2019-2020学年四川省资阳市乐至县九年级(上)期末数学试卷解析版
2019-2020学年四川省资阳市乐至县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意．1．（4分）二次根式有意义的条件是（）
A．x＞1B．x≥1C．x＜1D．x≤1
2．（4分）下列根式中，是最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
3．（4分）已知x＝1是一元二次方程mx2﹣2＝0的一个解，则m的值是（）
A．B．2C．D．1或2
4．（4分）下列说法正确的是（）
A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
B．某种彩票的中奖率为，说明每买1 000张彩票，一定有一张中奖
C．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为
D．“概率为1的事件”是必然事件
5．（4分）一元二次方程3x2﹣x＝0的解是（）
A．x＝B．x1＝0，x2＝3C．x1＝0，x2＝D．x＝0
6．（4分）如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若DE＝4，DF＝10，则的值是（）
A．B．C．D．6
7．（4分）坡比常用来反映斜坡的倾斜程度．如图所示，斜坡AB坡比为（）
A．：4B．：1C．1：3D．3：1
8．（4分）我县为积极响应创建“省级卫生城市”的号召，为打造“绿色乐至，健康乐至”是我们每个乐至人应尽的义务．某乡镇积极开展垃圾分类有效回收，据统计2017年有效回收的垃圾约1.5万吨，截止2019年底，有效回收的垃圾约2.8万吨，设这两年该乡镇的垃圾有效回收平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．1.5（1+2x）＝2.8
B．1.5（1+x）2＝2.8
C．1.5x2＝2.8
D．1.5（1+x）+1.5（1+x）2＝2.8
9．（4分）已知P是△ABC的重心，且PE∥BC交AB于点E，BC＝，则PE的长为（）A．B．C．D．
10．（4分）如图，四边形ABCD是正方形，以BC为底边向正方形外部作等腰直角三角形BCE，连接AE，分别交BD，BC于点F，G．则下列结论：①△AFB≌△ABE；②△ADF∽△GCE；③CG＝3BG；④AF＝EF，其中正确的有（）
A．①③B．②④C．①②D．③④
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算若，那么a2019+b2020＝．
12．（4分）若方程（a﹣3）x|a|﹣1+2x﹣8＝0是关于x的一元二次方程，则a的值是．
13．（4分）若，则＝．
14．（4分）如图，假设可以在两个完全相同的正方形拼成的图案中随意取点，那么这个点取在阴影部分的概率是．
15．（4分）已知中，tan B＝，BC＝6，过点A作BC边上的高，垂足为D，且＝2，则的面积为．16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD 的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形AB2019C2019C2018的面积为．
三、解答题：（本大题共8个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（9分）计算
（1）（）×
（2）﹣14+（π﹣2017）0﹣+（sin45°）﹣1﹣|tan60°﹣|
18．（10分）解方程
（1）用公式法解方程：3x2﹣x﹣4＝0
（2）用配方法解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．（1）将△ABC各顶点的横纵坐标都缩小为原来的得到△A1B1C1，请在图中画出△A1B1C1；
（2）求A1C1的长．
20．（10分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？21．（11分）乐至县城有两座远近闻名的南北古塔，清朝道光11年至13年（公元1831﹣﹣1833年）修建，南塔名为“文运塔”，高30米；北塔名为“凌云塔”．为了测量北塔的高度AB，身高为1.65米的小明在C处用测角仪CD，（如图所示）测得塔顶A的仰角为45°，此时小明在太阳光线下的影长为1.1米，测角仪的影长为1米．随后，他再向北塔方向前进14米到达H处，又测得北塔的顶端A的仰角为60°，求北塔AB的高度．（参考数据≈1.414，≈1.732，结果保留整数）
22．（11分）春节期间，支付宝“集五福”活动中的“集五福”福卡共分为5种，分别为富强福、和谐福、友善福、爱国福、敬业福，从国家、社会和个人三个层面体现了社会主义核心价值观的价值目标．
（1）小明一家人春节期间参与了支付宝“集五福”活动，小明和姐姐都缺一个“敬业福”，恰巧爸爸有一个可以送给他们其中一个人，两个人各设计了一个游戏，获胜者得到“敬业福”．
在一个不透明盒子里放入标号分别为1，2，3，4的四个小球，这些小球除了标号数字外都相同，将小球摇匀．小明的游戏规则是：从盒子中随机摸出一个小球，摸到标号数字为奇数小球，则判小明获胜，否则，判姐姐获胜．请
判断，此游戏规则对小明和姐姐公平吗？说明理由．
姐姐的游戏规则是：小明从盒子中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，姐姐再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判小明获胜，若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判姐姐获胜．请用列表法或画树状图的方法进行判断此游戏规则对小明和姐姐是否公平．
