《复数运算》集体备课
《复数运算》集体备课
重 难
点 点
2.理解向心力的公式，并能用来进行计算。 3.理解向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小。 1.向心力的来源。 2.理解向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小。
教
学
过
程
学法指导
课标要求
培养学生的 类比猜想能 力，逐步形 成“观察— —类比—— 猜想——质 疑——验证 ——应用” 获取知识的 手 段 和 方 法，提高学 生 分 析 × (−4 + 3i )] × (5 + i )
（4） (3 − 2i ) ×[(−4 + 3i ) × (5 + i )]
消化时段
【规律总结】 规律总结】
复数的乘法法则： (a + bi )(c + di ) = ac + bci + adi + bdi 2 = (ac − bd ) + (ad + bc)i . 给同学们 5 分钟的整理、消化时间.，请同学们依据板书顺序回顾课堂全程内容。
（2）向心力的作用效果：向心力是产生 变 。
2．向心力的大小怎样计算？ 根据向心加速度公式，ａ＝ ＝ ＝ 。
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＝
＝
。由牛顿第二定律向心力 F＝
在理解复 数有关几何 意义的基础 分析一：利用 AD = BC ，求点 D 的对应复数. 上，将复数 解法一：设复数 z1、z2、z3 所对应的点为 A、B、C，正方形的第四个顶点 D 对应的复数为 几何意义应 x+yi(x，y∈R)，是： 用推广到用 复数研究解 AD = OD − OA =(x+yi)－(1+2i)=(x－1)+(y－2)i; 析几何某些 曲 线 等 问 BC = OC − OB =(－1－2i)－(－2+i)=1－3i. 题，使学生 进一步体会 ∵ AD = BC ，即(x－1)+(y－2)i=1－3i， 复数减法几 例2图 x − 1 = 1, x = 2, 何意义的重 ∴ 解得 要性，认识 y − 2 = −3, y = −1. 到复数与其 故点 D 对应的复数为 2－i. 它数学内容 分析二：利用原点 O 正好是正方形 ABCD 的中心来解. 之 间 的 联 解法二：因为点 A 与点 C 关于原点对称，所以原点 O 为正方形的中心，于是(－2+i)+
中职教育数学《复数的运算》教案
授课题目5.2复数的运算选用教材高等教育出版社《数学》（拓展模块一上册）授课时长2课时授课类型新授课教学提示本课通过类比实数运算、多项式运算，探究并建立了复数加法、减法和乘法的运算法则及运算律. 教材所说的复数的运算是基于复数的代数形式而言的，因为代数形式本身就是基于实数运算的，所以将实数系扩充到了复数系后，实数系的运算法则仍然适用.教学目标会对两个复数做加法、减法和乘法运算，知道复数加法和减法的几何意义；培养和提升数学运算和逻辑推理等核心素养.教学重点复数的概念及代数表示，复数相等的充要条件．教学难点复数的概念及几何意义，虚数单位i的理解．教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图情境导入5.2.1 复数的加法与减法我们知道,多项式可以进行加法、減法运算，如(3+4x)+(-5+x)=(3-5)+(4x+x)=-2+5x；(3+4x)-(-5+x)=(3+5)+(4x-x)=8+3x.那么，复数z1=a+b i，z2=c+d i，(a、b、c、d∈R)是否也可以进行这样的加法、减法运算呢？提出问题引发思考思考分析回答与实数运算类比，引发思考新知探索类比多项式加法，定义：z1+z2=(a+b i)+(c+d i)= (a+c)+(b+d) i；z1-z2=(a+b i)-(c+d i)= (a-c)+(b-d) i；即两个复数的和(差)仍然是一个复数，它的实部等于两个复数的实部相加(减)，虚部等于两个复数的虚部相加(减).容易验证，对任意复数z1、z2、z3有，(1) z1+z2= z2+z1；(交换律)(2) (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) .(结合律)讲解讲解说明理解思考领会结合代数形式与实数的运算类比得到结论典型例题例1己知z1=3i，z2=1-i，z3=-2+5i，计算z1-z2，z1+z2-z3.解z1-z2=3i-(1-i) = (0-1) +[3-(-1)]i=-1+4i；z1+z2-z3= 3i+ (1-i)-(-2+5i)=[0+1-(-2)]+[3+(-1)-5]i=3-3i.讲解强调指导学习解决交流主动求解复数加、减运算的示例新知探索设复数z1=a+b i，z2=c+d i对应的向量分别为1OP=(a,b)，2OP=(c,d)，如图所示.由平面向量的坐标运算，可得1OP+1OP=(a+c,b+d)，讲解说明学习领会讲解复数运算的几何意义，提升直观练习5.2.15.2.2 复数的乘法我们知道,多项式可以进行乘法运算,如那么,复数z1=a+b i,z2=c+d i,(a、b、c、d∈R)是否可以类似地进行乘法运算呢？显然,两个复数的乘积仍然是一个复数.不难证明，复数的乘法运算满足交换律、结合律和对加法的分配律，即对任意的复数z1、z2、z3，有z1z2= z2z1；(z1z2)z3=z1(z2z3)；z1(z2+z3)=z1z2+ z1z3.例2 计算：(1) (2+3i)(2-i) ；(2) (1+i)².。
7.2复数的四则运算教案
7.2复数的四则运算教案《复数的四则运算》教案：教学目标：1. 知识与技能：掌握复数的加法运算及意义。
2. 过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义。
3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念。
教学重点：1. 复数的代数形式的加、减运算及其几何意义。
2. 加、减运算的几何意义。
教学难点：1. 加、减运算的几何意义。
教学过程：1. 复习准备：与学生一起复习复数的定义及其表示方法。
2. 新课导入：通过问题导入，如“两个复数的和如何计算？”、“复数的加减法与实数的加减法有什么相同和不同？”等，引出复数的四则运算。
3. 新课讲解：（1）复数的加法运算：将两个复数相加，得到一个新的复数。
加法可以看作是向量的和，可以用几何方法解释。
讲解时可以结合图形进行解释，让学生理解加法运算的几何意义。
（2）复数的减法运算：将两个复数相减，得到一个新的复数。
减法可以看作是向量的差，可以用几何方法解释。
讲解时可以结合图形进行解释，让学生理解减法运算的几何意义。
