平面控制网严密平差程序设计 毕业设计

毕业设计 [论文]

题目：平面控制网严密平差程序设计

学院：测绘工程学院

专业：测绘工程

姓名：

学号：061409237

指导老师：

完成时间：2013年4月22日

摘要：

控制网具有控制全局，限制测量误差累积的作用，是各种测绘工作的依据。控制网包括平面控制网和高程控制网。平面控制网严密平差目的是对平面控制网在测量平差基础理论下对控制网测量数据进行整理、分析、计算及评定控制网精度，进而得到控制点的平面坐标。当前计算机技术高度发达，利用计算机语言并根据控制网间接平差规律设计出严密平差程序并不困难，然而当前市场上的平差程序大多形式雷同，功能比较单一。虽然可以满足基本计算要求，但是在控制网优化分析方面存在形式局限性，没有充分利用间接平差理论成果。本次程序设计基于工程计算和教学实践需要，利用VB可视化编程技术设计出一个能够实现：平面控制网高程控制网严密平差计算；平面控制网的优化研究；坐标系转换；导线计算；并利用Access数据库进行工程数据、坐标数据存数、分析、显示等。为实现变形监测分析进行结构准备。

关键词：测量平差控制网 VB程序设计

English abstract:

Control network has global control, limit the measurement error accumulation effect, is the work of Surveying and mapping on the basis of. Control network including plane control network and elevation control network. Plane control network rigorous adjustment aim of plane control network in the basis of surveying adjustment theory of control network measurement data collation, analysis, calculation and evaluation of accuracy of control network, and then get the plane coordinates of control points. The highly developed computer technology, using computer languages and according to the control network adjustment rules designed rigorous adjustment procedure is not difficult, but the current market adjustment procedures are identical in form, function relatively simple. The adjustment program in market can meet the basic computational requirements, but there are limitations in the form of control network optimization analysis, did not make full use of the indirect adjustment theory. The graduation design of engineering calculation and teaching practice based on the use of VB programming technology, designed to achieve a: plane control network height control network rigorous adjustment calculation; optimization of plane control network; coordinate transformation; traverse calculation; and the use of Access database for engineering data, coordinate data store, analysis, display, in preparation for the implementation of structural deformation monitoring analysis.

Key words: Surveying adjustment, Control network, VB program design

目录

摘要 (2)

英文摘要 (3)

目录 (4)

1 前言 (5)

1.1研究目的和意义 (5)

1.2研究现状 (5)

1.3研究内容与方法 (5)

2 编程基础与平差理论 (6)

2.1 Visual Basic 开发系统介绍 (6)

2.2 Visual Basic 开发界面与程序调试 (6)

2.3 测量平差知识 (7)

3 程序设计 (31)

3.1程序设计要求 (31)

3.2平差程序的设计步骤 (31)

3.3选定某种表达式来描述各种算法及程序编写 (38)

3.4.重要模块介绍 (56)

3.5程序调试 (63)

4.程序应用 (65)

4.1程序使用说明 (65)

4.2控制网算例 (65)

4.3程序使用说明书 (65)

4.4关于间接平差部分理论的验证 (68)

4.5关于间接平差定权问题的两点结论 (78)

4.6数据研究与教学实践 (80)

4.7工程数据的存储与Access数据库- (80)

4.8坐标系统转换 (80)

5.总结 (81)

参考文献 (82)

致谢 (83)

前言

经过大学四年的学习和专业实践，我对测绘工程专业中的工程测量学和测量平差知识有了一定的掌握，同时在计算机语言方面学习掌握了VB可视化编程语言。在指导老师的悉心帮助和指导下完成了平面控制网严密平差程序设计，并获得了较好的成果。

1.1研究目的和意义

《平面控制网严密平差程序设计》是根据工程实践和教学需要，针对市场上的平差软件不能显示计算过程、书据输入格式复杂、不易学习使用等缺陷进行设计的。该程序根据测量平差理论知识中间接平差规律化特点，结合VB编程语言，实现平面控制网严密平差过程中的数据输入、平差计算、精度分析等一体化。

