高数A+B(一)第三章大作业答案

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高考数学一轮复习第3章导数及其应用第3讲导数与函数的极值、最值课时作业(含解析)新人教B版-

导数与函数的极值、最值课时作业1．函数f (x )＝(x －1)(x －2)2在[0,3]上的最小值为() A ．－8 B ．－4 C ．0 D ．427答案 B解析 f ′(x )＝(x －2)2＋2(x －1)(x －2)＝(x －2)(3x －4)．令f ′(x )＝0⇒x 1＝43，x 2＝2，结合单调性，只要比较f (0)与f (2)即可．f (0)＝－4，f (2)＝0.故f (x )在[0,3]上的最小值为f (0)＝－4.故选B ．2．(2019·某某胶州模拟)若函数f (x )＝(x ＋a )e x的极值点为1，则a ＝() A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1答案 A解析 f ′(x )＝e x＋(x ＋a )e x＝(x ＋a ＋1)e x. 由题意知f ′(1)＝e(2＋a )＝0，∴a ＝－2.故选A ． 3．(2019·某某高中模拟)函数y ＝ln xx的最大值为()A ．e －1B ．eC ．e 2D ．103答案 A解析令y ′＝1－ln xx2＝0，得x ＝e.当x >e 时，y ′<0，当0<x <e 时，y ′>0，所以y max ＝1e.故选A ． 4．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则()A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点答案 D解析 f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x2，∵x >0，∴当x >2时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，f (x )是减函数，∴x ＝2为f (x )的极小值点．5．若函数y＝e x＋mx有极值，则实数m的取值X围是()A．m>0 B．m<0C．m>1 D．m<1答案 B解析y′＝e x＋m，∵函数y＝e x＋mx有极值，∴e x＋m＝0必有根，∴m＝－e x<0.6．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是()A．－37 B．－29C．－5 D．以上都不对答案 A解析∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∴f(x)在(－2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，∴x＝0为极大值点，也为最大值点，∴f(0)＝m＝3，∴m＝3.∴f(－2)＝－37，f(2)＝－5.∴最小值是－37.故选A．7．(2020·某某中卫市模拟)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，给出下列命题：①－3是函数y＝f(x)的极小值点；②－1是函数y＝f(x)的极小值点；③曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率小于零；④y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增．则正确命题的序号是()A．①④B．①②C．②③D．③④答案 A解析由图可知x<－3时，f′(x)<0，x∈(－3,1)时f′(x)>0，∴－3是f(x)的极小值点，①正确；又x∈(－3，1)时f′(x)≥0，∴f(x)在区间(－3,1)上单调递增，故②不正确，④正确．∵函数y＝f(x)在x＝0处的导数大于0，∴y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率大于0.∴③不正确．故选A．8．(2019·某某八市重点高中质检)设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则()A．a<－1 B．a>－1C ．a <－1eD ．a >－1e答案 A解析由y ′＝e x＋a ＝0得x ＝ln (－a )(a <0)，显然x ＝ln (－a )为函数的极小值点，又ln (－a )>0， ∴－a >1，即a <－1.故选A ．9．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x－1)·(x －1)k(k ＝1,2)，则() A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值 B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值 C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值 D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值答案 C解析因为f ′(x )＝(x －1)k －1[e x(x －1＋k )－k ]，当k ＝1时，f ′(1)>0，故1不是函数f (x )的极值点．当k ＝2时，当x 0<x <1(x 0为f (x )的极大值点)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．故f (x )在x ＝1处取到极小值．故选C ．10．(2019·某某荆、荆、襄、宜四地七校期末)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx －17(a ，b ，c ∈R )的导函数为f ′(x )，f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，若f (x )的极小值等于－98，则a 的值是()A ．－8122B ．13 C ．2 D ．5答案 C解析由题意，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，因为f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，所以a >0，且－2＋3＝－2b 3a ，－2×3＝c3a ，则3a ＝－2b ，c ＝－18a ，f (x )的极小值为f (3)＝27a ＋9b ＋3c －17＝－98，解得a ＝2，b ＝－3，c ＝－36，故选C ．11．(2019·某某某某第三次质量检测)已知函数f (x )＝x ＋1ex－ax 有两个极值点，则实数a 的取值X 围是()A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，＋∞ B ．(－1，＋∞)C ．(－1,0)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0答案 D解析因为函数f (x )＝x ＋1e x－ax 有两个极值点，所以方程f ′(x )＝－xex －a ＝0有两个不相等实根，令g (x )＝x e x ，则g (x )＝x e x 的图象与直线y ＝－a 有两个不同交点，又g ′(x )＝1－xex ，由g ′(x )＝1－x e x ＝0得x ＝1，所以，当x <1时，g ′(x )>0，即g (x )＝xex 单调递增；当x >1时，g ′(x )<0，即g (x )＝x ex 单调递减；所以g (x )max ＝g (1)＝1e，又g (0)＝0，当x >0时，g (x )＝xex >0，作出函数的简图如下：因为g (x )＝x e x 的图象与直线y ＝－a 有两个不同交点，所以0<－a <1e ，即－1e<a <0.故选D ．12．(2019·某某江淮名校联考)设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＋x e x＝xf ′(x )，f (1)＝－π，f (2)＝－π2，则当x >0时，f (x )()A ．有极大值，无极小值B ．无极大值，有极小值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值又无极小值答案 B解析由题设，知f ′(x )＝e x＋f (x )x ，所以f ′(1)＝e ＋f (1)1＝e －π<0，f ′(2)＝e 2＋f (2)2＝e 2－π4>0，所以存在x ∈(1,2)使得f ′(x 0)＝0，令g (x )＝f ′(x )，当x >0时，g ′(x )＝e x＋xf ′(x )－f (x )x 2＝e x ＋e x x >0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增．所以当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．因此，当x ＝x 0时，f (x )取极小值，但无极大值，故选B ．13．若函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则m ＝________. 答案 1解析由f ′(1)＝0可得m ＝1或m ＝3. 当m ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)(x －3)，当1＜x ＜3时，f ′(x )＜0；当x ＜1或x ＞3时，f ′(x )＞0，此时f (x )在x ＝1处取得极大值，不合题意，当m ＝1时，f ′(x )＝(x －1)(3x －1)．当13<x <1时，f ′(x )<0；当x <13或x >1时，f ′(x )>0，此时f (x )在x ＝1处取得极小值，符合题意，所以m ＝1.14．函数f (x )＝3x －x 3在区间(a 2－12，a )上有最小值，则实数a 的取值X 围是________.答案 (－1,2]解析 f ′(x )＝3－3x 2＝－3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴x 1＝－1，x 2＝2.∵f (x )在开区间(a 2－12，a )上有最小值， ∴最小值一定是极小值．∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－12<－1<a ，a ≤2，解得－1<a ≤2.15．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则该生产厂家年产量为________万件时年利润最大，最大年利润为________万元．答案 9252解析 y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0，得x ＝9或x ＝－9(舍去)．当0<x <9时，y ′>0，函数y 单调递增；当x >9时，y ′<0，函数y 单调递减．故当x ＝9时，y 取最大值，y max ＝－13×93＋81×9－234＝252.16．(2019·某某模拟)已知函数f (x )＝(x ＋1)e x－a2x 2，其导函数f ′(x )在区间[－3，－1]上为减函数，则实数a 的最小值为________.答案 2e解析由题意得f ′(x )＝(x ＋2)e x－ax ，且f ′(x )在区间[－3，－1]上为减函数，令t (x )＝(x ＋2)e x－ax ，则t ′(x )＝(x ＋3)e x－a ，所以(x ＋3)e x－a ≤0，即a ≥(x ＋3)e x在区间[－3，－1]上恒成立．设h (x )＝(x ＋3)e x，则h ′(x )＝(x ＋4)e x>0在区间[－3，－1]上恒成立，即h (x )在[－3，－1]上为增函数，h (x )max ＝h (－1)＝2e ，则a ≥2e.17．(2020·某某师大附中模拟)已知函数f (x )＝(x －a )e x(a ∈R )． (1)当a ＝2时，求函数f (x )在x ＝0处的切线方程； (2)求f (x )在区间[1,2]上的最小值．解 f ′(x )＝(x ＋1－a )e x.(1)当a ＝2时，f ′(x )＝(x －1)e x. ∴f (0)＝－2，f ′(0)＝－1， ∴所求切线方程为y ＋2＝－x ，即x ＋y ＋2＝0.(2)令f ′(x )＝0得x ＝a －1. ①若a －1≤1，则a ≤2.当x ∈[1,2]时，f ′(x )≥0，则f (x )在[1,2]上单调递增． ∴f (x )min ＝f (1)＝(1－a )e ； ②若a －1≥2，则a ≥3.当x ∈[1,2]时，f ′(x )≤0，则f (x )在[1,2]上单调递减． ∴f (x )min ＝f (2)＝(2－a )e 2； ③若1<a －1<2，则2<a <3.f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如表：∴f (x ∴f (x )min ＝f (a －1)＝－ea －1.综上可知当a ≤2时，f (x )min ＝(1－a )e ；当a ≥3时，f (x )min ＝(2－a )e 2；当2<a <3时，f (x )min ＝－ea －1.18．已知常数a ≠0，f (x )＝a ln x ＋2x . (1)当a ＝－4时，求f (x )的极值；(2)当f (x )的最小值不小于－a 时，某某数a 的取值X 围．解 (1)由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax ＋2＝a ＋2xx. 当a ＝－4时，f ′(x )＝2x －4x.所以当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )单调递减；当x >2时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增．所以f (x )只有极小值，且当x ＝2时，f (x )取得极小值f (2)＝4－4ln 2. 所以当a ＝－4时，f (x )只有极小值4－4ln 2，无极大值． (2)因为f ′(x )＝a ＋2xx，所以当a >0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递增，没有最小值．当a <0时，由f ′(x )>0，得x >－a2，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，＋∞上单调递增；由f ′(x )<0，得x <－a2，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2上单调递减．所以当a <0时，f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2. 根据题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2≥－a ，即a [ln (－a )－ln 2]≥0.因为a <0，所以ln (－a )－ln 2≤0，解得a ≥－2，所以实数a 的取值X 围是[－2,0)．19．(2020·某某某某期末)已知函数f (x )＝ln x －a x. (1)若a >0，试判断f (x )在定义域内的单调性； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，某某数a 的值．解 (1)由题意得f (x )的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x ＋ax 2，因为a >0，所以f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)由(1)可得f ′(x )＝x ＋ax 2，当x ∈[1，e]时，若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32(舍去)．若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上单调递减，所以f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32，所以a ＝－e2(舍去)．若－e<a <－1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ，当1<x <－a 时，f ′(x )<0，所以f (x )在(1，－a )上单调递减，当－a <x <e 时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－a ，e)上单调递增，所以f (x )min ＝f (－a )＝ln (－a )＋1＝32，所以a ＝－e ，综上，a ＝－ e.20．(2020·某某模拟)已知函数f (x )＝13x 3－12ax 2，a ∈R .(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程；(2)设函数g (x )＝f (x )＋(x －a )cos x －sin x ，讨论g (x )单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．解 (1)由题意，得f ′(x )＝x 2－ax ，当a ＝2时，f (3)＝0，f ′(x )＝x 2－2x ，所以f ′(3)＝3，因此，曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程是y ＝3(x －3)，即3x －y －9＝0. (2)因为g (x )＝f (x )＋(x －a )cos x －sin x ，所以g ′(x )＝f ′(x )＋cos x －(x －a )sin x －cos x ＝x (x －a )－(x －a )sin x ＝(x －a )(x －sin x )．令h (x )＝x －sin x ，则h ′(x )＝1－cos x ≥0，所以h (x )在R 上单调递增．因为h (0)＝0，所以当x >0时，h (x )>0；当x <0时，h (x )<0. ①当a <0时，g ′(x )＝(x －a )(x －sin x )，当x ∈(－∞，a )时，x －a <0，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(a,0)时，x －a >0，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(0，＋∞)时，x －a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增．所以，当x ＝a 时，g (x )取到极大值，极大值是g (a )＝－16a 3－sin a ；当x ＝0时，g (x )取到极小值，极小值是g (0)＝－a . ②当a ＝0时，g ′(x )＝x (x －sin x )，当x ∈(－∞，＋∞)时，g ′(x )≥0，g (x )单调递增．所以，g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，无极大值也无极小值． ③当a >0时，g ′(x )＝(x －a )(x －sin x )，当x ∈(－∞，0)时，x －a <0，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(0，a )时，x －a <0，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，x －a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增．所以，当x ＝0时，g (x )取到极大值，极大值是g (0)＝－a ；当x ＝a 时，g (x )取到极小值，极小值是g (a )＝－16a 3－sin a .综上所述：当a <0时，函数g (x )在(－∞，a )和(0，＋∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g (a )＝－16a 3－sin a ，极小值是g (0)＝－a ；当a ＝0时，函数g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；当a >0时，函数g (x )在(－∞，0)和(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g (0)＝－a ，极小值是g (a )＝－16a 3－sin a .。

