2015年普通高等学校招生全国统一考试文科、全国卷二(正文)

2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},则A∪B=()A.(-1,3)B.(-1,0)C.(0,2)D.(2,3)=3+i,则a=( )2.若a为实数,且2+ai1+iA.-4B.-3C.3D.43.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4.向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=()A.-1B.0C.1D.25.设S n是等差数列{a n}的前n项和.若a1+a3+a5=3,则S5=( )A.5B.7C.9D.116.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.157.已知三点A(1,0),B(0,√3),C(2,√3),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.√213C.2√53D.438.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=( )A.0B.2C.4D.149.已知等比数列{a n}满足a1=14,a3a5=4(a4-1),则a2=( )A.2B.1C.12D.1810.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )A.36πB.64πC.144πD.256π11.如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为( )12.设函数f(x)=ln(1+|x|)-11+x 2,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x 的取值范围是( ) A.(13,1) B.(-∞,13)∪(1,+∞) C.(-13,13)D.(-∞,-13)∪(13,+∞)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知函数f(x)=ax 3-2x 的图象过点(-1,4),则a= .14.若x,y 满足约束条件{x +y -5≤0,2x -y -1≥0,x -2y +1≤0,则z=2x+y 的最大值为 .15.已知双曲线过点(4,√3),且渐近线方程为y=±12x,则该双曲线的标准方程为 . 16.已知曲线y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y=ax 2+(a+2)x+1相切,则a= . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC. (Ⅰ)求sin∠Bsin∠C; (Ⅱ)若∠BAC=60°,求∠B.18.(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 2 8 14 10 6(Ⅰ)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由.19.(本小题满分12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(Ⅱ)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.20.(本小题满分12分)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,点(2,√2)在C上.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln x+a(1-x).(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答,多答按所答第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,O为等腰三角形ABC内一点,☉O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(Ⅰ)证明:EF∥BC;(Ⅱ)若AG等于☉O的半径,且AE=MN=2√3,求四边形EBCF的面积.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ=2√3cos θ. (Ⅰ)求C 2与C 3交点的直角坐标;(Ⅱ)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B,求|AB|的最大值.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 设a,b,c,d 均为正数,且a+b=c+d.证明: (Ⅰ)若ab>cd,则√a +√b >√c +√d ;(Ⅱ)√a +√b >√c +√d 是|a-b|<|c-d|的充要条件.2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)一、选择题1.A 因为A=(-1,2),B=(0,3),所以A∪B=(-1,3),故选A.2.D 由已知得2+ai=(1+i)(3+i)=2+4i,所以a=4,故选D.3.D 由已知柱形图可知A 、B 、C 均正确,2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势,所以排放量与年份负相关,∴D 不正确.4.C 因为2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1×1+0×(-1)=1.故选C.5.A ∵{a n }为等差数列,∴a 1+a 5=2a 3,得3a 3=3,则a 3=1, ∴S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=5,故选A.6.D 如图,由已知条件可知,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,截去三棱锥A-A 1B 1D 1后剩余的部分即为题中三视图对应的几何体,设该正方体的棱长为a,则截去部分的体积为16a 3,剩余部分的体积为a 3-16a 3=56a 3.它们的体积之比为15.故选D.评析 本题主要考查三视图和体积的计算;考查空间想象能力.7.B 在平面直角坐标系xOy 中画出△ABC,易知△ABC 是边长为2的正三角形,其外接圆的圆心为D (1,2√33).因此|OD|=√12+(2√33)2=√73=√213.故选B.8.B 执行程序框图:当a=14,b=18时,a<b,则b=18-14=4;当a=14,b=4时,a>b,则a=14-4=10;当a=10,b=4时,a>b,则a=10-4=6;当a=6,b=4时,a>b,则a=6-4=2;当a=2,b=4时,a<b,则b=4-2=2,此时a=b=2,输出a 为2,故选B. 评析 本题主要考查程序框图,属容易题.9.C 设{a n }的公比为q,由等比数列的性质可知a 3a 5=a 42, ∴a 42=4(a 4-1),即(a 4-2)2=0,得a 4=2,则q 3=a 4a 1=214=8,得q=2,则a 2=a 1q=14×2=12,故选C.10.C 因为△AOB 的面积为定值,当OC 垂直于平面AOB 时,三棱锥O-ABC 的体积取得最大值.由16R 3=36得R=6.从而球O 的表面积S=4πR 2=144π.故选C.11.B 当点P 与C 、D 重合时,易求得PA+PB=1+√5;当点P 为DC 中点时,PA+PB=2PA=2√2.显然,1+√5>2√2,故当x=π2时, f(x)不取最大值,故C 、D 选项错误.当x∈[0,π4)时, f(x)=tan x+√4+tan 2x ,不是一次函数,排除A.故选B. 评析 做选择题可以取特殊位置进行研究.12.A 当x>0时,f(x)=ln(1+x)-11+x 2,∴f '(x)=11+x +2x(1+x 2)2>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,∵f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数, 由f(x)>f(2x-1)得f(|x|)>f(|2x-1|),∴|x|>|2x -1|,即3x 2-4x+1<0,解得13<x<1,故选A.