(完整版)数列求和7种方法(方法全-例子多)

数列求和的基本方法和技巧

一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式

错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和

分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和

二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，

三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q a a q

q a q na S n n

n

3、 )1(211

+==∑=n n k S n

k n 4、)12)(1(6112

++==∑=n n n k S n

k n

5、 21

3

)]1(21[+==

∑=n n k S n

k n [例1] 已知3

log 1log 23-=

x ，求???++???+++n

x x x x 32的前n 项和. 解：由2

1

2log log 3log 1log 3323=?-=?-=

x x x

由等比数列求和公式得 n

n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）

＝x x x n

--1)1(＝

2

11)

211(21--n ＝1－n 21

[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1

)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2

1

++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=

n n S n S n f ＝64

342++n n n

＝

n

n 64341+

+＝

50

)8(12+-

n

n 50

1≤

∴ 当

8

8-

n ，即n ＝8时，501)(max =n f

题1.等比数列的前ｎ项和Sｎ＝2ｎ－１，则

＝

题2．若12+22+…+(n-1)2=an3+bn2+cn，则a= ,b= ,c=

.

解： 原式=

答案：

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：1

32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①

解：由题可知，{1

)12(--n x

n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1

-n x

}的通项之积

设n

n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n

n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x

x x S x )12(1121)1(1

----?

+=--

∴ 2

1)1()

1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+

[例4] 求数列

??????,2

2,,26,24,2232n n

前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21

}的通项之积

设n n n

S 2226242232+???+++=…………………………………①

14322

226242221++???+++=n n n

S ………………………………② （设制错位） ①－②得14322

22222222222)211(+-+???++++=-n n n n

S （错位相减）

1122212+---=n n n

∴ 12

2

4-+-=n n n S

练习题1 已知 ，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .

答案：

练习题2 的前n 项和为____

答案：

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.

[例5] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++

证明： 设n

n n n n n C n C C C S )12(53210++???+++=………………………….. ①

把①式右边倒转过来得

113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=- （反序）

又由m

n n m n C C -=可得

n

n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②

①+②得 n

n n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110?+=++???+++=- （反序相加） ∴ n

n n S 2)1(?+=

[例6] 求ο

οοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值

解：设ο

οοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++=S …………. ①

将①式右边反序得

ο

οοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++???++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 2

2

=+-=x x x x ο

①+②得 （反序相加）

)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++???++++=S ＝89

∴ S ＝44.5

题1 已知函数

（1）证明：；

（2）求的值.

解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，

两式相加得：

所以.

练习、求值：

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231

,,71,41,

1112-+???+++-n a a a n ，… 解：设)231

()71()41()11(12-++???++++++=-n a

a a S n n

将其每一项拆开再重新组合得

)23741()1

111(12-+???+++++???+++

=-n a

a a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(n

n + （分组求和）

当1≠a 时，2)13(1111n n a

a S n

n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.

解：设k k k k k k a k ++=++=2

332)12)(1(

∴ ∑=++=

n k n k k k S 1

)12)(1(＝)32(23

1

k k k

n

k ++∑=

将其每一项拆开再重新组合得

S n ＝k k k n

k n k n

k ∑∑∑

===++1

2

1

3

132

（分组）

＝)21()21(3)21(22

2

2

3

3

3

n n n +???++++???++++???++

＝2)

1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2

)

2()1(2++n n n

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）)()1(n f n f a n -+= （2）οοο

οο

n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）1

1

1)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=

n n n n n a n （5）])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=

n n n n n n n a n

(6) n

n

n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1

1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++=

-则 （7）)1

1(1))((1C

An B An B C C An B An a n +-+-=++=

（8

）n a ==

[例9] 求数列

???++???++,1

1,

,321,

2

11n n 的前n 项和.

解：设n n n n a n -+=++=

111

（裂项）

则 1

13

212

11

+++???+++

+=

n n S n （裂项求和）

＝)1()23()12(n n -++???+-+- ＝11-+n [例10] 在数列{a n }中，1

1211++???++++=

n n

n n a n ，又12+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.

解： ∵ 211211n n n n n a n =++???++++=

∴ )11

1(82

122+-=+?=n n n n b n （裂项）

∴ 数列{b n }的前n 项和

)]1

11(

)41

31()3121()211[(8+-+???+-+-+-=n n S n （裂项求和） ＝)111(8+-n ＝

1

8+n n

[例11] 求证：ο

ο

οοοοοο1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+???++

解：设ο

οοοοο89

cos 88cos 1

2cos 1cos 11cos 0cos 1+???++=

S ∵οοο

οο

n n n n tan )1tan()

1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴ο

οοοοο89cos 88cos 1

2cos 1cos 11cos 0cos 1+???++=

S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1

sin 1

οοοοοοοοο

-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1οοο-＝ο

ο

1cot 1sin 1?＝οο1sin 1cos 2

∴ 原等式成立

练习题1.

答案：.

练习题2。=答案：

六、分段求和法（合并法求和）

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .

[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°

∵ )180cos(cos ο

ο

ο

n n --= （找特殊性质项）

∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···

+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）

＝ 0

[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.

解：设S 2002＝2002321a a a a +???+++

由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得

,2,3,1654-=-=-=a a a

,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a

……

2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a

∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项） ∴ S 2002＝2002321a a a a +???+++ （合并求和） ＝)()()(66261612876321++++???+++???+???+++???+++k k k a a a a a a a a a a

2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++???+++???+

＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5

[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.

解：设1032313log log log a a a S n +???++=

由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =?+=+ （找特殊性质项）

和对数的运算性质 N M N M a a a ?=+log log log 得

)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++???++++= （合并求和）

＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ?+???+?+? ＝9log 9log 9log 333+???++ ＝10

练习、求和：

练习题 1 设，则

＝___

答案：2.

练习题2．若S n=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n，则S17+S33＋Ｓ50等于( )

A .1

B .-1

C .0

D .2

解：对前n 项和要分奇偶分别解决，即： S n =

答案：A

练习题 3 1002

-992

+982

-972

+…+22

-12

的值是 A .5000 B .5050 C .10100 D .20200 解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.答案：B

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.

[例15] 求3

211

1111111111个n ???+???+++之和. 解：由于)110(9199999111111

1

-=????=

???k

k k 43421321个个 （找通项及特征） ∴ 3211

1111111111个n ???+???+++ ＝

)110(91

)110(91)110(91)110(91321-+???+-+-+-n （分组求和） ＝

)1111(91)10101010(911

3214434421个n n +???+++-+???+++ ＝9

110)110(1091n

n ---?

＝

)91010(81

1

1n n --+

[例16] 已知数列{a n }：∑∞

=+-+++=

1

1))(1(,)3)(1(8

n n

n n a a n n n a 求的值. 解：∵ ])

4)(2(1

)3)(1(1)[

1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征）

＝])

4)(3(1

)4)(2(1[

8+++++?n n n n （设制分组）

＝)4

1

31(8)4121(

4+-+++-+?n n n n （裂项）

∴ ∑∑∑∞=∞

=∞

=++-+++-+=-+1

111)41

31(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和） ＝4

18)4131(4?++

? ＝3

13

提高练习：

1．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==L ，

⑴设数列),2,1(21ΛΛ=-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2ΛΛ==

n a c n

n

n ，求证：数列{}n c 是等差数列；

2．设二次方程n a x 2

-n a +1x +1=0(n ∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．

(1)试用n a 表示a 1n +；

3．数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *

N n ∈

⑴求数列{}n a 的通项公式；

⑵设||||||21n n a a a S +++=Λ，求n S ；

说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。