高中数学第三章函数3.第课时零点的存在性及其近似值的求法课时作业含解析B版第一册

第三章3。

2 第2课时请同学们认真完成[练案25]A级基础巩固一、单选题（每小题5分，共25分）1．三次方程x3＋x2－2x－1＝0的根不可能所在的区间为（C）A．(－2，－1)B．（－1，0)C．(0，1）D．(1，2）解析：∵f(－2)＝－1〈0,f(－1)＝1〉0,f(0）＝－1<0，f(1）＝－1〈0，f(2）＝7>0，∴三次方程x3＋x2－2x－1＝0的三个根分别在区间(－2,－1）、（－1，0)、(1,2）内，故选C．2．若函数f（x)在[a，b］上连续，且同时满足f(a）f(b）<0，f(a）f(错误!)>0.则（B）A．f（x)在［a，错误!］上一定有零点B．f（x）在［错误!，b]上一定有零点C．f（x)在［a,错误!]上一定无零点D．f（x)在［a＋b2,b]上一定无零点解析：a〈错误!〈b，由题意知f错误!f（b)〈0,所以f（x）在错误!上有零点．3．若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于2，一根小于1，则m 的取值范围是（ B )A ．（－∞,错误!）B ．（错误!，＋∞)C ．（错误!,3）D ．（1，错误!）解析:令f （x ）＝x 2－2mx ＋4，由题意可知错误!即⎩⎨⎧1－2m ＋4<0，4－4m ＋4<0，所以错误!即m >错误!. 4．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算, f (0。

