明ED EC=，由此构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，连接CE．在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒Q ，1AC =，2BC =，AB ∴=， CD Q 是Q e 的直径， 90CED ∴∠=︒， CE AB ∴⊥，BD AD =Q ，12CD AB ∴==Q1122AB CE BC AC =g g g g ，CE ∴=，在Rt CDE ∆中，DE =（2）如图2中，连接CE ，设AC 交Q e 于K ，连接FK ，DF ，DK ．90FCK ∠=︒Q ，FK ∴是Q e 的直径，∴直线FK 经过点Q ，CD Q 是Q e 的直径， 90CFD CKD ∴∠=∠=︒， DF BC ∴⊥，DK AC ⊥，DC DB DA ==Q ， BF CF ∴=，CK AK =， //FK AB ∴，∴DG DEGQ FQ=， BC x =Q ，1AC =，AB ∴=DC DB DA ∴===ACE ABC ∆∆Q ∽，∴可得AE =DE AD AE ∴=-=∴2DE DECD FQ=，∴2y =， 2222(1)1x y x x -∴=>+．（3）如图3中，连接FK ．CE CG =Q ， CEG CGE ∴∠=∠，FKC CEG ∠=∠Q ， //FK AB Q ， FKC A ∴∠=∠， DC DA =Q ，A DCA ∴∠=∠，A DCA CEG CGE ∴∠=∠=∠=∠， CDA ECG ∴∠=∠， EC DE ∴=，由（2=-， 整理得：2210x x --=，1x ∴=+1，1BC ∴=．25．（2019•浦东新区二模）已知AB 是圆O 的一条弦，P 是圆O 上一点，过点O 作MN AP ⊥，垂足为点M ，并交射线AB 于点N ，圆O 的半径为5，8AB =． （1）当P 是优弧¶AB 的中点时（如图），求弦AP 的长； （2）当点N 与点B 重合时，试判断：以圆O 为圆心，32为半径的圆与直线AP 的位置关系，并说明理由； （3）当BNO BON ∠=∠，且圆N 与圆O 相切时，求圆N 半径的长．【分析】（1）连接PO 并延长交弦AB 于点H ，由垂径定理得出PH AB ⊥，AH BH =，由勾股定理得出3OH ==，在APH ∆中，90AHP ∠=︒，8PH OP OH =+=，由勾股定理求出AP 即可； （2）作OG AB ⊥于G ，先证明OBG ABM ∆∆∽，得出BM BG AB OB =，求出325BM =，得出75OM =，由7352<，即可的距离；（3）分情况讨论：①当圆N 与圆O 相外切时，作OD AB ⊥于D ，由勾股定理求出3OD ==，证出5BN OB ==，得出DN 的长，再由勾股定理求出ON ，然后由相切两圆的性质即可得出圆N 的半径； 当圆N 与圆O 相内切时，由相切两圆的性质即可得出结果．②当点N 在线段AB 上时，此时点P 在弦AB 的下方，点N 在圆O 内部，只存在圆N 与圆O 相内切，作OE AB ⊥于E ，则4AE BE ==，证出5BN OB ==，1EN BN BE ===，由勾股定理求出3OE ==，在Rt OEN ∆中，再由勾股定理得：ON == 【解答】解：（1）连接PO 并延长交弦AB 于点H ，如图1所示： P Q 是优弧¶AB 的中点，PH 经过圆心O ， PH AB ∴⊥，AH BH =，在AOH ∆中，90AHO ∠=︒，142AH AB ==，5AO =，3OH ∴=，在APH ∆中，90AHP ∠=︒，538PH OP OH =+=+=，AP ∴= （2）当点N 与点B 重合时，以点O 为圆心，32为半径的圆与直线AP 相交；理由如下： 作OG AB ⊥于G ，如图2所示： OBG ABM ∠=∠Q ，OGB AMB ∠=∠， OBG ABM ∴∆∆∽，∴BM BG AB OB =，即485BM =，解得：325BM =， 327555OM ∴=-=， Q7352<， ∴当点N 与点B 重合时，以点O 为圆心，32为半径的圆与直线AP 相交； （3）①当点N 在线段AB 延长线上时，当圆N 与圆O 相外切时，作OD AB ⊥于D ，如图3所示： 5OA OB ==Q ， 142AD DB AB ∴===，3OD ∴===， BNO BON ∠=∠Q ， 5BN OB ∴==， 9DN DB BN ∴=+=，在Rt ODN ∆中，由勾股定理得：ON == Q 圆N 与圆O 相切，∴圆N 半径55ON =-=；当圆N 与圆O 相内切时，圆N 半径55ON =+=；②当点N 在线段AB 上时，此时点P 在弦AB 的下方，点N 在圆O 内部，只存在圆N 与圆O 相内切，如图4所示：作OE AB ⊥于E ，则4AE BE ==，3OE =， BNO BON ∠=∠Q ， 5BN OB ∴==，1EN BN BE ∴===，在Rt OEN ∆中，由勾股定理得：ON =∴圆N 半径55ON =-=综上所述，当BNO BON ∠=∠，且圆N 与圆O 相切时，圆N 半径的长为5或5或5。
