2011江苏省徐州市高三第二次质量检测(数学)

苏北四市2011届高三年级第二次模拟考试 数学I参考答案及评分标准 一、填空题： 1．1；2．0xx； 3．100； 4．60； 5．92； 6．255 7．14； 8．22； 9．2； 10．11(1,)(,1)22 ； 11．24； 12．(0,0)；13．94； 14．162（或者65536）． 二、解答题： 15. (1)在△ABC中，因为2OB，π4BAO?，π3ππ44ABOqq?--=-， 由正弦定理，得πsinsin4OBOAABO=Ð，……………………………………3分 即23π2sin()42OAq=-，所以 3π22sin()4OAq=-. ……………6分 注：仅写出正弦定理，得3分. 若用直线AB方程求得2(sincos)OAqq=+或π22sin()4OA也得分.

(2)由(1)得3π||||cos=42sin()cos4OAOBOAOBqqq?鬃-?uuruuuruuruuur，…………………8分 2(sin2cos2)222sin(2)24

， …………………10分

因为π3π(,),24qÎ所以π5π7π2(,)444q+?， 所以当π3π242q+=，即5π8q=时，OAOB×uuruuur的最小值为222．…14分 16.（1）因为BD//平面EFGH，BDCEFGHFG平面平面，所以BD//FG． 同理BD//EH，又因为EHFG， 所以四边形EFGH为平行四边形， 所以HG//EF，又HGABC平面，所以HGABC平面． ……………6分 （2）在ABC平面内过点E作EPAC，且交AC于P点， 在ACD平面内过点P作PQAC，且交AD于Q点， 连结EQ，则EQ即为所求线段．………………………………………………10分

证明如下：EPACACEPQPQACEQACEQEPQEPPQP平面平面．…………………14分 17．（1）因为位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1)， 所以圆心C在直线1y上，设圆C与x轴的交点分别为A，B， 由圆C被x轴分成的两段弧长之比为21:，得23ACB， 所以2CACB，圆心C的坐标为(2,1)， 所以圆C的方程为：22(2)(1)4xy．………………………………4分

（2）当1t时，由题意知直线l的斜率存在，设直线l方程为1ymx， 由221,(2)(1)4,ymxxy得0,1,xy或2224,141,1xmmmym 不妨令222441(,),(0,1)11mmMNmm，因为以MN为直径的圆恰好经过(0,0)O， 所以2222244141(,)(0,1)0111mmmmOMONmmmm，解得23m， 所以所求直线l方程为(23)1yx，或(23)1yx．………………10分 （3）设直线MO的方程为ykx， 由题意知，22121kk≤，解之得34k≤， 同理得，134k≤，解之得43k≤-，或>0k． 由（2）知，=0k也满足题意． 所以k的取值范围是43(,][0,]34．………………………………………14分 18. 设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y， 由题意知，228()(4)(4)4ayxtttt………………………………2分 所以21284()(4)(4)44ayyyxttttx……………………4分 （1） 当1,5at时，

2184(5)(54)544yxx



(4)41814xx≤421815

9，

当且仅当 14x 时取等号，所以“二次复习最佳时机点”为第14天． ……10分 (2) 284()(4)44ayxtttx22(4)48(4)(4)44(4)axattxtt ≤2482(4)4aatt，…………………………………………14分 当且仅当 2(4)42(4)4(4)4axxttxa,即 时取等号， 由题意tta4)4(2，所以 40a．………………16分 19．⑴ 因为7k，所以137,,aaa成等比数列，又na是公差0d的等差数列， 所以211126adaad，整理得12ad，又12a，所以1d， 112ba，32111122abadqbaa， 所以11111,2nnnnaandnbbq， ……………………………4分 （i）用错位相减法或其它方法可求得nnab的前n项和为12nnTn；………6分 （ii）因为新的数列{}nc的前21nn项和为数列na的前21n项的和减去数列nb前n项的和，所以121(21)(22)2(21)(21)(21)221nnnnnnnS.