64)<0， f （0。

72）>0, f (0.68)〈0,则函数的一个精确到0。

1的正实数零点的近似值为（ C )A ．0.68B ．0.72C ．0。

7D ．0。

6 解析：已知f (0。

64)〈0，f （0。

72）〉0,则函数f （x )的零点的初始区间为［0。

64，0。

72],又0.68＝（0.64＋0.72)/2,且f （0.68）〈0，所以零点在区间［0。

68,0.72］上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0。

人教A版2019高中数学必修1课时作业：3章B_含解析

第三章章末检测题(B)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.函数y＝x2－2x－3的零点是()A.1，－3B.3，－1C.1，2D.不存在答案 B解析方程x2－2x－3＝0的解是x1＝3，x2＝－1，所以函数y＝x2－2x－3的零点是－1，3，故选B.2.下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的()答案 C解析C中图像中的零点两侧的函数值为同号.3.已知函数y＝f(x)的图像是连续不间断的，x，f(x)对应值表如下：则函数A.区间[1，2]和[2，3]B.区间[2，3]和[3，4]C.区间[2，3]和[3，4]和[4，5]D.区间[3，4]和[4，5]和[5，6]答案 C4.若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是()A.a<1B.a>1C.a≤1D.a≥1答案 B解析f(x)没有零点，即x2＋2x＋a＝0无实数解.∴Δ<0即4－4a<0，∴a>1.5.若函数y＝x2＋(m－2)x＋(5－m)有两个大于2的零点，则m的取值范围是()A.(－5，－4)B.(－∞，－4]C.(－∞，－2)D.(－∞，－5)∪(－5，－4]答案 A解析 ⎩⎪⎨⎪⎧f （2）>0，－m －22>2，Δ>0⇔－5<m<－4.6.对于定义在实数集R 上的函数，如果存在实数x 0，使得f(x 0)＝x 0，那么x 0叫做函数f(x)的一个不动点，已知函数f(x)＝x 2＋2ax ＋1不存在不动点，那么a 的取值范围是( ) A.(－12，32)B.(－32，12)C.(－1，1)D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案 A解析因为f(x)＝x 2＋2ax ＋1不存在不动点，即x 2＋2ax ＋1＝x 无实数解. ∴x 2＋(2a －1)x ＋1＝0无实数解.从而Δ<0即(2a －1)2－4<0，∴－2<2a －1<2，∴－12<a<32.7.如下图所示，阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H)，则该函数的图像是下面四个图形中的()答案 C解析当h ＝H2时，对应阴影部分的面积小于整个图形面积的一半，且随着h 的增大，S 随之减小，故排除A ，B ，D ，选择C.8.某人2016年7月1日到银行存入a 元，若按年利率x 复利计算，则到2019年7月1日可取款( ) A.a(1＋x)2元 B.a(1＋x)4元 C.a ＋(1＋x)3元 D.a(1＋x)3元答案 D解析由题意知，2016年7月1日可取款a(1＋x)元， 2018年7月1日可取款a(1＋x)·(1＋x)＝a(1＋x)2元，2019年7月1日可取款a(1＋x)2·(1＋x)＝a(1＋x)3元.9.三次方程x 3＋x 2－2x －1＝0在下列哪些连续整数之间没有根( ) A.－2与－1之间 B.－1与0之间 C.0与1之间 D.1与2之间答案 C解析 ∵f(－2)·f(－1)<0，f(－1)·f(0)<0，f(1)·f(2)<0，∴A ，B ，D 都不符合题意. 10.某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费；每月超过8吨，超过部分加倍收费，某职工某月缴费20元，则该职工这个月实际用水( ) A.10吨 B.13吨 C.11吨 D.9吨答案 D11.某商品进价为每件40元，当售价为50元/件时，一个月能卖出500件，通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件.商店为使销售该商品月利润最高，则应将每件商品定价为( ) A.45元 B.55元 C.65元 D.70元答案 D解析设每件商品定价为x 元，则月利润为[500－10(x －50)](x －40)＝－10(x －70)2＋9 000. 所以当x ＝70时，利润最大.12.设函数f(x)＝x 3＋bx ＋c 是[－1，1]上的增函数，且f(－12)·f(12)<0，则方程f(x)＝0在[－1，1]内( )A.可能有3个实根B.可能有2个实根C.有唯一的实根D.没有实根答案 C解析因为f(x)在[－1，1]上是增函数，且f(－12)·f(12)<0，所以f(x)在[－12，12]内有唯一实根，所以f(x)在[－1，1]内有唯一实根.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在横线上)13.用二分法求函数y ＝f(x)在区间(2，4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(a ，b)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f(2)·f(x 1)<0，则此时零点x 0∈________.(填区间)答案 (2，3)解析 ∵f(2)f(4)<0，f(2)f(3)<0，∴f(3)·f(4)>0，故x 0∈(2，3).14.若函数f(x)＝x 2－ax －b 的两个零点是4和6，则函数g(x)＝bx 2＋ax －1的零点是________. 答案 14，16解析 ∵4和6是函数f(x)的两个零点，∴⎩⎪⎨⎪⎧f （4）＝0，f （6）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧16－4a －b ＝0，36－6a －b ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝－24. ∴g(x)＝－24x 2＋10x －1. 令g(x)＝0，得x ＝14或x ＝16.15.方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为______.答案 216.某种细菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知细菌的繁殖规律为y ＝e kt ，其中k 为常数，t 表示时间，y 表示细菌个数，则k ＝________，经过5小时，1个细菌能繁殖为________个. 答案 2ln2 1 024解析将(12，2)代入y ＝e kt ，得2＝e 12k.∴12k ＝ln2，k ＝2ln2.这时函数解析式为y ＝e 2tln2＝eln22t ＝22t ，令t ＝5，则得一个细菌经5小时繁殖为y ＝210＝1 024个. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)设函数f(x)＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2. (1)求f(x)；(2)当函数f(x)的定义域是[0，1]时，求函数f(x)的值域. 解析 (1)∵f(x)的两个零点是－3和2， ∴函数图像过点(－3，0)，(2，0). ∴9a －3(b －8)－a －ab ＝0， ① 4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0. ② ①－②，得b ＝a ＋8.③③代入②，得4a ＋2a －a －a(a ＋8)＝0，即a 2＋3a ＝0. ∵a ≠0，∴a ＝－3，∴b ＝a ＋8＝5. ∴f(x)＝－3x 2－3x ＋18.(2)由(1)得f(x)＝－3x 2－3x ＋18＝－3(x ＋12)2＋34＋18，图像的对称轴方程是x ＝－12，且0≤x ≤1，∴f(x)min ＝f(1)＝12，f(x)max ＝f(0)＝18. ∴函数f(x)的值域是[12，18].18.(12分)某商品的市场需求量y 1(万件)、市场供应量y 2(万件)与市场价格x(元/件)分别近似地满足下列关系：y 1＝－x ＋70，y 2＝2x －20.y 1＝y 2时的市场价格为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量. (1)求平衡价格和平衡需求量；(2)若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？解析 (1)由y 1＝y 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝30，y ＝40.∴平衡价格为30元/件，平衡需求量为40万件. (2)设每件需补贴t 元，⎩⎪⎨⎪⎧44＝70－x ，44＝2（x ＋t ）－20，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝26，t ＝6. ∴要使平衡需求量增加4万件，每件需补贴6元.19.(12分)某学校拟建一块周长为400 m 的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？解析设矩形的长为x ，宽为y ，则2x ＋2π(y2)＝400，∴y ＝2π(200－x)(0<x<200). ∴S ＝xy ＝2πx(200－x).∴对称轴为x ＝100. ∴x ＝100时，S 最大，此时y ＝200π. ∴把矩形的长和宽分别设计为100 m 和200πm 时，矩形区域面积最大.20.(12分)某企业实行裁员增效，已知现有员工a 人，每人每年可创纯利润1万元，据评估在生产条件不变的情况下，每裁员一人，则留岗员工每人可多创收0.01万元，但每年需付给下岗工人0.4万元的生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的34，设该企业裁员x 人后纯收益为y 万元.(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围；(2)当140<a ≤280时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保证能获得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁)解析 (1)y ＝(a －x)(1＋0.01x)－0.4x ＝－1100x 2＋(a 100－140100)x ＋a ，∵a －x ≥34a ，∴x ≤a 4，故x 的取值范围是0≤x ≤a4且x ∈N .(2)y ＝－1100x 2＋(a 100－140100)x ＋a ＝－1100[x －(a 2－70)]2＋1100(a2－70)2＋a ，当140<a ≤280时，0<a 2－70≤a 4，∴当a 为偶数时，x ＝a2－70，y 取最大值；当a 为奇数时，x ＝a ＋12－70或x ＝a －12－70，y 取最大值.∵尽可能少裁员，∴x ＝a －12－70.综上所述：当a 为偶数时，应裁员a2－70；当a 为奇数时，应裁员a －12－70.21.(12分)“水”这个曾被认为取之不尽，用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度.因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2 000亿元，给农业造成的损失达1 500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市.为了节约用水，某市打算出台一项水费政策措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x(x ≤7)吨，试计算本季度他应交的水费(单位：元).解析设本季度他应交水费为y 元，当0<x ≤5时，y ＝1.2x ；当5<x ≤6时，应把x 分成两部分：5与x －5分别计算，第一部分收基本水费1.2×5元，第二部分由基本水费与加价水费组成，即 1.2(x －5)＋1.2(x －5)×200%＝1.2(x －5)(1＋200%)，所以y ＝1.2×5＋1.2(x －5)×(1＋200%)＝3.6x －12；同理可得，当6<x ≤7时，y ＝1.2×5＋1.2×(1＋200%)＋1.2(x －6)(1＋400%)＝6x －26.4. 综上可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1.2x ，0<x ≤5，3.6x －12，5<x ≤6，6x －26.4，6<x ≤7.22.(12分)某地有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台使用，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.(1)设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为f(x)元(15≤x ≤40)，在乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为g(x)元(15≤x ≤40).试求f(x)和g(x)； (2)你认为选择哪一家比较合算？为什么？解析 (1)依题意得f(x)＝5x(15≤x ≤40)，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧90，（15≤x ≤30），2x ＋30，（30<x ≤40）.(2)f(x)－g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧5x －90，（15≤x ≤30），3x －30，（30<x ≤40）.易知，当15≤x<18时，f(x)－g(x)<0， ∴f(x)<g(x)，即选甲家；当x ＝18时，f(x)－g(x)＝0.∴f(x)＝g(x)，即选甲家和乙家都一样；当18<x ≤30时，f(x)－g(x)>0， ∴f(x)>g(x)，即选乙家；当30<x ≤40时，f(x)－g(x)>0， ∴f(x)>g(x)，即选乙家.1.若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0，16)、(0，8)、(0，4)、(0，2)内，那么下列命题中正确的是( )A.函数f(x)在区间(0，1)内有零点B.函数f(x)在区间(0，1)或(1，2)内有零点C.函数f(x)在区间[2，16)上无零点D.函数f(x)在区间(1，16)内无零点答案 C解析依题意知零点在区间(0，2)内，故选C.2.设函数的集合P ＝{f(x)＝log 2(x ＋a)＋b|a ＝－12，0，12，1；b ＝－1，0，1}，平面上点的集合Q ＝{(x ，y)|x ＝－12，0，12，1；y ＝－1，0，1}，则在同一直角坐标系中，P 中函数f(x)的图像恰好经过Q 中两个点的函数的个数是( ) A.4 .6 C.8 .10答案 B解析当a ＝－12，f(x)＝log 2(x －12)＋b ，∵x>12，∴此时至多经过Q 中的一个点.当a ＝0时，f(x)＝log 2x 经过(12，－1)，(1，0)，f(x)＝log 2x ＋1经过(12，0)，(1，1)；当a ＝1时，f(x)＝log 2(x ＋1)＋1经过(－12，0)，(0，1)，f(x)＝log 2(x ＋1)－1经过(0，－1)，(1，0)；当a ＝12时，f(x)＝log 2(x ＋12)经过(0，－1)，(12，0)，f(x)＝log 2(x ＋12)＋1经过(0，0)，(12，1).3.下表是函数f(x)在区间[1，2]上一些点的函数值.答案 1.4解析由表知f(1.406 5)·f(1.438)<0 ∵近似解x 0∈(1.406 5，1.438)，取x 0＝1.406 5＋1.4382＝1.422 5≈1.4.。

