全等三角形专题训练
专题18 全等三角形(专项训练)(解析版)
专题18 全等三角形一、单选题1．（2021·湖南怀化·九年级）如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E，点F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则下列结论正确的是（）A．AO平分△EAF B．AO垂直平分EF C．GH垂直平分EF D．GH平分AF【答案】C【详解】由尺规作图的痕迹可得：GH垂直平分线段EF．故选C．2．（2021·江苏南京·九年级）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D、E分别在BC、AC上，AD＝DE，BD＝CE，若△ADE＝m°，则△BAD的度数是（）A．m°B．1902m⎛⎫-⎪⎝⎭°C．（90－m）°D．3902m⎛⎫-⎪⎝⎭°【答案】D【分析】分别过点E、G作EF△CD、DG△AB，证明△CEF△△BDG、△DEF△△ADG，从而证明△CDE△△ADB，得到△EDC=△BAD，再利用等边对等角，用m表示出△AED和△CED，再利用平角的定义即可表示出△BAD的度数．【详解】解：分别过点E、G作EF△CD、DG△AB，垂直分别为F、G，△AB=AC ， △△B =△C ，△EF △CD ，DG △AB ， △△EFC =△DGB =90°， 在△CEF 和△BDG 中△△EFC ＝△DGB ，△C ＝△B ，CE ＝BD ， △△CEF △△DGB （AAS ）， △EF =DG ，在Rt △DEF 和Rt △ADG 中 △DE ＝AD ，EF ＝DG ， △Rt △DEF △Rt △ADG （HL ）， △△CED =△ADB ，△EDC =△DAB ， △AD =ED ，△ADE =m °， △△DEA =180-()2m °△△ADB =△CED =180-(180-)2m°， △△BAD =△EDC =180°-（△ADB +△ADE ）=180°-180-(180-+)2mm ° =3(90-)2m° ， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质等知识，能够根据线段相等等已知条件构造全等三角形是解答此题的关键．3．（2021·江苏九年级）如图，Rt AOB Rt COD △≌△，直角边分别落在x 轴和y 轴上，斜边相交于点E ，且tan 2OAB ∠=．若四边形OAEC 的面积为12，反比例函数(0)ky x x=>的图像经过点E ，则k 的值是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B 【分析】过点E 作EF OA ⊥于F ，EG OC ⊥于G ,连接OE ，证明三角形全等，得对应边相等，用来证明四边形为正方形，再根据tan 2OAB ∠=，建立边与边之间的等量关系，利用两直线平行和四边形的面积，即可求出解． 【详解】解：过点E 作EF OA ⊥于F ，EG OC ⊥于G ,连接OE ,如图：Rt AOB Rt COD △≌△，,,OA OC OB OD ABO CDO ∴==∠=∠，OB OC OD OA ∴-=-，即：BC AD =， 在BCE DAE =中，{ABO CDO BEC DEA BC AD ∠=∠∠=∠=，()BCE DAE AAS ∴≌， EC AE ∴=，在CEO 和AEO △中， OC OA OE OE EC EA =⎧⎪=⎨⎪=⎩()CEO AEO SSS ∴≌，45COE AOE ∴∠=∠=︒，COEAOESS=，,,EG OC EF AO OA OC ⊥⊥⊥，∴四边形OFEG 为正方形，EG EF OG OF ∴===，tan 2,2OBOAB OA∠=∴=， 设OA OC a ==，则2OB OD a ==， 设EG EF x ==，则OG OF x ==，//EG OA ，EG BGOA BO ∴=， 即：22x a x a a-=， 解得：23x a =， 22(,)33E a a ∴，四边形OAEC 的面积为12， 162AEOSS ∴==四边形OAEC， 162OA EF ∴⨯=， 12623a a ∴⨯⨯=， 解得：218a =， 22248339k a a a ∴=⨯==， 故选：B ． 【点睛】本题考查了反比例函数k 的几何意义，待定系数法，三角形全等的判定与性质，正方形的判定与性质，三角形的面积，解直角三角形，解题的关键是：利用点的坐标表示出相应线段的长度．4．（2021·山东九年级）如图，在ABC中，AB AC=，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于12BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若5,1AE BE==，则EC的长度是（）AB．C．9D【答案】A【分析】利用基本作图得到CE△AB，根据线段的和差关系可得AC=AB=6，然后利用勾股定理计算CE的长．【详解】△AE=5，BE=1，△AB=6，由作图可知CM为AB的垂线，即CE△AB，△在△ACE中，AC2=AE2+CE2，△AB=AC，△62=52+CE2，解得：CE（负值舍去），故选：A．【点睛】本题考查了基本作图及勾股定理，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是解题关键．5．（2021·江苏省天一中学九年级）如图，ABC中，△C=90o，BC＝8，AC＝6，点P在AB上，AP=3.6，点E从点A出发，沿AC运动到点C，连接PE，作射线PF垂直于PE，交直线BC于点F，EF的中点为Q，则在整个运动过程中，线段PQ扫过的面积为（）A．8B．6C．94πD．2516π【答案】B【分析】连接CQ，PQ，证明点Q在CP的垂直平分线上，连接CP，作CP的垂直平分线交BC于M，交AC于N，即点Q在MN上，可得PQ扫过的面积为△PMN的面积，证明△ABC△△ACP，得到MN△AB，再证明△CMN△△CBA，得到相似比，求出△CMN的面积即可得解．【详解】解：连接CQ，PQ，△△ACB=90°，PE△PF，Q为EF中点，△PQ=CQ=12EF，△点Q在CP的垂直平分线上，如图，连接CP，作CP的垂直平分线交BC于M，交AC于N，即点Q在MN上，△PQ扫过的面积为△PMN的面积，△△ACB=90°，AC=6，BC=8，△AB，△AP=3.6，则35AP ACAC AB==，又△C=△C，△△ABC△△ACP，△△APC =△ACB =90°，即CP △AB ， △MN △CP ， △MN △AB ，△△CMN △△CBA ，又MN 垂直平分CP ， △12CM CN CB CA ==，且△CMN 和△PMN 的面积相等， △S △PMN =S △CMN =14S △ABC =116842⨯⨯⨯=6，故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是推出点Q 的路径，得到点Q 在CP 的垂直平分线上．6．（2021·吉林）如图，在ABC 中，90ACB ∠>︒按以下步骤作图：分别以点A 和C 为圆心，大于12AC 的边长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和N ；作直线MN 交AB 于点D ，连结CD ．若5cm AB =，则BC 的长可能是（ ）A ．7cmB ．6cmC ．5cmD ．4cm【答案】D 【分析】由基本作图得到MN 垂直平分AC ，则DA =DC ，根据三角形三边的关系得到BC ＜CD +DB ，然后对各选项进行判断． 【详解】解：由作法得MN 垂直平分AC ， △DA =DC ，△CD +BD =DA +DB =AB =5， △BC ＜CD +DB ， △BC ＜5． 故选：D ． 【点睛】本题考查了作图-基本作图－作已知线段的垂直平分线．也考查了线段垂直平分线的性质．7．（2021·广西柳州·）如图，在Rt △ABC 中，△ACB =90°，AC =BC ，点M 在AC 边上，且A M=2，M C =6，动点P 在AB 边上，连接PC ，P M ，则PC +P M 的最小值是（ ）A ．B ．8C ．D ．10【答案】A 【分析】首先利用等腰三角形和垂直平分线的性质求出8AC '=和90C AC ∠'=︒，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如解图，过点C 作CO AB ⊥于点O ，延长CO 到点C '，使OC OC '=，连接MC '，交AB 于点P '，此时MC P M P C P M P C '='+''='+'的值最小，连接AC '，,,90CO AB AC BC ACB ⊥=∠=︒，1245ACO ACB ∴∠=∠=︒．,CO OC CO AB ='⊥，268AC CA AM MC ∴'==+=+=， 45OC A OCA ∴∠'=∠=︒， 90C AC ∴∠'=︒， C A AC ∴'⊥，MC ∴'=PC PM ∴+的最小值为故选：A ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，垂直平分线的应用和勾股定理，找到P 点的位置是关键．8．（2021·湖南长沙·九年级）如图，用直尺和圆规作图，以点O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交OB ，OA 于点E 、D ，再分别以点E 、D 为圆心，大于12ED 的长为半径画弧，两弧交于点C ，连接OC ，则△ODC △OEC 的理由是（ ）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．HL【答案】A 【分析】连接EC 、DC ．根据作图的过程知，OE=OD ，CE=CD ，利用SSS 即可证明△ODC △OEC ． 【详解】如图，连接EC 、DC ．根据作图的过程知，OE=OD ，CE=CD ， 在△EOC 与△DOC 中， OE OD OC OC CE CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， △△EOC △△DOC （SSS ）． 故选A ． 【点睛】本题考查了基本作图及三角形全等的判定方法，根据作图方法确定出三角形全等的条件是解决问题的关键． 9．（2021·四川宜宾市·）如图，在ABC 中，90,16,C AC AB ∠=︒=的垂直平分线MN 交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接BD ，若:3:5CD DB =，则ABC 的面积为（ ）A ．16B ．32C ．48D ．64【答案】D 【分析】由于CD ：DB ＝3：5，可设DC ＝3x ，BD ＝5x ，由于MN 是线段AB 的垂直平分线，故AD ＝DB ，AD ＝5x ，又知AC ＝16，即可据此列方程解答． 【详解】解：△CD ：DB ＝3：5， △设DC ＝3x ，BD ＝5x ，又△MN 是线段AB 的垂直平分线， △AD ＝DB ＝5x ，又△AC＝16cm，△3x＋5x＝16，解得，x＝2，△CD＝6，DB＝10，在Rt△BDC中，CD＝6，DB＝10，BC8=，△△ABC的面积＝12AC×BC＝12×16×8＝64．故选D．10．（2021·河北唐山·）如图，所示的正方形网格中，一条A，B，C三点均在格点上，那么ABC的外接圆圆心是（）A．点E B．点F C．点G D．点H【答案】C【分析】由ABC的外接圆圆心在AB与BC的垂直平分线上，根据网格可知EG所在直线是AB的垂直平分线，BC 的垂直平分线是点G所在直线即可．【详解】解：△A，B，C三点均在格点上，连结BC，△ABC的外接圆圆心在AB与BC的垂直平分线上，由网格可知EG所在直线是AB的垂直平分线，BC的垂直平分线是点G所在直线，△点G是ABC的外接圆圆心．故选择：C．【点睛】本题考查网格三角形，三角形外接圆圆心，线段垂直平分线，掌握网格三角形，三角形外接圆圆心，线段垂直平分线是解题关键．二、填空题11．（2021·建昌县教师进修学校九年级）如图，在ABC中，AC＝4，BC＝8，分别以点A，B为圆心，等长为半径作弧，交AB，BC，AC于点D，E，F，再以点F为圆心，DE长为半径作弧，交前弧于点G，连接AG并延长交BC于点H．则BH长_____．【答案】6【分析】根据尺规作图可得△CAH=△B，故可得到△ACH△△BCA，得到AC HCBC AC=，故可求出CH，从而求出BH的长．【详解】根据尺规作图可得△CAH=△B，又△C=△C△△ACH△△BCA△AC HC BC AC=△484HC =△HC=2故BH=BC-HC=6故答案为6．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知尺规作角相等的方法及相似三角形的判定定理． 12．（2021·建昌县教师进修学校九年级）如图，E 是正方形ABCD 外一点，连接AE ，BE ，DE ，AP △AE 交DE 于点P ，连接BP ，若AE ＝AP ＝1，PB △EB △ED ；△点B 到直线DE 的距离是1；△APDAPBSS+=；△S 正方形ABCD ．其中正确结论的序号为______．【答案】△△△ 【分析】根据正方形性质可得AD =AB ，△BAD =ADC =90°，再由AP △AE ，易证△ABE △△ADP ，再利用等腰直角三角形性质可得：△AEB =135°，进而可得：EB △ED ；由勾股定理即可求得BE =1，即点B 到直线DE 的距离为1；设正方形ABCD 边长为a ，根据勾股定理可得22212a a ⎛⎛⎫ -+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得：22a=+，即可求得：APDAPBS S+=，2正方形2ABCD S a ==+，即可求解．【详解】解：△四边形ABCD 是正方形， △AD =AB ，△BAD =△ADC =90° △AP △AE ， △△EAP =90°△△BAE +△BAP =△BAP +△DAP =90°， △△BAE =△DAP ， △AE =AP =1，△△ABE △△ADP （SAS ）， △△AEB =△APD ，BE =DP △△AEP 是等腰直角三角形，△△AEP =△APE =45°，EP ===，△△APD =180°-△APE =180°-45°=135°， △△AEB =135°，△△BED =△AEB -△AEP =135°-45°=90°， △EB △ED ，故△正确；△1BE ==，故△正确；过点E 作EF △AB 于点F ，过点P 作PG △AB 于点G ，△AF =BF ，△AFE =△PGA =90°， △△EAF +△P AG =△P AG +△APG =90°， △△EAF =△APG ， △△EAF △△APG （AAS ）， △EF =AG ，AF =PG ，设正方形ABCD 边长为a ，则AB =a ，12AF PG a ==，△AG EF ====，△BG AB AG a =-=-， 在Rt BPG △ 中，由勾股定理得：22212a a ⎛⎛⎫ -+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得：22a =+，△()12APDAPBAEBAPBSSSSAB EF PG +=+=+1122a a ⎫⎪=+=⎪⎝⎭，故△正确；△2正方形2ABCD S a ==+，故△错误，故正确的有△△△． 故答案为：△△△． 【点睛】本题主要考查了正方形性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，三角形面积和正方形面积等；熟练掌握相关知识点是解题的关键．13．