绝对值不等式的证明与应用优秀课件
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高中数学高考第1节 绝对值不等式 课件
两招解不等式问题中的含参问题
自
主 回
(1)问题转化
课
顾
①把存在性问题转化为求最值问题，即 f(x)＞a 有解⇔f(x)max＞a.
后 限
②不等式的解集为 R 是指不等式的恒成立问题；
时 集
课
训
堂 考
③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问
点
探 究
题都可转化为最值问题，即 f(x)＜a 恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a 恒成
课
.
后
限
2 [由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6.
时 集
训
∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.]
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15
4．不等式|x＋1|－|x－2|≥1 的解集是
．
课
前
自 主 回 顾
{x|x≥1}
－3，x≤－1，
[令 f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝2x－1，－1＜x＜2， 3，x≥2.
当课 后 限
时
课 －1＜x＜2 时，
集 训
堂
考 点
由 2x－1≥1，解得 1≤x＜2.又当 x≥2 时，f(x)＝3＞1 恒成立．所
探
究 以不等式的解集为{x|x≥1}．]
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16
课
前
自 主 回
课堂考点探究
课
顾
后
限
时
集
课
训
堂
考
点
探
究
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17
课
前 自
考点 1 绝对值不等式的常用解法
主
回
解绝对值不等式的常用方法
前
自
主 回
绝对值不等式的证明及应用
绝对值不等式的证明及应用一、绝对值有关性质回顾：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②ab a b =,aa b b= (0)b ≠ ③22a a =④0a ≥ ⑤a a a -≤≤⑥x a a x a ≤⇔-≤≤ x a x a a ≥⇔≥≤-或 二、绝对值不等式：定理：绝对值三角不等式：a b a b a b-≤±≤+.(代数形式)a b a b a b -≤±≤+(向量形式)几何解释:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.(0b a b ab +≤+≥取等号） 证明:方法一：()22+a b a b +≤, 2222+22a ab b a ab b +≤++, 22ab ab ≤,而22ab ab ≤显然成立,∴(0a b a b ab +≤+≥取等号）||||||a b a b +=====+||||||a b a b +===<==+方法二：（选修4-5证法） 当ab ≥0时, ||,ab ab =||,ab ab =-当ab ＜0时综上，a b a b +≤+ 0ab ≥当时，取等号， 方法三：（原人教版教材证法） ∵a a a -≤≤ ① b b b -≤≤ ②①+②：()a b a b a b -+≤+≤+， 逆用性质x a ≤得：a b a b +≤+推论1：123123.......n a a a a a a a +++≤++ ，当123,,,......n a a a a 都非正或都非负时。
a b a b -≤+.证明:方法一:当0a b -<时显然成立,当0a b -≥时，两边平方,()22a b a b-≤+, 222222a ab b a ab b -+≤++, 22ab ab -≤,而22ab ab -≤显然成立,∴a b a b -≤+,(当0ab <时取等号). 方法二:直接利用定理1a ab b a b b a b b =+-≤++-=++.当()()0a b b +-≥时,取等号.即()00a b b ab +≤⇒≤,取等号. 合在一起得:a b a b a b -≤+≤+.(当0ab ≤时左边取等号,当0ab ≥时右边取等号)(当0ab ≥时左边取等号, 当0ab ≤时左边取等号)证明:只需利用已有结论把a b a b a b -≤+≤+中的b 用b -代替即得到定理3.b ac b c -≤-+-证明：a b a c c b a c c b a c b c-=-+-≤-+-=-+-，（当()()0a c c b --≥时，取等号）几何解释：设A ，B ，C 为数轴上的3个点，分别表示数a ，b ，c ，则线段.CB AC AB +≤当且仅当C 在A ，B 之间时，等号成立。
