高考数学总复习 第七篇 不等式 第4讲 基本不等式课件 理
课标通用版2020版高考数学大一轮复习第七章不等式第4讲基本不等式课件文
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数 y＝x＋1x的最小值是 2.( )
(2)函数 f(x)＝cos x＋co4s x，x∈0，π2的最小值等于 4. (
)
(3)“x>0 且 y>0”是“xy＋xy≥2”的充要条件．( )
(4)不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab有相同的成立条件．(
(2)不获利．设该单位每月获利为 S 元，则 S＝100x－y＝100x －12x2－200x＋80 000＝－12x2＋300x－80 000＝－12(x－300)2 －35 000，因为 x∈[400，600]，所以 S∈[－80 000，－40 000]． 故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴 40 000 元才能不 亏损．
3．利用基本不等式求最值 已知 x≥0，y≥0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当__x_＝_y___时，x＋y 有最小 值是__2__p___．(简记：积定和最小) (2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当__x_＝_y___时，xy 有最大
s2 值是__4__．(简记：和定积最大)
解析：因为 a>0，b>0，a＋b＝1， 所以1a＋1b＝a＋a b＋a＋b b＝2＋ba＋ab≥2＋2 ba·ab＝4，即1a＋1b的 最小值为 4，当且仅当 a＝b＝12时等号成立． 答案：4
[迁移探究 2] (变条件)若本例条件变为：已知 a>0，b>0，4a ＋b＝4，则1＋1a1＋1b的最小值为________．
3．已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9 对任意的正实数 x，y 恒成立， 则正实数 a 的最小值为________． 解析：(x＋y)1x＋ay＝1＋a＋xy＋ayx≥1＋a＋2 a＝( a＋1)2(x，y， a>0)， 当且仅当 y＝ ax 时取等号， 所以(x＋y)1x＋ay的最小值为( a＋1)2， 于是( a＋1)2≥9 恒成立． 所以 a≥4. 答案：4
高考数学一轮复习第七章不等式第4讲基本不等式教案理含解析新人教A版
高考数学一轮复习第七章不等式第4讲基本不等式教案理含解析新人教A 版第4讲 基本不等式基础知识整合1．重要不等式a 2＋b 2≥□012ab (a ，b ∈R )(当且仅当□02a ＝b 时等号成立)． 2．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：□03a >0，b >0； (2)等号成立的条件：当且仅当□04a ＝b 时等号成立； (3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的□05算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的□06几何平均数． 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当□07x ＝y 时，x ＋y 有□08最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当□09x ＝y 时，xy 有□10最大值S 24.(简记：“和定积最大”)常用的几个重要不等式 (1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)； (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (4)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .1．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为( ) A.1 B.14 C.12 D.22答案 B解析 ∵a ，b ∈R ＋，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．故选B.2．(2019·山西模拟)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72B.4C.92D.5答案 C解析 y ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4a b ＋b a ≥92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝23，b ＝43时等号成立.故选C.3.3－aa ＋6(－6≤a ≤3)的最大值为( )A.9B.92 C.3 D.322答案 B解析 当a ＝－6或a ＝3时，3－a a ＋6＝0；当－6<a <3时，3－aa ＋6≤3－a ＋a ＋62＝92， 当且仅当3－a ＝a ＋6，即a ＝－32时取等号．4．(2019·南昌摸考)已知函数y ＝x ＋m x －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．答案 4解析 ∵x >2，m >0，∴y ＝x －2＋mx －2＋2≥2x －2·mx －2＋2＝2m ＋2，当且仅当x ＝2＋m 时取等号，又函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，∴2m ＋2＝6，解得m ＝4.5．(2019·大连模拟)函数y ＝2x ＋2x(x <0)的最大值为________．答案 －4解析 ∵x <0，∴－x >0，∴(－2x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ≥2－2x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＝4，即y ＝2x ＋2x≤－4(当且仅当－2x ＝－2x，即x ＝－1时等号成立)．6．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．答案 14解析 由a －3b ＋6＝0可得a －3b ＝－6， 又∵2a＋18b ≥22a8b ＝22a －3b ＝22－6＝14(当且仅当a ＝－3，b ＝1时取等号)， ∴2a＋18b 的最小值为14.核心考向突破考向一 利用基本不等式求最值角度1 利用配凑法求最值例1 (1)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23答案 B解析 ∵0<x <1，∴x ·(3－3x )＝13·3x ·(3－3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34，当3x ＝3－3x ，即x ＝12时，x (3－3x )取得最大值．故选B.(2)设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为________．