2011年12月西工大数值分析试题答案
数值分析学期期末考试题与答案（A）
数值分析学期期末考试题与答案（A）期末考试试卷（A 卷）2007学年第⼆学期考试科⽬：数值分析考试时间：120 分钟学号姓名年级专业⼀、判断题（每⼩题2分，共10分）1. ⽤计算机求1000100011n n=∑时，应按照n 从⼩到⼤的顺序相加。
（）2. 为了减少误差,进⾏计算。
（）3. ⽤数值微分公式中求导数值时，步长越⼩计算就越精确。
（）4. 采⽤龙格－库塔法求解常微分⽅程的初值问题时，公式阶数越⾼，数值解越精确。
（）5. ⽤迭代法解线性⽅程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变⽅式有关，与常数项⽆关。
（）⼆、填空题（每空2分，共36分）1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.2. 设1010021,5,1301A x -=-=--????则1A =_____，2x =______，Ax ∞=_____.3. 已知53()245,[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= .4. 为使求积公式11231()((0)f x dx A f A f A f -≈++?的代数精度尽量⾼，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有次的代数精度。
5. n 阶⽅阵A 的谱半径()A ρ与它的任意⼀种范数A 的关系是 .6. ⽤迭代法解线性⽅程组AX B =时，使迭代公式(1)()(0,1,2,)k k XMX N k +=+=K 产⽣的向量序列{}()k X 收敛的充分必要条件是 .7. 使⽤消元法解线性⽅程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三⾓矩阵L 和上三⾓矩阵U 的乘积，即.A LU = 若采⽤⾼斯消元法解AX B =，其中4221A -??=?，则L =_______________，U =______________；若使⽤克劳特消元法解AX B =，则11u =____；若使⽤平⽅根⽅法解AX B =，则11l 与11u 的⼤⼩关系为_____（选填：>，<，=，不⼀定）。
2011年秋季工学硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷B
2011年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷B(总分：28.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设｜x｜>>1______（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：3.求积分∫ a b f（x）dx的两点Gauss公式为______（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：4.设∞ =______，‖A‖ 2 =______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：5.给定f(x)=x 4，以0为三重节点，2为二重节点的f(x)的Hermite插值多项式为______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：x 4)解析：6.己知差分格式r≤______时，该差分格式在L ∞范数下是稳定的．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：二、计算题(总题数：2，分数：4.00)7.给定方程lnx-x 2+4=0，分析该方程存在几个根，并用迭代法求此方程的最大根，精确至3位有效数字．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：令f(x)=lnx-x 2 +4，则f"(x)= -2x,当x= 时，f"(x)=0. 注意到f(0．01)=-0．6053＜0,f(1)=3＞0,f(3)=-3．9014＜0,而当时，f"(x)＞0，当时，f"(x)＜0，所以方程f(x)=0有两个实根，分别在(0．01，1)和(1，3)内．方程的最大根必在(1，3)内，用Newton迭代格式取x 0 =2，计算得x 1 =2．1980，x 2 =2．1)解析：8.用列主元Gauss（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：求得x 1 =3，x 2 =1，x 3 =5．)解析：三、综合题(总题数：6，分数：12.00)9.设α，β表示求解方程组．Ax=b的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法收敛的充分必要条件．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：Jacobi迭代格式的迭代矩阵特征方程为展开得500λ3—15αβλ=0或者λ(500λ2—15αβ)=0，解得λ=0或λ2 = 则Jacobi格式收敛的充要条件为｜αβ｜＜Gauss-Seidel格式迭代矩阵的特征方程为展开得500λ3—15αβλ2 =0或者λ2(500λ-15αβ)=0，解得λ=0或λ则Gauss-Seidel格式收敛的充)解析：10.设x 0，x 1，x 2为互异节点，a，b，m为已知实数．试确定x 0，x 1，x 2的关系，使满足如下三个条件p(x 0 )=a， p"(x 1 )=m，p(x 2 )=b的二次多项式p(x)存在且唯一，并求出这个插值多项式p(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由条件p(x 0 )=a，p(x 2 )=b确定一次多项式p 1 (x)，有所以p(x)-P 1(x)=A(x—x 0 )(x—x 2 )，p"(x)=p" 1 (x)+A(x—x 0 +x—x 2 )，p"(x 1+A(2x 1 -x 0 -x 2) 解析：11.