高中数学人教A版选修1-1习题：第三章3.3-3.3.1函数的单调性与导数 Word版含答案

第三章导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.1 函数的单调性与导数A 级基础巩固一、选择题1．函数y ＝12x 2－ln x 的单调减区间是( )A ．(0，1)B ．(0，1)∪(－∞，－1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，＋∞)解析：因为y ＝12x 2－ln x 的定义域为 (0，＋∞)，所以 y ′＝x －1x ，令y ′＜0，即x －1x＜0，解得：0＜x ＜1或x ＜－1. 又因为x ＞0，所以 0＜x ＜1. 答案：A2．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x e 2C ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x解析：显然y ＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A ；对于函数y ＝x e 2，因e 2为大于零的常数，不用求导就知y ＝x e 2在(0，＋∞)内为增函数；对于C ，y ′＝3x 2－1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33，故函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33上为减函数；对于D ，y ′＝1x －1(x ＞0)．故函数在(1，＋∞)上为减函数，在(0，1)上为增函数．答案：B3．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b ＜0时，f (x )是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．常数D ．既不是增函数也不是减函数解析：求函数的导函数f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，导函数对应方程f ′(x )＝0的Δ＝4(a 2－3b )＜0，所以f ′(x )＞0恒成立，故f (x )是增函数．答案：A4．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能为( )A BC D解析：由题图找出函数f (x )的增(减)区间，则其导函数f ′(x )在相应区间上的函数值为正(负)，即导函数在相应区间上的图象在x 轴的上(下)方，易知D 正确．答案：D5．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：依题意得f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥1x在(1，＋∞)上恒成立，因为x >1，所以0<1x<1，所以k ≥1，故选D. 答案：D 二、填空题6．函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为________．解析：令f ′(x )＝1－2cos x ＞0，得cos x ＜12，又x ∈(0，π)，所以 π3＜x ＜π.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π7．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则f (2)，f (3)，f (e)按从小到大排列应为________ .解析：因为在定义域(0，＋∞)上f ′(x )＝12x＋1x＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以有f (2)＜f (e)＜f (3)．答案：f (2)＜f (e)＜f (3)8．函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调递增函数，则m 的取值范围为________．解析：因为f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由题意可知f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以Δ＝4－12m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 三、解答题9．证明：函数f (x )＝ln x x在区间(0，2)内是增函数．证明：f ′(x )＝1x·x －ln xx2＝1－ln x x2. 因为0＜x ＜2，所以ln x ＜ln 2＜1，故1－ln x ＞0. 所以f ′(x )＝1－ln xx2＞0. 根据导数与函数单调性的关系，得函数f (x )＝ln xx在区间(0，2)内是增函数．10．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0，2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．解：(1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0，2)，知d ＝2，所以 f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，如－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.所以 ⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)f ′(x )＝3x 2－6x －3，令f ′(x )＞0，得x ＜1－2或x ＞1＋2；令f ′(x )＜0，得1－2＜x ＜1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)，(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)．B 级能力提升1．设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )＞g ′(x )，则当a ＜x ＜b 时，有( ) A ．f (x )＞g (x ) B ．f (x )＜g (x )C ．f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )＞g (x )＋f (b )解析：因为f ′(x )－g ′(x )＞0，所以 ()f （x ）－g （x ）′＞0，所以 f (x )－g (x )在[a ，b ]上是增函数，所以当a ＜x ＜b 时f (x )－g (x )＞f (a )－g (a )，所以 f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )．答案：C2．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1，2)，则b ＝________，c ＝________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1＜x ＜2是不等式f ′(x )＜0的解，即－1，2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，把－1，2分别代入方程，联立解得b ＝－32，c ＝－6.答案：－32－63．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝3ax 2＋6x －1.由已知得f ′(x )≤0在R 上恒成立，即3ax 2＋6x －1≤0在R 上恒成立，当a ≥0时，不满足题意，所以a <0且Δ＝36＋12a ≤0⇔a ≤－3.当a ＝－3时，f (x )＝－3x 3＋3x 2－x ＋1＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －133＋89，由函数y ＝－x 3在R 上的单调性可知当a ＝－3时，f (x )在R 上是减函数．综上，a 的取值范围是(－∞，－3]．。

重庆理工大学大一高数A1,B1答案(修改)(理,上册)

习题一一、 1. × 2. \/ 3. × 4. × 5. × 6. × 7. ×二、 1. A 2. D3. B4. A三、1. 直线y x =2. [ -1，3 ）3. 1[,0]2- 4.奇5. 2log 1x y x =- 6.3,,sin u y e u v v x ===四、1(2)3f x x+=+，221()1f x x=+，11(())1211x f f x xx+==+++，11()()2f f x x=+习题二一、 1. ∨ 2. × 3. × 4.∨5. ∨6. × 二、 1. B 2. B3. A4. C三、（1）22110nnε-=<取1N =即可（3）sin 10n n nε-≤<取1[]N ε=即可四、根据条件，0ε∀>，N ∃，当n N >时，有0n n x y M ε-≤即证。

习题三一、 1. × 2. × 3. × 二、 1. C2. D3. C4. C四、（1）证明：0ε∀>，要32832x x ε+-=-< 取3εδ=即可（2）0ε∀>，要242x x ε+-=-< 取δε=即可（3）0ε∀>，要213211x x x ε---=<++只要31x ε>+即可五、 1)lim 1x x x-→=-，0lim 1x x x+→=limx x x→不存在2)1lim ()2x f x +→=，1lim ()2x f x -→=1lim ()2x f x →=2lim ()5, lim ()0x x f x f x →→==习题四一、 1. ∨ 2. × 3.∨4. ∨5. ×6. ×7. × 8. ∨ 9. ×10. × 11. ∨ 12. ×二、 1. D 2. C 3. B 4. D5. D三、 (1) 2131lim11x x x →-+=-+(2) 2211112limlim21213x x x x x x x →→-+==--+(3) 22lim 2h hx hI x h→+==(4) 23I =(5) 0I =(6) 422lim13x x I x →-==-(7) 11133lim1213n n I +→∞-==-(8) 111lim(1)2212n n →∞-=+(9) 23211132limlim111x x x x x I xx x→→++-+==-=--++(10) 15I =(11) I =+∞ (12) 0I =(13) 由于2lim 1lim1x x x→+∞→-∞==-，故原极限不存在。

