研究生矩阵论课后习题答案(全)习题三

合集下载

研究生矩阵理论课后答案3章习题

#3-16:设若A,BHmn,且A正定,试证:AB与BA的特征值都是实数. 证2:由定理3.9.1,PAP*=E,则 PABP-1=PAP*(P*)-1BP-1=(P-1)*BP-1=MHmn, 即AB相似于一个Hermite矩阵M. ∴ (AB)=(M)R,得证AB的特征值都是实数.又因BA的非零特征值与AB的非零特征值完全相同,故BA的特征值也都是实数. 证3:det(E-AB)=det(A(A-1-B)) =det A det(A-1-B)=0. 但det A >0,A-1正定和det(A-1-B)=0的根全为实数(见例3.9.1的相关证明)
xa
i 1 j 1
n
n
i ij
yj
xa x ya
i ij j i j i j
n
n
n
n
i ij
yj
习题3-3(1)
#3-3(1):已知A= ,试求UUnn使U*AU=R为上三角矩阵. 解:det(E-A)=(+1)3给出=-1是A的3重特征值. 显然,1=(0,1,0)T是A的一个特征向量.作酉矩阵 V=(1,2,3),2=(1,0,0)T,3=(0,0,1)T,则 V*AV=
习题3-19设A是正定Hermite矩阵且 AUnn,则A=E
证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,…,n)U*, (*) 其中1,…,n是A的特征值的任意排列. A 是正定蕴含 i>0,i=1,…,n AUnn 蕴含|i|=1,i=1,…,n 因此 i=1,i=1,…,n ∴ A=Udiag(1,…,n)U*=UEU*=UU*=E.
习题3-14
#3-14:若AHnn,A2=E,则存在UUnn使得 U*AU=diag(Er,-En-r).

矩阵论课后题答案(研究生用书)改

⎞ ⎠
⎠
A
P
⎞ ⎠
⎠ ⎞
P
⎠
− 1
A
⎠
A
J
P
P
A P
J
A f f A f E E A A A A
⎞ ⎠
A
A
A
A
E
A
E
⎞
A
A A E
A
⎠
f A
A
A
A
A
A
E
A
E
E
A A
⎠
⎞
A A A
A
A
E
2
f
E
A
f A
⎞ ⎠
A
A A A E A
A
E
A
A
⎠ ⎞
E
A
E
⎠
⎞
⎞ ⎠
f A E
E
⎞
A
A
E
⎞ ⎠
f A E E E
0 0
x
x
x
A A
E
E E A A A A A E
⎞ ⎠
j
E
E A A A A
A
E E
A E
E A
A
A
E A
A
A
F
j
F
j
j
A
E
A
A
A A E A g A E A E A E A g A A E A E E A A A E
A
A
A
F
A
A
H
A
A A A A
F
A
H
A
A
A
A
A
A
F

