人教版初中数学因式分解课件
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人教版初中数学课标版九年级上册第二十一章 21.2 解一元二次方程因式分解法(共17张PPT)
还
10x - 4.9x 2 = 0
有
其
降 配方法
它
更
次 公式法
简 便
？
的 方
x1=
0
，x2 =
100 49
2.04
法 吗 ？
探究新知
观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？你能根据 它的特点找到更简便的方法吗？
10x - 4.9x2 = 0
左边因式分解
x（10 - 4.9x）= 0
用降次法中的因式分解法解一元二次方程．
复习引入
1、解一元二次方程的基本思路是什么？ 把二次方程转化为一次方程即降次
2、我们学过了用降次法中的哪几种方法来 解一元二次方程？
配方法和公式法
复习引入
3、什么叫因式分解？因式分解有哪几种方 法？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式 分解或分解因式；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.2421.8.2422:38:5422:38:54August 24, 2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月24日星期二下午10时38分54秒22:38:5421.8.24
应用新知
1、用因式分解法解下列方程
（1）3x2+6x=0
（2）y(y-1)=2y-2
解 （1）3x(x+2)=0
：
∴3x=0或x+2=0
∴x1=0,x2=-2
(2)y(y-1)-2(y-1)=0 (y-1)(y-2)=0
∴y-1=0或y-2=0
人教版初中数学《整式的乘法与因式分解》_PPT1
【获奖课件ppt】人教版初中数学《整 式的乘 法与因 式分解 》_ppt 3-课件 分析下 载
【获奖课件ppt】人教版初中数学《整 式的乘 法与因 式分解 》_ppt 3-课件 分析下 载
10．计算： (1)(－12a2bc3)3; 解：－18a6b3c9 (3)[(x－y)3(x＋y)2]3； 解：(x－y)9·(x＋y)6 (4)(－2xy2)6＋(－3x2y4)3. 解：37x6y12
【获奖课件ppt】人教版初中数学《整 式的乘 法与因 式分解 》_ppt 3-课件 分析下 载
知识点 2：积的乘方法则的逆运用 6．计算：(0.25)4·(－4)4＝__1__． 7．计算：(23)2017·1.52016·(－1)2017＝___－__23___．
【获奖课件ppt】人教版初中数学《整 式的乘 法与因 式分解 》_ppt 3-课件 分析下 载
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【获奖课件ppt】人教版初中数学《整 式的乘 法与因 式分解 》_ppt 3-课件 分析下 载
8．计算(－12xy2)3，结果正确的是( B ) A.14x2y4 B．－18x3y6 C.18x3y6 D．－18x3y5
【获奖课件ppt】人教版初中数学《整 式的乘 法与因 式分解 》_ppt 3-课件 分析下 载
1．积的乘方，等于把积的每一个因式分别___乘__方_，再把所得的____幂相乘， 用字母表示为：(ab)n＝_______a_nb(nn 为正整数)． 2．积的乘方公式的逆应用，即anbn＝__(a_b_)_n__(n为正整数)． 练习1：(2016·重庆)计算(x2y)3的结果是( A ) A．x6y3 B．x5y3 C．x5y D．x2y3
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10．计算： (1)(－12a2bc3)3; 解：－18a6b3c9 (3)[(x－y)3(x＋y)2]3； 解：(x－y)9·(x＋y)6 (4)(－2xy2)6＋(－3x2y4)3. 解：37x6y12
【获奖课件ppt】人教版初中数学《整 式的乘 法与因 式分解 》_ppt 3-课件 分析下 载
知识点 2：积的乘方法则的逆运用 6．计算：(0.25)4·(－4)4＝__1__． 7．计算：(23)2017·1.52016·(－1)2017＝___－__23___．
【获奖课件ppt】人教版初中数学《整 式的乘 法与因 式分解 》_ppt 3-课件 分析下 载
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【获奖课件ppt】人教版初中数学《整 式的乘 法与因 式分解 》_ppt 3-课件 分析下 载
8．计算(－12xy2)3，结果正确的是( B ) A.14x2y4 B．－18x3y6 C.18x3y6 D．－18x3y5
【获奖课件ppt】人教版初中数学《整 式的乘 法与因 式分解 》_ppt 3-课件 分析下 载
1．积的乘方，等于把积的每一个因式分别___乘__方_，再把所得的____幂相乘， 用字母表示为：(ab)n＝_______a_nb(nn 为正整数)． 2．积的乘方公式的逆应用，即anbn＝__(a_b_)_n__(n为正整数)． 练习1：(2016·重庆)计算(x2y)3的结果是( A ) A．x6y3 B．x5y3 C．x5y D．x2y3
第十四章 整式的乘法与因式分解数学活动 教学课件(共14张PPT) 人教版八年级数学上册
（2）你能用本章所学知识解释这个规律吗？
（3）利用你发现的规律计算： 58×52；63×67； 752；952。
3021； 1224； 7224； 5609
分析: a+b=10
(10n+a) (10n+b)
=100n2 +(a+b)×10n+a·b
n×（n+1)×100+a·b=
100n2 +100n+a·b
∵日历中下一行与上一行数字相差7（一周7天），
不妨设4个数字为：a,a+1,a+7,a+8;
小贴士：
（a+7)(a+1)-a(a+8)=(a2+8a+7)-(a2+8a)=7.