求y=｜x｜在[-1，1]上形如c 0 +c 1 x 2的最佳平方逼近多项式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：取φ0 (x)=1，φ1 (x)=x 2，则(φ0，φ0)=∫ -11 =2，(φ0，φ1)=∫ -11 x 2)1 x 2，(φ1，φ1)=∫ -1解析：12.已知函数f(x)∈C 3 [0，3]，试确定参数A，B，C，使下面的求积公式数精度尽可能高，并给出此时求积公式的截断误差表达式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：当f(x)=1时左=∫ 03 1dx=3，右=A+B+C，当f(x)=x时左=∫ 03 xdx= ，右=B+2C 当f(x)=x 2时左=∫ 03 x 2 dx=9,右=B+4C．要使公式具有尽可能高的代数精度，则而当f(x)=x 3时，左=∫ 03 x 3)解析：13.给定常微分方程初值问题取正整数n，并记h=a／n，x i =a+ih，0≤i≤n．证明：用梯形公式求解该初值问题所得的数值解为且当h→0时，y n收敛于y(a)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：梯形公式应用于方程有y i+1=y i+ (-y i—y i+1)，即有所以i=1，2，…．当h→0时，n→∞我们有而由方程知解析解y=e -x则y(a)=e -a，所以)解析：14.Ω={0＜x＜3，0＜y＜3)．试用五点差分格式求u(1，1)，u(1，2)，u(2，1)，u(2，2)的近似值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：五点差分格式为根据要求，可取h= ，将(1，1)，(2，1)，(1，2)，(2，2)处的差分格式列成方程组有或者解得u 11=15．8750，u 21=22．6250，u 12=15．8750，u 22 =22．6250．)解析：。
数值分析试题（卷）与答案解析
数值分析试题（卷）与答案解析数值分析试题一、填空题（2 0×2′）1.322A1, X23设 x=0.231 是精确值 x*=0.229 的近似值，则 x 有 2 位有效数字。
2. 若 f(x)=x7－ x3＋ 1 ，则 f[20 ,21,2 2,23 ,24,25,26,2 7]= 1 ，f[2 0,2 1,22,23 ,24,25 ,26 ,27,28 ]= 0 。
3.设，‖A‖∞＝ ___5 ____，‖X‖∞＝__ 3_____，‖AX ‖∞≤ 15_ __ 。
4.非线性方程 f x)=0的迭代函数 x x 在有解区间满足’x)| <1，则使用该迭(=( ) | (代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
5.区间 [a,b]上的三次样条插值函数 S(x)在[a,b]上具有直到 2 阶的连续导数。
6.当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。
7.拉格朗日插值公式中f(xi)的系数 ai(x)的特点是：a i ( x)1；所以i当系数 ai(x)满足ai(x)>1 ，计算时不会放大f(xi)的误差。
8.要使 20 的近似值的相对误差小于0.1% ，至少要取 4 位有效数字。
9.对任意初始向量(0) 及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+ (=0,1, ?)X g k收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是(B)<1 。
10.由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5y=f(x) -2 -1.75 -1 0.25 2 4.2511.牛顿下山法的下山条件为|f(xn+1)|<|f(xn)| 。
12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri ( i=0,1, ? ,n)来实现的，其中的残差r ＝ (b -a x-a x-? -a x )/aii， (i=0,1,,n)。
数值分析考试题和答案
数值分析考试题和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，插值法的主要目的是（）。
A. 求解线性方程组B. 求解非线性方程C. 构造一个多项式来近似一个函数D. 求解微分方程答案：C2. 线性方程组的高斯消元法中，主元为零时，应采取的措施是（）。
A. 停止计算B. 回代求解C. 转置矩阵D. 行交换答案：D3. 以下哪种方法不是数值积分方法（）。
A. 梯形规则B. 辛普森规则C. 牛顿法D. 复合梯形规则答案：C4. 以下哪种方法用于求解非线性方程的根（）。
A. 欧几里得算法B. 牛顿迭代法C. 高斯消元法D. 线性插值法答案：B5. 在数值分析中，最小二乘法主要用于（）。
A. 求解线性方程组B. 求解非线性方程C. 曲线拟合D. 微分方程数值解答案：C6. 以下哪种方法不是数值微分方法（）。
A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 欧拉方法答案：D7. 以下哪种方法用于求解常微分方程的初值问题（）。
A. 欧拉方法B. 龙格-库塔方法C. 牛顿迭代法D. 高斯消元法答案：B8. 在数值分析中，矩阵的特征值问题可以通过（）方法求解。
A. 高斯消元法B. 幂迭代法C. 牛顿迭代法D. 梯形规则答案：B9. 以下哪种方法不是数值稳定性分析中的方法（）。
A. 绝对稳定性B. 相对稳定性C. 条件数D. 牛顿法答案：D10. 在数值分析中，条件数用于衡量（）。
A. 算法的效率B. 算法的稳定性C. 算法的准确性D. 算法的复杂度答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，插值多项式的次数最高为______，其中n是插值点的个数。
答案：n-12. 线性方程组的高斯消元法中，如果某行的主元为零，则需要进行______。
