函数值域求法十一种
求函数值域的几种常用方法
求函数值域的几种常用方法函数的值域是指函数在定义域上所有可能的输出值的集合。
求函数值域的方法可以分为几种常用的途径，包括图像法、解析法、等价关系法和数列法等。
下面将详细介绍这些方法。
一、图像法图像法是通过绘制函数的图像来确定函数的值域。
具体步骤如下：1.根据函数的定义域，确定合适的坐标系并绘制出函数的图像。
2.观察图像的上下边界，确定最小值和最大值，并将这些值确定为函数的值域的下边界和上边界。
二、解析法解析法是通过对函数进行化简和分析，找出函数的特性来确定值域。
具体步骤如下：1.根据函数的定义表达式，观察函数的性质，例如函数的奇偶性、周期性等。
2.利用函数的性质，找出函数的最小值和最大值，并将这些值确定为函数的值域的下边界和上边界。
三、等价关系法等价关系法是通过将函数与其他已知函数进行比较来确定函数的值域。
具体步骤如下：1.将函数的定义表达式进行变形，使其更容易与已知函数进行比较。
2.将函数与已知函数进行比较，找出它们的区别和相似之处。
3.根据已知函数的值域，可以确定函数的值域的下边界和上边界。
四、数列法数列法是通过构造特定的数列来逼近函数的值域。
1.根据函数的定义域，构造一个数列，使得数列中的每一个数都在函数的定义域内。
2.计算函数在数列中每一个数的值，并将这些值确定为函数的值域的一部分。
3.根据数列的性质，可以逼近函数的值域的下边界和上边界。
需要注意的是，这些方法都只能对一些简单的函数有效，对于复杂的函数，求值域可能需要借助数学分析工具、数值计算方法或者计算机模拟来进行。
此外，不同的方法可以结合使用，以增加求值域的准确性。
有关函数最值问题的十二种解法
本稿件适合高三高考复习用有关函数最值问题 的十二种解题方法与策略贵州省龙里中学高级教师 洪其强（551200）一、消元法：在已知条件等式下，求某些二元函数(,)f x y 的最值时，可利用条件式消去一个参量，从而将二元函数(,)f x y 化为在给定区间上求一元函数的最值问题。
例1、已知x 、y R ∈且223260x y x +-=，求222x y +的值域。
解：由223260x y x +-=得222360y x x =-+≥，即02x ≤≤。
2222392262()22x y x x x +=-+=--+∴当32x =时，222xy +取得最大值92；当0x =时，222x y +取得最小值0。
即222x y +的值域为90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、判别式法：对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数()f x 出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件0∆≥来求出()f x 的最值。
例2、求函数22()1xf x x x =++的最值。
解：由22()1xf x x x =++得 []2()()2()0f x x f x x f x +-+=，因为x R ∈，所以0∆≥，即[]22()24()0f x f x --≥，解得22()3f x -≤≤。
因此()f x 的最大值是23，最小值是－2。
三、配方法：对于涉及到二次函数的最值问题，常用配方法求解。
例3、求2()234x x f x +=-在区间[]1,0-内的最值。
解：配方得 2224()2343(2)33x x x f x +=-=--+[]1,0x ∈- ，所以 1212x ≤≤，从而当223x =即22log 3x =时，()f x 取得最大值43；当21x =即0x =时()f x 取得最小值1。
四、辅助角公式：如果函数经过适当变形化为()sin cos f x a x b x =+(a、b均为常数），则可用辅助角公式sin cos arctan )ba xb x x a+=+来求函数()f x 的最值。
例说求函数值域的十种基本方法
例说求函数值域的十种基本方法求函数值域是数学中的一个重要问题，涉及到了函数的性质和特点。
接下来，我将为您介绍求函数值域的十种基本方法。
1.函数特性法首先，我们可以通过函数的特性来判断其值域。
例如，如果函数是线性函数，那么它的值域是整个实数集；如果函数是二次函数，那么它的值域可以通过求解二次方程得到。
2.函数图像法通过绘制函数的图像，可以直观地看出函数的值域。
值域可以通过观察函数图像的最高点、最低点以及其他特殊点得出。
3.函数解析式法通过函数的解析式，可以对其进行分析，确定函数的值域。
例如，对于一个多项式函数，可以通过求导，找出函数的极值点，从而得到值域。
4.函数区间法将函数的定义域划分为若干个区间，在每个区间内分别求出函数的最大值和最小值，然后取这些最值的并集，即可得到函数的值域。
5.函数性质法根据函数的性质，判断其值域。
例如，若函数是奇函数，那么其值域与定义域对称；若函数是周期函数，那么值域只需要求出一个周期内的值。
6.函数导数法通过求函数的导数，可以找出函数的极值点，然后确定函数的值域。
导数为零的点是函数的极值点，其中最大值和最小值即为函数的值域的上界和下界。
7.函数符号法通过研究函数的符号变化，可以确定函数值域。
例如，对于一个有理函数，可以研究当自变量趋于正无穷和负无穷时，函数值的变化情况。
8.函数求导法对于一些复杂的函数，可以通过对函数进行求导，并求出导函数的零点，从而找到函数的极值点。
极值点即为函数的值域的边界点。
9.函数的逆函数法若函数的逆函数存在，可以通过研究逆函数的定义域来确定函数的值域。
逆函数与原函数的值域相同，因此可以求出函数的逆函数，然后通过研究逆函数的值域来确定函数的值域。
10.函数的一些特点法对于一些具有特殊特点的函数，可以通过对这些特点进行分析，来确定函数的值域。
例如，对于一个增函数，函数的值域是从函数图像的最低点到最高点。
求函数值域的常用方法