研究生矩阵论课后习题答案(全)习题二

习题二1．化下列矩阵为Smith 标准型：（1）222211λλλλλλλλλ⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦; （2）22220000000(1)00000λλλλλλ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦; （3）2222232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤+--+-⎢⎥+--+-⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦;(4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---⎣⎦. 解：（1）对矩阵作初等变换133122222222111001100(1)c c r r λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---+⎣⎦⎣⎦⎣⎦23221311(1)1010000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--⨯-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→-−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎣⎦，则该矩阵为Smith 标准型为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+)1(1λλλ；（2）矩阵的各阶行列式因子为44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=,从而不变因子为222341234123()()()()1,()(1),()(1),()(1)()()()D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ===-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为2210000(1)0000(1)0000(1)λλλλλλ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦；（3）对矩阵作初等变换1332212132132222222222242322(2)2(2)323212332212435323443322421221762450110221c c c c r r r r c c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-------⎡⎤⎡⎤+--+----⎢⎥⎢⎥+--+-−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-----⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+--++-⎢⎥−−−−→--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦3122131211342322(2)3232(1)32(5)(1)27624501100011245001000110010001001000100(1)(c c c r r r r r c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ---+↔+--⨯-↔⎡⎤-+--++-⎢⎥−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤-+---++-⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤--+⎢⎥−−−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1)⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦故该矩阵的Smith 标准型为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--)1()1(112λλλ; (4)对矩阵作初等变换152323230100014360220002206200020101001010033122003312200c c c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦12213231322000100010002200000020002010100100000100001000c c r r c c c c λλλλλλλλλλλλλλ+-+-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦2143145425222000101000000000000000000001000000010010000001r r c c c c c c c c λλλλλλλλλλ--↔-↔⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦在最后的形式中，可求得行列式因子3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===,于是不变因子为2541234534()()()()()1,()(1),()(1)()()D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ=====-==-故该矩阵的Smith 标准形为2100000100000100000(1)00000(1)λλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 2.求下列λ-矩阵的不变因子：（1）210021002λλλ--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；（2）10010000λαββλαλαββλα+⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥-+⎣⎦；（3）100100015432λλλλ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥+⎣⎦；（4）0012012012002000λλλλ+⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦. 解：（1）该λ-矩阵的右上角的2阶子式为1，故12()()1,D D λλ==而33()(2)D λλ=-，所以该λ-矩阵的不变因子为2123()()1,()(2)d d d λλλλ===-;（2）当0β=时，由于4243()(),()()D D λλαλλα=+=+，21()()1D D λλ==，故不变因子为12()()1d d λλ==，2234()(),()()d d λλαλλα=+=+当0β≠时，由于224()[()]D λλαβ=++，且该λ-矩阵中右上角的3阶子式为2(),βλα-+且4(2(),())1D βλαλ-+=，则3()1D λ=，故21()()1D D λλ==，所以该λ-矩阵的不变因子为123()()()1,d d d λλλ===224()[()]d λλαβ=++;（3）该λ-矩阵的右上角的3阶子式为1-，故123()()()1,D D D λλλ===而4324()2345D λλλλλ=++++，所以该λ-矩阵的不变因子为123()()()1,d d d λλλ=== 4324()2345d λλλλλ=++++;（4）该λ-矩阵的行列式因子为123()()()1,D D D λλλ===44()(2)D λλ=+,所以该λ-矩阵的不变因子为123()()()1,d d d λλλ===44()(2)d λλ=+.3．求下列λ-矩阵的初等因子：（1）333232212322λλλλλλλλ⎡⎤++⎢⎥--+--+⎣⎦；（2）3223222212122122λλλλλλλλλλ⎡⎤-+--+⎢⎥-+--⎣⎦. 解：(1)该λ-矩阵的行列式因子为212()1,()(1)(1)D D λλλλ==+-，故初等因子为21,(1)λλ+-；(2) 该λ-矩阵的行列式因子为212()1,()(1)(1)D D λλλλλ=-=+-，故不变因子为12()1,()(1)(1),d d λλλλλ=-=+-因此，初等因子为1,1,1λλλ+--.4．求下列矩阵的Jordan 标准形：（1）131616576687⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦；（2）452221111-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦；（3）3732524103-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦；（4）111333222-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦；（5）03318621410⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦；（6）1234012300120001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 解：（1）设该矩阵为A ，则210001000(1)(3)E A λλλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦，故A 的初等因子为2(1)(3)λλ-+，则A 的Jordan 标准形为300011001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（2）设该矩阵为A ，则310001000(1)E A λλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，故A 的初等因子为3(1)λ-，从而A 的Jordan 标准形为110011001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（3）设该矩阵为A ，则210001000(1)(1)E A λλλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦,故A 的初等因子为1,,,i i λλλ-+-从而A 的Jordan 标准形为1000000i i ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦; （4）设该矩阵为A ，则21000000E A λλλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎣⎦,故A 的初等因子为2,λλ，从而A 的Jordan 标准形为000001000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; （5）设该矩阵为A ，则210001000(1)E A λλλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥+⎣⎦,故A 的初等因子为2,(1)λλ+，从而A 的Jordan 标准形为000011001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦; （6）设该矩阵为A ，则1234012300120001E A λλλλλ----⎡⎤⎢⎥---⎢⎥-=⎢⎥--⎢⎥-⎣⎦，该λ-矩阵的各阶行列式因子为123()()()1,D D D λλλ===44()(1)D λλ=-，则不变因子为123()()()1,d d d λλλ===44()(1)d λλ=-，故初等因子为4(1)λ-，则A 的Jordan 标准形为1100011000110001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 5．设矩阵142034043A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求5A .解：矩阵A 的特征多项式为2()(1)(5)A f I A λλλλ=-=--，故A 的特征值为11λ=,235λλ==.属于特征值11λ=的特征向量为1(1,0,0)Tη=,属于235λλ==的特征向量为23(2,1,2),(1,2,1)T Tηη==-.设123121[,,]012021P ηηη⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,100050005⎡⎤⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则1A P P -=Λ.,故4455144441453510354504535A P P -⎡⎤⨯⨯-⎢⎥=Λ=-⨯⨯⎢⎥⎢⎥⨯⨯⎣⎦. 6.设矩阵211212112A --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求A 的Jordan 标准形J ，并求相似变换矩阵P ，使得1P AP J -=.解:(1) 求A 的Jordan 标准形J .221110021201011200(1)I A λλλλλλ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-+→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦,故其初等因子为21,(1)λλ--，故A 的Jordan 标准形100011001J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(2)求相似变换矩阵P .考虑方程组()0,I A X -=即1231112220,111x x x -⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥-= ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭解之,得12100,111X X ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.其通解为1122k X k X +=1212k k k k ⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭,其中21,k k 为任意常数.考虑方程组1122312111222,111x k x k x k k -⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥-= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥---⎣⎦⎝⎭⎝⎭11212121211111122200021110002k k k k k k k k k --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦,故当1220k k -=时,方程组有解.取121,2k k ==,解此方程组,得3001X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.则相似变换矩阵123100[,,]010111P X X X ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.7.设矩阵102011010A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试计算8542234A A A A I -++-. 解: 矩阵A 的特征多项式为3()21A f I A λλλλ=-=-+,由于8542320234(21)()(243710)f λλλλλλλλλ-++-=-++-+,其中532()245914f λλλλλ=+-+-. 且32A A I O -+=,故8542234A A A A I -++-=2348262437100956106134A A I --⎡⎤⎢⎥-+=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.8.证明：任意可逆矩阵A 的逆矩阵1A -可以表示为A 的多项式. 证明:设矩阵A 的特征多项式为12121()n n n A n n f I A a a a a λλλλλλ---=-=+++++,则12121n n n n n A a A a A a A a I O ---+++++=,即123121()n n n n n A A a A a A a I a I ----++++=-,因为A 可逆,故(1)0nn a A =-≠,则11231211()n n n n nA A a A a A a I a -----=-++++9.设矩阵2113A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，试计算4321(5668)A A A A I --++-.解: 矩阵A 的特征多项式为2()57A f I A λλλλ=-=-+,则227A A I O -+=,而432225668(57)(1)1λλλλλλλλ-++-=-+-+-,故14321111211(5668)()12113A A A A I A I ----⎡⎤⎡⎤-++-=-==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 10.已知3阶矩阵A 的三个特征值为1，－1，2，试将2nA 表示为A 的二次式. 解: 矩阵A 的特征多项式为()(1)(1)(2)A f I A λλλλλ=-=-+-,则设22()()n f g a b c λλλλλ=+++,由(1)0,(1)0,(2)0,f f f =-==得21,1,422.n a b c a b c a b c ++=⎧⎪--=⎨⎪++=⎩解之，得2211(21),0,(24)33n n a b c =-==--,因此2222211(21)(24)33n n n A aA bA cI A I =++=---.11.求下列矩阵的最小多项式：（1）311020111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（2）422575674-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦；（3）n 阶单位阵n I ；（4）n 阶方阵A ，其元素均为1；（5）0123103223013210a a a a a a a a B a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦. 解:(1) 设311020111A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则 231110002002011100(2)I A λλλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦,故该矩阵的最小多项式为2(2)λ-.(2) 设422575674A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦,则 2(2)(511)I A λλλλ-=--+,故该矩阵有三个不同的特征值,因此其最小多项式为2(2)(511)λλλ--+(3) n 阶单位阵n I 的最小多项式为()1m λλ=-. (4) 因为1()n I A n λλλ--=-,又2A nA =,即2A nA O -=,故该矩阵的最小多项式为()n λλ-.(5)因为22222200123[2()]I B a a a a a λλλ-=-++++,而2222200123()2()m a a a a a λλλ=-++++是I B λ-的因子,经检验知()m λ是矩阵B 的最小多项式.。