答案：行交换3. 梯形规则的误差与被积函数的______阶导数有关。
答案：二4. 牛顿迭代法中，每次迭代需要计算______。
答案：函数值和导数值5. 最小二乘法中，残差平方和最小化时，对应的系数向量是______。
西北工业大学数值分析（附答案）
西北⼯业⼤学数值分析（附答案）西北⼯业⼤学数值分析习题集第⼀章绪论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3.下列各数都是经过四舍五⼊得到的近似数,即误差限不超过最后⼀位的半个单位,试指出它们是⼏位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====?4.利⽤公式求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少6.设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=…)计算到100Y .若取(五位有效数字),试问计算100Y 将有多⼤误差7.求⽅程25610x x -+=的两个根,使它⾄少具有四位有效数字(≈.8.当N 充分⼤时,怎样求211Ndx x +∞+?9.正⽅形的边长⼤约为100㎝,应怎样测量才能使其⾯积误差不超过1㎝210. 设212S gt =假定g 是准确的,⽽对t 的测量有±秒的误差,证明当t增加时S 的绝对误差增加,⽽相对误差却减⼩.11. 序列{}n y 满⾜递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y ≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多⼤这个计算过程稳定吗12.计算61)f =,1.4≈,利⽤下列等式计算,哪⼀个得到的结果最好3--13.()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平⽅⽤六位函数表,问求对数时误差有多⼤若改⽤另⼀等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多⼤14. 试⽤消元法解⽅程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只⽤三位数计算,问结果是否可靠15. 已知三⾓形⾯积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c的误差分别为,,.a b c 证明⾯积的误差s ?满⾜.s a b cs a b c ≤++第⼆章插值法1.根据定义的范德蒙⾏列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2.当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的⼆次插值多项式.3.给出f (x )=ln x 的数值表⽤线性插值及⼆次插值计算ln 的近似值.4.给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究⽤线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6.设j x 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nkkj jj x l x x k n =≡=∑ii) 0()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7.设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8maxmax a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8.在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若⽤⼆次插值求xe的近似值,要使截断误差不超过610-,问使⽤函数表的步长h 应取多少9. 若2n n y =,求4n y ?及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ?=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ?≤≤是m k -次多项式,并且()0(m lf x l +?=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +?=?+?.12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==?=--?∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=?=?-?∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质:i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f及0182,2,,2f.17. 证明两点三次埃尔⽶特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔⽶特插值的误差限.18. 求⼀个次数不⾼于4次的多项式()P x ,使它满⾜(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔⽶特插值的误差限.19. 试求出⼀个最⾼次数不⾼于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满⾜以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造⼀个台阶形的零次分段插值函数()n x ?并证明当n →∞时,()n x ?在[],a b 上⼀致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x=在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔⽶特插值,并估计误差.24. 