求函数值域的常用方法函数的值域（range）是指函数所有可能的输出值组成的集合。
求函数值域是函数分析中的一个重要问题，下面介绍一些常用的方法和技巧。
1.查表法：对于一些简单的函数，可以通过列出所有可能的输入值，计算出对应的输出值，然后将这些输出值整理成一个集合，即可得到函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^2，可以列出输入值x的所有可能取值，并计算出对应的输出值f(x)，将这些输出值整理成一个集合，即得到函数的值域。
2.分析法：对于一些简单的函数，可以通过对函数的性质进行分析，得到值域的一些性质。
例如，对于函数f(x)=x^2，由于平方不会产生负数，所以函数的值域是大于等于0的实数集合。
3.奇偶性的分析：对于奇函数和偶函数，可以利用它们的奇偶性来求值域。
奇函数的值域关于原点对称，而偶函数的值域关于y轴对称。
例如，对于奇函数f(x)=x^3，可以通过观察函数的奇性得到函数的值域是所有实数。
再例如，对于偶函数f(x)=x^2，可以通过观察函数的偶性得到函数的值域是大于等于0的实数集合。
4.极值点的分析：对于一些有极值点的函数，可以通过极值点的性质来求值域。
例如，对于函数 f(x) = sin(x)，由于正弦函数的最大值和最小值分别是1和-1，所以函数的值域是闭区间[-1, 1]。
5.利用导函数的性质：对于一些可导函数，可以通过导函数的性质来求值域。
例如，对于函数f(x)=e^x，导函数是f'(x)=e^x，由于指数函数的导数始终大于0，所以函数是递增的，值域是大于0的实数集合。
6.利用连续性的性质：对于一些连续函数，可以利用连续性的性质来求值域。
例如，对于函数f(x)=1/(x-1)，由于分母为0时函数没有定义，所以值域是除去1的实数集合。
7.递归法：对于一些递归定义的函数，可以通过递归法来求值域。
例如，对于斐波那契数列定义函数f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(0)=0，f(1)=1、通过逐步计算斐波那契数列的值，可以得到函数的值域是非负整数集合。
求函数的值域的方法大全
求函数值域方法大全（一）、最值与值域的高考地位传统高考数学中的应用题中凡涉及到利润最大（或最小），最少的人力、物力等，均可归结于最值与值域的求解；当今高考数学中的求字母参数的取值范围问题很大一部分归结于最值与值域的求解通过求函数的最值与值域可大大的加深对一些数学思想的领会，提高运用数学思想解题的能力。
（二）、最值与值域的关系1、有的函数知道值域就可以求最值如：函数2x y =的值域是{}0|≥y y ，可知0min =y2、有的函数知道最值就可以求值域3、有的函数有值域但无最值 如：函数x y 1=的值域是{}0|≠y y ，但无=min y ,无=max y 4、有的函数有最大值但无最小值如：函数2x y -=，0m ax =y ，但无=min y5、有的函数有最小值但无最大值如：函数212xy +-=，2min -=y ，但无=max y 6、值域有可能是一个数，也可能是几个数构成的集合，但大多是一个不等式构成的集合如：常数函数2)(=x f 的值域是{}27、求最值与值域的方法大同小异8、在由值域确定函数的最值时，需注意等号成立的条件下才能取到。
如：已知值域{}13|<≤-y y ，只有3min -=y ，而无=max y9、最值存在定理：连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值（三）、基本初等函数的定义域与值域（四）、函数的最值与值域的求解技巧即是求函数值的集合或是找到的y 的不等式出来（以后者为重）如：已知函数12)(-=x x f ，{}5,3,2,1,0∈x 则此函数的值域是（ ）A 、{}5,3,2,1,9；B 、{}3,1,1-；C 、{}5,3,1,1,9-；D 、{}91|≤≤-x x法（一）：观察法【及时反馈】1、函数12)(-=x x f 的值域是（ ）A 、)1,(--∞；B 、),1[+∞；C 、R ；D 、),1(+∞-法（二）：反函数法ⅰ、理论依据：巧妙根据原函数与它的反函数的定义域、值域的互调性，如下表所示：由上表知，求原函数的值域就是相当于求它的反函数的定义域ⅱ、求反函数的步骤（“三步曲”）①求)(y x Φ=；②x 、y 互换；③通过求原函数的值域得出反函数的定义域【及时反馈】（1）、求函数142)(-+=x x x f 的值域 （2）、求函数453)(-=x x x f 的值域 法（三）：分离变量法常用于求形如)0()(≠++=ac dcx b ax x f 的函数的值域 求解技巧：“分子对分母说，我要变成你”，即把)(x f 化成“常量+d cx +常量”的形式来。
最值问题的十一种解法
最值问题的十一种解法最值问题，几乎涉及到高中数学的各个分支，是历年高考重点考查的知识点之一，有一些基础题，也有一些小综合的中档题，更有一些以难题形式出现．它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系．所以其解法灵活，综合性强，能力要求高．解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法．考生的运算能力，分析问题和解决问题能力在这里充分展现．为帮助同学们探索这类型问题的解题规律，指导高考复习，本文将这类问题作一个简单归纳． 一、配方法例１：当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322⋅-=+的最大值和最小值． 解析：34)322(32+--=xy ，当01≤≤-x 时，1221≤≤x．显然由二次函数的性质可得1min =y ，34max=y ． 二、判别式法对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值． 