矩阵论第三章答案

d1 (λ ) = L = d n −1 (λ ) = 1 ， d n (λ ) = (λ − a )
n
因此初等因子只有一个，即有 (λ − a )n .
11. 证：
A（ λ ）与 B（ λ ）相抵当且仅当它们有相同的不变因
子，当且仅当它们的各阶行列式因子相同.
1 1 ⎤ ⎡λ − 2 ⎢ 12. 解：（ 1 ）因为 λI − A = ⎢ − 2 λ + 1 2 ⎥ ⎥ 的初等因子为 ⎢ − 1 λ − 2⎥ ⎣ 1 ⎦
0 0 ⎤ r2 − (− 1)r3 ⎡1 0 0 ⎤ c 2 − (2λ − 1)c1 ⎡1 ⎢0 ⎥ ⎢ 2 λ − λ ⎥ ⎯⎯ ⎯ λ2 ⎥ ⎯⎯ ⎯ ⎯→ ⎢ ⎯→ ⎢0 λ ⎥ 2 2 2 ⎥ ⎢ ⎥ c3 + (− λ )c1 ⎢ ( ) r + 1 − λ r 0 λ − λ − λ − λ 0 0 − λ − λ 3 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2. 解：（ 1）因为 A 的特征矩阵为
⎡λ + 1 ⎤ ⎢ ⎥ λ+2 ⎢ ⎥ A(λ ) = λI − A = ⎢ ⎥ λ −1 ⎢ ⎥ λ − 2⎦ ⎣
所以 A（ λ ）的行列式因子为
⎡1⎤ A=⎢ ⎥ ⎣1⎦
不变因子为
d 1 (λ ) = D1 (λ ) = 1, d 4 (λ ) = D4 (λ ) D3 (λ ) d 2 (λ ) = d 3 (λ ) = 1,
10. 解：
因为 A(λ ) = (λ − a )n ，所以 Dn (λ ) = (λ − a )n ，又因
c1 λ − a c2 O
O
= c1c 2 L c n −1 ≠ 0 ，
λ − a c n −1

研究生矩阵论课后习题答案(全)习题一

A = ∑∑ aij Fij ，故 F11 ,L , F1n , F22 , L , F2 n , L , Fnn 是 R n×n 中全体对称矩阵所构
i =1 j =1 n n
成的线性空间的一组基，该线性空间的维数是
n(n + 1) . 2
② 令 Gij = Eij − E ji (i < j ) ，则 Gij 是反对称矩阵，易证
解
（1）设 Eij 是第 i 行第 j 列的元素为 1 而其余元素全为 0 的 n 阶方阵.
①令 Fij = ⎨
⎧ Eii , i = j ，则 Fij 是对称矩阵，易证 F11 ,L , F1n , F22 , L , F2 n , ⎩ Eij + E ji , i ≠ j
L , Fnn 线性无关，且对任意 n 阶对称矩阵 A = (aij ) n×n ，其中 aij = a ji ，有
1(1 − 1) 2 a ) = ( a, b) 2
= k o ( a, b) + l o ( a, b) = k o α + +l o α ;
⑧ k o (α ⊕ β ) = k o (a + c, b + d + ac)
k (k − 1) (a + c) 2 ) 2 k (k − 1) 2 k (k − 1) 2 = (ka + kb, (kb + a ) + (kd + c ) + (ka)(kc)) 2 2 k (k − 1) 2 k (k − 1) 2 = (ka, kb + a ) ⊕ (kc, kd + c ) 2 2 = (k (a + b), k (b + d + ac) +

研究生矩阵论课后答案

|
xk
|2
)
1 2
是范数.
k =1
(2)证明函数 || x ||∞ = max{| x1 |,| x2 |,...,| xn |}是范数.
2.设
x∈R2,
A=
⎛4 ⎜⎝1
1⎞ 4⎟⎠
,请画出由不等式||
x
||
A
≤
1决定的x的全
体所对应的几何图形.
3.在平面 R2中将一个棍子的一端放在原点,另一端放
生成子空间V,求V的正交补空间V ⊥.
15.(MATLAB)将以下向量组正交化.
(1) x1 = (1,1,1)T , x2 = (1,1, 0)T , x3 = (1, −1, 2);T
(2) f (t) = 1, g(t) = t, h(t) = t2是[0,1]上的多项式空间
的基,并且定义(
f
9.把下面矩阵A对应的λ -矩阵化为Smith标准形,并且写
出与A相似的Jordan标准形.
⎛1 −1 2 ⎞
(1)
⎜ ⎜
3
−3
6
⎟ ⎟
⎜⎝ 2 − 2 4⎟⎠
⎛ −4 2 10⎞
(2)
⎜ ⎜⎜⎝
−4 −3
3 1
7 7
⎟ ⎟⎟⎠
⎧ dx1
⎪ ⎪
dt
=
3x1
+ 8x3
10.(MATLAB)求解微分方程:
α3 = (0,1,1)T 的矩阵为: ⎡ 1
A=⎢ 1 ⎢⎣−1
0 1⎤ 1 0⎥ 2 1⎥⎦
求在基e1 = (1,0,0)T ,e2 = (0,1,0)T ,e3 = (0,0,1)T下的矩阵.
10.设S = {ε1,ε2 ,ε3,ε4}是四维线性空间V的一个基,已知