给定数据表如下:试求三次样条插值()S x 并满⾜条件i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"?;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中ix 为插值节点,且01n a x x x b=<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'?.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可⽤式的表达式). 第三章函数逼近与计算1.(a)利⽤区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做⽐较. 2.求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3.在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳⼀致逼近多项式.4.假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳⼀致逼近多项式. 5.选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极⼩,⼜问这个解是否唯⼀6.求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳⼀次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳⼀次逼近多项式.8.如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最⼩r 是否唯⼀9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式. 10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=.12. 在[]1,1-上利⽤插值极⼩化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e=在[]1,1-上的插值极⼩化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若nf L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ?=-----,试将()x ?降低到3次多项式并估计误差.15. 在[]1,1-上利⽤幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]22sin ax b x dx π+-?为最⼩.并与1题及6题的⼀次逼近多项式误差作⽐较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+??问它们是否构成内积19. ⽤许⽡兹不等式估计6101x dx x +?的上界,并⽤积分中值定理估计同⼀积分的上下界,并⽐较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最⼩值:1122211(),x ax dx x ax dx----?.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1?=?=,分别在1?、2?上求出⼀个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平⽅逼近,并⽐较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ?=上的最佳平⽅逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第⼆类切⽐雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切⽐雪夫多项式展开,求三次最佳平⽅逼近多项式并画出误差图形,再计算均⽅误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切⽐雪夫级数.26. ⽤最⼩⼆乘法求⼀个形如2y a bx=+的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均⽅误差.27. 观测物体的直线运动,得出以下数据:求运动⽅程.28. 在某化学反应⾥,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:⽤最⼩⼆乘拟合求()y f t =.29. 编出⽤正交多项式做最⼩⼆乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图.31. 现给出⼀张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试⽤改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量⾼,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度: (1)101()()(0)() hh f x dx A f h A f A f h --≈-++?; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++?;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++?;(4)[][]20()(0)()/1(0)()h f x dx h f f h ah f f h ≈++'-'?.2.分别⽤梯形公式和⾟普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+?; (2)1210(1),10x e dx n x --=?;(3)1,4n =?; (4),6n =.3.直接验证柯特斯公式具有5次代数精度. 4. ⽤⾟普森公式求积分1x e dx-?并计算误差.5.