答案 0 解析 y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.触类旁通通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：1拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形.2代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标. 3拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.即时训练 1.已知x ，y 都是非负实数，且x ＋y ＝2，则8x ＋2y ＋4的最小值为________．答案 12解析 ∵x ，y 都是非负实数，且x ＋y ＝2，∴x ＋2＋y ＋4＝8，∴8≥2x ＋2y ＋4，即1x ＋2y ＋4≥116，当且仅当x ＝2，y ＝0时取等号，则8x ＋2y ＋4≥816＝12. 角度2 利用常数代换法求最值例2 (1)(2019·绵阳诊断)若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ的取值范围为( )A ．[6，＋∞)B ．[10，＋∞)C ．[12，＋∞)D ．[16，＋∞)答案 D解析 ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2θ，cos 2θ∈(0,1)，∴y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋9cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝10＋cos 2θsin 2θ＋9sin 2θcos 2θ≥10＋2cos 2θsin 2θ·9sin 2θcos 2θ＝16，当且仅当cos 2θsin 2θ＝9sin 2θcos 2θ，即θ＝π6时等号成立．故选D. (2)(2017·山东高考)若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．答案 8解析 ∵直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)， ∴1a ＋2b＝1，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b＝4＋4a b ＋b a ≥4＋24ab·b a＝8，当且仅当b a ＝4ab，即a ＝2，b ＝4时，等号成立． 故2a ＋b 的最小值为8.触类旁通常数代换法求最值的步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： 1根据已知条件或其变形确定定值常数. 2把确定的定值常数变形为1.3把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式. 4利用基本不等式求解最值.即时训练 2.(2019·正定模拟)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．答案 5解析 由x ＋3y ＝5xy ，可得15y ＋35x＝1， 所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2 3x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5，当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5.角度3 利用消元法求最值例3 (1)(2019·江西上饶联考)已知正数a ，b ，c 满足2a －b ＋c ＝0，则acb2的最大值为( )A ．8B ．2C ．18D ．16答案 C解析 因为a ，b ，c 都是正数，且满足2a －b ＋c ＝0，所以b ＝2a ＋c ，所以ac b 2＝ac 2a ＋c2＝ac 4a 2＋4ac ＋c 2＝14a c ＋ca＋4≤124a c ·ca＋4＝18，当且仅当c ＝2a >0时等号成立．故选C. (2)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是________． 答案 3解析 由x 2＋2xy －3＝0，得y ＝3－x 22x ＝32x －12x ，则2x ＋y ＝2x ＋32x －12x ＝3x 2＋32x≥23x 2·32x ＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为3.触类旁通通过消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．即时训练 3.(2019·安徽阜阳模拟)若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b ＋3b a的最小值为________．答案 6解析 因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以b ＝aa －1>0，所以a >1，所以a ＋b ＋3b a ＝(a －1)＋4a －1＋2≥4＋2＝6，当且仅当a ＝3时等号成立，所以a ＋b＋3ba的最小值是6.考向二 求参数值或取值范围例4 (1)(2019·山西模拟)已知不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2，当且仅当a ·x y ＝y x，即ax 2＝y 2时“＝”成立．∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2≥9.∴a ≥4.故选B.(2)(2019·珠海模拟)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8答案 C解析 解法一：由已知得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，令x ＋3y ＝t ，则t >0，且t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6.解法二：∵x ＋3y ＝9－xy ≥23xy ，∴(xy )2＋23·xy －9≤0，∴(xy ＋33)·(xy －3)≤0，∴0<xy ≤3，∴x ＋3y ＝9－xy ≥6.故选C.触类旁通1要敏锐地洞察到已知条件与所求式子的联系，并能灵活的进行转化. 2利用基本不等式确立相关成立条件，从而得到参数的值或范围.即时训练 4.设a >0，b >0且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2答案 C解析 由1a ＋1b ＋ka ＋b≥0得k ≥－a ＋b 2ab，又a ＋b 2ab＝a b ＋b a＋2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－a ＋b2ab≤－4，因此要使k ≥－a ＋b2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.故选C.5．(2019·上海模拟)设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y ＝1，则xy 的最小值为( )A ．4B ．4 3C ．