∴ 任一个月历都满足以上规律.
方框必需框住4个数字，含有空格的 方框不合题意.
四、梳理新知，小结新课
活动1：：观察以下式子，你能写出一般规律吗？你能用 本章知识证明你的结论吗？
活动2：计算下列两个数的积，你有什么发 现？你能用本章所学知识解释这个规律吗？
活动3：观察下列展开式的系数或常数
活动4：日历上，我们可以发现其中数字满
(a+b)4=1·a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1·b4求(a+b)5展开后各项的系数； 足的规律，用所学知识对以上规律加以证明.
观察
设字母，写代数式
我们任意选择其中所示的方框部分，将
每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，
再相减，如：7×13-6×14=7,17×23-
16×24=7，发现结果都是7.
再选择两个类似的部分试试，验证规律；
（3）利用你发现的规律计算： 58×52；63×67； 752；952。
3021； 1224； 7224； 5609
分析: a+b=10
(10n+a) (10n+b)
=100n2 +(a+b)×10n+a·b
n×（n+1)×100+a·b=
100n2 +100n+a·b
∵日历中下一行与上一行数字相差7（一周7天），
不妨设4个数字为：a,a+1,a+7,a+8;
小贴士：
（a+7)(a+1)-a(a+8)=(a2+8a+7)-(a2+8a)=7.
∴ 任一个月历都满足以上规律.
方框必需框住4个数字，含有空格的 方框不合题意.
四、梳理新知，小结新课
活动1：：观察以下式子，你能写出一般规律吗？你能用 本章知识证明你的结论吗？
活动2：计算下列两个数的积，你有什么发 现？你能用本章所学知识解释这个规律吗？
活动3：观察下列展开式的系数或常数
活动4：日历上，我们可以发现其中数字满
(a+b)4=1·a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1·b4求(a+b)5展开后各项的系数； 足的规律，用所学知识对以上规律加以证明.
观察
设字母，写代数式
我们任意选择其中所示的方框部分，将
每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，
再相减，如：7×13-6×14=7,17×23-
16×24=7，发现结果都是7.
再选择两个类似的部分试试，验证规律；
《因式分解》ppt课件人教版初中数学2
X2－9= (x+3)(x－3)
有一个 o =0或
=0
3 至少 因式为零，得到两个一元 (x+3)(x－3)=0
一次方程。 2o将方程左边分解成两个
∴ x1=-3 ,x2=3
的乘积。
4 两个一元一次方程的解 就是原方程的解 解：原方程可变形为 解：原方程可变形为
o ∴ x1=-3 ,x2=3
1o方程右边化为 。
=0 ( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A =0或 一次因式B =0 ∴ x1= A解 , x2= A解
作业： P.29: 5. (3)(4)
因此，有
x 20 或 x 30
解得
x2,x3.
例5 (x4)x(1)6
解： x23x10 0
因式分解，得
(x 5)(x 2) 0
x50或x-20
∴ x15,x22
当一元二次方程的一边为
00 ，而另一边易于分解成
两个一次因式时，就可以 用因式分解法来解.
右化零 两因式
简记歌诀： 左分解 各求解
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
解一元二次方程的方法：
解：原方程可变形为 解：原方程可变形为 2o将方程左边分解成两个
的乘积。
解：原方程可变形为 解：原方程可变形为
4o两个
就是原方程的解
(x－7)(x+1)=0 2o将方程左边分解成两个
A解
的乘积。
x2+4x－12=0
(x－2)(x+6)=0 解一元二次方程的方法： (x－2)(x+6)=0
(x－2)(x+6)=0
x－7=0或x+1=0 快速回答：下列各方程的根分别是多少？
14因式分解-公式法课件人教版数学八年级上册
(4)ax2 2a 2 x a3 ;
(5) 3x2 6xy 3y 2.