例２：已知0124422=-++-x x xy y ，求y 的最值．解析：由已知，变形得0)1()12(2422=-+--y x y x ，R x ∈，则0≥∆，即有0)1(16)12(422≥---y y 故 45≤y ． 因此 45max =y ，无最小值． 例3：若x 、R y ∈且满足：0222=-+++y x xy y x ，则max x = min y = 解析：由已知，变形得：0)()12(22=++-+x x y x y ，R y ∈，则0≥∆，即有0)(4)12(22≥+--x x x ，于是018≥+-x ，即 81≤x ．即 81max =x ． 同理，0)()12(22=-+++y y x y x ，R x ∈，则0≥∆，即有0)(4)12(22≥--+y y y ，于是018≥+y ，即 81-≥y ．即 81min -=y ．注意：关于x 、y 的有交叉项的二元二次方程，通常用此法例4：已知函数1134522+++=x x x y ，求y 的最值． 解析：函数式变形为：0)1(34)5(2=-+--y y x y ，R x ∈，由已知得05≠-y ，0)1)(5(4)34(2≥----=∆∴y y ，即：0762≤--y y ，即：71≤≤-y ．因此 7max =y ，1min -=y ． 例5：已知函数)(12R x x bax y ∈++=的值域为]4,1[-，求常数b a , 解析： 01222=-+-⇔+=+⇔++=b y ax yx b ax y yx x b ax y ∵R x ∈ ∴0)(4)(2≥---=∆b y y a ，即04422≤--a by y由题意：0430)4)(1(]4,1[2≤--⇔≤-+⇔-∈y y y y y 0161242≤--⇔y y所以124=b ，162=a ，即3=b ，4±=a注意：判别式求函数的值域或已知值域求参数，把转化为关于x 的二次函数0),(=y x F ，通过方程有实根，判别式0≥∆，从而求得原函数的值域或参数的值.形如22221121c x b x a c x b x a y ++++=(1a 、2a 不同时为0)，常用此法求得 例6：在20π≤≤x 条件下，求2)sin 1()sin 1(sin x x x y +-=的最大值．解析：设x t sin =，因0(∈x ，)2π，故 10≤≤t ，则2)1()1(t t t y +-= 即 0)12()1(2=+-++y t y t y因为 10≤≤t ，故01≠+y ，于是0)1(4)12(2≥+--=∆y y y 即 81≤y 将81=y 代入方程得 0[31∈=t ，]1，所以81max =y 注意：因0≥∆仅为方程0)12()1(2=+-++y t y t y 有实根0[∈t ，]1的必要条件，因此，必须将81=y 代入方程中检验，看等号是否可取． 三、代换法 (一)局部换元法 例7：求函数422++=x p x y 的最值．解析：令42+=x t ，则2≥t ，函数tp t x p x y 4422-+=++=当8≥p 时，424-≥-+=p tp t y ，当4-=p t 时取等号当8<p 时，令212t t <≤，则)4()4(221121t p t t p t y y -+--+=-＝+-)(21t t )(41221t t t t p --＝)41)((2121t t p t t ---，因为 212t t <≤，8<p ，即有 0)41)((212121≤---=-t t p t t y y ，所以t p t y 4-+=在[2，)∞+内递增． 故 2242pp y =-+≥ 所以 当8≥p 时，42min -=p y ，无最大值； 当8<p 时，2min py =，无最大值． 例8：求函数x x y 21-+=的最值．解析：设x t 21-= (0≥t )，则由原式得11)1(212≤+--=t y 当且仅当1=t 即0=x 时取等号．故1max =y ，无最小值． 例9：已知20≤≤a ,求函数))(cos (sin a x a x y ++=的最值．解析：2)cos (sin cos sin a x x a x x y +++= 令t x x =+cos sin则 22≤≤-t 且21cos sin 2-=t x x ，于是]1)[(2122-++=a a t y当2=t 时，2122max ++=a a y ；当a t -=时，)1(212min -=a y ． 注意：若函数含有x x cos sin 和x x cos sin +，可考虑用换元法解．(二)三角代换法(有时也称参数方程法)例10：已知x 、y R ∈，4122≤+≤y x ．求22y xy x u ++=的最值．解析：设θcos t x =，θsin t y =，(t 为参数)因 4122≤+≤y x ，故 412≤≤t)2sin 211()sin sin cos (cos 2222θθθθθ+=++=∴t t u故当42=t 且12sin =θ时，6max =u ；当12=t 且12sin -=θ时，21max =u ． 例11：实数x 、y 适合：545422=+-y xy x ，设22y x S +=，则max1S +min1S =____解析：令αcos S x =，αsin S y =，则5sin cos 54=-ααS Sααα2sin 2545cos sin 545-=-=S 当12sin =α时，3102545max =-=y ；当12sin -=α时，13102545min =+=y ．所以58101310311minmax=+=+S S ． 例12：求函数x x a y )(22-= (a x ≤||)的最值．