二次根式及运算-复习导学案
二次根式 2课时 导学案
16.1二次根式（第二课时）班级： 姓名：学习目标1.结合算术平方根的意义导出 ＝ a （ a ≥0），并利用它们进行计算和化简；2.能利用上述性质对二次根式进行化简.学习重点和难点 重点：二次根式的性质a a =2． 难点：综合运用性质a a =2进行化简和计算。
一.复习引入 （1）什么是二次根式，它有哪些性质？ （2）二次根式25x -有意义，则x 。
（3）计算二.提出问题1.式子a a =2表示什么意义?2.如何用a a =2来化简二次根式?三.自主学习自学课本第3页的内探究内容，并完成下面的题目：1.计算：=24 =22.0 =2)54( =220 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=>a a ,0时2.计算：=-2)4( =-2)2.0( =-2)54( =-2)20( 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=<a a ,0时3.计算：=20 当==a a ,0时观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a=0时四.例题讲解（例2解题过程参照课本自主学习完成）归纳总结将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性2)52(-2)4(a 2)9(22质：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0a a 0a 00a a 2 a a 思考、讨论二次根式的性质)0()(2≥=a a a 与a a =2有什么区别与联系。
五.反馈练习1.化简下列各式（1）)0(42≥x x (2) 4x2.化简下列各式（1）)3()3(2≥-a a （2）()232+x （x ＜-2）六.总结反思1.说说你的收获？2.你还有什么问题？七.能力提高(1)a 、b 、c 为三角形的三条边，则=--+-+c a b c b a 2)(____________.(2) 把(2-x)21-x 的根号外的（2-x ）适当变形后移入根号内，得（ ） A 、x -2B 、2-x C 、x --2 D 、2--x(3) x-4│-│7-x │。
二次根式乘除计算导学案
导学案
【学习过程】：
复习引入：
1、二次根式乘法、除法法则：
化简二次根式的要求：
知识点一：二次根式的乘法及积的算术平方根
1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.
推广公式：
知识点二：二次根式的除法及商的算术平方根
1.除法法则：（a≥0，b>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.
注意：运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
2.商的算术平方根的性质
（a≥0，b>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
例1：计算：
(1)×； (2)×； (3)； (4)；
变式：各式是否正确，不正确的请予以改正：
(1)； (2)×=4××=4×=4=8. 例2：计算：
（1） 4÷（﹣）×． （2）÷×．
例3：计算：
（1）
×（﹣2）÷． （2）221282a a a a a a
÷⨯
变式b b a b a x x
b a -÷+⋅-5433622222
课堂小结：
拓展训练：
(1)·(-)÷(m＞0，n＞0)；
（2）已知，且x为偶数，求(1+x)的值．。
2.7《二次根式(2)》导学案1
（1） （2）3
（3）
（4） （5）
解：（1）
组内讨论并交流你的想法，组内推选代表展示你们小组的成果
与同伴讨论交流，加强结论的理解
练习1：随堂练习第一题（单号题）
练习2：习题2.10第1题（双号题）
化简：
（1） ；
5） ；
（6） ．
定夺主题
（收获、不足、解决方法）
拓展演练
（选做）
二次根式
P43-P45
1.我们学习了哪些二次根式的性质？
你会对它们变形吗？逆写回去能得到什么公式呢？这个公式成立吗?
2.运用以上变形得到的公式计算：
（1） ；（2） ；（3） 解：（1）
在做这些题的过程中，你有什么技巧呢？是怎样把被开方数中的分母开出来的呢？
二次根式中也可以进行加减运算及运算律，比如：交换律、结合律、分配律，你会用么？试试看！
2.7二次根式（2）
编写人：班级：学习小组：小主人姓名：编号：
【铭记主题、学习文本、定夺主题】
掌握二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，能够用它们进行二次根式的运算
学习过程【新知自研】
学习内容
（位置、内容）
学习方法
（课前准备、自研）
学习活动设计
(交流、展示)
同步练习、同型演练
（课堂选作展示、课后作业）
二次根式导学案
第十六章 二次根式16．1 二次根式【学习目标】：1、理解二次根式的概念；2、理解中 的取值范围；a a 3、掌握二次根式的基本性质，并能利用二次根式的性质进行简单的化简。
【重点】：二次根式的概念和基本性质【难点】：二次根式的基本性质的灵活运用。
【教学过程】一、温故而知新1、完成下列填空（1）正方形喷泉池的面积为30,那么正方形的边长是；2m m （2）圆形花坛的面积为S , 那么这个圆的半径是 ；（3）+81的算术平方根是。
2a 2、根据第1题中的式子，总结二次根式的概念 形如的式子叫做二次根式。
3、下列各式哪些是二次根式。
21234561二、合作探究: ____________练习一、为何值时，下列式子在实数范围内有意义？x 2、思考：请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式的认识。
3、导入新课，完成思考：（1）面积为3的正方形的边长为，面积为S 的正方形的边长为（2）一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130，则它的宽是 m 。