高三一轮复习课件绝对值不等式的解法(共16张PPT)
高三一轮复习
谢 谢观 看
人生从来没有真正的绝境。无论遭受多少艰辛，无论经历多少苦难，心中都要怀着一粒信念的种子，有什么样的眼界和胸襟，就看到什么样的风景。你的心有多宽，你的舞台就有多大；你的格 局有多大，你的心就能有多宽。我很平凡，却不简单，只要我想要，就会通过自己的努力去得到。羡慕别人不如自己拥有，现在的努力奋斗成就未来的自己。人生要学会储蓄。你若耕耘，就储 存了一次丰收；你若努力，就储存了一个希望；你若微笑，就储存了一份快乐。你能支取什么，取决于你储蓄了什么。没有储存友谊，就无法支取帮助；没有储存学识，就无法支取能力；没有 储存汗水，就无法支取成长。想要取之不尽的幸福，要储蓄感恩和付出。人生之路并非只有坦途，也有不少崎岖与坎坷，甚至会有一时难以跨越的沟坎儿。在这样的紧要关头我们只有一种选择： 再向前跨出一步!尽管可能非常艰难，但请相信：只要坚持下去，你的人生会无比绚丽！弯得下腰，才抬得起头。在人生路上，不是所有的门都很宽阔，有的门需要你弯腰侧身才进得去。所以， 必要时要能够弯得下自己的腰，才可能在人生路上畅通无阻。跟着理智走，要有勇气;跟着感觉走，就要有倾其所有的决心。从不曾放弃追求，从不愿放弃自己的所有，一路走下来，路过太多的 风景，领略太多的是是非非，才渐渐明白，人活着不只为了自己，而活着，却要活出自己你不会的东西，觉得难的东西，一定不要躲。先搞明白，后精湛，你就比别人优秀了。因为大部分人都 不舍得花力气去钻研，自动淘汰，所以你执着的努力，就占了大便宜。女生年轻时的奋斗不是为了嫁个好人，而是为了让自己找一份好工作，有一个在哪里都饿不死的一技之长，有一份不错的 收入。因为：只有当你经济独立了，才能做到说走就走，才能灵魂独立，才能有资本选择自己想要伴侣和生活。成功没有快车道，幸福没有高速路，一份耕耘一份收获，所有的成功都来自不倦 的努力和奔跑，所有幸福都来自平凡的奋斗和坚持。也许你要早上七点起床，晚上十二点睡觉，日复一日，踽踽独行。但只要笃定而动情地活着，即使生不逢时，你人生最坏的结果，也只是大 器晚成。无论遇到什么困难，受到什么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！无论遇到什么困难，受到什 么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！行动力，是我们对平庸生活最好的回击。人与人之所以拉开距离， 就在于行动力。不行动，梦想就只是好高骛远；不执行，目标就只是海市蜃楼。想做一件事，最好的开始就是现在。每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄 悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持 着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！自己丰富才能感知世界丰富，自己善良才能感知社会美好，自己坦荡才能感受生活喜悦，自己成功才能感悟生命壮观！前进的理由只要一个，后 退的理由却有一百个。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发，是什么让你坚持到 现在，勿忘初心。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发，是什么让你坚持到现在， 勿忘初心。人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的，上天会还你，善良，终有 好报；坚持，必有收获！人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的，上天会还你， 善良，终有好报；坚持，必有收获！不要凡事都依靠别人。在这个世界上，最能让你依靠的人是自己，最能拯救你的人也只能是自己。要想事情改变，首先要改变自己。只有改变自己，才会最 终改变别人。有位哲人说得好：如果你不能成为大道，那就当一条小路；如果你不能成为太阳，那就当一颗星星。生活有一百种过法，别人的故事再好，始终容不下你。活成什么样子，自己决 定。不要羡慕别人，你有更好的，只是你还不知道。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没放弃，比我
谢 谢观 看