（2021·东莞市东莞中学初中部九年级）如图，OA ＝OB ，AC ＝BC ，△ACO ＝30°，则△ACB ＝__．【答案】60° 【分析】利用SSS 证明△AOC △△BOC 可得△BCO ＝△ACO ＝30°，进而可求解△ACB 的度数． 【详解】解：在△ACO 和△BCO 中， OA OB AC BC OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩， △△AOC △△BOC （SSS ）， △△BCO ＝△ACO ＝30°， △△ACB ＝△BCO +△ACO ＝60°， 故答案为：60°． 【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．14．（2021·江苏）如图,在四边形ABCD 中,AB △DC ,过点C 作CE △BC ,交AD 于点E ,连接BE ,△BEC ＝△DEC ,若AB ＝6,则CD ＝___．【答案】3 【分析】延长AD ,BC 交于点P ,先证明BCE PCE ≅△△,可得到PC =BC ,从而得到CD 是ABP △ 的中位线,即可得出答案． 【详解】如图,延长AD ,BC 交于点P , △CE △BC ,△90PCE BCE ∠=∠=︒ , 又△△BEC ＝△DEC ,CE =CE , △()BCE PCE ASA ≅ , △PC =BC , △AB △DC ,△CD 是ABP △ 的中位线, △116322CD AB ==⨯= , 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理和三角形全等,解题的关键是做辅助线构造出三角形,找到三角形的中位线．15．（2021·江苏九年级）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则△1+△2＝___．【答案】135°【分析】直接利用网格证明△ABC△△CDE，得出对应角△1=△3，进而得出答案．【详解】解：如图所示：可知：AB=CD=3，BC=DE=1，△B=△D=90°，△△ABC△△CDE（SAS），△△1=△3，则△1+△2=△2+△3=135°．故答案为：135°．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确借助网格分析是解题关键．三、解答题16．（2021·西安市铁一中学九年级）如图，已知直线l外有一点P，请用尺规作图的方法在直线l上找一点Q，使得Q到P的距离最小（保留作图痕迹，不写作法）．【答案】见解析．【分析】以点P为圆心，适当长为半径，作弧交直线l于两点，再作以这两点为线段的垂直平分线，交直线于点Q 即可．【详解】解：如图，点Q即是所求作的点．【点睛】本题考查过直线外一点，作直线的垂直平分线，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．17．（2021·建昌县教师进修学校九年级）如图，在ABC中，△BAC＝90°，AB＝AC＝4，过点C作MN△AB，点P为斜边BC上一点，点Q为直线MN上一点，连接PQ，作PR△PQ交直线AC于点R．（1）当点Q在射线CM上时△如图1，若P是BC的中点，则线段PQ，PR的数量关系为；△如图2，若P不是BC的中点，写出线段CP，CQ，CR之间的数量关系，并证明你的结论；（2）若14CP BC=，3CQ=，请直接写出CR的长．【答案】（1）△PQ＝PR；CQ CR+=，见解析；（2）5或1【分析】（1）△PQ＝PR；连结AP，△BAC＝90°，AB＝AC，可得△ACP=45°，由点P为BC中点，可得AP△BC，AP平分△BAC，可得△APQ+△QPC=90°，△P AC=45°，可求△RAP=135°，△ACP=△P AC=45°，可证△RAP△△QCP （ASA）即可；CQ CR+=．作PE △PC交AC于点E，可得△EPC＝90°，可得△EPQ+△QPC=90°，由PR△PQ，可得△RPE+△EPQ=90°，可得△RPE＝△QPC，再证△PER△△PCQ（ASA），可得ER＝CQ，在Rt△CEP中，利用三角函数可求CE=即可；（2）由△BAC＝90°，AB＝AC＝4，利用勾股定理可求BC=14CP BC=，可14CP BC=Q在MN上位置分两种情况：当点Q在CM上与点Q在CN上时，利用结论可求CR．【详解】（1）△连结AP，△△BAC＝90°，AB＝AC，△△ACP=45°，△点P为BC中点△AP△BC，AP平分△BAC，△△APQ+△QPC=90°，△P AC=45°，△△RAP=180°-△P AC=135°，△ACP=△P AC=45°△AP=CP，△RP△PQ，△△RP A+△APQ=90°，△△RP A=△QOC，△MN∥AB，△△ACQ=△BAC=90°，△△QCP=△ACQ+△PCA=90°+45°=135°=△RAP，在△RAP和△QCP中，RAP QCPAP CPRPA QPC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△RAP△△QCP（ASA），△PR=PQ，故答案为：PQ ＝PR ；CQ CR +=．证明：作PE △PC 交AC 于点E ，则△EPC ＝90°， △△EPQ+△QPC =90° △PR △PQ △△RPQ ＝90°， △△RPE +△EPQ =90°， △△RPE ＝△QPC ，△△BAC ＝90°，AB ＝AC ，MN △AB△△ABC ＝△ACB ＝45°，△ACM ＝△BAC ＝90° △△PEC ＝45°△PE ＝PC ，△PER ＝△PCQ ＝135°， 在△REP 和△QCP 中，REP QCP EP CPRPE QPC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△PER △△PCQ （ASA ）， △ER ＝CQ ，在Rt △CEP 中，cos △PEC ＝PC CE =CE = 又△CE ER CR +=，CQ CR +=．（2）△△BAC ＝90°，AB ＝AC ＝4，△BC = △14CP BC =△1144CP BC ==⨯ 当点Q 在CM 上时CR CQ =+当点Q 在CN 上时证明：作PE △PC 交CN 于点E ， 则△EPC ＝90°， △△EPR+△RPC =90° △PR △PQ △△RPQ ＝90°， △△RPE +△EPQ =90°， △△RPC ＝△QPE ，△△BAC ＝90°，AB ＝AC ，MN △AB△△ABC ＝△ACB ＝45°=△BCQ ，△ACN ＝△ACB +△BCQ =90°=△BAC△△PEC ＝45°△PE ＝PC ，△PEQ ＝△PCR ＝135°， 在△QEP 和△RCP 中，QEP RCP EP CPQPE RPC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△QEP △△RCP （ASA ）， △EQ ＝CR ，在Rt △CEP 中，cos △PEC＝PC CE =CE = 又△CR CE CR -=，△CQ CR =．=3CR CQ =△CR 的长为5或1． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质与判定，平行线性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，线段的和差，锐角三角函数，掌握等腰直角三角形的性质与判定，平行线性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，线段的和差，锐角三角函数是解题关键．18．（2021·广东广州·铁一中学）如图，90A ∠=︒，//AD BC ，点E 是AB 上的一点，且AE BC =，12∠=∠．求证：ADE BEC △△≌．【答案】见解析 【分析】根据等角对等边可得ED EC =，由此根据HL 证明Rt ADE △和Rt BEC △全等解答即可． 【详解】证明：12∠=∠，ED EC ∴=，△90A ∠=︒，//AD BC ， △18090B A ∠=︒-=︒∠， 在Rt ADE △和Rt BEC △中，AE BC ED EC=⎧⎨=⎩， Rt Rt (HL)ADE BEC ∴△≌△．【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键．19．（2021·江苏高港区·高港实验学校九年级）如图，在正方形ABCD 中，F 为BC 为边上的定点，E 、G 分别是AB 、CD 边上的动点，AF 和EG 交于点H 且AF △EG ．（1）求证：AF ＝EG ； （2）若AB ＝6，BF ＝2．△若BE ＝3，求AG 的长；△连结AG 、EF ，求AG ＋EF 的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）△【分析】（1）过点G 作GM △AD 交AB 于点M ，则可得AD =MG ，然后证明△GME △△ABF 即可；（2）△过点G 作GM △AD 交AB 于点M ，连接AG ，由（1）可得EM =BF =2，从而可求得AM ，在Rt △AMG 中由勾股定理即可求得AG 的长；△过点F 作FP △EG ，FP =EG ，连接AP ,则易得GP =EF ，当A 、G 、P 三点共线时，AG +EF 最小，在Rt △AFP 中由勾股定理即可求得AP 的长即可． 【详解】（1）过点G 作GM △AD 交AB 于点M △四边形ABCD 是正方形△△BAD =△B =90゜，AB △CD ，AD =AB △△EMG =△BAD =△B =90゜ △AB △CD ，GM △AD△四边形AMGD 是平行四边形 △△BAD =90゜△四边形AMGD 是矩形 △MG =AD △MG =AB △AF △EG△△AEH +△EAH =90゜ △△EAH +△AFB =90゜ △△AEH =△AFB 在△GME 和△ABF 中EMG B AEH AFB MG AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△GME △△ABF (AAS ) △AF =EG（2）△过点G作GM△AD交AB于点M，连接AG，如图由（1）知，△GME△△ABF△EM=BF=2△AB=6，BE=3△AE=AB－BE=3△AM=AE－EM=1在Rt△AMG中，GM=AD=6，由勾股定理得：AG=△过点F作FP△EG，FP=EG，连接AP,如图则四边形EFPG是平行四边形△GP=EF△AG+GP≥GP△当A、G、P三点共线时，AG+EF=AG+GP最小,最小值为线段AP的长△AF△EG，FP△EG△FP△AF在Rt△ABF中，由勾股定理得AF==△AF=EG，EG=FP△FP=AF=在Rt△AFP中，由勾股定理得AP=所以AG+EF的最小值为【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，两点间线段最短等知识，灵活运用这些知识是解决的关键，确定AG+EF最小值是线段AP的长是难点．20．（2021·杭州市丰潭中学九年级）如图，已知AB是△O的弦，OB＝1，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交△O于点D，连接AD．设△B＝α，△ADC＝β．（1）求△BOD的度数（用含α，β的代数式表示）；（2）若α＝30°，当AC的长度为多少时，以点A、C、D为顶点的三角形与B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．（3）若α＝β，连接AO，记△AOD、△AOC、△COB的面积分别为S1，S2，S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OC的长．【答案】（1）△BOD＝2α+2β；（2）AC（3）OC．【分析】（1）作辅助线OA，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可确定△DOB的值；（2）分析△ACD中只有△D可能等于30°，得出△D的对应角为△B，根据相垂径定理可得出AC的长；（3）先根据比例中项得出a和b的关系式，再证明△ACD△△OCA，再得出AD和AC的关系式，两式联立即可求出AC、AD，从而求出OC．【详解】解：（1）连接AO，如图：△OA ＝OD ，OA ＝OB ，△B ＝α，△ADC ＝β， △△OAD ＝△ADC ＝α，△OAB ＝△B ＝β，△△BOD ＝2△DAB ＝2（△OAD +△OAB ）＝2α+2β； （2）△点C 不与A 、B 重合， △△DAC ＞30°，△ACD ＞30°， △△ACD △△OCB ， △△D ＝△B ＝α＝30°，由（1）知△DOB ＝2（30°+30°）＝120°， △△BOC ＝60°， △△OCB ＝90°，根据垂径定理知C 是AB 的中点，△AC ＝BC ＝OB •cos 30°＝1=（3）△α＝β， △△ADO =△ABO ， △OA =OD =OB ，△△ADO =△OAD =△ABO =△OAB ， △△ADO △△ABO ，△OA 是△DAC 的角平分线，设AD ＝a ，AC =b ，AD 、AC 边上的高为h ， 则：112S ah =，212S bh =，3()12S a b h =-，又△S 2是S 1和S 3的比例中项，△2213S S S =•，即211()()1222bh ah a b h =•-，化简得a 2﹣b 2＝ab △，△α＝β， △△DOB ＝4α， △△DCB ＝3α， △△AOC ＝△DAC ＝2α， △△ACO ～△DCA ， △AO COA C A C D A C D ==， △11b OCa OC b+==，整理得：bOC a=，a 2b ＝a +b △， 联立△△得：1a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩△OC=21．（2021·珠海市九洲中学九年级）如图，AC 是平行四边形ABCD 的对角线．（1）利用尺规作出AC 的垂直平分线（要求保留作图痕迹，不写作法）；（2）设AC 的垂直平分线分别与AB 、AC 、CD 交于点E 、O 、F ，求证：OE OF =． 【答案】（1）答案见详解；（2）答案见详解 【分析】（1）如图可得AC 的垂直平分线；（2）由根据作图知，PQ 是AC 的垂直平分线，又由四边形ABCD 是平行四边形，易证得△AOE △△COF ，继而证得结论． 【详解】 解：（1）如图：（2）证明：根据作图知，PQ 是AC 的垂直平分线， △OA ＝OC ，且EF △AC ， △四边形ABCD 是平行四边形， △AB △CD ， △△OAE ＝△OCF ， 在△OAE 和△OCF 中， OAE OCF OA OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△AOE △△COF （ASA ）， △OE ＝OF ． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质与作法以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．22．（2021·温州绣山中学九年级）如图，在△ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AE △BD ，CF △BD ，垂足分别为E ，F ． （1）求证：EO ＝FO ；（2）若AE ＝EF ＝4，求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB =CD ，△ABE =△CDF ，然后根据题意证明ABE CDF △≌△即可．（2）根据OE =OF =12EF 求出OE 的长度，然后根据勾股定理求出AO 的长度，即可根据平行四边形对角线互相平分求出AC 的长度． 【详解】（1）△四边形ABCD 是平行四边形， △AB =CD ，AB △CD ， △△ABE =△CDF ， △AE △ED ，CF △BD ， △△AEB =△CFD =90°， 在△ABE 和△CDF 中，AEB CFD ABE CDF AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △()ABE CDF AAS △≌△， △BE =DF ， △OB =OD ， △OB -BE =OD -DF ， △OE =OF ．（2）△AE ＝EF ＝4， △OE =OF ＝122EF =，△在Rt AEO中，AO =△2AC AO == 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理的运用，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理．23．（2021·福建泉州五中）如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于点E ，CF AD ⊥于点F ，求证：BE DF =．【答案】见解析．【分析】根据平行四边形的性质可得AB ＝CD ，△B ＝△D ，然后利用AAS 定理证明△ABE △△CFD 可得BE ＝DF【详解】 证明：四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴=，B D ∠=∠，AE BC ⊥，CF AD ⊥，90AEB CFD ∴∠=∠=︒在ABE ∆和CDF ∆中，AEB CFD B DAB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE CDF AAS ∴∆≅∆，BE DF ∴=．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质和全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质的作用：平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法．。