推导下列三种矩形求积公式: (1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-?; (2)2()()()()()2ba f f x dxb a f b b a 'η=---?;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-?.6.证明梯形公式和⾟普森公式当n →∞时收敛到积分()baf x dx.7.⽤复化梯形公式求积分()ba f x dx,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍⼊误差)8. 1xedx-?,要求误差不超过510-.9.卫星轨道是⼀个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这⾥a 是椭圆的半长轴,c 是地球中⼼与轨道中⼼(椭圆中⼼)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公⾥为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第⼀颗⼈造卫星近地点距离439h =公⾥,远地点距离2384H =公⾥,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n nnnππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,⽤外推算法求π的近似值.11. ⽤下列⽅法计算积分31dyy ?并⽐较结果.(1) 龙贝格⽅法;(2) 三点及五点⾼斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,⽤复化两点⾼斯公式.12. ⽤三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =,和处的导数值,并估计误差.()f x 的值由下表给出:第五章常微分⽅程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉⽅法和改进的尤拉⽅法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y += 221相⽐较。
2011年哈工大(数值分析)试题
y0 , y1 , (h为步长) 。
（1）确定方法中的局部误差主项，并指出方法的阶数； （2）讨论该方法的收敛性和绝对稳定性。 （ 在 线 性 多 步 法 的 局 部 截 断
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p 1 p p 1 (i ) r 1 bi , r 2,3, ） i a r i r ! i 0 i 1
1 2
a 2 1 x1 1 3、已知方程组 2 a 2 x2 2 ， 1 2 a x3 1
（1）写出求解此方程组的 Jacobi 迭代格式； （2）用已知结论说明，当 a 4 时，该迭代格式收敛；
0 2
T
（1）求 A ， x0 ， x1 使求积公式具有尽可能高的代数精度，并指出此求积公式的 代数精度是多少？（2）并用此公式计算积分 x 4 dx 。 （计算结果保留四位小数）
0 2
ρ 。 6、试用共轭梯度法（cg 法）求解线性方程组。 （初始值取 x (0) (0, 0, 0)T ）
a x 2 x3 , 0 x 1 ，具有连续二 2、 （1）求 a 及不超过二次多项式 P( x) 使 S ( x) P( x) , 1 x 2
阶导数且满足 P (2) 0 ； （2） 当 f ( x) 用满足条件 f (1) P(1), f (2) P(2), f ' (1) P ' (1) 的插值多项式近似时， 求 f ( x)dx 。
2011 年哈工大《数值分析》考试
1、 设 f ( x) x3 5 。 （1）应用 Newton 迭代法于方程 f ( x) 0 ，导出 3 5 的迭
2
代公式； 并讨论迭代公式的收敛速度； （2） 尝试把导出的迭代公式加以改进， 提高迭代公式的收敛速度， 并用改进后的迭代公式计算 3 5（取初值 x0 1.0 ， 计算三步，结果保留四位小数） 。
《数值分析》练习题及答案解析
《数值分析》练习题及答案解析第一章 绪论主要考查点：有效数字，相对误差、绝对误差定义及关系；误差分类；误差控制的基本原则；。
1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和4 答案：A2. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x=___________ .答案：2.31503.若近似数2*103400.0-⨯=x 的绝对误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
4 . 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。
第二章 非线性方程求根 主要考查点：二分法N 步后根所在的区间，及给定精度下二分的次数计算；非线性方程一般迭代格式的构造，（局部）收敛性的判断，迭代次数计算； 牛顿迭代格式构造；求收敛阶；1.用二分法求方程012=--x x 的正根，要求误差小于0.05。
（二分法）解：1)(2--=x x x f ，01)0(<-=f ，01)2(>=f ，)(x f 在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。
"（1）计算01)1(<-=f ，故有根区间为[1，2]。
（2）计算041123)23()23(2<-=--=f ，故有根区间为]2,23[。
（3）计算0165147)47()47(2>=--=f ，故有根区间为]47,23[。
（4）计算06411813)813()813(2>=--=f ，故有根区间为]813,23[。
2011年秋研究生数值分析试题A卷答案
2011年秋研究生数值分析期末考试试题答案一、单选题（4*5=20分）1、B;2、D ；3、D ；4、B ；5、C 。
二、填空题（4*5=20）1、2；2、()()1k k k k f x x x f x +=-'，平方收敛；3、8，8；4、9； 5、a <。