（3）复数的乘法运算：将两个复数相乘，得到一个新的复数。
乘法可以看作是向量的叉积，可以用几何方法解释。
讲解时可以结合图形进行解释，让学生理解乘法运算的几何意义。
（4）复数的除法运算：将两个复数相除，得到一个新的复数。
除法可以看作是向量的点积，可以用几何方法解释。
讲解时可以结合图形进行解释，让学生理解除法运算的几何意义。
4. 课堂练习：让学生进行一些简单的复数四则运算练习，并让他们解释运算结果的几何意义。
5. 小结：与学生一起回顾复数的四则运算及其几何意义，强调各部分内容的重要性及注意事项。
6. 作业布置：布置一些相关的练习题，让学生进一步巩固所学知识。
教学反思：在教学过程中，要注意结合图形的解释，让学生更好地理解复数的四则运算及其几何意义。
同时，要关注学生的理解情况，及时调整教学策略，确保学生掌握相关内容。
《复数的四则运算》教案全面版
《复数的四则运算》教案[教学目标]：知识与技能：1、掌握复数代数形式的加法、减法及乘法运算及意义.2、理解并掌握共轭复数的概念.过程与方法：1、由实数的运算法则来研究复数的运算.2、通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，使学生学会与别人共同学习.3、让学生学会运用类比推理研究数学问题，培养学生理性思维能力. 情感、态度与价值观：1、通过本节课的学习，能提高学生分析问题解决问题的能力.2、学生初步形成运用逻辑知识准确地表述数学问题的数学意识.[教学重点]：复数代数形式的加法、乘法运算.[教学难点]：复数代数形式的乘法运算.[教学过程]：一、自学质疑1、明确学习目标，揭示课题师：今天我们将要学习什么知识？（板书课题）我们知道实数有加、减、乘法等运算，且有运算律，请同学们回忆一下它们的运算法则是什么？（提问1-2个学生，师总结）师：那么复数应怎样进行加、减、乘法运算呢？你认为应怎样定义复数的加、减、乘法运算呢？运算律仍成立吗？交流导学案 [知识链接] .2、学生质疑师：通过预习，在你的学习过程中还有哪些问题没有解决？二、交流展示在交流过程中解决学生提出的疑问.1、交流学案（提问2-3位同学）通过学生的回答师总结如下：（1）复数加、减法的运算法则已知两复数1z ＝bi a +,2z ＝di c +,(a 、b 、c 、d ∈R)加法法则：i d b c a z z )()(21+++=+减法法则： i d b c a z z )()(21-+-=-结论：两个复数相加（减）即实部与实部、虚部与虚部分别相加（减）.注意：○1两个复数的和、差仍是一个复数. ○2复数的减法是加法的逆运算. ○3复数的加减法可类比多项式的加减法进行. 容易验证，复数的加减法满足交换律、结合律，即对任何1z 、2z 、3z ∈C ，有： 1221z z z z +=+)()(321321z z z z z z ++=++ .例1、 计算)94()52(31i i i +-++--）（ （由学生口头讲述，师板书）解：)94()52(31i i i +-++--）（=i )953()421(+--+--=i +-5（2）复数的乘法运算法则2))(bdi bci adi ac di c bi a +++=++（i ad bc bd ac )()(++-=注意：○1两个复数的积仍然是一个复数. ○2复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算过程中把2i 换成-1，然后实、虚部分别合并.容易验证，复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律，即对任何1z 、2z 、3z ∈C ，有： 1221z z z z =)()(321321z z z z z z =3121321)(z z z z z z z +=+例2、计算)31)(23)(2(i i i +----（由学生口头讲述，师板书）解：)31)(23)(2(i i i +----=)31)(8(i i +-+-=i 255-例3、 计算))((bi a bi a -+ （找2-3位学生板演，师总结）解：方法1；))((bi a bi a -+=222i b abi abi a -+-=222i b a -=22b a +方法2；))((bi a bi a -+=22b a - 一步到位注意：bi a +与bi a -两复数的特点.定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.复数bi a z +=的共轭复数记作z ，即 bi a z -=.三、互动探究1、小组讨论：○1 当a>0时，方程02=+a x 的解是 .○2 在复数集C 内，将22y x +分解因式为 .○3 设bi a z += ),(R b a ∈，那么=+z z ；=-z z . 2、交流、填写学案.四、精讲点拨○1复数的和、差、乘仍是一个复数. ○2复数的加、减及乘法可类比多项式的运算法则进行.五、矫正反馈学生依据本节课所学知识,矫正学案.六、迁移应用学生独立完成[巩固练习].复数的四则运算(一) 导学案、巩固案[学习目标]：1、掌握复数代数形式的四则运算法则.2、能进行复数代数形式的加法、减法、乘法运算.3、理解并掌握共轭复数的概念.4、学会运用类比推理研究数学问题，培养理性数学思维能力.[重点难点]：复数代数形式的加、减及乘法的运算.[知识链接]：1、复数加法的法则：设bi a z +=1,di c z +=2,)(R d c b a ∈、、、，则 .2、满足的运算律（用式子表示）（1）交换律： .（2）结合律： .3、复数减法的法则：设bi a z +=1,di c z +=2,)(R d c b a ∈、、、，则 . 总结： .4、复数的乘法法则：设bi a z +=1,di c z +=2,)(R d c b a ∈、、、，则 . 复数乘法满足的运算律（用式子表示）（1）交换律： .（2）结合律： .（3）分配律： .[基础练习]：(1).=--+-i i i 4)57()35( .(2).=+++----)71()2()42(i i i .(3).=+--++)65()43()21(i i i .(4).=+--)5)(32(i i .(5).=+++）i i i 3)(2)(1( . (6).=-++-++-)]()[()]()[(bi a b a bi a b a .(7).=-++++-)]())][(()[(bi a b a bi a b a .(8).复数bi a z +=,)(R b a ∈、,且0≠b ,若bz z 42-是:（1）实数 （2）纯虚数 （3）虚数；分别写出一组有序实数对)(b a 、．[学习小结]：1、复数的和、差、乘仍是一个 .2、复数的减法是 的逆运算.3、复数的加、减及乘法可类比 的运算法则进行.