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t （单位：s ），与开始落下时离地面的高度h （单位：m ），满足关系式 。
如果用含有h 的式子表示t ，则t 为三、小组合作探究1、式子它们有什么共同特点？2、二次根式的定义：3、二次根式有什么特点？6535h例题1、说一说，下列各式是二次根式吗?4、跟踪训练：判断，下列各式中那些是二次根式？5、思考：二次根式根号内字母的取值范围应具备什么条件？例题2、当x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？总结：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：四、拓展训练1、当x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？2、已知二次根式 有意义,那A(a, )在第 象限。
3、的最小值为＿＿，此时x 的值为＿＿。
五、课堂作业。
1、判断下列哪些式子是二次根式。
（C 组做）2、课本P5，A 、B 组做第1、7题，C 组做第1题。
3、选做题（1）若 ，则 （2）实数a,b 满足 ，求a 和a+b 的值。
二次根式的加减导学案
二次根式的加减法导学案一、学习目标1、了解同类二次根式的定义。
2、能熟练进行二次根式的加减运算。
三、学习过程（一）复习回顾1、什么是同类项？2、如何进行整式的加减运算？3、计算：（1）2x-3x+5x （2）2223a b ba ab +-（二）提出问题1、什么是同类二次根式？2、判断是否同类二次根式时应注意什么？3、如何进行二次根式的加减运算？（三）自主学习自学课本第14—16页内容，完成下面的题目：1、试观察下列各组式子，哪些是同类二次根式：（1）2322与 （2）32与（3）205与 （4）1218与从中你得到： 。
2、自学课本例1，例2后，仿例计算：（1）8+18 （2）7+27+397⨯ （3）348-913+312通过计算归纳：进行二次根式的加减法时，应先将二次根式化为 ，再将被开方数相同的的二次根式进行 。
（四）合作交流，展示反馈小组交流结果后，再合作计算，看谁做的又对又快！限时6分钟 (1) )27131(12-- (2) )512()2048(-++(3) y y x y x x 1241+-+ （4）)461(9322x x x x x x --（五）精讲点拨1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。
2、二次根式的加减分三个步骤：①化成最简二次根式； ②找出同类二次根式； ③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并。
（六）拓展延伸1、如图所示，面积为48cm 2的正方形的四个角是面积为3cm 2的小正方形，现将这四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的高和底面边长分别是多少？2、已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0， 求（293x x +y 23x y ）-（x 21x -5x y x ）的值．（七）达标测试：1、选择题（1）二次根式：①12；②22；③23；④27中，与3是同类二次根式的是（ ）．A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④（2）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．A ．2x 与2yB ．3449a b 与5892a b C ．mn 与n D ．m n +与n m + 2、计算： （1）7238550+- （2）x x x x 1246932-+。
二次根式导学案(人教版全章)
二次根式导学案 二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。
三、学习过程（一）复习回顾：（1）已知a x =2，那么a 是x 的______;x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
（二）自主学习(1)16的平方根是 ；(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式25t h =。
如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。
思考：16，5h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____________1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥a a ，12+x2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。
所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。
3、根据算术平方根意义计算 ：(1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2)31( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a ,4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
二次根式的导学案
说明
主要导学过程
教师复备
（学生笔记）
一、预习自测：
二、旧
共同特点：
四、跟综训练：
五、高效展示：
2、计算：
六、随堂练习
【课堂小结】
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.理解二次根式的概念，会辨别二次根式.
2.理解二次根式的双重非负性，并能利用它解决相关问题.
二次根式
主备人：黄力雄审核人：吴志海
班级：中62班姓名：上课日期：2013年04月07日
章、节
4.1.1
教学内容
二次根式
第1课时
课型
新课
学习目标
1.理解二次根式的概念，会辨别二次根式；
2.理解二次根式的双重非负性，并能利用它解决相关问题.