二、填空题 13.答案 -2解析 因为函数f(x)=ax 3-2x 的图象过点(-1,4),所以4=a×(-1)3-2×(-1),故a=-2. 14.答案 8解析 由约束条件画出可行域(如图所示).解方程组{x +y -5=0,x -2y +1=0得A(3,2).当动直线2x+y-z=0经过点A(3,2)时,z max =2×3+2=8.评析 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的思想方法. 15.答案x 24-y 2=1 解析 根据渐近线方程为x±2y=0,可设双曲线方程为x 2-4y 2=λ(λ≠0).因为双曲线过点(4,√3),所以42-4×(√3)2=λ,即λ=4.故双曲线的标准方程为x 24-y 2=1.16.答案 8解析 令f(x)=x+ln x,求导得f '(x)=1+1x , f '(1)=2,又f(1)=1,所以曲线y=x+ln x 在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.设直线y=2x-1与曲线y=ax 2+(a+2)x+1的切点为P(x 0,y 0),则y'|x=x 0=2ax 0+a+2=2,得a(2x 0+1)=0,∴a=0或x 0=-12,又a x 02+(a+2)x 0+1=2x 0-1,即a x 02+ax 0+2=0,当a=0时,显然不满足此方程,∴x 0=-12,此时a=8.评析 本题主要考查导数的几何意义,能够利用点斜式求出切线方程是解题关键. 三、解答题17.解析 (Ⅰ)由正弦定理得 ADsin∠B =BDsin∠BAD ,ADsin∠C =DCsin∠CAD . 因为AD 平分∠BAC,BD=2DC, 所以sin∠B sin∠C =DC BD =12.(Ⅱ)因为∠C=180°-(∠BAC+∠B),∠BAC=60°, 所以sin∠C=sin(∠BAC+∠B) =√32cos∠B+12sin∠B.由(Ⅰ)知2sin∠B=sin∠C, 所以tan∠B=√33,即∠B=30°.评析 本题考查了正弦定理;考查了解三角形的能力.属中档题.18.解析 (Ⅰ)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B 地区用户满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值;B 地区用户满意度评分比较集中,而A 地区用户满意度评分比较分散.(Ⅱ)A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大.记C A 表示事件:“A 地区用户的满意度等级为不满意”;C B 表示事件:“B 地区用户的满意度等级为不满意”.由直方图得P(C A )的估计值为(0.01+0.02+0.03)×10=0.6, P(C B )的估计值为(0.005+0.02)×10=0.25. 所以A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 19.解析 (Ⅰ)交线围成的正方形EHGF 如图:(Ⅱ)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8. 因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=√EH2-EM2=6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为97(79也正确).20.解析(Ⅰ)由题意有√a2-b2a =√22,4a2+2b2=1,解得a2=8,b2=4.所以C的方程为x 28+y24=1.(Ⅱ)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x M,y M).将y=kx+b代入x 28+y24=1得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故x M=x1+x22=-2kb2k2+1,y M=k·x M+b=b2k2+1.于是直线OM的斜率k OM=y Mx M =-12k,即k OM·k=-12.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.评析本题考查了椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系;考查了定值问题的解题方法.利用韦达定理解决线段的中点是求解关键.21.解析(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),f '(x)=1x-a.若a≤0,则f '(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈(0,1a )时,f '(x)>0;当x∈(1a,+∞)时,f '(x)<0.所以f(x)在(0,1a)上单调递增,在(1a,+∞)上单调递减.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;当a>0时,f(x)在x=1a处取得最大值,最大值为f(1a )=ln(1a)+a(1-1a)=-ln a+a-1.因此f(1a)>2a-2等价于ln a+a-1<0.令g(a)=ln a+a-1,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0. 于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.因此,a 的取值范围是(0,1).22.解析 (Ⅰ)由于△ABC 是等腰三角形,AD⊥BC,所以AD 是∠CAB 的平分线.又因为☉O 分别与AB,AC 相切于点E,F,所以AE=AF,故AD⊥EF.从而EF∥BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,AE=AF,AD⊥EF,故AD 是EF 的垂直平分线.又EF 为☉O 的弦,所以O 在AD 上. 连结OE,OM,则OE⊥AE.由AG 等于☉O 的半径得AO=2OE,所以∠OAE=30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形. 因为AE=2√3,所以AO=4,OE=2.因为OM=OE=2,DM=12MN=√3,所以OD=1. 于是AD=5,AB=10√33. 所以四边形EBCF的面积为12×(10√33)2×√32-12×(2√3)2×√32=16√33. 评析 本题考查了直线和圆的位置关系,考查了圆的初步知识.23.解析 (Ⅰ)曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0,曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2-2√3x=0. 联立{x 2+y 2-2y =0,x 2+y 2-2√3x =0,解得{x =0,y =0或{x =√32,y =32. 所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和(√32,32).(Ⅱ)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(2√3cos α,α).所以|AB|=|2sin α-2√3cos α|=4|sin (α-π3)|. 当α=5π6时,|AB|取得最大值,最大值为4.评析 本题考查了极坐标和参数方程,考查了最值问题.利用极径的几何意义建立关系式是求解关键.24.证明 (Ⅰ)因为(√a +√b )2=a+b+2√ab ,(√c +√d )2=c+d+2√cd ,由题设a+b=c+d,ab>cd得(√a+√b)2>(√c+√d)2.因此√a+√b>√c+√d.(Ⅱ)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(Ⅰ)得√a+√b>√c+√d.(ii)若√a+√b>√c+√d,则(√a+√b)2>(√c+√d)2,即a+b+2√ab>c+d+2√cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,√a+√b>√c+√d是|a-b|<|c-d|的充要条件.评析本题主要考查不等式证明,对带有根号、绝对值的不等式,平方作差比较是常用的方法.。