大学高等数学经典课件12-5
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大学课程《高等数学》PPT课件：1-5 极限运算法则
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求: 解:
说明: 若分母为零时 不能直接用商的运算法则 . 例4.
x = 4 时分母为 0 ! = lim (x 4)( x 5 3) 6
x4
x4
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解: 分子分母同除以 则 原式
=0
“ 抓大头”
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lim
x
a0 xm b0 x n
a1x m1 b1x n1
am bn
为非负常数 )
( 如 P28 例7 )
( 如 P28 例5 )
( 如 P28 例6 )
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三、 复合函数的极限运算法则
定理7. 设
是由函数
复合而成的函数， 有定义，若
o
x U (x0,0 ) 时，有
的某去心邻域内 且存在
则
在定理7中，把
当
x x0
时, 有
M
取 min1 , 2 , 则当 x U (x0 , ) 时 , 就有
u
u
M
M
故
即是
时的无穷小 .
推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .
推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
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解:
lim 1 0 x x
利用定理 2 可知
说明 : y = 0 是
的渐近线 .
y sin x x
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定理 3 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B ,则有
证: 因 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
f (x) A , g(x) B (其中 , 为无穷小) 于是 f ( x) g ( x) ( A ) (B )
《高等数学》PPT课件
因dyx, 故有 dx y
fxfyxy 0
记
f x f y Байду номын сангаас
x y
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极值点必满足 引入辅助函数 则极值点满足:
fxx0
fyy0 (x,y)0
F f ( x , y ) ( x , y )
F x fx x 0
F y fyy 0
F 0
辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.利用拉格
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .
但驻点不一定是极值点.
例如, zxy有驻点( 0, 0 ),但在该点不取极值.
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推广 如果三元函数u f ( x, y, z)在点 P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在 P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条
所 以 z f ( 1 , 1 ) 2 为 极 小 值 ；
当 z2 6 时 ， A 1 4 0 ,
所 以 z f ( 1 , 1 ) 6 为 极 大 值 .
例3. 讨论函 数
zx3y3及 z(x2y2)2在点(0,0)
是否取得极值.
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点并,且在 (0,0) 都有
A<0 时取极大值;
则: 1) A C B 20时, 具有极值
当
A>0 时取极小值.
2) 当 A C B 20时, 没有极值.
3) 当 A C B 20时, 不能确定 , 需另行讨论.
证明见 第九节(P65) .
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求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：
高等数学-第七版-课件-12-1 级数的收敛性
则结果是1. 两个结果的不同向我们提出了两个基本 问题:“无限个数相加”是否存在“和”; 如果存在, “和”等于什么? 由此可见,“无限个数相加”不能
简单地与有限个数相加作简单的类比,需要建立新 的理论.
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§1 级数的收敛性
级数的收敛性
定义1
给定一个数列{un}, 将其各项依次用“+”号连接 起来的表达式 u1 u2 un (1) 称为常数项级数或数项级数(常简称级数),其中 un 称为数项级数(1)的通项或一般项. 数项级数(1)也 常记为
n
(iii) 当 q 1 时, Sn na, 级数发散. 当q 1 时,
S2 k 0, S2 k 1 a , k 0, 1, 2,, 级数发散.
1aq 时n , 级数 q 1 时, 级 综合起来得到 a aq aq2: q (3)收敛; (3) 数(3)发散.
k
k
注 从级数加括号后的收敛,不能推断它在未加括号 时也收敛. 例如
(1 1) (1 1) (1 1) 0 0 0 0,
收敛, 但级数 1 1 1 1
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
却是发散的.
§1 级数的收敛性
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§1 级数的收敛性
级数的收敛性
为此令 p = m, 则有
um 1 um 2 u2 m
1 1 1 m 1 m 2 2m
1 1 1 1 , 2m 2m 2m 2
1 故取 0 , 对任何正整数 N 只要 m > N 和 p = m 2 1 因此调和级数 发散. 就有(7)式成立， n 1 n
高数课件PPT
算。
插值法的概念与应用
概念
插值法是一种数学方法，通过已知的 离散数据点，构造一个多项式函数， 使得该函数在已知数据点上的取值与 实际值相等。
应用