解析：令αcos a x =，则ααααcos sin cos sin2322a a a y =⋅=又令ααcos sin 2=t ，则ααααα222242cos 2sin sin 21cos sin ⋅⋅==t 274)3cos 2sin sin (213222=++≤ααα932932≤≤-∴t 即有 33932932a y a ≤≤-所以3max 932a y =，3min 932a y -= 注意：利用重要不等式时，要满足“一正二定三相等”例13：已知x 、y R ∈且x y x 62322=+，求y x +的最值．解析：化x y x 62322=+为123)1(22=+-y x ，得参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=θθsin 26cos 1y x)sin(2101sin 26cos 1ϕθθθ++=++=+∴y x 故 2101)(max +=+y x ，2101)(min -=+y x ． (三)均值换元法例14：已知1=+b a ，求证：44b a +的最小值为81． 解析：由于本题中a 、b 的取值范围为一切实数，故不能用三角换元，但根据其和为１，我们可以令t a +=21，t b -=21，(R t ∈)，则 222222222244)21()21(2])21()21[(2)(t t t t b a b a b a -+--++=-+=+2222)41(2)221(t t --+=)281()4241(4242t t t t +--++=81238142≥++=t t∴44b a +的最小值为81．在0=t 即21==b a 时取等号四、三角函数有界法对于R x ∈，总有1|sin |≤x ，1|cos |≤x 例15：求函数x x y 2cos 22sin -=的最值． 解析：1)42sin(212cos 2sin cos 22sin 2--=--=-=πx x x x x y因为 1|)42sin(|≤-πx ，故当1)42sin(=-πx 时，12max -=y ；当1)42sin(-=-πx 时，12min --=y ． 五、均值不等式法例16：在任意三角形内求一点，使它到三边之积为最大．解析：设三角形的三边长分别为a 、b 、c ，面积为S ，三角形内一点P 到三边的距离分别为x 、y 、zS cz by ax 2=++ (定值) 3)3(cz by ax cz by ax ++≤⋅⋅∴即 abcS xyz 2783≤ (cz by ax ==时取等号)因此，当此点为三角形的重心时(这时PAB ∆、PBC ∆、PAC ∆面积相等)，它到三边之积为最大．例17：有矩形的铁皮，其长为30cm ，宽为14cm ，要从四角上剪掉边长为x cm 的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x 为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？解析：依题意，矩形盒子底边长为)230(x - cm ，底边宽为)214(x - cm ，高为x cm ．∴盒子容积x x x x x x x V )7)(15(4)214)(230(--=--＝ (显然：015>-x 、07>-x 、0>x )设x bx b ax a abV )7)(15(4--=0(>a ，)0>b 要用均值不等式．则 ⎩⎨⎧=-=-=+--xbx b ax a b a 71501 解得：41=a ，43=b ，3=x ．从而 576)43421)(4415(364≤--=x xx V 故矩形盒子的最大容积为576 3cm ． 也可：令bx x ax a ab V )7)(15(4--=或bx ax a x abV )7)(15(4--= 注意：均值不等式应用时，要注意等号成立的条件(一正二定三相等)，当条件不满足时要灵活运用拆项、凑项、凑系数、平方等技巧凑配系数，适当时可以用待定系数法来求． 例18：已知1sin sin sin222=++γβα(α、β、γ均为锐角)，那么γβαcos cos cos 的最大值等于__________解析：因α、β、γ均为锐角，所以γβαcos cos cos γβα222cos cos cos =962)3sin 1sin 1sin 1()3cos cos cos (32223222=-+-+-=++≤γβαγβα 当且仅当31sin sin sin 222===γβα时取等号，故γβαcos cos cos 的最大值为962． 例19：求函数x b x a y 22cos sin +=的最小值(a 、b +∈R )． 解析： xbx a y 22sin sin +=x x ab b a x b b x a a 2222cot tan 2tan cot ++≥+++= ab b a 2++=当且仅当x btg x actg 22= 即 bax tg =2时，函数y 取得最小值ab b a 2++ 六、单调性法(一)利用若干次“≥”(或“≤”)求函数的最值 例20：求函数x x y cos 1sin 1+=在0(，)2π内的最小值． 解析：222sin 22cos sin 2cos sin cos sin cos 1sin 1≥=≥+=+=xx x x x x x x x y 当4π=x 时，x x cos sin =，12sin =x ．上式中的两个 “≥”中的等号同时成立，所以22≥y 是 “精确的”不等式．因而 22min =y另：此题还可用换元x x t cos sin +=以及函数单调性来判断 (二)形如xba x y +=的函数的最值 (1) 0>a ，0>b 时，函数在-∞(，ab -］内递增，在ab -[，)0内递减， 在0(，ab ］内递减，在ab [，)∞+内递增． (2) 0<a ，0<b 时，函数在-∞(，ab -］内递减，在ab -[，)0内递增， 在0(，ab ］内递增，在ab [，)∞+内递减． (3) 0<a ，0>b 时，函数在-∞(，)0内递减，在0(，)∞+内递减． (4) 0>a ，0<b 时，函数在-∞(，)0内递增，在0(，)∞+内递增．