中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带参考答案
中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带参考答案一、选择题1．下列选项中表示两个全等的图形的是（）A．形状相同的两个图形B．周长相等的两个图形C．面积相等的两个图形D．能够完全重合的两个图形2．如图，点D、E分别在线段AB、AC上，BE、CD相交于点O，AE＝AD，则不一定能使△ABE≌△ACD的条件是（）A．AB＝AC B．∠B＝∠CC．∠AEB＝∠ADC D．CD＝BE3．如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD=∠DAB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS4．如图△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE=65°，则∠CAF的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．65°5．如图EF=CF，BF=DF则下列结论不一定正确的是（）A．△BEF≌△DCF B．△ABC≌△ADEC．DC=AC D．AB=AD6．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．57．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，点E，BE、CD相交于点O．∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对8．如图，AD 是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为12，DE =2，AB = 7，则 AC 的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题9．如图，∠ACD＝∠BCE，BC＝EC，要使△ABC≌△DEC，则可以添加的一个条件是．10．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=2，则△ABD的面积为．11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，若BD＝4cm，CE＝3cm则DE= cm．12．如图，把两根钢条AB，CD的中点连在一起做成卡钳，已知AC的长度是6cm，则工件内槽的宽BD是cm．13．如图，△ABC为等腰直角三角形AC=BC，若A(−3，0)，C(0，2)，则点B的坐标为.三、解答题14．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°（1）求证：△ADE≌△CDE．（2）求∠BDC度数．15．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E.（1）求证：BC＝DC；（2）若∠A ＝25°，∠D ＝15°，求∠ACB 的度数.16．如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE.（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数.17．如图，在ABC 中90C ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，点F 在BC 上，连接DF ，且AD DF =． (1)求证：CF AE =；(2)若3AE =，BF=4，求AB 的长．18．如图，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AB ＝AD ，AE ＝AC ，AF ⊥CB ，垂足为F ．(1)求证：△ABC ≌△ADE ；(2)求∠FAE 的度数；(3)求证：CD ＝2BF+DE ．1．D2．D3．D4．A5．C6．B7．C8．C9．AC ＝DC （答案不唯一）10．811．712．613．(2，-1)14．（1）证明：∵DE 是线段AC 的垂直平分线 ∴DA=DC ，AE=CE在△ADE 与△CDE 中：DA=DCAE=CEDE=DE∴△ADE ≌△CDE （SSS ）；（2）解：∵△ADE ≌△CDE ．∴∠DCA=∠A=50°∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°15．（1）证明：∵∠BCE ＝∠DCA∴∠BCE +∠ACE ＝∠DCA +∠ECA即∠BCA ＝∠DCE .在△BCA 和△DCE 中{∠BCA =∠DCE AC =EC ∠A =∠E∴△BCA ≌△DCE （ASA ）（2）解：∵△BCA ≌△DCE∴∠B ＝∠D ＝15°.∵∠A ＝25°∴∠ACB ＝180°−∠A −∠B ＝140°.16．（1）证明：∵∠BAC ＝∠DAE∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC∴∠1＝∠EAC在△ABD 和△ACE 中{AB =AC ∠1=∠EAC AD =AE∴△ABD ≌△ACE （SAS ）（2）解：∵△ABD ≌△ACE∴∠ABD ＝∠2＝30°∵∠1＝25°∴∠3＝∠1+∠ABD ＝25°+30°＝55°.17．（1）证明：（1）∵90C ∠=︒∴DC BC ⊥又∵BD 是ABC ∠的平分线DE AB ⊥∴DE DC = 90AED ∠=︒在Rt AED △和Rt FCD △中∵AD DFDE DC =⎧⎨=⎩∴()Rt Rt AED FCD HL ≌△△∴CF AE =．（2）解：由（1）可得3CF AE ==∴437BC BF CF =+=+=∵DE AB ⊥∴90DEB ∠=︒∴DEB C ∠=∠∵BD 是ABC ∠的平分线∴ABD CBD ∠=∠在BED 和BCD △中∵DEB C EBD CBD BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BED BCD AAS ≌△△ ∴7BE BC ==∴7310AB BE AE =+=+=∴AB 的长为10．18．（1）证明：∵90BAD CAE ∠=∠=︒∴90BAC CAD ∠+∠=︒ 90CAD DAE ∠+∠=︒ ∴BAC DAE ∠=∠在△BAC 和△DAE 中∵AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BAC DAE SAS ≌△△；（2）解：∵90CAE ∠=︒，AC=AE∴45E ∠=︒由（1）知BAC DAE ≌△△∴45BCA E ∠=∠=︒∵AF BC ⊥∴90CFA ∠=︒∴45CAF ∠=︒∴4590135FAE FAC CAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（3）证明：延长BF 到G ，使得FG FB = ∵AF BG ⊥∴90AFG AFB ∠=∠=︒在△AFB 和△AFG 中∴BF GF AFB AFG AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AFB AFG SAS ≌△△∴AB AG = ABF G ∠=∠∵BAC DAE ≌△△∴AB AD = CBA EDA ∠=∠ CB=ED ∴AG AD = ABF CDA ∠=∠∴CGA CDA ∠=∠∵45GCA DCA ∠=∠=︒∴在△CGA 和△CDA 中GCA DCA CGA CDA AG AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CGA CDA AAS ≌△△∴CG CD =∵22CG CB BF FG CB BF DE BF =++=+=+ ∴2CD BF DE =+．。
中考数学-三角形全等的判定专题训练题
1、如图（1）：AD⊥BC，垂足为D，BD=CD。求证：△ABD≌△ACD。
5、如图（5）Leabharlann AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE。 求证：AC⊥CE。
2、如图（2）：AC∥EF，AC=EF，AE=BD。 求证：△ABC≌△EDF。
3、如图（3）：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。
（1）求证：AE=CD，（2）若BD=5㎝，求AC的长。
15、如图15△ABC中，AB=2AC，∠BAC=90°，延长BA到D，使AD= AB，延长AC到E，使CE=AC。求证：△ABC≌△AED。
16、如图（16）AD∥BC，AD=BC，AE=CF。求证：（1）DE=DF，（2）AB∥CD。
17、如图：在△ABC中，AD⊥BC于D，AD=BD，CD=DE，E是AD上一点，连结BE并延长交AC于点F。求证：（1）BE=AC，（2）BF⊥AC。
11、如图（11）在△ABC和△DBC中，∠1=∠2，∠3=∠4，P是BC上任一点。求证：PA=PD。
12、如图（12）AB∥CD，OA=OD，点F、D、O、A、E在同一直线上，AE=DF。求证：EB∥CF。
13、如图（13）△ABC≌△EDC。求证：BE=AD。
14、如图（14）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC的中线，过点C作CF⊥AE于F，过B作BD⊥CB交CF的延长线于点D。
43、如图：AB=FE，BD=EC，AB∥EF。求证：（1）AC=FD，（2）AC∥EF，（3）∠ADC=∠FCD。
44、如图：AD=AE，∠DAB=∠EAC，AM=AN。 求证：AB=AC。
45、如图：AB=AC，BD=CE。求证：OA平分∠BAC。
全等三角形手拉手模型-初中数学模型与解题方法专题训练(学生版+解析版)
全等三角形手拉手模型一、单选题1.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是()A.1B.2C.3D.42.如图，AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠CAE=50°，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD=BE；③∠DOB=50°；④点A在∠DOE的平分线上，其中结论正确的个数是()A.1B.2C.3D.43.如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，则下列结论①△ACD≌△BCE ②∠AGB=60° ③BF=AH④△CFH是等边三角形 ⑤连CG，则∠BGC=∠DGC．其中正确的个数是()A.2B.3C.4D.54.如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论：①△AOC≌△BOD；②AC=BD；③∠AMB=40°；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为()A.4B.3C.2D.15.如图，A，B，E三点在同一直线上，△ABC，△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，OC：下列结论中正确的是()①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等边三角形；③OC平分∠AOE；④△BPO≌△EDO．A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④6.如图，在直线AC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD交于点H，AE与DB交于点G，BE与CD交于点F，下列结论：①AE=CD；②∠AHD=60°；③△AGB≌△DFB；④BH平分∠GBF；⑤GF∥AC；⑥点H是线段DC的中点．正确的有()A.6个B.5个C.4个D.3个7.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中，正确的结论有()①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④S四边形BCDE=12BD•CE；⑤BC2+DE2=BE2+CD2．A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为()A.①B.①②C.①②③D.①②④9.如图，点C是线段AE上一动点(不与A，E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，有以下5个结论：①AD =BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的结论有( )个A.1B.2C.3D.410.如图，正△ABC和正△CDE中，B、C、D共线，且BC=3CD，连接AD和BE相交于点F，以下结论中正确的有( )个①∠AFB=60° ②连接FC，则CF平分∠BFD ③BF=3DF ④BF=AF+FCA.4B.3C.2D.1二、填空题11.如图，△ABD、△CDE是两个等边三角形，连接BC、BE．若∠DBC=30°，BD=6，BC=8，则BE=．12.