矩阵论课后习题答案

第一章线性空间与线性映射习题一 (43-45)1、（1）对于V y x ∈∀,，x y x y x y x y y x y x y x y x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+112211112211；（2）对于V z y x ∈∀,,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=++))()(1111112221111112112211121112211z y z x y x z y x z y x y x z z y x y x z y x z z y x y x y x z y x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++))()(1111112221111111122211111221121z y z x y x z y x z y x z y x z y z y x z y x z y z y z y x x z y x ，即)()(z y x z y x ++=++。

（3）对于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00θ和V x ∈∀，显然x x x x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+21121000θ；（4）对于V x ∈∀，令⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2211x x x y ，则θ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0021221211221121x x x x x x x x x x x y x ，即x y -=。

（5）对于R ∈∀μλ,和V x ∈∀，有x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x )()()]()[(21)()()2(21)()()]1()1([21)1(21)1(2121212212122212121221121212121μλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλλμμμλλμλμλμμμμλλλλμλ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+（6）对于R ∈∀λ和V y x ∈∀,，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+211112211112211))(1(21)()()(y x y x y x y x y x y x y x y x λλλλλλ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+211112211112212211122111122122121121212121))(1(21)()()1(21)1(21)()1(21)1(21)1(21)1(21y x y x y x y x y x y y x y x y x y x y x y y x x y x y y y x x x y x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ，即y x y x λλλ+=+)(。

上海交大研究生矩阵理论答案

习题cosnx sin nx 1 • (1) 因sinnx cosnx cosx sin xsin x cosxcos(n 1)x sin(nsin(n 1)x cos(n1)x，故由归纳法知1)xA ncosnx sin nxsin nx cosnx(2)直接计算得A4故设n 4k r(r 0,1,2,3)，贝UA n4k r k r A A ( 1) A ,即只需算出A2, A3即可。

(3 )记J=，则J n 1C n ana A n(aE J)n c n aJ n ii 0 —2 n 2 C n a C；a nna2 •设A P011(a 1,0),则由A2a 1时,其中B 1 注:而由a 0时,P为任意满秩矩阵，而,B2 ，艮A2E无实解,A n E的讨论雷同。

3•设A为已给矩阵，由条件对任意n阶方阵性方程AX XA=0有n2个线性无关的解,不可能。

0 m知22CnC1aM 。

C：a n1na11所以所求矩阵为PB i P ,2X有AX=XA，即把X看作n个未知数时线由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵,通过直接检验即发现 A 为纯量矩阵。

a n a n 1 L a i 04 •分别对（A B ）和 A 作行（列）初等变换即可。

C5 •先证A 或B 是初等到阵时有 AB B A ,从而当A 或B 为可逆阵时有 AB B A 。

*d考虑到初等变换 A 对B 的n 1阶子行列式的影响及 A A 1即可得前面提到的结果。

0 0，（这里P ，Q 满秩），则由前讨论只需证下式成立即可:求证。

其中ij 为Kronecker 符号。

对这里的第I 个方程乘以nw j 1 n 1 a ij w j 1 n i ，即得 a ij - w j 1 n 1 i 。

n注：同一方程式的全部本原根之和为0，且w m 也是本原根下设PAQ E rE r 0*E r 0B B(1)r<n-1时，因秩小于n-1的n 阶方阵的n-1*E r 0 0 0**E r 0 (2) r=n -1 时，,B0 00 10 0bBL b n^11^12Lbl nE r 0b21 b 22L b2n»2心22Lb 2n斗，故0 0MMb n1bn2L bnn0 0 L 0阶子式全为 Bn1BM 20 B.nn0,结论显然;，但E r 0 0 0Bn1B n2 MB nn6 •由 r(A) r(A )及AX 0 (AX) AX 0 , AX 0 与 A AX 0同解，此即所7 •设其逆为a ij ，则当I 固定时由可逆阵的定义得个方程a 1 a i2w j 1 1a i3 wj1 2L a in w j 1 n 1j ,j 1,2,L n ,n l然后全加起来得2 ,故dimU I W 2,dim U dimU dimW dim U I习题11 •因x 1 x 1 x ，所以V 中零元素为1 , X 的负元素为—，再证结合律、交换律和X分配律。

《矩阵论》习题答案

第一章第一章第6题实数域R 上的全体n 阶对称（反对称）矩阵，对矩阵的加法和数量乘法。

解：实数域R 上的全体n 阶矩阵，对矩阵的加法和数量乘法构成R 上的线性空间nn R ⨯,记{}{}A A R A A W A A R A A V T n n T n n -=∈==∈=⨯⨯,/;,/ 以为，对任意的,,,,B B A A V B A T T ==∈则(),B A B A T+=+即V B A ∈+,所以V 对加法运算是封闭的；对任意的A A R k V A T =∈∈,,,则(),,V kA kA kA T∈=即所以V 对数乘运算封闭；所以，V 是nn R⨯的一个线性子空间，故V 构成实数域R 上的一个线性空间。