人生从来没有真正的绝境。无论遭受多少艰辛，无论经历多少苦难，心中都要怀着一粒信念的种子，有什么样的眼界和胸襟，就看到什么样的风景。你的心有多宽，你的舞台就有多大；你的格 局有多大，你的心就能有多宽。我很平凡，却不简单，只要我想要，就会通过自己的努力去得到。羡慕别人不如自己拥有，现在的努力奋斗成就未来的自己。人生要学会储蓄。你若耕耘，就储 存了一次丰收；你若努力，就储存了一个希望；你若微笑，就储存了一份快乐。你能支取什么，取决于你储蓄了什么。没有储存友谊，就无法支取帮助；没有储存学识，就无法支取能力；没有 储存汗水，就无法支取成长。想要取之不尽的幸福，要储蓄感恩和付出。人生之路并非只有坦途，也有不少崎岖与坎坷，甚至会有一时难以跨越的沟坎儿。在这样的紧要关头我们只有一种选择： 再向前跨出一步!尽管可能非常艰难，但请相信：只要坚持下去，你的人生会无比绚丽！弯得下腰，才抬得起头。在人生路上，不是所有的门都很宽阔，有的门需要你弯腰侧身才进得去。所以， 必要时要能够弯得下自己的腰，才可能在人生路上畅通无阻。跟着理智走，要有勇气;跟着感觉走，就要有倾其所有的决心。从不曾放弃追求，从不愿放弃自己的所有，一路走下来，路过太多的 风景，领略太多的是是非非，才渐渐明白，人活着不只为了自己，而活着，却要活出自己你不会的东西，觉得难的东西，一定不要躲。先搞明白，后精湛，你就比别人优秀了。因为大部分人都 不舍得花力气去钻研，自动淘汰，所以你执着的努力，就占了大便宜。女生年轻时的奋斗不是为了嫁个好人，而是为了让自己找一份好工作，有一个在哪里都饿不死的一技之长，有一份不错的 收入。因为：只有当你经济独立了，才能做到说走就走，才能灵魂独立，才能有资本选择自己想要伴侣和生活。成功没有快车道，幸福没有高速路，一份耕耘一份收获，所有的成功都来自不倦 的努力和奔跑，所有幸福都来自平凡的奋斗和坚持。也许你要早上七点起床，晚上十二点睡觉，日复一日，踽踽独行。但只要笃定而动情地活着，即使生不逢时，你人生最坏的结果，也只是大 器晚成。无论遇到什么困难，受到什么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！无论遇到什么困难，受到什 么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！行动力，是我们对平庸生活最好的回击。人与人之所以拉开距离， 就在于行动力。不行动，梦想就只是好高骛远；不执行，目标就只是海市蜃楼。想做一件事，最好的开始就是现在。每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄 悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持 着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！自己丰富才能感知世界丰富，自己善良才能感知社会美好，自己坦荡才能感受生活喜悦，自己成功才能感悟生命壮观！前进的理由只要一个，后 退的理由却有一百个。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发，是什么让你坚持到 现在，勿忘初心。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发，是什么让你坚持到现在， 勿忘初心。人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的，上天会还你，善良，终有 好报；坚持，必有收获！人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的，上天会还你， 善良，终有好报；坚持，必有收获！不要凡事都依靠别人。在这个世界上，最能让你依靠的人是自己，最能拯救你的人也只能是自己。要想事情改变，首先要改变自己。只有改变自己，才会最 终改变别人。有位哲人说得好：如果你不能成为大道，那就当一条小路；如果你不能成为太阳，那就当一颗星星。生活有一百种过法，别人的故事再好，始终容不下你。活成什么样子，自己决 定。不要羡慕别人，你有更好的，只是你还不知道。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没放弃，比我
人教版数学七年级下册第九章《不等式和绝对值不等式》优质课课件
=
(x
1)( x
1)(2 x 2
2x
1)
=
(x
1) 2
2( x
1 )2 2
1 2
0
∴A>B
例.求证：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd。 证明：因为a>b>0, c>d>0， 由不等式的基本性质（3）可得ac>bc, bc>bd， 再由不等式的传递性可得ac>bc>bd
例. 已知a>b>0，c>d>0，求证： a b
3⑴已知 0 x 3 ,求函数 y x(3 2x) 的最大值.
2
⑵求函数 y 2x2 (x 3) 的最小值. x3
⑶求函数 y x2 3 的最小值. x2 2
解: ⑶∵ y x2 3 x2 2 1 x2 2 1
x2 2 x2 2
x2 2
又∵ x2 2 ≥2 ,又∵函数 y t 1 在 t [1, ) 时是增函数.
1．⑴已知 0 x 3 ,求函数 y x(3 2x) 的最大值.