初中数学圆中常见的两解问题
初中数学圆中常见的两解问题《圆》是初中阶段的重点内容，而圆中两解问题又是其中的难点，也是中考命题的热点，现归纳如下：一、两平行弦之间的距离例1. 圆O 的半径是5，弦AB=6，CD=8，且AB//CD ，求弦AB ，CD 之间的距离。
变式训练：（1）圆O 的半径是5，弦AB=6，CD=8，且AB//CD ，求弦AC 距离。
（2）已知圆的两弦AB 、CD 的长是方程0432422=+-x x 的两根，且AB//CD ，又知两弦之间的距离是3，则该圆的半径长为____________。
二、弦所对的圆周角例2.在半径为5的圆O 内有长35的弦AB ，求弦AB 所对的圆周角。
变式训练：（1）圆的弦长恰好等于该圆的半径，则这条弦所对的圆周角是________度。
（2）△ABC 内接于⊙O ，∠AOB=100°，则∠ACB=_________度。
三、已知半径、两弦长、求两弦的夹角例3. 已知圆O 的半径为1，弦3AC ,2AB ==，求∠BAC 。
变式训练(1)已知圆的两弦AB 、AC 的长分别为34、24，且圆的半径为4，则∠BAC= 。
(2) 已知圆的两弦AB 、AC 的长分别为34、24,且圆的半径为4，取AB 的中点E ，AC 的中点F ，则则∠EOF= 。
四、点在弧上的位置不确定例四.PA ，PC 分别切⊙O 于A ，C 两点，B 为⊙O 上与A ，C 不重合的点，若∠P=50°，则∠ABC=_________度。
变式训练：（1）在⊙O 中，AB 为直径，CD 为弦，AB ⊥CD ，P 为圆周上与C ，D 不重合的任意一点，判断∠COB 与∠CPD 的数量关系，并证明你的结论。
五、点与圆的位置不确定例5.在同一平面内，点P 到⊙O 的最长距离为8cm ，最短距离为2cm ，则⊙O 的半径为___________。
变式训练：（1）⊙O 的直径为6cm ，如果直线a 上的一点C 到点O 的距离为3cm ，则直线a 与⊙O 的位置关系是_________。
运动中的两圆相切问题
运动中的两圆相切问题两圆相切是一个普遍存在的数学问题，它涉及到圆的半径、圆心坐标以及圆的运动轨迹。
在这个问题中，两个圆在运动中相切，并且圆心的坐标和半径都是可变的。
首先，我们来看一下两圆相切的基本原理。
两个圆的半径之和等于两个圆心之间的距离，即：R1 + R2 = d，其中R1和R2分别为两个圆的半径，d为两个圆心之间的距离。
其次，我们来看一下两圆相切的运动轨迹。
当两个圆在运动中相切时，它们的运动轨迹是一个椭圆，其中一个圆的圆心在椭圆的焦点处，另一个圆的圆心在椭圆的另一个焦点处。
最后，我们来看一下两圆相切的解法。
首先，我们需要确定两个圆的半径和圆心坐标，然后根据上面提到的两圆相切的基本原理，计算出两个圆心之间的距离d，最后根据d的值，计算出两个圆的运动轨迹。
总之，两圆相切是一个普遍存在的数学问题，它涉及到圆的半径、圆心坐标以及圆的运动轨迹。
两个圆的半径之和等于两个圆心之间的距离，当两个圆在运动中相切时，它们的运动轨迹是一个椭圆，其中一个圆的圆心在椭圆的焦点处，另一个圆的圆心在椭圆的另一个焦点处。
要解决这个问题，首先要确定两个圆的半径和圆心坐标，然后根据两圆相切的基本原理，计算出两个圆心之间的距离d，最后根据d的值，计算出两个圆的运动轨迹。
两圆相切的问题是一个普遍存在的数学问题，它涉及到圆的半径、圆心坐标以及圆的运动轨迹。
它的解法也很简单，只要确定两个圆的半径和圆心坐标，根据两圆相切的基本原理，计算出两个圆心之间的距离d，最后根据d的值，计算出两个圆的运动轨迹即可。
因此，两圆相切的问题是一个比较容易解决的数学问题，只要掌握了基本原理，就可以轻松解决。
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B（2，1）的圆的方程.