同理可证，W 也是一个线性空间。

P41第一章第8题(参考P10例题 1.2.5) 证明：存在1k ,2k ,3k ,4k 使得112233440k k k k αααα+++=即11111k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+21101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+31110k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+41011k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0 解12341231341240000k k k k k k k k k k k k k +++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩ 得12340k k k k ====所以1α，2α，3α，4α线性无关P42第1章第12题解：因为A=x 1α1+x 2α2+x33α+x 4α4即x 1+x 2+x 3+x 4=1x 1+x 2+x 3=2x 1+x 3+x 4=-2x 1+x 2+x 4=0⇒x 1=-2x2=3x 3=1 x 4=-1所以A 的坐标为[x 1,x 2,x 3,x 4]T=[-2,3,1,-1]TP42第一章第13题答案 f(x)=3+1-n 2x( 泰勒展开))(f x '=2(n-1)2-n x(x)f ''=2(n-1)(n-2)3-n x …… )1(f -n (x)=2(n-1)! )(f n (x)=0f(1)=5 )1(f '=2(n-1) (1)f ''=2(n-1)(n-2) …… )1(f -n (1)=2(n-1)!f(x)=f(1)+ )1(f '(x-1)+!21(1)f ''2)1(-x +……+)!1(1-n )1(f -n (1)1)1(--n x =5+2(n-1)(n-2)+!2)2)(1(2--n n 2)1(-x +……+)!1()1(2--n n ！1)1(--n x=5+211-n C (x-1)+221-n C 2)1(-x +……+211--n n C 1)1(--n x取f(x)=3+1-n 2x在基1, (x-1), 2)1(-x , ……,1)1(--n x 下的坐标为（5 , 211-n C , 221-n C ,…… , 211--n n C T)教材P42习题14：求基T)0,0,0,1(1=α，T)0,0,1,0(2=α，T )0,1,0,0(3=α，T)1,0,0,0(4=α，到基T )1,1,1,2(1-=β，T )0,1,3,0(2=β，T )1,2,3,5(3=β，T )3,1,6,6(4=β的过度矩阵，确定向量T x x x x ),,,(4321=ξ在基1β，2β，3β，4β，下的坐标，并求一非零向量，使它在这两组基下的坐标相同。

河海大学研究生矩阵论习题答案

对 k R ，有
kf t 1 kf t dt k f t dt k f t 1
b b a a
对于 g t Ca, b，有
f t g t 1 f t g t dt f t dt g t dt
又已知
T
2

2
0 ，故 T , , 2 2 .
证：（ 1 ）充分性 . 由 C C=I 及坐标变换公式 C 可得
T
16 ．

2 2
T C C T C T C T 2 ，即
M max hi .再由
i

则有
M max hi .对任给正数，取 M ，则当 max hi 时，
i
i
4
结论恒成立. 13．证：（1）设 x1 , 面又有
x2 , , xn ，且 max xi xi 0 ，则
T B T
可得
i j i j ，由
bii bij b ji b jj 2
，
即
bij 0i j, i, j 1,, n ，故有 B=I，也就是 CTC=I.）
(2) 取正交矩阵
1 2 1 C 2 0
n
4 ．证法提示：与上题类似 . 图形在第一象限的部分由 x1 1,
x2 1 和
2 x1 x2 1 所围成. 3
5 ．证：考虑 0, 1 ,
T
1, 0T ，则当 p