2
⑵求函数 y 2x2 (x 3) 的最小值.⑶求函数 y x2 3 的最小值.
x3
x2 2
解⑴(重要不等式法)∵ 0 x 3 ,∴ x 0且3 2x 0, 2
∴ x(3 2x) = 1 2x(3 2x) ≤ 1 2x 3 2x = 3 2
t
∴当 x 0 时,函数 y x2 2 1 取得最小值 3 2 .
x2 2
2
3⑶求函数 y x2 3 的最小值. x2 2
4
例.某居民小区要建一个八边形的休闲场所,它的主体造 型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为
高中数学课件第一节 绝对值不等式
数学
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第一节
绝对值不等式
结束
3．如果关于 x 的不等式|x－3|－|x－4|<a 的解集不是空集，求 实数 a 的取值范围．
解：注意到||x－3|－|x－4||≤|(x－3)－(x－4)|＝1，－1≤|x－ 3|－|x－4|≤1.若不等式|x－3|－|x－4|<a 的解集是空集， 则有 |x－3|－|x－4|≥a 对任意的 x∈R 都成立， 即有(|x－3|－|x－ 4|)min≥a， a≤－1.因此， 由不等式|x－3|－|x－4|<a 的解集不 是空集可得，实数 a 的取值范围是 a>－1.
1 1 2t－1<2x<1，t－ <x< ，∴t＝0. 2 2 2．设不等式|x＋1|－|x－2|>k 的解集为 R，求实数 k 的取值范围．
[试一试]
解：法一：根据绝对值的几何意义，设数 x，－1,2 在 数轴上对应的点分别为 P，A，B，则原不等式等价于 |PA|－|PB|>k 恒成立． ∵|AB|＝3， 即|x＋1|－|x－2|≥－ 3.故当 k<－3 时，原不等式恒成立．
为数轴上两点的距离求解． 5．数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个
函数的图象，利用函数图象求解．
数学
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第一节
绝对值不等式
结束
[练一练]
1．在实数范围内，解不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6.
解：法一：分类讨论去绝对值号解不等式． 1 3 1 1 当 x> 时，原不等式转化为 4x≤6⇒x≤ ；当－ ≤x≤ 时，原 2 2 2 2 1 不等式转化为 2≤6，恒成立；当 x<－ 时，原不等式转化为－ 2
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第一节
绝对值不等式
结束
3．如果关于 x 的不等式|x－3|－|x－4|<a 的解集不是空集，求 实数 a 的取值范围．
解：注意到||x－3|－|x－4||≤|(x－3)－(x－4)|＝1，－1≤|x－ 3|－|x－4|≤1.若不等式|x－3|－|x－4|<a 的解集是空集， 则有 |x－3|－|x－4|≥a 对任意的 x∈R 都成立， 即有(|x－3|－|x－ 4|)min≥a， a≤－1.因此， 由不等式|x－3|－|x－4|<a 的解集不 是空集可得，实数 a 的取值范围是 a>－1.
1 1 2t－1<2x<1，t－ <x< ，∴t＝0. 2 2 2．设不等式|x＋1|－|x－2|>k 的解集为 R，求实数 k 的取值范围．
[试一试]
解：法一：根据绝对值的几何意义，设数 x，－1,2 在 数轴上对应的点分别为 P，A，B，则原不等式等价于 |PA|－|PB|>k 恒成立． ∵|AB|＝3， 即|x＋1|－|x－2|≥－ 3.故当 k<－3 时，原不等式恒成立．
为数轴上两点的距离求解． 5．数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个
函数的图象，利用函数图象求解．
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第一节
绝对值不等式
结束
[练一练]
1．在实数范围内，解不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6.
