高中数学人教A必修四第一章全章导学案

鸡西市第十九中学学案

如图，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点

成角α. 旋转开始时的射线OA叫做角的

的顶点.初中所研究的角的范围为.

【复习二】举例实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？

①体操比赛中术语：“转体720o”（即转体

②时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？（小结：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限？

思考：与60°终边相同的角有、、…都可以用代数式表示为那么，与α终边相同的角如何表示？

新知：与α角终边相同的角,都可用式子k×360°＋α表示，k∈Z

3.写出终边在直线y=－

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α终边所在的象限角α的集合

Ⅰ{α| <α< ，k∈Z}

Ⅱ{α| <α< ，k∈Z}

Ⅲ{α| <α< ，k∈Z}

Ⅳ{α| <α< ，k∈Z}

2lR

=

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问题2 如图，锐角任取一点P (a ，b )OP r === = ；OM

=

= .

问题3 如图所示，在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．锐角α的终边与单位圆交于tan α＝ .

【单位圆定义任意角三角函数】设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点记作sin α，即sin α＝

问题 由三角函数的定义知，三角函数值是一个比值，即一个实数，它的大小只与角α的终边位置有关，即与角有关，与角请以角α为第二象限角为例，借助三角形相似的知识证明上述两种定义是一致的

小结：根据三角函数的定义可知，三角函数是一个和点P (x ，y )离原点的距离无关

三角函数值的符号在以后学习中经常用到，必须熟记，可根据定义记，也可按以下口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦(是正的)．

判断下列各式的符号：

cos α(其中α是第二象限角)；(2)sin 285°cos(－105°)；(3)sin 3·cos 4·tan

若sin αcos α<0，则α是第________象限角．

代数式：sin 2·cos 3·tan 4的符号是_________．

《三角函数定义域和三角函数符号》专题

2014年（ ）月（ ）日 班级 姓名

博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。

【归纳】当()2

k k Z απ=

+∈时，α的终边在 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等

于 ，所以

无意义.

(1)函数y ＝sin x ＋tan x

(2)函数y ＝sin x 的定义域为________________．

(3)函数y ＝lg cos x 的定义域为________________．

【三角函数值在各象限的符号】

三角函数的定义告诉我们，三角函数在各象限内的符号，取决于x ，y 的符号．

(1)sin α＝y

r

(r >0)，因此sin α的符号与y 的符号相同，当α的终边在第 象限时，sin α>0；当

α的终边在第 象限时，sin α<0.

(2)cos α＝x

r

(r >0)，因此cos α的符号与x 的符号相同，当α的终边在第 象限时，cos α>0；当

α的终边在第 象限时，cos α<0.

(3)tan α＝y

x

，因此tan α的符号由x 、y 确定，当α终边在第 象限时，xy >0，tan α>0；当α

终边在第 象限时，xy <0，tan α<0. 将下图补充完整：

三角函数值的符号在以后学习中经常用到，必须熟记，可根据定义记，也可按以下口诀记忆：一全正，二正弦，三正切，四余弦(是正的)． 例3 判断下列各式的符号：

(1)sin α·cos α(其中α是第二象限角)； (2)sin 285°cos(－105°)； (3)sin 3·cos 4·tan ???

?－23π4.

练3 (1)若sin αcos α<0，则α是第________象限角． (2)代数式：sin 2·cos 3·tan 4的符号是_________．

小结 求任意角的三角函数值，最后常常转化为求特殊角的三角函数值，因此对特殊角的三角函数值应当适当加强记忆．

【当堂训练】

1． sin(－270°)= ;tan()4π-= ;7sin 6

π

= ;cos(30)-?= .

2．若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝3

5

，则tan α等于

3．如果sin x ＝|sin x |，那么角x 的取值集合是________________________．

4．如果角α的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴重合，终边在函数5(0)y x x =<的图象上，那么tan α的值为

5. 已知角α的终边在直线y ＝2x 上，求α的正弦、余弦和正切值.

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问题1：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）

是一个数量概念（比值）

表示三角函数呢？

【归纳】设角α的终边与单位圆交点P(x，y作x轴的垂线，垂足为

段MP为正弦线，为余弦线.

试试2：画出各象限终边角的正弦线、余弦线，并分析符号.

思考： 若α为任意角，根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律可得：sin α的范围是 ；cos α的范围是 思考：当α终边在坐标轴上时，正弦线、余弦线、正切线又是怎样的情形呢？例2 在单位圆中画出满足sin α＝1

的角的终边，并求角α的取值集合．小结 作已知角的正弦线、余弦线、正切线时，要确定已知角的终边，再画线，同时要分清所画线的方向，对于以后研究三角函数很有用处．训练1 根据下列三角函数值，作角(1) cos α＝1

； 例3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角(1) sin α≥32；(2)cos α≤－1

2.