[互动探究]：1、 当a>0时，方程02=+a x 的解是 .2、 在复数集C 内，将22y x +分解因式为 .3、 设bi a z += ),(R b a ∈，那么=+z z ；=-z z .[学习反思]：1、归纳本节课学习的内容，你记住了哪些知识？2、在这节课的学习中，你还有哪些问题没有解决？[巩固练习]1、复数i -2的虚部是 .2、如果复数bi a +为实数0，则实数a = b = .3、如果i m m m z )1()1(2-++=为纯虚数，则实数m 的值为 .4、以12--i 的虚部为实部，以22i i +的实部为虚部的复数为 .5、已知M={1,2,(a 2-3a-1)+(a 2-5a-6)i},N={-1,3},M ∩N={3},则实数a = .6、如果1)(-=+x i y x ,求实数x ,y 的值及复数yi x z +=.7、如果i m m m )2()1(22-+->0,求实数m 的值.8、已知x 是实数，y 是纯虚数，且满足i y i y x -=-+-)3()12(,(1)求x ,y ；(2)若R y x ∈，,其余条件不变，求x ,y 的值；（3）若bi a x +=R b a ∈，(是虚数,R y ∈,其余条件不变，求虚数x 中实部与虚部间的关系.。
复数的计算教案一年级下册
复数的计算教案一年级下册教案标题：复数的计算教案一年级下册教案目标：1. 学生能够理解什么是复数，并能够正确地使用复数进行计算。
2. 学生能够根据给定的问题，运用复数进行简单的计算。
教学准备：1. 教师准备黑板、白板或投影仪等教学工具。
2. 准备复数的计算示例和练习题。
3. 准备学生练习复数计算的游戏或活动。
教学步骤：Step 1: 引入复数的概念1. 教师向学生解释什么是复数，即由实数和虚数部分组成的数。
2. 教师使用简单的示例，如2 + 3i，解释实数和虚数部分的意义。
Step 2: 复数的加法和减法1. 教师向学生介绍复数的加法和减法规则，并给出示例。
示例1: (2 + 3i) + (1 + 2i) = 3 + 5i示例2: (4 + 2i) - (3 + 1i) = 1 + 1i2. 教师引导学生进行简单的加法和减法练习，确保他们理解和掌握这些规则。
Step 3: 复数的乘法和除法1. 教师向学生介绍复数的乘法和除法规则，并给出示例。
示例1: (2 + 3i) × (1 + 2i) = -4 + 7i示例2: (4 + 2i) ÷ (3 + 1i) = 1 + 1i2. 教师引导学生进行简单的乘法和除法练习，确保他们理解和掌握这些规则。
Step 4: 综合运用1. 教师设计一些综合性的问题，要求学生根据给定的情境进行复数的计算。
示例1: 小明有2个苹果，小红有3个苹果，他们一共有多少个苹果？示例2: 小明有2个苹果，小红给了他3个苹果，他现在有多少个苹果？2. 学生独立或分组完成练习题，并与同学分享答案和解题思路。
Step 5: 游戏或活动1. 教师设计一个有趣的游戏或活动，让学生运用复数进行计算。
示例: 学生分成小组，每个小组轮流抽取一个复数计算题目，然后在规定时间内给出正确答案。
答对的小组可以获得奖励。
2. 学生积极参与游戏或活动，巩固和运用所学的复数计算知识。
Step 6: 总结和反思1. 教师与学生一起总结复数的计算规则和方法。
《7.2 复数的四则运算》集体备课导学案
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义知识点一 复数的加法与减法 (1)复数的加减法运算法则 (a ＋b i)±(c ＋d i)＝□01(a ±c )＋(b ±d )i. (2)复数加法的运算律复数的加法满足□02交换律、□03结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝□04z 2＋z 1；(z 1＋z 2)＋z 3＝□05z 1＋(z 2＋z 3)．知识点二 复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义设OZ 1→，OZ 2→分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应，则OZ 1→＝(a ，b )，OZ 2→＝(c ，d )．由平面向量的坐标运算法则，得OZ 1→＋OZ 2→＝(a ＋c ，b ＋d )．这说明两个向量OZ 1→与OZ 2→的和就是与复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应的向量．因此复数的加法可以按照向量加法来进行．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→，OZ 2→的□01终点，并指向被减向量的向量Z 2Z 1→所对应的复数．设z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i ，则d ＝|Z 1Z 2|＝|Z 2Z 1→|＝|z 1－z 2|＝|(x 1＋y 1i)－(x 2＋y 2i)|＝|(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)i|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.(3)复平面内的两点间距离公式：d ＝□02|z 1－z 2|.其中z1，z 2是复平面内的两点Z 1和Z 2所对应的复数，d 为Z 1和Z 2间的距离．如图：设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是□03OZ →，与z 1－z 2对应的向量是□04Z 2Z 1→.复数模的两个重要性质 (1)||z 1|－|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|； (2)|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2|z 1|2＋2|z 2|2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应．( )(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( ) (4)两个共轭虚数的差为纯虚数．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．做一做(1)计算：(3＋5i)＋(3－4i)＝________. (2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________.