解：法一：分类讨论去绝对值号解不等式． 1 3 1 1 当 x> 时，原不等式转化为 4x≤6⇒x≤ ；当－ ≤x≤ 时，原 2 2 2 2 1 不等式转化为 2≤6，恒成立；当 x<－ 时，原不等式转化为－ 2
《含绝对值的不等式》课件
当含绝对值的不等式中出 现等号时，需要特殊讨论 等式的解集。
2 异常情况的处理
在解绝对值的不等式时， 可能遇到一些异常情况， 需要注意如何处理。
3 细节问题的注意
解绝对值的不等式时，需 要注意一些细节问题，以 确保求解的准确性。
练习题推荐
1 练习题1：求解|3x + 2| > 5
这个练习题可以帮助你巩固对含绝对值的不等式的解法的理解。
示例讲解
1
解法演示1：|2x - 3| < 4
通过分类讨论，我们可以解出该不等式
解法演示2：|3x + 5| ≥ 1
2
的解集。
同样通过分类讨论，可以求解得到该不
等式的解集。
3
解法演示3：|x - 2| ≤ |2x + 3|
这个示例中，我们将使用图像法来解决 含绝对值的不等式。
注意事项
1 等式的情况
图像法解绝对值不等式
我们可以将含绝对值的不等式转化为图像， 通过观察图像来求解。
常见类型
1 1. |ax + b| < c
这种类型是求解绝对值小 于某个常数的不等式，可 以通过分类讨论来解决。
2 2. |ax + b| > c
3 3. |ax + b| ≤ c
这种类型是求解绝对值大 于某个常数的不等式，也 可以通过分类讨论来解决。
2 练习题2：求解|2x - 1| ≤ 3
通过解决这个练习题，你可以进一步掌握对含绝对值的不等式的求解技巧。
3 练习题3：求解|5x + 1| = 6
这个练习题可以帮助你加深对含绝对值的等式的解法的理解和应用。
结束语
总结重点
通过本课件，你已经了解了含绝对值的不等式的概念、解法和常见类型。
2 异常情况的处理
在解绝对值的不等式时， 可能遇到一些异常情况， 需要注意如何处理。
3 细节问题的注意
解绝对值的不等式时，需 要注意一些细节问题，以 确保求解的准确性。
练习题推荐
1 练习题1：求解|3x + 2| > 5
这个练习题可以帮助你巩固对含绝对值的不等式的解法的理解。
示例讲解
1
解法演示1：|2x - 3| < 4
通过分类讨论，我们可以解出该不等式
解法演示2：|3x + 5| ≥ 1
2
的解集。
同样通过分类讨论，可以求解得到该不
等式的解集。
3
解法演示3：|x - 2| ≤ |2x + 3|
这个示例中，我们将使用图像法来解决 含绝对值的不等式。
注意事项
1 等式的情况
图像法解绝对值不等式
我们可以将含绝对值的不等式转化为图像， 通过观察图像来求解。
常见类型
1 1. |ax + b| < c
这种类型是求解绝对值小 于某个常数的不等式，可 以通过分类讨论来解决。
2 2. |ax + b| > c
3 3. |ax + b| ≤ c
这种类型是求解绝对值大 于某个常数的不等式，也 可以通过分类讨论来解决。
2 练习题2：求解|2x - 1| ≤ 3
通过解决这个练习题，你可以进一步掌握对含绝对值的不等式的求解技巧。
3 练习题3：求解|5x + 1| = 6
这个练习题可以帮助你加深对含绝对值的等式的解法的理解和应用。
结束语
总结重点
通过本课件，你已经了解了含绝对值的不等式的概念、解法和常见类型。
人教版数学七年级下册第九章《不等式的性质及绝对值不等式》优课件
方法 2：设 f(x)＝x－1＋x－2， 则 f(x)＝－1，2x1≤＋x3≤，2 x<1
2x－3，x>2 画出此函数的图象可知，f(x)≥1， ∴要使关于 x 的不等式x－1＋x－2≤a2＋a＋1 的解 集为空集，则需 a2＋a＋1<1，解得－1<a<0.