9D ．16答案 D 解析32＋x ＋32＋y＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ，∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16.故选D.考向三 基本不等式的实际应用例5 (2019·西安模拟)某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？解 (1)设第n 年获取利润为y 万元．n 年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n 年付出的装修费之和为n ×1＋n n －12×2＝n 2，又投资81万元，n 年共收入租金30n 万元，∴利润y ＝30n －n 2－81(n ∈N *)．令y >0，即30n －n 2－81>0，∴n 2－30n ＋81<0， 解得3<n <27(n ∈N *)，∴从第4年开始获取纯利润． (2)方案①：年平均利润t ＝30n －81＋n2n＝30－81n－n ＝30－⎝ ⎛⎭⎪⎫81n＋n ≤30－281n ·n ＝12(当且仅当81n＝n ，即 n ＝9时取等号)，∴年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)． 方案②：纯利润总和y ＝30n －n 2－81＝－(n －15)2＋144(n ∈N *)， 当n ＝15时，纯利润总和最大，为144万元，∴纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)， 两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.触类旁通有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题建立函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． 2设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 3解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.4在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.即时训练 6.某厂家拟在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2018年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ⇒k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，∴2018年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx－8－16x －m＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋1＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21， 当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．答案 4解析 ∵a 4＋4b 4≥2a 2·2b 2＝4a 2b 2(当且仅当a 2＝2b 2时“＝”成立)，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab，由于ab >0，∴4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当4ab ＝1ab 时“＝”成立， 故当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab 时，a 4＋4b 4＋1ab的最小值为4.答题启示利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．对点训练 已知a >b >0，求a 2＋16ba －b的最小值． 解 ∵a >b >0，∴a －b >0.∴b (a －b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋a －b 22＝a 24. ∴a 2＋16b a －b ≥a 2＋64a2≥2a 2·64a2＝16.当a 2＝64a2且b ＝a －b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立． ∴a 2＋16ba －b的最小值为16.。
北师大版高考数学一轮复习统考第7章不等式第4讲基本不等式课件
(2)等号成立的条件：当且仅当 04 ___a_＝__b___时等号成立；
(3)其中
a＋b 2
叫做正数a，b的
05
__算__术__平__均__数_____，
的 06 __几__何 ___平__均__数_______.
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ab 叫做正数a，b
3
3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)， 那么当 07 __x＝__y_____时，x＋y有 08 _最__小__值__2__P__.(简记：“积定和最 小”) (2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)， 那么当 09 ___x＝__y____时，xy有 10 _最__大__值__S4_2___.(简记：“和定积最 大”)
解析 14答案
(2)设x>0，则函数y＝x＋2x＋2 1－32的最小值为___0_____．
解析
y＝x＋
2 2x＋1
－
3 2
＝
x＋12
＋
1 x＋21
－2≥2
x＋12·x＋1 12－2＝0，
当且仅当x＋12＝x＋1 21，即x＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.
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15 解析
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16
[即时训练] 1.设a，b均大于0，a＋b＝5，则 a＋1 ＋ b＋3 的最大值 为__3___2___．
3．下列函数中，最小值为4的是( )
A．y＝x＋4x C．y＝4ex＋e－x
B．y＝sinx＋si4nx(0<x<π) D．y＝log3x＋logx3(0<x<1)
解析 A中x的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，函数没有最小值；B中若y
2019届高考数学复习第七章不等式及推理与证明第4课时基本不等式课件文
思考题 2 (1)若将例 2 中的条件变为 x≤45，求 y 的最大
值． 【解析】 设 4x－5＝t，则 x＝t＋4 5.
∵x≤45，∴t≤－95.∴y＝t2＋3tt＋1＝t＋1t ＋3.
设 g(t)＝t＋1t ，∴g′(t)＝1－t12＞0.
∴g(t)在(－∞，－95]上为增函数．∴ymax＝－95－59＋3＝2495.