例4 求下列函数的定义域．小结 求三角函数定义域时，数线是解三角不等式常用的方法．解多个三角不等式时，先在单位圆中作出使每个不等【当堂训练】

1. 下列大小关系正确的是（ A. sin

cos

5π

π

>2. 利用余弦线，比较

《三角函数线的应用》专题

2014年（ ）月（ ）日 班级 姓名

作为一次经历，失败有时比成功更有价值。

作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线．

(1)－π4； (2)17π6； (3)10π3

.

作出下列各象限的正弦线、余弦线和正切线．

关于三角函数线，要注意以下几点：

（1）正弦线、余弦线、正切线都是 线段，利用它们的数量来表示 ，是数形结合的典型体现。

（2）作三角函数线时，所用字母一般都是固定的，书写顺序也不能颠倒。

特别要注意正切线必在过A （ ， ）的单位圆的切线上（其中二、三象限角需作终边的反向延长线）。

（3）对于终边在坐标轴上的角，有时三角函数线退化为一个点，有时又为整个半径。 当角α的终边在y 轴上时，角α的正切线不存在。 【类型一】求角的取值

求分别符合下列条件的各角的集合： （1

）sin α=； （2

）cos 2

α=； （3

）tan α=

【类型二】求角的范围 例2 在[0,2]π上满足1

sin 2

x ≥

的x 的取值范围

练习：在[0,2]π上满足1

cos 2

x ≤-

的x 的取值范围 【类型三】比较大小

例3 比较sin1155°与sin(－1654°)的大小。

练习1：下列不等式成立的是

A 、0

sin 70sin170> B 、0

sin130sin140< C 、0

tan130tan140> D 、0

cos130cos140< 练习2：已知,,42ππα??

∈

??

?比较cos tan αααα、 sin 、、 的大小关系

练习3：已知(0,

)2

π

α∈，比较sin α，cos α，tan α。

【类型四】求函数的定义域

例

4 y=的定义域

练习1

：求函数lg(2sin

y x

=+的定义域为

练习2

：求函数lg(2sin

y x

=++的定义域为

练习3

x的取值范围是

_____________________

【当堂训练】

1、已知点P(sinα-cosα,tan α)在第一象限，在[0，2π）内求α的范围。

2、已知点P(sinα-cosα,tan α)在第一象限，求α的范围

3、函数()()()

12cos

log2sin1

x

f x x

-

=-的定义域为

_____________________

4、已知()

0,2

xπ

∈，使sin cos

x x

>的x的取值范围是（）

（A）

3

,

44

ππ

??

?

??

（B）

53

,,

4242

ππππ

????

? ?

????

（C）,

42

ππ

?

?

?

??

（D）

57

,

44

ππ

??

?

??

则

【同角三角函数基本关系】

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《同角三角函数的基本关系式》专题

2014年（ ）月（ ）日 班级 姓名

懂得的不需要，不懂的没必要。

同角三角函数的基本关系式：

（1）平方关系：22

sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==

【当堂训练】

1.已知 3

1

sin =α ，求 ααtan ,cos 的值；

已知 2

1

cos -

=α ，且α 在第三象限，求 ααtan ,sin 的值；

已知 2tan -=α ，且α 在第二象限，求 ααcos ,sin 的值。

2．（2009北京9）若4sin ,tan 05

θθ=->，则cos θ= .

3.（2011北京9）在ABC ?中。若b=5，4

π

=∠B ，tanA=2，则sinA=____________；

a=_______________。

4．已知sin α－cos α＝1

2，则sin α·cos α＝________.

5．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝1

5

.

(1)求tan α的值；

(2)把1

cos 2α－sin 2

α用tan α表示出来，并求其值．

6.已知tan 2θ=，则2

2sin

sin cos 2cos θθθθ+-=

（A ）4

3

-

（B ）

5

4

（C ）3

4

-

（D ）

45

1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin α

cos α＝tan α可以实现角α的弦

切互化． 2. 应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． 3．应用sin 2

α＋cos 2

α＝1求sin α或cos α

时，特别注意角α的三角函数值的符号，符号规律：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 4．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2

α＋cos 2

α，sin 2

α＝1－cos 2

α，cos 2

α＝1－sin 2

α.

求证：2212sin cos 1tan cos sin 1tan x x x

x x x

--=

-+

2222tan sin tan sin αααα-=?

22(cos 1)sin 22cos βββ-+=-

4422sin cos 12sin cos x x x x +=-?

?

同角三角函数的基本关系式的主要作用是：已知一个角的三角函数

值，求此角的其它三角函数值。

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【公式作用】将负角的三角函数转化为正角的三角函数．

【公式作用】将第二象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数．