例21：求函数xx x x y 2222cos sin 161cos sin 4+=的最值．解析：函数x x x x y 2222cos sin 161cos sin 4+=xx 2sin 412sin 22+=令x t 2sin 2=，则0[∈t ，]1，于是 t t y 41+=在0(，]21内递减，在21[，]1内递增．所以当21=t ，即81cos sin 22=x x 时，1min =y ；无最大值．例22：求函数xxx y sin 1cos sin 22+-=的最大值．解析：y )1sin 2()1(sin 1sin 2)1(sin 1sin 1sin 2sin 22+-++=+-+=+-+=x x x x x x x 令t x =+1sin ，则20≤<t ，函数tt y 2-+=在0(，)∞+内递增．所以在0(，]2内也是递增的．当2=t ，即1sin =x 时，1max =y ． 七、平方开方法例23：已知a 、b 是不相等的正数，求函数++=x b x a y 22sin cos xb x a 22cos sin +的最值．解析：因a 、b 是不相等的正数，x cos 与x sin 不能同时为０，故0>y ．ab x b a b a y +-++=∴2sin 4)(2222当12sin 2=x 时，)(2max 2b a y +=，)(2max b a y +=当02sin 2=x 时，ab b a y 2min 2++=，b a y +=min八、数形结合法有些代数和三角问题，若能借助几何背景和几何直观而求其最值，常能受到直观明快，化难为易的功效． 例24：求函数6cos 31sin 4--=x x y 的最值．解析：将函数式变形为)2(cos 3)41(sin 4--=x x y ，只需求函数2cos 41sin --=x x u 的最值． 把u 看成两点2(A ，)41，x B (cos ，)sin x 连线的斜率，(B 即为单位圆上的点)， 则当直线AB 为单位圆的切线时，其斜率为最大或最小．设过A 点的单位圆的切线方程为)2(41-=-x k y ，即 0241=-+-k y kx ． 则圆心到切线的距离为11|241|2=+-k k ，解得：431=k ，1252-=k ．从而函数 最大值为14334max =⨯=y ；最小值为95)125(34min -=-⨯=y ． 九、利用二次函数的性质例25：设0>x ，0≥y 且212=+y x ，求当x 、y 为何值时，)148(log 231++=y xy u 取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值． 解析：由212=+y x ，得y x 221-= )1412(log ]14)221(8[log 231231++-=++-=∴y y y y y u由0>x ，0≥y 且212=+y x 可得410<≤y ，从而34141212≤++-≤y y (当0=y 时左边取“=”号，61=y 时右边取“＝”号)，由对数函数的图象及其性质，即当61=x 、61=y 时，)34(log 31min =u ；当21=x 、0=y 时，0max =u ．例26：求函数x x y 2cos 2cos 3--=的最值．解析：81)43(cos 21cos 32cos 2+--=-+-=x x x y要使y 有意义，必须有1cos 32cos -+-x x 0≥，即1cos 21≤≤x ． 故 当43cos =x 时，4281max ==y ；当21cos =x (或1)时，0min =y . 例27：求函数x x m y 2cos sin 42--=的最值．解析：22221)(sin 2)sin 21(sin 42m m x x x m y -+-=---= 因为1|sin |≤x ，结合二次函数图象及其性质：当-∞∈(m ，]1-时，m y 43max -=，m y 43min +=． 当1[-∈m ，]0时，m y 43max -=，2min 21m y -=． 当0[∈m ，]1时，m y 43max +=，2min 21m y -=． 当1[∈m ，)∞+时，m y 43max +=，m y 43min -=． 十、放缩法例28：若a 、b 、+∈R c ，且3=++c b a ，则111+++++c b a 的最大值是（ ）解析：2322)1(21+=++≤⋅+a a a同理，2321+≤⋅+b b ，2321+≤⋅+c c ． 三式相加，6232323212121=+++++≤⋅++⋅++⋅+c b a c b a 即23111≤+++++c b a当且仅当2111=+=+=+c b a 即1===c b a 时取等号．十一、导数法例29：求函数3)(23+-+=x x x x f 在]3,3[-上的最值解析：0)1)(13(123)(2/=+-=-+=x x x x x f ，得131-==x x 或 27222)31(=f ，4)1(=-f ，12)3(-=-f ，36)3(=f 所以函数最大值为36，最小值为12-注意：要求三次及三次以上的函数的最值，以及利用其他方法很难求的函数的最值，通常都用该方法，导数法往往就是最简便的方法，应该引起足够重视． 例30：求函数x x x f -+-=612)(的最值 解析：函数的定义域为]6,1[,xx x f ---=62111)(/510)(/<<⇔>x x f ；650)(/<<⇔<x x f ，又)(x f 是]6,1[上的连续函数故有)(x f 在]5,1[上递增，在]6,5[上递减．5)1(=f ，5)5(=f ，52)6(=f 故函数最大值为5，最小值为5当然，解最值问题的方法远远不止这些，例如，还有复合函数法，反函数法等等，这里只是对求最值问题的方法作一个部分的归纳．就是一道题目里面，有时也是几种方法并用，如例7就用到了换元法和单调性法，例12就用到了三角换元法和重要不等式法，例17用导数法甚至更为简单．解函数的最值问题，关键还在具体问题，具体分析，具体处理．。
