【全国百强校】福建省连城县第二中学2017届高三上学期期中考试理数(解析版)

福建省连城县第二中学2017届高三上学期期中考试理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.集合{}1,0,1A =-，{}|cos ,B y y x x A ==∈，则A B = （ ） A ．{}0 B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1-【答案】B 【解析】试题分析：因为集合{}1,0,1A =-，{}{}|cos ,cos1,1B y y x x A ==∈=，所以，A B = {}1，故选B. 考点：1、集合的表示方法；2、集合的交集.2.如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间t （分）的函数关系表示的图象只可能是（ ）【答案】A考点：1、函数的图象；2、阅读能力、建模能力及选择题的排除法.3.已知等差数列{}n a 中，37108a a a +-=，1144a a -=，记12n n S a a a =+++…，则13S =（ ） A ．78B ．152C ．156D ．168【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为37101111,2698d a a a a d a d a d a d ∴+-=+++--=-=①，1141110374a a a d a d d -=+--==②，联立①②，解得11316041312,,13156772a d S a d ⨯==∴=+=，故选C. 考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前n 项和公式.4.已知二次曲线2214x y m+=，则当[]2,1m ∈--时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C考点：1、双曲线的方程；2、双曲线的离心率. 5.二项式431(2)3nx x-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ） A ．7 B ．12C ．14D ．5【答案】A 【解析】试题分析：展开式的通项为471123rn r r n rr n T C x--+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令470n r -=，据题意此方程有解，74r n ∴=，当4r =时，n 最小为7，故选A. 考点：二项式定理的应用. 6.若220a x dx =⎰，230b x dx =⎰，2sin c xdx =⎰，a 、b 、c 大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b <<考点：1、定积分的应用；2、三角函数的有界性.7.已知a ，b 均为非零向量，条件p ：0a b ⋅> ，条件q ：a 与b的夹角为锐角，则p 是q 成立的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：当0a b >时，a 与b 的夹角为锐角或a 与b同向；故条件p ⇒条件q ，为假命题，即p 是q 成立的不充分条件；而当a 与b 的夹角为锐角时，0a b >一定成立，即条件p ⇒条件q ，为真命题，即p 是q 成立的必要条件；p 是q 成立的必要不充分条件，故选C.考点：1、向量的夹角及平面向量夹角余弦公式；2、充分条件与必要条件.【方法点睛】本题向量的数量积与其夹角的关系主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题.8.从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】B 【解析】试题分析：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从数字1,2,3,4,5,中任取两个不同的数字构成一个两位数，共有2520A =种结果，满足条件的事件可以列举出有，41,42,43,45,51,53,52,54，共有8个，根据古典概型概率公式得到82205P ==，故选B. 考点：1、排列的应用；2、古典概型概率公式.9.在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线； ②若平面//α平面β，则平面α内任意一条直线//m 平面β；③若平面α与平面β的交线为m ，平面α内的直线n ⊥直线m ，则直线n ⊥平面β； ④若平面α内的三点A ，B ，C 到平面β的距离相等，则//αβ． 其中正确命题的个数为（ ）个 A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B考点：1、线面关系的判定与性质；2、面面关系的判定与性质.【方法点晴】本题主要考查线面关系的判定与性质、面面关系的判定与性质，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.10.设动直线x a =与函数2()2sin ()4f x x π=+和()2g x x =的图象分别交于M 、N 两点，则||MN 的最大值为（ ）A BC ．2D ．3【答案】D 【解析】试题分析：()()22sin 21cos 2242MN f a g a a a a a ππ⎛⎫⎛⎫=-=+=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2212sin 213,3a a a MN π⎛⎫=-+=-+≤∴ ⎪⎝⎭的最大值为3，故选D.考点：1、二倍角的余弦公式及两角差的正弦公式；2、数形结合思想及三角函数的有界性. 11.已知函数2log ()a y ax x =-在区间[]2,4上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1(,1)(1,)2+∞ B ．(1,)+∞ C ．1(,1)4D ．1(0,)8【答案】B考点：1、对数函数的定义域、复合函数的单调性及二次函数的单调性；2、不等式的解法.【方法点睛】本题主要考查对数函数的定义域、复合函数的单调性及二次函数的单调性、不等式的解法，属于难题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增→增，减减→增，增减→减，减增→减）.12.若二次函数()y f x =的图象过原点，且它的导数'()y f x =的图象是经过第一、二、三象限的一条直线，则()y f x =的图象顶点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知可设二次函数()2y f x ax bx ==+，它的导数()'2y f x ax b ==+，由导数的图象经过第一、二、三象限的一条直线，()0,0,a b y f x ∴>>=的图象顶点2,24b b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在第三象限，故选C.