1.2研究现状

此外根据间接平差程序特点，实现控制网优化研究，包括对平面控制网型平差结果和误差椭圆进行可视化。以此深入了解间接平差理论知识，并结合工程测量学和控制测量学相关理论，实现了闭合导线、附合导线、无定向导线和之导线的平差计算。以及工程坐标系与建筑坐标系的转换、高斯坐标系换代计算、高斯坐标系和大地坐标系及空间直角坐标系的相互转换等。在Access数据库的使用中扩展了程序的功能，使程序具有了一定的工程管理功能和变形监测数据分析功能等。

1.3研究内容与方法

程序设计完成后，利用该程序对常见的平面控制网的算例进行了测试，验证了间接平差的相关理论知识。并对间接平差的应用用了新的发现，在导线传递计算中，发现间接平差与误差传播率有相同的计算效果，据此可以进行导线误差预计。进而可以在导线型贯通工程中作为严密贯通误差预计的计算工具。

程序设计的数据格式为文本文档，输入形式为标准的点号、已知点位平面坐标、待定点近似坐标、边长、角度、及先验观测误差等形式，具有容易观察学习贴近教学的优秀特点，编程的代码中的矩阵计算模块是测绘专业专用模块，并加以适当修改。程序结构流程是根据间接平差过程特点设计的，分为“网型显示、误差方程、平差计算、精度分析、点位误差椭圆”等。结果输出以Txt文档形式和World文档格式。在特有的数据研究功能中可以对观测数据加上随机误差，以此验证平面控制网型平差规律特点。

坐标系统转换功能模块是根据控制测量学理论共和公式编写的，采用严密的基础数据输入模式，可用性范围包括北京—54坐标系统，西安—80坐标系统，WGS-84坐标系统和任意坐标系统。不同空间直角坐标系通的转换采用布尔萨七参数法计算。因此这项功能可以适合大多数的不同参考椭球的换带计算。

最后，由于受制用于理论水平和编程能力，平面控制网严密平差程序仍在不断完善，但基本上实现了研究目的。获得了丰富的成果。生成了实用性的可执行程序。

2编程基础与平差理论

2.1 Visual Basic 开发系统介绍

Visual Basic,简称VB，是Microsoft公司推出的一种Windows应用程序开发工具。是当今世界上使用最广泛的编程语言之一，它也被公认为是编程效率最高的一种编程方法。无论是开发功能强大、性能可靠的商务软件，还是编写能处理实际问题的实用小程序，VB都是最快速、最简便的方法。

何谓 Visual Basic？“Visual”指的是采用可视化的开发图形用户界面（GUI）的方法，一般不需要编写大量代码去描述界面元素的外观和位置，而只要把需要的控件拖放到屏幕上的相应位置即可；“Basic”指的是BASIC语言，因为VB是在原有的BASIC语言的基础上发展起来的，至今包含了数百条语句、函数及关键词，其中很多和 Windows GUI 有直接关系。专业人员可以用 Visual Basic 实现其它任何 Windows 编程语言的功能，而初学者只要掌握几个关键词就可以建立实用的应用程序。

VB提供了学习版、专业版和企业版，用以满足不同的开发需要。学习版使编程人员很容易地开发Windows和Windows NT的应用程序；专业版为专业编程人员提供了功能完备的开发工具；企业版允许专业人员以小组的形式来创建强健的分布式应用程序。

Visual Basic 所做的很多事情一点也不简单。它是一种强大的语言，即您所能想到的编程任务，它基本都能完成。从设计新型的用户界面到利用其它应用程序的对象；从处理文字图象到使用数据库；从开发个人或小组使用的小工具，到大型企业应用系统，甚至通过 Internet 的遍及全球分布式应用程序，都可在Visual Basic 提供的工具中各取所需。

VB是微软公司的一种通用程序设计语言，包含在Microsoft Excel、Microsoft Access等众多Windows应用软件种的VBA都使用VB语言，以供用户二次开发；目前制作网页使用较多的VBScript脚本语言也是VB的子集。

利用 VB的数据访问特性，用户可以对包括Microsoft SQL Server、Access 和其他企业数据库在内的大部分数据库格式创建数据库和前端应用程序，以及可调整的服务器端部件。利用ActiveX(TM)技术，VB可使用如Microsoft Word、Microsoft Excel及其他Windows应用程序提供的功能，甚至可直接使用VB专业版和企业版创建的应用程序对象。