(3)已知向量OZ 1→对应的复数为2－3i ，向量OZ 2→对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为________．答案 (1)6＋i (2)－11i (3)1－i题型一 复数的加、减运算例1 计算：(1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)； (2)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)．[解] (1)原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i ＝－4－10i. (2)原式＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i ＝－1－i.复数代数形式的加、减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加、减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算类似于初中的合并同类项．计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)(i 2＋i)＋|i|＋(1＋i)．解 (1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i)＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2. (2)原式＝(－1＋i)＋0＋12＋(1＋i)＝－1＋i ＋1＋(1＋i)＝1＋2i.题型二 复数加、减运算的几何意义例2 已知四边形ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．[解] 解法一：设点D 对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )， 则D (x ，y )．又由已知得A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)， ∴AC 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12. ∵平行四边形对角线互相平分，∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x2，2＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.解法二：设点D 对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ， 又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i. 由已知得AD →＝BC →，∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2，y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5， 即点D 对应的复数为3＋5i.[条件探究] 若一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为1＋3i ，－i,2＋i ，求第四个顶点对应的复数．解 设1＋3i ，－i,2＋i 对应A ，B ，C 三点，D 为第四个顶点，则①当四边形ABCD 是平行四边形时，点D 对应的复数是3＋5i.②当四边形ABDC 是平行四边形时，点D 对应的复数为1－3i.③当四边形ADBC 是平行四边形时，点D 对应的复数为－1＋i.(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． (3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C ，D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．解 (1)因为向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ， 所以向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又OC →＝OA →＋AC →，所以点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. 因为AD →＝BC →，所以向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)， 设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.所以点D 对应的复数为5. (2)因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，所以cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152＝210.所以sin B ＝752＝7210， 所以S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7.所以平行四边形ABCD 的面积为7. 题型三 复数加、减运算的几何意义的应用 例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.[解] 解法一：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， ∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1， ∴a 2＋b 2＝c 2＋d 2＝1，① (a －c )2＋(b －d )2＝1.② 由①②得2ac ＋2bd ＝1. ∴|z 1＋z 2|＝(a ＋c )2＋(b ＋d )2 ＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝ 3.