初中数学
知识拓展
1.若x,y为任意实数,且m x2 y 2 , n 2xy, 则m,n的 大小关系是___m___n_____；
解: m n (x2 y 2 ) 2xy
(x y)2,
x, y 为任意实数, (x y)2 0.
初中数学
例 分解因式：
(1)16 x2 24 x 9;
分析：
16 x 2 (4x)2，9 32，
24x 2 4x 3，
16x2 24x 9 (4x)2 2 4x 3 32
a2 2ab b2.
所以16x2+24x+9是一个完全平方式,即
初中数学
例 分解因式：
解:(1)16 x2 24 x 9 （4x）2 24x 32 （4x）2 + 2 4x 3 32
请你根据所学知识将下面的多项式分解因式： (1)若多项式x2+mx+9为完全平方式，则m=_______;
完全平方公式： 有公因式先提公因式，再检查是否可用平方差公式.
4(m+2)(m-2)
例 利用简便方法计算.
在括号中填入适当的式子，使等式成立：
若x,y为任意实数,且
则m,n的
Hale Waihona Puke 即：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，
[x2 − 2 x 2y (2 y)2 ]
在括号中填入适当的式子，使等式成立：
在括号中填入适当的式子，使等式成立： 例 利用简便方法计算. 有两项是两数的平方和，
（x 2 y）2 ;
问题：因式分解的一般步骤是什么？
初中数学
例 分解因式：
初中数学人教版九年级上册《2123因式分解法》教学课件
十字相乘法： 简单来讲就是，十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘 等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项，其实就是运用 乘法公式 (x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab 的逆运算来进行因式分 解.
解一元二次方程的方法：
直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.
用直接开平方法解形如 x m2 nn 0的方程，
人教版 九年级数学上
21.2.3
因式分解法 一元二次方程
因式分解的方法：
提公因式法： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因 式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种 分解因式的方法叫做提公因式法.
公式法： 利用平方差公式 a2 b2 （a b）（a b）和完全平方公式 a2 2ab b2 （a b）2分解因式.
（3）在解一元二次方程的时候，要具体情况具体分析，选择合适的解一元 二次方程的方法.
跟踪训练
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
(2) x2 2 3x 0;
(3) 3x2－6x＝－3.
解：(1)因式分解，得x(x＋1)＝0， 于是得x＝0，或x＋1＝0， 即x1＝0，x2＝－1.
跟踪训练
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
其解为 x n m.
配方法： 把一元二次方程移项之后，在等式两边都加上一次项系数的
一半的平方（配方），使方程一边是完全平方式，另一边是
常数，当此常数是非负数时，直接开平方求解.
公式法： 把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式 Δ=b2-4ac
的值，当 b2-4ac≥0 时，把各项系数 a，b，c 的值代入求根
(2) 3x(x-1)＝2(x-1). 解：(2) 3x(x-1)-2(x-1)=0，
解一元二次方程的方法：
直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.
用直接开平方法解形如 x m2 nn 0的方程，
人教版 九年级数学上
21.2.3
因式分解法 一元二次方程
因式分解的方法：
提公因式法： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因 式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种 分解因式的方法叫做提公因式法.
公式法： 利用平方差公式 a2 b2 （a b）（a b）和完全平方公式 a2 2ab b2 （a b）2分解因式.
（3）在解一元二次方程的时候，要具体情况具体分析，选择合适的解一元 二次方程的方法.
跟踪训练
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
(2) x2 2 3x 0;
(3) 3x2－6x＝－3.
解：(1)因式分解，得x(x＋1)＝0， 于是得x＝0，或x＋1＝0， 即x1＝0，x2＝－1.
跟踪训练
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
其解为 x n m.
配方法： 把一元二次方程移项之后，在等式两边都加上一次项系数的
一半的平方（配方），使方程一边是完全平方式，另一边是
常数，当此常数是非负数时，直接开平方求解.
公式法： 把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式 Δ=b2-4ac
的值，当 b2-4ac≥0 时，把各项系数 a，b，c 的值代入求根
(2) 3x(x-1)＝2(x-1). 解：(2) 3x(x-1)-2(x-1)=0，
人教版八年级数学上册《公式法》整式的乘法与因式分解PPT精品课件
1
-1
1
-2
1×(-2)+1×(-1)=-3
(2)
1
-2
1
5
1×5+1×(-2)=3
解：(1) x2-3x+2=(x-1)(x-2)； (2) x2+3x-10=(x-2)(x+5).
随堂练习
x(x+2)(x+3)
1.（2019·淄博）分解因式：x3+5x2+6x=___________.