三、（10分）解：构造3次Lagrange 插值多项式3001001201()()(,)()(,,)()()L x f x f x x x x f x x x x x x x =+-+--0123012(,,,)()()()f x x x x x x x x x x +--- 3’利用待定系数法，令430123()()()()()()H x L x A x x x x x x x x =+----， 5’同时， '''14131101213()()()()()()f x H x L x A x x x x x x ==+--- 7’解出A 即可。
8’ 考虑余项4()()()E x f x H x =-，如果5()[,],,0,1,2,3i f x C a b a x b i ∈≤≤=，那么，当a x b ≤≤时()()5240123()()()()()()()5!f E x f x H x x x x x x x x x ξ=-=----. 0 10’ 四、（10分）解：设所求多项式为23202)(x C x C C x P ++=，10=ϕ，x =1ϕ，22x =ϕ，11),(10++==⎰+k j dx e k j k j ϕϕ，1),(100-==⎰e dx e f x ϕ， 1),(101==⎰dx xe f xϕ，2),(1022-==⎰e dx e x f x ϕ 5’ 所以有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡21151413141312131211210e e C C C ，求解得到 8’ ⎪⎩⎪⎨⎧===83917.085114.001299.1321C C C ，所求最佳平方逼近多项式为:2283917.085114.001299.1)(x x x P ++=。
数值分析考试及答案
数值分析考试及答案一、单项选择题（每题3分，共15分）1. 以下哪个方法用于求解线性方程组的直接法？A. 高斯消元法B. 雅可比迭代法C. 牛顿迭代法D. 梯度下降法答案：A2. 在数值分析中，插值与逼近的主要区别是什么？A. 插值要求函数值完全匹配，逼近则不需要B. 逼近要求函数值完全匹配，插值则不需要C. 插值和逼近都要求函数值完全匹配D. 插值和逼近都不需要函数值完全匹配答案：A3. 以下哪个选项是数值积分的常用方法？A. 梯形法则B. 牛顿迭代法C. 欧拉方法D. 龙格-库塔方法答案：A4. 以下哪个方法用于求解非线性方程？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 梯形法则D. 欧拉方法答案：B5. 在数值分析中，以下哪个方法用于求解线性最小二乘问题？A. 高斯消元法B. 梯度下降法C. 正交投影法D. 牛顿迭代法答案：C二、填空题（每题4分，共20分）6. 线性方程组的高斯消元法中，如果遇到主元为零，则需要进行________。
答案：行交换7. 在数值分析中，插值多项式的拉格朗日形式中，每个基函数的形式为________。
答案：\( L_i(x) = \prod_{\substack{0 \le j \le n \\ j \ne i}} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \)8. 梯形法则的误差与被积函数的________阶导数有关。
答案：二阶9. 牛顿迭代法求解非线性方程时，每次迭代的公式为________。
答案：\( x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \)10. 线性最小二乘问题的正交投影法中，最小二乘解是________的正交投影。
答案：观测向量三、简答题（每题10分，共30分）11. 简述数值稳定性的概念及其重要性。
答案：数值稳定性是指数值算法在计算过程中对输入数据的微小变化不会产生过大的输出变化。
数值稳定性的重要性在于，它保证了算法的可靠性和准确性，尤其是在处理大规模数据或者要求高精度的科学计算中，数值稳定性是算法设计和选择的重要考虑因素。
硕士生数值分析试卷答案2011
（2）当同时收敛时试比较其收敛速度.
证所给线性方程组系数矩阵为 记
（1）雅可ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ迭代矩阵J为
特征方程为
即 .
因而谱半径
高斯-赛德尔迭代矩阵G为
特征方程为
即 .
因而谱半径
当 时， 雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此方程组都收敛；
当 时， 雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此方程组都发散.
(2)当 时，雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此方程组同时收敛.当 时，有 所以高斯-赛德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快.
若已知 的一个近似值 ，则实际计算得到的 的近似值 为
将以上两式相减得
两边取绝对值得
这说明 的误差将放大n倍传到 .因而正向递推时误差传播逐步放大.
逆向递推时，由 来计算 ：
若已知 的一个近似值 ，则实际计算得到的 的近似值 为
将以上两式相减得
两边取绝对值得
这说明 的误差将缩小n倍传到 .逆向递推时误差传播逐步衰减.
(3)设 是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则
； 1.
(4) 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为n-1次.
(5)梯形求积公式具有1次代数精度,辛普生求积公式具有3次代数精度.
(6)用二分法求方程 在区间[0,1]内的根，进行一步后根所在区间为 ，进行二步后根所在区间为 .
(7)设 ，则 =___1.1_____ =___0.8_____, =_0.825___.
证（1）梯形公式为
解出 ，得到
递推得
（2）方程的精确解为 注意到 于是
(洛必达)
即当 时， 收敛于精确解.