解法二：设O 为坐标原点，z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点分别为A ，B ，C . ∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，∴△OAB 是边长为1的正三角形，∴四边形OACB 是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z 1＋z 2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|OC|＝|OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos120°＝ 3.掌握以下常用结论：在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值．解解法一：设复数－i，i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3.如图，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，由图可知|Z1Z3|为最小值且最小值为1.解法二：设z＝x＋y i(x，y∈R)．因为|z＋i|＋|z－i|＝2，所以x2＋(y＋1)2＋x2＋(y－1)2＝2，又x 2＋(y ＋1)2＝2－x 2＋(y －1)2≥0，所以0≤ x 2＋(y －1)2≤2，因为x 2＋(y ＋1)2＝2－x 2＋(y －1)2， 所以两边平方可得1－y ＝x 2＋(y －1)2，即(1－y )2＝x 2＋(y －1)2，且0≤1－y ≤2. 所以x ＝0且－1≤y ≤1，则z ＝y i(－1≤y ≤1)． 所以|z ＋i ＋1|＝|1＋(y ＋1)i|＝12＋(y ＋1)2≥1，等号在y ＝－1即z ＝－i 时成立． 所以|z ＋i ＋1|的最小值为1.1．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 A解析 ∵z 1－z 2＝(3＋i)－(1－i)＝2＋2i ，∴z 1－z 2在复平面内对应的点位于第一象限．2．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z －等于( ) A ．－3i B ．3i C ．±3i D ．4i答案 A解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由z ＋3i ＝x ＋(y ＋3)i 为纯虚数，得x ＝0，且y ≠－3，又|z |＝x 2＋y 2＝|y |＝3，∴y ＝3，∴z ＝3i ，∴z －＝－3i.故选A.3．非零复数z 1，z 2分别对应复平面内的向量O A →，O B →，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则( )A ．O A →＝OB → B ．|O A →|＝|O B →|C ．O A →⊥O B →D ．O A →，O B →共线答案 C解析 如图，由向量的加法及减法法则可知，O C →＝O A →＋O B →，B A →＝O A →－O B →.由复数加法及减法的几何意义可知，|z 1＋z 2|对应O C →的模，|z 1－z 2|对应B A →的模．又|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，所以四边形OACB 是矩形，则O A →⊥O B →.4．复数z 满足z －(1－i)＝2i ，则z 等于( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋i D ．1－i答案 A解析 z ＝2i ＋(1－i)＝1＋i.故选A.5．如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应复数0,3＋2i ，－2＋4i.求：(1)向量AO →对应的复数． (2)向量CA →对应的复数． (3)向量OB →对应的复数．解 (1)因为AO →＝－OA →，所以向量AO →对应的复数为－3－2i.(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以向量CA →对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为OB →＝OA →＋OC →，所以向量OB →对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.。
高中公开课数学复数运算教案
高中公开课数学复数运算教案一、教学目标：1. 理解复数的概念，熟练使用正常形式表示复数；2. 掌握复数的加法、减法、乘法和除法运算法则；3. 能够应用复数运算解决实际问题。
二、教学重点：1. 复数的概念及正常形式表示；2. 复数的加法、减法、乘法和除法运算法则。
三、教学难点：1. 复数的除法运算法则的掌握；2. 复数运算在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 讲授法：通过讲解复数的定义和运算法则，引导学生理解和掌握复数运算；2. 实例法：通过解决具体的实例问题，巩固学生对复数运算的掌握。
五、教学过程：1. 复数的概念和表示方法- 讲解复数的定义：复数由实部和虚部组成，可以用a+bi的形式表示，其中a为实数部分，b为虚数部分；- 引导学生对复数的正常形式进行理解和掌握；- 列举一些常见的复数表示形式，如纯实数、纯虚数和实数等。
2. 复数的加法和减法运算- 讲解复数加法和减法的运算法则，即将实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）；- 通过示例演示复数加法和减法的具体步骤，引导学生进行练习，掌握运算技巧。
3. 复数的乘法运算- 讲解复数乘法的运算法则：将实体部分和虚部分分别进行乘法运算，再根据虚数单位i的平方等于-1，化简结果；- 给予学生一些复数乘法的练习题，巩固运算规则。
4. 复数的除法运算- 讲解复数除法的运算法则：将除数和被除数都乘以共轭复数，然后按照乘法法则计算；- 引导学生通过实际例子体会并掌握复数除法运算的步骤和技巧。
5. 复数运算在实际问题中的应用- 将复数运算与实际问题相结合，讲解如何利用复数运算解决实际问题；- 教师引导学生分析实际问题，运用所学知识进行解答。
六、教学示例：示例一：问题：计算复数(3-2i)+(5+4i)的结果。
解答：按照复数加法的法则，将实部和虚部分别相加，即(3+5)+(-2+4)i=8+2i。
示例二：问题：计算复数(2+3i)-(4-2i)的结果。
解答：按照复数减法的法则，将实部和虚部分别相减，即(2-4)+(3-(-2))i=-2+5i。
《复数的乘除运算》教案、导学案、课后作业