如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，下列结论：①AE=BD；②△DGC≌△EFC；③线段AE和BD所夹锐角为80°；④FG∥BE．其中正确的是．(填序号)13.如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上，连接BD，有下列结论：①AE=BD；②∠DAB=∠BCD；③ED⊥DB；④AE2+AD2=2AC2；其中正确的结论有(填序号)14.如图，∠DAB=∠EAC=600，AB=AD，AC=AE，BE和CD相交于O，AB和CD相交于P，则∠DOE的度数是°.15.已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E，F分别是边AD、CD上的点，若AE=4cm，CF=3cm，且OE⊥OF，则EF的长为cm．16.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D为三角形右侧外一点．且∠BDC=45°．连接AD，若△ACD的面积为98，则线段CD的长度为．17.如图，△ABC是边长为5的等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°．E、F分别在AB、AC上，且∠EDF=60°，则三角形AEF的周长为．18.在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC．其中正确的是．19.如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠CHE=．20.在△ABC中，∠ACB=90°,∠B=60°,AB=4,点D是直线BC上一动点，连接AD，在直线AD的右侧作等边ΔADE，连接CE，当线段CE的长度最小时，线段CD的长度为．三、解答题21.如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．(1)求证：BD=CE；(2)求证：△ABM≌△ACN；(3)求证：△AMN是等边三角形．22.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O是AB中点，∠MON=90°，将∠MON绕点O旋转，∠MON的两边分别与射线AC、CB交于点D、E．(1)当∠MON转动至如图一所示的位置时，连接CO，求证：△COD≅△BOE；(2)当∠MON转动至如图二所示的位置时，线段CD、CE、AC之间有怎样的数量关系？请说明理由．23.在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点，连接AD，以AD为边向右作△ADE，使得AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．(1)①如图1，求证：△ABD≌△ACE；②当点D在BC边上时，请直接写出△ABC，△ACD，△ACE的面积(S△ABC，S△ACD，S△ACE)所满足的关系；(2)当点D在BC的延长线上时，试探究△ABC，△ACD，△ACE的面积(S△ABC，S△ACD，S△ACE)所满足的关系，并说明理由．24.在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B、C重合)，把线路AD绕着点A逆时针旋转至AE(即AD=AE)，使得∠DAE=∠BAC，连接DB、CE．(1)如图1，点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=度．(2)如图2，当点D在线段BC上，如果∠BAC=60°，则∠BCE=度．(3)如图3，设∠BAC=α，∠BCE=β，当点D在线段BC上移动时，α，β的数量关系是什么？请说明理由．(4)设∠BAC=α，∠BCE=β，当点D在直线BC上移动时，请直接写出α，β的数量关系，不用证明．25.在△AEB和△DEC中，AC、BD相交于点P，AE、BD相交于点O，AE=BE，DE=CE，∠AEB=∠DEC．(1)求证：AC=BD；(2)求证：∠APB=∠AEB．26.如图1，B、C、D三点在一条直线上，AD与BE交于点O，△ABC和△ECD是等边三角形．(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)求∠BOD的度数；(3)如图2，若B、C、D三点不在一条直线上，∠BOD的度数是否发生改变？(填“改变”或“不改变”)27.如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，设E、F分别是AD、AB上的点，若∠EOF=90°，DO=4，求四边形AEOF的面积．28.(1)如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并证明：线段AE、BD的数量关系和位置关系．(2)在(1)的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．29.已知在△ABC中，AB=AC，过点B引一条射线BM，D是BM上一点【问题解决】(1)如图1，若∠ABC=60°，射线BM在∠ABC内部，∠ADB=60°，求证：∠BDC=60°，小明同学展示的做法是：在BM上取一点E使得AE=AD，通过已知的条件，从而求得∠BDC的度数，请你帮助小明写出证明过程；【类比探究】(2)如图2，已知∠ABC=∠ADB=30°．①当射线BM在∠ABC内，求∠BDC的度数②当射线BM在BC下方，如图3所示，请问∠BDC的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求出∠BDC的度数；30.如图，D为△ABC内一点，AB=AC，∠BAC=50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合．(1)求证：EB=DC；(2)若∠ADC=125°，求∠BED的度数．31.如图，△ABC是一个锐角三角形，分别以AB、AC为边向外作等边三角形△ABD、△ACE，连接BE、CD交于点F，连接AF．(1)求证：△ABE≌△ADC；(2)求∠EFC的度数；(3)求证：AF平分∠DFE．32.【问题发现】(1)如图1，△ABC和ΔADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接CE，容易发现：①∠BEC的度数为；②线段BD、CE之间的数量关系为；【类比探究】(2)如图2，△ABC和ΔADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点B，D，E在同一直线上，连接CE，试判断∠BEC的度数以及线段BE、CE、DE之间的数量关系，并说明理由；【问题解决】(3)如图3，∠AOB=∠ACB=90°，OA=4，OB=8，AC=BC，则OC2的值为．全等三角形手拉手模型一、单选题1.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是()A.1B.2C.3D.4【答案】A【详解】∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠AEH=90°，∵∠AHE=∠CHD，∴∠BAD=∠BCE，∵在△HEA和△BEC中，∠BAD=∠BCE，∠AEH=∠BEC=90°，EH=EB，∴△HEA≌△BEC(AAS)，∴AE=EC=4，则CH=EC-EH=AE-EH=4-3=1．故选A.2.如图，AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠CAE=50°，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD=BE；③∠DOB=50°；④点A在∠DOE的平分线上，其中结论正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】D【详解】∵∠DAB=∠CAE∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC∴∠DAC=∠EAB∵AB=AD，AC=AE∴△ADC≌△ABE∴CD=BE，故①②正确；∵△ADC≌△ABE∴∠ADC=∠ABE设AB与CD交于G点，∵∠AGD=∠BGC∴∠DOB=∠DAB=50°,故③正确；过点A作AF⊥CD于F点，过点A作AH⊥BE于H点，则AF、AH分别是△ADC与△ABE边上的高∵△ADC≌△ABE∴AF=AH∴点A在∠DOE的平分线上，④正确故选D．3.如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，则下列结论①△ACD≌△BCE ②∠AGB=60° ③BF=AH④△CFH是等边三角形 ⑤连CG，则∠BGC=∠DGC．其中正确的个数是()A.2B.3C.4D.5【答案】D【详解】试题分析：∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE和△ACD中，∵BC=AC，∠BCE=∠ACD，CE=CD，∴△BCE≌△ACD(SAS)；故①正确；∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH．∵∠BFC=∠AFG，∴∠AGB=∠ACB=60°，故②正确；在△BCF和△ACH中，∠CBF=∠CAH，BC=AC，∠BCF=∠ACH，∴△BCF≌△ACH(ASA)，∴CF=CH，BF=AH；故③正确；∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等边三角形；故④正确；连接CG，过C点作CM⊥BE，作CN⊥AD，∵△BCE≌△ACD，CM⊥BE，CN⊥AD，∴CM=CN，∴GC平分∠BGD，∴∠BGC=∠DGC，故⑤正确．故选：D．4.如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论：①△AOC≌△BOD；②AC=BD；③∠AMB=40°；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为()A.4B.3C.2D.1【答案】A【详解】解：∵∠AOB=∠COD=40°，∠AOD是公共角，∴∠COD+∠AOD=∠BOA+∠AOD，即∠AOC=∠BOD，∵OA=OB，OC=OD，∴△AOC≌△BOD(SAS)，∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∠ODB=∠OCA，故①②正确；过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，BD与OA相交于点H，如图所示：∵∠AHM=∠OHB，∠AMB=180°-∠AHM-∠OAC，∠BOA=180°-∠OHB-∠OBD，∴∠AMB=∠BOA=40°，∴∠OEC=∠OFD=90°，∵OC=OD，∠OCA=∠ODB，∴△OEC≌△OFD(AAS)，∴OE=OF，∴OM平分∠BMC，故③④正确；所以正确的个数有4个；故选A．5.如图，A，B，E三点在同一直线上，△ABC，△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，OC：下列结论中正确的是()①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等边三角形；③OC平分∠AOE；④△BPO≌△EDO．A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④【答案】B【详解】∵△ABC，△CDE都是等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠PCQ=∠ECD+∠PCQ，∠PCD=60°，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴①的说法是正确的；∵△ACD≌△BCE，∴∠PDC=∠QEC，∵∠PCD=∠QCE=60°，CD=CE，∴△PCD≌△QCE，∴PC=QC，∴△CPQ是等边三角形；∴②的说法是正确的；∵△PCD≌△QCE，∴PD=QE，S△PCD=S△QCE，过点C作CG⊥PD，垂足为G，CH⊥QE，垂足为H，∴1 2PD•CG=12QE•CE，∴CG=CH，∴OC平分∠AOE，∴③的说法是正确的；无法证明△BPO≌△EDO．∴④的说法是错误的；故答案为①②③，故选B．6.如图，在直线AC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD交于点H，AE与DB交于点G，BE与CD交于点F，下列结论：①AE=CD；②∠AHD=60°；③△AGB≌△DFB；④BH平分)∠GBF；⑤GF∥AC；⑥点H是线段DC的中点．正确的有(A.6个B.5个C.4个D.3个【答案】C【详解】连接GF，过点B作BM⊥AE于M，BN⊥CD于N∵△ABD，△BCE都是等边三角形，∴∠ABD=∠EBC=60°，BA=BE，BE=BC，∴∠ABE=∠DBC，在△ABE和△DBC中，BA=BD∠ABE=∠DBCBE=BC∴△ABE≌△DBC(SAS)，∴AE=CD，故①正确；∵△ABE≌△DBC，∴∠BAE=∠BDC，∵∠AGB=∠DGH，∴∠AHD=∠ABG=60°，故②正确；在△AGB和△DFB中，∠BAG=∠BDF；∴△AGB≌△DFB(ASA)，故③正确；AB=DB∠ABG=∠DBF=60°∵△AGB≌△DFB，∴BG=BF，∵∠GBF=60°，∴△BGF是等边三角形，∴∠FGB=∠ABD=60°，∴FG∥AC，故⑤正确；∵△ABE≌△DBC，BM⊥AE，BN⊥CD，∴BM=BN，∴BH平分∠AHC，但不一定平分∠GBF，故④错误；根据题意，无法判断DH=CH，故⑥错误．故选：C．7.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中，正确的结论有()①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④S四边形BCDE=12BD•CE；⑤BC2+DE2=BE2+CD2．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【详解】解：∵，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD=90°+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴CE=BD，∠ABD=∠ACE，故①正确；∴∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，在△BCG中，∠BGC=180°-(∠BCG+∠CBG)=180°-90°=90°，∴BD⊥CE，∴S四边形BCDE=S△BCE+S△DCE=12CE·BG+12CE·DG=12BD•CE，故④正确；由勾股定理，在Rt△BCG中，BC2=BG2+CG2，在Rt△DEG中，DE2=DG2+EG2，∴BC2+DE2=BG2+CG2+DG2+EG2，在Rt△BGE中，BE2=BG2+EG2，在Rt△CDG中，CD2=CG2+DG2，∴BE2+CD2=BG2+CG2+DG2+EG2，∴BC2+DE2=BE2+CD2，故⑤正确；从题干信息没有给出AC=AD, 所以只有AE∥CD时，∠DAE=∠ADC=90°，无法说明AE∥CD，更不能说明CD=AD, 故②错误；∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC，∵条件不足以证明△CAE≌△BAE,∴∠AEC与∠AEB相等无法证明，∴∠ADB=∠AEB不一定成立，故③错误；综上所述，正确的结论有①④⑤共3个．