分析：x3+5x2+6x
(1)当多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；当
多项式的各项没有公因式时（或提取公因式后），若
符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解
因式；
(2)当不能直接提取公因式或用公式法分解因式时，可
根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用
公式法的形式，再分解因式；
(3)当乘积中的每一个因式都不能再分解时，因式分解
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公
因式提取出来，将多项式写成公因式与另外一个因式
的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
提公因式法一般步骤：
(1)确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指
数；
(2)提公因式并确定另外一个因式：用多项式除以公因
式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式；
1
2
=x(x2+5x+6)
1
3
=x(x+2)(x+3).
1×3+1×2=5
2.（2019·威海）分解因式：2x2-6x+4=__________.
2(x-1)(x-2)
-1
1
-2
1×(-2)+1×(-1)=-3
(2)
1
-2
1
5
1×5+1×(-2)=3
解：(1) x2-3x+2=(x-1)(x-2)； (2) x2+3x-10=(x-2)(x+5).
随堂练习
x(x+2)(x+3)
1.（2019·淄博）分解因式：x3+5x2+6x=___________.
分析：x3+5x2+6x
(1)当多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；当
多项式的各项没有公因式时（或提取公因式后），若
符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解
因式；
(2)当不能直接提取公因式或用公式法分解因式时，可
根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用
公式法的形式，再分解因式；
(3)当乘积中的每一个因式都不能再分解时，因式分解
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公
因式提取出来，将多项式写成公因式与另外一个因式
的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
提公因式法一般步骤：
(1)确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指
数；
(2)提公因式并确定另外一个因式：用多项式除以公因
式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式；
1
2
=x(x2+5x+6)
1
3
=x(x+2)(x+3).
1×3+1×2=5
2.（2019·威海）分解因式：2x2-6x+4=__________.
2(x-1)(x-2)
人教版初中数学九年级上册《解一元二次方程—因式分解法》课件
x3
（5）3x(2x 1) 4x 2 （6）（x - 4）2 （5- 2x)2
解：化为一般式为
6x2 － x －2 = 0.
因式分解，得 十字相乘法
2x +1
解：变形有
( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0.
因式分解，得
( x － 4 － 5 + 2x )( x － 4 + 5 －2x ) = 0.
例1解下列方程：
1 x x 2 x 2 0;
2 5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
可以试用 多种方法解 本例中的两
个方程 .
解：（1）因式分解，得
(2)移项、合并同类项，得
(x－2)(x＋1)=0.
于是得 x－2＝0或x＋1=0,
x1=2，x2=－1.
可利用了什么公式因式分解？
10x 4.9x2
根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？ （精确到 0.01 s）
提示
设物体经过 x s 落回地面，这时它 离地面的高度为 0 ，即
10x 4.9x2 0
配方法
公式法
10x 4.9x2 0
10x 4.9x2 0
解：x2 100 x 0
49
解：4.9x2 10x 0
3x
-2
( 3x － 9 )( 1 － x ) = 0.
( 3x － 2 )( 2x + 1 ) = 0.
有 3x － 9 = 0 或 1 － x = 0，
有 3x － 2 = 0 或 2x + 1 = 0，
x 2,x1
3
2
x1 = 3 , x2 = 1.
分解因式法解一元二次方程基本步骤是:
（5）3x(2x 1) 4x 2 （6）（x - 4）2 （5- 2x)2
解：化为一般式为
6x2 － x －2 = 0.
因式分解，得 十字相乘法
2x +1
解：变形有
( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0.
因式分解，得
( x － 4 － 5 + 2x )( x － 4 + 5 －2x ) = 0.
例1解下列方程：
1 x x 2 x 2 0;
2 5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
可以试用 多种方法解 本例中的两
个方程 .
解：（1）因式分解，得
(2)移项、合并同类项，得
(x－2)(x＋1)=0.
于是得 x－2＝0或x＋1=0,
x1=2，x2=－1.
可利用了什么公式因式分解？
10x 4.9x2
根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？ （精确到 0.01 s）
提示
设物体经过 x s 落回地面，这时它 离地面的高度为 0 ，即
10x 4.9x2 0
配方法
公式法
10x 4.9x2 0
10x 4.9x2 0
解：x2 100 x 0
49
解：4.9x2 10x 0
3x
-2
( 3x － 9 )( 1 － x ) = 0.
( 3x － 2 )( 2x + 1 ) = 0.
有 3x － 9 = 0 或 1 － x = 0，
有 3x － 2 = 0 或 2x + 1 = 0，
x 2,x1
3
2
x1 = 3 , x2 = 1.