人教A版数学必修一, 第三章 , 函数的应用,课时作业

作业（一）一、选择题1．下列函数没有零点的是( ) A ．f (x )＝0 B ．f (x )＝2 C ．f (x )＝x 2－1D ．f (x )＝x －1x【解析】函数f (x )＝2，不能满足方程f (x )＝0，因此没有零点．【答案】 B2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ≤11＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．0【解析】当x ≤1时，由f (x )＝0，得2x －1＝0，所以x ＝0.当x >1时，由f (x )＝0，得1＋log 2x ＝0，所以x ＝12，不成立，所以函数的零点为0，选D.【答案】 D3．函数f (x )＝－x 3－3x ＋5的零点所在的大致区间是( ) A ．(－2,0) B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)【解析】 ∵f (1)＝－13－3×1＋5＝1＞0，f (2)＝－23－3×2＋5＝－9＜0，∴函数f (x )的零点必在区间(1,2)上，故选C. 【答案】 C4．已知0＜a ＜1，则函数y ＝|log ax |－a |x |零点的个数是( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．1个或2个或3个【解析】 ∵0＜a ＜1，函数y ＝|log ax |－a |x |的零点的个数就等于方程a |x |＝|log ax |的解的个数，即函数y＝a|x|与y＝|log ax|图象的交点的个数．如图所示，函数y＝a|x|与y＝|log ax|的交点的个数为2，故选B.【答案】 B5．已知方程|2x－1|＝a有两个不等实根，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0) B．(1,2)C．(0，＋∞) D．(0,1)【解析】若关于x的方程|2x－1|＝a有两个不等实数根，则y＝|2x－1|的图象与y＝a有两个不同的交点．函数y＝|2x－1|的图象如图所示由图可得，当a∈(0,1)时，函数y＝|2x－1|的图象与y＝a有两个交点，故实数a的取值范围是(0,1)，故选D.【答案】 D二、填空题6．函数f(x)＝(x－1)ln xx－3的零点是________．【解析】令f(x)＝0，即(x－1)ln xx－3＝0，即x－1＝0或ln x＝0，∴x＝1，故函数f(x)的零点为1.【答案】 17．若方程|x 2－4x |－a ＝0有四个不相等的实根，则实数a 的取值范围是________．【解析】由|x 2－4x |－a ＝0，得a ＝|x 2－4x |，作出函数y ＝|x 2－4x |的图象，则由图象可知，要使方程|x 2－4x |－a ＝0有四个不相等的实根，则0＜a ＜4.【答案】 (0,4)8．已知函数f (x )＝3x ＋x ，g(x )＝log 3x ＋2，h (x )＝log 3x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是________.【解析】画出函数y ＝3x ，y ＝log 3x ，y ＝－x ，y ＝－2的图象，如图所示观察图象可知，函数f (x )＝3x ＋x ，g(x )＝log 3x ＋2，h (x )＝log 3x ＋x 的零点依次是点A ，B ，C 的横坐标，由图象可知a ＜b ＜c .【答案】 a ＜b ＜c 三、解答题9．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x (x ≥0)2x (x <0)，(1)画出函数y ＝f (x )的图象；(2)讨论方程|f (x )|＝a 的解的个数．(只写明结果，无需过程) 【解】 (1)函数y ＝f (x )的图象如图所示：(2)函数y＝|f(x)|的图象如图所示：①0＜a＜4时，方程有四个解；②a＝4时，方程有三个解；③a＝0或a＞4时，方程有二个解；④a＜0时，方程没有实数解．10．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．【解】(1)由f(0)＝f(4)，得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1，所以f(x)的零点是1和3.(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.故b的取值范围为(4，＋∞)．作业（二）一、选择题1．下面关于二分法的叙述中，正确的是()A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D．只能用二分法求函数的零点【解析】用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误．故选B.【答案】B2．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的根落在区间() A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,2) D．不能确定【解析】∵f(1.5)·f(1.25)＜0，由零点存在性定理知方程的根落在区间(1.25,1.5)内．故选B.【答案】 B3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：() A．1.25 B．1.375C．1.42 D．1.5【解析】由表格可得，函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的零点在(1.437 5,1.406 25)之间．结合选项可知，方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.【答案】 C4．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似解的是( ) ①y ＝3x 2－2x ＋5；②y ＝⎩⎨⎧－x ＋1，x ≥0，x ＋1，x <0；③y ＝2x ＋1；④y ＝x 3－2x ＋3；⑤y ＝12x 2＋4x ＋8.A ．①②③B ．⑤C ．①⑤D ．①④【解析】 ⑤中y ＝12x 2＋4x ＋8，Δ＝0，不满足二分法求函数零点的条件．故选B .【答案】 B5．在用“二分法”求函数f (x )零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )A ．[1,4]B ．[－2,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，52 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 【解析】 ∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的区间可能为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52，⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4. 【答案】 D 二、填空题6．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x 1＝3，则下一个有根区间是________．【解析】设函数f (x )＝x 3－2x －5.∵f (2)＝－1＜0，f (3)＝16＞0，f (4)＝51＞0，∴下一个有根区间是(2,3)．【答案】(2,3)7．用二分法研究函数f(x)＝x2＋3x－1的零点时，第一次经过计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________.【导学号：02962022】【解析】∵f(0)·f(0.5)<0，∴x0∈(0,0.5)，取该区间的中点0.52＝0.25.∴第二次应计算f(0.25)．【答案】(0,0.5)f(0.25)8．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．【解析】第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.812 5)．【答案】 1.5,1.75,1.875,1.812 5三、解答题9．用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个正零点．(精确度为0.01)【解】由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：∵|1.445 312 5－1.437 5|＝0.007 812 5<0.01，∴x＝1.445 312 5可作为函数的一个正零点．10．用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解．(精确度为0.1)【解】令f(x)＝x2－5，因为f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0，所以f(2.2)·f(2.4)<0，即这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5，因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25)，由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，所以原方程的近似正解可取为2.25.[能力提升]1．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为() A．0.68B．0.72C．0.7D．0.6【解析】已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝12(0.64＋0.72)，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．【答案】C2．用二分法求函数f (x )＝3x －x －4的一个零点，其参考数据如下：________．【解析】 f (1.562 5)＝0.003>0，f (1.556 2)＝－0.029<0，方程3x －x －4＝0的一个近似解在(1.556 2，1.562 5)上，且满足精确度为0.01，所以所求近似解可取为1.562 5.【答案】 1.562 53．函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法求出，则a ，b 的关系是________.【解析】 ∵函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法，∴函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴相切，∴Δ＝a 2－4b ＝0，∴a 2＝4b .【答案】 a 2＝4b4．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明a >0，并利用二分法证明方程f (x )＝0在区间[0,1]内有两个实根．【证明】 ∵f (1)>0，∴3a ＋2b ＋c >0，即3(a ＋b ＋c )－b －2c >0. ∵a ＋b ＋c ＝0，∴－b －2c >0，则－b －c >c ，即a >c . ∵f (0)>0，∴c >0，则a >0. 在区间[0,1]内选取二等分点12，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a <0.∵f (0)>0，f (1)>0，∴函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上各有一个零点．又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．作业（三）一、选择题1．y 1＝2x ，y 2＝x 2，y 3＝log 2x ，当2<x <4时，有( ) A ．y 1>y 2>y 3 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 1>y 3>y 2D ．y 2>y 3>y 1【解析】在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y 2＝x 2，y 1＝2x ，y 3＝log 2x ，故y 2>y 1>y 3.【答案】 B2．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y 公顷关于年数x 的函数关系较为近似的是( )A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x ) C ．y ＝2x10D ．y ＝0.2＋log 16x【解析】用排除法，当x ＝1时，排除B 项；当x ＝2时，排除D 项；当x ＝3时，排除A 项．【答案】 C3．高为H ，满缸水量为V 0的鱼缸的轴截面如图3-2-4所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h 时水的体积为V ，则函数V ＝f (h )的大致图象是( )图3-2-4【解析】当h＝H时，体积是V，故排除A，C.h由0到H变化的过程中，V的变化时增长速度越来越快，类似于指数型函数的图象，后来增长速度越来越慢，类似于对数型函数的图象，综合分析可知选B.【答案】 B4．函数y＝2x－x2的图象大致是()【解析】分别画出y＝2x，y＝x2的图象，如图所示，由图象可知，有3个交点，∴函数y＝2x－x2的图象与x轴有3个交点，故排除B，C；当x＜－1时，y＜0，故排除D，故选A.【答案】 A5．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )【解析】设该林区的森林原有蓄积量为a ，由题意可得ax ＝a (1＋0.104)y ，故y ＝log 1.104x (x ≥1)，所以函数y ＝f (x )的图象大致为D 中图象，故选D.【答案】 D 二、填空题6．函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________ .【解析】当x 变大时，x 比ln x 增长要快， ∴x 2要比x ln x 增长的要快．【答案】 y ＝x 27．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v 米/秒和燃料的质量M 千克、火箭(除燃料外)的质量m 千克的函数关系式是v ＝2 000ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．【解析】当v ＝12 000时，2 000×ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m ＝12 000， ∴ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m ＝6，∴M m ＝e 6－1.【答案】 e 6－18．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图3-2-5所示．现给出下列说法：图3-2-5①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变．其中正确的说法是________．(填序号)【解析】因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5min前每当t增加一个单位增量，则y相应的增量越来越小，而5min后是y关于t的增量保持为0，则②④正确．【答案】②④三、解答题9．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝log a(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．【解】据表中数据作出散点图如图：由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．将(2,1)代入到h＝log a(t＋1)中，得1＝log a3，解得a＝3.即h＝log3(t＋1)．当t＝8时，h＝log3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2米．10．有甲，乙两家健身中心，两家设备和服务都相当，但收费方式不同．甲中心每小时5元；乙中心按月计算，一个月中30小时以内(含30小时)90元，超过30小时的部分每小时2元．某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．(1)设在甲中心健身活动x (15≤x ≤40)小时的收费为f (x )元，在乙中心健身活动x 小时的收费为g (x )元，试求f (x )和g (x )；(2)问：选择哪家比较合算？为什么？【解】 (1)f (x )＝5x,15≤x ≤40， g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧90，15≤x ≤3030＋2x ，30＜x ≤40.(2)当5x ＝90时，x ＝18，即当15≤x ＜18时，f (x )＜g (x )；当x ＝18时，f (x )＝g (x )，当18＜x ≤40时，f (x )＞g (x )．所以当15≤x ＜18时，选甲比较合算；当x ＝18时，两家一样合算；当18＜x ≤40时，选乙比较合算．作业（四）一、选择题1．某厂日产手套总成本y (元)与手套日产量x (副)的函数解析式为y ＝5x ＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )A ．200副B ．400副C ．600副D ．800副【解析】由5x ＋4 000≤10x ，解得x ≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．【答案】 D2．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q 2B.(p ＋1)(q ＋1)－12C .pqD.(p ＋1)(q ＋1)－1【解析】设年平均增长率为x ，则有(1＋p )(1＋q )＝(1＋x )2，解得x ＝(1＋p )(1＋q )－1. 【答案】 D3．某种细胞在正常培养过程中，时刻t (单位：分)与细胞数n (单位：个)的部分数据如下表：t 最接近于( ) A ．200 B ．220 C ．240D ．260【解析】由表中数据可以看出，n 与t 的函数关系式为n ＝2t20，令n ＝1 000，则2t20＝1 000，而210＝1 024，所以繁殖到1 000个细胞时，时刻t 最接近200分钟，故应选A.【答案】 A4．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x ，y 的函数关系是( )A ．y ＝()0.957 6x100 B ．y ＝(0.957 6)100x C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0.957 9100xD ．y ＝1－(0.042 4)x100【解析】设镭一年放射掉其质量的t %，则有95.76%＝1·(1－t )100，t ＝1－(0.957 6)1100，∴y ＝(1－t )x＝(0.957 6)x100.【答案】 A5．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧c x ，x <A ，c A ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min ，组装第A件产品用时15 min ，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16【解析】由题意知，组装第A 件产品所需时间为cA＝15，故组装第4件产品所需时间为c 4＝30，解得c ＝60.将c ＝60代入cA＝15，得A ＝16. 【答案】 D 二、填空题6．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.【解析】设出租车行驶x km 时，付费y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋2.15(x －3)＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x >8，由y ＝22.6，解得x ＝9.【答案】 97．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg 2≈0.301 0)．【解析】设至少要洗x 次，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34x ≤1100，所以x ≥1lg 2≈3.322，所以需4次．【答案】 48．为了在“十一”黄金周期间降价促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．辛云和她母亲两次去购物，分别付款168元和423元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为________元．【解析】依题意，价值为x 元商品和实际付款数f (x )之间的函数关系式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤200，0.9x ，200<x ≤500，500×0.9＋(x －500)×0.7，x >500.当f (x )＝168时，由168÷0.9≈187<200，故此时x ＝168；当f (x )＝423时，由423÷0.9＝470∈(200,500]，故此时x ＝470.∴两次共购得价值为470＋168＝638(元)的商品，∴500×0.9＋(638－500)×0.7＝546.6(元)，故若一次性购买上述商品，应付款额为546.6元．【答案】 546.6 三、解答题9．某公司试销某种“上海世博会”纪念品，每件按30元销售，可获利50%，设每件纪念品的成本为a 元．(1)试求a 的值；(2)公司在试销过程中进行了市场调查，发现销售量y (件)与每件售价x (元)满足关系y ＝－10x ＋800.设每天销售利润为W (元)，求每天销售利润W (元)与每件售价x (元)之间的函数解析式；当每件售价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？【解】 (1)∵按30元销售，可获利50%，∴a (1＋50%)＝30，解得a ＝20. (2)∵销售量y (件)与每件售价x (元)满足关系y ＝－10x ＋800，则每天销售利润W (元)与每件售价x (元)满足。