问题1：要不要讨论，两圆是内切还是外切？
2 2 2 解：设圆的方程为 ( x a ) ( y b ) r
2 （ a - 3） (b 1) 2 r 2 2 2 则 (-1 - a ) (4 - b) r 2 2 2 (2 - a ) (1 - b) r
|a|=4+1,∴a=〒5,若圆C1与圆C2内切，则|C1C2|=r1-r2,即
|a|=3,∴a=〒3. 2.与x轴相切，并和圆x2+y2=1外切的动圆的圆心轨迹方程是( (A)x2=2y+1 (B)x2=-2y+1 )
(C)x2=2|y|+1
(D)x2=2y-1
3.
(状元桥P77例2)
例 4 .求半径为 4，与圆 x y - 4 x - 2 y - 4 0，且和直线 相切的圆的方程
(状元桥
y 0
P78误区警示)
( ) )
练习：
1.若圆C1：x2+y2=16与圆C2：(x-a)2y+1
(B)±5
(C)3或5
(B)x2=-2y+1
(D)±3或±5
2.与x轴相切，并和圆x2+y2=1外切的动圆的圆心轨迹方程是(
(C)x2=2|y|+1
(D)x2=2y-1
3.
1.若圆C1：x2+y2=16与圆C2：(x-a)2+y2=1相切，则a的值为
(
(A)±3 (B)±5 (C)3或5 (D)±3或±5
)
【解析】选D.若圆C1与圆C2外切，则|C1C2|=r1+r2,即
|C 1 C 2|= (m+1) +(m+2) .
2 2
【解析】对于圆C1与圆C2的方程，经配方后，有
C1：(x-m)2+(y+2)2=9, C2：(x+1)2+(y-m)2=4, ∴两圆的圆心C1（m，-2),C2(-1,m),半径r1=3,r2=2， 且 |C 1 C 2|= (m+1)2 +(m+2)2 . ①若圆C1与圆C2相外切，则|C1C2|=r1+r2， 即
2 2 (m+1) +(m+2) =5,解得m=-5或m=2.
②如果C1与C2内切，则有 =3-2=1,即m2+3m+2=0, (m+1) +(m+2)
2 2
∴m=-1或m=-2. 故当m=-1或m=-2或m=-5或m=2时两圆相切.
例2.求过点A（-1，4），并且与圆（x-3)2+(y+1)2=5相切于点
5
由此解得a, b, r的值 问题2：还有没有简单点的做法？
思路点拨：根据平面几何知识，利用相切条件，即两圆圆心
连线过切点（三点共线）及圆过A、B两点列方程求解.
b 1 a2 2 1
r
2
例 3 .求与圆 x y - 2 x 0 外切且与直线
2 2
x
3 y 0 相切于点
M （3， 3）的圆的方程 2 2
§与两圆相切有关问题
例1.已知圆C1：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2：x2+y2+2x-2my+m2
-3=0,当m为何值时，圆C1与圆C2相切?
【解析】对于圆C1与圆C2的方程，经配方后，有
C1：(x-m)2+(y+2)2=9, C2：(x+1)2+(y-m)2=4, ∴两圆的圆心C1（m，-2),C2(-1,m),半径r1=3,r2=2， 且