∵x>0，y>0，∴x＋3y≥6. 【答案】 6
(3) 设 a ， b>0 ， a ＋ b ＝ 5 ， 则 a＋1 ＋ b＋3 的 最 大 值 为
________．
【解析】 ( a＋1＋ b＋3)2＝a＋b＋4＋2 a＋1· b＋3≤9＋
（ 2·
a＋1）2＋（ 2
b＋3）2＝9＋a＋b＋4＝18，所以
★状元笔记★ 常数代换法的技巧
(1)常数代换法就是利用常数的变形以及代数式与“1”的积、 商都是自身的性质，通过代数式的变形构造和式或积式为定值， 然后利用基本不等式求最值．
(2)利用常数代换法求解最值应注意：①条件的灵活变形，常 数化成 1 是代数式等价变形的基础；②利用基本不等式求最值时 “一正、二定、三相等”的检验，否则容易出现错解．
课前自助餐
基本不等式 若 a，b∈R＋，则a＋2 b≥ ab，当且仅当 a＝b 时取“＝”． 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数．
常用不等式 (1)若 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时取“＝”． (2)a2＋2 b2≥a＋2 b2≥ab. (3)a2＋b2≥2|ab|. (4)x＋1x≥2.
思考题 3 (1)已知正数 a，b 满足 a＋b＝4，1a＋2b的最小
值为________．
高考数学复习考点知识专题讲解课件第4讲 基本不等式
4.若a>0,b>0,则1 1≤
+
+
≤ ≤
2
时,等号成立.
2 +2
,当且仅当a=b时,等号成立.
2
课前基础巩固
◈ 对点演练 ◈
题组一 常识题
1
±1
2
1. [教材改编] 当x=
时,x + 2 取得最小值 2 .
[解析]
1
2
x+
≥2
2
2
×
1
1
2
=2,当且仅当x=±1时,等号成立,则x
ABD )
1
2
2
A.a +b ≥
1
a-b
B.2 >
C.log2a+log2b≥-2
D. + ≤ 2
2
2
+ 2
1
1
对于C,log2a+log2b=log2(ab)≤log2
=log2 =-2,当且仅当a=b= 时,等号成立,
2
4
2
故C不正确;
对于D,因为a>0,b>0,( +
2
) =1+2
−
8
-7,当且仅当-2x= ,即x=-2时,等号成立,∴f(x)的最大值为-7.
−
课前基础巩固
4
当x≥2时,x+ 的最小值为
+2
5.
3 .
4
4
4
[解析]设x+2=t,则x+ =t+ -2.由x≥2得t≥4,而函数y=t+ -2在[4,+∞)上单调
(新课标)高考数学大一轮复习-第七章 不等式及推理与证明 7.4 基本不等式课件 理
∵y>9，∴y－9>0. ∴y－9＋y－9 9＋10≥2 （y－9）·y－9 9＋10＝16. 当且仅当 y－9＝y－9 9，即 y＝12 时取等号． 又1x＋9y＝1，则 x＝4. ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16. 方法二：在利用基本不等式求最值时，巧妙运用“1”的代换， 也会给解决问题提供简捷的解法．
利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果 x，y∈(0，＋∞)，且 xy＝p(定值)， 那么当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2 p． (2)如果 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)， 那么当 x＝y 时，xy 有最大值S42．
1．x∈R，下列不等式恒成立的是( )
A．x2＋1≥x
第4课时 基本不等式
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1．了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最值问题．
请注意 基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查 之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新， 但是它在高考中却不外乎大小判断、求取值范围以及最值等几方 面的应用．
探究 3 利用方程的思想是解决此类问题的常规解法． 另外，第二问也可用如下方法求解：由已知 b＝aa＋－31>0，∴a －1>0，∴a＋b＝a＋aa－＋13＝a＋a－a－1＋1 4＝a＋1＋a－4 1＝(a－1)＋ a－4 1＋2≥6.
思考题 3 若正实数 x，y 满足 2x＋y＋6＝xy，则 xy 的 最小值是________．
以传递到最后的最大(小)值．
(2)注意“1”的代换技巧．
(3)本题(1)易错解为：
1＝x＋2y≥2
2xy，∴
xy≤
2 4.
∴1x＋1y≥
2≥ xy
高考数学(理)总复习课件：基本不等式
[解析] 法一(换元消元法)：由已知得x＋3y＝9－xy，
因为x＞0，y＞0，所以x＋3y≥2 3xy，
所以3xy≤
x＋3y 2
2，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取
等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0.