VB是运行在Windows视窗操作系统上，设计程序的思想在于在窗口中放置对象和针对对象设计代码。

2.2 Visual Basic 开发界面介绍

（一）启动VB：单击“开始”－“程序”－“Microsoft Visual Basic 6.0 中文

版”选择“标准EXE”，单击“打开”进入窗口。

（二）VB窗口

1、标题栏：在最上面蓝色标题是“工

程1－...”，是我们当前正在设计的程

序，被称作“工程1”。如图2-1 2、菜单栏：菜单栏在第二行，包含

一组菜单，菜单中有各种命令，我们

应该理解操作计算机就是向计算机提

供一系列的指令。

（1）“文件”菜单，要求记住“保存”

命令，VB要保存两次，注意保存文件

到自己的文件夹中。（本书中双引号当

中均是指操作命令）图2-1

（2）“视图”菜单，显示各个窗口，如果一个窗口找不着了，就到这个菜单中找

出来。

（3）“运行”菜单，第一个“启动”命令要记住，可以运行我们的程序。

3、工具栏：第三行是工具栏，工具栏是一些最常用的命令，而且是用图标表示的，

因而便于形象记忆和操作，要求记住“启动”按钮。（在视窗操作系统中，我们不

仅要会认识文字说明，还要特别留意图标含义。）

4、工作区：工作区占据窗口的绝大部分，从左向右包括工具箱、窗体、和属性窗

口。

（1）工具箱：在工作区的左侧，包含许多编程用到的基本对象，被称作“控件”。

（2）窗体：中间的灰色的窗口，是我们设计的程序的基本框架，所有的对象都

放在这个窗口当中。

（3）小窗口：在右侧有三个纵向排列的窗口。

①最上面是工程窗口，上边有三个按钮，中间的按钮是显示对象窗口；

②下面是属性窗口，属性是一个对象的名称、大小、颜色等等；

③最下面是布局窗口，里面显示程序运行时的位置，拖动里面的小框可以改

变程序的显示位置。

5、下面修改窗体的属性，在右侧的属性窗口中找到Caption项，在它右边的格

子里点一下鼠标左键，然后输入“窗体”两个字，观察一下工作区中的窗体的标

题是否已经改变，Caption是设置一个应用程序的窗口标题，再在属性窗口中找到BackColor项，单击右边格子里的黑色三角按钮上点击一下鼠标左键，在弹出的面

板上边的一行文字中选择“调色板”标签，选中浅紫色，观察一下工作区中间的

窗体的变化。

单击“关闭”按钮（或者Alt＋F4），回到窗体中，在属性窗口中找到Icon

项，在右边的格子里点一下鼠标左键再点一下三个小点，在弹出的“加载图标”

对话框中，点击“向上”按钮退一步，再选择打开Common，再选择打开Graphics，

再选择打开Icon，再打开Misc，在里面找一个图标，单击打开，再看一下工作区

中的窗体的标题栏左侧是否有一个图标。单击“启动”按钮，运行一下程序，然后最小化，看一下任务栏上的图标找到我们的程序，单击一下图标恢复窗口。

关闭程序回到属性窗口，找到Picture属性，在右边的格子里单击一下鼠标左键，打开“加载图片”对话框，找一幅较大的背景图片打开，观察一下工作区窗体的变化。

关闭程序，同样再修改Font属性和ForeColor属性，属性都是按照字母排序的，在最后的WindowState属性中选择2－Maxing最大化，运行一下程序看一下效果。

2.3 测量平差知识

2.3.1 测量误差及误差传播率

测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观测者的技术水平和仪器本身构造的不完善等原因，都可能导致测量误差的产生。通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境三个方面综合起来，称为观测条件。观测条件不理想和不断变化，是产生测量误差的根本原因。通常把观测条件相同的各次观测，称为等精度观测；观测条件不同的各次观测，称为不等精度观测。具体来说，测量误差主要来自以下四个方面：

(1)外界条件主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清晰度、风力以及大气折光等因素的不断变化，导致测量结果中带有误差。

(2)仪器条件仪器在加工和装配等工艺过程中，不能保证仪器的结构能满足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量带来误差。

(3) 方法、理论公式的近似限制或测量方法的不完善。

(4)观测者的自身条件由于观测者感官鉴别能力所限以及技术熟练程度不同，也会在仪器对中、整平和瞄准等方面产生误差。

测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为系统误差和偶然误差和粗差。

系统误差：

在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果误差出现的大小和符号均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。系统误差具有明显的规律性和累积性，对测量结果的影响很大。但是由于系统误差的大小和符号有一定的规律，所以可以采取措施加以消除或减少其影响。