《7.2.2 复数的乘除运算》教案【教材分析】复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的乘法与多项式乘法是类似的，不同的是即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．复数的除法运算法则是通过分子分母同时乘分母的共轭复数，将分母实数化转化为乘法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材.【教学目标与核心素养】课程目标：1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算；2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律;3.理解且会求复数范围内的方程根.数学学科素养1.数学抽象：复数乘法、除法运算法则;2.逻辑推理：复数乘法运算律的推导;3.数学运算：复数四则运算;4.数学建模：结合实数范围内求根公式和复数四则运算，解决复数范围内的方程根问题.【教学重点和难点】重点：复数代数形式的乘法和除法运算．难点：求复数范围内的方程根.【教学过程】一、情景导入前面学习了复数的加法、减法运算，根据多项式的乘法、除法运算法则猜测复数的乘法、除法满足何种运算法则？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本77-79页，思考并完成以下问题1、复数乘法、除法的运算法则是什么？2、复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数解决问题？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．复数代数形式的乘法法则已知z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.[提示]复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．2.复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有3．复数代数形式的除法法则(a＋b i)÷(c＋d i)＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋d i≠0)四、典例分析、举一反三题型一复数的乘法运算例1 计算下列各题．(1)(1－2i)(3＋4i) (－2＋i)；(2)(2－3i)(2＋3i)；(3)（1+i）2 . 【答案】(1) －20＋15i. (2) 13. (3) 2i.【解析】(1)原式=(11－2i)(-2＋i)＝-20＋15i.(2)原式=(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝4－9i2＝4+9＝13.(3)原式＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i.解题技巧（复数乘法运算技巧）1．两个复数代数形式乘法的一般方法(1)首先按多项式的乘法展开．(2)再将i2换成－1.(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常用公式(1)(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i(a ，b ∈R)．(2)(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)． (3)(1±i)2＝±2i. 跟踪训练一1．计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝ ( )A ．2－13iB ．13＋2iC ．13－13iD ．－13－2i【答案】D.【解析】 (1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i ＋i 2－(4－9i 2)＝－13－2i. 2．若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)【答案】B.【解析】因为z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ， 所以它在复平面内对应的点为(a ＋1,1－a )， 又此点在第二象限，所以⎩⎨⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，解得a ＜－1.题型二 复数的除法运算 例2计算(1＋2i)÷(3－4i). 【答案】−15+25i.【解析】 原式=1+2i3−4i =(1+2i )(3+4i )(3−4i )(3+4i )=−5+10i 25=−15+25i.解题技巧： (复数的除法运算技巧) 1．两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．常用公式(1)＝－i ；(2)＝i ；(3)＝－i. 跟踪训练二 1．复数z ＝11＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝________. 【答案】22. 【解析】∵z ＝11＋i ＝＝1－i 2＝12－12i ， ∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22.2．计算：1＋i4＋3i 2－i1－i＝________.【答案】－2＋i. 【解析】＝1＋7i 1－3i ＝＝－2＋i. 题型三 复数范围内的方程根问题 例3 在复数范围内解下列方程： （1）；（2），其中，且． 【答案】 （1）方程的根为．（2）方程的根为． 【解析】（1）因为，所以方程的根为．（2）将方程配方，得， 1(1)(1)i i i -+-(1)(43)(2)(1)i i i i ++--(17)(13)10i i ++220x +=20ax bx c ++=,,a b c ∈R 20,40a b ac ≠∆=-<220x +=2x i =±()242b ac b x a --=-±222(22==-220x +=2x i =20ax bx c ++=222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 所以原方程的根为．解题技巧（解决复数方程根问题的技巧）与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解．根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用．