2021年苏科版中考数学一轮专题复习

九年级数学复习六——一元二次方程的解法、根的判别式

一、中考要求:

1. 理解一元二次方程的概念，掌握它们的解法；

2．掌握一元二次方程根的判别式,并能运用它解决相应问题；

3．掌握一元二次方程根与系数的关系；

二、知识要点:

1．只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程叫做一元二次方程。

2．一元二次方程的一般形式是 。

(1)从概念分析应具备三个条件:“一元”、“二次”、“整式”方程

(2)从形式上看，应先将一个方程进行整理，看是否符合一般形式。其中尤其注意0a ≠的条件，若不能确定0a ≠时，则需分类讨论:当0a ≠时，它是一元二次方程；当0a =，0b ≠时，它是一元一次方程。

3．一元二次方程的解法有四种:直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法。

4．一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 的根的判别式△= 。当△＞0时，方程 实数根；当△=0时，方程 实数根；当△＜0时，方程 实数根。

5．判别式性质的应用

(1)不解方程判断方程根的情况；

(2)求方程中字母系数的值、范围或者相互关系。

6. 一元二次方程根与系数的关系:若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .

7.一元二次方程常与分式、根式、一元一次不等式(组)、函数等知识相联系，解决综合性问题。

基础练习:

1．方程3(1)0x x +=的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .

2．关于x 的一元二次方程1(3)(1)30n n x

n x n +++-+=中，则一次项系数是 . 3．一元二次方程2230x x --=的根是 .

4．某地2021年外贸收入为2.5亿元，2021年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率

为x ，则可以列出方程为 .

5. 关于x 的一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，则实数p =( )

A ．4

B ．0或2

C ．1

D ．1- 6．一元二次方程2210x x --=的根的情况为( )

Ａ．有两个相等的实数根

Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根

7. 若方程kx 2－6x ＋1＝0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 .

8．设x 1、x 2是方程3x 2＋4x －5＝0的两根,则=+2

111x x 9．关于x 的方程2x 2＋(m 2－9)x ＋m ＋1＝0，当m ＝ 时，两根互为倒数；

当m ＝ 时，两根互为相反数.

10．若x 1 =23-是二次方程x 2＋ax ＋1＝0的一个根,则a ＝ ，该方程的另一个根x 2 = .

三、典例剖析:

例1．解方程:(1))4(5)4(2+=+x x ； (2)x x 4)1(2

=+； (3)31022=-x x .

(4)2

2)21(16)3(9x x -=+； (5) 用配方法解方程2x 2+7x +3=0。

例2． 已知一元二次方程

0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值.

例3. 当k 为何值时，方程2610x x k -+-=，(1)两根相等；(2)有一根为0；(3)两根为倒数.

例4. 关于x 的方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足

例 5. 已知ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC 的三边，其中ａ＝1，ｃ＝4，且关于x 的方程042=+-b x x 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状。

例6.已知关于x 的函数2

1y ax x =++(a 为常数)(1)若函数的图象与x 轴恰有一个交点，求a 的值； (2)若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x 轴上方，求a 的取值范围．

四、课后练习:

1．方程 (5x －2) (x －7)＝9 (x －7)的解是_________.

2． 如果非零实数a 、b 、c 满足a +b +c =0，则关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0必有一根为

3.下列方程中是一元二次方程的有 (填序号)

①9 x 2=7 x ②32y =8 ③ 3y (y -1)=y (3y +1) ④ x 2-2y +6=0⑤ 2( x 2+1)=10

⑥ 24x

-x -1=0 4.菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程01272=+-x x 的一个根，则菱形

ABCD 的周长为 .

5.当c __________时，关于x 的方程2

280x x c ++=有实数根．

6.已知一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B =90°，那么关于x 的方程

3x O y 22(1)2(1)0a x cx b x --++=的根的情况为 ( )

A ．有两个相等的实数根

B ．有两个不相等的实数根

C ．没有实数根

D ．无法确定

7．已知关于x 的方程

()034122=+--m x m x 有两个不相等的实根，那么m 的最大整数是( )

A ．2

B ．-1

C ．0

D ．1 8.如果关于x 的方程0222=-

-k x x 没有实数根，那么k 的最大整数值是 。 9．一元二次方程230x mx ++=的一个根为1-，则另一个根为 ．

10.已知1O ⊙和2O ⊙的半径分别是一元二次方程()()120x x --=的两根，且421=O O ，则1O ⊙和2O ⊙的位置关系是 ．

11.若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是

12. 用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为( )

A ．()216x +=

B ．()216x -=

C ．()229x +=

D ．()229x -=

13．函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示, 那么关于x 的方程ax 2＋bx ＋

c －2=0的根的情况是( )

A ．有两个不相等的实数根

B ．有两个异号实数根

C ．有两个相等实数根

D ．无实数根

14．设⊙O 的半径为2，圆心O 到直线l 的距离OP ＝m ，且m 使得关于x 的方程012222=-+-m x x 有实数根，则直线l 与⊙O 的位置关系为

15. 关于x 的一元二次方程()220x mx m -+-=的根的情况是( )

A ．有两个不相等的实数根

B ．有两个相等的实数根

C ．没有实数根

D ．无法确定

16. 两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程0342

=+-x x 的两个根，则两圆的位置关系是 。

17．若n (0n ≠)是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m +n 的值为