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

习题三1．证明下列问题：（1）若矩阵序列{}m A 收敛于A ，则{}Tm A 收敛于T A ，{}m A 收敛于A ；（2）若方阵级数∑∞=0m mm A c 收敛，则∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛00)(m m T m Tm m m A c A c .证明：（1）设矩阵,,2,1,)()( ==⨯m a A n n m ij m则,)()(n n m ji Tm a A ⨯=,)()(n n m ij m a A ⨯=,,2,1 =m设,)(n n ij a A ⨯=则n n ji T a A ⨯=)(，,)(n n ij a A ⨯=若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有ij m ij m a a =∞→)(lim ，则ji m ji m a a =∞→)(lim ，ij m ij m a a =∞→)(lim ，n j i ,,2,1, =，故{}Tm A 收敛于TA ，{}m A 收敛于A .(2)设方阵级数∑∞=0m m mA c的部分和序列为,,,,21m S S S ，其中mm m A c A c c S +++= 10.若∑∞=0m mmA c收敛，设其和为S ，即 S A cm m m=∑∞=0，或S S m m =∞→lim ，则T Tm m S S =∞→lim .而级数∑∞=0)(m mT mA c的部分和即为T mS ，故级数∑∞=0)(m m T m A c 收敛，且其和为T S ，即∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛00)(m m T m Tm m m A c A c .2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ，且{}1-m A ，1-A 都存在，证明：（1）A A m m =∞→lim ；（2）{}11lim --∞→=A A m m .证明：设矩阵,,2,1,)()( ==⨯m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ⨯=若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有ij m ij m a a =∞→)(lim .(1) 由于对任意的n j j j ,,,21 ，有,lim )(k kkj m kj m a a =∞→ n k ,,2,1 =，故∑-∞→nn n j j j m nj m j m j j j j m a a a 2121)()(2)(1)()1(limτ＝∑-nn n j j j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ，而∑-=nnn j j j m nj m j m j j j j m a a a A 2121)()(2)(1)()1(τ，∑-=nn n j j j nj j j j j j a a a A 21212121)()1(τ,故A A m m =∞→lim .(2) 因为n n m ij m m A A A ⨯-=)(1)(1，n n ij A AA ⨯-=)(11. 其中)(m ij A ，ij A 分别为矩阵m A 与A 的代数余子式.与（1）类似可证明对任意的n j i ,,2,1, =，有ij m ij m A A =∞→)(lim ，结合A A m m =∞→lim ，有n n m ij m m A A ⨯∞→)(1lim)(＝n n ij A A⨯)(1，即{}11lim --∞→=A A m m .3.设函数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3201sin cos sin )(t t e t t t t t t A t ，其中0≠t ，计算),(),(lim 0t A dt d t A t →),(22t A dtd ,)(t A dt d)(t A dt d . 解：根据函数矩阵的极限与导数的概念与计算方法，有（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=→→→→→→→→→→001011010lim 0lim 1lim lim lim sin limlim cos lim sin lim )(lim 300200000t t e ttt tt t A t t t t tt t t t t t ；（2）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡'''''''''=22323002sin cos 1sin cos )(01)()()sin ()(cos )(sin )(t t e t t t t t tt t e t t t t t t A dt d t t ；（3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==t e t t t t t t t A dtd dt d t A dt d t 6002cos 2sin )2(0cos sin ))(()(222；（4）=)(t A dtd'3201sin cos sin t t e t t t t tt)2cos 2(sin )sin cos 2(]1)cos (sin sin 3[32t t t t t t t t t t t t t e t +--+--++=（5）)(t A dt d ＝22302sin cos 1sin cos t t e t t t t t tt -- )sin cos (sin 3cos 32t t t t t e t t -+=.4．设函数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-00302)(222x e e x xe e x A x xx x ，计算⎰10)(dx x A 和⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰20)(x dt t A dx d .解：根据函数矩阵积分变限积分函数的导数的概念与计算方法，有（1）⎰10)(dx x A ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎰⎰⎰⎰⎰⎰-00302101211210102xdx dx e dxe dx x dx xe dx e x x xx ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-0023011311)1(21212e e e ；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰20)(x dt t A dx d ＝)(22x xA ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-00302224222222x e ex e x e x x x x . 5.设,))(,),(),((21Tn t y t y t y y =A 为n 阶常数对称矩阵，Ay y y f T=)(，证明：（1）dt dy A y dt df T 2=；（2）dtdy y y dt d T222=. 证明：（1）y A y Ay y Ay y dtdfT T T '+'='=)()(y A y Ay y T T T '+'=))((y A y T '=2dtdyA y T 2=，（2）dtdy y yy dt d y dt d TT 2)(22==. 6.证明关于迹的下列公式：（1）X X X tr dX d XX tr dX d T T 2)()(==；（2）T T T B B X tr dX d BX tr dX d ==)()(；（3）X A A AX X tr dXd T T )()(+=.其中m m ij m n ij n m ij a A b B x X ⨯⨯⨯===)(,)()(.证明：（1）因为∑∑====mi nj ij TTx X X tr XX tr 112)()(，而ij m i n j ij ij x x x 2)(112=∂∂∑∑==，故X X X tr dXd XX tr dX d T T 2)()(== （2）因为n n mk kj ik x b BX ⨯=∑=)(1，则∑∑====n j mk kj jk TTx b B X tr BX tr 11)()(，而ji n j mk kj jk ij b x b x =∂∂∑∑==)(11，故T T T B B X tr dXd BX tr dX d ==)()(. (3) 因为,212221212111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n m m Tx x x x x x x x x X⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========mk kn mk m k k mkmk k mk mk kn k mk k kmk k k mk kn k mk k k mk k k x a x ax a x a x axa x a x a x a AX 112111212211211121111故)()()()(11ln 111111∑∑∑∑∑∑======++++=m l mk kn lk ml m k kj lk lj m l m k k lk l Tx a x x a x x a x AX X tr 则))(()(11∑∑==∂∂=∂∂m l mk kj lk lj ij Tij x a x x AX X tr x )]([111∑∑∑===∂∂+∂∂=mk kj lk ij lj mk kj lk ij ljml x a x x x a x x ∑∑==+=ml lj li m k kj ik x a x a 11故X A A X A AX AX X tr dXdT T T )()(+=+=. 7．证明：TT T T T T dX db a dX da b b a dX d +=)(，其中)(),(X b X a 为向量函数.证明：设T m T m X b X b X b X b X a X a X a X a ))(,),(),(()(,))(,),(),(()(2121 ==，则∑==mi i i TX b X a X b X a 1)()()()(，故它是X 的数量函数，设)()()(X b X a X f T =，有),,,())()((21nTTx f x f x f X b X a dX d ∂∂∂∂∂∂= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∑∑==m i n i i i n i m i i i i i x X b X a X b x X a x X b X a X b x X a 1111)()()()(,,)()()()( ∑∑∑===∂∂∂∂∂∂=mi i n i m i i i mi i i X b x X a X b x X a X b x X a 11211))()(,,)()(,)()(( ))()(,,)()(,)()((11211∑∑∑===∂∂∂∂∂∂+mi ni i m i i i mi i i x X b X a x X b X a x X b X aTT T TdX db adX da b +=. 