清华大学2019年自主招生数学试题(含详细解析)

1清华大学自主招生数学试题

2019.06

1.一个四面体棱长分别为6，6，6，6，6，9，求外接球的半径.

2.求值：1221(1sin )x x dx --⎰.

3.已知P 为单位圆上一动点，(0,2)A ，(0,1)B -，求2||||AP BP ⨯的最大值.

4.AB 为圆O 的直径，CO AB ⊥，M 为AC 中点，CH MB ⊥，则下列选项正确的是（

）

A.2AM OH =

B.2AH OH =

C.△BOH ∽△BMA

D.忘记5.{1,2,3,,15}A =⋅⋅⋅，{1,2,3,4,5}B =，f 是A 到B 的映射，若满足()()f x f y =，则称有序对(,)x y 为“好对”，求“好对”的个数最小值.

6.若对c ∀∈R ，,a b ∃，使得

()()()f a f b f c a b -=-成立，则称函数()f x 满足性质T ，下列函数不满足性质T 的是（

）A.32()33f x x x x =-+ B.21

()1f x x =

+ C.1()x f x e += D.()sin(21)f x x =+7.已知||||1a b == ，12

a b ⋅= ，()()0c a c b --= ，若||1d c -= ，求||d 的最大值.8.椭圆22162

x y +=，过(2,0)F 的直线交椭圆于A 、B 两点，点C 在直线3x =上，若△ABC 为正三角形，求△ABC 的面积.

9.圆224x y +=上一点00(,)x y 处的切线交抛物线28y x =于A 、B 两点，且满足

90AOB ∠=︒，其中O 为坐标原点，求0x .

10.设a 为44444444各位数字和，b 是a 的各位数字之和，c 为b 的各位数字之和，求c 的值.

11.实数x 、y 满足22(2)1x y +-≤

的最大值和最小值

.

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