（2）“五福”中体现了社会主义核心价值观的价值目标的个人层面有哪些？
23．（12分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣5＝0有两个实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程的一个实数根为4，求k的值和另一个实数根．
（3）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
24．（13分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，E是AB边上一点，D是AC边上一点，且点D不与A、C重合，ED ⊥AC．
（1）当sin B＝时，
①求证：BE＝2CD；
②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（45°＜∠CAD＜90°）．BE＝2CD是否成立？若成立，请给出证明；
若不成立．请说明理由．
（2）当sin B＝时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝2，求线段CD的长．
2019-2020学年四川省资阳市乐至县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意．1．【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得x≥1，
故选：B．
2．【解答】解：A、＝3，不是最简二次根式；
B、＝2，不是最简二次根式；
C、＝2，不是最简二次根式；
D、，是最简二次根式；
故选：D．
3．【解答】解：将x＝1代入方程可知：m﹣2＝0，
∴m＝2，
故选：B．
4．【解答】解：A、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，此选项错误；
B、某种彩票的中奖率为，说明每买1 000张彩票，可能有一张中奖，此选项错误；
C、抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为，此选项错误；
D、“概率为1的事件”是必然事件，此选项正确；
故选：D．
5．【解答】解：
∵3x2﹣x＝0，
∴x（3x﹣1）＝0，
∴x＝0或3x﹣1＝0，
∴x1＝0，x2＝，
故选：C．
6．【解答】解：∵DE＝4，DF＝10，
∴EF＝10﹣4＝6，
∵l1∥l2∥l3，
∴＝＝＝，
故选：C．
7．【解答】解：由勾股定理得，AC＝＝＝2，则斜坡AB坡比为：1：2＝：4，
故选：A．
8．【解答】解：设这两年的平均增长率为x，
由题意得，1.5（1+x）2＝2.8．
故选：B．
9．【解答】解：∵P是△ABC的重心，
∴AD是BC边上的中线，
∴＝，BD＝BC＝，
∵PE∥BC，
∴△AEP∽△ABD，
∴＝，
∴＝，
∴PE＝，
故选：A．
10．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△BCE是等腰直角三角形，∴∠ADF＝∠BCE＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠BGF，
∵∠BGF＝∠CGE，
∴∠DAF＝∠AGE，
∴△ADF∽△GCE；故②正确；
∵∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝135°，
∠BFE＝∠ABD+∠BAF＝45°+∠BAF＞45°，
∴∠AFB＜135°，
∴∠ABE≠∠AFB，
∴△AFB与△ABE不相似，故①错误；
过E作EH⊥BC，则EH＝BC＝AB，EH∥AB，∴△EHG∽△ABG，
∴＝＝，
∴设HG＝k，BG＝2k，
∴BH＝CH＝3k，
∴CG＝4k，
∴CG＝2BG，故③错误；
∵△EHG∽△ABG，
∴＝＝，
∴设EG＝a，AG＝2a，
∵AD∥BG，
∴△ADF∽△GBF，
∴＝＝，
∴AG＝4FG，
∴GE＝2FG，
∴AF＝EF，故④正确．
故选：B．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．【解答】解：∵，
∴b＝1，a＝﹣1，
∴a2019+b2020＝﹣1+1＝0，
故答案为0．
12．【解答】解：∵（a﹣3）x|a|﹣1+2x﹣8＝0是关于x的一元二次方程，∴a﹣3≠0，|a|﹣1＝2，
解得，a＝﹣3，
故答案为：﹣3．
13．【解答】解：∵，
∴2y＝5x﹣5y，
∴x＝y，
∴＝＝，
故答案为：．
14．【解答】解：设小正方形边长为a，则阴影部分面积为3a2，图案总面积8a2﹣a2＝7a2，
因此这个点取在阴影部分的概率是＝．
故答案为．
15．【解答】解：当△ABC是锐角三角形时，如图1，
∵BC＝6，＝2，
∴BD＝4，
∵tan B＝，
∴＝，
∴AD＝，
∴S△ABC＝＝＝8；
当△ABC是钝角三角形时，如图2，
∵BC＝6，＝2，
∴BD＝12，
∵tan B＝，
∴＝，
∴AD＝8，
∴S△ABC＝＝＝24，
综上，△ABC的面积为8或24，
故答案为8或24．
16．【解答】解：矩形ABCD的面积＝2×1＝2，由勾股定理得，AC＝＝，
则矩形ABCD与矩形AB1C1C的相似比为2：，∵矩形ABCD∽矩形AB1C1C，
∴矩形AB1C1C的面积＝2÷（）2＝，
同理，矩形AB2C2C1的面积＝÷（）2＝＝，
矩形AB3C3C2的面积＝÷（）2＝＝，