分解因式法解一元二次方程基本步骤是:
人教版初中数学整式的乘法与因式分解_ppt课件1
课堂小结
1.幂的乘方的法则
语言叙述 幂的乘方，底数不变，指数相乘.
符号叙述 (a m )n a mn (m、n都是正整数.）
2.幂的乘方的法则可以逆用.即
a mn (a m )n (a n )m
3.多重乘方也具有这一性质.如
公式中的a可表 示一个数、字 母、式子等.
[(am )n ]p amn p （其中 m、n、p都是正整数）.
人教版初中数学整式的乘法与因式分 解_ppt 课件1
人教版初中数学整式的乘法与因式分 解_ppt 课件1
2．下面的计算对不对？如果不对应该怎样改正？
⑴ x3 x3 2x3;× ⑵ x3 x3 x6;×
⑶ x3 x3 2x6;× ⑷ x3 x3 x9;×
⑸ a a3 a3;×
3．计算： x y x y2 x y3 x y6
人教版初中数学整式的乘法与因式分 解_ppt 课件1
活动6 1．下列各式中，与x5m+1相等的是（ C ）
A.（x5)m+1
B.（xm+1)5
C. x ·(x5)m D. x ·x5 ·xm
2．x14不可以写成（ C ）
A. x5 ·(x3)3 B. (－x) ·(－x2) ·(－x3) ·(－x8)
(2) (a4)4; (3) (am)2;
解: (1) (103)5=103Χ5 = 1015 ; (2) (a4)4=a4Χ4=a16;
(3) (am)2= a mΧ 2 = a 2m ; (4) -(x4)3 = - x 4Χ3 = - x12 .
人教版初中数学整式的乘法与因式分 解_ppt 课件1
人教版初中数学整式的乘法与因式分 解_ppt 课件1
人教版《整式的乘法与因式分解》课件初中数学ppt
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
am·an=am+n （2）(b4)3=b7； 例 若定义一种新运算，a*b=2ab-b2，
应该怎样改正？
(am)n=amn
=2x2+4xy-x2-4xy-4y2
=
.
（4）(-2ab2)3=-8a3b6. √
并且m＞n)；
例 判断下面的计算对不对？如果不对，
既可以直接用，也可以变形用.
初中数学
初中数学
课后作业
1.计算： （1）(2a)3·b4÷12a3b2； （2）(2a+3b)(2a-b)； （3）3(y-z)2-(2y+z)(-z+2y)； （4）[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷3x2y. 2.求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差
（1）a2·a3=a6； （2）(b4)3=b7； （3）a10÷a2=a5； （4）(-2ab2)3=-8a3b6.
初中数学
初中数学
例 判断下面的计算对不对？如果不对，
应该怎样改正？
（1）a2·a3=a6；
×
正确：a2·a3=a2+3=a5.
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
初中数学
例 判断下面的计算对不对？如果不对，
2.使用法则时，要明确法则和具体内容.
初中数学
例 已知10m=5，10n=3，求102m+3n的值.
分析： am·an=am+n 逆用：am+n=am·an
(am)n=amn 逆用：amn=(am)n=(an)m
= =
102m+3n=102m·103n (10m)2 (10n)3
am·an=am+n （2）(b4)3=b7； 例 若定义一种新运算，a*b=2ab-b2，
应该怎样改正？
(am)n=amn
=2x2+4xy-x2-4xy-4y2
=
.
（4）(-2ab2)3=-8a3b6. √
并且m＞n)；
例 判断下面的计算对不对？如果不对，
既可以直接用，也可以变形用.
初中数学
初中数学
课后作业
1.计算： （1）(2a)3·b4÷12a3b2； （2）(2a+3b)(2a-b)； （3）3(y-z)2-(2y+z)(-z+2y)； （4）[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷3x2y. 2.求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差
（1）a2·a3=a6； （2）(b4)3=b7； （3）a10÷a2=a5； （4）(-2ab2)3=-8a3b6.
初中数学
初中数学
例 判断下面的计算对不对？如果不对，
应该怎样改正？
（1）a2·a3=a6；
×
正确：a2·a3=a2+3=a5.
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
初中数学
例 判断下面的计算对不对？如果不对，
2.使用法则时，要明确法则和具体内容.
初中数学
例 已知10m=5，10n=3，求102m+3n的值.
分析： am·an=am+n 逆用：am+n=am·an
(am)n=amn 逆用：amn=(am)n=(an)m
= =
102m+3n=102m·103n (10m)2 (10n)3