安徽大学-高数A(三)A,B卷(附参考答案)

安徽大学《高等数学A （三）》考试试卷（A 卷）（闭卷时间120分钟）一、单项选择题（每小题2分，共10分）1、下列陈述正确的是（）。

(A) 若方程组0m n A x ⨯=有唯一解，则方程组m n A x b ⨯=有唯一解 (B) 若方程组m n A x b ⨯=有唯一解，则方程组0m n A x ⨯=有唯一解(C) 若方程组0m n A x ⨯=有无穷多解，则方程组m n A x b ⨯=有无穷多解 (D) 若方程组m n A x b ⨯=无解，则方程组0m n A x ⨯=无解2、已知n 维向量组12,,,(2)s s ααα≥线性相关，则下列选项中必正确的是( )。

(A) 对于任何一组不全为零的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=(B) 12,,,s ααα中任何两个向量线性相关(C) 存在一组不全为零的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=(D) 对于每一个i α都可以由其余向量线性表出3、设0()1,0()1P A P B <<<<，且(|)(|)1P A B P A B +=，则 ( )。

(A) 事件A 与事件B 互不相容 (B) 事件A 与事件B 对立 (C) 事件A 与事件B 不独立 (D) 事件A 与事件B 独立4、设~()X E λ（指数分布），n X X X ,,,21 是总体X 的样本，则参数λ的矩估计是( )。

(A) }{max 1i ni X ≤≤ (B) X 2 (C) X (D) 1/X5、设n X X X ,,,21 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，则下列结论正确的是( )。

(A) 22211()~()n i i X n μχσ=-∑ (B) 2211()~(1)ni i X X n nχ=--∑(C) 22211()~()ni i X X n χσ=-∑ (D) 2211()~(1)1nii X X n n χ=---∑院/系年级专业姓名学号答题勿超装订线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------二、填空题（每小题2分，共10分）6、若齐次线性方程组1231231230020kx x x x kx x x x x +-=⎧⎪--=⎨⎪-+=⎩ 有非零解，则k ＝。