求函数值域的几种常见方法
求函数值域的几种常见方法函数的值域可以定义为函数的输出或结果的集合。
确定一个函数的值域有几种常见的方法，包括图像法、符号法和算法法。
下面将详细介绍这些方法。
一、图像法图像法是通过绘制函数的图像来确定函数的值域。
要使用图像法确定函数的值域，需要遵循以下步骤：1.根据函数的定义确定函数的自变量的取值范围。
通常需要考虑定义域和边界条件。
2.绘制函数的图像。
可以使用图表、软件或手工绘制。
3.根据图像确定函数的值域。
值域是函数图像上所有可能的输出值的集合。
可以观察图像找出最大值、最小值和其他可能的取值。
注意：图像法仅适用于可视化的函数。
对于复杂函数，可能需要使用其他方法来确定值域。
二、符号法符号法是利用函数的数学特性和符号来确定函数的值域。
符号法可以分为以下几种情况：1.对于代数函数，可以通过感性地观察含有未知数的表达式中的符号来确定函数的值域。
例如，对于一个二次函数，通过观察二次项系数的符号可以确定函数的开口方向和最值的取值。
2.对于三角函数，可以使用周期性和界限来确定函数的值域。
例如，对于正弦函数，它的值域在[-1,1]之间。
3.对于指数函数和对数函数，可以使用指数和对数的性质来确定函数的值域。
例如，指数函数的值域在(0,+∞)，对数函数的值域在(-∞,+∞)。
三、算法法算法法是通过算法或计算来确定函数的值域。
算法法常用于分段函数、复合函数和隐函数等情况。
以下是一些常见的算法法：1.对于分段函数，可以将定义域分成若干个区间，然后通过分析每个区间的函数表达式来确定函数的值域。
2.对于复合函数，可以从内层函数开始，将结果代入外层函数，逐步计算并确定函数的值域。
3.对于隐函数，可以通过假设一组函数值，然后解方程组，将解代入隐函数表达式来确定函数的值域。
注意：算法法可能需要进行大量的计算和推理，适用于复杂函数，但可能会带来较高的计算复杂性。
同时，算法法可能无法找到确切的值域，只能给出一个估计或范围。
总结：函数的值域可以通过图像法、符号法和算法法来确定。
例说求函数值域的十种基本方法
例说求函数值域的十种基本方法1、利用非负数的性质根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。
例1、(1)求函数216x y -=的值域。
(2)求函数1322+-=x x y 的值域。
解析：(1)161602≤-≤x ， 41602≤-≤∴x故 所求函数的值域为 []40，∈y 。
(2)012>+x ，∴原函数可化为 3)1(22-=+x x y ，即 3)1(2+=-y y x ， 当1≠y 时，y y x -+=132， 02≥x ，013≥-+∴yy ，解得13≤≤-y 又 1≠y ， 所以 13<≤-y ，故 所求函数的值域为 ），13[-∈y 。
2、利用函数的图象对于含有绝对值（或分段）函数，若函数图象比较易作出，则利用函数图象能较快的求出其值域。
例2、求函数|1||2|+--=x x y 的值域。
解析：去掉绝对值符号得 ：⎪⎩⎪⎨⎧-<=++-≤≤-+-=+-->=+--=)1(3)1(2)21(12)1(2)2(3)1(2x x x x x x x x x x y 。
画出函数的图象（如图）：由函数的图象可得，原函数的值域为]33[，-∈y 。
3、利用二次函数的性质对于二次函数或与二次函数相关的函数，在求其值域时常用此法。
例3、(1)求函数]22[2，，-∈+-=x x x y 的值域。
(2)求函数]231[27，，∈-=x x x y 的值域。
解析：(1)41)21(22+--=+-=x x x y ，]22[，-∈x ，416≤≤-∴y 故 所求函数的值域为 ]416[，-∈y(2)849)471(2722727222+--=+-=-=-=x x xx x x x y ， ]231[，∈x ，4273≤≤∴y 解得：, 故 所求函数的值域为 ]4273[，∈y 。
4、利用互为反函数的性质因为原函数的值域与其反函数的定义域相同，所以可由求其反函数的定义域来确定原函数的值域。
十一种类型的三角函数最值问题(附题目详解)
十一种类型的三角函数最值问题1.利用三角函数的有界性求最值利用正弦函数、余弦正数的有界性：∣sinx ∣≤1,∣cosx ∣≤1,可求形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(Asin(ωx+φ)(A ≠0, φ≠0)的函数最值.例:已知函数y=12 cos 2x+32 sinxcosx+1,x ∈R,当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合.2.反函数法 例:求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域[分析] 此为dx c bx a y -+=cos cos 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，先用反解法，再用三角函数的有界性去解。
3.配方法—---转化为二次函数求最值例：求函数y=f(x)=cos 22x-3cos2x+1的最值.4.引入辅助角法y=asinx+bcosx 型处理方法：引入辅助角ϕ ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。
Y=asin 2x+bsinxcosx+mcos 2x+n 型亦可以化为此类。
例：已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。
[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解。
5. 利用数形结合 例： 求函数y xx=+s in c o s 2的最值。