偶然误差：

在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果误差出现的大小和符号均不一定，则这种误差称为偶然误差，又称为随机误差。例如，用经纬仪测角时的照准误差，钢尺量距时的读数误差等，都属于偶然误差。偶然误差，就其个别值而言，在观测前我们确实不能预知其出现的大小和符号。但若在一定的观测条件下，对某量进行多次观测，误差列却呈现出一定的规律性，称为统计规律。而且，随着观测次数的增加，偶然误差的规律性表现得更加明显。

偶然误差具有如下四个特征：

（1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；

（2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(或概率大)；

（3） 绝对值相等的正、负误差出现的机会相等；

（4） 在相同条件下，同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数的无限增大而趋于零。

粗差：

由于粗心等原因造成的测量值与真值存在明显较大的差值的观测值称为粗差，再平差之前一定要对观测数据进行检查，进而剔除粗差。

2.3.2 测量平差原理、目的和步骤

由于测量仪器的精度不完善和人为因素及外界条件的影响，测量误差总是不可避免的。为了提高成果的质量，处理好这些测量中存在的误差问题，观测值的个数往往要多于确定未知量所必须观测的个数，也就是要进行多余观测。有了多余观测，势必在观测结果之间产生矛盾，测量平差的目的就在于消除这些矛盾而求得观测量的最可靠结果并评定测量成果的精度。测量平差是用最小二乘法原理处理各种观测结果的理论和计算方法。[注]一般来讲我们这里所说的平差主要针对由于偶然误差引起的测量误差。

测量平差步骤：

（1）观测数据检核，起始数据正确性的处理。

（2）列出误差方程式或条件方程式，按最小二乘法原理进行平差。

（3）平差结果的质量评定。按观测量相互间的关系，可分为相关的或不相关的平差。平差的方法有直接平差、间接平差、条件平差、附有条件的间接平差和附有未知数的条件平差等。

2.3.3 间接平差理论

1.间接平差原理

间接平差法（参数平差法）是通过选定t 个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值都分别表达成这t 个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测值的平差值。

2.间接平差一般原理

设平差问题中有n 个观测值L ，已知其协因数阵 1-=P Q ，必要观测数为t ，

选定t 个独立参数 X

ˆ，其近似值为 x X X ˆˆ0+=，观测值L 与改正数V 之和 V L L +=∧，称为观测量的平差值。按具体平差问题，可列出n 个平差值方程为

i t i i i i i d X t X b X a v L ++++=+∧∧∧ 21 （i=1，2，3，…，n ） （式2-1）

令

[]

[][][]T n n T t t T

n n T n n d d d d X X X X V V V V L L L L 211,211

,211,211,ˆˆˆˆ====

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n t n t b a t b a t b a B 222

111,

则平差值方程的矩阵形式为

d X B V L +=+ˆ （式2-2）

令

)(ˆˆ00d BX L l x X X

+-=+= （式2-3） 式中 0

X 为参数的充分近似值，于是可得误差方程式为

l x

B V -=ˆ （式2-4） 按最小二乘原理，上式的 x ˆ必须满足 m in =PV V T 的要求，因为t 个参数为独立量，故可按数学上求函数自由极值的方法，得