故选：C．8.如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．)其中正确的个数为(A.①B.①②C.①②③D.①②④【答案】D【详解】解：∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，即∠AOC=∠BOD，在ΔAOC和ΔBOD中，OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD∴ΔAOC≅ΔBOD(SAS)，∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；∴∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，∴∠AMB=∠AOB=40°，②正确；所示：作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2则∠OGC=∠OHD=90°，在ΔOCG和ΔODH中，∠OCA=ODB∠OGC=∠OHDOC=OD∴ΔOCG≅ΔODH(AAS)，∴OG=OH，∴MO平分∠BMC，④正确；∵∠AOB=∠COD，∴当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM∵ΔAOC≅ΔBOD，∴∠COM=∠BOM∵MO平分∠BMC，∴∠CMO=∠BMO，在ΔCOM和ΔBOM中，∠COM=BOMOM=OM∠CMO=∠BMOΔCOM≅ΔBOM，∴OB=OC，∵OA=OB∴OA=OC与OA>OC矛盾，∴③错误；综上所述，正确的是①②④；故选：D．9.如图，点C是线段AE上一动点(不与A，E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，有以下5个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的结论有( )个A.1B.2C.3D.4【答案】D【详解】①∵等边△ABC和等边△DCE，∴BC=AC,DE=DC=CE，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60∘，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE；故①正确；③∵△ACD≌△BCE(已证)，∴∠CAD=∠CBE，∵∠ACB=∠ECD=60°(已证)，∴∠BCQ=180°-60°×2=60°，∴∠ACB=∠BCQ=60°，在△ACP与△BCQ中，∠CAD=∠CBE，AC=BC，∠ACB=∠BCQ=60°，∴△ACP≌△BCQ(ASA)，∴AP=BQ；故③正确；②∵△ACP≌△BCQ，∴PC=QC，∴△PCQ是等边三角形，∴∠CPQ=60∘，∴∠ACB=∠CPQ，∴PQ∥AE；故②正确；④∵AD=BE，AP=BQ，∴AD-AP=BE-BQ，即DP=QE，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，∴∠DQE≠∠CDE，∴DE≠QE，则DP≠DE，故④错误；⑤∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∵等边△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°.故⑤正确；综上所述，正确的结论有：①②③⑤，错误的结论只有④，故选D．10.如图，正△ABC和正△CDE中，B、C、D共线，且BC=3CD，连接AD和BE相交于点F，以下结论中正确的有( )个①∠AFB=60° ②连接FC，则CF平分∠BFD ③BF=3DF ④BF=AF+FCA.4B.3C.2D.1【答案】A【详解】解：①∵△ABC和△CDE均为等边三角形，∴∠ACB=∠ECD=60°，AC=BC，EC=DC，∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE和△ACD中，BC=AC∠BCE=∠ACDEC=DC∴△BCE≌△ACD SAS，∴∠CBE=∠CAD，∵∠AFB=∠CBE+∠CDA，∠ACB=∠CDA+∠CAD，∴∠AFB=∠ACB=60°，故①正确；②如图所示，作CM⊥BE于M点，CN⊥AD于N点，则∠CME=∠CND=90°，∵△BCE≌△ACD，∴∠CEM=∠CDN，在△CEM和△CDN中，∠CME=∠CND∠CEM=∠CDNCE=CD∴△CEM≌△CDN AAS，∴CM=CN，∴CF平分∠BFD，故②正确；③如图所示，作FP⊥BD于P点，∵S△BCF=12BF∙CM=12BC∙FP，S△DCF=12DF∙CN=12CD∙FP，∴S△BCFS△DCF=12BF∙CM12DF∙CN=12BC∙FP12CD∙FP，∵CM=CN，∴整理得：BFDF =BC CD，∵BC=3CD，∴BF DF =3CDCD=3，∴BF=3DF，故③正确；④如图所示，在AD上取点Q，使得FC=FQ，∵∠AFB=∠ACB=60°，CF平分∠BFD，∴∠BFD=120°，∠CFD=12∠BFD=60°，∴△FCQ为等边三角形，∴∠FCQ=60°，CF=CQ，∵∠ACB =60°，∴∠ACB +∠ACF =∠FCQ +∠ACF ，∴∠BCF =∠ACQ ，在△BCF 和△ACQ 中，BC =AC∠BCF =∠ACQCF =CQ∴△BCF ≌△ACQ SAS ，∴BF =AQ ，∵AQ =AF +FQ ，FQ =FC ，∴BF =AF +FC ，故④正确；综上，①②③④均正确；故选：A．二、填空题11.如图，△ABD 、△CDE 是两个等边三角形，连接BC 、BE ．若∠DBC =30°，BD =6，BC =8，则BE =．【答案】BE =10【详解】如图，连接AC ，∵△ABD 、△CDE 是两个等边三角形，∴AB =BD =AD =2，CD =DE ，∠ABD =∠ADB =∠CDE =60，∴∠ADB +∠BDC =∠CDE +∠BDC ，∴∠ADC =∠BDE ，在△ACD 与△BDE 中AD =BD∠ADC =∠BDE CD =DE，∴△ACD ≌△BED (SAS )，∴AC =BE ，∵∠DBC =30°，∴∠ABC =∠ABD +∠DBC =60°+30°=90°，在Rt △ABC 中，AB =6，BC =8，∴AC =AB 2+BC 2=62+82=10，∴BE =10，故答案为：10．12.如图，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，下列结论：①AE =BD ；②△DGC ≌△EFC ；③线段AE 和BD 所夹锐角为80°；④FG ∥BE ．其中正确的是．(填序号)【答案】①②④【详解】解：如图，记AE 与BD 的交点为H ，∵△ABC 与△CDE 都是等边三角形，∴AC =BC ，CD =CE ，∠BCA =∠DCE =60°∵点B 、C 、E 在同一条直线上，∴∠ACD =60°，∴∠BCD =∠ACE =120°在△BCD 和△ACE 中，BC =AC∠BCD =∠ACECD =CE∴△BCD ≌△ACE ，∴BD =AE , 所以结论①正确；∵△BCD ≌△ACE ，∴∠BDC =∠CEA ，∵∠AHB =∠DBE +∠BEA =∠DBE +∠BDC =180°-∠BCD =60°，所以③错误；在△GCD 和△FCE 中，∠GCD =∠DCECE =CD ∠CDB =∠CEA，∴△GCD ≌△FCE ，∴所以②正确；∵△GCD ≌△FCE ，∵CG =CF ，∠ACD =60°，∴∠GFC =60，又∵∠DCE =60°，∴∠GFC =∠DCE ，∴GF ∥BC ，所以④正确．故答案为：①②④．13.如图，△ABC 和△ECD都是等腰直角三角形，CA =CB ，CE =CD ，△ABC 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上，连接BD ，有下列结论：①AE =BD ；②∠DAB =∠BCD ；③ED ⊥DB ；④AE 2+AD 2=2AC 2；其中正确的结论有(填序号)【答案】①②③④【详解】解：∵△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴∠ECD =∠ACB ，∴∠ECD -∠ACD =∠ACB -∠ACD ，即：∠ECA =∠DCB ，∵CA =CB ，CE =CD ，∴△ACE ≌△BCD SAS ，∴AE =BD ，故①正确；由三角形外角定理，∠DAC =∠E +∠ECA ，∵∠DAC =∠DAB +∠BAC ，∴∠E +∠ECA =∠DAB +∠BAC ，∵∠E =∠BAC =45°，∴∠ECA =∠DAB ，∵∠ECA =∠DCB ，∴∠DAB =∠BCD ，故②正确；∵△ACE ≌△BCD ，∴∠E =∠CDB =45°，∵∠BDE =∠CDA +∠CDB ，∴∠BDE =45°+45°=90°，即：ED ⊥DB ，故③正确；∵∠BDE =90°，∴在Rt △ABD 中，AD 2+BD 2=AB 2，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴AB 2=AC 2+BC 2=2AC 2，∴AD 2+BD 2=2AC 2，∵AE =BD ，∴AD 2+AE 2=2AC 2，故④正确；故答案为：①②③④．14.如图，∠DAB =∠EAC=600，AB =AD，AC =AE ，BE 和CD 相交于O ，AB 和CD 相交于P ，则∠DOE 的度数是°.【答案】120【详解】如图所示：∵∠DAB =∠EAC =60°，∴∠DAB +∠BAC =∠BAC +∠EAC ，∴∠DAC =∠EAB ，在△ADC 和△AEB 中，AD =AB∠DAC =∠EAB AC =AE,∴△ADC ≌△ABE (SAS )，∴∠E =∠ACD ，又∵∠AFE =∠OFC ，∴∠EAF =∠COF =60°，∴∠DOE =120°．故答案是：120．15.已知：如图，正方形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，E ，F 分别是边AD 、CD 上的点，若AE =4cm ，CF =3cm ，且OE ⊥OF ，则EF 的长为cm ．【答案】5【详解】解：连接EF ，∵OD =OC ，∵OE ⊥OF∴∠EOD +∠FOD =90°∵正方形ABCD∴∠COF +∠DOF =90°∴∠EOD =∠FOC而∠ODE =∠OCF =45°∴△OFC ≌△OED ，∴OE =OF ，CF =DE =3cm ，则AE =DF =4，根据勾股定理得到EF =CE 2+CF 2=32+42=5cm ．故答案为：5．16.如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC ，点D 为三角形右侧外一点．且∠BDC =45°．连接AD ，若△ACD 的面积为98，则线段CD 的长度为．【答案】32【详解】解：过点B 作BE ⊥BD ，交DC 的延长线于点E ，连接AE ，如图所示：∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠EBC=∠EBC+∠CBD=90°，∴∠ABE=∠CBD，∵∠BDC=45°，∠EBD=90°，∴△EBD是等腰直角三角形，∴∠BDC=∠BED=45°，BE=BD，∵AB=BC，∴△BCD≌△BAE(SAS)，∴∠BDC=∠BEA=45°，AE=CD，∴∠AED=∠AEB+∠BED=90°，∵S△ACD=12CD⋅AE=98，∴CD2=94，∴CD=32；故答案为3 2．17.如图，△ABC是边长为5的等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°．E、F分别在AB、AC上，且∠EDF=60°，则三角形AEF的周长为．【答案】10【详解】解：延长AB到N，使BN=CF，连接DN，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD，∵在△NBD和△FCD中，BD=DC∠NBD=∠FCDBN=CF，∴△NBD≌△FCD(SAS)，∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠EDB+∠FDC=60°，∴∠EDB+∠BDN=60°，即∠EDF=∠EDN，在△EDN和△EDF中，DE=DE∠EDF=∠EDNDN=DF，∴△EDN≌△EDF(SAS)，∴EF=EN=BE+BN=BE+CF，即BE+CF=EF．∵△ABC是边长为5的等边三角形，∴AB=AC=5，∵BE+CF=EF，∴△AEF的周长为：AE+EF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=10，故答案为：10．18.在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC．其中正确的是．【答案】①②③④【详解】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAE=∠BAG，∴△ABG≌△AEC(SAS)，∴BG=CE，故①正确；，设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1∵△ABG≌△AEC，∴∠ACE=∠AGB，∵∠AKG=∠NKC，∴∠CNG=∠CAG=90°，∴BG⊥CE，故②正确；，过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2∵AH⊥BC，∴∠ABH+∠BAH=90°，∵∠BAE=90°，∴∠EAP+∠BAH=90°，∴∠ABH=∠EAP，即∠EAM=∠ABC，故④正确；∵∠AHB=∠P=90°，AB=AE，∴△ABH≌△EAP(AAS)，∴EP=AH，同理可得GQ=AH，∴EP=GQ，∵在△EPM和△GQM中，∠P=∠MQG=90°，∠EMP=∠GMQEP=GQ∴△EPM≌△GQM(AAS)，∴EM=GM，∴AM 是△AEG 的中线，故③正确．综上所述，①②③④结论都正确．故答案为：①②③④．19.如图，CA =CB ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =50°，AD 、BE 交于点H ，连接CH ，则∠CHE =．【答案】65°【详解】解：如图，∵∠ACB =∠DCE ，∴∠ACD =∠BCE ，在ΔACD 和ΔBCE 中，CA =CB∠ACD =∠BCECD =CE∴ΔACD ≅ΔBCE (SAS )；过点C 作CM ⊥AD 于M ，CN ⊥BE 于N ，∵ΔACD ≅ΔBCE ，∴∠CAM =∠CBN ，在ΔACM 和ΔBCN 中，∠CAM =∠CBN∠AMC =∠BNC =90°AC =BC∴ΔACM ≅ΔBCN ，∴CM =CN ，在Rt ΔCMH 与Rt ΔCNH 中CM =CN CH =CH∴Rt ΔCMH ≅Rt ΔCNH (HL )，∴∠MCH =∠NCH ，∴CH 平分∠AHE ；∵ΔACD ≅ΔBCE ，∴∠CAD =∠CBE ，∵∠AFC =∠BFH ，∴∠AHB =∠ACB =50°，∴∠AHE =180°-50°=130°，∴∠CHE =12∠AHE =12×130°=65°，故答案为：65°．20.在△ABC 中，∠ACB =90°,∠B =60°,AB =4,点D 是直线BC 上一动点，连接AD ，在直线AD 的右侧作等边ΔADE ，连接CE ，当线段CE 的长度最小时，线段CD 的长度为．