平行四边形答案

平行四边形

知识要点：

1. 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

特点：平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线。

表示：平行四边形用符号“”来表示．

例1 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，

那么四边形ABCD是（平行四边形）．( 平行四边形)ABCD记作

“( ABCD )”，读作“( 平行四边形ABCD)”．

随堂练习

在ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有（D ）．

（A）4个（B）5个（C）8个（D）9个

360）．

2. 性质：（1）具有一般四边形的性质（内角和是

（2）边：平行四边形的两组对边分别相等.

（3）角：平行四边形的对角相等，邻角互补．

（4）平行四边形的对角线互相平分．

（5）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。

例2 已知：如图ABCD，

求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．

例3 如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，

求证：AF=CE．

例4 已知：如图4－21，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交

于点E、F．

求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．

例5 已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝10cm ，AD ＝8cm ，AC ⊥BC ，求BC 、CD 、AC 、OA 的长以及ABCD 的面积．

解：BC=8cm CD=10cm AC=6cm OA=3cm S ABCD=482

例6

ABCD 的周长为36cm ，AB=8cm ，BC= 10cm ；当∠B=0

60时，AD 、BC 的距离AE=cm 34，

ABCD 的面积S ABCD =2340cm .

随堂练习

（1）在ABCD 中，∠A=?50，则∠B= 130 度，∠C= 50 度，∠D= 130 度．

（2）如果ABCD 中，∠A —∠B=0

24，则∠A= 102 度，∠B= 78 度，∠C= 102 度，∠D= 78 度．（3）如果ABCD 的周长为28cm ，且AB ：BC=2 ：5，那么AB= 4 cm ，BC= 10 cm ，CD= 4 cm ，AD= 10 cm ．

(4) 如图，在ABCD 中，AC 为对角线，BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，E 、F 为垂足，求证：BE ＝DF ．

（5）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（ B ）．（A ）对角相等（B ）对角互补（C ）邻角互补（D ）内角和是?360

（6）如图，AD ∥BC ，AE ∥CD ，BD 平分∠ABC ，求证AB=CE ．

（7）在平行四边形中，周长等于48，

①已知一边长12，求各边的长

②已知AB=2BC，求各边的长

③已知对角线AC、BD交于点O，△AOD与△AOB的周长

的差是10，求各边的长

解：①AB=BC=CD=AD=12

②AD=BC=8 AB=CD=16

③AB=CD=7 AD=BC=17

（8）公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要

修几条笔直的小路，如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC⊥

BC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积．

解：BC=12cm CD=15cm OC=4.5cm

绿地的面积：S=1082

3.判定：

⑴用定义判定

⑵两组对边分别相等的四边形是平行四边形

⑶一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

⑷两组对角分别相等的四边形是平行四边形

⑸对角线互相平分的四边形是平行四边形

例1 已知：如图ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF．

求证：四边形BFDE是平行四边形．

例2已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC．

求证：(1) ∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；

(2) △ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的中点．

例3 小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一

个六边形．你能在图中找出所有的平行四边形吗？并说说你的理

由．

例4 已知：如图，△ABC，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF

∥BC，求证：BE=CF

例5 已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC

的中点，求证：BE=DF．

例6 已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，

且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．

求证：四边形BEDF是平行四边形．

随堂练习

1．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，

（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC= 8 cm，CD= 4 cm时，四边形ABCD为平行四边形；

（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO= 5 cm，DO= 4 cm时，四边形ABCD为平行四边形．

2．已知：如图，ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DF∥BE，

EF交BD于点O．求证：EO=OF．

3．灵活运用课本P89例题，如图：由火柴棒拼出的一列图形，第n个图形由（n+1）个等边三角形拼成，通过观察，分

析发现：

①第4个图形中平行四边形的个数为 6 ．（6个）

②第8个图形中平行四边形的个数为20．（20个）

4．下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（D ）．

（A）对角线互相垂直（B）对角线相等

（C）对角线互相垂直且相等（D）对角线互相平分

5．已知：如图，△ABC，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥BC，

求证：BE=CF

6．在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ C ）．（A）AB∥CD，AD=BC （B）∠A=∠B，∠C=∠D

（C）AB=CD，AD=BC （D）AB=AD，CB=CD

7．已知：如图，AC∥ED，点B在AC上，且AB=ED=BC，找出

图中的平行四边形，并说明理由．

8．已知：如图，在ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD

的平分线．

求证：四边形AFCE是平行四边形．

9．判断题：

(1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形；(√)

(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(√)

(3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；(×)

(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(√)

(5)对角线相等的四边形是平行四边形；(×)

(6)对角线互相平分的四边形是平行四边形．(√) 10．延长△ABC的中线AD至E，使DE=AD．求证：四边形ABEC是平行四边形．

O A B D C

11．在四边形ABCD 中，(1)AB ∥CD ；(2)AD ∥BC ；(3)AD ＝BC ；(4)AO ＝OC ；(5)DO ＝BO ；(6)AB ＝CD ．选择两个条件，能判定四边形ABCD 是平行四边形的共有 5 对．

课后练习一、判断对错

1. 在ABCD 中，AC 交BD 于O ，则AO=OB=OC=OD ．（ × ）

2. 平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等．（ √ ）

3. 平行四边形的两组对边分别平行且相等．（ √ ）

4. 平行四边形是轴对称图形．（ × ）二、填空题

1．平行四边形ABCD 中，∠A=500，AB=30cm ，则∠B= 1300 ，DC= 30 cm 。

2．在 ABCD 中，AC ＝6、BD ＝4，则AB 的范围是 1＜AB ＜5 ．

3．在平行四边形ABCD 中，已知AB 、BC 、CD 三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是 50 ．

4．如图，ABCD 中，AE ⊥BD ，∠EAD=60°，AE=2cm ，AC+BD=14cm ，则△OBC 的周长是 11 cm ． 5．ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm 5，cm 7的两条线段，则ABCD 的周长是 34cm 或38cm ．

6．平行四边形ABCD 的周长为20cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若△BOC 的周长比△AOB 的周长大2cm ，则CD ＝ 4 cm 。

、ABCD ，AB=6cm,BC=8cm ，∠B=70°,则AD= 8cm ,CD= 6cm , ∠D= 70° °,∠A= 110° ,∠C= 110° .