规律总结
1．运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条 件，若弱化了条件或强化了条件都可能得出错误的结论．使 用不等式性质解题时，要搞清性质成立的条件，明确各步推 理的依据，以防出现解题失误．
命题趋势
本单元的内容，是对必修5的补充和深化，预计2011年， 考查的重点一是绝对值不等式的解法；二是利用不等式的 性质求最值；三是柯西不等式和数学归纳法的应用．考查 知识面比较广，有一定的技巧．
使用建议
本单元内容是作为高考的选考内容，在考试中所占的 分值较少，但对提高同学们的逻辑思维能力、分析解决问 题的能力、数形结合的能力和抽象思维能力作用很大．为 此，在复习中建议注意以下几点：
【点评】 本例较好地体现了利用基本不等式求 最值时应充分考虑成立条件，即一正二定三等．不过 首先需由三点共线推出a、b的关系式，利用斜率公式 可得．
变 式 题 已 知 cos2α ＋ cos2β ＋ cos2γ ＝ 1 ， 则 sinαsinβsinγ 的最大值为________．
【思路】利用均值不等式求最值时，一定要注意 “一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧， 积极创造条件利用均值不等式．常用的初等变形有均 匀裂项、增减项、配系数等. 利用均值不等式还可以证 明条件不等式，关键是如何恰当地利用好条件．本题 中目标函数为积式，而cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1为隐含 的条件等式，故需创造条件使各因式之和为定值．
2x－3，x>2 画出此函数的图象可知，f(x)≥1， ∴要使关于 x 的不等式x－1＋x－2≤a2＋a＋1 的解 集为空集，则需 a2＋a＋1<1，解得－1<a<0.
规律总结
1．运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条 件，若弱化了条件或强化了条件都可能得出错误的结论．使 用不等式性质解题时，要搞清性质成立的条件，明确各步推 理的依据，以防出现解题失误．
命题趋势
本单元的内容，是对必修5的补充和深化，预计2011年， 考查的重点一是绝对值不等式的解法；二是利用不等式的 性质求最值；三是柯西不等式和数学归纳法的应用．考查 知识面比较广，有一定的技巧．
使用建议
本单元内容是作为高考的选考内容，在考试中所占的 分值较少，但对提高同学们的逻辑思维能力、分析解决问 题的能力、数形结合的能力和抽象思维能力作用很大．为 此，在复习中建议注意以下几点：
【点评】 本例较好地体现了利用基本不等式求 最值时应充分考虑成立条件，即一正二定三等．不过 首先需由三点共线推出a、b的关系式，利用斜率公式 可得．
变 式 题 已 知 cos2α ＋ cos2β ＋ cos2γ ＝ 1 ， 则 sinαsinβsinγ 的最大值为________．
【思路】利用均值不等式求最值时，一定要注意 “一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧， 积极创造条件利用均值不等式．常用的初等变形有均 匀裂项、增减项、配系数等. 利用均值不等式还可以证 明条件不等式，关键是如何恰当地利用好条件．本题 中目标函数为积式，而cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1为隐含 的条件等式，故需创造条件使各因式之和为定值．
绝对值不等式的证明与应用
2 2 2 2
即证 ab ab . 而 ab ab 显然成立．
从而证得 a b a b a b .
定理探索
还有别的证法吗？ 由 a a a 与 b b b ， 得 a b a b a b .
当我们把 a b 看作一个整体时，上式逆
3 b 求证 x 2 y 3 z .
xa 2M
,0 y b
，
求证 xy ab . 证明： xy
ab xy ya ya ab y x a a y b
2M a 2a .
y xa a yb M
用 x a a x a 可得什么结论？
a b a b.
定理探索
能用已学过得的 a b a b
证明 a b a b 吗？ 可以 a 表示为 a a b b .
a a b b a b b .
即a b a b . 就是含有绝对值不等式的重要定理， 即 a b ab a b .
怎么证明你的结论呢？
定理探索
用分析法，要证
2
ab a b
2
，
只要证 a b a b . 即证 ab ab . 而ab ab 显然成立， 故 a b a b.
那么怎么证 a b a b ？ 同样可用分析法，
定理探索
当 a b 0 时，显然成立， 当 a b 0 时，要证 a b a b . 只要证 a 2 a b b a 2 ab b ，
问题
我们已学过积商绝对值的性质， 哪位同学能回答？
即证 ab ab . 而 ab ab 显然成立．
从而证得 a b a b a b .
定理探索
还有别的证法吗？ 由 a a a 与 b b b ， 得 a b a b a b .
当我们把 a b 看作一个整体时，上式逆
3 b 求证 x 2 y 3 z .
xa 2M
,0 y b
，
求证 xy ab . 证明： xy
ab xy ya ya ab y x a a y b
2M a 2a .
y xa a yb M
用 x a a x a 可得什么结论？
a b a b.
