2018_2019学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2-1圆锥曲线作业苏教版选修2_1
2017_2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆学案苏教版选修1_12017110931
2．2椭圆2．2.1椭圆的标准方程在平面直角坐标系中，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，D(0，－2)．问题1：若动点P满足PA＋PB＝6，设P的坐标为(x，y)，则x，y满足的关系式是什么？提示：由两点间距离公式得x＋22＋y2＋x－22＋y2＝6，x2 y2化简得＋＝1.9 5问题2：若动点P满足PC＋PD＝6，设P的坐标为(x，y)，则x、y满足什么关系？提示：由两点间距离公式得x2＋y－22＋x2＋y＋22＝6，y2 x2化简得＋＝1.9 5椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上x2 y2标准方程＋＝1(a＞b＞0)a2 b2y2 x2＋＝1(a＞b＞0) a2 b2焦点坐标(±c,0) (0，±c)a、b、c的关系c2＝a2－b21．标准方程中的两个参数a和b，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件．a，b，c三者之间a最大，b，c大小不确定，且满足a2＝b2＋c2.2．两种形式的标准方程具有共同的特征：方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母为不相等的正值．当椭圆焦点在x轴上时，含x项的分母大；当椭圆焦点在y轴上时，含y项的分母大，已知椭圆的方程解题时，应特别注意a>b>0这个条件．[对应学生用书P20]待定系数法求椭圆标准方程- 1 -[例1]求适合下列条件的椭圆的标准方程：14(1)经过两点(2，－2)，( 2 )；－1，y2 x2(2)过点( 3，－5)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．25 9[思路点拨](1)由于椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x轴上和在y轴上两种情况进行讨论．也可利用椭圆的一般方程Ax2＋By2＝1(其中A>0，B>0，A≠B)，直接求A，B.(2)求出焦点，然后设出相应方程，将点( 3，－5)代入，即可求出a，b，则标准方程易得．[精解详析](1)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为x2 y2＋＝1(a>b>0)．a2 b2由已知条件得Error!解得Error!x2 y2所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.8 4若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为y2 x2＋＝1(a>b>0)．a2 b2由已知条件得Error!解得Error!即a2＝4，b2＝8，则a2<b2，与题设中a>b>0矛盾，舍去．x2 y2综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.8 4法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．将两点(2，－2)，(－1，142 )代入，得Error!解得Error!x2 y2所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.8 4y2 x2(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，25 9所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.y2 x2设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．a2 b2因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①(－5 )2 3 2又点( 3，－5)在椭圆上，所以＋＝1，a2 b25 3即＋＝1.②a2 b2由①②得b2＝4，a2＝20，y2 x2所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.20 4[一点通]求椭圆标准方程的一般步骤为：1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；1 1 1( ，3 )，Q(0，－.(2)经过两点P2)3解：(1)由已知得：c＝4，a＝5.b2＝a2－c2＝25－16＝9.x2 y2故所求椭圆方程为＋＝1.25 9(2)设椭圆方程为Ax2＋By2＝1.(A>0，B>0，A≠B)由已知得，Error!解得：Error!y2 x2故所求椭圆方程为＋＝1.1 14 52．求适合下列条件的椭圆的方程．(1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，x2 y2所以可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．a2 b2∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)，∴Error!∴Error!x2 故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.4y2 x2(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．a2 b2∵P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10.又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2，∴－c－(－10)＝2，故c＝8，∴b2＝a2－c2＝36，y2 x2∴所求椭圆的标准方程是＋＝1.100 36椭圆标准方程的讨论[例2]已知方程x2·sinα－y2·cosα＝1(0≤α≤2π)表示椭圆．(1)若椭圆的焦点在x轴上，求α的取值范围．(2)若椭圆的焦点在y轴上，求α的取值范围．[思路点拨](1)已知的方程不是椭圆的标准形式，应先化成标准方程．x2 y2(2)对于椭圆方程＋＝1(m>0，n>0，m≠n)可由m，n的大小确定椭圆焦点的位置，列m n出三角不等式后求α的范围．[精解详析]将椭圆方程x2·sinα－y2·cosα＝1(0≤α≤2π)化为标准形式为x2 1y2＋＝1(0≤α≤2π)．1sin α－cos α(1)若方程表示焦点在x轴上的椭圆，1 1则>－>0，即Error!sin αcos α3 3π所以4π<α<π.即α的取值范围是( ，2π).4(2)若方程表示焦点在y轴上的椭圆，1 1则－> >0，即Error!cos αsin απ3ππ3π所以<α< 4.即α的取值范围是( 4 ).，2 2[一点通]对于讨论椭圆方程中参数的取值范围问题，一般的解题方法是根据题设条件给出的焦点位置，结合对应的标准方程应满足的条件，建立一个含参数的不等式组，通过求解不等式组得到参数的取值范围．x2 y23．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．a2 a＋6解析：由于椭圆的焦点在x轴上，所以Error!即Error!解得a>3或－6<a<－2.答案：(3，＋∞)∪(－6，－2)x2 y24．已知方程＋＝－1表示椭圆，求k的取值范围．k－5 3－k- 4 -x 2 y 2 x 2 y 2解：方程 ＋ ＝－1可化为 ＋ ＝1，由椭圆的标准方程可得Error! k －5 3－k 5－k k －3 得 3<k <5，且 k ≠4.所以满足条件的 k 的取值范围是{k |3<k <5，且 k ≠4}.椭圆的定义及标准方程的应用x 2 y 2[例 3] 如图所示，已知椭圆的方程为 ＋ ＝1，若点 P 在第二象 4 3 ∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．限，且 [思路点拨] 根据椭圆的标准方程知PF 1＋PF 2＝4结，合面积公式 和 余弦定理找到PF 1和PF 2的关系求解．[精解详析] 由已知 a ＝2，b ＝ 3， 所以 c ＝ a 2－b 2＝ 4－3＝1，F 1F 2＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得PF ＝PF ＋F 1F －2PF 1·F 1F 2cos 120°，2122即 PF ＝PF ＋4＋2PF 1.①212由椭圆定义，得 PF 1＋PF 2＝4， 即 PF 2＝4－PF 1.② 6②代入①解得 PF 1＝ .51∴S △PF 1F 2＝ PF 1·F 1F 2·sin 120°2 1 63 3 3 ＝ × ×2× ＝ ， 2 5 2 5 3 3 即△PF 1F 2的面积是 .5[一点通] 在椭圆中，由三条线段 PF 1，PF 2，F 1F 2围成的三角形称为椭圆的焦点三角形．涉 及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出 PF 1＋PF 2＝2a ，利用这个关系式便可求出结 果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．5．已知两定点 F 1(－1,0)、F 2(1,0)，且 F 1F 2是 PF 1与 PF 2的等差中项，则动点 P 的轨迹方 程是________．解析：∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴F 1F 2＝2. ∵F 1F 2是 PF 1与 PF 2的等差中项， ∴2F 1F 2＝PF 1＋PF 2， 即 PF 1＋PF 2＝4，∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，∵2a＝4，a＝2，c＝1，∴b2＝3.x2 y2∴椭圆的方程是＋＝1.4 3x2 y2答案：＋＝14 3x2 y26．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，则△F1PF29 4的面积等于________．x2 y2解析：由＋＝1，得a＝3，b＝2，9 4∴c2＝a2－b2＝5.∴c＝5.∴F1F2＝2 5.由Error!得Error!∴PF21＋PF＝F1F.2 2∴△F1PF2为直角三角形．1∴S△F1PF2＝PF1·PF2＝4.2答案：4x2 y27．如图，已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点．100 36(1)若椭圆上一点P到焦点F1的距离等于15，那么点P到另一个焦点F2的距离是多少？(2)过F1作直线与椭圆交于A，B两点，试求△ABF2的周长．解：由椭圆的标准方程可知a2＝100，所以a＝10.(1)由椭圆的定义得PF1＋PF2＝2a＝20，又PF1＝15，所以PF2＝20－15＝5，即点P到焦点F2的距离为5.(2)△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋BF1)＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)．由椭圆的定义可知AF1＋AF2＝2a，BF1＋BF2＝2a，故AB＋AF2＋BF2＝4a＝40.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．[对应课时跟踪训练(八)]- 6 -x 2 y 21．若椭圆 ＋ ＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为________．25 9 解析：由椭圆定义知，a ＝5，P 到两个焦点的距离之和为 2a ＝10，因此，到另一个焦点的 距离为 5.答案：52．椭圆 25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标是________．x 2 y 2 1 1解析：椭圆的标准方程为 ＋ ＝1，故焦点在 y 轴上，其中 a 2＝ ，b 2＝ ，所以 c 2＝a 2 1 1 16 2525 16 1 1933 －b 2＝ － ＝，故 c ＝ .所以该椭圆的焦点坐标为20).20(0， ±16 25 400答案：(0， ±3 20)3．已知方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1是焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围是________． x 2 y 2解析：方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1可化为 ＋ ＝1.1 1k 2－1 3 由椭圆焦点在 y 轴上，得Error! 解之得 k >2或 k <－2. 答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)x 2 y 24．已知 F 1，F 2为椭圆 ＋ ＝1的两个焦点，过 F 1的直线交椭圆于 A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |25 9 ＝12，则|AB |＝________.解析：由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由 a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.答案：8x 2 4y 25．已知 P 为椭圆 ＋ ＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的25 75 面积为________．解析：在△F 1PF 2中，F 1F ＝PF ＋PF －2PF 1·PF 2cos 60°，2122即 25＝PF 21＋PF －PF 1·PF 2.①2由椭圆的定义，得 10＝PF 1＋PF 2.②由①②，得 PF 1·PF 2＝25，1 25 32 4- 7 -25 3答案：46．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以(0,5)和(0，－5)为焦点，且椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；(2)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过M(2，6)．解：(1)∵椭圆的焦点在y轴上，y2 x2∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．a2 b2∵2a＝26,2c＝10，∴a＝13，c＝5.∴b2＝a2－c2＝144.y2 x2∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.169 144(2)法一：由9x2＋5y2＝45，y2 x2得＋＝1，c2＝9－5＝4，9 5所以其焦点坐标为F1(0,2)，F2(0，－2)．y2 x2设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．a2 b2由点M(2，6)在椭圆上，所以MF1＋MF2＝2a，即2a＝2－02＋6－22＋2－02＋6＋22＝4 3，所以a＝2 3，又c＝2，所以b2＝a2－c2＝8，y2 x2所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.12 8法二：由法一知，椭圆9x2＋5y2＝45的焦点坐标为F1(0,2)，F2(0，－2)，y2 x2则设所求椭圆方程为＋＝1(λ＞0)，λ＋4 λ6 4将M(2，6)代入，得＋＝1(λ＞0)，λ＋4 λ解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．y2 x2所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.12 87．如图，设点P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是点P在x轴上的投影，M为PD上一点，4且MD＝PD，当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程．5解：设M点的坐标为(x，y)，P点的坐标为(x P，y P)，- 8 -由已知易得Error!5∵P在圆上，∴x2＋( y)2＝25.4x2 y2即轨迹C的方程为＋＝1.25 168．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且内切于定圆B：(x－3)2＋y2＝64，求动圆圆心M的轨迹方程．