放缩法证明不等式
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目录
1.常见函数的图像…………………………………………………………1-7
2.常用的放缩公式…………………………………………………………8-9
3.恰当运用放缩法，巧证导数不等式…………………………10-12
4.对数平均值不等式链的证明与应用…………………………13-27
5.活跃在各类考试中的对数平均不等式………………………28-31
6.均值不等式几何解释的探究 (32)
7.高三数学一轮复习感悟总结及二轮复习策略……………33-40
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常用的放缩公式对数放缩
1.放缩成一次函数
()
ln1
x x
+≤ln x x
≤
2.放缩成双撇函数
()
ln1
x x
<>
()
ln01
x x
><<()
11
ln,01
2
x x x
x
⎛⎫
>-<<
⎪
⎝⎭
()
11
ln,1
2
x x x
x
⎛⎫
<->
⎪
⎝⎭
3.放缩成二次函数
2
ln x x x
≤-()()
2
1
ln1,10
2
x x x x
+≤--<<()()
2
1
ln1,0
2
x x x x
+≥->
4.放缩成反比例函数
1
ln1
x
x
≥-()1
ln1
1
x
x
+≥
+
()
()
21
ln,1
1
x
x x
x
-
>>
+
()
()
21
ln,01
1
x
x x
x
-
<<<
+
()()
2
ln1,10
1
x
x x
x
+<-<<
+
()()
2
ln1,0
1
x
x x
x
+>>
+
指数放缩
1.放缩成一次函数1
x
e x
≥+x e ex
≥x e x
>
2.放缩成反比例函数
()
1
,0
1
x
e x
x
≤≤
-
()
1
,0
x
e x
x
<-<
3.放缩成二次函数
()
2
1
1,0
2
x
e x x x
≥++>23
11
1
26
x
e x x x
≥+++
指对数放缩
()()
ln112
x
e x x x
-≥+--=
三角函数放缩
tan sin,0
2
x x x x
π
⎛⎫
>><<
⎪
⎝⎭
2
1
sin
2
x x x
≥-22
11
1cos1sin
22
x x x
-≤≤-
以直线1
y x
=-为切线的函数
ln
y x
=11
x
y e-
=-2
y x x
=-
1
1
y
x
=-ln
y x x
=
对数平均值不等式链
a b
>>
若
，则
22
11ln ln2
ab a b a b
a b
a b a b
a b
-+
<=<<<<<
+-
+
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裂项放缩
分式放缩
姐妹不等式，即
()0,0b b m a b m a a m +<>>>+；()0,0b b m b a m a a m
+>>>>+； 记忆口诀：“小者小，大者大”；
解释：看字母b ，b 小，则不等式的符号是小于号，反之大于号。