定理探索
能用已学过得的 a b a b
证明 a b a b 吗？ 可以 a 表示为 a a b b .
a a b b a b b .
即a b a b . 就是含有绝对值不等式的重要定理， 即 a b ab a b .
怎么证明你的结论呢？
定理探索
用分析法，要证
2
ab a b
2
，
只要证 a b a b . 即证 ab ab . 而ab ab 显然成立， 故 a b a b.
那么怎么证 a b a b ？ 同样可用分析法，
定理探索
当 a b 0 时，显然成立， 当 a b 0 时，要证 a b a b . 只要证 a 2 a b b a 2 ab b ，
问题
我们已学过积商绝对值的性质， 哪位同学能回答？
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绝对值不等式的证明与应用优秀 课件
问题
我们在初中学过绝对值的有关概念， 请说出绝对值是怎样定义的？
a a 0; 当 aR 时，则有：a 0 a 0;
a a 0.
那么 a与 a 及 a 的大小关系怎样？
问题
这需要讨论：
当 a0时a， a,aa；
当 a0时， aaa；
当a0时a ， aa.
就是含有绝对值不等式的重要定理， 即 ababab.
推论
由于定理中对 a , b 两个实数的绝对值， 那么三个实数和的绝对值呢？
nnN个实数和的绝对值呢？
亦成立 a 1a2a 3a 1a2a3
a 1 a 2 a n a 1 a 2 a nnnN
这就是定理的一个推论，由于定理中
对 a , b 没有特殊要求，如果用 b 代换 b
综上可知： a aa.
问题
我们已学过积商绝对值的性质， 哪位同学能回答？
abab， a ab0.
bb
当 a0 时，有：xa x2a2 xa
或 xa.
定理探索
和差的绝对值不一定等于绝对值的和差， 我们猜想：
ababab.
怎么证明你的结论呢？
定理探索
用分析法，要证 abab，
只要证 ab2ab2.
用定理 ababab及其推论．
3．对 abab ab 0，
abab a b0要特别重视.
作业
1．若 xam,yan，则不列不等式
一定成立的是（ ）． A． xy 2m B． xy 2n
C． xy nm D． xy nm
2．设a , b 为满足ab0的实数，那么（ ）．
A．abab B． abab
C．ab ab D． abab
b 、a b 看作是三角形三边，很象三角形两边
之和大于第三边，两边之差小于第三边，这样 理解便于记忆，此定理在后面学习复数时，可 以推广到比较复数的模长，并有其几何意义， 有时也称其为“三角形不等式”.
小结
2．平方法能把绝对值不等式转化为不含绝 对值符号的不等式，但应注意两边非负时才可 平方，有些证明并不容易去掉绝对值符号，需
会有什么结果？
推论
ababab，
用 b代 b得 a b a b a b ，
即 ababab.
这就是定理的推论 2. abab
成立的充要条件是什么？
abab a2b22ab a 2 2 a b b 2 a b a b a b 0
那么 abab成立的充要条件是什么？
ab0.
例题
例1 已知 x, y,z，
3b9
求证 x2y3z .
例2 已知 xa,0yb,y 0,M ，
2M
2a
求证 xyab.
证明：x a y x b y y y a a a y b x a a y b
yx aay bM a . 2 M 2a
例题Βιβλιοθήκη ab a b例3求证
1ab 1a 1b
.
证明：在 a b 0 时，显然成立.
当 a b 0时，左边
1 1 1
ab
1 1
ab
b
11ab1ab
a 1 a
b
1 b
.
ab
练习
1．①已知
1
xr0,a0，求证 ax
1 ar.
②已知 an l 1, 求证 an l 1 .
2．已知 Aa,Bb，求证：
2
2
① ABab；
② ABab.
3．求证 x1 2 x0 .
x
小结
1．定理 ababab. 把 a 、
即证 ab ab.
而ab ab 显然成立， 故 abab.
那么怎么证 abab？
同样可用分析法，
定理探索
当 a b 0 时，显然成立，
当 a b 0时，要证 abab. 只要证 a2 2ab b 2a22 a b b 2，
即证 ab ab.