0ˆ2ˆ==∂∂=∂∂PB V x V P V x PV V T T T

转置后得

0=PV B T （式2-5）

以上所得的（式2-4）和（式2-5）式中的待求量是 n 个 V 和 t 个 x

ˆ，而方程个数也是 t n +个，有唯一解，称此两式为间接平差的基础方程。

解此基础方程，一般是将（式2-4）式代入（式2-5）式，以便先消去 V ，得

（式2-6）

令 0 ˆ= - Pl B x

PB B T T

上式可简写成

（式2-7）

式中系数阵 bb N 为满秩矩阵，即 t

N R bb =)(， x

ˆ有唯一解，上式称为间接平差的法方程。解之，得

（式2-8）

或

（式2-9）

将求出的 x

ˆ代入误差方程（2-3）式，即可求得改正数V ，从而平差结果为 x X X

V L L ˆˆ,

0+=+=∧

（式2-10） 特别地，当P 为对角阵时，即观测值之间相互独立，则法方程（2-9）式的纯量形式为

（式2-11）

3.按间接平差法求平差值的计算步骤

（1）根据平差问题的性质，选择t 个独立量作为参数；

（2）将每一个观测量的平差值分别表达成所选参数的函数，列出误差方（式2-4）；

（3）由误差方程系数B 和自由项 l 组成法方程（式2-7），法方程个数等于参数的个数t ；

（4）解算法方程，求出参数 x

ˆ，计算参数的平差值 x X X ˆˆ0+=； （5）由误差方程计算V ，求出观测量平差值 V L L +=∧

； （6）评定精度。

Pl B PB B x

T T 1 ) ( ˆ- = W N x bb

1 ˆ- = 0 ˆ= - W x

N bb Pl

B W PB B N T t

T t

t bb = = 1 , , , ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪

⎬

⎫ = + + + = + + + = + + + ] [ ˆ] [ ˆ] [ ˆ] [ ] [ ˆ ] [ ˆ ] [ ˆ ] [ ] [ ˆ] [ ˆ] [ ˆ] [ 2 1 2 1 2 1 ptl x ptt x pbt x pat pbl x pbt x pbb x pab pal x pat x pab x paa t

t t

2.3.4 间接平差平面控制网误差方程的列立形式

在间接平差中，待定参数的个数必须等于必要观测的个数t ，而且要求这t 个

参数必须是独立的，这样才可能将每个观测量表达成这t 个参数的函数，而这种类型的函数式正是间接平差函数模型的基本形式。一个平差问题中，必要观测的个数取决于该问题本身的性质，与观测值的多少无关。现就常用的不同形式的控制网介绍如下：

（一） 三角网

三角网平差的目的是要确定三角点在平面坐标系中的坐标最或是值，当网中有两个或两个以上已知点坐标，则必要观测个数就等于未知点个数的两倍；当网中少于两个已知点时，则必要观测个数就等于总点个数的两倍减去4。

（二） 测边网

当网中有两个或两个以上已知点坐标，则必要观测个数就等于未知点个数的两倍；当网中少于两个已知点时，则必要观测个数就等于总点个数的两倍减去3。

（三）边角网（边角同测、导线网）

当网中有两个或两个以上已知点坐标，则必要观测个数就等于未知点个数的两倍；当网中少于两个已知点时，则必要观测个数就等于总点个数的两倍减去3。

以上为各类型的标准情况，当加测已知方向、已知边长时，还要具体情况具体分析。

而对于传统的平面控制网，其误差方程一般是非线性的。现举例说明，观测量平差值与参数间为非线性函数时组成误差方程的方法。

图2-2测角网 图2-3测边网

例如在图2-2中，不管选择怎样的一组参数，都将出现非线性形式的平差值

方程。设以D 点坐标D X ˆ和D Y ˆ

为参数，由图知，第1个平差值方程为

D A D A D B D B DA DB X X Y Y X X Y Y L ˆˆarctan ˆˆarctan ˆˆˆ1-----=-=αα (式2-12) 式中，),(A A Y X ,),(B B Y X 为已知点A 和B 的坐标。上式为非线性方程。

又如对图2-3测边交会图形来说，若选择待定点D 的坐标为参数，平差值为

D X ˆ、D Y ˆ，由图可列出其中第1个平差值方程为

()()

2

2

1ˆ

ˆˆA

D

A

D

Y Y X X

L

-+-= (式2-13)

它们也是非线性函数关系。 1.误差方程线性化

取X

ˆ的充分近似值0X ，x ˆ是微小量，在按台劳公式展开时可以略去二次和二次以上的项，而只取至一次项，于是可对非线性平差值方程式线性化，将

()

12ˆˆˆˆ,,i i i i t

L L V f X X X =+==)ˆ,,ˆ,ˆ(0202101t t i x X x X x X f +++ (式2-14)

按台劳公式展开得

()()

002010

202101,,,ˆˆ

ˆˆ

ˆˆt i i t t i i i i X X X f L x X f x X f

x X f v --⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= (式2-15)

令 01ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=X f a i i ，02ˆ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂=X f b i

i ， 0

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂=t i i X f t

()00

0012,,,i i i t i i

l L f X X X L L =-=- (式2-16)

式中0i L 为相应的函数的近似值，自由项i l 为观测值i L 减去其近似值0

i L 。由此

（式2-15）式为

i t i i i i l x t x b x

a v -+++=ˆˆˆ21 (式2-17)