解：6、换元法例：若0<x<2π，求函数y=(1+1sinx )(1+1cosx )的最小值.7. 利用函数在区间内的单调性8. 例： 已知()π,0∈x ，求函数xx y sin 2sin +=的最小值。
[分析] 此题为xax sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。
求函数值域十种常见求法总结
函数值域方法归纳1．常见函数的值域．（1）一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R ．（2）二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， 当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦． （3）反比例函数()0k y k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠． （4）指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >． （5）对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R ．（6）正，余弦函数的值域为[]1,1-，正切函数的值域为R ．2．求函数值域（最值）的常用方法．一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数）1、求y=|x+2|+3的值域．2、求函数y =的值域． 二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域）1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域．2、若,42=+y x 0,0>>y x ，试求xy 的最大值。
三、反表示法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型）1、求函数12+=x x y 的值域． 2、求函数2241x y x +=-的值域．四、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式，再利用判别式加以判断）1、求函数2122x y x x +=++的值域．2、求函数3274222++-+=x x x x y 的值域五、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用三角代换）等）1、求函数的值域①y x =+x x y 41332-+-=．2.求函数y=cos2x-sinx+3的值域。
六、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域）1、求函数13y x x =-+-的值域。
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函数值域求法十一种 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x1y的值域。 解：∵0x
∴0x1 显然函数的值域是：),0()0,(
例2. 求函数x3y的值域。 解：∵0x 3x3,0x 故函数的值域是：]3,[
2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数]2,1[x,5x2xy2的值域。 解：将函数配方得：4)1x(y2 ∵]2,1[x 由二次函数的性质可知：当x=1时，4ymin，当1x时，8ymax 故函数的值域是：[4，8]
3. 判别式法 例4. 求函数22x1xx1y的值域。 解：原函数化为关于x的一元二次方程 0x)1y(x)1y(2 （1）当1y时，Rx 0)1y)(1y(4)1(2
解得：23y21 （2）当y=1时，0x，而23,211 故函数的值域为23,21 例5. 求函数)x2(xxy的值域。 解：两边平方整理得：0yx)1y(2x222（1） ∵Rx ∴0y8)1y(42 解得：21y21 但此时的函数的定义域由0)x2(x，得2x0 由0，仅保证关于x的方程：0yx)1y(2x222在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0
求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为23,21。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵2x0 0)x2(xxy 21y,0ymin代入方程（1）
解得：]2,0[22222x41 即当22222x41时， 原函数的值域为：]21,0[ 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
4. 反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例6. 求函数6x54x3值域。 解：由原函数式可得：3y5y64x 则其反函数为：3x5y64y，其定义域为：53x 故所求函数的值域为：53, 5. 函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
例7. 求函数1e1eyxx的值域。 解：由原函数式可得：1y1yex ∵0ex
∴01y1y 解得：1y1 故所求函数的值域为)1,1(
例8. 求函数3xsinxcosy的值域。 解：由原函数式可得：y3xcosxsiny，可化为：
y3)x(xsin1y2
即1yy3)x(xsin2 ∵Rx ∴]1,1[)x(xsin