8.在2R 中将向量Tx x ),(21表示成平面直角坐标系21,x x 中的点Tx x ),(21，分别画出下列不等式决定的向量Tx x x ),(21=全体所对应的几何图形：(1) ,11≤x(2) ，12≤x(3) 1≤∞x.解：根据,1211≤+=x x x ,122212≤+=x x x{}1,m a x21≤=∞x x x，作图如下：9.证明对任何nC y x ∈,，总有)(212222y x y x x y y x T T --+=+. 证明：因为y y x y y x x x y x y x yx T T T T T +++=++=+)()(22y y x y y x x x y x y x y x T T T T T +--=--=-)()(22故x y y x y x y x T T +=--+)(212222 10.证明：对任意的nC x ∈，有12x xx≤≤∞.证明：设Tn x x x x ),,,(21 =，则{}nn n x x x x x x x xx x x x +++=+++==∞21122221221,,,,,max由于{}22122221221)(),,,(max n nn x x x x x x x x x +++≤+++≤ ，故21222x xx≤≤∞，即12x xx≤≤∞.11.设n a a a ， ,,21是正实数，证明：对任意nTn C x x x X ∈=),,(21，，2112⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=ni i i x a X是nC 中的向量范数.证明：因为（1）,02112≥⎪⎭⎫⎝⎛=∑=ni i ix a X且00=⇔=X X ；（2）X k x a k x a k kx a kX ni ii ni i i ni i i =⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑∑===2112211222112；（3）对于nTn C y y y Y ∈=),,(21，，T n n y x y x y x Y X ),,(2211+++=+，，则21212122)(2Y X Y X y a x a y x a YX ni ii ni ii ni ii i +=++≤+=+∑∑∑===故Y X Y X +≤+.因此2112⎪⎭⎫⎝⎛=∑=ni i i x a X 是n C 中的向量范数. 12.证明：ij nj i a n A ≤≤=,1m ax是矩阵n n ij a A ⨯=)(的范数，并且与向量的1－范数是相容的.证明:因为(1) 0m ax ,1≥=≤≤ij nj i a n A ,且O A =⇔0=A ;(2) A k a n k ka n kA ij nj i ij nj i =≥=≤≤≤≤,1,1m ax m ax ;(3) B A b n a n b a n B A ij nj i ij nj i ij ij nj i +=+≥+=+≤≤≤≤≤≤,1,1,1m ax m ax m ax(4)设Tn x x x X ),,,(21 =,则T nj j nj n j j j n j j j x a x a x a AX ),,,(11211∑∑∑==== ，故∑∑∑===+++=nj j njnj j jnj j jx ax ax aAX 11111∑∑∑=≤≤=≤≤=≤≤+++≤nj j nj nj nj j j nj nj jjnj x a x a xa 11121111max max max11,1max X A xa n nj jijnj i =≤∑=≤≤因此ij nj i a n A ≤≤=,1m ax 是与向量的1－范数相容的矩阵范数.13.设nn CA ⨯∈，且A 可逆，证明：11--≥AA .证明:由于I AA =-1,1=I ,则111--≤==A A AA I ,故11--≥AA .14.设nn CA ⨯∈，且,1<A 证明：A I -可逆，而且有（1）AA I -≤--11)(1；（2）AA I A I -≤---1)(1.证明:(1)由于A A I I A I 11)()(---+=-,故A A I I A A I I A I 111)()()(----+≤-+≤-,即 AA I -≤--11)(1.(2)因为A I A I =-+)(,两边右乘1)(-+A I ,可得11)()(--+=+-A I A A I I ,左乘A ,整理得11)()(--+-=+A I AA A A I A ,则111)()()(---++≤+-=+A I A A A A I AA A A I A ，即 AA I A I -≤---1)(1.15.设C l k CB A nn ∈∈⨯,,,证明：（1）Al k klkA ee e )(+=，特别地A A e e --=1)(;（2）当BA AB =时，BA AB BA e e e e e +==；（3）A e Ae e dtd At At At==；（4）当BA AB =时，B A B A B A sin cos cos sin )sin(±=±. 证明:(1)∑∑∑∞==-∞=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=000)()()(!1!)(n n m m n m m n n n n Al k lA kA C n n A l k e∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+++=+=-0000)()(!!)!()!(1)()()!(1m l l m m l lm m m l lA kA m l m l m l lA kA C m l l m nlA kA l l m m m l l m e e kA l kA m lA kA m l =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=0000)(!1)(!1)()(!!1.又因为A A A A O e e e e I --+===)(,故A A e e --=1)(.(2)当BA AB =时,二项式公式∑===+nm mm n m n nB AC B A 0)(成立，故∑∑∑∞==-∞=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=000!1)(!1n n m m m n m n n nBA B A C n B A n e∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+=+=-0000!!1)!(1m l m l m l ml m m l B A m l B A C m l l m nB A m m l l e e B m A l =⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∞=∞=00!1!1 同理，有A B l l m m BA e e A lB m e=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∞=∞=+00!1!1, 故B A A B B A e e e e e +==.(3)由于幂级数∑∞=0!1n nn tA n 对给定的矩阵A ,以及任意的t 都是绝对收敛的,且对任意的t 都是一致收敛的,因此科可对此幂级数逐项求导,则A l ll n n n n n n At Ae l t A A n t A t A n dt d e dt d ==-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=-∞=0110!)!1(!1, 同理，有A e A l t A e dt d Al l l At =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∞=0! 故A e Ae e dtd At At At==. (4) 因为-+-++=432!41!31!21A iA A iA I e iA )!51!31()!41!21(5342 -+-+-+-=A A A i A A IA i A sin cos +=故)(21sin iA iAe e iA --=. 又当BA AB =时，B A A B B A e e e e e +==,则()()iB iA iBiA B A i B A i e e e e i e e i B A --+-+-=-=+2121)sin()()( )]sin )(cos sin (cos )sin )(cos sin [(cos 21B i B A i A B i B A i A i---++= B A B A sin cos cos sin += 同理，可得B A B A B A sin cos cos sin )sin(-=-16.求下列三类矩阵的矩阵函数2,sin ,cos A eA A（1）当A 为幂等矩阵(A A =2)时；（2）当A 为对合矩阵(I A =2)时；（3）当A 为幂零矩阵(O A =2)时.解:(1) A A =2,设矩阵A 的秩为r ,则A 的特征值为1或0, A 可对角化为J O OO IAP P r=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-1, 则11001sin 1sin sin sin --⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==P P JP P AA PJP )1(sin )1(sin 1==-，11111cos 1cos cos cos --⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==P P JP P A110011cos 11cos 1111--⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=P P P PA I PJP I )11(cos )11(cos 1-+=-+=-111122--⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==P e e P P Pe e J A1100111111--⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=P e e P P PA e I PJP e I )1()1(1-+=-+=-(2) 当I A =2时，矩阵A 也可对角化,A 的特征值为1或1-, A 可对角化为J AP P =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=-11111 ,其中1有m 个.