令x＋3y＝t，则t＞0且t2＋12t－108≥0，
得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
等，且都为5 m时面积取到最大值25 m2.
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2．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶的过程中每 小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表 示为y＝71152－x26－x0，13x0∈x＋[840，90102，0].x∈[50，80， (1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？ (2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶 向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？
知a＋2 b＞ ab，综上所述，a＜ ab＜a＋2 b＜b，故选B.
3．函数f(x)＝x＋1x的值域为 A．[－2,2]
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( C) B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：当x＞0时，x＋1x≥2
当x＜0时，－x＞0.
D．R x·1x＝2.
－x＋－1x≥2 －x·－1x＝2.
第三节 基本不等式
目录
基础——在批注中理解透
单纯识记无意义，深刻理解提能力
课时跟踪检测
考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
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基础——在批注中理解透
单纯识记无意义，深刻理解提能力
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1．基本不等式 ab≤a＋2 b
(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.
高考数学复习考点知识讲解课件4 基本不等式
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2．两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥____2_a_b____(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． (2)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． 3．利用基本不等式求最值 (1)已知 x，y 都是正数，如果积 xy 等于定值 P，那么当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 ___2___P____. (2)已知 x，y 都是正数，如果和 x＋y 等于定值 S，那么当 x＝y 时，积 xy 有最大值
解法二：由题设易知 a>0，b>0，∴ ab＝1a＋2b≥2 时“＝”成立，即 ab≥2 2，故选 C．
a2b，当且仅当 a＝4 2，b＝24 2
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(新教材) 高三总复习•数学
3．已知 x≥52，则 f(x)＝x2－2x4－x＋4 5的最小值为____1______．
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[解析] 因为 x≥52，所以 x－2>0，所以 f(x)＝x2－2x4－x＋4 5＝x2－x2－2＋ 2 1＝12x－2＋x－1 2 ≥1，当且仅当 x－2＝x－1 2，即 x＝3 时等号成立．
角度 3：消元法求最值 【例 3】 (1)已知 x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则 x＋3y 的最小值为___6___．
4 (2)已知 5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则 x2＋y2 的最小值是___5____．
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[解析] (1)解法一：由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0，得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6. 解法二：由 x＋3y＋xy＝9，得 x＝91－＋3yy， 所以 x＋3y＝91－＋3yy＋3y＝9－3y＋1＋3yy1＋y ＝91＋＋3yy2＝31＋y2－1＋61y ＋y＋12
2019版高考数学一轮总复习第七章不等式及推理与证明4基本不等式课件理
2．下列不等式证明过程正确的是( ) A．若 a，b∈R，则ba＋ba≥2 ba·ba＝2 B．若 x>0，y>0，则 lgx＋lgy≥2 lgx·lgy C．若 x<0，则 x＋4x≥－2 x·4x＝－4 D．若 x<0，则 2x＋2－x>2 2x·2－x＝2 答案 D 解析 ∵x<0，∴2x∈(0，1)，2－x>1.∴2x＋2－x>2 2x·2－x＝2.∴D 正确．而 A，B 首先不满足“一正”，C 应当为“≤”．
＋2b 的最小值为( )
A．5＋2 2
B．8 2
C．5
D．9
答案 D 解析 方法一：∵a>0，b>0，且 2a＋b＝ab，∴2b＋1a＝1. 则 a＋2b＝(a＋2b)(2b＋1a)＝5＋2ab＋2ba≥5＋2 2ab·2ba＝9，当 且仅当 b＝3，a＝3 时等号成立，其最小值为 9. 方法二：∵a>0，b>0，且 2a＋b＝ab，∴a＝b－b 2>0，解得 b>2，则 a＋2b＝b－b 2＋2b＝1＋b－2 2＋2(b－2)＋4≥9.
∴原式的最小值为 4.
6．(2017·江苏)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元．要使一年 的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是________．
答案 30 解析 设 y 为一年的总运费与总存储费用之和，则 y＝60x0·6＋4x＝3 6x00＋4x≥2 3 6x00·4x＝240. 当且仅当3 6x00＝4x，即 x＝30 时，y 取最小值．
5．(2017·天津)若 a，b∈R，ab>0，则a4＋4abb4＋1的最小值为 ________．