解：设动圆M的半径为r，则|MA|＝r，|MB|＝8－r，∴|MA|＋|MB|＝8，且8>|AB|＝6，∴动点M的轨迹是椭圆，且焦点分别是A(－3,0)，B(3,0)，且2a＝8，∴a＝4，c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7.x2 y2∴所求动圆圆心M的轨迹方程是＋＝1.16 72．2.2椭圆的几何性质建立了椭圆的标准方程后，我们就可以通过方程研究椭圆的几何性质．x2 y2以方程＋＝1(a＞b＞0)为例，试着完成下列问题：a2 b2问题1：方程中对x，y有限制的范围吗？y2 x2提示：由＝1－≥0，得－a≤x≤a.b2 a2同理－b≤y≤b.问题2：在方程中，用－x代x，－y代y，方程的形式是否发生了变化？提示：不变．问题3：方程与坐标轴的交点坐标是什么？提示：令x＝0，得y＝±b；令y＝0，得x＝±a；与x轴的交点为(a,0)，(－a,0)，- 9 -与y轴的交点为(0，b)，(0，－b)．椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形x2 y2标准方程＋＝1(a＞b＞0)a2 b2y2 x2＋＝1(a＞b＞0) a2 b2范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－a≤y≤a，－b≤x≤b顶点(±a,0)，(0，±b) (0，±a)，(±b,0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±c,0) (0，±c)焦距F1F2＝2c对称性对称轴x轴，y轴，对称中心(0,0)c离心率e＝∈(0,1)a1．椭圆的对称性椭圆的图像关于x轴成轴对称，关于y轴成轴对称，关于原点成中心对称．2．椭圆的离心率与椭圆形状变化间的关系(1)0<e<1，e越趋近于1，越扁，越趋近于0，越圆(可以根据字体1很扁、0很圆进行记忆)．(2)当e→0，c→0时，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e＝0时的特例．(3)当e→1，c→a，椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为F1F2为椭圆在e＝1时的特例．[对应学生用书P23]已知椭圆方程求几何性质[例1]求椭圆81x2＋y2＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率．- 10 -[思路点拨]本题中椭圆的方程不是标准形式，故先化为标准形式后求出a，b，c，再根据焦点位置写出相应的几何性质．[精解详析]椭圆的方程可化为y2x2＋＝1，∴a＝9，b＝1，81∴c＝81－1＝80＝4 5，∴椭圆的长轴和短轴长分别为18,2.∵椭圆的焦点在y轴上，故其焦点坐标为F1(0，－4 5)，F2(0,4 5)，顶点坐标为A1(0，－9)，A2(0,9)，c 4 5B1(－1,0)，B2(1,0)，e＝＝.a9[一点通]求椭圆几何性质参数时，应把椭圆化成标准方程，注意分清焦点的位置，这样便于直观写出a，b的值，进而求出c，写出椭圆的几何性质参数．x2 y2 11．若椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________．m 4 3解析：当m>4时，由c2＝a2－b2＝m－4，m－4 1 9得＝.解得m＝.m 3 2当m<4时，由c2＝a2－b2＝4－m，4－m 1 32得＝，解得m＝.2 3 99 32答案：或2 92．求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．x2 y2解：椭圆方程变形为＋＝1，9 4∴a＝3，b＝2，∴c＝a2－b2＝9－4＝5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6,2c＝2 5，焦点坐标为F1(－5，0)，F2( 5，0)，c 5顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，离心率e＝＝.a 3由椭圆的几何性质求标准方程- 11 -[例2]求适合下列条件的椭圆的标准方程：4(1)长轴长为20，离心率等于；5(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)．[思路点拨]先确定椭圆的焦点位置，不能确定的要分情况讨论，然后设出标准方程，再利用待定系数法求出a、b、c，得到椭圆的标准方程．c 4[精解详析](1)∵2a＝20，e＝＝，a 5∴a＝10，c＝8，b2＝a2－c2＝36.x2 y2 由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1100 36y2 x2或＋＝1.100 36x2 y2 y2 x2(2)设椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1(a>b>0)．a2 b2 a2 b2由已知a＝2b，①且椭圆过点(2，－6)，从而有22 －6 2 －6 2 22＋＝1或＋＝1.②a2 b2 a2 b2由①②得a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13.x2 y2 y2 x2故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.148 37 52 13[一点通]在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论．一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定焦点所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长或焦距时，则不能确定焦点所在的坐标轴．33．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个2焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________________．c 3解析：由题意得2a＝12，＝，所以a＝6，c＝3 3，b＝3.a 2x2 y2故椭圆方程为＋＝1.36 9x2 y2答案：＋＝136 94．求满足下列条件的椭圆的标准方程：- 12 -(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；5(2)离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.13解：(1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a＝32＋2＋22＋32＋2－22＝8，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.y2 x2又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.16 12(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，c 5又e＝＝，所以c＝5，a13所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，x2 y2 y2 x2所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.169 144 169 144与椭圆离心率有关的问题x2 y2[例3]已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2.P是椭圆M上的任一a2 b21点，且PF1·PF2的最大值的取值范围为[ c2，3c2]，其中c2＝a2－b2，求椭圆的离心率的取值范2围．[思路点拨]由P是椭圆上一点，知PF1＋PF2＝2a，进而设法求出PF1·PF2的最大值，再由已知的范围求出离心率e的范围．[精解详析]∵P是椭圆上一点，∴PF1＋PF2＝2a，∴2a＝PF1＋PF2≥2PF1·PF2，即PF1·PF2≤a2，当且仅当PF1＝PF2时取等号．1 1 c2∴c2≤a2≤3c2，∴≤≤2，2 3 a21 3∴≤e2≤2，∴≤e≤2.3 33∵0<e<1，∴≤e<1，3- 13 -3∴椭圆的离心率的取值范围是[ ，1).3[一点通](1)椭圆的离心率的求法：b2 b①直接求a，c后求e，或利用e＝1－，求出后求e.a2 a②将条件转化为关于a，b，c的关系式，利用b2＝a2－c2消去b.等式两边同除以a2或a4c构造关于(e)的方程求e.a(2)求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集．5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则由已知得2a＋2c＝4b.即a＋c＝2b，又a2＝b2＋c2，5 3 3解得a＝b，c＝b，e＝.4 4 53答案：5x2 y26．椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且a2 b2PF·1PF的最大值的取值范围是[c2,3c2]，其中c＝a2－b2，则椭圆M的离心率e的取值范2围是________．解析：设P(x，y)、F1(－c,0)、F2(c,0)，则P F＝(－c－x，－y)，1PF＝(c－x，－y)，2PF·1PF＝x2＋y2－c2，2又x2＋y2可看作P(x，y)到原点的距离的平方，所以(x2＋y2)max＝a2，( PF·1PF)max＝b2，21 1 所以c2≤b2＝a2－c2≤3c2，即≤e2≤，4 21 2所以≤e≤.2 21 答案：[ ，2 2 2]- 14 -与椭圆相关的应用问题[例4]某宇宙飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，若其近地1 1 点、远地点离地面的距离分别大约是R、R，求此宇宙飞船运行的轨道方程．15 3[思路点拨]根据条件建立坐标系，设出椭圆方程，构造方程，求得宇宙飞船运行的轨道方程．[精解详析]如图所示，以运行轨道的中心为原点，其与地心的连线为x轴建立坐标系且，令地心F2为椭圆的右焦点，则轨道方程为焦点在xx2 y2 轴上的椭圆的标准方程不，妨设为＋＝1(a>b>0)则，地心F2的坐标为(c,0)，a2 b2其中a2＝b2＋c2，则Error!解得Error!6 2 64( R)2－( R)2＝R2.∴b2＝a2－c2＝5 15 45∴此宇宙飞船运行的轨道方程为x2 y2＋＝1.36 64R2 R225 45[一点通]解决此类问题，首先要根据条件建立平面直角坐标系，将实际问题转化为有关椭圆的问题，再将条件转化为a，b，c的关系，进而求出椭圆方程，解决其它问题．注意：①椭圆方程中变量的范围对实际问题的限制；②最后要将数学模型还原回实际问题作答．7．某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5 h的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至1 700 km，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200km，月球的半径约是1 800 k m，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是________．解析：可设小椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，由已知得2a＝1 700＋2×1 800＋200，∴a＝2 750.又a＋2c＝1 700＋1 800，∴c＝375.c375 3∴e＝＝＝.a 2 750 22- 15 -3答案：228．已知某荒漠上F1、F2两点相距2 km，现准备在荒漠上开垦出一片以F1、F2为一条对角线的平行四边形区域，建农艺园．按照规划，平行四边形区域边界总长为8 km.(1)试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程；(2)问农艺园的最大面积能达到多少？解：(1)以F1F2所在直线为x轴，F1F2的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则F1(－1,0)，F2(1,0)．设平行四边形的另两个顶点为P(x，y)，Q(x′，y′)，则由已知得PF1＋PF2＝4.由椭圆定义知点P在以F1、F2为焦点，以4为长轴长的椭圆上，此时a＝2，c＝1，则b＝3.x2 y2∴P点的轨迹方程为＋＝1(y≠0)，4 3同理Q点轨迹方程同上．(2)S▱PF1QF2＝F1F2·|y P|≤2c·b＝2 3(km2)，所以当P为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大为2 3 km2.1．椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位置．2．椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关，它们反映了椭圆的形状．3．讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型，不能确定的应分焦点在x轴上、y轴上进行讨论．[对应课时跟踪训练(九)]x2 y21．(新课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是a2 b2C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．解析：法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝3m，故离心率e＝c2c|F1F2| 3m 3＝＝＝＝.a2a|PF1|＋|PF2| 2m＋m 3b2法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|a- 16 -b2 b2＝.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等3 3 3a a3式两边同除以a2，得3(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－3(舍去)．3答案：3312．(广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的2方程是__________________．x2 y2解析：依题意，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，所以Error!解得a2＝4，b2＝3.a2 b2x2 y2答案：＋＝14 3x2 y2 x2 y23．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9)的________相等．(填“长轴长”或“短轴25 9 25－k9－k长”或“离心率”或“焦距”)解析：c2＝25－k－(9－k)＝16，c＝4.故两条曲线有相同的焦距．答案：焦距x2 y2 64．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆a2 b2 3于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为________．解析：设点M(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，b2x2 b2x21则y2＝b2－，y＝b2－.21a2 a2y－y1 y＋y1 y2－y21b2 c2所以k1·k2＝·＝＝－＝－1x－x1 x＋x1 x2－x21a2 a21＝e2－1＝－，31即k1·k2的值为－.31答案：－3x2 y2 3a5．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1a2 b2 2是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率是________．3a解析：设直线x＝与x轴交于点M，则∠PF2M＝60°.23a 由题意知，F1F2＝PF2＝2c，F2M＝－c.2- 17 -1 3a在Rt△PF2M中，F2M＝PF2，即－c＝c.2 2c 3∴e＝＝.a 43答案：43 5 36．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率e＝，经过点A( ，－2)，求椭圆的标准方程．5 2解：设椭圆的标准方程为x2 y2 75 4＋＝1(a>b>0)，则＋＝1.①a2 b2 4a2 b23 c 3 3由已知e＝，∴＝，∴c＝a.5 a 5 53 16∴b2＝a2－c2＝a2－( a)2，即b2＝a2.②5 2575 4 × 25把②代入①，得＋＝1，4a2 16a2x2 y2解得a2＝25，∴b2＝16，∴所求方程为＋＝1.25 1637．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、2焦点坐标、顶点坐标．x2 y2解：椭圆方程可化为＋＝1，m mm＋3m由m>0，易知m> ，m＋3m∴a2＝m，b2＝.m＋3m m＋2∴c＝a2－b2＝.m＋33 m＋2 3由e＝，得＝，解得m＝1，2 m＋3 2y2 ∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.141 3∴a＝1，b＝，c＝.2 2∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，3 3( ，F2 ，两焦点坐标分别为F1－，0) ( ，0)2 2- 18 -11 顶点坐标分别为 A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1( 2)，B 2(0， .0，－2 )8．若椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，点 P 是椭圆上的一点，P 在 x 轴上的射影恰为 椭圆的左焦点，P 与中心 O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等 于 10－ 5，试求椭圆的离心率及其方程．x 2 y 2解：令 x ＝－c ，代入 ＋ ＝1(a ＞b ＞0)，a 2b 2c 2 b 4 b 2得 y 2＝b 2(1－ )＝ ，∴y ＝± . a 2 a 2 ab 2 设 P (－c ， )，椭圆的右顶点 A (a,0)，上顶点 B (0，b )． ab 2 b∵OP ∥AB ，∴k OP ＝k AB ，∴－ ＝－ ， ac ac2∴b ＝c .而 a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝ 2c ，∴e ＝ ＝ . a 2又∵a －c ＝ 10－ 5，解得 a ＝ 10，c ＝ 5，∴b ＝ 5，x 2 y 2∴所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.10 5 - 19 -。