而 ab ab显然成立．
从而证得 ababab.
定理探索
还有别的证法吗？
由a aa与 b bb ，
得 a b a b a b.
当我们把 a b 看作一个整体时，上式逆 用 xa axa可得什么结论？
abab.
定理探索
能用已学过得的 abab
证明 abab吗？
可以a表示为 aabb.
a a b b a b b .
即 abab.
问题
我们在初中学过绝对值的有关概念， 请说出绝对值是怎样定义的？
a a 0; 当 aR 时，则有：a 0 a 0;
a a 0.
那么 a与 a 及 a 的大小关系怎样？
问题
这需要讨论：
当 a0时a， a,aa；
当 a0时， aaa；
当a0时a ， aa.
就是含有绝对值不等式的重要定理， 即 ababab.
推论
由于定理中对 a , b 两个实数的绝对值， 那么三个实数和的绝对值呢？
nnN个实数和的绝对值呢？
亦成立 a 1a2a 3a 1a2a3
a 1 a 2 a n a 1 a 2 a nnnN
这就是定理的一个推论，由于定理中
对 a , b 没有特殊要求，如果用 b 代换 b
综上可知： a aa.
问题
我们已学过积商绝对值的性质， 哪位同学能回答？
abab， a ab0.
bb
当 a0 时，有：xa x2a2 xa
或 xa.
定理探索
和差的绝对值不一定等于绝对值的和差， 我们猜想：
ababab.
怎么证明你的结论呢？
定理探索
用分析法，要证 abab，
只要证 ab2ab2.
用定理 ababab及其推论．
3．对 abab ab 0，
abab a b0要特别重视.
作业
1．若 xam,yan，则不列不等式
一定成立的是（ ）． A． xy 2m B． xy 2n
C． xy nm D． xy nm
2．设a , b 为满足ab0的实数，那么（ ）．
A．abab B． abab
C．ab ab D． abab
b 、a b 看作是三角形三边，很象三角形两边
之和大于第三边，两边之差小于第三边，这样 理解便于记忆，此定理在后面学习复数时，可 以推广到比较复数的模长，并有其几何意义， 有时也称其为“三角形不等式”.
小结
2．平方法能把绝对值不等式转化为不含绝 对值符号的不等式，但应注意两边非负时才可 平方，有些证明并不容易去掉绝对值符号，需
会有什么结果？
推论
ababab，
用 b代 b得 a b a b a b ，
即 ababab.
这就是定理的推论 2. abab
成立的充要条件是什么？
abab a2b22ab a 2 2 a b b 2 a b a b a b 0
那么 abab成立的充要条件是什么？
ab0.
例题
例1 已知 x, y,z，
3b9
求证 x2y3z .
例2 已知 xa,0yb,y 0,M ，
2M
2a
求证 xyab.
证明：x a y x b y y y a a a y b x a a y b
yx aay bM a . 2 M 2a
例题Βιβλιοθήκη ab a b例3求证
1ab 1a 1b
.
证明：在 a b 0 时，显然成立.
当 a b 0时，左边
1 1 1
ab
1 1
ab
b
11ab1ab
a 1 a
b
1 b
.
ab
练习
1．①已知
1
xr0,a0，求证 ax
1 ar.
②已知 an l 1, 求证 an l 1 .
2．已知 Aa,Bb，求证：
2
2
① ABab；
② ABab.
3．求证 x1 2 x0 .
x
小结
1．定理 ababab. 把 a 、
即证 ab ab.
而ab ab 显然成立， 故 abab.
那么怎么证 abab？
同样可用分析法，
定理探索
当 a b 0 时，显然成立，
当 a b 0时，要证 abab. 只要证 a2 2ab b 2a22 a b b 2，
即证 ab ab.
而 ab ab显然成立．
从而证得 ababab.
定理探索
还有别的证法吗？
由a aa与 b bb ，
得 a b a b a b.
当我们把 a b 看作一个整体时，上式逆 用 xa axa可得什么结论？
abab.
定理探索
能用已学过得的 abab
证明 abab吗？
可以a表示为 aabb.
a a b b a b b .
即 abab.