需要指出，线性化的误差方程式是个近似式，因为它略去了ˆj x

的二次以上的

各项。当

ˆj x

很小时，略去高次项是不会影响计算精度的。如果由于某种原因不能

求得较为精确的参数的近似值，即

),,2,1(ˆt x

j 都很大，这样，平差值之间仍然会

存在不符值。此时，就要把第一次平差结果作为参数的近似值再进行一次平差。

上面给出了非线性误差方程的线性化一般方法，应该说掌握一般方法，可以对一切非线性误差方程都可以线性化。下面结合常用的一些具体情况，来讨论相应误差方程的线性化问题，可以总结一些规律，便于实际应用。

2.测角网坐标平差的误差方程

这里讨论测角网中选择待定点的坐标平差值为参数时，误差方程的线性化问题。先介绍坐标改正数与坐标方位角改正数之

间的关系。 图2-4方位jk

在图2-4中，j 、k 是两个待 定点，它们的近似坐标为

0000

,,,j j k k

X Y X Y 。

根据这些近似坐标可以计算j 、k 两点间的近似坐标方位角0jk

a 和近似边长

0jk

S 。

设这两点的近似坐标改正数为

ˆˆˆˆ,,,j j k k x

y x y ，即

.ˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆˆ0000k k k k k k j j j j j j y Y Y x X X y Y Y x X X +=+=+=+=

由近似坐标改正数引起的近似坐标方位角的改正数为jk

δα，即

0ˆjk jk jk

ααδα=+ 式2-18)

现求坐标改正数

ˆˆˆˆ,,,j j k k x

y x y 与坐标方位角改正数

jk

δα之间的线性关系。

根据图2-4可以写出

()()()()

000

0ˆˆˆarctan ˆˆk k j j jk k k j j Y y Y y X x X x α+-+=+-+，

将上式右端按台劳公式展开，得

00000000

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆarctan ˆˆˆˆk j jk

jk

jk jk jk j j k k k j j j k k Y Y x y x y X X X Y X Y αααα

α

⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∂∂∂∂=++++

⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

-∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝

⎭ 等式中右边第一项就是由近似坐标算得的近似坐标方位角0jk

α，对照（式2-18）

式可知

k

k jk k k jk j j jk j j jk jk y Y x

X y Y x X ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ0000⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=ααααδα (式2-19)

式中

2

00

20020000200002000

00)()()()(1)(ˆˆjk jk j k j k j k j

k j k j k j k j jk S Y Y Y X X Y Y X X Y Y X X Y Y X ∆=-+--=--+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛∂∂α

同理可得

()()

()0200

2000200ˆ,ˆˆ,ˆˆjk

jk

j jk jk jk

k jk jk jk

k jk

X Y S Y X S X Y S ααα⎛⎫∂∆=-

⎪ ⎪

∂⎝

⎭⎛⎫∂∆=- ⎪∂⎝⎭∂∆⎛⎫= ⎪∂⎝⎭

将上列结果代入（式2-19）式，并顾及全式的单位得

()

()

()

()

00

02

2

2

2

00

00

ˆˆˆˆjk

jk

jk

jk

jk j j k k jk

jk

jk

jk

Y X Y X x

y

x

y

S S S S ρρρρδα''''''''∆∆∆∆''=

--+ (式2-20)

或写成

k jk

jk

k jk

jk

j jk

jk

j jk

jk

jk y

S

x

S

y

S

x

S

ˆcos ˆsin ˆcos ˆsin 0

0"0

0"0

0"0

0""αραραραρδα+--=

(式2-21)

上式就是坐标改正数与坐标方位角改正数间的一般关系式，称为坐标方位角改正数方程。其中δα以秒为单位。平差计算时，可按不同的情况灵活应用上式。例如：

（1）若某边的两端均为待定点，则坐标改正数与坐标方位角改正数间的关系式就是（式2-21）式。此时，ˆj x

与ˆk x 前的系数的绝对值相等；ˆj y 与ˆ

k y 前的系数的

绝对值也相等；

（2）若测站点j 为已知点，则

ˆˆ0j j x

y ==，得

k jk

jk

k jk

jk jk y

S X x

S Y ˆ)

("ˆ)