2019-2020年高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》(5)word学案
2019-2020年高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》（5）word 学案 [学习目标] 1.了解圆锥曲线的统一定义.2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．[知识链接]1．椭圆上一点到准线距离与它到对应焦点距离之比等于多少？ 答：1e. 2．动点M 到一个定点F 的距离与到一条定直线l 的距离之比为定值的轨迹一定是圆锥曲线吗？ 答：当F ∉l 时，动点M 轨迹是圆锥曲线．当F ∈l 时，动点M 轨迹是过F 且与l 垂直的直线． [预习导引]1．圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 0<e <1时，它表示椭圆；e >1时，它表示双曲线；e ＝1时，它表示抛物线．2．对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)和双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，与F (c,0)对应的准线方程是l ：x ＝a 2c ，与F ′(－c ，0)对应的准线方程是l ′：x ＝－a 2c；如果焦点在y 轴上，则两条准线方程为y ＝±a 2c.要点一 统一定义的简单应用例1 椭圆x 225＋y 29＝1上有一点P ，它到左准线的距离等于2.5，那么，P 到右焦点的距离为________．答案 8解析 如图所示，PF 1＋PF 2＝2a ＝10，e ＝c a ＝45， 而PF 12.5＝e ＝45，∴PF 1＝2，∴PF 2＝10－PF 1＝10－2＝8.规律方法 椭圆的两个定义从不同角度反映了椭圆的特征，解题时要灵活运用．一般地，如果遇到有动点到两定点距离和的问题，应自然联想到椭圆的定义；如果遇到有动点到一定点及一定直线距离的问题，应自然联想到统一定义；若两者都涉及，则要综合运用两个定义才行．跟踪演练1 已知椭圆x 24b 2＋y 2b 2＝1上一点P 到右焦点F 2的距离为b (b >1)，求P 到左准线的距离．解 方法一 由x 24b 2＋y 2b 2＝1，得a ＝2b ，c ＝3b ，e ＝32.由椭圆第一定义， PF 1＋PF 2＝2a ＝4b ，得PF 1＝4b －PF 2＝4b －b ＝3b .由椭圆第二定义，PF 1d 1＝e ，d 1为P 到左准线的距离， ∴d 1＝PF 1e ＝23b ，即P 到左准线的距离为23b . 方法二 ∵PF 2d 2＝e ，d 2为P 到右准线的距离． e ＝c a ＝32，∴d 2＝PF 2e ＝233b . 又椭圆的两准线的距离为2·a 2c ＝833b ， ∴P 到左准线的距离为833b －233b ＝23b . 要点二 应用统一定义转化求最值例2 已知椭圆x 28＋y 26＝1内有一点P (1，－1)，F 是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M ，使MP ＋2MF 之值为最小．解 设d 为M 到右准线的距离．∵e ＝c a ＝12，MF d ＝12， ∴MF 12＝d ，即d ＝2MF (如图)． 故MP ＋2MF ＝MP ＋MM ′.显然，当P 、M 、M ′三点共线时，所求的值为最小，从而求得点M 的坐标为(2315，－1)．规律方法 本例中，利用统一定义，将椭圆上点M 到焦点F 的距离转化为到准线的距离，再利用图形的形象直观，使问题得到简捷的解决．跟踪演练2 已知双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F ，点A (9,2)，试在双曲线上求一点M ，使MA ＋35MF 的值最小，并求这个最小值． 解 过M 作MN 垂直于双曲线的右准线l 于N ，由第二定义可知MN ＝MF e(如图)． 又a ＝3，b ＝4，c ＝5，e ＝53， ∴MN ＝35MF ，∴MA ＋35MF ＝MA ＋MN ，显然当M 、N 、A 三点共线时MA ＋MN ＝AN 为最小，即MA ＋35MF 取得最小值，此时AN ＝9－a 2c ＝9－95＝365，∴MA ＋35MF 的最小值为365，此时点M (352，2)． 要点三 圆锥曲线统一定义的综合应用例3 已知A 、B 是椭圆x 2a 2＋y 2925a 2＝1上的点，F 2是右焦点，且AF 2＋BF 2＝85a ，AB 的中点N 到左准线的距离等于32，求此椭圆方程． 解 设F 1为左焦点，则根据椭圆定义有：AF 1＋BF 1＝2a －AF 2＋2a －BF 2＝4a －(AF 2＋BF 2)＝4a －85a ＝125a . 再设A 、B 、N 三点到左准线距离分别为d 1，d 2，d 3，由梯形中位线定理有d 1＋d 2＝2d 3＝3，而已知b 2＝925a 2， ∴c 2＝1625a 2，∴离心率e ＝45， 由统一定义AF 1＝ed 1，BF 1＝ed 2，∴AF 1＋BF 1＝125a ＝e (d 1＋d 2)＝125，∴a ＝1， ∴椭圆方程为x 2＋y 2925＝1. 规律方法 在圆锥曲线有关问题中，充分利用圆锥曲线的共同特征，将曲线上的点到准线的距离与到焦点的距离相互转化是一种常用方法．跟踪演练3 设P (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点，F 1为其左焦点． (1)求PF 1的最小值和最大值；(2)在椭圆x 225＋y 25＝1上求一点P ，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直． 解 (1)对应于F 1的准线方程为x ＝－a 2c， 根据统一定义：PF 1x 0＋a 2c＝e ， ∴PF 1＝a ＋ex 0.又－a ≤x 0≤a ，∴当x 0＝－a 时，(PF 1)min ＝a ＋c a×(－a )＝a －c ； 当x 0＝a 时，(PF 1)max ＝a ＋c a·a ＝a ＋c . (2)∵a 2＝25，b 2＝5，∴c 2＝20，e 2＝45. ∵PF 21＋PF 22＝F 1F 22，∴(a ＋ex 0)2＋(a －ex 0)2＝4c 2. 将数据代入得25＋45x 20＝40.∴x 0＝±532. 代入椭圆方程得P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫532，52，⎝⎛⎭⎫532，－52，⎝⎛⎭⎫－532，52，⎝⎛⎭⎫－532，－52.1．已知方程(1＋k )x 2－(1－k )y 2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为________． 答案 －1<k <1解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋k >0，1－k >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k >－1，k <1，即－1<k <1. 2．已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF→1＋PF →2|的最小值是________． 答案 2解析 设P (x 0，y 0)，则PF →1＝(－1－x 0，－y 0)，PF →2＝(1－x 0，－y 0)，∴PF →1＋PF →2＝(－2x 0，－2y 0)，∴|PF →1＋PF →2|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF →1＋PF →2|取最小值为2.3．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点．满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．答案 (0，22) 解析 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径，由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部，设点P 为椭圆上任意一点，则OP >c 恒成立，由椭圆性质知OP ≥b ，其中b 为椭圆短半轴长，∴b >c ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2，∴(c a )2<12，∴e ＝c a <22. 又∵0<e <1，∴0<e <22. 4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m ＞0，n ＞0)，有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是________．答案 12解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝c 2， ①m 2＋n 2＝c 2，②c 2＝am ，③2n 2＝2m 2＋c 2，④由②④可得m 2＋n 2＝2n 2－2m 2，即n 2＝3m 2，⑤⑤代入②得4m 2＝c 2⇒c ＝2m ，⑥⑥代入③得4m 2＝am ⇒a ＝4m .所以椭圆的离心率e ＝c a ＝12.1.三种圆锥曲线的共同特征是曲线上的点到定点的距离与它到定直线距离的比是常数．2．利用圆锥曲线的统一定义可实现曲线上的点到焦点的距离与到准线距离的相互转化．一、基础达标1．若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则实数a ＝______.答案 －1解析 焦点为(1,0)，代入直线方程，可得a ＝－1.2．已知椭圆的准线方程为y ＝±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为____________． 答案 x 23＋y 24＝1 解析 由⎩⎨⎧ a 2c ＝4，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c ＝1. 所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆的标准方程为x 23＋y 24＝1. 3．双曲线3x 2－y 2＝9，P 是双曲线上一点，则P 点到右焦点的距离与P 点到右准线的距离的比值为________．答案 2解析 由统一定义，所求距离之比即为双曲线的离心率．双曲线方程可化为x 23－y 29＝1， 得a 2＝3，b 2＝9，c 2＝a 2＋b 2＝12，所以e ＝c a ＝123＝2. 4．椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到左焦点F 1的距离为3，则点P 到左准线的距离为________． 答案 5解析 依题意e ＝35，所以点P 到左准线的距离d ＝PF 1e＝5. 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，右准线方程为x ＝33，则双曲线方程为__________．答案 x 2－y 22＝1 解析 由⎩⎨⎧c a ＝3，a 2c ＝33，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝3，所以b 2＝3－1＝2. 所以双曲线方程为x 2－y 22＝1. 6．已知抛物线y 2＝2px 的准线与双曲线x 2－y 2＝2的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为________．答案 (1,0)解析 双曲线的左准线为x ＝－1，抛物线的准线为x ＝－p 2，所以p 2＝1，所以p ＝2. 故抛物线的焦点坐标为(1,0)．7．已知双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，一条准线方程为y ＝95，求该双曲线的标准方程． 解 由已知可设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)． 由题意有⎩⎨⎧a 2c ＝95，ab ＝34，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16. 所以所求双曲线方程为y 29－x 216＝1. 二、能力提升8．已知点P 在椭圆x 216＋y 225＝1上，F 1、F 2是椭圆的上、下焦点，M 是PF 1的中点，OM ＝4，则点P 到下准线的距离为________．答案 403解析 因为OM 是△F 1F 2P 的中位线，所以PF 2＝2OM ＝8.又e ＝35，所以P 到下准线的距离d ＝PF 2e ＝8×53＝403. 9．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上横坐标为3a 2的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线的离心率的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 由已知得(3a 2－a 2c )e >3a 2＋a 2c，即3c 2>5ac ＋2a 2， 所以3e 2－5e －2>0，解得e >2或e <－13(舍去)． 10．在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应的准线的距离为1，则椭圆的离心率为________．答案 22解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)， 则右焦点F (c,0)，右准线l ：x ＝a 2c. 把x ＝c 代入椭圆的方程得y 2＝b 2(1－c 2a 2)＝b 4a 2，即y ＝±b 2a. 依题设知2b 2a ＝2且a 2c －c ＝b 2c＝1， 所以e ＝c a ＝b 2a ·c b 2＝22×1＝22. 11．已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．解 (1)椭圆的焦点为(5，0)，(－5，0)，它也是双曲线的焦点．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)． 则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝2. 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)由(1)可知双曲线的右准线为x ＝a 2c ＝355. 它也是抛物线的准线，所以p 2＝355， 故抛物线的标准方程为y 2＝－1255x . 12．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率e ＝22，点F 2到右准线l 的距离为 2.(1)求a 、b 的值；(2)设M 、N 是l 上的两个动点，F 1M →·F 2N →＝0，证明：当|MN →|取最小值时，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝0.(1)解 因为e ＝c a ，F 2到l 的距离d ＝a 2c－c ， 所以由题设得⎩⎨⎧ c a ＝22，a 2c －c ＝2，解得c ＝2，a ＝2.由b 2＝a 2－c 2＝2，得b ＝ 2.故a ＝2，b ＝ 2.(2)证明 由c ＝2，a ＝2得F 1(－2，0)，F 2(2，0)，l 的方程为x ＝22， 故可设M (22，y 1)，N (22，y 2)．由F 1M →·F 2N →＝0知(22＋2，y 1)·(22－2，y 2)＝0，得y 1y 2＝－6，所以y 1y 2≠0，y 2＝－6y 1. |MN →|＝|y 1－y 2|＝|y 1＋6y 1|＝|y 1|＋6|y 1|≥26， 当且仅当y 1＝±6时，上式取等号，此时y 2＝－y 1，所以，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝(－22，0)＋(2，y 1)＋(2，y 2)＝(0，y 1＋y 2)＝0.三、探究与创新13.如图所示，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4,0)，过点F 2作垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且F 1B ＋F 2B ＝10，椭圆上不同的两点A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)满足条件：F 2A 、F 2B 、F 2C 成等差数列．(1)求该椭圆的方程；(2)求弦AC 中点的横坐标．解 (1)由椭圆定义及条件知，2a ＝F 1B ＋F 2B ＝10，得a ＝5，又c ＝4，所以b ＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 225＋y 29＝1.(2)由点B (4，y B )在椭圆上，得F 2B ＝y B ＝95. 因为椭圆右准线方程为x ＝254，离心率为45， 根据椭圆定义，有F 2A ＝45⎝⎛⎭⎫254－x 1，F 2C ＝45⎝⎛⎭⎫254－x 2，由F 2A 、F 2B 、F 2C 成等差数列，得 45⎝⎛⎭⎫254－x 1＋45⎝⎛⎭⎫254－x 2＝2×95，由此得出x 1＋x 2＝8.设弦AC 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝4.。