【答案】3【详解】解：在AC 的左侧作等边三角形ACF ，连接CE 、BF 、FD 、CF ，∵∠ACB =90°,∠B =60°,则∠BAC =30°,则∠FAB =∠FAC -∠BAC =60°-30°=30°，故点C 、F 关于AB 对称，则∠ABF =∠ABC =60°，BF =BC =12AB =12×4=2，∵△AFC ,△ADE 均为等边三角形，∴∠FAD +∠DAC =60°，∠DAC +∠EAC =60°，AF =AC ,AD =AE ,∴∠FAD =∠EAC ，∴ΔADF ≅ΔAEC (SAS )，∴DF =EC ，当DF ⊥BC 时，DF 最小，由∠ABC =∠ABF =60°,BC =BF =2,∴∠FBD =60°,∠DFB =30°,故BD =12BF =12×2=1，故CD 的长度为BD +CB =1+2=3，故答案为：3.三、解答题21.如图所示，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，且点B 、A 、E 在同一直线上，连接BD 交AC 于M ，连接CE 交AD 于N ，连接MN ．(1)求证：BD =CE ；(2)求证：△ABM ≌△ACN ；(3)求证：△AMN 是等边三角形．解：(1)∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =60°，∴∠BAD =∠CAE ．在△ABD 和△ACE 中，AB =AC∠BAD =∠CAEAD =AE∴△ABD ≌△ACE (SAS )，∴BD =CE ．(2)由(1)知△ABD ≌△ACE ，∴∠ABM =∠ACN ．∵点B 、A 、E 在同一直线上，且∠BAC =∠DAE =60°，∴∠CAN =60°=∠BAC ．在△ABM 和△ACN 中，∠BAM =∠CANAB =AC ∠ABM =∠ACN；∴△ABM ≌△ACN (ASA )．(3)由(2)知△ABM ≌△ACN ，∴AM =AN ，∵∠CAN =60°，∴△AMN 是等边三角形．22.如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点O 是AB 中点，∠MON =90°，将∠MON 绕点O 旋转，∠MON 的两边分别与射线AC 、CB 交于点D 、E．(1)当∠MON 转动至如图一所示的位置时，连接CO ，求证：△COD ≅△BOE ；(2)当∠MON 转动至如图二所示的位置时，线段CD 、CE 、AC 之间有怎样的数量关系？请说明理由．【详解】(1)证明：∵AC =BC ，∠C =90°，AO =OB ，∴OC ⊥AB ，OC =AO =OB ，∴∠OCD =∠B =45°，∵∠MON =∠COB =90°，∴∠DOC =∠EOB ，在△COD 和△BOE 中，∠OCD =∠BOC =OB ∠OCD =∠BOE，∴△COD ≅△BOE ASA ．(2)解：CE -CD =AC ．理由：连接OC．∵AC =BC ，∠C =90°，AO =OB ，∴OC ⊥AB ，OC =AO =OB ，∴∠OCD =∠B =45°，∴∠DOC =∠CBE =135°，∵∠MON =∠COB =90°，∴∠DOC =∠EOB ，在△COD 和△BOE 中，∠OCD =∠BOC =OB ∠OCD =∠BOE，∴△COD ≅△BOE ASA ，∴CD =BE ，∴CE -CD =CE -BE =BC =AC ．23.在△ABC 中，AB =AC ，点D 是直线BC 上一点，连接AD ，以AD 为边向右作△ADE ，使得AD =AE ，∠DAE =∠BAC ，连接CE．(1)①如图1，求证：△ABD ≌△ACE ；②当点D 在BC 边上时，请直接写出△ABC ，△ACD ，△ACE 的面积(S △ABC ，S △ACD ，S △ACE )所满足的关系；(2)当点D 在BC 的延长线上时，试探究△ABC ，△ACD ，△ACE 的面积(S △ABC ，S △ACD ，S △ACE )所满足的关系，并说明理由．【详解】(1)证明：①∵∠BAC =∠DAE ，∴∠BAC -∠CAD =∠DAE -∠CAD ，即∠BAD =∠CAE ．在△ABD 和△ACE 中，AB =AC∠BAD =∠CAE AD =AE。
三角形全等专题训练
三角形全等综合练习一1、如图（1）：AD ⊥BC ，垂足为D ，BD=CD 。
求证：△ABD ≌△ACD 。
2、如图（2）：AC ∥EF ，AC=EF ，AE=BD 。
求证：△ABC ≌△EDF 。
3、如图（3）：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。
求证：△AED ≌△BFC 。
4、 如图（4）：AB=AC ，AD=AE ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE 。
求证：（1）∠B=∠C ，（2）BD=CE5、如图（5）：AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB=CD ，BC=DE 。
求证：AC ⊥CE 。
6、如图（6）：CG=CF ，BC=DC ，AB=ED ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一直线上。
求证：（1）AF=EG ，（2）BF ∥DG 。
（图1）DC B A F E （图2）D C B A FE （图3）D C B A E（图4）D C B A GF E （图6）D C B A E （图5）D B A7、如图（7）：AC ⊥BC ，BM 平分∠ABC 且交AC 于点M 、N 是AB 的中点且BN=BC 。
求证：（1）MN 平分∠AMB ，（2）∠A=∠CBM 。
8、如图（8）：A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，AC=DB ，BE ∥CF ，AE ∥DF 。
求证：△ABE ≌△DCF 。
9、如图（9）AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。
求证：AM 是△ABC 的中线。
10、如图（10）∠BAC=∠DAE ，∠ABD=∠ACE ，BD=CE 。
求证：AB=AC 。
11、如图（11）∠1=∠2，∠3=∠4，P 是BC 上任一点。
求证：PA=PD 。
34、如图：AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，过AD 的中点E 作EF ⊥AD 交BC 的延长线于F ，连结AF 。
求证：∠B=∠CAF 。
图12N M （图7）C B A FE （图8）D C B A MF E （图9）C B A E （图10）D C B A P 4321（图11）D B A FE D C B A三角形全等综合练习二13、如图（13）△ABC ≌△EDC 。
三角形全等判定专题训练题
三角形全等判定专题训练题1.给定三角形ABC，AD垂直于BC，垂足为D，且BD=CD。
证明△ABD≌△ACD。
2.给定平行四边形ABCD，AC=EF，AC平行于EF，且F在AD上。
证明△ABC≌△EDF。
3.给定三角形ABC和DEF，DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。
证明△AED≌△BFC，其中AE=BD。
4.给定等腰直角三角形ABC，AB=AC，AD=AE，AB垂直于AC，AD垂直于AE。
证明∠B=∠C且BD=CE。
6.给定四边形ABCDE，CG=CF，BC=DC，AB=ED，且A、B、C、D、E在同一直线上。
证明AF=EG且BF平行于DG。
7.给定三角形ABC，AC垂直于BC，___平分∠ABC，且交AC于点M，N是AB的中点，且BN=BC。
证明___平分∠AMB且∠A=∠___。
8.给定四边形ABCD，AC=DB，BE平行于CF，AE平行于DF。
证明△ABE≌△DCF。
9.给定三角形ABC，AE和BC相交于点M，F在AM上，BE平行于CF，且BE=CF。
证明AM是△ABC的中线。
10.给定四边形ABCD，且∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE。
证明AB=AC。
11.给定三角形ABC和△DBC，且∠1=∠2，∠3=∠4，P是BC上的任意一点。
证明PA=PD。
12.给定四边形ABCD，AB平行于CD，OA=OD，且F、D、O、A、E在同一直线上，AE=DF。
证明EB平行于CF。
13.给定三角形ABC和△EDC，且△ABC≌△EDC。
证明BE=AD。
14.给定等腰直角三角形ABC，AC=BC，AE是BC的中线，CF⊥AE于F，BD⊥CB交CF的延长线于点D。
证明AB=BD。
15、证明：由图可知，∠BAC=90°，且AB=2AC，因此由勾股定理可得BC=√5AC，而DE=AC，BF=2AC，EF=BC-AC=√5AC-AC=(√5-1)AC，因此AE=AC+EF=2AC+(√5-1)AC=(1+√5)AC，所以△ABC≌△AED。
全等三角形复习专题
全等三角形复习专题一、全等三角形基本概念与性质全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，即形状相同和大小相等的三角形。
全等三角形的性质是全等三角形的边、角及其对应线段之间具有一些特殊的数量关系和位置关系。
如全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应线段相等，以及全等三角形的中点连线等于其一边。
二、全等三角形的判定全等三角形的判定是全等三角形研究的核心内容，主要有以下五个判定方法：1、边角边定理（SAS）：若两个三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。
2、角边角定理（ASA）：若两个三角形的两个角及其夹边对应相等，则这两个三角形全等。
3、边边边定理（SSS）：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等。
4、角角边定理（AAS）：若两个三角形的两个角及其一边对应相等，则这两个三角形全等。
5、斜边直角边定理（HL）：若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这两个直角三角形全等。
三、全等三角形的应用全等三角形在数学、几何、物理等领域中都有广泛的应用。
如证明线段相等、角相等、平行四边形、矩形、菱形、正方形等几何图形的性质和判定，以及解决一些实际问题等。
四、全等三角形的复习策略1、掌握全等三角形的基本概念和性质，理解判定方法的意义和适用范围。
2、熟练掌握全等三角形的判定方法，能够根据题目条件选择合适的判定方法解决问题。
3、熟悉全等三角形的应用，能够将全等三角形的知识应用到实际问题和数学问题中。
4、多做练习题，熟悉各种题型和解题方法，提高解题能力和思维水平。
5、注意对易错点和难点进行重点复习和强化训练，避免出现常见的错误和失误。
全等三角形动点专题在数学的世界里，全等三角形和动点问题是两个重要的概念。
全等三角形是指两个或两个以上的三角形，它们的边长和角度都相等，可以完全重合。
动点问题则涉及到在给定的图形或轨迹上移动的点，以及这些点的变化和规律。
将这两个概念结合起来，我们可以研究一类非常有趣的数学问题，即全等三角形动点专题。
2024年中考全等三角形的性质与判定专题训练
E B C A DF 2024年中考全等三角形的性质与判定专题训练1.如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．求证：∠B ＝∠D ．2.如图，点A 、E 、B 、D 在同一条直线上，AE=DB ，AC=DF ，AC ∥DF.请探索BC 与EF 有怎样的位置关系？并说明理由。
3．如图，点B 、D 、C 、F 在同一直线，AB ＝EF ，∠B ＝∠F ，BD ＝CF ，试说明△ABC ≌△EFD ．4. 如图，点E ，F 在线段BD 上，已知AF ⊥BD ，CE ⊥BD ，AD=CB ，DE=BF ．求证：△AFD ≌△CEB ．5.如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE．（1）求证：△ABE≌△DCE；（2）当AB=5时，求CD的长．6.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．7.如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD上．请添加一个条件，使得结论“AE＝CF”成立，并加以证明．8.如图，已知点E在AB上，点C在AD，AB=AC，AD=AE。
求证：BE=CD。
9.如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC＝EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC＝DF求证：(1) △ABC≌△DEF(2)AB∥DE9.已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD=CF，求证：AB=DE．11.如图，已知点B，C，D，E在一条直线上，AB∥FC，AB=FC，BC=DE．求证：AD∥FE．12．如图，∠A ＝∠D ＝90°，AC ＝DB ，AC 、DB 相交于点O ．求证：AB ＝CD ．13.已知：如图，AE 和BD 相交于点,,C AC EC BC DC ==；求证：.AB ED =14.已知如图：点C E B F ，，，在同一直线上，∠C=∠F,AC DF =， BF CE =．求证：DEF ABC ∆≅∆。
15.如图，AD∥BC，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线交于点F ．则△BCE 和△FDE 全等吗?为什么?A FB EC D16．如图，为一块直角三角板，将CA绕点C顺时针旋转，使得点A落在边AB上的点D处．(1)过点C作于点E，求证：△ACE∽△ABC(2)求BD的长．。
全等三角形的性质与判定大题专练