教学重点
二次根式的概念和基本性质
教学难点
1、理解并掌握二次根式有意义的条件；
(1)会求根号内字母的取值范围；(2)会求二次根式的值。
【我的收获】
【课堂作业】
八年级下数学期末复习导学案7(第12章二次根式)
泰兴市西城初中初二年级数学期末复习教学案（7）范围：二次根式 命题：吉隽知 审核：赵正霞 2015.6班级________ 姓名__________ 学号_________ 家长签字________【学习目标】1 . 能够比较熟练应用二次根式的性质进行化简.2 . 能够比较熟练进行二次根式的运算.3 . 会运用二次根式的性质及运算解决简单的实际问题. 【重、难点】重点：二次根式的性质的应用，二次根式的运算 难点：二次根式性质的应用 【典型例题】1.下列各式是二次根式的有（ ）个5, 3-, 72-,33, 2a ，m A.2 B.3 C 。
4 D.5 2．已知xy<0,化简二次根式x－yx2 的正确结果为（ ） A ．y B.－y C.－y D.－－y3.=成立的x 的取值范围是( ) A. 2x ≠ B. 0x ≥ C.x>2 D. 2x ≥4.xx 1+有意义，则x 的范围 。
5.若()a a 21122-=-，则a 。
6.函数13--=x xy 中，自变量x 取值范围是 .7.把二次根式__________。
8.使n 12是整数的最小正整数n = 。
9.当1≤x ≤55_____________x -=10.计算 （1）1557552313-+ （2） 9a × a 3 1a ÷ 12aa 3（3）()()()13133322+--- （4）( 3 + 2 )－1+(－2)2 +3－810.先化简再求值：1121122-+--+-a a a a a ，其中12-=a .【反馈练习】1.下列各组二次根式中，是同类二次根式的是 （ ）A 、12与21 B 、182.（1（2）4.0= （3）14256=（4）=⨯232 （5）32949c m = （6)()20132014232______________+=3.已知5的整数部分是a ，小数部分是b ，则ba 1-的值为__________。
16.2二次根式的乘除导学案
第4课时 16.2 二次根式的乘除导学案（1）【学习目标】（a ≥0，b ≥0）a ≥0，b ≥0），并利用它们进行计算和 化简【学习重点】灵活运用法则进行计算、化简【学习难点】a ≥0，b ≥0）化简二次根式 一、学前准备1、什么叫二次根式？2、二次根式学了哪些性质？二、探索思考（一）探究1：填空：（1=____；（2=____；（3．你发现什么规律练习一、计算（1= = （2= =三、典例分析 例1 化简（1（2（3（4（5练习二、 化简:;例3、计算： ①②练习三、计算(1)123⨯ (2)184362⨯ (3)xy y 3127⋅四、当堂反馈 1、化简2、判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1（23、下列计算结果正确的是（ ）A ．122-=-B ．2235x x x += C,0)x o y ≥≥ Dx y +4）A ．1x ≥B ．1x ≥-C ．11x -≤≤D ．1x ≥或1x ≥-5n 为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 6、化简（1）12149⨯ （2）328c ab （3）224y x x +7、计算8、（1）一个长方形的长和宽分别是10和22，求这个长方形的面积。
（2）一个正方形的面积为242，求这个正方形的边长。
五、学习反思====⨯============345200)3(11214)2(____300____75_____72____48____45____32____27____24_____20____18____12____8)1(c b a ==+==-32232284)5(1620)4(n m n m 314)1(x yxy ••183)32(276)2(⨯-⨯第5课时 16.2 二次根式的乘除导学案（2）【学习目标】a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算【学习重点】二次根式的除法及化简【学习难点】二次根式化简一、学前准备1．写出二次根式的乘法法则及逆向等式：，．二、探索思考（一）探究1：填空（1；（2；（3；规律：一般地，二次根式的除法法则是练习一、1、计算：（1（2（3（4三、典例分析例1、化简：（1（2（3）2748练习二、化简：（（2(3)1850例2、计算（1（2（3练习三、计算（1）65（2）3232（3）x318例3．，且x为偶数，求（1+x四、当堂反馈1、）．A．27B．27C D2、计算：（1（2）aa62÷（3（43、若x、y为实数，且x y-的值．五、学习反思第6课时 16.2 二次根式的乘除导学案（3）【学习目标】理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式． 【学习重点】把不是最简二次根式的化成最简二次根式 【学习难点】把不是最简二次根式的化成最简二次根式 一、学前准备 1、=ab )0,0(≥≥b a ；=ab)0,0(≥>b a 2、计算：（1）10453⨯ （2）540 （3）15254二、探索思考1、思考：观察上面计算的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式什么特点？ 特点：满足上述特点的二次根式，叫做最简二次根式．2、在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为 ，并且分母中不含练习一、1、指出下列各式中的最简二次根式： （填序号）2、把 下列二次根式的化成最简二次根式（1）32 （2）40 （3）5.1 （4）34三、典例分析例1、把下列各式化简(分母有理化)：（4练习二、把下列各式化简(分母有理化)：例2、电视塔越高,从塔顶发射的电磁波传播得越远,从而能收看到电视节目的区域就越大.如果电视塔高hkm,电视节目信号的传播半径为r km,则它们之间存在近似关系 ,其中R 是地球半径,R≈6400km.如果两个电视塔的高分别是h 1km ,h 2 km,那么它们的传播半径的比是 .你能将这个式子化简吗?例3、长方形的面积为S ，相邻两边长分别为a ，b. ，已知S=53，11=b ，求a 。
人教版八年级下册数学第16章二次根式导学案