2018学年高中数学选修1-1检测：第2章 圆锥曲线与方程2
第二章 2. 1.2.1一、选择题(每小题5分，共20分)1．设已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A ．(－3,0)B ．(－4,0)C ．(－10,0)D ．(－5,0)解析： 圆的方程可化为(x －3)2＋y 2＝1， ∴圆心为(3,0)，则椭圆的一个焦点为(3,0)， ∴c ＝3,2b ＝8，b ＝4. a 2＝b 2＋c 2＝25， ∴a ＝5，椭圆的左顶点为(－5,0)． 答案： D2．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，则椭圆C 的方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B ．x 2＋y 23＝1C.x 23＋y 22＝1 D ．x 22＋y 23＝1解析： 因为c a ＝63，且c ＝2，所以a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.答案： A3．设0<k <9，则椭圆x 29－k ＋y 225－k ＝1与x 225＋y 29＝1具有相同的( )A ．顶点B ．长轴与短轴C ．离心率D ．焦距解析： 由0<k <9，知0<9－k <25－k ，椭圆x 29－k ＋y 225－k ＝1焦点在y 轴上，焦距为8.而椭圆x 225＋y 29＝1的焦点在x 轴上，焦距也为8.答案： D4．椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为( ) A.5－12 B ．3－12 C.32D ．5＋12解析： 依题意：4b 2＝4ac ，∴b 2a 2＝ca ，即1－e 2＝e .∴e 2＋e －1＝0，∴e ＝5－12(舍去负值)．答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．解析： 由椭圆x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)，O (0,0)．设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝⎛⎭⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2， 当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6. 答案： 66．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为____________．解析： 依题意设椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12， ∴2a ＝12，即a ＝6.∵椭圆的离心率为32，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴36－b 26＝32，∴b 2＝9.∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1.答案： x 236＋y 29＝1三、解答题(每小题10分，共20分)7．设椭圆方程为mx 2＋4y 2＝4m (m ＞0)的离心率为12，试求椭圆的长轴的长和短轴的长，焦点坐标及顶点坐标．解析： 椭圆方程可化为x 24＋y 2m＝1.(1)当0＜m ＜4时，a ＝2，b ＝m ，c ＝4－m . ∴e ＝ca ＝4－m 2＝12，∴m ＝3，∴b ＝3，c ＝1.∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别是4,23，焦点坐标为F 1(－1，0)，F 2(1,0)，顶点坐标为A 1(－2,0)，A 2(2,0)，B 1(0，－3)，B 2(0，3)．(2)当m ＞4时，a ＝m ，b ＝2， ∴c ＝m －4， ∴e ＝c a ＝m －4m ＝12，解得m ＝163，∴a ＝433，c ＝233，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为833，4，焦点坐标为F 1⎝⎛⎭⎫0，－233，F 2⎝⎛⎭⎫0，233，顶点坐标为A 1⎝⎛⎭⎫0，－433，A 2⎝⎛⎭⎫0，433，B 1(－2,0)，B 2(2,0)．8．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点(3,0)，离心率e ＝63； (2)焦距为6，在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直． 解析： (1)当椭圆的焦点在x 轴上时，因为a ＝3，e ＝63，所以c ＝6，从而b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时，因为b ＝3，e ＝63，所以a 2－b 2a ＝63，所以a 2＝27，所以椭圆的标准方程为y 227＋x 29＝1，综上可知，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由已知得c ＝3，b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.9．(10分)如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解析： 设椭圆的长半轴，短半轴，半焦距长分别为a ，b ，c .则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，23b ， 则△MF 1F 2为直角三角形． 在Rt △MF 1F 2中， |F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2， 即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab .又因为c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a ，所以b 2a 2＝49，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，所以e ＝53.。
选修2-1数学第2章_圆锥曲线与方程单元练习题含答案
选修2-1数学第2章圆锥曲线与方程单元练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，起直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为（）A.√2B.12C.√24D.√222. 如图，已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线E的左、右焦点，且点C，D在双曲线E上，若|AB|=6，|BC|=52，则此双曲线的离心率为（）A.√2B.32C.52D.√53. 设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B．若|BF2|=|F1F2|=2，则该椭圆的标准方程为（）A.x24+y23=1 B.x23+y2=1 C.x22+y2=1 D.x24+y2=14. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的顶点和焦点到C的同一条渐近线的距离之比为12，则双曲线C的离心率是()A.√2B.2C.√3D.35. 已知点A(0,1)，抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点为F，射线FA与抛物线相交于M，与其准线相交于点N，若|FM|:|MN|=2:√5，则a=()A.2B.4C.6D.86. 焦点为(0,2)的抛物线的标准方程是()A.x2=8yB.x2=4yC.y2=4xD.y2=8x7. 椭圆x2+4y2=1的离心率为（）A.√32B.34C.√22D.238. 若双曲线x24−m +y2m−2=1的渐近线方程为y=±13x，则m的值为（）A.1B.74C.114D.59. 抛物线y=2x2的通径长为( )A.2B.1C.12D.1410. 已知双曲线C:x24−y2=1，则C的渐近线方程为 ( )A.y=±14x B.y=±13x C.y=±12x D.y=±x11. 椭圆x24+y25=1的离心率是（）A.3 5B.√55C.25D.1512. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过F作直线l与两条渐近线交于A，B两点．若△OAB为等腰直角三角形（O为坐标原点）则△OAB的面积为( )A.a2B.2a3C.2a2或a2D.2a2或12a213. 已知椭圆x29+y25=1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________.14. 若直线y=x+b与曲线x=√1−y2恰有一个公共点，则b的取值范围是________．15. 与椭圆x25+y23=1共焦点的等轴双曲线的方程为________．16. 已知双曲线x2−y28=1上有三个点A，B，C，且AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，用字母k表示斜率，若k OD+k OE+k OF=−8（点O为坐标原点，且k OD，k OE，k OF均不为零），则1k AB +1k BC+1k AC=________.17. 设命题p：方程x2a+6+y2a−7=1表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题q：存在x∈R，使得x2−4x+a<0.若“p∧(¬q)”为真，求实数a的取值范围.18. 回答下列问题：（1）求过点(2,−2)且与双曲线x 22−y2=1有公共渐近线的双曲线的方程；（2）求双曲线x 24−y25=1的焦点到其渐近线的距离．19. 如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点A为椭圆C上任意一点，A关于原点O的对称点为B，有|AF1|+|BF1|=4，且∠F1AF2的最大值为π3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若A′是A关于x轴的对称点，设点N(4,0)，连接NA与椭圆C相交于点E，问直线A′E与x轴是否交于一定点，如果是，求出该定点坐标；如果不是，说明理由.20. 已知椭圆的焦点在α轴上，一个顶点为(0,1)，离心率为e=√5，过椭圆的右焦点F的直线1与坐标轴不垂直，且交椭圆于A，B两点．(1)求椭圆的方程．(2)设点C是点A关于x轴的对称点，在α轴上是否存在一个定点N，使得C，B，N三点共线？若存在，求出定点N的坐标；若不存在，说明理由．21. 已知直线l：x−y+1=0与焦点为F的抛物线C：y2=2px(p>0)相切.(1)求抛物线C的方程；(2)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值.22. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为12，点P(1, 32)为椭圆上一点．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)如图，过点C(0, 1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值．参考答案与试题解析选修2-1数学第2章 圆锥曲线与方程单元练习题含答案一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） 1.【答案】 D【考点】 椭圆的定义 【解析】根据三视图的性质得到俯视图中椭圆的短轴长和长周长，再根据椭圆的性质a 2−b 2=c 2，和离心率公式e =ca ，计算即可．【解答】解：设正视图正方形的边长为2，根据正视图与俯视图的长相等，得到俯视图中椭圆的短轴长2b =2，俯视图的宽就是圆锥底面圆的直径2√2，得到俯视图中椭圆的长轴长2a =2√2， 则椭圆的半焦距c =√a 2−b 2=1， 根据离心率公式得，e =c a =√2=√22； 故选D ． 2. 【答案】 B【考点】双曲线的标准方程 【解析】本题主要考查双曲线的几何性质． 【解答】解：因为2c =|AB|=6，所以c =3． 因为b 2a =|BC|=52，所以5a =2b 2． 又c 2=a 2+b 2，所以9=a 2+5a 2，解得a =2或a =−92（舍去），故该双曲线的离心率e =c a=32．故选B ． 3. 【答案】 A【考点】椭圆的标准方程 【解析】由|BF 2|=|F 1F 2|=2，可得a =2c =2，即可求出a ，b ，从而可得椭圆的方程． 【解答】解：∵ |BF 2|=|F 1F 2|=2，∴a=2c=2，∴a=2，c=1，∴b=√3，∴椭圆的方程为x24+y23=1．故选A．4.【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】【解答】解：∵双曲线C的顶点和焦点到同一条渐近线的距离之比为12，由三角形相似得ac =12，∴e=ca=2.故选B．5.【答案】D【考点】斜率的计算公式抛物线的性质【解析】无【解答】解：依题意F点的坐标为(a4,0)，作MK垂直于准线，垂足为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，因为|FM|:|MN|=2:√5，则|KN|:|KM|=1:2.k FN =0−1a4−0=−4a ，k FN =−|KN||KM|=−12，所以−4a =−12，求得a =8. 故选D ． 6. 【答案】 A【考点】抛物线的标准方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意得，抛物线的焦点为(0,2)， 可得p =4.又抛物线的焦点在y 轴的正半轴， 所以抛物线的标准方程为x 2=8y . 故选A. 7. 【答案】 A【考点】 椭圆的离心率 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 8.【答案】 B【考点】 双曲线的定义 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 9.【答案】 C【考点】 抛物线的定义 抛物线的性质 【解析】抛物线y =−2x 2，即x 2=−12y ，可得2p .解：抛物线y=2x2，化为标准方程为x2=12y，可得2p=12，因此通径长为12.故选C．10.【答案】C【考点】双曲线的渐近线【解析】根据双曲线的方程求出双曲线的渐近线即可. 【解答】解：由题意可得，a=2，b=1，则双曲线的渐近线方程为y=±ba x=±12x.故选C.11.【答案】B【考点】椭圆的离心率椭圆的标准方程【解析】根据椭圆的标准方程求出a，b的值，根据椭圆中c2=a2−b2就可求出c，再利用离心率e=ca得到离心率．【解答】解：由椭圆方程为x 24+y25=1可知，a2=5，b2=4，∴c2=a2−b2=1，a=√5，∴c=1，∴椭圆的离心率e=ca =√55.