所以211212321nnnnS． ………………………10分 (2) 由dkaada))1(()2(1121，整理得)5(412kdad， 因为0d，所以4)5(1kad，所以3111232aadkqaa. 因为存在*,mkmN使得13,,,kmaaaa成等比数列， 所以313123kaqaam， ………………………………………………12分 又在正项等差数列{an}中，4)5)(1()1(111kmaadmaam，……13分 所以3111234)5)(1(kakmaa，又因为01a， 所以有324(1)(5)(3)mkk， …………………………………14分 因为24(1)(5)mk是偶数，所以3(3)k也是偶数， 即3k为偶数，所以k为奇数. ……………………………………16分 20. (1)因为1()2fxaxx ，所以()fx在点(e,(e))f处的切线的斜率为12eeka， 所以()fx在点(e,(e))f处的切线方程为21(2e)(e)e1eyaxa ，……2分 整理得11e(2e)()2e2yax，所以切线恒过定点e1(,)22 ． …………4分 (2) 令xaxxaxfxfxpln2)21()()()(22<0，对(1,)x恒成立， 因为21(21)21(1)[(21)1]()(21)2axaxxaxpxaxaxxx .（*） ………………………6分 ①当112a时，有211xx，即112a时，在（2x，+∞）上有()0px， 此时)(xp在区间2(,)x上是增函数，不合题意； ②当1a≥时，有211xx，同理可知，)(xp在区间(1,)上是增函数，也不合题意；………………………………………………………………………………… 8分 ③当12a≤时，有210a≤，此时在区间(1,)上恒有()0px， 从而)(xp在区间(1,)上是减函数； 要使0)(xp在此区间上恒成立，只须满足1(1)02pa≤12a≥， 所以1122a≤≤．综上可知a的范围是11,22． ……12分 (3)当23a时，221214514()ln,()63923fxxxxfxxx, 记22115()()ln,(1,)39yfxfxxxx． 因为225650399xxyxx，所以21()()yfxfx在(1,)上为增函数， 所以21211()()(1)(1)3fxfxff，………………………………14分 设11()(),(01)3Rxfx, 则12()()()fxRxfx, 所以在区间1,上，满足12()()()fxgxfx恒成立的函数()gx有无穷多个． ………………………………………………………………16分 徐州市2011届高三年级第二次调研考试 数学Ⅱ（附加题）参考答案及评分标准

21．A选修4-l：几何证明选讲 （1）因为MA是圆O的切线，所以OAAM， 又因为APOM．在RtOAM△中，由射影定理知，2OAOMOP…………4分 （2）因为BK是圆O的切线，BNOK，同（1），有2OBONOK， 又OBOA，所以OPOMONOK，即ONOMOPOK，又NOPMOK∠∠， 所以ONPOMK△∽△，故90OKMOPN∠∠．…………………………10分 B．选修4-2: 矩阵与变换 （1）由已知1283122bc，即238,2612bc，2,3bc， 所以1232M …………………………4分 （2）设曲线上任一点P(,)xy，P在M作用下对应点(,)Pxy，则1232xxyy 即2,32,xxyyxy解之得,23,4yxxxyy代入225841xxyy,得222xy， 即曲线225841xxyy在M的作用下的曲线的方程是222xy．………10分 C．选修4-4：坐标系与参数方程 (1)直线l的极坐标方程sin324，则22sincos3222， 即sincos6，所以直线l的直角坐标方程为60xy． ……………4分 （2）P为椭圆221169xyC:上一点，设(4cos3sin)P,，其中[02),， 则P到直线l的距离|4cos3sin6||5cos()6|22d，其中4cos5， 所以当cos()1时，d的最大值为1122． ………………………………10分 D．选修4-5：不等式选讲 因为2220xyxy≥≥，所以3322xyxyxxyyxyxy≥，…………4分 同理33yzyzyz≥,33zxzxzx≥， 三式相加即可得3332xyzxyxyyzyzzxzx≥ 又因为222xyxyyzyzzxzxxyzyxzzxy 所以3332222xyzxyzyxzzxy≥ ………………10分 22．（1）建立如图所示直角坐标系，