插值法在数学、物理、工程等领域有 广泛应用，如数据拟合、数值积分、 微分、求解方程等。
拉格朗日插值法与牛顿插值法
拉格朗日插值法
拉格朗日插值法是一种基于拉格朗日多项式的插值方 法，通过构造一个拉格朗日多项式来逼近已知数据点 。该方法具有较好的数值稳定性和收敛性。
两个向量的点积等于它 们的模的乘积和它们夹 角的余弦值的乘积。
两个向量的叉积是一个 向量，其方向垂直于作 为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个 向量构成的平行四边形 的面积。
三个向量的混合积等于 它们构成的平行六面体 的体积。
两个向量的数量积等于 它们的模的乘积和它们 夹角的余弦值。
空间直角坐标系与向量的表示
详细描述
极限的运算规则包括极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则等。这些规则能够帮助我们简化 极限的计算过程，提高计算的准确性和效率。在进行极限运算时，需要注意一些常见的错误，例如无 穷大与无穷小的混淆、未定式的误解等。
03
导数与微分
导数的定义与性质
导数的定义
01
导数描述了函数在某一点的斜率，即函数值随自变量变化的速
率。
单侧导数
02
在函数定义域的某一点，可以定义左侧或右侧的导数，表示函
数在该点的切线斜率。
导数的几何意义
03
导数在几何上表示函数图像在该点的切线斜率。
导数的运算规则
链式法则
对于复合函数的导数，链式法则是重要的运算规则，表示对复合 函数的内部函数求导后再乘以外部函数的导数。
插值法的概念与应用
概念
插值法是一种数学方法，通过已知的 离散数据点，构造一个多项式函数， 使得该函数在已知数据点上的取值与 实际值相等。
应用
插值法在数学、物理、工程等领域有 广泛应用，如数据拟合、数值积分、 微分、求解方程等。
拉格朗日插值法与牛顿插值法
拉格朗日插值法
拉格朗日插值法是一种基于拉格朗日多项式的插值方 法，通过构造一个拉格朗日多项式来逼近已知数据点 。该方法具有较好的数值稳定性和收敛性。
两个向量的点积等于它 们的模的乘积和它们夹 角的余弦值的乘积。
两个向量的叉积是一个 向量，其方向垂直于作 为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个 向量构成的平行四边形 的面积。
三个向量的混合积等于 它们构成的平行六面体 的体积。
两个向量的数量积等于 它们的模的乘积和它们 夹角的余弦值。
空间直角坐标系与向量的表示
详细描述
极限的运算规则包括极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则等。这些规则能够帮助我们简化 极限的计算过程，提高计算的准确性和效率。在进行极限运算时，需要注意一些常见的错误，例如无 穷大与无穷小的混淆、未定式的误解等。
03
导数与微分
导数的定义与性质
导数的定义
01
导数描述了函数在某一点的斜率，即函数值随自变量变化的速
率。
单侧导数
02
在函数定义域的某一点，可以定义左侧或右侧的导数，表示函
数在该点的切线斜率。
导数的几何意义
03
导数在几何上表示函数图像在该点的切线斜率。
导数的运算规则
链式法则
对于复合函数的导数，链式法则是重要的运算规则，表示对复合 函数的内部函数求导后再乘以外部函数的导数。
高等数学课件--第十二章 微分方程12-4 一阶线性微分方程
2
解 n 2,令
则原方程化为
z y
1 n
1 y
,
dz dx
z (cos x sin x ),
所以
1 y
2
dx dx z e (sin x cos x )e dx C
e [ (sin x cos x ) e
x
代入原方程 ，得 yf ( v ) dx g ( v )( dv ydx ) 0 ,
P ( x ) dx
P ( x ) dx
y u( x )e
u( x )[ P ( x )]e
,
将 y 和 y 代入原方程得
u ( x )e
P ( x ) dx
Q ( x ),
积分得 u( x ) Q( x )e
P ( x ) dx
dx C ,
0
x
ydx x y ,
y f (x)
P
两边求导得 y y 3 x 2 ,
o
x
x
解此微分方程
y y 3 x
y e
dx
2
C
3x e
2
dx
dx
Ce
x
3 x 6 x 6,
2
由 y |x0 0, 得 C 6,
yf ( x ) dx [ 2 xf ( x ) x ]dy 在右半平面
2
( x 0 )内与路径无关
, 其中 f ( x ) 可导 , 且 f ( 1 ) 1 , 求 f ( x ).
[解答]
4 求下列伯努利方程的通
解 n 2,令
则原方程化为
z y
1 n
1 y
,
dz dx
z (cos x sin x ),
所以
1 y
2
dx dx z e (sin x cos x )e dx C
e [ (sin x cos x ) e
x
代入原方程 ，得 yf ( v ) dx g ( v )( dv ydx ) 0 ,
P ( x ) dx
P ( x ) dx
y u( x )e
u( x )[ P ( x )]e
,
将 y 和 y 代入原方程得
u ( x )e
P ( x ) dx
Q ( x ),
积分得 u( x ) Q( x )e
P ( x ) dx
dx C ,
0
x
ydx x y ,
y f (x)
P
两边求导得 y y 3 x 2 ,
o
x
x
解此微分方程
y y 3 x
y e
dx
2
C
3x e
2
dx
dx
Ce
x
3 x 6 x 6,
2
由 y |x0 0, 得 C 6,
yf ( x ) dx [ 2 xf ( x ) x ]dy 在右半平面
2
( x 0 )内与路径无关
, 其中 f ( x ) 可导 , 且 f ( 1 ) 1 , 求 f ( x ).
[解答]
4 求下列伯努利方程的通
同济大学高数PPT课件
一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .
马克思
要辨证而又唯物地了解自然 ,
就必须熟悉数学.
恩格斯
2. 学数学最好的方式是做数学.
聪明在于学习 , 天才在于积累 .
学而优则用 , 学而优则创 .
华罗庚 CHENLI 由薄到厚 , 由厚到薄 .
3
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引言
一、什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
恩格斯
CHENLI
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 ,
有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了,而它们也就立刻产生.