吉林大学作业及答案-高数A2作业答案

高等数学作业AⅡ答案吉林大学公共数学教学与研究中心2018年3月第一次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1．下列反常积分收敛的是( C )．（A ）⎰∞+2d ln x xx；（B ）⎰∞+2d ln 1x xx ；（C ）⎰∞+22d )(ln 1x x x ；（D ）⎰∞+2d ln 1x xx ．2．下列反常积分收敛的是（ D ） A ．0cos d x x +∞⎰B ．221d (1)x x -⎰C ．01d 1x x +∞+⎰D ．321d (21)x x +∞-∞+⎰3．设)(x f 、()g x 在],[b a 上连续，则由曲线)(x f y =，()y g x =，直线b x a x ==,所围成平面图形的面积为( C )．（A ）[()()]d ba f x g x x -⎰；（B ）[|()||()|]d baf xg x x -⎰；（C ）|()()|d b af xg x x -⎰；（D ）[()()]d b af xg x x -⎰．4．设曲线2y x =与直线4y =所围图形面积为S ，则下列各式中，错误的是 ( C )．（A ）2202(4)d S x x =-⎰；（B ）402d S y y =⎰；（C ）2202(4)d S x y =-⎰；（D ）402d S x x =⎰．5．设点(,sin )A x x 是曲线sin (0)y x x π=≤≤上一点，记()S x 是直线OA （O 为原点）与曲线sin y x =所围成图形的面积，则当0x +→时，()S x 与( D )．（A ）x 为同阶无穷小；（B ）2x 为同阶无穷小；（C ）3x 为同阶无穷小；（D ）4x 为同阶无穷小．6．设0()()g x f x m <<<（常数），则由(),(),,y f x y g x x a x b ====所围图形绕直线y m =旋转所形成的立体的体积等于( B )．（A ）π(2()())(()())d ba m f x g x f x g x x -+-⎰；（B ）π(2()())(()())d bam f x g x f x g x x ---⎰；（C ）π(()())(()())d bam f x g x f x g x x -+-⎰；（D ）π(()())(()())d bam f x g x f x g x x ---⎰．二、填空题 1．已知反常积分⎰∞+0d e 2x x ax 收敛，且值为1，则=a 12-．2．摆线1cos sin x ty t t =-⎧⎨=-⎩一拱(02π)t ≤≤的弧长 8 ．3．2d 25x x +∞-∞=+⎰π5． 4．反常积分0d (0,0)1mnx x m n x+∞>>+⎰，当,m n 满足条件1n m ->时收敛． 5．由曲线22,y x x y ==围成图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体体积为 3π10．三、计算题1．用定义判断无穷积分0e d 1e xxx -∞+⎰的收敛性，如果收敛则计算积分值．解： 000e d(1e )d 1e 1e [ln(1e )]ln 2xxx x x x -∞-∞-∞+=++=+=⎰⎰ 则该无穷积分收敛． 2．判断反常积分的收敛性：13sin d x x x+∞⎰解：33sin 1x xx≤Q而131x +∞⎰收敛． 13sin d xx x+∞∴⎰收敛．3．已知22lim 4e d xx a x x a x x x a +∞-→∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰，求a 的值．解：()21e lim lim e e1xa ax a a x a x x a a a x a x x a a x ----→∞→∞⋅⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 222222222222222222224e d 2de 2e 4e d 2e 2de 2e 2e 2e d 2e 2e e (221)e .x xaaxx aaa xaa xx aaa a x aa x x x x x xa x a x xa a a a +∞+∞--+∞+∞--+∞--+∞+∞---+∞----=-=-+=-=-+=+-=++⎰⎰⎰⎰⎰由已知222e (221)e a a a a --=++，即(1)0a a +=．所以0a =或1a =-．4．求连续曲线π2cos d x y t t -=⎰的弧长.解：由cos 0x ≥可知ππ22x -≤≤. 因此所求弧长为 π22π21d s y x -'=+⎰()π22021cos d x x =+⎰π2022cos d 42xx ==⎰.5．计算由x 轴，曲线1-=x y 及其经过原点的切线围成的平面图形绕x 轴旋转所生成立体体积．解：设切点为00(,)x y ，则过切点的切线方程为0001()21Y y X x x -=--令0,0X Y ==，得002,1x y ==．2212211π12π(1)d 32πππ.362x V x xx x =⨯⨯--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰6．在第一象限内求曲线21y x =-+上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积为最小，并求此最小面积．解：设所求点为(,)x y ，则过此点的切线方程为2()Y y x X x -=-．由此得切线的x 轴截距为212x a x+=，y 轴截距为21b x =+．于是，所求面积为12031()(1)d 21112.4243S x ab x xx x x =--+=++-⎰令2211()32411130,4S x x x x x x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得驻点13x =．又因为3131126043x S x x =⎛⎫⎛⎫''=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以13x =为极小值点，也是最小值点．故所求点为12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，而所求面积为12(233)93S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．7．在曲线2(0)y x x =≥上某点A 处作一切线，使之与曲线以x 轴所围图形的面积为112，试求：（1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程；（3）由上述所围平面图形绕x 轴旋转一周所围成旋转体体积．解：设切点00(,)A x y ，则切线方程为：20002()y x x x x -=-，得切线与x 轴交点为0,02x ⎛⎫⎪⎝⎭．由02200011d 2212x x x x x -⋅⋅=⎰，得01x =．∴切点为(1,1)A ，切线方程：21y x =-1222011()d 13230V x x πππ=⋅-⋅⋅⋅=⎰．8．半径为r 的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中提出，问需作多少功？解：取球浮出水面后球心为原点建立坐标系，则22d ()d ()r y y g r y ωπρ=-⋅⋅+224()()d 43rr g r y r y ygr ωπρπρ-=⋅-+=⎰第二次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1. 平面10x y z +--=与22230x y z +-+=的关系（ A ）．（A ）平行，但不重合；（B ）重合；（C ）垂直；（D ）斜交．2．平面1=z 与曲面14222=++z y x （ B ）．（A ）不相交；（B ）交于一点；（C ）交线为一个椭圆；（D ）交线为一个圆．3．方程z y x =-4222所表示的曲面为（ C ）．（A ）椭球面；（B ）柱面；（C ）双曲抛物面；（D ）旋转抛物面．4．曲面2222x y z a ++=与22(0)x y zax a +=>的交线在xoy 平面上的投影曲线是（ D ）．（A ）抛物线；（B ）双曲线；（C ）椭圆；（D ）圆．5．设有直线182511:1+=--=-z y x L 与⎩⎨⎧=+=-326:2z y y x L ，则L 1与L 2的夹角为（ C ）．（A ）π6；（B ）π4；（C ）π3；（D ）π2． 6．设有直线⎩⎨⎧=+--=+++031020123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L （ C ）．（A ）平行于π；（B ）在π上；（C ）垂直于π；（D ）与π斜交．二、填空题1．设,a b 均为非零向量，且||||+=-a b a b ，则a 与b 的夹角为π2． 2．设向量x 与向量2=-+a i j k 共线，且满足18⋅=-a x ，则=x (6,3,3)-- ．3．过点(1,2,1)M -且与直线2,34,1x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面是 340x y z --+= ．4．若||3=a ，||2=b ，且a ，b 间夹角为34θπ=，则||+=a b 5，||⨯=a b 3 ．5．xoz 平面上的曲线1x =绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为221x y +=． 6．曲线⎩⎨⎧=-+--=032622z y y x z 在xoy 面上的投影曲线方程为222300x y y z ⎧+--=⎨=⎩．7．若直线L 平行于平面π：3260x y z +-+=，且与已知直线132:241x y zL -+==垂直，则L 的方向余弦(cos ,cos ,cos )αβγ为 65585,,25525⎛⎫- ⎪⎝⎭ ．三、计算题 1．求过直线1212:102x y z L --+==-，且平行于直线221:212x y zL +-==--的平面π的方程．解：过L 的平面束为：22(1)0x z y λ+-+-=即(2,,1)λ=n ，由n 与(2,1,2)=--S 垂直，有420,2λλ--== ∴ 所求平面为2240x y z ++-=．2．求点(2,1,3)到直线11321x y z+-==-的距离．解：(3,2,1)=-s 设0(2,1,3),(1,1,0)M M - 则00(3,0,3)6126i =⨯=--MM S MM j k ∴ 0||621||7d ⨯==S MM S3．求曲面220x y z +-=与平面10x z -+=的交线在Oxy 平面上的投影曲线．解：因为曲线220,10x y z x z ⎧+-=⎨-+=⎩ 在Oxy 平面上投影就是通过曲线且垂直于Oxy 平面的柱面与Oxy 平面的交线，所以，只要从曲线的两个曲面方程中消去含有z 的项，则可得到垂直于Oxy 平面的柱面方程．由220,10x y z x z ⎧+-=⎨-+=⎩消去z ，得到关于Oxy 平面的投影柱面2210x y x +--=，于是得到在Oxy 平面上的投影曲线为2210,0.x y x z ⎧+--=⎨=⎩4．求过平面02=+y x 和平面6324=++z y x 的交线，并切于球面4222=++z y x 的平面方程．解：过L 平面束为4236(2)0x y z x y λ++-++=．即(42)(2)360x y z λλ++++-=．由222|6|2(42)(2)3λλ-=++++得2λ=-则所求平面为2z =．5．设有直线210:210x y z L x y z ++-=⎧⎨-++=⎩，平面π:0x y +=，求直线L 与平面π的夹角；如果L 与π相交，求交点．解：L 的方向向量(1,2,1)(1,2,1)(4,0,4)=⨯-=-S而(1,1,0)=n ∴ ||41sin ||||2422θ⋅===⋅S n S n ，∴ 6πθ=将y x =-代入L 方程．解得111,,222x y z =-==∴ 交点111,,222⎛⎫- ⎪⎝⎭．6．向量a 与x 轴的负向及y 轴、z 轴的正向构成相等的锐角，求向量a 的方向余弦．解：依题意知ππ,,02αθβθγθθ⎛⎫=-==<< ⎪⎝⎭，因为222cos cos cos 1αβγ++=，即222cos ()cos cos 1πθθθ-++=，所以23cos 1θ= 或 3cos 3θ=．故333cos ,cos ,cos 333αβγ=-==.第三次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1．()220lim ln x y xy x y →→+=（ B ）．（A ）1；（B ）0；（C ）12；（D ）不存在．2．二元函数()()()()()22,,0,0,,0,,0,0xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点)0,0(处（ D ）．（A ）不连续，偏导数不存在; （B ）连续，偏导数不存在；（C ）不连续，偏导数存在；（D ）连续，偏导数存在.3．设22(,)(1)(2)f x y y x x y =-+-，在下列求(1,2)x f 的方法中，不正确的一种是（ B ）．（A ）因2(,2)2(1),(,2)4(1)x f x x f x x =-=-，故1(1,2)4(1)|0x x f x ==-=；（B ）因(1,2)0f =，故(1,2)00x f '==；（C ）因2(,)2(1)(2)x f x y y x y =-+-，故12(1,2)(,)0x x x y f f x y ====；（D ）211(,2)(1,2)2(1)0(1,2)lim lim 011x x x f x f x f x x →→---===--．4．设函数(,)f x y 在点00(,)P x y 的两个偏导数x f '和y f '都存在，则（ B ）. (A)00(,)(,)lim(,)x y x y f x y →存在； (B) 00lim (,)x x f x y →和00lim (,)y y f x y →都存在；(C) (,)f x y 在P 点必连续； (D) (,)f x y 在P 点必可微.5．设22(,),2zz f x y y∂==∂，且(,0)1,(,0)y f x f x x ==，则(,)f x y 为（ B ）．（A ）21xy x -+；（B ）21xy y ++；（C ）221x y y -+；（D ）221x y y ++．二、填空题1．0011limx y xyxy →→--= 1/2 ．2. 设函数44z x y =+，则(0,0)x z '= 0 .3．设22),(y x y x y x f +-+=，则=')4,3(x f 2/5，=')4,3(y f 1/5 ． 4．设xz xy y=+，则d z = 21d d x y x x y y y ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 5．设函数(,)()()()d x yx y u x y f x y f x y g t t +-=++-+⎰，其中f 具有二阶导数，g 具有一阶导数，则2222u ux y∂∂-=∂∂ 0 ．三、计算题1．设()0,1y z x x x =>≠，证明12ln x z zz y x x y∂∂+=∂∂．证明：因为1,ln y y z zyx x x x y-∂∂==∂∂，所以 12ln y y x z zx x z y x x y∂∂+=+=∂∂. 2．讨论函数2222222,0,(,)0,0x xyx y f x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩的连续性．.解一：当(),p x y 沿y 轴(x=0)趋于0（0，0）时， 2222limlim0x y y x xyx y y →→→+==+ 当(),p x y 沿y x =，趋于0（0，0）时，222220002lim lim 12x x y x x xy x x y x→→=→+==+∴()00lim,x y f x y →→不存在 ∴不连续解二：当(),p x y 沿y kx =趋于0（0，0）时，()()222222200011lim lim11x x y kx k x x xyk x y k k x →→=→+++==+++ 与k 有关，∴不连续 3．设(1)y z xy =+，求d z ．()()11211y y z y xy y y xy x--∂=⋅+⋅=+∂ 解一：取对数()ln ln 1z y xy =+()1ln 11z x xy y z y xy ∂⋅=++⋅∂+，∴()()1ln 11y z xy xy xy y xy ⎡⎤∂=+++⎢⎥∂+⎣⎦ 解二：()()()()ln 1ln 1e,e ln 111yy xy y xy z x xy y xy y xy ++⎡⎤∂∂==⋅++⋅=+⎢⎥∂+⎣⎦ ∴()()()12d 1d 1ln 1+xy d 1y y x z y xy x xy y xy -⎡⎤=++++⎢⎥+⎣⎦ 4．求2e d yzt xz u t =⎰的偏导数．t220e d e d xz yzt u t t =-+⎰⎰22x z e uz x∂=-⋅∂ 22y e z uz y∂=⋅∂ 2222x y e e z z ux y z∂=-⋅+⋅∂ 5．设222r x y z =++，验证：当0r ≠时，有2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂．证明：22222r x xx rx y z ∂==∂++ 222223xr x rr x r x r r -⋅∂-==∂，同理：2222222323,r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂∴()2222222222233322r x y x r r r r x y z r r r-++∂∂∂++===∂∂∂ 6．设222222221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩，问在点(0,0)处，（1）偏导数是否存在？（2）偏导数是否连续？（3）是否可微？解:（1）2201()sin(0,0)(0,0)()(0,0)limlim 0x x x x f x f x f xx∆→∆→∆+∆-∆'===∆∆,2201()sin(0,0)(0,0)()(0,0)limlim 0y y y y f y f y f yy∆→∆→∆+∆-∆'===∆∆,故函数在点(0,0)处偏导数存在. （2）当 (,)(0,0)x y ≠时， 222222222112(,)2sin()cos ()x x f x y x x y x y x y x y -'=++⋅+++2222221212sincos x x x y x y x y=-+++, 又 22222200121lim (,)lim(2sincos )x x x y y x f x y x x y x y x y→→→→'=-+++，当(,)x y 沿x 轴趋于(0,0)时，上式222121lim(2sincos )x y x x x x y →==-+ 不存在，故偏导数(,)x f x y '在点(0,0)不连续.由函数关于变量,x y 的对称性可知，(,)y f x y '在点(0,0)不连续。