【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题1.7全等三角形的性质与判定大题专练（重难点培优）【名师点睛】1.全等三角形的性质与判定综合应用用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．2.作辅助线构造全等三角形常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．【典例剖析】【例1】（2019秋•东海县期中）如图，AB＝AC，E、D分别是AB、AC的中点，AF⊥BD，垂足为点F，AG ⊥CE，垂足为点G，试判断AF与AG的数量关系，并说明理由．【分析】结论：AF＝AG．先证明△ABD≌△ACE（SAS），推出∠ABD＝∠ACE，再证明△ABF≌△ACG （AAS）即可解决问题．【解析】结论：AF＝AG．理由：∵AB＝AC，E、D分别是AB、AC的中点，∴AD＝AC＝AB＝AE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AF⊥BD，AG⊥CE，∴∠AFB＝∠AGC＝90°．在△ABF和△ACG中，，∴△ABF≌△ACG（AAS），∴AF＝AG．【变式1】（2021秋•锡山区校级期中）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．（1）求证：△ADE≌△ADF；（2）已知AC＝18，AB＝12，求BE的长．【分析】（1）先用（HL）证明Rt△EBD≌Rt△EBD，推DE＝DF，再用（HL）证明Rt△AED≌Rt△AFD；（2）由全等推AE＝AF，把AC长转化为AC＝AB+BE+FC，代入数值求解即可．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E＝∠DFC＝∠DFA＝90°，在Rt△EBD与Rt△EBD中，∴Rt△EBD≌Rt△EBD（HL）；∴DE＝DF，在Rt△AED与Rt△AFD中，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）；（2）解：∵Rt△AED≌Rt△AFD，∴AE＝AF，∴AF＝12+BE，∵AC＝AF+FC∴AC＝AB+BE+FC，∴18＝12+BE+CF，∵BE＝CF．∴18＝12+2BE，∴BE＝3．【例2】（2020春•江阴市期中）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．【分析】（1）利用已知得出∠1＝∠EAC，进而借助SAS得出即可；（2）利用全等三角形的性质得出∠ABD＝∠2＝30°，再利用三角形的外角得出得出即可．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠2＝30°，∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°．【变式2】（2021秋•盐都区期中）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD，∠BAC ＝∠D，BC＝CE．（1）求证：AC＝CD．（2）若AC＝AE，∠ACD＝80°，求∠DEC的度数．【分析】（1）根据同角的余角相等可得到∠3＝∠5，结合条件可得到∠1＝∠D，再加上BC＝CE，可证得结论；（2）根据∠ACD＝80°，AC＝CD，得到∠2＝∠D＝50°，根据等腰三角形的性质得到∠4＝∠6＝65°，由平角的定义得到∠DEC＝180°﹣∠6＝115°．【解析】（1）∵∠BCE＝∠ACD，∴∠3+∠4＝∠4+∠5，∴∠3＝∠5，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS），∴AC＝CD；（2）∵∠ACD＝80°，AC＝CD，∴∠2＝∠D＝50°，∵AE＝AC，∴∠4＝∠6＝65°，∴∠DEC＝180°﹣∠6＝115°．【满分训练】一．解答题（共20小题）1．（2022•丰县二模）如图，点F是△ABC的边AC的中点，点D在AB上，连接DF并延长至点E，DF＝EF，连接CE．（1）求证：△ADF≌△CEF；（2）若DE∥BC，DE＝4，求BC的长．【分析】（1）根据线段中点求出AF＝CF，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可；（2）根据全等三角形的性质得出∠A＝∠ACE，根据平行线的判定得出AB∥CE，根据平行四边形的判定定理得出四边形BCED是平行四边形，再根据平行四边形的性质得出即可．【解答】（1）证明：∵F为AC的中点，∴AF＝CF，在△ADF和△CEF中，，∴△ADF≌△CEF（SAS）；（2）解：∵△ADF≌△CEF，∴∠A＝∠ACE，∴AB∥CE，∵DE∥BC，∴四边形BCED是平行四边形，∴BC＝DE，∵DE＝4，∴BC＝4．2．（2022•姑苏区一模）如图，点D在射线AE上，BD＝CD，DE平分∠BDC．求证：AB＝AC．【分析】由“SAS”判定△ADC≌△ADB，得出AB＝AC即可．【解答】证明：∵DE平分∠BDC，∴∠BDE＝∠CDE，∴∠ADB＝∠ADC，在△ADC和△ADB中，，∴△ADC≌△ADB（SAS），∴AB＝AC．3．（2022•工业园区模拟）已知：如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝∠CAD．求证：∠D＝∠E．【分析】先证∠BAD＝∠CAE，再证△BAD≌△CAE（SAS），即可得出结论．【解答】证明：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠DAE＝∠CAD+∠DAE，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠D＝∠E．4．（2022•江阴市模拟）如图，在△ABC中，O为BC中点，BD∥AC，直线OD交AC于点E．（1）求证：△BDO≌△CEO；（2）若AC＝6，BD＝4，求AE的长．【分析】（1）根据已知条件，可证△BDO≌△CEO（AAS）；（2）根据全等三角形的性质可得BD＝CE，进一步可得AE的长．【解答】（1）证明：∵O为BC的中点，∴BO＝CO，∵BD ∥AC ，∴∠C ＝∠OBD ，∠CEO ＝∠BDO ，在△BDO 和△CEO 中，，∴△BDO ≌△CEO （AAS ）；（2）解：∵△BDO ≌△CEO ，∴BD ＝CE ，∵BD ＝4，∴CE ＝4，∵AC ＝6，∴AE ＝6﹣4＝2．5．（2022•宜兴市校级二模）已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 边中点，CE ⊥AD 于点E ，BF ⊥AD 于点F ．（1）求证：△BDF ≌△CDE ；（2）若AD ＝5，CE ＝2，求△ABC 的面积．【分析】（1）易证BD ＝CD ，∠BFD ＝∠CED ＝90°，再由AAS 即可证得△BDF ≌△CDE ；（2）由S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵D 是BC 边中点，∴BD ＝CD ，∵CE ⊥AD ，BF ⊥AD ，∴∠BFD ＝∠CED ＝90°，在△BDF 和△CDE 中，，∴△BDF ≌△CDE （AAS ）；（2）解：由（1）得：△BDF ≌△CDE ，∴CE ＝BF ，∴S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ＝AD •BF +AD •CE ＝AD •CE ＝5×2＝10．6．（2022•太仓市模拟）如图，AB ＝AC ，BE ⊥AC ，CD ⊥AB 垂足分别为点E ，点D ．（1）求证：△ABE ≌△ACD ；（2）若AB ＝13，AE ＝5，求CD 的长度．【分析】（1）利用AAS 即可证明结论；（2）根据勾股定理可得BE ＝12，再根据全等三角形对应边相等即可解决问题．【解答】（1）证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠AEB ＝90°，在△ABE 和△ACD 中，，∴△ABE ≌△ACD （AAS ）；（2）在Rt △ABE 中，AB ＝13，AE ＝5，∴BE＝＝12，∵△ABE≌△ACD，∴CD＝BE＝12．7．（2022•金坛区一模）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于点E，DE＝EF．（1）求证：AE＝EC；（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长．【分析】（1）证明△ADE≌△CFE（AAS），即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得AD＝CF＝4，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠A＝∠ECF，在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AE＝EC；（2）解：由（1）可知，△ADE≌△CFE，∴AD＝CF＝4，∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1，即BD的长为1．8．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证：∠ABD＝∠ACE．【分析】由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得结论．【解答】证明：在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE．9．（2021秋•淮安区期末）如图，已知AB＝CB，AD＝CD．求证：∠A＝∠C．【分析】连接BD，利用边边边证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可求解．【解答】证明：连接BD，在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠A＝∠C．10．（2021秋•沭阳县校级期末）如图，已知AD＝AE，AB＝AC．求证：BE＝CD．【分析】已知两边和它们的夹角对应相等，由SAS即可判定两三角形全等，进而利用全等三角形的性质解答．【解答】证明：在△AEB与△ADC中，，∴△AEB≌△ADC（SAS），∴BE＝CD．11．（2020秋•常州期末）已知：如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB+∠D＝180°．求证：△ABC≌△EAD．【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠CAB＝∠E，∵∠ECB+∠D＝180°，∠ECB+∠ACB＝180°，∴∠D＝∠ACB，在△ABC与△EAD中，，∴△ABC≌△EAD（AAS）．12．（2020秋•苏州期末）如图，点E、F在AB上，且AE＝BF，∠C＝∠D，AC∥BD．求证：CF∥DE．【分析】根据已知条件证明△ACF≌△BDE可得∠AFC＝∠BED，进而可得CF∥DE．【解答】证明：∵AE＝BF，∴AE+EF＝BF+EF，即AF＝BE，∵AC∥BD，∴∠A＝∠B，在△ACF和△BDE中，，∴△ACF≌△BDE（AAS），∴∠AFC＝∠BED，∴CF∥DE．13．（2020秋•建邺区期末）如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，点A、E、B、D在同一直线上，BC、EF交于点M，AC＝DF，AB＝DE．求证：（1）∠CBA＝∠FED；（2）AM＝DM．【分析】（1）利用HL证明Rt△ABC≌Rt△DEF可证明结论；（2）利用SAS证明△AEM≌△DBM可证明结论．【解答】证明：（1）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），∴∠CBA＝∠FED；（2）∵∠CBA＝∠FED，∴ME＝MB，且∠AEM＝∠DBM，∵AB＝DE，∴AB﹣EB＝DE﹣EB，即AE＝DB，在△AEM和△DBM中，，∴△AEM≌△DBM（SAS），∴AM＝DM．14．（2021•苏州模拟）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，∠B＝∠E，BF＝CE．求证：CG＝FG．【分析】由“SAS”可证△ABC≌△DEF，可得∠ACB＝∠DFE，可得结论．【解答】证明：∵BF＝CE∴BF+CF＝CE+CF∴BC＝EF在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）∴∠ACB＝∠DFE∴CG＝FG15．（2021•苏州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE相交于点H，AE＝BE．试说明：（1）△AEH≌△BEC．（2）AH＝2BD．【分析】（1）由“ASA”可证△AEH≌△BEC；（2）由全等三角形的性质可得AH＝BC，由等腰三角形的性质可得结论．【解析】（1）∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C＝90°，∵BE⊥AC，∴∠EBC+∠C＝90°，∴∠DAC＝∠EBC，在△AEH与△BEC中，，∴△AEH≌△BEC（ASA）；（2）∵△AEH≌△BEC，∴AH＝BC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∴AH＝2BD．16．（2021•洪泽区二模）如图，线段AC交BD于O，点E，F在线段AC上，△DFO≌△BEO，且AF＝CE，连接AB、CD，求证：AB＝CD．【分析】先由△BEO≌△DFO，即可得出OF＝OE，DO＝BO，进而得到AO＝CO，再证明△ABO≌△CDO，即可得到AB＝CD．【解答】证明：∵△BEO≌△DFO，∴OF＝OE，DO＝BO，又∵AF＝CE，∴AO＝CO，在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（SAS），∴AB＝CD．17．（2020秋•盐池县期末）如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．（1）求证：△ABE≌△CBD；（2）证明：∠1＝∠3．【分析】（1）由已知角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证；（2）利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由对顶角相等及内角和定理即可得证．【解答】证明：（1）∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CBE＝∠2+∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS）；（2）∵△ABE≌△CBD，∴∠A＝∠C，∵∠AFB＝∠CFE，∴∠1＝∠3．18．（2020秋•泰兴市期末）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，图中AE、BD有怎样的大小和位置关系？试证明你的结论．【分析】根据SAS即可求得△DCB≌△ECA，求得∠B＝∠A．因为∠AND＝∠BNC，根据三角形的内角和定理就可求得∠A+∠AND＝90°，从而证得BD⊥AE．【解析】AE＝BD，AE⊥BD，如图，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ACD＝∠ACD，∴∠DCB＝∠ECA，在△DCB和△ECA中，，∴△DCB≌△ECA（SAS），∴∠A＝∠B，BD＝AE∵∠AND＝∠BNC，∠B+∠BNC＝90°∴∠A+∠AND＝90°，∴BD⊥AE．19．（2021秋•台安县期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．（1）求证：△ABD≌△EDC；（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长．【分析】（1）由“AAS”即可证△ABD≌△EDC；（2）结合（1）可得AB＝DE，BD＝CD，可得结论．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠EDC．在△ABD和△EDC中，，∴△ABD≌△EDC（AAS），（2）∵△ABD≌△EDC，∴AB＝DE＝2，BD＝CD，∴CD＝BD＝DE+BE＝2+3＝5．20．（2021•姑苏区一模）如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）连接BC，若∠CFD＝100°，∠BCE＝30°，求∠CBE的度数．【分析】（1）根据SAS证明即可．（2）利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理解决问题即可．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠DCF，∵AF＝CE，∴AE＝CF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）．（2）∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB＝∠CFD＝100°，∴∠BEC＝180°﹣100°＝80°，∴∠CBE＝180°﹣80°﹣30°＝70°．。