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西北工业大学研究生课程考试试题答案考试科目: 数值分析 (2011年12月28日)1．（15分）用反幂法计算矩阵AA =�−111133333311−1133−1177�的最接近－13的特征值和对应的特征向量。
解 此问题的求解需要将反幂法和 原点平移BB =� 113333331111−1133−111122� 法结合起来进行计算，为此需要首先用反幂法近似求矩阵B 的按模最小的特征值λ以及相应特征向量，矩阵B 的数值如下 对矩阵B 采用直接三角分解，准确计算（不用计算器）得BB =LLLL =�11222233112233−1111/5511��1133332255−11112222−6666/55�取初始向量VV (22)=(11 11 11)TT , 用反幂法时需取求解线性方程组BBVV (11)=VV (22)得到向量VV (11)具体求解过程列表如下（请仅完成表中第三步，小数点后保留四位）从而求得矩阵A 的接近于-13的特征值的近似值为 -13.2202 相应近似特征向量为（1，，-0.2351 ， -0.1716）。
2. （10分）试证明求解以正交矩阵为系数矩阵的线性代数方程组的谱条件数为1，即证明CCCCCCdd 11(AA )=11证明： CCCCCCdd 11(AA )的表达式为： CCCCCCdd 11(AA )= ‖AA ‖11�AA −11�11由于A 为正交矩阵，所以有 AA TT AA =II 或 AA TT =AA −11根据定义有：‖AA ‖11= = �ρρ(AA TT AA ) = �ρρ(II )1 �AA −11�11= = �ρρ(AA −TT AA −11)�ρρ(AAAA TT ) =�ρρ(II )=11综合得到：CCCCCCdd 11(AA )=11 3．（10分）取步长1.0=h ，求如下常微分方程初值问题=−=dy2x y ,x >0dx y y(0)1的解函数在0.2x =处的近似值。
要求用Euler 预测校正公式，即每步用Euler 法进行预估，用梯形法进行一次校正（结果保留四位小数）。
由 000x =0,y =y(x )=1，h =0.1 求得1()y x 近似值计算如下1.11.0959091(0)11y =y = 求得2y(x )近似值计算如下(0)22 1.18725031.18409657y y ==4．（12分）（1）建立如下Gauss 型求积公式�ff (xx )ddxx ≈ww 221122ff (xx 22)+ww 11ff (xx 11)(2)利用如上Gauss 型求积公式，计算积分∫ssss CC (xx 11)ddxx 22.1122.11的近似值（小数点后保留6位小数）.解：（1）根据需要建立的求积公式，定义内积如下 (gg ,hh )=∫gg (xx )hh (xx )ddxx 1122设高斯点是首项系数为1的多项式ww (xx )=xx 11+ppxx +qq 的零点多项式ww (xx )应该满足如下条件：(w, 1)=0 ∫xx 11+ppxx +qqddxx 1122=22(w, x)=0 ∫xx 33+ppxx 11+qqxx dd xx 1122=22于是得到多项式ww (xx )中的参数应该满足的线性方程组�1133+1111pp +qq =221111+1133pp +1111qq =22求得其解，即多项式中的参数的值为P=--1 q=1/6进而得到多项式ww (xx )的零点，即高斯点分别为：1111�1111√33� 或者 0.211324865405187 0.788675134594813 求积系数计算如下：⎩⎪⎨⎪⎧�11ddxx 112222+ww 11�xxddxx 1122=ww 221111�1111√33�+ww 111111�11+11√33�ww 22=22.55 ww 11=22.55（2）做变换 tt =1122(xx −22.11) 或者 xx =22.11+22.11tt， 这样有积分 ∫ssss CC (xx 11)ddxx 22.1122.11= ∫ssss CC [(22.11+22.11tt )11]1122ddtt ×22.11由所建立的Gauss 型求积公式计算该积分的近似值，如下（小数点后保留6位小数）22.11×22.55×{ssss CC [(22.11+22.11xx 22)11]+ssss CC [(22.11+22.11xx 11)11]}≈22.2222113333335 （12分）（1）确定方程0−=x f(x)=e +x 