考点：1、二次函数的性质；2、导数的应用及直线的基本性质.【方法点睛】本题主要考查二次函数的性质、导数的应用及直线的基本性质，属于中档题.本题通过导函数与原函数，综合考查了二次函数的几何性质、直线的几何性质以及导数的求导法则，尽管每一部分知识都不难，但是由于考查知识面较广，对一部分对基础知识掌握不太全面的同学还是有一定难度，因此这就要求同学们在复习过程中，要全面细致的把基础打好.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm ），则该几何体的表面积为 ．【答案】224cm π考点：1、几何体的三视图；2、圆锥的底面积及侧面积公式. 14.不等式1|||5|1x a x+>-+对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】46a << 【解析】试题分析：x 与1x 同号，11x x x x∴+=+2≥（当且仅当1x =±时取“=”）251,51a a ∴>-+∴-<，解得46a <<，故答案为46a <<.考点：1、绝对值不等式的解法；2、基本不等式求最值及不等式恒成立问题.15.设x 、y 满足约束条件0,,21,x x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩若目标函数为32z x y =+，则z 的最大值为 ．【答案】5考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.16.对于函数①()lg(|2|1)f x x =-+；②2()(2)f x x =-；③()cos(2)f x x =+．判断如下三个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在区间(,2)-∞上是减函数，在区间(2,)+∞上是增函数；命题丙：(2)()f x f x +-在(,)-∞+∞上是增函数，能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是 ． 【答案】②考点：1、函数的奇偶性；2、函数单调性及函数的解析式.【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断考察函数的解析式、奇偶性、单调性以及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，设向量(,cos )m a B = ，(,cos )n b A =，且//m n ，m n ≠ ．（1）求sin sin A B +的取值范围；（2）若abx a b =+，试确定实数x 的取值范围． 【答案】（1）；（2）)+∞. 【解析】试题分析：（1）由//m n 可得cos cos a A b B =，再由正弦定理及正弦的二倍角公式可得sin 2sin 2A B =，从而得2A B π+=，进而可得sin sin )4A B A π+=+，再利用三角函数有界性可得结果；（2）由正弦定理，得sin sin sin cos sin sin sin cos a b A B A A x ab A B A A +++===，设sin cos A A t +=∈，则21x t t =-，利用函数单调性可得结果.试题解析：因为(,cos )m a B = ，(,cos )n b A =，且//m n ，所以cos cos a A b B =，由正弦定理，得sin cos sin cos A A B B =， 即sin 2sin 2A B =，又m n ≠ ，所以22A B π+=，即2A B π+=．（1）sin sin sin sin()sin cos )24A B A A A A A ππ+=+-=+=+，因为02A π<<，∴3444A πππ<+<，∴2)4A π<+≤因此sin sin A B +的取值范围是．考点：1、正弦定理及两角和的正弦公式；2、二倍角的正弦公式、三角函数的有界性及函数的单调性. 18.数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a t =，121n n a S +=+（*n N ∈）． （1）t 为何值时，数列{}n a 是等比数列？（2）在（1）的条件下，若等差数列{}n b 的前n 项和n T 有最大值，且315T =，又11a b +，22a b +，33a b +等比数列，求n T ．【答案】（1）1t =；（2）2205n T n n =-.试题解析：（1）∵121n n a S +=+， ∴当2n ≥时，121n n a S -=+，两式相减得12n n n a a a +-=，即13n n a a +=， ∴当2n ≥时，数列{}n a 是等比数列， 要使数列{}n a 是等比数列， 当且仅当213a a =，即213t t +=，从而1t =． （2）设数列{}n b 的公差为d ， 由315T =，得25b =， 故可设15b d =-，35b d =+， 又11a =，23a =，39a =， 由题意知2(51)(59)8d d -+++=， 解得12d =，210d =-，又等差数列{}n b 的前n 项和n T 有最大值， ∴10d =-， 从而2205n T n n =-．考点：1、等差数列定义、通项公式及求和公式；2、等比数列的性质.19.如图，已知BCD ∆中，90BCD ∠=︒，1BC CD ==，AB ⊥平面BCD ，60ADB ∠=︒，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且AE AF AC ADλ==（01λ<<）． （1）判断EF 与平面ABC 的位置关系并证明；（2）若12λ=，求三棱锥A BEF -的体积．【答案】（1）EF ⊥平面ABC ，证明见解析；（2试题解析：（1）EF ⊥平面ABC ．证明：因为AB ⊥平面BCD ，所以AB CD ⊥，又在BCD ∆中，90BCD ∠=︒，所以BC CD ⊥，又AB BC B = ，所以CD ⊥平面ABC ，又在ACD ∆中，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且AE AF AC AD λ==（01λ<<）， 所以//EF CD ，因为CD ⊥平面ABC ，所以EF ⊥平面ABC ，所以，不论λ为何值，总有EF ⊥平面ABC ．