故选B.12.【答案】D【考点】双曲线的简单几何性质双曲线中的平面几何问题本题主要考查双曲线的性质以及直线和双曲线的关系，联立方程组，求出点的坐标，再求出面积即可.【解答】解：①若∠AOB=90∘，则∠AOF=45∘，∴ba=1故c=√a2+b2=√2a，∴S△OAB=12⋅2c⋅c=c2=2a2；②若∠BAO=90∘，则l与y=bax垂直且过F点，垂足为A，∴ l的斜率为−ab，则直线l的方程为y=−ab(x−c)，联立{y=−ab⋅(x−c),y=bax,解得x=a 2c ，y=abc，则点A为(a 2c ,ab c)∴ △OAB为等腰直角三角形，OB为斜边，∴ OA=AB，OA2=(a2c )2+(abc)2=a2，∴S△OAB=12OA⋅AB=12OA2=12a2.综上所述S△OAB=2a2或12a2.故选D.二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】√15【考点】与椭圆有关的中点弦及弦长问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由椭圆方程可知a=3，c=2，∴F(−2, 0)，根据题意，画出图形：设线段PF中点为M，椭圆右焦点为F1，∵M在以O为圆心，|OF|为半径的圆上，∴F1也在圆上，连接OM, PF1, MF1，则∠FMF1=90∘，OM是△FPF1的中位线，∴|PF1|=2|OM|=2|OF|=2×2=4，由椭圆定义|PF|+|PF1|=2a=6，得|PF|=2，|MF|=|PF|2=1，又∵∠FMF1为直角，|MF1|2=|FF1|2−|MF|2=15，∴tan∠MFF1=|MF1||MF|=√151=√15，∴直线PF的斜率是√15.故答案为：√15.14.【答案】(−1,1]∪{−√2}【考点】曲线与方程直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】x=√1−y2⇔x2+y2=1(x≥0)方程x2+y2=1(x≥0)所表示的曲线为半圆（如图）当直线与圆相切时或在l2与l3之间时，适合题意．此时−1<b≤1或b=−√2，所以b的取值范围是(−1,1]∪{−√2}．15.【答案】x2−y2=1【考点】双曲线的标准方程圆锥曲线的共同特征【解析】利用椭圆的三参数的关系求出双曲线的焦点坐标；利用等轴双曲线的定义设出双曲线的方程，据双曲线中三参数的关系求出双曲线的方程．【解答】解：对于x 25+y23=1知半焦距为c=√5−3=√2所以双曲线的焦点为(±√2,0)设等轴双曲线的方程为x 2a2−y2a2=1据双曲线的三参数的关系得到2a2=2所以a2=1所以双曲线的方程为x2−y2=1．故答案为：x2−y2=116.【答案】−1【考点】斜率的计算公式中点坐标公式与双曲线有关的中点弦及弦长问题【解析】【解答】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x0,y0)，则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，x12−y128=1，x22−y228=1,两式相减得(x1−x2)(x1+x2)=(y1+y2)(y1−y2)8，整理可得x1−x2y1−y2=y08x0，即1k AB=k OD8，同理得1k BC =k OE8，1k AC=k OF8.因为k OD+k OE+k OF=−8，所以1k AB +1k BC+1k AC=−1.故答案为：−1.三、解答题（本题共计 6 小题，每题 11 分，共计66分）17.【答案】解：命题p ：(a +6)(a −7)<0，解得−6<a <7； 命题q ：Δ=(−4)2−4a >0，解得a <4. ∴ ¬q ：a ≥4.∵ “p ∧(¬q)”为真， ∴ p 为真且¬q 为真， ∴ 4≤a <7. 【考点】逻辑联结词“或”“且”“非” 双曲线的标准方程 一元二次不等式的解法【解析】 此题暂无解析 【解答】解：命题p ：(a +6)(a −7)<0，解得−6<a <7； 命题q ：Δ=(−4)2−4a >0，解得a <4. ∴ ¬q ：a ≥4.∵ “p ∧(¬q)”为真， ∴ p 为真且¬q 为真， ∴ 4≤a <7. 18. 【答案】解：（1）因为所求双曲线与双曲线x 22−y 2=1有公共渐近线， 所以可设所求双曲线的方程为x 22−y 2=λ(λ≠0)．因为所求双曲线过点(2,−2)， 所以222−(−2)2=λ，得λ=−2，所以所求双曲线的方程为y 22−x 24=1． （2）因为双曲线的方程为x 24−y 25=1，所以双曲线的一条渐近线方程为y =√52x ， 即√5x −2y =0．因为双曲线的左、右焦点到渐近线的距离相等， 且(3,0)为双曲线的一个焦点， 所以双曲线x 24−y 25=1的焦点到其渐近线的距离为|3√5−0|3=√5．【考点】双曲线的离心率 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：（1）因为所求双曲线与双曲线x 22−y 2=1有公共渐近线，所以可设所求双曲线的方程为x 22−y 2=λ(λ≠0)．因为所求双曲线过点(2,−2)， 所以222−(−2)2=λ，得λ=−2， 所以所求双曲线的方程为y 22−x 24=1． （2）因为双曲线的方程为x 24−y 25=1，所以双曲线的一条渐近线方程为y =√52x ， 即√5x −2y =0．因为双曲线的左、右焦点到渐近线的距离相等， 且(3,0)为双曲线的一个焦点， 所以双曲线x 24−y 25=1的焦点到其渐近线的距离为|3√5−0|3=√5．19.【答案】解：(1)点A 为椭圆C 上任意一点， A 关于原点O 的对称点为B ， 由|AF 1|+|BF 1|=4知 2a =4， 得a =2.又∠F 1AF 2的最大值为π3，知当A 为上顶点时，∠F 1AF 2最大， 所以a =2c ， 得c =1，所以b 2=a 2−c 2=3. 所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)由题知NA 的斜率存在，设NA 方程为 y =k(x −4)，与椭圆联立，得(4k 2+3)x 2−32k 2x +64k 2−12=0.① 设点A (x 1,y 1),E (x 2,y 2)， 则A ′(x 1,−y 1).直线A ′E 方程为y −y 2=y 2+y1x 2−x 1(x −x 2).令y =0得x =x 2+y 2(x 1−x 2)y 1+y 2，将y1=k(x1−4),y2=k(x2−4)代入，整理得，x=2x1x2−4(x1+x2)x1+x2−8.②x1+x2=32k24k2+3，x1x2=64k2−124k2+3.代入②整理，得x=1.所以直线A′E与x轴交于定点Q(1,0). 【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题与直线关于点、直线对称的直线方程直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程椭圆的定义【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)点A为椭圆C上任意一点，A关于原点O的对称点为B，由|AF1|+|BF1|=4知2a=4，得a=2.又∠F1AF2的最大值为π3，知当A为上顶点时，∠F1AF2最大，所以a=2c，得c=1，所以b2=a2−c2=3.所以椭圆C的标准方程为x 24+y23=1.(2)由题知NA的斜率存在，设NA方程为y=k(x−4)，与椭圆联立，得(4k2+3)x2−32k2x+64k2−12=0.①设点A(x1,y1),E(x2,y2)，则A′(x1,−y1).直线A′E方程为y−y2=y2+y1x2−x1(x−x2).令y =0得x =x 2+y 2(x 1−x 2)y 1+y 2，将y 1=k (x 1−4),y 2=k (x 2−4)代入， 整理得，x =2x 1x 2−4(x 1+x 2)x 1+x 2−8.②x 1+x 2=32k 24k 2+3， x 1x 2=64k 2−124k 2+3.代入②整理，得x =1.所以直线A ′E 与x 轴交于定点Q(1,0). 20. 【答案】（1）椭圆C 的标准方程为x 25+y 2=1．（2）存在定点N (52,0),使得C ．B ．N 三点共线． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：（1）由椭圆的焦点在x 轴上， 设椭圆C 的方程为x 2a2+y 2b 2=1(ab >0)，椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即b =1， 由e =ac √1−b 2a 2=√5解得a 2=5，∴ 椭圆C 的标准方程为x 25+y 2=1．（2）由得F (2,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)设直线l 的方程为y =k (x −2)(k ≠0),代入椭圆方程，消去y 可得 (5k 2+1)x 2−20k 2x +20k 2−5=0, 则x 1+x 2=20k 25k 2+1，x 1x 2=20k 2−55k 2+1．∵ 点C 与点A 关于x 轴对称， ∴ C (x 1,−y 1) ．假设存在N (t,0),使得C ，B ，N 三点共线， 则BN →=(t −x 2,−y 2),CN →=(t −x 1,y 1). ∵ C ，B ，N 三点共线，∴ BN →//CN →，∴ (t −x 2)y 1+(t −x 1)y 2=0， 即(y 1+y 2)t =x 2y 1+x 1y 2 ∴ t =k (x 1−2)x 2+k (x 2−2)x 1k (x 1−2)+k (x 2−2) =2⋅20k 2−55k 2+1−2⋅20k 25k 2+120k 25k 2+1−4=52∴ 存在定点N (52,0),使得C ．B ．N 三点共线．21.【答案】解：(1)∵ 直线l ：x −y +1=0与抛物线C 相切. 由{x −y +1=0，y 2=2px ，得y 2−2py +2p =0，从而Δ=4p 2−8p =0， 解得p =2.∴ 抛物线C 的方程为y 2=4x . (2)由于直线m 的斜率不为0，所以可设直线m 的方程为ty =x −1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由{ty =x −1，y 2=4x ，消去x 得y 2−4ty −4=0，∴ y 1+y 2=4t ，从而x 1+x 2=4t 2+2， ∴ 线段AB 的中点M 的坐标为(2t 2+1,2t). 设点A 到直线l 的距离为d A ， 点B 到直线l 的距离为d B ， 点M 到直线l 的距离为d ， 则d A +d B =2d =2⋅2√2=2√2|t 2−t +1| =2√2|(t −12)2+34|，∴ 当t =12时，A ，B 两点到直线l 的距离之和最小，最小值为3√22. 【考点】直线与抛物线结合的最值问题 二次函数在闭区间上的最值 抛物线的标准方程 直线与圆的位置关系【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ 直线l ：x −y +1=0与抛物线C 相切. 由{x −y +1=0，y 2=2px ，得y 2−2py +2p =0，从而Δ=4p 2−8p =0， 解得p =2.∴ 抛物线C 的方程为y 2=4x . (2)由于直线m 的斜率不为0，所以可设直线m 的方程为ty =x −1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由{ty =x −1，y 2=4x ，消去x 得y 2−4ty −4=0，∴ y 1+y 2=4t ，从而x 1+x 2=4t 2+2， ∴ 线段AB 的中点M 的坐标为(2t 2+1,2t). 设点A 到直线l 的距离为d A ， 点B 到直线l 的距离为d B ， 点M 到直线l 的距离为d ， 则d A +d B =2d =2⋅2√2=2√2|t 2−t +1| =2√2|(t −12)2+34|，∴ 当t =12时，A ，B 两点到直线l 的距离之和最小，最小值为3√22. 22. 【答案】（1）根据题意，椭圆的离心率为12，即e =ca =2，则a ＝2c ． 又∵ a 2＝b 2+c 2，∴ b =√3c ． ∴ 椭圆的标准方程为：x 24c 2+y 23c 2=1． 又∵ 点P(1, 32)为椭圆上一点，∴ 14c 2+943c 2=1，解得：c ＝1．∴ 椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1．（2）由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y ＝kx +1． 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)．联列方程组：{x 24+y 23=1y =kx +1 ，消去y 可得：(3+4k 2)x 2+8kx −8＝0． ∴ 由韦达定理可知：x 1+x 2=−8k 3+4k2，x 1x 2=−83+4k 2．∵ k 1=y 1x 1+2，k 2=y 2x 1−2，且k 1＝2k 2，∴y 1x 1+2=2y 2x 2−2，即y 12(x 1+2)2=4y 22(x 2−2)2．①又∵ M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)在椭圆上， ∴ y 12=34(4−x 12)，y 22=34(4−x 22)．② 将②代入①可得：2−x 12+x 1=4(2+x 2)2−x 2，即3x 1x 2+10(x 1+x 2)+12＝0．∴ 3(−83+4k 2)+10(−8k3+4k 2)+12=0，即12k 2−20k +3＝0． 解得：k =16或k =32． 又由k >1，则k =32． 【考点】 椭圆的离心率 【解析】（1）根据题意，由椭圆离心率可得a ＝2c ，进而可得b =√3c ，则椭圆的标准方程为x 24c 2+y 23c 2=1，将P 的坐标代入计算可得c 的值，即可得答案； （2）根据题意，设直线l 的方程为y ＝kx +1，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，将直线的方程与椭圆联立，可得(3+4k 2)x 2+8kx −8＝0，由根与系数的关系分析，：x 1+x 2=−8k 3+4k 2，x 1x 2=−83+4k 2，结合椭圆的方程与直线的斜率公式可得3(−83+4k 2)+10(−8k3+4k 2)+12=0，即12k 2−20k +3＝0，解可得k 的值，即可得答案． 【解答】（1）根据题意，椭圆的离心率为12，即e =c a=2，则a ＝2c ．又∵ a 2＝b 2+c 2，∴ b =√3c ． ∴ 椭圆的标准方程为：x 24c 2+y 23c 2=1． 又∵ 点P(1, 32)为椭圆上一点，∴ 14c 2+943c 2=1，解得：c ＝1．∴ 椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1．（2）由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y ＝kx +1． 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)．联列方程组：{x 24+y 23=1y =kx +1 ，消去y 可得：(3+4k 2)x 2+8kx −8＝0．∴ 由韦达定理可知：x 1+x 2=−8k 3+4k 2，x 1x 2=−83+4k 2．∵ k 1=y 1x1+2，k 2=y 2x 1−2，且k 1＝2k 2，∴ y 1x 1+2=2y 2x 2−2，即y 12(x 1+2)2=4y 22(x 2−2)2．①又∵ M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)在椭圆上， ∴ y 12=34(4−x 12)，y 22=34(4−x 22)．② 将②代入①可得：2−x12+x 1=4(2+x 2)2−x 2，即3x 1x 2+10(x 1+x 2)+12＝0．∴ 3(−83+4k 2)+10(−8k 3+4k 2)+12=0，即12k 2−20k +3＝0．解得：k =16或k =32． 又由k >1，则k =32．。
2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.2 第1课时 双曲线
|PQ|＝ x2＋y－52＝ 54y－42＋5－b2，
其中 y≥2b，若 2b≤4，当 y＝4 时，|PQ|最小＝2． 从而，5－b2＝4，即 b2＝1，双曲线方程为y42－x2＝1． 若 2b>4，当 y＝2b 时，|PQ|最小＝2，从而54(2b－4)2＋5－b2＝4，所以 b＝72或 b ＝32(与 b>2 矛盾)． 所以双曲线方程为4y92 －44x92＝1． 故所求双曲线方程为y42－x2＝1 或4y92 －44x92＝1.
离心率 渐近线
c e＝__a____∈_____(_1_，__＋__∞_)____
____y＝__±__ba_x _____
___y_＝__±_ab_x______
• 2.等轴双曲线 • 实轴和虚轴等长的双曲线，标准方x2程－为y2＝__a2____________.