2的实根个数，并写出相应隔根区间[a, b]； （2）试用二分法将隔根区间[a, b]减小为原长度的1/8，建立新的隔根区间[c, d]；（3）写出求解该非线性方程的牛顿迭代公式，并进行计算，当4110k k x x −+−≤停止迭代（小数点后保留六位）；解：（1）确定非线性方程根的个数ff ′(xx )=ee xx +11>0 函数单调增加，最多1个零点ff (22)=−11<0, ff (11)=ee −11>0 函数在区间[0, 1]内有零点 综合起来函数f(x)仅有一个实零点 确定隔根区间 [a, b]=[0, 1]（2） 用二分法建立更小的隔根区间（3）牛顿迭代法求解牛顿迭代公式为 xx kk +11=xx kk −ff (xx kk )ff ′(xx kk)=xx kk −ee xx +xx−11ee xx +11选取初始近似xx 22= 0.5 迭代过程的中间数据如下表（如若表格不够，自己添加） (因为条件 ff (xx 22)ff ′′(xx 22)>0)满足条件的方程根的近似值为：0.442854 6 （11分）设函数ff (xx ) 四阶连续可导。
（1） 试用函数值 f(1)=2，f(2)=4 和 f(3)=12 建立函数ff (xx )的次数不超过2次的Newton插值多项式pp 11(xx )；（2） 若进而已知ff ′(11)=33，试建立ff (xx )的次数不超过3次的插值多项式pp 33(xx )； （3） 写出插值余项 ff (xx )−pp 11(xx ) 和 ff (xx )−pp 33(xx )。
解： （1）建立Newton 插值多项式pp 11(xx )利用数据f(1)=2 ，f(2)=4，f(3)=12建立如下差商表f(1)=2 f[1,2]=2 f[2,3]=8 f[1 ,2 ,3]=3插值多项式pp 11(xx )= 整理后为pp 11(xx )=33xx 11−77 xx +66 2+2(x-1)+3(x-1)(x-2)(2)建立插值多项式pp 33(xx )，利用第一步的结果，可设pp 33(xx )=pp 11(xx )+kk (xx −11)(xx −11)(xx −33)利用插值条件pp 33′(11)=ff ′(11), 可求得 K= 2于是有pp 33(xx )=pp 11(xx )+11(xx −11)(xx −11)(xx −33)整理后得pp 33(xx )=11xx 33−99xx 11+1155xx −66（3）利用插值条件，可知ff (xx )−pp 11(xx )=ff′′′(ϑϑ)33!(xx −11)(xx −11)(xx −33)ff (xx )−pp 33(xx )=ff (11)(ϵϵ)11!(xx −11)(xx −11)11(xx −33)7．填空（共30分，每题3分）（1） 有效数0.5=*1x ， 2.0=*2x ，依据绝对误差限传播公式，函数值12x /x 的近似值**12x /x 的绝对误差限近似为____0.03125__（小数点后保留三位）； （2） 设矩阵AA =�aa 112211�, 当且仅当参数 aa 满足条件 |aa |<1 时，对任意的向量xx ∈RR 11有极限ll ss ll CC→∞AA CC xx =22；（3） 对于不超过3次的多项式f(x),有差商ff [22.11,22.11,22.33,22.11,22.55]= 0 ；（4） 用Euler 预估校正公式求解常微分方程初值问题′−≤y =20y,0<x 1y(0)=1，当步长h 满足条件 hh ≤22.11 时，Euler 预估校正公式绝对稳定；（5） 数值求积公式∫ff (xx )ddxx ≈1111ff (22)+3311ff �1133�1122的代数精度为 2 次；（6） 只要线性方程组系数矩阵行列式不等于零，就可以用选主元的Gauss 消去法求出解的较好近似值。
该叙述 错误 （正确或错误）； （7） 在做数据的最小二乘拟合时，法方程组的系数矩阵（离散的Gram 矩阵）一定是对称正定矩阵。
该叙述 错误 （正确或错误）； （8） 在使用数值微分公式ff ′(xx )≈ff (xx +hh )−ff (xx )hh计算导数近似值时, 步长h 过小，计算结果的误差反而可能会增大。
该论断 正确 （正确或错误）；（9） 求解线性方程组的不动点简单迭代公式xx (kk +11)=BBxx (kk )+gg , 如果迭代矩阵BB 的谱半径小于1，则与之对应的Gauss-Seidel 迭代法对任意初始近似都收敛。
该论断 错误 （正确或错误）； （10） 插值型求积公式∫ff (xx )ddxx ≈∑AA kk ff (xx kk )CC kk =221122, 求积系数满足∑AA kk CC kk =22=11。
该论断 正确 （正确或错误）。