跟踪训练三1、已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b ，c 为实数)． (1)求b ，c 的值；(2)试判断1－i 是否是方程的根．【答案】(1)b ＝－2，c ＝2. (2)1－i 也是方程的一个根． 【解析】(1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0. ∴⎩⎨⎧b ＋c ＝0，2＋b ＝0，得⎩⎨⎧b ＝－2，c ＝2.∴b ＝－2，c ＝2.(2)将方程化为x 2－2x ＋2＝0，把1－i 代入方程左边x 2－2x ＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的一个根．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本80页练习，80页习题7.2的剩余题.2bx a +=2b x a =-±【教学反思】本节课主要是在学生了解复数的加减运算及共轭复数的基础上，类比多项式的乘除运算法则探讨得出复数的乘除运算法则，使学生对知识更加融会贯通.尤其在例3，使学生对方程的根有了更深刻的认识.《7.2.2 复数的乘除运算》导学案【学习目标】知识目标1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算；2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律;3.理解且会求复数范围内的方程根.核心素养1.数学抽象：复数乘法、除法运算法则;2.逻辑推理：复数乘法运算律的推导;3.数学运算：复数四则运算;4.数学建模：结合实数范围内求根公式和复数四则运算，解决复数范围内的方程根问题.【教学重点】：复数代数形式的乘法和除法运算．【教学难点】：求复数范围内的方程根.【学习过程】一、预习导入阅读课本77-79页，填写。
《复数的运算复数的加法与减法》教案新人教选修
《复数的运算——复数的加法与减法》教案章节：一、复数加法与减法的基本概念二、复数加法与减法的法则三、复数加法与减法的运算步骤四、复数加法与减法的例题解析五、复数加法与减法的练习题一、复数加法与减法的基本概念1. 引入实数和虚数的概念，说明实数可以看作是虚部为0的复数。
2. 介绍共轭复数的概念，即一个复数的虚部取相反数。
3. 讲解复数加法与减法的定义，以及它们与实数加法与减法的联系。
二、复数加法与减法的法则1. 复数加法的法则：两个复数相加，保持实部实数加，虚部虚数加。
2. 复数减法的法则：一个复数减去另一个复数，等于加上这个复数的相反数。
3. 讲解复数加法和减法法则在实际运算中的应用。
三、复数加法与减法的运算步骤1. 确定两个复数的实部和虚部分别相加或相减。
2. 保持实部实数加，虚部虚数加（减）。
3. 如果需要，对结果进行简化或转换为标准形式。
四、复数加法与减法的例题解析1. 举例讲解复数加法和减法的运算过程。
2. 分析例题，引导学生运用复数加法和减法法则进行计算。
3. 讲解例题中的关键步骤和易错点。
五、复数加法与减法的练习题1. 设计不同难度的练习题，让学生巩固复数加法和减法的运算方法。
2. 引导学生独立完成练习题，并及时给予解答和指导。
3. 分析学生练习中的普遍错误，进行针对性的讲解和辅导。
六、复数加法与减法的应用1. 介绍复数在几何中的应用，如复平面上的点表示。
2. 讲解复数在物理中的应用，如交流电的相位。
3. 举例说明复数在工程和经济问题中的应用。
七、复数加法与减法的拓展1. 探讨复数加法和减法的性质，如交换律、结合律等。
2. 介绍复数加法和减法在多维空间中的应用。
3. 引入高级数学中与复数加法和减法相关的内容，如群、环、域的概念。
八、复数加法与减法的练习与评估1. 设计综合性的练习题，考察学生对复数加法和减法的掌握程度。
2. 组织课堂练习时间，让学生完成练习题。
3. 评估学生的练习成果，及时给予反馈和建议。
复数集体备课教研记录(3篇)
第1篇一、会议时间：2021年10月15日二、会议地点：XX中学数学教研组会议室三、参会人员：1. 数学教研组长：张老师2. 复数备课组全体教师：李老师、王老师、赵老师、刘老师、陈老师3. 特邀嘉宾：XX中学数学特级教师：陈教授四、会议主题：复数教学策略与方法探讨五、会议流程：1. 会议开场（10分钟）- 张老师开场致辞，强调复数教学的重要性，以及对本次教研活动的期望。
2. 教学案例分析（30分钟）- 李老师分享了自己在教学复数时的成功案例，包括如何通过实际生活中的例子来帮助学生理解复数的概念。
- 王老师则介绍了自己在课堂上如何运用多媒体技术辅助教学，提高学生的兴趣和参与度。
3. 教学策略与方法探讨（60分钟）- 赵老师提出了“分层教学”的策略，针对不同层次的学生设计不同的教学任务，确保每个学生都能有所收获。
- 刘老师分享了“小组合作学习”的方法，通过小组讨论和合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
- 陈老师提出了一种“情境教学法”，通过创设具体的情境，让学生在解决问题的过程中自然地掌握复数的概念和应用。
4. 特级教师点评与指导（20分钟）- 陈教授对各位老师的发言进行了点评，肯定了大家的努力和创新，同时也提出了一些改进建议。
- 陈教授强调了复数教学中的几个关键点：一是要注重基础知识的教学，二是要引导学生理解复数的几何意义，三是要加强练习，提高学生的应用能力。
5. 集体备课讨论（30分钟）- 各位老师就下周的复数教学内容进行了集体备课，共同商讨教学目标、重难点、教学方法等。
- 张老师总结并提出了具体的备课要求，要求老师们认真备课，确保教学质量。
6. 会议总结（10分钟）- 张老师对本次教研活动进行了总结，感谢大家的积极参与和贡献，并对未来的教学工作提出了新的要求。
六、会议纪要：1. 教学案例分析- 李老师的教学案例中，通过生活中的例子，如电器功率的计算，帮助学生理解复数的概念。
- 王老师通过多媒体展示复数的几何意义，使抽象的数学概念具体化。
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学法指导
3 ． （ 2012 陕西文理） 设 a, b R , i 是虚数单位 , 则“ ab 0 ”是“复数 a
教 学 目 标
2.能正确地进行复数的运算 （复数代数形式的加法与减法， 乘法与除法） . 掌握复数的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
b 为纯虚数”的 i
过程与方 法
沂水县第三中学高二数学组集体备课
主备人：武光军
记录人：蔡永明
第五周
2013－3－27
集思广益
A． b 2, c 3 .