1．双曲线x42－y2＝1 的实轴长为 A．4 C． 3
『规律总结』 1.求双曲线的离心率，常常利用已知条件列出关于 a、b、c 的等式，利用 a2＋b2＝c2 消去 b 化为关于 a、c 的齐次式，再利用 e＝ac化为 e 的方 程求解．
2．学习双曲线中应注意的几个问题： (1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线； (2)双曲线只有两个顶点，离心率 e>1； (3)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线，其离心率为 2，实轴长与虚轴长相 等，两条渐近线互相垂直； (4)注意双曲线中 a、b、c、e 的等量关系与椭圆中 a、b、c、e 的不同．
B．2 D．1
( A)
[解析] ∵双曲线ax22－by22＝1 的实轴长为 2a，∴双曲线x42－y2＝1 的实轴长为 2a ＝4．
2．(江西九江一中 2017－2018 期末)双曲线y42－x2＝1 的离心率 e＝
2017_2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3双曲线学案苏教版选修1_1
2.3双曲线2．3.1 双曲线的标准方程在平面直角坐标系中A (－3,0)，B (3,0)，C (0，－3)，D (0，3)．问题1：若动点M 满足|MA －MB |＝4，设M 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足什么关系？ 提示：x 24－y 25＝1.问题2：若动点M 满足|MC －MD |＝4，设M 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足什么关系？ 提示：y 24－x 25＝1.双曲线的标准方程1．双曲线的标准方程与椭圆不同，左边是含x ，y 项的平方差，右边是1. 2．在双曲线中，a >0且b >0，但a 与b 的大小关系不确定． 3．在双曲线中a 、b 、c 满足c 2＝a 2＋b 2，与椭圆不同．[对应学生用书P26][例1] 已知双曲线过点P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫153，2两点，求双曲线的标准方程． [思路点拨] 解答本题可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a 、b 、c 的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程．也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的形式，将两点代入，简化运算过程．[精解详析] 法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∵P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫153，2两点在双曲线上． ∴⎩⎪⎨⎪⎧()－22a 2－－32b ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫1532a 2－22b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝1，1b 2＝13，即a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∵P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫153，2两点在双曲线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－32a 2－－22b 2＝1，22a2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1532b2＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝－13，1b 2＝－1，(不符合题意，舍去)．综上：所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.法二：设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， 因为双曲线过两点P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫153，2，得⎩⎪⎨⎪⎧m －22＋n －32＝1，m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1532＋n 22＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－13，所以所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.[一点通] 用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为：1．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)，求双曲线的方程；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．解：(1)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a2－152b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x 25－y 2＝1.2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝4，c ＝5，焦点在y 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)． 解：(1)由题设知，a ＝4，c ＝5， 由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝52－42＝9.因为双曲线的焦点在y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．因为点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即2a ＝|－5－2＋＋2－－5－02＋－2|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.[例2] 若方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值范围．[思路点拨] 由双曲线的焦点在y 轴上，得关于m 的不等式组，进而解不等式组求m 的范围．[精解详析] 由方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，得⎩⎪⎨⎪⎧5－m <0，m 2－2m －3>0.解得m >5.所以实数m 的取值范围是(5，＋∞)．[一点通] 给出方程x 2m ＋y 2n ＝1(mn ≠0)，当mn <0时，方程表示双曲线，当⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n <0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．3．k ＞9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的充要条件是 (9－k )·(k －4)＜0，即k ＞9或k ＜4. 因为k ＞9是k ＞9或k ＜4的充分不必要条件．即k ＞9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的充分不必要条件．答案：充分不必要4．若方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是________；若该方程表示双曲线，则m 的取值范围是________．解析：①若表示焦点在x 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧2－m >0|m |－3<0⇒－3<m <2.②若该方程表示双曲线，则 (2－m )(|m |－3)<0. 解得－3<m <2或m >3.答案：(－3,2) (－3,2)∪(3，＋∞)[例3] 已知F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线左支上的点，且PF 1·PF 2＝32，试求△F 1PF 2的面积．[思路点拨] 本题是有关双曲线的焦点三角形问题，解答本题的关键是求得∠F 1PF 2的大小．由余弦定理，根据已知条件，结合双曲线的定义即可求得结果．[精解详析] 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得|PF 2－PF 1|＝2a ＝6，将此式两边平方，得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36， ∴PF 21＋PF 22＝36＋2PF 1·PF 2＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝100－1002PF 1·PF 2＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝12×32＝16.[一点通] 在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要考虑定义|PF 1－PF 2|＝2a ，其次要利用余弦定理(或勾股定理)建立关于PF 1、PF 2、F 1F 2的方程，解方程组可求得PF 1、PF 2或PF 1·PF 2，再解决相关问题．5．已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则MN －MO ＝________.解析：如图，设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′，因为M ，O分别是FP ，FF ′的中点，所以MO ＝12PF ′，又FN ＝OF 2－ON 2＝5，由双曲线的定义知PF －PF ′＝8，故MN －MO ＝－12PF ′＋MF －FN ＝12(PF －PF ′)－FN ＝12×8－5＝－1.答案：－16．如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42， ∴F 1(－5,0)，半径r 1＝1；F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则MF 1＝R ＋1，MF 2＝R ＋4， ∴MF 2－MF 1＝3＜F 1F 2＝10.∴动圆圆心M 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线左支， 且a ＝32，c ＝5.∴b 2＝25－94＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为4x 29－4y 291＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤－32.1．用定义法求双曲线的标准方程时，要注意是一支还是两支．2．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组．[对应课时跟踪训练(十)]1．双曲线x 225－y 224＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为________．解析：设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，不妨设PF 1＝11，根据双曲线的定义知|PF 1－PF 2|＝2a ＝10，∴PF 2＝1或PF 2＝21，而F 1F 2＝14，∴当PF 2＝1时，1＋11<14(舍去)，∴PF 2＝21.答案：212．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，I 是△PF 1F 2的内心，且S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2，则λ＝________.解析：设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则由S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2⇒12×PF 2×r＝12×PF 1×r －12λ×F 1F 2×r ⇒PF 1－PF 2＝λF 1F 2，根据双曲线的标准方程知2a ＝λ·2c ，∴λ＝a c ＝45. 答案：453．若方程x 2k －3＋y 2k ＋3＝1(k ∈R )表示双曲线，则k 的范围是________．解析：依题意可知：(k －3)(k ＋3)<0，求得－3<k <3. 答案：－3<k <34．已知椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则实数a ＝________.解析：由双曲线x 2a －y 22＝1可知a >0，且焦点在x 轴上，根据题意知4－a 2＝a ＋2，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝1或a ＝－2(舍去)．故实数a ＝1.答案：15．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)，F 2＝(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足1MF ·2MF ＝0，|1MF |·|2MF |＝2，则该双曲线的方程是________．解析：∵1MF ·2MF ＝0，∴1MF ⊥2MF . ∴|1MF |2＋|2MF |2＝40.∴(|1MF |－|2MF |)2＝|1MF |2－2|1MF |·|2MF |＋|2MF |2＝40－2×2＝36.∴||1MF |－|2MF ||＝6＝2a ，a ＝3. 又c ＝10，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线方程为x 29－y 2＝1.答案：x 29－y 2＝16．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)以椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P (5，94)；(2)过点P 1(3，－4 2)，P 2(94，5)．解：(1)因为椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．由双曲线的定义知，|PF 1－PF 2| ＝|＋2＋94－2－ －2＋94－2|＝|4142－942|＝8，即2a ＝8，则a ＝4.又c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝9. 故所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. (2)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，分别将点P 1(3，－4 2)，P 2(94，5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋32B ＝1，8116A ＋25B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－19，B ＝116，故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.7．设F 1，F 2为双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝120°.求△F 1PF 2的面积．解：由已知得a ＝2，b ＝1；c ＝ a 2＋b 2＝5， 由余弦定理得：F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 120°即(2 5)2＝(PF 1－PF 2)2＋3PF 1·PF 2 ∵|PF 1－PF 2|＝4.∴PF 1·PF 2＝43.∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin 120°＝12×43×32＝33.8.如图，在△ABC 中，已知|AB |＝4 2，且三内角A ，B ，C 满足2sinA ＋sin C ＝2sinB ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解：以AB 边所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．则A (－2 2，0)，B (2 2，0)．设边BC 、AC 、AB 的长分别为a 、b 、c ，由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R(R 为△ABC 外接圆的半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝2 2<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．∵a ＝2，c ＝2 2，∴b 2＝6.∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．2．3.2 双曲线的几何性质歌曲《悲伤双曲线》的歌词如下：如果我是双曲线，你就是那渐近线，如果我是反比例函数，你就是那坐标轴，虽然我们有缘，能够坐在同一平面，然而我们又无缘，漫漫长路无交点．问题1：双曲线的对称轴、对称中心是什么？ 提示：坐标轴；原点．问题2：过双曲线的某个焦点且平行于渐近线的直线与双曲线有交点吗？ 提示：有一个交点．双曲线的几何性质观察所给两个双曲线方程． (1)x 24－y 24＝1；(2)x 2－y 2＝9.问题1：两个双曲线方程有何共同特点？提示：所给的两个双曲线方程的实轴长和虚轴长相等． 问题2：两个双曲线的离心率是多少？ 提示： 2.问题3：两双曲线的渐近线方程是什么？ 提示：渐近线方程y ＝±x .实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．1．离心率e 反映了双曲线开口的大小，e 越大，双曲线的开口就越大．2．双曲线有两条渐近线，渐近线与双曲线没有交点．渐近线方程用a ，b 表示时，受焦点所在坐标轴的影响．[对应学生用书P28][例1] 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．[思路点拨] 先化方程为标准形式，然后根据标准方程求出基本量a ，b ，c 即可得解，但要注意焦点在哪条坐标轴上．[精解详析] 由9y 2－4x 2＝－36得x 29－y 24＝1， ∴a 2＝9，b 2＝4.c 2＝a 2＋b 2＝13.∴c ＝13.∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0) 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)， 实轴长为2a ＝6，虚轴长为2b ＝4， 离心率为e ＝c a ＝133， 渐近线方程为y ＝±23x .[一点通] 求解双曲线的几何性质问题时，首先将方程化为标准方程，分清焦点所在的轴，写出a 与b 的值，进而求出c ，即可求得双曲线的性质．