专题1.8 证明三角形全等的五种基本思路(浙教版)(原卷版)
专题1.8 证明三角形全等的五种基本思路【浙教版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对证明三角形全等的五种基本思路的理解！【类型1已知两边对应相等，寻找第三边相等，用“SSS”】1．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（）A．①或②B．②或③C．①或③D．①或④2．（2023春·陕西西安·七年级统考期末）如图，点E、F在BD上，且AB=CD，BF=DE、AE=CF，AC与BD 交于点O．则下列说法不正确的是（）A．BE=DF B．△AEB≌△CFD C．∠EAB=∠OAE D．AE∥CF3．（2023春·广东江门·八年级校考期中）如图，已知：PA＝PB，AC＝BD，PC＝PD，△PAD和△PBC全等吗？请说明理由．4．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，点D，A，E，B在同一直线上，EF＝BC，DF＝AC，DA＝EB.试说明：∠F＝∠C.5．（2023春·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图，在△ABC中，点D，点E分别在边AB，边BC上，连接DE,AD=AC，ED=EC．(1)求证：∠ADE=∠C．(2)若AB⊥DE,∠B=30°，求∠A的度数．6．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上的一点，AE⊥CD于点E，BF⊥CD交CD的延长线于点F，若CE=BF，AE=EF+BF，试判断直线AC与BC的位置关系，并说明理由．【类型2已知两边对应相等，寻找夹角相等，用“SAS”】1．（2023春·贵州遵义·八年级统考阶段练习）如图，F，C是AD上两点，且AF=CD；点E，F，G在同一直线上，∠B=∠AGF，BC=EF求证：ΔABC≌ΔDEF.2．（2023春·山西朔州·八年级校考期末）已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．（1）求证：AD=CE；（2）求证：AD⊥CE3．（2023·陕西西安·九年级西北工业大学附属中学校考期末）已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点D为AB边上一点，且不与A、B两点重合，AE⊥AB，AE＝BD．连接DE、DC，求证：CE＝CD．4．（2023春·七年级课时练习）如图，点E在AB上，DE∥BC，且DE=AB，EB=BC，连接EC并延长，交DB的延长线于点F．(1)求证：AC=DB；(2)若∠A=30°，∠BED=40°，求∠F的度数．5．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、E在一直线上，AC、BD交于F点，AE、CD交于G点，试说明FG∥BE的理由．6．（2023春·四川成都·八年级校考开学考试）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上载取CE＝BD，连接AD、AE.(1)如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，求证：△ABD≌△ACE；(2)在(1)的条件下，求出∠ADE的度数；(3)如图2，当点D落在线段BC（不含端点）上时，作AH⊥BC，垂足为H，作AG⊥EC,垂足为G，连接HG，判断△GHC的形状，并说明现由.【类型3已知两角对应相等，寻找夹边相等，用“ASA”】1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，若AB:BC=5:7，S△ADC=8，则S△ABD=.2．（2023春·湖南永州·八年级校考期中）如图四边形ABCD中，∠AEB=∠CFD，∠BAE=∠DCF，AF=CE．求证：BE=DF．3．（2023春·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考阶段练习）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且∠CAD=45°．若BC=7，AD=5，求AF的长．4．（2023春·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，∠ABC=∠E,∠D=∠A,BE=CF，求证：△ABC≌△DEF．5．（2023春·云南文山·七年级统考期末）如图．已知线段AB，分别过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN，点E为∠MAB平分线上的一点，且BE⊥AE，垂足为E，若∠BAE=60°，请解答下列问题：(1)求∠EBN的度数；(2)过点E作直线CD，交AM于点D，交BN于点C．求证：DE=CE；(3)无论线段DC的两个端点在AM、BN上如何移动，只要线段DC经过点E，那么AD+BC的值是否发生变化？请说明理由．6．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期末）【问题背景】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC和∠BAC的平分线BE和AD相交于点G．【问题探究】(1)∠AGB的度数为°；(2)过G作GF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，判断AB与FB的数量关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，若AD=10，FG=6，求GH的长．【类型4已知一边一角对应相等，寻找另一角对应相等，用“AAS”或“ASA”】1．（2023春·四川德阳·八年级校考阶段练习）如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE 相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=7S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论是（ ）4A．①②③B．②③④C．①②④⑤D．①②⑤2．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，∠ABC=∠CAD=90°，AB=4，AC=AD，求△BAD 的面积．3．（2023春·江西鹰潭·七年级校考阶段练习）将两个三角形纸板△ABC和△DBE按如图所示的方式摆放，连接DC．已知∠DBA=∠CBE，∠BDE=∠BAC，AC=DE=DC．(1)试说明△ABC≌△DBE．(2)若∠ACD=72°，求∠BED的度数．4．（2023春·陕西西安·七年级西安市第二十六中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD与CE交于点F，且AD=CD．(1)求证：△ABD≅△CFD；(2)若BC=9，AD=7，求AF的长．5．（2023春·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）如图，∠ACB=90°，AC=BC ，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．(1)求证：△ACD≌△CBE；(2)若AD=12，DE=7，求BE的长．6．（2023春·七年级课时练习）（1）如图1，AB=AC，∠B=∠EDF，DE=DF，FC=2，BE=4，求BC 的长度.（2）如图2，AB=AC，∠ABC=∠EDF，DE=DF，探索BC、BE、CF的数量关系，并证明.（3）如图3，在中，∠B=∠ADE=45°，∠C=22.5°，DA=DE，AB=3，BD=2，则DC=______.【类型5已知一边一角对应相等，寻找夹该角的另一边对应相等，用“SAS”】1．（2023春·江苏·七年级统考期末）如图，在五边形ABCDE中，AB=AE=4，BC=3，DE=2，∠BAE，则五边形ABCDE的面积等于（）∠ABC=∠AED=90°，∠DAC=12A．16B．20C．24D．262．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）如图，长方形ABCD中，点E为AD上一点，连接CE，将长方形ABCD 沿着直线CE折叠，点D恰好落在AB的中点F上，点G为CF的中点，点P为线段CE上的动点，连接PF、PG，若AE=a、ED=b、AF=c，则PF+PG的最小值是()A．a+c−b B．b+2c C．a+b+2c D．a+b3．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，线段AB与CF交于点E，点D为CF上一点，连接AD、AF、BC，已知AD=BC，∠1=∠2．(1)请添加一个条件________使△ADF≌△BCE，并说明理由．(2)在（1）的条件下请探究AE与BE的数量关系，并说明理由．4．（2023·江苏·八年级假期作业）已知：在△ABC中，AB=CD−BD，AD⊥BC，求证：∠B=2∠C．5．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．(1)按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE．(2)求证：△ACD≌△EBD．(3)求证：AB+AC>2AD．(4)若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．6．（2023春·江西吉安·七年级统考期末）在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的将分线，BD与CE相交于点P．(1)如图1，如果∠A=60°，∠ACB=90°，那么∠BPC=________．(2)如图2，如果∠A=60°，∠ACB不是直角，那么（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)小月同学在完成（2）之后，发现CD、BE、BC三者之间存在着一定的数量关系，于是她在边CB上截取了CF=CD，连接PF，把DC、EB转换到BC边上来，请你写出小月同学发现，并完成她的说理过程．。
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《全等三角形专题训练》
1、阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE，求证：AB=CD．
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证明AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明．
图(1)：延长DE到F使得EF=DE
图(2)：作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F
图(3)：过C点作CF∥AB交DE的延长线于F．
2、如图，已知在△ABC外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，且∠BAD=∠CAE=90°，AM为△ABC中BC边上的中线，连接DE．求证：DE=2AM．
3、如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．
4、如图，已知E是正方形ABCD的边BC的中点，点F在边CD上，且∠BAE=∠FAE，求证：AF=AD+CF．
5、在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数．
6、如图，△ABC中，∠B=60°，∠BAC，∠ACB的平分线AD，CE交于点O，
（1）求AOC的度数；
（2）求证AE+CD=AC；
（3）求证OE=OD。
7、如图，五边形A B C D E中，A B＝A E，B C＋D E＝C D，∠A B C＋∠A E D＝180°，连接A D．求证：A D平分∠C D E．
8、如图所示，已知△ABC 中，AB=AC ，D 是CB 延长线上的一点，∠ADB=60°，E 是AD 上的一点，且有DE=DB,求证：AE=BE+BC 。
9、如图在△ABC 中，以A 为顶点，以AB 、AC 为直角三角形的直角边向外侧作等腰直角三角形，连接DE ，过A 点向BC 作垂线AG ，反向延长AG 交DE 于H 。
（1）
证明：AG 平分DE ；（2）将△ABD 和△ACE 绕A 点相向旋转如图，当AG ⊥BC 时，结论AG 平分DE 还成立吗？请说明理由。
9、已知四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，AB=BC ，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN 绕B 点旋转，它的两边分别交AD ，DC(或它们的延长线)于E 、F ，
(1)当∠MBN 绕B 点旋转到AE=CF 时(如图1)，试猜想AE ，CF ，EF 之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中：_____+_____=_____(不需证明)
(2)当∠MBN 绕B 点旋转到AE ≠CF 时，在图2和图3这两种情况下，上问的结论分别是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，那么这三条线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
10、在等边△ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为△ABC 外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，H G E D C
B A H G E D
C B A
的周长L的关系．
(1)如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_____；此时=_____；
(2)如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想( I)问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．
(3)如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．
（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；
（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且
∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．。