目录16.1 二次根式⑴................................................................................................................................... - 2 -16.1 二次根式⑵.................................................................................................................................... - 4 -16.2.1 二次根式的乘法......................................................................................................................... - 6 -16.2.2 二次根式的除法......................................................................................................................... - 8 -16.2.3 最简二次根式........................................................................................................................... - 10 -16.3.1 二次根式的加减法................................................................................................................... - 12 -16.3.2 二次根式的混合运算............................................................................................................... - 14 -第16章《二次根式》复习............................................................................................................... - 16 -16.1 二次根式⑴学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
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中考复习资料
二次根式及运算
一、考点梳理
1.二次根式的有关概念：
（1）形如的式子叫做二次根式.（即一个的算术平方根叫做二次根式）二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零
⑵最简二次根式须满足两个条件：①被开方数的因数是＿＿＿，因式是＿＿＿；②被开方数中不含能开得尽方的＿＿＿或＿＿＿＿．
(3）几个二次根式化成最简二次根式后，如果相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
2.二次根式的性质：
（1）非负性：
3.二次根式的运算：
二次根式乘法法则
二次根式除法法则
二次根式的加减：(一化，二找，三合并)
（1）将每个二次根式化为
；（2）找出其中的
；（3）合并。
4.易错知识辨析：
二次根式的加减：类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。
二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用
二、例题分析
例
1.
已知：
=,求x-y
的值.
例2x的取值范围
例3.若2)
(
1
1y
x
x
x+
=
-
+
-，求y
x-。
例4：.已知x,y都是实数,且满足5.0
1
1+
-
+
-
<x
x
y,化简
1
1
-
-
y
y
.
例5：设2
5
,
3
2
2
3-
=
-
=
-
=c
，b
a,比较a、b、c的大小关系
例6．观察下列各式及其验证过程：
3
2
2
3
2
2=
+===．
====
（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想
15
4
4+的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用a（a为任意自然数，且2
a≥）表示的等式，并给出验证．
三．中考演练
1有意义的x的取值范围是
2．若0
x<x等于
3．下列式子中二次根式的个数有（）
⑴
3
1
；⑵3
-；⑶1
2+
-x；⑷38；⑸2
3
1
)
(-；⑹)
(1
1>
-x
x；⑺3
2
2+
+x
x.
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．若0,0
a b
<>化简得
5m
=，则
2
1y
y
+
的结果为
6．已知,a b b a
=-，则a与b的大小关系是
7．已知下列命题：
2
=；36
π
-=；
③()()()
2
2333
a a a
+-=+-；a b
=+．
其中正确的有（）
（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个
8．最简二次根式m的值为
9．当
1
2
a≤21
a-等于
10．下列计算正确的是（）
①6
9
4
9
4=
-
⋅
-
=
-
-)
)(
(；②6
9
4
9
4=
⋅
=
-
-)
)(
(；
0()
a
≥0 2(0)
a
= ≥ =
(0,0)
a b
= ≥ ≥ (00)
a b
≥>
(0,0)
a b
= ≥≥
(0,0)
a b
= ≥>
③145454522=-⋅+=-；④145452
222=-=-；
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 11．若21x +的平方根是5±
_____=．
12.（1
3a ; （2）()232274---+.
（3） 9x +24x -3x
.1x （4）)(1021
32531-⋅⋅； （5）6)3
1332(8⨯--
（6）⑴20
245-； （7）
14425081010⨯⨯..； （8）521312321⨯÷（9）
)(b
a b b a 1
223÷⋅
（10） 16 +3-8 - ( 5 )2
（11）
22
-
（12）
13
．已知(
))
2006
2007
22
22a =-24a a +的值 ．
14．已知y x ,是实数，且3
2
9922+--+-=x x x y ，求y x 65+的值.
15．若42--y x 与()2
12+-y x 互为相反数，求代数式3
2
3
4
1y y x x +
+的值.
16、
1
，
…，
利用上面的规律计算：
（
（
17．已知，则a _________
发展：已知，则a ______。
四，随堂小测
1．当_____x
有意义．
2
与a 的被开方数相同，则_____a b +=．
3
．若x
y ____x =，_____y =． 4．若11x -<<
1_____x ++=．
5．若
0xy ≠
=-_____．
6．若
x
x x
x --=--3232
成立，则x 满足____________．
7．比较大小：23-______32-．
8.把下列二次根式化成最简二次根式： b
a c abc
43
22
-
= 9.如图，实数a 、b
在数轴上的位置，化简
10.
－－+( －2)0+ + －2 +÷（－a－2），其中a＝－3(2－)2006(2+ )2007－2－(－)0
cos30。