1．(湖北高考改编)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x2sin 2θ＝1，下列说法正确的个数为________．①实轴长相等；②虚轴长相等；③离心率相等；④焦距相等．解析：双曲线C 1和C 2的实轴长分别是2sin θ和2cos θ，虚轴长分别为2cos θ和2sin θ，则焦距都等于2，相等，离心率不相等，只有④正确．答案：12．(福建高考改编)双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________． 解析：双曲线x 2－y 2＝1的顶点坐标为(±1,0)，渐近线为y ＝±x ，∴顶点到渐近线的距离为|1－0|2＝22.答案：223．求双曲线16x 2－9y 2＝－144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．解：把方程化为y 216－x 29＝1，∴a ＝4，b ＝3，c ＝5.∴实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3，焦点坐标(0，－5)，(0,5)，离心率e ＝c a ＝54，渐近线方程为y ＝±43x .[例2] 求适合下列条件的双曲线标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)求与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程．[思路点拨] 分析双曲线的几何性质，求出a ，b ，c 的值，再确定(讨论)焦点位置，写出双曲线的标准方程．[精解详析] (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由题知2b ＝12，c a ＝54，且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8. ∴所求双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1. (2)当焦点在x 轴上时，由b a ＝32且a ＝3，得b ＝92.∴所求双曲线的标准方程为x 29－4y 281＝1. 当焦点在y 轴上时，由a b ＝32且a ＝3，得b ＝2.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 24＝1.(3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k ，将点(2，－2)代入，得k ＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.[一点通]由双曲线的性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，其步骤为： (1)判断：利用条件判断焦点的位置； (2)设：设出双曲线的标准方程；(3)列：利用已知条件构造关于参数的方程； (4)求：解参数方程，进而得标准方程．4．(广东高考改编)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率为32，则C 的方程是________．解析：由题意可知c ＝3，a ＝2，b ＝ c 2－a 2＝ 32－22＝5，故双曲线的方程为x 24－y 25＝1.答案：x 24－y 25＝15．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程是______________．解析：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，则焦点在x 轴上，且a ＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c ∶b ＝5∶4，解得c ＝5，b ＝4，则双曲线的标准方程是x 29－y 216＝1.答案：x 29－y 216＝16．求中心在原点，焦点在坐标轴上，过点M (3,4)且虚轴长是实轴长的2倍的双曲线方程．解：①若焦点在x 轴上，则双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1.∵M (3,4)在双曲线上，∴9a 2－16b2＝1.又∵b ＝2a ，∴9×4－16＝4a 2，解得a 2＝5，b 2＝20， ∴双曲线方程为x 25－y 220＝1.②若焦点在y 轴上，则双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1.∵M (3,4)在双曲线上，∴16a 2－9b2＝1，又∵b ＝2a ，∴16×4－9＝4a 2，解得a 2＝554，b 2＝55，∴双曲线方程为4y 255－x255＝1.综上可知，双曲线方程为x 25－y 220＝1或4y 255－x255＝1.[例3] (1)设△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为________．(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的范围是________．[思路点拨] (1)根据图形并由双曲线的定义确定a 与c 的关系，求出离心率，对于问题(2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则必有ba≥tan 60°.[精解详析] (1)由题意2c ＝AB ＝BC ， ∴AC ＝2×2c ×sin 60°＝2 3c ， 由双曲线的定义，有2a ＝AC －BC ＝2 3c －2c ⇒a ＝(3－1)c ， ∴e ＝c a＝13－1＝1＋32. (2)因为双曲线渐近线的斜率为k ＝b a，直线的斜率为k ＝tan 60°＝3，故有b a≥ 3，所以e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2≥1＋3＝2， 所以所求离心率的取值范围是e ≥2. [答案] (1)1＋32 (2)e ≥2[一点通](1)求双曲线离心率的常见方法：①依据条件求出a ，c ，利用e ＝c a； ②利用e ＝1＋b a2；③依据条件，建立关于a ，b ，c 的齐次关系式，消去b ，转化为离心率e 的方程求解． (2)求离心率的范围，常结合已知条件构建关于a 、b 、c 的不等关系．7．(湖南高考)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：如图，由已知可得，PF 1＝2c cos 30°＝3c ，PF 2＝2c sin 30°＝c ，由双曲线的定义，可得3c －c ＝2a ，则e ＝ca＝23－1＝3＋1.答案：3＋18．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且PF 1＝2PF 2，则双曲线离心率的取值范围为________．解析：如图，设PF 2＝m ，∠F 1PF 2＝θ(0<θ ≤π)，当P 在右顶点处θ＝π，e ＝2c 2a＝m 2＋m2－4m 2cos θm 2＝5－4cos θ.∵－1≤cos θ<1，又∵e >1，∴e ∈(1,3]． 答案：(1,3]1．双曲线离心率及其范围的求法．(1)双曲线离心率的求解，一般可采用定义法、直接法等方法．(2)双曲线离心率范围的求解，涉及解析几何中“范围”问题的解法．在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；通过判别式Δ>0；利用点在曲线内部形成的不等式关系；利用解析式的结构特点，如a ，a ，|a |等非负性．2．求双曲线的标准方程，当焦点不明确时，方程可能有两种形式，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得；若已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，还可以将方程设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)避免焦点的讨论．[对应课时跟踪训练(十一)]1．(陕西高考)双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54.则m ＝________.解析：∵a ＝4，b ＝m ，∴c 2＝16＋m ，e ＝ca ＝16＋m 4＝54，∴m ＝9. 答案：92．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________．解析：根据题意，由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，两条渐近线的夹角为60°，则可知ba＝3或ba ＝33，那么可知双曲线的离心率为e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以结果为2或233.答案：2或2333．焦点为(0,6)，且与双曲线x 22－y 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是________．解析：由x 22－y 2＝1，得双曲线的渐近线为y ＝±22x .设双曲线方程为：x 22－y 2＝λ(λ<0)，∴x 22λ－y 2λ＝1.∴－λ－2λ＝36，∴λ＝－12. 故双曲线方程为y 212－x 224＝1.答案：y 212－x 224＝14．(新课标全国卷Ⅰ改编)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为________．解析：∵e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，∴b 2a 2＝14，∴b a ＝12，∴y ＝±12x .答案：y ＝±12x5．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则该双曲线离心率e 的取值范围是________．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝3|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，由此解得|PF 2|＝a ，|PF 1|＝3a ，∵|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，即c ≤2a ，e ＝c a≤2.又e >1，∴离心率e 的取值范围是(1,2]．答案：(1,2]6．根据下列条件求双曲线的标准方程：(1)经过点(154，3)，且一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0.(2)P (0,6)与两个焦点的连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.解：(1)∵双曲线的一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0， ∴可设双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)．∵双曲线经过点(154，3)，∴19×15216－3216＝λ.即λ＝1. ∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.(2)设F 1、F 2为双曲线的两个焦点，依题意，它的焦点在x 轴上， ∵PF 1⊥PF 2，且OP ＝6， ∴2c ＝F 1F 2＝2OP ＝12，∴c ＝6. 又P 与两顶点连线夹角为π3，∴a ＝|OP |·tan π6＝2 3，∴b 2＝c 2－a 2＝24. 故所求双曲线的标准方程为x 212－y 224＝1. 7．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．解：设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，那么y ＝±b 2a.由PF 2＝QF 2，∠PF 2Q ＝90°，知|PF 1|＝|F 1F 2|，∴b 2a＝2c ，∴b 2＝2ac . 由a 2＋b 2＝c 2， 得c 2－2ac －a 2＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－2×c a－1＝0. 即e 2－2e －1＝0.∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． 所以所求双曲线的离心率为1＋ 2.8．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上； (3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵离心率e ＝2，∴设所求双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－10)在双曲线上，知λ＝42－(－10)2＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6，即x 26－y 26＝1.(2)若点M (3，m )在双曲线上，则32－m 2＝6，∴m 2＝3. 由双曲线x 2－y 2＝6知，F 1(2 3，0)，F 2(－2 3，0)， ∴1MF ·2MF ＝(2 3－3，－m )·(－2 3－3，－m ) ＝9－(2 3)2＋m 2＝0.∴1MF ⊥2MF ，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上． (3)S △F 1MF 2＝12×2c ×|m |＝c |m |＝2 3×3＝6.。
高中数学2.1圆锥曲线 课件苏教版选修2-1
D M
O
C
F
为什么.gsp
ks5u精品课件
例3．一动圆过定点A(-4,0) ，且与定圆 B：（x-4）2+y2=16相外切，则动圆的圆 心轨迹为（ 双曲线右支 ）
ks5u精品课件
V
Q
F1
O2
F2
M P
O1
椭圆的定义:
平面内到两定点 F1， F2 的距离和等于常数（大于 F1F2） 的点的轨迹叫做椭圆， 两个定点 F1， F2叫做椭圆的焦 点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 椭圆形成演示 椭圆定义.gsp
可以用数学表达式来体现: 设平面内的动点为M,有MF 1 MF2
Байду номын сангаас
ks5u精品课件
练习
1 、已知∆ ABC 中， B （ -3 ， 0 ）， C （ 3 ， 0 ），且 AB，BC，AC成等差数列。
（1）求证：点A在一个椭圆上运动；
（2）写出这个椭圆的焦点坐标。
解:(1)根据条件有AB+AC=2BC,
即AB+AC=12， 即动点A到定点B,C的距离之和为定值12， 且12>6＝BC， 所以点A在以B,C为焦点的一个椭圆上运动. （2）这个椭圆的焦点坐标分别为（-3,0）,（3,0）
圆锥曲线与方程
§2.1圆锥曲线
ks5u精品课件
古希腊数学家 Dandelin 在圆锥截 面的两侧分别放置一球，使它们 都与截面相切（切点分别为F1， F2），又分别与圆锥面的侧面相 切（两球与侧面的公共点分别构 成圆 O1和圆 O2）．过 M点作圆锥 面的一条母线分别交圆O1，圆O2 与 P ， Q 两点，因为过球外一点 作球的切线长相等，所以 MF1 = MP，MF2 = MQ， MF1 + MF2 ＝MP + MQ ＝ PQ＝定值
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.6曲线与方程2学案无答案苏教版选修(1)
2.6曲线与方程（2）一、预习检查1．过双曲线2222=-y x 右焦点的直线l ,交双曲线于点B A ,,若4=AB ,则这样的直线l 有 条.2．不论k 为何值,直线b x k y +-=)2(与双曲线122=-y x 总有公共点,则实数b 的取值范围是 ．３.经过点)4,0(P ，且与抛物线x y 162=只有一个公共点的直线有几条？求出这样的直线方程．４.已知探照灯的轴截面是抛物线x y =2，平行于x 轴的光线照射到抛物线上的点)1,1(-P ，反射光线过抛物线焦点后又照射到抛物线上的点Ｑ，试确定点Ｑ的坐标．二、问题探究探究1． 已知曲线1C ：0),(1=y x f 和曲线2C ：0),(2=y x f ，如何求两曲线1C 与2C 的交点？探究2．一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是)200(22≤≤=y y x ．在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，那么玻璃球的半径r 应满足什么条件？例1．直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是 ．例2．（理科）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回实验，设计方案如下图，航天器运行 （按顺时针方向）的轨迹方程为12510022=+y x ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，)764,0(M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为)0,8(D ，观测点)0,6(),0,4(B A 同时跟踪航天器．（１） 求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（２） 试问：当航天器在x 轴上方时，观测点B A ,测得航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？三、思维训练1．已知点)0,1(),0,1(-B A ，动点M 满足2=-MB MA ，则点M 的轨迹方程是 ．2．以双曲线222=-y x 的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是 ．3．若曲线)22(412≤≤--+=x x y 与直线4)2(+-=x k y 有两个交点，则实数k 的取值范围是 ．4．过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 任作一条直线交抛物线于Q P ,两点，若线段PF 与FQ 的长分别为q p ,，则qp 11+的值为 ．四、课后巩固 1．设直线l ：022=++y x 关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆1422=+y x 的交点为B A ,，点P 为椭圆上的动点，则使△PAB 的面积是21的点P 的个数是 ．2．F 是双曲线191622=-y x 的右焦点，M 是双曲线右支上一动点，定点A 的坐标为)1,5(则MA MF 54+的最小值是 ．3．试讨论方程b x x +=-12根的情况．4．直线kx y =与圆0104622=+--+y x y x 交于两个不同点B A ,，求AB 中点的轨迹方程．5．（理科）已知抛物线)0(22>p px y 上横坐标为４的点的焦点的距离是５．（１）求此抛物线方程；（２）若点C 是抛物线上的动点，以C 为圆心的圆在y 轴上截得的弦长为４，求证：圆C 恒过定点．6．（理科）如图，在平面直角坐标系xoy 中，过y 轴正方向上任一点),0(c C 任作一直线与抛物线2x y =相交于B A ,两点．一条垂直于x 轴的直线分别与线段AB 和直线l ：c y -=交于点Q P ,． （１）若2=⋅，求c 的值；（２）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（３）试问（２）的逆命题是否成立？请说明理由．。