即11yy312 解得：42y42 故函数的值域为42,42 6. 函数单调性法 例9. 求函数)10x2(1xlog2y35x的值域。 解：令1xlogy,2y325x1 则21y,y在[2，10]上都是增函数 所以21yyy在[2，10]上是增函数 当x=2时，8112log2y33min 当x=10时，339log2y35max
故所求函数的值域为：33,81 例10. 求函数1x1xy的值域。 解：原函数可化为：1x1x2y 令1xy,1xy21，显然21y,y在],1[上为无上界的增函数 所以1yy，2y在],1[上也为无上界的增函数
所以当x=1时，21yyy有最小值2，原函数有最大值222 显然0y，故原函数的值域为]2,0(
7. 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例11. 求函数1xxy的值域。 解：令t1x，)0t( 则1tx2
∵43)21t(1tty22 又0t，由二次函数的性质可知 当0t时，1ymin 当0t时，y 故函数的值域为),1[
例12. 求函数2)1x(12xy的值域。 解：因0)1x(12 即1)1x(2 故可令],0[,cos1x ∴1cossincos11cosy2 1)4sin(2
∵4540,0
211)4sin(201)4sin(22
故所求函数的值域为]21,0[ 例13. 求函数1x2xxxy243的值域。 解：原函数可变形为：222x1x1x1x221y 可令tgx，则有2222cosx1x1,2sinx1x2 4sin412cos2sin21y
当82k时，41ymax 当82k时，41ymin 而此时tan有意义。
故所求函数的值域为41,41
例14. 求函数)1x)(cos1x(siny，2,12x的值域。 解：)1x)(cos1x(siny 1xcosxsinxcosxsin
令txcosxsin，则)1t(21xcosxsin2 22)1t(211t)1t(21y
由)4/xsin(2xcosxsint
且2,12x 可得：2t22 ∴当2t时，223ymax，当22t时，2243y 故所求函数的值域为223,2243。 例15. 求函数2x54xy的值域。 解：由0x52，可得5|x| 故可令],0[,cos5x
4)4sin(10sin54cos5y ∵0
4544
当4/时，104ymax 当时，54ymin 故所求函数的值域为：]104,54[
8. 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例16. 求函数22)8x()2x(y的值域。
解：原函数可化简得：|8x||2x|y 上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），)8(B间的距离之和。 由上图可知，当点P在线段AB上时，10|AB||8x||2x|y 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，10|AB||8x||2x|y 故所求函数的值域为：],10[
例17. 求函数5x4x13x6xy22的值域。 解：原函数可变形为： 2222)10()2x()20()3x(y
上式可看成x轴上的点)0,x(P到两定点)1,2(B),2,3(A的距离之和， 由图可知当点P为线段与x轴的交点时，
43)12()23(|AB|y22min，
故所求函数的值域为],43[
例18. 求函数5x4x13x6xy22的值域。 解：将函数变形为：2222)10()2x()20()3x(y 上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点)1,2(B到点)0,x(P的距离之差。 即：|BP||AP|y 由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点'P，则构成'ABP，根据三角形两边之差小于第三边，有
26)12()23(|AB|||'BP||'AP||22 即：26y26 （2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有26|AB|||BP||AP|| 综上所述，可知函数的值域为：]26,26(
注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。 如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），)1,2(，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），)1,2(，在x轴的同侧。
9. 不等式法 利用基本不等式abc3cba,ab2ba3)Rc,b,a(，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例19. 求函数4)xcos1x(cos)xsin1x(siny22的值域。 解：原函数变形为：
52xcotxtan3xcotxtan3xsecxces1xcos1xsin1)xcosx(siny22322222222
当且仅当xcotxtan 即当4kx时)zk(，等号成立 故原函数的值域为：),5[
例20. 求函数x2sinxsin2y的值域。 解：xcosxsinxsin4y xcosxsin42
2764]3/)xsin22xsinx[(sin8)xsin22(xsinxsin8xcosxsin16y322222224
当且仅当xsin22xsin22，即当32xsin2时，等号成立。 由2764y2可得：938y938 故原函数的值域为：938,938 10. 一一映射法 原理：因为)0c(dcxbaxy在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。
例21. 求函数1x2x31y的值域。