群策群力
（ ）
课
题 知识与技 能
数系的扩充及复数概念 1.掌握复数的运算法则；
新授课
B． b 2, c 3 . C． b 2, c 1. D． b 2, c 1 .
2 的四个命题:其中的真命题为 1 i
p4 : z 的 虚 部 为 1
（ ）
p1 : z 2
p2 : z 2 2i
p3 : z 的 共 轭 复 数 为 1 i
A． p2 , p3
B． p1 , p2
C． p , p
D． p , p
6 ． （2012 年高考（四川理） ）复数
群策群力
D． 2i 学法指导
a b __________________;
2． （2012 年高考（上海理） ）计算:
3i =_______(i 为虚数单位). 1 i
学法指导
3． （2012 年高考（上海春） ）若复数 z 满足 | z i |
2( i 为虚数单位 ) ,则 z 在复平面内所对应的
( )[ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4． （2012 山东文理）若复数 z 满足 z(2 i) 11 7i(i 为虚数单位),则 z 为 A．3+5i B．3-5i C．-3+5i D．-3-5i
（
）
5． （2012 年高考（新课标理） ）下面是关于复数 z
在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾 情感、态 度、 价值观 （数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性 思维的作用以及数与现实世界的联系. 重 难 点 点 教 学 复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则、运算率，以及复数加、减 运算的几何意义 复数减法、除法的运算法则. 过 程 学法指导
11． （2012 年高考（大纲理） ）复数
A． 6 5i
（ D． 1 i （
）
A． 2 i
B． 2 i
1 3i 1 i
）
C． 1 2i
D． 1 2i （ ）
考题展示 2012 年高考数学按章节分类汇编（人教 A 理：选修 2-2） 第三章数系的扩充与复数的引入
一、选择题 1． （2012 天津理） i 是虚数单位,复数 z =
(1 i ) 2 2i
C． i D． i
（
）
教材分析 。 在小学,初中学习过整数,有理数,实数的概念和运算,一次方程和一元二次方程,平 面直角坐标系,在高中已介绍了平面向量,任意的三角函数,直线和圆的方程等知识， 在 此基础上,本章介绍了复数的概念,复数的代数形式的运算和数系的扩充等内容。 复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，这不仅可以使学生对与数的概念有 一个初步的、完整的认识，也为学生进一步学习数学打下了基础.通过本章的学习， 要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的基 本知识，体会人类理性思维在数系扩充的作用.
z
（B） 3
i i ，则复数 z B． i
（C） 2
（D）1
11 7i 5． （2012 年高考（江苏） ）设 a ， (i 为虚数单位),则 a b 的值为____. b R , a bi 1 2i
ai 2 8.（辽宁理 1） a 为正实数， i 为虚数单位， i ，则 a
图形的面积为____.
4． （2012 年高考（上海春） ）若复数 z 满足 iz 1 i ( i 为虚数单位 ) ,则 z _______.
（A）2 【答案】B 9.（江西理 1）若 A． i 【答案】D
12 ． （ 2012 年 高 考 （ 北 京 理 ） ） 设 a, b R , “
a 0 ” 是 “ 复 数 a bi 是 纯 虚 数 ” 的
D．既不充分又不必要条件 （ D． i ）
A．充分而不必要 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件
13． （2012 年高考（安徽理） ）复数 z 满足: ( z i)(2 i) 5 ;则 z
A． 3 2i
C． 2 3i
D． 2 3i
9． （2012 年高考（广东理） ）(复数)设 i 为虚数单位,则复数
5 6i i
D． 6 5i
（
）
B． 6 5i C． 6 5i 10． （2012 年高考（福建理） ）若复数 z 满足 zi 1 i ,则 z 等于 A． 1 i B． 1 i C． 1 i
பைடு நூலகம்
A． 1
B． 1
7 ． （2012 年高考（辽宁理） ）复数
A．
3 4 i 5 5
2i 2i 3 4 B． i 5 5
B． 3 2i
（ C． 1
）
4 i 5
D． 1
3 i 5
（ ）
8． （2012 年高考（湖北理） ）方程 x2 6 x 13 0 的一个根是
A． 2 i
B． 2 i
7i 3i
（ C． 2 i
2
）
A． 2 2i
二、填空题
B． 2 2i
C． i
D． 2 i
2 ． （ 2012 上 海 理 ） 若 1
2 i 是 关 于 x 的 实 系 数 方 程 x bx c 0 的 一 个 复 数 根 , 则
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1 ． (2012 年 高 考 （ 重 庆 理 ） ） 若 1 i 2 i =a+bi , 其 中 a, b R, i 为 虚 数 单 位 , 则
沂水县第三中学高二数学组集体备课
主备人：武光军
记录人：蔡永明
第五周
2013－3－27
集思广益
A． 2i 【答案】B B． i C． i