高中数学 第二章《圆锥曲线与方程》2.1圆锥曲线学案 新人教版选修2-1
第2章圆锥曲线与方程2．1 圆锥曲线二、预习指导1．预习目标(1)认识用平面截圆锥面得到的各种曲线；(2)掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义；(3)会根据不同的已知条件，利用圆锥曲线的定义判断动点的轨迹．2．预习提纲(1)查找有关轨迹的概念，回答下列问题：①平面内到线段两端点距离相等的点的轨迹是____________；②平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是____________；③空间中到定点的距离等于定长的点的轨迹是____________．(2)阅读教材选修4－1的71页到78页，教材选修2－1的25页到27页写下列空格：①一个平面截一个圆锥面，改变平面的位置，可得到如下图形____________，____________，____________，____________，____________；②平面内到两个定点F1，F2的距离_____等于常数(__________)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的__________；③平面内到两个定点F1，F2的距离____________等于常数(______________)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距；④平面内到一个定点F和一条定直线l(________________)的距离________的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的_________．(3)阅读课本例1，动手实践借助细绳画椭圆，结合课本27页习题2．1第3题，动手实践借助拉链画双曲线，并说明理由，以此加深对椭圆、双曲线定义的认识．3．典型例题例1 动点P(x，y)与两个定点A(－2，0)、B(2，0)构成的三角形周长为10．(1)试证：动点P在一个椭圆上运动；(2)写出这个椭圆的焦点坐标．分析：找动点P满足的条件，利用圆锥曲线的定义．解：(1)由题意得：PA+PB+AB=10，AB=4，故PA+PB=6>4．由椭圆的定义得：动点P在以A(－2，0)、B(2，0)为焦点的椭圆上运动．(2)由(1)得：这个椭圆的两个焦点坐标为A(－2，0)、B(2，0)．点评：在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义中，条件都有特定的限制，如在具体问题中不加以判断，会造成错解．如本题中PA+PB=6>4是十分必要的．在椭圆的定义中，PF1+PF2等于常数，常数大于F1F2的判断是必不可少的．若常数等于F 1F 2，则轨迹是线段F 1F 2；若常数小于F 1F 2，则不表示任何图形．在双曲线的定义中，注意两个限制：一是常数小于F 1F 2，二是差的绝对值，两者缺一不可．若PF 1－PF 2是正常数且常数小于F 1F 2，则点的轨迹是双曲线以F 2为焦点的一支；若PF 2－PF 1是正常数且常数小于F 1F 2，则点的轨迹是双曲线以F 1为焦点的一支；若|PF 1－PF 2|是常数且等于F 1F 2，则点的轨迹是两条射线；若PF 1－PF 2是常数且等于F 1F 2，则点的轨迹是以F 2为端点与F 1F 2同向的射线；若PF 2－PF 1是常数且等于F 1F 2，则点的轨迹是以F 1为端点与F 1F 2反向的射线． 在抛物线的定义中，当点F 在直线l 上时，则点P 的轨迹是过点F 与直线l 垂直的直线．例2 已知圆()221:31C x y ++=和圆()222:39C x y -+=，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，试问动圆圆心M 在怎样的曲线上运动?分析：两圆外切，则圆心距等于半径之和．解： 设动圆的半径为R ，则由动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切得：1213MC R MC R =+⎧⎨=+⎩ 消去R 得：MC 2－MC 1=2，故可知动点M 到两定点C 1，C 2的距离之差是常数2．由双曲线的定义得：动圆圆心M 在双曲线的一支(左边的一支)上运动．点评：本题由于动点M 到两定点C 1，C 2的距离之差是常数，而不是差的绝对值为常数，因此其轨迹只能是双曲线的一支．这一点在应用过程中要特别注意．4．自我检测(1)已知点A (1，0)、B (－1，0)，动点P 满足：PA +PB =4，则动点P 的轨迹是__ ．(2)已知点A (－2，0)、B (2，0)，动点M 满足：|MA －MB |=2，则动点M 的轨迹是 ____ ，其两个焦点分别为 ．(3)已知定点A (1，0)和定直线l ：x = －3，若点N 到定点A 与到定直线l 的距离相等，则点N 的轨迹是 ，其焦点为 ，准线为 ．(4)已知点A (－2，0)、B (2，0)，动点M 满足：|MA －MB |=4，则动点M 的轨迹是 _．(5)在△ABC 中，B (0，－3)，C (0，3)，且AB ，BC ，AC 成等差数列，试证：点A 在以B 、C 为焦点的椭圆上运动．三、课后巩固练习A 组1．用合适的选项填写下列轨迹 ( 要求只填写序号 )①直线；②圆；③椭圆；④双曲线；⑤双曲线的一支；⑥抛物线；⑦线段(1)动点P 到两定点F 1(－4，0)、F 2(4，0)的距离和是8，则动点P 的轨迹为_______； (2)已知椭圆的焦点为F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得PQ =PF 2，那么动点Q 的轨迹是_________；(3)动点P 到直线x +4=0的距离减去它到M (2，0)的距离之差等于2，则动点P 的轨迹是___________；(4)经过定圆外一定点，并且与定圆外切的动圆圆心的轨迹是__________．2．已知O (0，0)、A0)为平面内两个定点，动点P 满足：PO +PA =2，求动点P 的轨迹．3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且b ，a ，c 成等差数列，b ≥c ．已知顶点B 、C 的坐标为B (－1，0)，C (－1，0)．试证：点A 在以B 、C 为焦点的左半椭圆上运动．4．在△ABC 中，A 为动点，(,0)(,0)(0)22a a B C a ->、为定点，且满足：1s i n s i n s i n 2C B A -=，试问动点A 在怎样的曲线上运动?B 组5．圆O 1与圆O 2的半径分别为1和2，O 1O 2=4，动圆与圆O 1内切而与圆O 2外切，则动圆圆心的轨迹是_____________________．6．已知定点A (－3，3)和定直线l ：x =－3，若点N 到定点A 与到定直线l 的距离相等，则点N 的轨迹是 ．7．已知圆的方程为22100x y +=，点A 的坐标为(－6，0)，M 是圆O 上的任意一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，试证明：点P 在以A 、O 为焦点的椭圆上运动．C 组8．已知A(0，7)、B(0，－7)、C(12，2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，记椭圆的另一个焦点为F ，证明：点F 在以A(0，7)、B(0，－7)为焦点的双曲线的一支上运动．9．已知两个同心圆，其半径分别为R ，r (R >r )，AB 为小圆的一条定直径，求证：以大圆切线为准线，且过A 、B 两点的抛物线的焦点F 在以A 、B 为焦点的椭圆上．10．若一个动点P (x ，y )到定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)距离之和为定值m (m ≥0)，试讨论点P 的轨迹．题号我们身边的圆锥曲线圆锥曲线的发现确实是一个伟大的发现．在笛卡尔直角坐标系中，这些曲线的方程是二次方程，所以圆锥曲线又叫做二次曲线．对于二次曲线的价值大概还没有人会估计得过高．在我们的实际生活中处处都有圆锥曲线．例如，我们的地球绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳系的其他行星的运行轨道都是椭圆．这个事实是由开普勒第一定律确定的，之所以沿着椭圆轨道运动，是因为每一个行星在每一个瞬间都有不超过某一个值的速度．事实证明，假如这个速度过大了，运动就会沿着抛物线或双曲线轨道运行．相对于一个静止的物体，并按照万有引力定律受它吸引的物体运动，不可能有任何其他的轨道．因此，二次曲线实际上是以我们的宇宙为基础的．又如，如果让抛物线绕其轴旋转，就得到一个叫做旋转抛物面的曲面．在抛物面的轴上，有一个具有美妙性质的焦点，任何一条通过该点的直线由抛物面上反射出来之后，在指向上都平行于抛物面的轴．而这意味着如果把探照灯做成抛物面的形状，并且把灯泡放在焦点上，那么从抛物面上反射回来的所有光线就形成一束平行光束．这显然是一个很大的优点，因为正是这样一束光线在空间中，甚至于在离光源距离相当大的情况下，很少扩散．当然，实际上我们得不到理想的平行光束，因为灯泡不是一个点，但对于实用的目的来说，只要接近于这样的光束就够了．天文望远镜上的反射镜也是利用抛物面的形状制作的．它的作用刚好和探照灯的作用相反：探照灯的反射镜把光线反射到空间，天文望远镜的反射面则把来自宇宙的光线聚焦到自己的焦点上．只要用放大镜组瞄准这个焦点就行了，这样，我们就会得到聚焦到其光线的那个星球的信息，这比肉眼观察所能提供的信息要多得多．那条不穿过双曲线的对称轴叫做双曲线的虚轴．如果使双曲线绕这条轴旋转，那么，形成的曲面(这样的曲面称为单叶双曲面)也有许多实际用处．单叶双曲面是直纹曲面．上面有两组母直线族，各组内母线彼此不相交，而与另一组母线永远相交．正是这种性质在技术中得到了应用．例如，用直立木杆造水塔，如果把这些杆垂直地放置，那就只能得到一个很不牢固的建筑物，他会因为非常小的负荷而损坏．如果立杆时，使他们构成一个单叶双曲面(就是两组母线族)，并使他们的交点处连接在一起，就会得到一个非常轻巧而又非常坚固的建筑物．许多化工厂或热电厂的冷却塔就是利用了这个原理．在尝试解决古代名题的过程中，所发现的各种美妙曲线远不限于螺线，蚌线和圆锥曲线．可是，不管找到了多少美妙的曲线，他们还是解决不了古代名题．要知道，正像我们还记得的那样，要求不只是解出这些名题，而是除了直尺和圆规外，不准利用其他任何工具．而仅仅利用这两种工具能否解决其中任何一个问题呢?这个问题该如何回答呢?如果这个答案存在的话，对这个问题给与肯定的回答，原则上显得比给与否定的回答更容易，只不过需要尝试才能找到这个答案．经过或多或少接连不断的寻找，这种题解通常可以找到．在题解不存在的情况下，事情则难办的多．这时，只停留在普通的几何直观上，几乎不可能得到所需要的答案．在这种情况下，可以对问题进行精确的代数分析，以便归结为完成某些代数方程的不可能性证明解答这个问题的不可能性．这样，就要求助于代数！2．1 圆锥曲线自我检测(1)以A,B为焦点的椭圆 (2) 以A,B为焦点的双曲线，A(-2,0)、B(2,0) (3)抛物线，A(1,0) ，l：x= -3 (4) 以A,B为端点的两条射线(5)因为AB，BC，AC成等差数列，所以AB+AC =2BC=12>BC，因此点A在以B、C为焦点的椭圆上运动．课后巩固练习A组1．(1)⑦；(2)②；(3)⑥；(4)⑤ 2．以O,A为焦点的椭圆3．证明略 4．点A在以B，C为焦点的双曲线的右支上B组5．以O1，O2为焦点的双曲线的一支 6．过点A且垂直于l的直线7．8．证明略C组9．证明略10．当m<2时，轨迹不存在；当m=2是，轨迹是以F1F2为端点的线段；当m>2时，轨迹是以F1F2为焦点的椭圆。
高中数学-第二章 圆锥曲线与方程 2.1 圆锥曲线课件 苏教版选修1-1
解析答案
课堂小结 1.一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直 线；当平面不经过顶点与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆.改变平 面的位置，观察截得的图形变化情况，可得到三种重要的曲线，即椭圆、 双曲线和抛物线，统称为圆锥曲线. 2.椭圆定义中，常数>F1F2不可忽视，若常数<F1F2，则这样的点不存在；若 常数＝F1F2，则动点的轨迹是线段F1F2. 3.双曲线定义中，若常数>F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动 点的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线. 4.抛物线定义中F∉l；若F∈l，则点的轨迹是经过点F且垂直于l的直线.
解析答案
(2)指出轨迹的焦点和焦距． 解 椭圆的焦点为B、C，焦距为10.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 在△ABC中，BC＝24，AC、AB边上的中线长之和等于39， 求△ABC的重心的轨迹方程．
解析答案
题型二 双曲线定义的应用
例2 已知圆C1：(x＋2)2＋y2＝1和圆C2：(x－2)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及 圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹． 解 由已知得，圆C1的圆心C1(－2,0)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(2,0)，半径r2 ＝3.设动圆M的半径为r.
解析答案
返回
当堂检测
123
1.平面内到两个定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之和为6的点的轨迹是 _线__段__F_1_F_2__. 解析 设动点为P，由题意知，PF1＋PF2＝F1F2，故点P必在线段 F1F2上.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
[基础达标]
1.已知点A(－1，0)，B(1，0)，动点P满足PA＋PB＝3，则动点P的轨迹是________．
解析：由PA＋PB＝3>AB结合椭圆的定义有：动点P的轨迹是以A(－1，0)，B(1，0)为焦点的椭圆．
答案：以A(－1，0)，B(1，0)为焦点的椭圆
2.已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M满足|MA－MB|＝4，则动点M的轨迹为________．
解析：动点M满足|MA－MB|＝4＝AB，结合图形思考判断动点M的轨迹为直线AB(不包括线段AB内部的点)上的两条射线．
答案：直线AB(不包括线段AB内部的点)上的两条射线
3.到两定点F1(0，－10)，F2(0，10)的距离之和为20的动点M的轨迹是________．
解析：MF1＋MF2＝20＝F1F2，故动点M为线段F1F2上任意一点，即动点M的轨迹是线段F1F2.
答案：线段F1F2
4.到定点(2，1)和定直线x＋2y－4＝0的距离相等的点的轨迹是________．
解析：点(2，1)在直线x＋2y－4＝0上，不符合抛物线定义．
答案：过点(2，1)且和直线x＋2y－4＝0垂直的直线
5.已知动点P(x，y)满足（x＋2）2＋y2－（x－2）2＋y2＝2，则动点P的轨迹是________．
解析：（x＋2）2＋y2－（x－2）2＋y2＝2，即动点P(x，y)到两定点(－2，0)，(2，0)的距离之差等于2，由双曲线定义知动点P的轨迹是双曲线的一支．
答案：双曲线的一支
6.已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足PF1－PF2＝10，则点P的轨迹是________．
解析：由于两点间的距离为10，所以满足条件PF1－PF2＝10的点P的轨迹应是一条射线．
答案：一条射线
7.动点P到定点A(0，－2)的距离比到定直线l：y＝10的距离小8，则动点P的轨迹为________．
解析：将直线l：y＝10沿y轴向下平移8个单位，得到直线l′：y＝2，则动点P到A(0，－2)的距离等于到定直线l′：y＝2的距离，故点P的轨迹为抛物线．答案：抛物线
8.已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q使得PQ＝PF2，则动点Q的轨迹是________．
解析：由P是椭圆上的一点，根据椭圆的定义，则PF1＋PF2＝定值，而PQ＝PF2，则QF1＝PF1＋PQ＝PF1＋PF2＝定值，所以点Q的轨迹是以F1为圆心的圆．
答案：以F1为圆心的圆
9.设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足条件PF1＋PF2＝a(a>0)，试求动点P的轨迹．
解：当a＝6时，PF1＋PF2＝a＝F1F2，所以点P的轨迹为线段F1F2.
当a>6时，PF1＋PF2＝a>F1F2，所以点P的轨迹为椭圆．
当0<a<6时，PF1＋PF2＝a<F1F2，所以点P的轨迹不存在．
10.△ABC中，BC＝6.已知△ABC的周长为16，求动点A的轨迹．
解：∵AB＋AC＝16－6＝10>6＝BC，
∴动点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆(除去A、B、C三点共线的两个点)．
[能力提升]
1.方程5·（x－2）2＋（y－2）2＝|3x－4y－6|表示的曲线为________．
解析：方程5·（x－2）2＋（y－2）2＝|3x－4y－6|，即为（x－2）2＋（y－2）2＝|3x－4y－6|
，即动点(x，y)到定点(2，2)的距离等于动点(x，y)到定直线3x－4y－6＝0 32＋（－4）2
的距离，由抛物线的定义知表示的曲线为抛物线．
答案：抛物线
2.若点M到定点F和到定直线l的距离相等，则下列说法正确的是________．
①点M的轨迹是抛物线；
②点M的轨迹是一条与x轴垂直的直线；
③点M的轨迹是抛物线或一条直线．
解析：当点F不在直线l上时，点M的轨迹是以F为焦点、l为准线的抛物线；而当点F在直线l上时，点M的轨迹是一条过点F，且与l垂直的直线．
答案：③
3.求满足下列条件的动圆圆心M的轨迹．
(1)与⊙C：(x＋2)2＋y2＝2内切，且过点A(2，0)；
(2)与⊙C1：x2＋(y－1)2＝1和⊙C2：x2＋(y＋1)2＝4都外切；
(3)与⊙C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与⊙C2：(x－3)2＋y2＝1内切．
解：设动圆M的半径为r.
(1)∵⊙C与⊙M内切，点A在⊙C外，∴MC＝r－ 2.
∵MA＝r，∴MA－MC＝2，
且2<4.∴点M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线的一支．
(2)∵⊙M与⊙C1，⊙C2都外切，
∴MC1＝r＋1，MC2＝r＋2.∴MC2－MC1＝1，且1<2.
∴点M的轨迹是以C2，C1为焦点的双曲线的一支．
(3)∵⊙M与⊙C1外切，且与⊙C2内切，
∴MC1＝r＋3，MC2＝r－1.∵MC1－MC2＝4，且4<6，
∴点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的一支．
4.(创新题)已知定直线l及定点A(A不在l上)，n为过点A且垂直于l的直线，设N 为l上任意一点，线段AN的垂直平分线交n于B，点B关于AN的对称点为P，求证：点P 的轨迹为抛物线．
证明：如图所示，建立平面直角坐标系，并且连结PA，PN，NB.
由题意知PB垂直平分AN，
且点B关于AN的对称点为P，
∴AN也垂直平分PB.
∴四边形PABN为菱形，∴PA＝PN.
∵AB⊥l，∴PN⊥l.
故点P符合抛物线上点的条件：到定点A的距离和到定直线l的距离相等，∴点P的轨迹为抛物线．。