……
则矩形AB n?n C n﹣1的面积为，
则矩形AB2019C2019C2018的面积为，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共8个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（1）原式＝（2﹣2）×﹣6+
＝22﹣6+
＝6﹣4﹣6+
＝﹣；
（2）原式＝﹣1+1﹣+﹣|﹣2|
＝
＝
＝﹣．
18．【解答】解：（1）∵a＝3，b＝﹣1，c＝﹣4，
∴，
∴x＝
∴x1＝，x1＝﹣1，
（2）x2﹣4x+4＝5+4，
（x﹣2）2＝9，
∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3
∴x1＝5，x2＝﹣1．
19．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，是符合题意的图形；
（2）A1C1的长为：．
20．【解答】解：（1）由题意，得60（360﹣280）＝4800元．答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；
（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由题意，得（360﹣x﹣280）（5x+60）＝7200，解得：x1＝8，x2＝60．
∵有利于减少库存，
∴x＝60．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．21．【解答】解：由题意可得
∴CD＝1.5，
设AE＝x米，
在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，∴DE＝AE＝x米，
∵DF＝14米，
∴EF＝DE﹣DF＝（x﹣14）米，
在Rt△AFE中，∠AFE＝60°，∴tan60°＝＝，
解得：x＝，
故AB＝AE+BE＝+1.5≈35（米）．
答：北塔的高度AB约为35米．
22．【解答】解：（1）小明的游戏：∵共有4种等可能结果，一次摸到小球的标号数字为奇数或为偶数的各有2种，
∴小明获胜的概率为＝，姐姐获胜的概率为＝，
∴游戏1对小明和姐姐是公平的；
姐姐的游戏：画树状图如下：
共有16种可能情况，其中两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的共有8种，两次摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果也共有8种，
∴小明获胜的概率为＝，姐姐获胜的概率为＝，
∴游戏2对小明和姐姐是公平的；
（2）“五福”中个人层面是：友善福、爱国福、敬业福．
23．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣5＝0有两个实数根，
∴△＝22﹣4×1×（2k﹣5）＝﹣8k+24≥0，解得k≤3，
即k的取值范围是k≤3；
（2）设方程的另一个根为m，则4+m＝﹣2，解得m＝﹣6，
∴2k﹣5＝4×（﹣6），解得k＝﹣
∴k的值为﹣，另一个根为﹣6，
（3）∵k为正整数，且k≤3，
∴k＝1或k＝2或k＝3，
当k＝1时，原方程为x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，
当k＝2时，原方程为x2+2x﹣1＝0，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，
当k＝3时，原方程为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1，
∴k的值为1或3．
24．【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
①如图1，作EH⊥BC于点H，
∵ED⊥AC
∴∠ADE＝∠C＝90°，
∴四边形CDEH是矩形，即EH＝CD，
∴在Rt△BEH中，∠B＝30°，
∴BE＝2EH
∴BE＝2CD；
②BE＝2CD成立，
理由：∵△ABC和△ADE都是直角三角形，∴∠BAC＝∠EAD＝60°，
∴∠CAD＝∠BAE，
又∵，，
∴，
∴△ACD∽△ABE，
∴，
又∵Rt△ABC中，＝2，
∴＝2，
即BE＝2CD；
（2）∵sin B＝，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，
∵ED⊥AD，
∴∠AED＝∠BAC＝45°，
∴AD＝DE，AC＝BC，
将△ADE绕点A旋转∠DEB＝90°，分两种情况：
①如图3所示，过A作AF⊥BE于F，则∠F＝90°，
当∠DEB＝90°时，∠ADE＝∠DEF＝90°，
又∵AD＝DE，
∴四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF＝EF＝2，
∵AC＝10＝BC，
根据勾股定理得，AB＝10，
在Rt△ABF中，BF＝＝6，
∴BE＝BF﹣EF＝4，
又∵△ABC和△ADE都是直角三角形，
且∠BAC＝∠EAD＝45°，
∴∠CAD＝∠BAE，
∵，，
∴，
∴△ACD∽△ABE，
∴＝，即＝，
∴CD＝2；
②如图4所示，过A作AF⊥BE于F，则∠AFE＝∠AFB＝90°，当∠DEB＝90°，∠DEB＝∠ADE＝90°，
又∵AD＝ED，
∴四边形ADEF是正方形，
∴AD＝EF＝AF＝2，
又∵AC＝10＝BC，
∴AB＝10，
在Rt△ABF中，BF＝＝6，
∴BE＝BF+EF＝8，
又∵△ACD∽△ABE，
∴＝，即＝，
∴CD＝4，
综上所述，线段CD的长为2或4．