("2

00200

"∆+∆-

=ρρδα， （式2-22）

若照准点k 为已知点，则

0ˆˆ==k k y x

，得

j jk

jk

j jk

jk

jk

y

S X x

S Y ˆ)

("ˆ)

("2

02

00"∆-∆+

=ρρδα

， （式2-23）

（3）若某边的两个端点均为已知点，则

0ˆˆˆˆ====k k j j y x y x

，得，

"=jk δα

（4）同一边的正反坐标方位角的改正数相等，它们与坐标改正数的关系式也

一样，这是因为

j jk kj j jk kj k jk kj k jk kj kj y S X x S Y y

S X x

S Y ˆ)

(ˆ)

(ˆ)

(ˆ)

(2

00

"2

00

"2

00

"2

00

""∆+∆-∆-∆+

=ρρρρδα

对照（式2-11）式，顾及

0kj

jk Y Y ∆-=∆，

0kj

jk X X ∆-=∆，得

"

"kj

jk δαδα=。据此，实际

计算时，只要对每条待定边计算一个坐标方位角改正数方程即可。

图2-5方位角

对于角度观测值i L （图2-5）来说，其观测方程为

jh jk i i v L αα

ˆˆ-=+ （式2-23）

将δααα

+=0ˆ代入，并令 0

00)(i

i jh jk i i L L L l -=--=αα (式2-24)

可得

i

jh jk i l v --=δαδα （式2-25）

然后根据这个角的三个端点j 、h 、k 是已知点还是未知点而灵活运用（式2-19），

并以此代入（2-25）式，即得线性化后的误差方程。例如，j 、h 、k 点都是未知点时，（2-25式）

为：

i h jh jh

h jh jh j jh jh j jh jh k jk

jk k jk

jk

j jk

jk j jk

jk

i l y S X x S Y y S X x S Y y

S X x

S Y y

S X x

S Y v -⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∆+∆-∆-∆-∆+∆-∆-∆=

ˆ)("ˆ)("ˆ)("ˆ)("ˆ)

("ˆ)

("ˆ)

("ˆ)

("2

00200

2002002

00200

2

00200

ρρρρρρρρ

合并同类项最后可得

（式2-26）

上式即为线性化后的观测角度的误差方程式，可以当作公式使用。

综上所述，对于角度观测的三角网，采用间接平差，选择待定点的坐标为参数时，列误差方程的步骤为：

① 计算各待定点的近似坐标00,Y X ；

② 由待定点的近似坐标和已知点的坐标计算各待定边的近似坐标方位角0

α和近似边长0

S ；

③ 列出各待定边的坐标方位角改正数方程，

并计算其系数；

④ 按照（式2-26）、（式2-24）式列出误差方程。

3．测边网坐标平差的误差方程 图2-6边长jk 下面讨论在测边网平差中，选择待定点的坐标为参数时的误差方程的线性化问题。

i

h jh jh h jh jh k jk jk k jk jk j jh jh jk jk j jh jh jk jk i l y S X x S Y y S X x S Y y S X S X x S Y S Y v - ∆ - ∆ + ∆ + ∆ - ⎪ ⎪ ⎭ ⎫

⎝ ⎛ ∆ - ∆ - ⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛ ∆ - ∆ = ˆ ) ( " ˆ ) ( " ˆ ) ( " ˆ ) ( " ˆ) ( ) ( " ˆ) ( ) ( " 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 ρ ρ ρ ρ ρ ρ

先讨论一般情况。在图2-6中，测得待定点间的边长i L ，设待定点的坐标平差值

j

X ˆ、

j

Y ˆ、k X ˆ和k Y ˆ

为参数，令

.ˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆˆ0000k k k k k k j j

j j j j y Y Y x X X y Y Y x X X +=+=+=+=

由图2-6可写出i L ˆ

的平差值方程为

22)ˆˆ()ˆˆ(ˆj

k j k i i i Y Y X X v L L -+-=+= （式2-27）

按台劳公式展开，得

)ˆˆ()ˆˆ(00

000j k jk

jk

j k jk

jk jk i i y y

S Y x x

S X S v L -∆+-∆+

=+ （式2-28）

式中

00000,j

k jk j k jk Y Y Y X X X -=∆-=∆，

2

002000)