（2）解：在BCD ∆中，90BCD ∠=︒，1BC CD ==，所以BD =又AB ⊥平面BCD ，所以AB BC ⊥，AB BD ⊥，又在Rt ABD ∆中，60ABD ∠=︒，所以tan 60AB BD =︒=，由（1）知EF ⊥平面ABE ，所以1=3ABE A BEF F ABE V V S EF ∆--=⋅三棱锥三棱锥11111132622ABC S EF ∆=⨯⋅=⨯⨯=， 所以，三棱锥A BEF -考点：1、直线与平面垂直的判定定理；2、“等积变换”及棱锥的体积公式.20.某班从6名干部中（其中男生4人，女生2人）选3人参加学校的义务劳动．（1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及E ξ；（2）求男生甲或女生乙被选中的概率；（3）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中概率．【答案】（1）分布列见解析，1E ξ=；（2）45；（3）25.试题解析：解：（1）ξ的所有可能取值为0,1,2，依题意得：34361(0)5C P C ξ===；2142363(1)5C C P C ξ===，1242361(2)5C C P C ξ===， ∴ξ的分布列为∴130121555E ξ=⨯+⨯+⨯=． （2）设“甲、乙都不被选中”的事件为C ，则343641()205C P C C ===， 所以所求概率为14()1()155P C P C =-=-=． （3）记“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，25361()2C P A C ==；14361()5C P B A C == ， ()2(|)()5P BA P B A P A ==． 考点：1、独立事件的概率、对立事件的概率及条件概率；2、离散型随机变量的分布列与期望.21.已知两点M 和N 分别在直线y mx =和y mx =-（0m >）上运动，且||2MN =，动点P 满足：2OP OM ON =+ （O 为坐标原点），点P 的轨迹记为曲线C ． （1）求曲线C 的方程，并讨论曲线C 的类型；（2）过点(0,1)作直线l 与曲线C 交于不同的两点A 、B ，若对于任意1m >，都有AOB ∠为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围．【答案】（1）222211x y m m +=，当1m >时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆，当01m <<时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆，当1m =时，方程表示圆；（2）[]1,1-.试题解析：（1）由2OP OM ON =+ ，得P 是MN 的中点，设(,)P x y ，11(,)M x mx ，22(,)N x mx -，依题意得：121222212122,2,()()2,x x x mx mx y x x mx mx ⎧+=⎪-=⎨⎪-++=⎩整理得222211x y m m +=， 当1m >时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆；当01m <<时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当1m =时，方程表示圆．（2）由1m >，焦点在y 轴上的椭圆，直线l 与曲线C 恒有两交点，因为直线斜率不存在时不符合题意，可设直线l 的方程为1y kx =+，直线与椭圆的交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ， 由22221,1,1y kx x y m m =+⎧⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩得4222()210m k x kx m +++-=， 12422k x x m k+=-+，212421m x x m k -=+， 22212124242(1)2(1)(1)1k m k y y kx kx m k m k --=++=++++， 要使AOB ∠为锐角，则有0OA OB ⋅> ， 所以422121242(1)10m k m x x y y m k -+++=>+， 即422(1)10m k m -++>， 可得22211m k m +>+，对于任意1m >恒成立， 而2212m m+>，∴212k +≤，11k -≤≤， 所以满足条件的k 的取值范围是[]1,1-．考点：1、直线与圆锥曲线的位置关系；2、圆锥曲线的方程、基本不等式求最值及不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的方程、基本不等式求最值及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x = 上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得k 的范围的.22.设函数ln(1)()1x f x x x+=-+． （1）令2()(1)1ln(1)N x x x =+-++，判断并证明()N x 在(1,)-+∞上的单调性，并求(0)N ；（2）求函数()f x 在定义域上的最小值；（3）是否存在实数m ，n 满足0m n ≤<，使得()f x 在区间[],m n 上的值域也为[],m n ．【答案】（1）()N x 在(1,)-+∞上是单调递增，(0)0N =；（2）0；（3）不存在满足条件的实数m ，n .试题解析：（1）当1x >-时，1'()2201N x x x=++>+， 所以，()N x 在(1,)-+∞上是单调递增，(0)0N =．（2）()f x 的定义域是(1,)-+∞，221ln(1)()'()1(1)(1)x N x f x x x -+=-=++， 当10x -<<时，()0N x <，所以'()0f x <；当0x >时，()0N x >，所以'()0f x >，所以在(1,0)-上()f x 单调递减，在(0,)+∞上()f x 单调递增；所以min ()(0)0f x f ==．（3）由（2）知()f x 在[0,)+∞上是单调递增函数，若存在m ，n 满足条件，则必有()f m m =，()f n n =，也即方程()f x x =在[0,)+∞上有两个不等的实根m ，n ，但方程()f x x =，即ln(1)1x x++0=只有一个实根0x =， 所以不存在满足条件的实数m ，n ．考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数求闭区间上函数的最值.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()'0f x >，解不等式得x 的范围就是递增区间；令()'0f x <，解不等式得x 的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.。