安徽大学20-21第一学期高数A(一)期末考试B卷答案

安徽大学2020—2021学年第一学期《高等数学A（一）》期末考试试题（B 卷）参考答案及评分标准一、选择题（每小题2分，共10分）1. C2. B3. D4. B5. B二、填空题（每小题2分，共10分） 6. 4 7.x 8. 52e cos x x9. 32(366)e 2e xx x x -+-+ 10.s βαθ=⎰三、计算题（每小题9分，共54分）11. 解：因为 (2) lim (2)(2)11lim lim 1e 22n nn nn n n n n n n n →∞-+⋅-+-+→∞→∞+⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，lim 1(2)nn n =--+→∞， ……………………7分所以所求极限为1e -. ……………………9分12. 解：原式x x →→==2114x x x →⋅==. 9分13. 解：对11xy x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭两边取对数，有1ln ln(1)y x x=+． ……………… 3分对等式两边关于x 求导，则有11ln(1)1y y x x '=+-+，从而111ln(1)11xy x x x ⎛⎫⎛⎫'=+-+ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭．………………… 9分14. 解：原式2d (1)(1)(1)xx x x =-++⎰……………………4分2111111d d d 414121x x xx x x =---++⎰⎰⎰111ln arctan 412x x C x -=-++. ……………………9分15. 解：原式 112ln 2ln d x x x x =-⎰ ………………… 4分111200ln 2ln 2d 2x x x x x =-+=⎰. ……………………9分16. 解：原式442222sin d 4cos d x x x x x ππππ--=+⎰⎰………………… 3分44220 23304cos d 24cos d 8442x x x x πππππ-=+==⋅⋅=⎰⎰. ………………… 9分四、应用题（每小题8分，共16分）17. 解：因为2d d e 1d ,d d 2e 2e d t t t yy t x x t--===- 所以0d 1d 2t y x ==-. 0t =对应的点为(2,1)，所以曲线在点(2,1)处的切线方程为11(2)2y x -=--，即240x y +-=.…… 6分从而法线方程为12(2)y x -=-，即230x y --=. ………………… 8分18．解：令362x x x -=，解得x =±. …………………3分故所求面积为033062)d 6)d 32S x x x x x x x x -=--+-+=⎰⎰. ………… 8分五、证明题（每小题10分，共10分） 19. 证明：因为02200()()d ()()d ()()()d ()0()d ()d x xxxxxf x f t t f x tf t tx t f x f t t F x f t t f t t --'==≥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰，所以()F x 在(0,)+∞内单调增加. ………………… 10分。

资料：第三章作业参考答案2

第三章作业参考答案3.3.1a. A-B = 69-90 = -21 因为是8位无符号数，所以无法表示负数，所以下溢。

b. A-B = 102-44 = 58 无溢出3.3.2a. 69 = (0100 0101)2若为原码= +6990 = (0101 1010)2若为原码= +90A+B = 159 大于8位原码的最大值127，所以上溢（二进制算出来-31）b. 102 = (0110 0110)2 若为原码= +10244 = (0010 1100)2若为原码= +44A+B = 146 上溢(二进制算出来-18)3.3.3a. A-B = 69 – 90 = -21 不溢出b. A-B = 102-44 = 58 不溢出3.3.4a．200 = (1100 1000)2因为是补码，所以真值= - 56103 = (0110 0111)2真值= +103A+B = 103-56 = 47b. 247 = (1111 0111)2真值-9237 = (1110 1101)2真值-19A+B = -28 （用竖式计算出来为1110 0100，为补码，转换成原码1001 1100，再换成十进制也是-28）3.3.5 a. A-B = 103+56 = 156 饱和计算= 127b. A-B = -9+19 = 103.3.6 a. 1100 1000 + 0110 0111 = 1 0010 1111 = 1111 1111 即255饱和计算b．1111 0111 + 1110 1101 = 1111 1111 即255饱和计算所以，0101 0000 ×0010 0011 = 0000 1010 1111 00003.4.4 a. 101100×110111 = - 12×-23 = 276 = (0001 0001 0100)2b. 011000×000111 = 24×7 = 168 = (0000 1010 1000)23.4.5不必做了已知：x=0.10110，y=0.11111。

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高等数学（上）大作业参考答案第 1 页共 2页
第三章中值定理与导数应用

一、选择题
1、C 2、C 3、D 4、B 5、A 6、B

二、填空题
1、1 2、)2,2(2e 3、1,0,1xxx；0x
4、00x,y 5、2,

三、计算题
1、解：212coslim)(arcsin1sinlim020xxexxexxxx.

2、解：xxxcos02tanlim=xxxetanlncoslim02=xxxesectanlnlim02=1202sincoslimxxxe
3、解：222arctan2limxxx=212414lim2arctan2lim3422xxxxxxx.
4、解：])1ln(11[lim0xxx )1ln()1ln(lim0xxxxx

2
0)1ln(limxxxx
xxxx2

11lim0




214221lim221lim0220x
xxxxx

5、解：令tx21，则0x时，t.

0!50lim50limlimlim4950100102
ttttttxx
eetetx

e

.

四、证明题
1、证明：令F（x）=xf(x),由题意，显然F(x)在[a,b]连续，在（a,b）可导

由拉格朗日中值定理得，至少存在一点使
)(')()()())((')()(ffabaafbbfabFaFbF即

2、证明：存在性：设15xxxf，显然xf在任意区间连续，又010f，011f，
由零点定理，方程015xx在)1,(0内至少有一根，即至少有一正根.
唯一性：因014xxf，xf在,内单增，故015xx至多有一正根.
高等数学（上）大作业参考答案第 2 页共 2页
3、证明：ln)(2ttf令.],[)(理的条件上满足拉格朗日中值定在显然令batf

),,(ba存在
.ln2)(lnln22fabab满足

),,(ln2)2eexxxxg（令可得（由22)ln1(2ln22)xxxxxg
.0)(,),(2xgeex时当.)(,),(2单调递减时xgeex
,2ebae又
.2ln242ee



.,4lnln222结论得证eabab
4、证明：设)0(211)(2xxxexfx,则0)0(f
得1)('',1)('xxexfxexf
0)0()(0)(01)('',0fxfxfexfxx）单调递增，，在（得
0)0()(0)(fxfxf）单调递增，，在（


222110211xxexxexx
即

五、
解：设),(yxP到定点)0,2(A的距离为S.


452)2(2222222xxxxxyxS
，542xS. 令02S，则45x；而


042S
. 故45x为极小值点. P点坐标为），（4545.

六、略.