()(j k j k jk Y Y X X S -+-=

再令

0jk

i i S L l -= （式2-29）

则由（式2-26）式可得测边的误差方程为

i k jk

jk

k jk

jk j jk

jk

j jk

jk i l y

S

Y x

S

X y

S

Y x

S

X v -∆+∆+∆-∆-

=ˆˆˆˆ00

00

00

0 （式2-30）

式中右边前4项之和是由坐标改正数引起的边长改正数。（式2-30）式就是测

边坐标平差误差方程式的一般形式，它是在假设两端点都是待定点的情况下导出的。具体计算时，可按不同情况灵活运用。

① 若某边的两端点均为待定点，则（式 2-30）式就是该观测边的误差方程。式中，

j x

ˆ与k x ˆ的系数的绝对值相等，j y ˆ与k y ˆ

的系数的绝对值也相等。常数项等于该

边的观测值减其近似值。

② 若j 为已知点，则

0ˆˆ==j j y x

，得

i k jk

jk

k jk

jk i l y

S

Y x

S

X v -∆+∆=

ˆˆ0

0 （式2-31）

若k 为已知点，则

0ˆˆ==k k y x

，得

i j jk

jk

j jk

jk i l y

S

Y x

S

X v -∆-∆-

=ˆˆ0

0 （式2-32）

若j 、k 均为已知点，则该边为固定边（不观测），故对该边不需要列误差方程。

③ 某边的误差方程，按jk 向列立或按kj 向列立的结果相同。 4边角网坐标平差的误差方程

在边角网中，有两类观测值，即边长观测值和角度观测值，网中角度观测值的误差方程，其组成与测角网坐标平差的误差方程相同，边长观测的误差方程，其组成与测边网坐标平差的误差方程相同，因此边角网中观测值的误差方程列立与上述测角、测边网相同。在边角网中有边、角两类观测值，确定两类观测值的权的配比问题是平差中的重要环节。

设先验单位权方差为2

0σ，测角中误差为i

βσ，测边中误差为i

S σ，则定权公式

为

2

2

0i

i

p β

βσσ=，

2

2

0i

i

S

S p σσ= （式2-33）

当角度为等精度观测时

β

βββσσσσ====n

2

1

。定权时一般令

220β

σσ=，即

以测角中误差为导线网平差中的单位权观测值中误差，由此即得

1

22

==β

β

βσσi

p ，

2

2i

i

S

S p σσβ

= （式2-34）

为了确定边、角观测的权比，必须已知2β

σ和

2i

S

σ，一般平差前是无法精确知

道的，所以采用按经验定权的方法，即2β

σ和

2i

S

σ采用厂方给定的测角、测距仪器

的标称精度或者是经验数据。

在边角同测网中，权比是有单位的，如（2-24）式中

1

=i p β无量纲（即单位为

1），而边长的权，其单位为秒2/cm2。在这种情况下，角度的改正数i

v β要取秒为

单位，而边长改正数

i

S v 则要取厘米为单位，此时的

2

i

i v p β

β与

2i

i S

S v p 单位才能一致。

这一点在不同类型观测联合平差时应予以注意。下面以一个边角网为例，说明观测角、观测边误差方程式的列立，以及两类观测值的定权方法等。

2.3.5平面控制网间接平差实例

例[2-3-5] 如图2-7所示，1、2、3为已知点，

41、52是待定点。同精度观测了六个边长1L 、 图2-7 平面控制边角网

2L 、…、6L ，边长中误差为±2cm ，测量了十二条角J1、J2、J3、J4、J5、

J6、J7、J8、J9、J10、

J11、J12观测结果及其中误差见表2-1。起算数据见表2-2。试按间接平差法求待定点P1及P2的坐标平差值。

表2-1起算数据

表2-2观测数据

① .本题n=18即有18个误差方程，其中有6个边长误差方程，12个角度误差方程。必要观测数422=⨯=t 。现取待定点坐标平差值为参数，即

T Y X Y X X ]ˆˆˆˆ[ˆ2211=计算待定点近似坐标。各点近似坐标按坐标增量计算，结果见表2-3。

② 由已知点坐标和待定点近似坐标计算待定边的近似坐标方位角0

α和近似边长0

S （见表2-4）

③ 计算坐标方位角改正数方程的系数。计算时0

S 、0

X ∆、0

Y ∆均以m 为单

位，而x ˆ、y ˆ因其数值较小，采用cm 为单位。有关系数值的计算见表2-5、表2-6。