则111sin 1sin 1sin 1sin sin sin --⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==P P JP P AA PJP )1(sin )1(sin 1==-111cos 1cos 1cos 1cos cos cos --⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==P P JP P A I )1(cos =eI P e e e e P P Pe e J A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==--1122(3)当O A =2时, A 的特征值均为0,则存在可逆矩阵P ,使得11,--==PJP A J AP P ,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=m J J J 1,又O A =2,则O P PJ A ==-122,于是O J J J m =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2212故Jordan 块k J 的阶数最多为2,不妨设0=k J ),,1(r k =,B J k =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010),,1(m r k +=,即 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=B B J 0则1=k iJ e ,1=-k iJ e ),,1(r k =;⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101i e k iJ ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-101i e k iJ ),,1(m r k +=. 故=--k k iJ iJ e e 0),,1(r k =,B i i e e k k iJ iJ 210020=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--),,1(m r k +=,则2=+-k k iJ iJ e e ),,1(r k =,I e e k k iJ iJ 22002=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+-),,1(m r k +=, 因此J iB B i e e iJiJ 210021=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-- ,Ie e iJiJ 22222=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+- , 所以A PJP i i P e e P i e e i A iJ iJ iA iA =⋅=-=-=----11)2(21)(21)(21sin , I PIP P e e P e e A iJ iJ iA iA =⋅=+=+=----11221)(21)(21cos ,I I e e O A ==2.17.若矩阵A 的特征值的实部全为负，则O e At t =+∞→lim .证明: 设A 的特征值为0,1,<-=+=i i i i a j j b a λ,则存在可逆矩阵P ,使得11,--==PJP A J AP P ,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=m J J J 1,ini ii J ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλ11则1121--⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==P e e e P PPe et J tJ t J Jt Atm,其中⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-t tt t t i n tt tJ e tete e e n t tee ei i 11111111)!1(λλλλλλλ又)sin (cos lim lim lim t b j t b e e e i i t a t t jb t a t t t i i i i +==∞→+∞→∞→λ,且0<i a ,故0lim =∞→tt i eλ，因此O e t J t i =∞→lim ,则O e At t =+∞→lim .18．计算Ate 和At sin ，其中：（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110010002A ；（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=010101010A ；（3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6116100010A .解:(1)设,21=J ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11012J ,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21J JA . 由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t J tAt e e e 22,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t J t At 2sin 2sin sin , 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t t t tJ e te e e02,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t t t tt J sin cos 0sin sin 2, 则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t tt tAte te e e e 000002,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t t t t t At sin cos 00sin 0002sin sin .(2)该矩阵的特征多项式为,11101)(3λλλλλϕ=---=最小多项式为3)(λλ=m .19.计算下列矩阵函数：（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=221131122A ，求100A ；（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=735946524A ，求Ae ；（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4410A ，求4arcsin A；（4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=48816A ，求1)(-+A I 及21A 20．证明:I A A =+22cos sin ，A iI A e e =+π2，其中A 为任意方阵.证明:(1) 因为)(21sin iA iA e e i A --=,)(21cos iA iA e e A -+=,故)2(41)(41sin 2222I e e e e A iA iA iA iA -+-=--=--, )2(41)(41cos 2222I e e e e A iA iA iA iA ++=+=--,则I A A =+22cos sin .(2)因为矩阵iI π2的特征值均为i π2,故存在可逆矩阵P ,使得I P P P e e P e i i iI=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--1122211 πππ则A A iI A iI A e I e e e e ===+ππ2221.若A 为反实对称（反Hermite ）矩阵，则Ae 为实正交（酉）矩阵. 证明: 因为∑∞==0!k k Ak A e ,又∑∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nk k n k k k A k A 0**0!)(!. 故**)(A A e e =.当A 为反实对称,即A A T-=时,I e e e e e e e O A A A A A T A T====-)(,故Ae 为实正交矩阵;当A 为反Hermite 矩阵,即A A -=*时,I e e e e e e e O A A A A A A ====-**)(,故Ae 为酉矩阵.22.若A 为Hermite 矩阵，则Aie 是酉矩阵，并说明当1=n 时此结论的意义. 证明:因为A A =*,故Ai Ai Ai e ee -==*)(*)(,则I e e e e Ai Ai Ai Ai ==-*)(,故Aie 是酉矩阵.当A 为一阶Hermite 矩阵时, A 为一实数,设a A =,则上述命题为1=-aiai e e23.将下列矩阵函数表示成矩阵幂级数，并说明对A 的限制：（1）shA ，（2）)ln(A I +，（3）A arctan解：(1) ∑∞=++=012)!12(1n n A n shA , n n C A ⨯∈∀; (2) ∑∞=--=+111)1(4)ln(n nn A nA I ,1<A ; (3) ∑∞=++-=112121)1(arctan n n nA n A ,1<A . 24．设nn C A ⨯∈，证明：（1）)(A tr Ae e=，（2）AAee ≤.证明:(1)设11,--==PJP A J AP P ,其中J 为若当标准形，则1121--⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==P e e e P PPe e m J J J J A,其中⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111111λλλe e e e iJ, 则mJ J J JJAe e e e Pe P e211===-trA J J J e e e e e n m ===++λλ 121.(2)设∑==Nk kN k A S 0!，则∑∑∑===≤≤=Nk kN k k Nk k N A k A k k A S 000!1!1!，因为∑∞==0!k kAk A e ，对上式两边取极限，得Ak kAe A k e≤≤∑∞=0!1.25．设nn CA ⨯∈，且A 可逆，若λ是A 的任一特征值，则2211A A ≤≤-λ.证明:因为2)(A A =≤ρλ,故2A ≤λ.又对任意的nC X ∈,有2212122AX A AXA IXX--≤==,所以2212AX AX ≤-.设α是矩阵A 的特征值λ对应的特征向量,即λαα=A ,则222212αλλααα==≤-A A,故有λ≤-211A .因此2211A A ≤≤-λ.。