1
笛卡儿 目录 上页 下页 返回 结束
主要内容
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册)
多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
CHENLI
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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二、如何学习高等数学 ?
1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.
高等数学课件完整版详细.ppt
一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
如图, 求 t0时刻的瞬时速度,
取一邻近于t
的时刻
0
t
,
运动时间
t
,
平均速度 v
s t
s s0 t t0
g 2 (t0
t).
当 t t0时, 取极限得
瞬时速度 v lim g(t0 t)
tt0
2
gt0 .
t0
t t
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
x
x
y lim y .
x0 x
例1 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
解
f ( x) lim h0
f ( x h) h
f ( x) lim C h0
C h
0.
即 (C ) 0.
例2 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
x0
x
lim ( x0 x0
x) ( x0 )
x
f( x0 ) 存在,
且 f( x0 ) f( x0 ) a,
则 f ( x)在点 x0可导，
且 f ( x0 ) a.
三、由定义求导数
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 (3) 求极限
y f ( x x) f ( x);
a x ln a.
即 (a x ) a x ln a.
(e x ) e x .
例5 求函数 y log a x(a 0, a 1)的导数.
解 y lim loga ( x h) loga x
1.自由落体运动的瞬时速度问题
如图, 求 t0时刻的瞬时速度,
取一邻近于t
的时刻
0
t
,
运动时间
t
,
平均速度 v
s t
s s0 t t0
g 2 (t0
t).
当 t t0时, 取极限得
瞬时速度 v lim g(t0 t)
tt0
2
gt0 .
t0
t t
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
x
x
y lim y .
x0 x
例1 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
解
f ( x) lim h0
f ( x h) h
f ( x) lim C h0
C h
0.
即 (C ) 0.
例2 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
x0
x
lim ( x0 x0
x) ( x0 )
x
f( x0 ) 存在,
且 f( x0 ) f( x0 ) a,
则 f ( x)在点 x0可导，
且 f ( x0 ) a.
三、由定义求导数
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 (3) 求极限
y f ( x x) f ( x);
a x ln a.
即 (a x ) a x ln a.
(e x ) e x .
例5 求函数 y log a x(a 0, a 1)的导数.
解 y lim loga ( x h) loga x
大学课件高等数学微分方程
rx
将 y , y , y 代入微分方程中, 得
r 3r 2 0
2
( r 2 )( r 1 ) 0
r1 2 , r2 1
得两个解 y1 e 2 x , y 2 e x .
15
微分方程的基本概念
最后,看一个相反的问题
例 求含有两个任意常数C1, C2的曲线族
一般的n阶微分方程为
, , y ( n ) ) 0 , F ( x, y, y
已解出最高阶导数的微分方程 今后讨论
y
(n)
f ( x , y , y , , y
( n 1 )
).
y f ( x, y ) 一阶 几何意义 是过定点的积分曲线; y x x0 y 0 y f ( x , y , y ) 二阶 y x x0 y 0 , y x x0 y 0
微分方程的基本概念
问题的提出 基本概念
(differential equation)
小结
思考题
作业
第十二章
微分方程
4
微分方程的基本概念
一、问题的提出
例 一曲线通过点 (1 , 2 ), 且在该曲线上任一点
M ( x , y ) 处的切线的斜率为 2 x , 求这曲线的方程.
解 设所求曲线为 y y ( x )
第十二章
微分方程
2
本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几 种常用的微分方程的解法,讨论如下几个问题: 1. 微分方程的基本概念; 2. 一阶微分方程; 3. 几种可积的高阶微分方程; 4. 线性微分方程及其通解的结构; 5. 常系数齐次线性方程;
6. 常系数非齐次线性方程.
将 y , y , y 代入微分方程中, 得
r 3r 2 0
2
( r 2 )( r 1 ) 0
r1 2 , r2 1
得两个解 y1 e 2 x , y 2 e x .
15
微分方程的基本概念
最后,看一个相反的问题
例 求含有两个任意常数C1, C2的曲线族
一般的n阶微分方程为
, , y ( n ) ) 0 , F ( x, y, y
已解出最高阶导数的微分方程 今后讨论
y
(n)
f ( x , y , y , , y
( n 1 )
).
y f ( x, y ) 一阶 几何意义 是过定点的积分曲线; y x x0 y 0 y f ( x , y , y ) 二阶 y x x0 y 0 , y x x0 y 0
微分方程的基本概念
问题的提出 基本概念
(differential equation)
小结
思考题
作业
第十二章
微分方程
4
微分方程的基本概念
一、问题的提出
例 一曲线通过点 (1 , 2 ), 且在该曲线上任一点
M ( x , y ) 处的切线的斜率为 2 x , 求这曲线的方程.
解 设所求曲线为 y y ( x )
第十二章
微分方程
2
本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几 种常用的微分方程的解法,讨论如下几个问题: 1. 微分方程的基本概念; 2. 一阶微分方程; 3. 几种可积的高阶微分方程; 4. 线性微分方程及其通解的结构; 5. 常系数齐次线性方程;
6. 常系数非齐次线性方程.