人教版初中数学《三角函数》竞赛专题精讲与训练

第7章三角函数

§7．1锐角三角函数

7．1．1★比较下列各组三角函数值的大小：

（1）sin19︒与cos70︒；

（2）cot65︒与cos40︒；

（3）cos1︒，tan46︒，sin88︒和cot38︒．

解析（1）利用互余角的三角函数关系式，将cos70︒化sin20︒，再与sin19︒比大小．

因为()

cos70cos9020sin20

︒=︒-︒=︒，而

sin19sin20

︒<︒，

所以sin19cos70

︒<︒．

（2）余切函数与余弦函数无法化为同名函数，但是可以利用某些特殊的三角函数值，间接比较它们

的大小．cot60cos45

︒<︒=，再将cot65︒，cos40︒分别与cot60︒，cos45︒比大小．

因为

cot65cot60

︒<︒=，cos40cos45

︒>︒>，

所以cot60cos45

︒<︒，

所以cot65cos40

︒<︒．

（3）tan451

︒=，显然cos1︒，sin88︒均小于1，而tan46︒，cot38︒均大于1．再分别比较cos1︒与sin88︒，以及tan46︒与cot38︒的大小即可．

因为()

cos38cot9052tan52

︒=︒-︒=︒，所以

tan52tan46tan451

︒>︒>︒=．

因为()

cos1cos9089sin89

︒=︒-︒=︒，

所以sin88sin891

︒<︒<，

所以cot38tan46cos1sin88

︒>︒>︒>︒．

评注比较三角函数值的大小，一般分为三种类型：

（1）同名的两个锐角三角函数值，可直接利用三角函数值随角变化的规律，通过比较角的大小来确定三角函数值的大小．

（2）互为余函数的两锐角三角函数值，可利用互余角的三角函数关系式化为同名三角函数，比较其大小．

（3）不能化为同名的两个三角函数，可通过与某

些“标准量”比大小，间接判断它们的大小关系，常选择的标准量有：0，1以及其他一些特殊角如30︒，45︒，60︒的三角函数值．

7．1．2 ★化简求值：

（1）tan1tan2tan3tan89

︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒；

（2sin83︒；

（3）

22

22

tan sin

tan sin

αα

αα

⋅

-

；

（4cos79sin79

︒-︒；

（5）若tan 3α=求2sin sin 13sin cos αα

αα

-+的值．

解析（1）

原式=tan1tan2tan3tan44tan45cot 44cot 43cot3cot 2cot1︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒⋅︒⋅︒

()()()tan1cot1tan 2cot 2tan 44cot 44tan 45=︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅

⋅︒⋅︒⋅︒

1111=⋅⋅⋅=．

（2

）原式1

cos7cos71cos7=︒=⋅︒=︒

． （3）原式()224422422

22sin sin sin sin cos 1sin sin sin 1cos sin cos α

αααααααααα

⋅====--． （4）原式

sin11cos11sin11cos11sin11cos110︒-︒=︒-︒-︒-︒=．

（5）原式222

2

sin cos sin sin cos sin 13sin cos sin cos 3sin cos αααααα

αααααα

--==+++ 2222tan tan 336

tan 13tan 313319αααα--===-

++++⨯． 评注 同角三角函数关系式以及互余两角三角函数关系式，在三角式变形、化简、求值及证明中是重要的依据．

7．1．3★试证明在锐角三角形中，任何一个角的正弦大于其他两个角的余弦． 解析 在锐角三角形里，显然有90A B ∠+∠=︒，所以有9090A B ︒>∠>︒-∠．

由于在0︒~90︒范围内，当A ∠增加时，其正弦值是增加的，于是我们知道()sin sin 90cos A B B >︒-=． 同理可以证明其他的五组．

7．1．4★下列四个数中哪个最大： A ．tan48cot 48︒+︒ B ．sin48cos48︒+︒ C ．tan48cos48︒+︒ D ．cot 48sin48︒+︒ 解析 显然0sin481<︒<，0cos481<︒<0

sin 48sin 48tan 48cos48︒

︒<=︒︒

，

cos48cos48cot 48sin 48︒

︒<

=︒︒

所以A 最大．

7．1．5★设x 为锐角，且满足sin 3cos x x =，求sin cos x x ． 解析

我们将sin 3cos x x =代入22sin cos 1x x +=，得到210cos 1x =，并且

x 是锐角，因此cos x

所以sin x =

因此3

sin cos 10

x x =

． 7．1．6★★在ABC △中，3C A ∠=∠，27BC =，48AB =．证明：2A ∠是锐角，并计算cos2A 的值． 解析 若290A ∠︒≥，则45A ∠︒≥，3135C A ∠=∠︒≥，于是180A B C ∠+∠+∠>︒，矛盾．

为计算cos2A ，必须构造出一个以2A ∠为其一锐角的直角三角形．如图，过C 作CD 交AB 于D ，使