8、平行四边形周长为50cm ，两邻边之差为5cm,各边长为 10cm ，15cm ，10cm ，15cm 。 9.如图，平行四边形ABCD 的周长为30cm,它的对角线AC 和BD 相交于O,

且△AOB 的周长比△BOC 的周长大5cm,AB= 10cm 、BC= 5cm 。 10.平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O,则其中全等的三角形有

（ 4 ）对。三、选择题

11．关于四边形ABCD ①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③有一组对边平行且相等；④对角线AC 和BD 相等；以上四个条件中可以判定四边形ABCD 是平行四边形的有（ C ）。 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

12．若平行四边形中两个内角的度数之比为2∶3，则其中较小的内角是（ B ）

A ．60°

B ．72°

C ．90°

D ．120°

13．将一个平行四边形纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法共有（ A ）

A ．无数种

B ．1种

C ．2种

D ．3种

14．如图4，O 是□ABCD 对角线的交点，AB ＝10，OA ＝3，AC ⊥BC ，则□ABCD 的面积为（ D ） A ．90 B ．72 C ．60 D ．48

E D C O

F B A O

A D

15.已知下列四个命题：①一组对边平行且相等的四边形；②两组对角分别相等的四边形；③对角线相等的四边形；④对角线互相平分的四边形。其中能判定平行四边形的命题的个数为（ C ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

16.平行四边形的两条对角线及一边的长可依次取（ B ） A 、6、6、6 B 、6、4、3 C 、6、4、6 D 、3、4、5

17.以不共线三点为三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是（ B ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个

18.四边形ABCD 的四个角∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 满足下列哪一条件时，四边形ABCD 是平行四边形？（ D ）

A 、1∶2∶2∶1

B 、2∶1∶1∶1

C 、1∶2∶3∶4

D 、2∶1∶2∶1

19.如图所示，在ABCD 中，EF 过对角线的交点，若AB ＝4，BC ＝7，

OE ＝3，则四边形EFDC 的周长是（ D ） A 、14 B 、11 C 、10 D 、17

20.平行四边形的对角线长分别是x 和y ，一边长为12，则下

列各组数据可能是x 与y 的值的是（ C ）

A 、8与14

B 、10与14

C 、18与20

D 、10与36

四、解答题

21．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修

几条笔直的小路，如图，AB ＝15cm ，AD ＝12cm ，AC ⊥BC ，求小路BC ，CD ，OC 的长，并算出绿地的面积．

解：BC=12cm CD=15cm OC=4.5cm 绿地的面积：1082

22．如图：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 上任意一点，DE ∥AC 交AB 于E ，

DF ∥

交AC 于F ，求证：DE+DF=AC

H G E D

C F

B A P

23．如图，黄壮用一根12m 长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中边长AB ＝4m ，其他三边的长各是多少？

解：AC=AD=2m CD=4m

24、如图，在□ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是四条边上的点，且满足BE=DF,CG=AH,连接EF 、GH 。求证：EF 与GH 互相平分。

A B

C D

G H

25.如图所示，ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，AF 与BE 相交于G ，DF 与CE 相交于H ，连结EF 、GH 。求证：EF 、GH 互相平分。

26、如图所示，在ABCD 中，P 是AC 上任意一点，求证：APD ABP S S ??＝

证明：过点B 作BE ⊥AC 于点E ，过点D 作DF ⊥AC 于点F ， ∴∠AEB=∠CFD=90°，

∵

四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD ，AB ∥CD ， ∴∠BAE=∠DCF ， A

∠BAE ＝∠DCF ∠AEB ＝∠CFD AB ＝CD

∴△ABE ≌△CDF （AAS ）， ∴BE=DF ， ∵S DF AP APD ?=?21 S BP AP APB ?=?2

∴

APB APD S S ??=

27.如图, ABCD 中,G 是CD 上一点,BG 交AD 延长线于E ,

AF=CG , 100=∠DGE .

(1) 求证：DF=BG ; (2)求AFD ∠的度数. 解：（2）AFD ∠=100°

28.如图，□ABCD 中，E 、F 分别在BA 、DC 的延长线上，且AE =21AB ，CF =2

CD ，AF 和CE 的关系如何？说明理由. 解：AF ∥CE ，AF=CE

29、已知如图：在ABCD 中，延长AB 到E ，延长CD 到F ，使BE =DF ，则线段AC 与EF 是否互相平分？说明理由. 解：AC 与EF 互相平分.

F E

A B

E C

30、如图，四边形ABCD是平行四边形，BD⊥AD，求BC，CD及OB的长.解：BC=12 CD=13 OB=2.5

31、如图所示，四边形ABCD是平行四边形，且∠EAD＝∠BAF。

①求证：ΔCEF是等腰三角形；

②观察图形，ΔCEF的哪两边之和恰好等于ABCD的周长？并说明理由。

解：△CEF中，CE和CF的和恰好等于平行四边形ABCD的周长．

32、如图所示，在ΔABC中，AE平分∠BAC交BC于E，DE∥AC交AB于D，过D作DF∥BC交AC 于F。求证： AD=FC