江苏省2013年高考南通学科基地数学秘卷 模拟试卷4 Word版
江苏省南通市高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(四)有答案
AB =________． 的虚部是________4．一支田径队有男运动员28人，女运动员21人，现按性别用分层抽样的方法，从中抽取14位运动员进行健康检查，则男运动员应抽取________．5．执行如右图所示的程序框图，若输出s 的值为16，那么输入的n 值等于________．6．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则其中恰有一个红球的概率是________． 7．等差数列{}n a 中，若357911100a a a a a ++++=，则9133a a -=________．8．将函数()sin2cos2f x x x =+的图像向右平移ϕ个单位（0ϕ>），可得函数()sin2cos2g x x x =-的图像，则ϕ的最小值为________．9．已知圆锥的底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥母线的长度取最小值时，该圆锥的体积为________． 10．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，4AC =，2BC =，D 是BC 的中点，E 是AB 的中点，P 是ABC △（包括边界）内任一点．则AD EP 的取值范围是________．11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，在(0,2]上是增函数，且(4)()f x f x -=-，给出下列结论： ①若1222x x -<<<且120x x +>，则12()()0f x f x +>；②若1204x x <<<且125x x +=，则12()()f x f x >；③若方程()f x m =在[8,8]-内恰有四个不同的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则12348x x x x +++=-或8； ④函数()f x 在[8,8]-内至少有5个零点，至多有13个零点； 其中正确的结论的个数是________个．12．已知函数()f x 满足1()2()f x f x =，当[1,3]x ∈时，()ln f x x =，若在区间1[,3]3上，函数()()g x f x ax =-恰有一个零点，则实数a 的取值范围是________．13．设P 是圆M ：22()(55)1x y -+-=上的动点，它关于()9,0A 的对称点为Q ，把P 绕原点依逆时针方向旋转90到点S ，则||SQ 的取值范围为________．14．如图，在数轴上截取与闭区间[0,4]对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）．那么原闭区间[0,4]上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后（1n ≥），恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标组成的集合是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A B =，sin 3B =． （1）求cos A 及sinC 的值； （2）若2b =，求ABC △的面积． 16．（本小题满分14分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=，平面11AA B B ⊥平面11BB C C ．（1）求证：11B C AC ⊥；（2）设点E ，F 分别是B 1C ，AA 1的中点，试判断直线EF 与平面ABC 的位置关系，并说明理由．17．（本小题满分14分）已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．（1）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P 是多少元？（2）设该厂x 天购买一次配料，求该厂在这x 天中用于配料的总费用y （元）关于x 的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？ 18．（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，短轴端点到焦点的距离为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点A ，B 是椭圆C 上的任意两点，O 是坐标原点，且OA OB ⊥；①求证：存在一个定圆，使得直线AB 始终为该定圆的切线，并求出该定圆的方程； ②若点O 为坐标原点，求AOB △面积的最大值． 19．（本小题满分16分） 已知曲线C ：1xy =，117x =过C 上一点(,)n n n A x y 作一斜率12n n k x =-+的直线交曲线C 于另一点，111(,)n n n A x y +++．（1）求n x 与1n x +之间的关系式； （2）求证：数列11{}23n x +-是等比数列，并求数列{}n x 的通项公式； （3）求证：23*123(1)(1)(1)...(1)1()n n x x x x n -+--+-<∈N ．20．（本小题满分16分）已知函数2()1(1)ln ()f x x a x x a =----∈R ． （1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()()1g x f x x =-+既有一个极小值和又有一个极大值，求a 的取值范围； （3）若存在(1,2)b ∈，使得当(0,]x b ∈时，()f x 的值域是[(),)f b +∞，求a 的取值范围． 注：自然对数的底数 2.71828...e =．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．A ，（选修4-1；几何证明选讲）如图，已知AB 切圆O 于点B ，BC 是圆O 的直径，AC 交圆O 于点D ，DE 是圆O 的切线，CE DE ⊥于E ，3DE =，4CE =，求AB 的长．B ．（选修4-2：矩阵与变换）求将曲线2y x =绕原点逆时针旋转90后所得的曲线方程．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合．若曲线C 1的方程为πsin()06ρθ-+=，曲线C 2的参数方程为cos sin x y θ,θ.=⎧⎨=⎩（1）将C 1的方程化为直角坐标方程；（2）若点Q 为C 2上的动点，P 为C 1上的动点，求||PQ 的最小值． D ．（选修4-5：不等式选讲）设函数()|21||2|f x x x =+--． （1）求不等式()2f x >的解集； （2）若x ∀∈R ，211()2f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围． 【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分．22．设A ，B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的只数多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A 有效的概率为23，服用B 有效的概率为12． （1）求一个试验组为甲类组的概率；（2）观察三个试验组，用X 表示这三个试验组中甲类组的个数，求X 的分布列和数学期望．23．用数学归纳法证明：224n n nn C <<，其中2n ≥，n ∈N ．15．解：（1）∵2A B=，∴2cos cos21sinA B B==-．∵sin3B=，∴11cos1233A=-⨯=．由题意可知，π(0,)2B∈．∴cos B sin sin22sin cosA B B B===∴sin sin[π()]sin()sin cos cos sinC A B A B A B A B=-+=+=+（2）∵sin sinb aB A=，2b==，∴a=．16．解：（1）连接BC1．在正方形ABB1A1中，1AB BB⊥．因为平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，11111AA B B BB C C BB =平面平面，11AB ABB A ⊂平面，所以11B B C A B C ⊥平面．因为111B C C B B C ⊂平面，所以1AB B C ⊥ 在菱形11BB C C 中，．11BC B C ⊥因为11B C ABC ⊂平面，1AB ABC ⊂平面，1B C AB B =，所以11B C ABC ⊥平面．因为11AC ABC ⊂平面，所以11B C AC ⊥．（2）EF ABC ∥平面，理由如下：取BC 的中点G ，连接GE ，GA ．因为E 是B 1C 的中点， 所以1GE BB ∥，且112GE BB =． 因为F 是AA 1的中点，所以112AF AA =． 在正方形ABB 1A 1中，11AA BB ∥，11AA BB =． 所以GE AF ∥，且GE AF =． 所以四边形GEF A 为平行四边形． 所以EF GA ∥．因为EF ABC ⊄平面，GA ABC ⊂平面， 所以EF ABC ∥平面．17．解：（1）当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用700.03200(12)88P =+⨯⨯+=（元）． （2）（1）当7x ≤时36010236370236y x x x =++=+（2）当7x >时2[(7)360236706(6)21332143]2y x x x x x =++++-+⋯⋯++=++-∴2370236,73321432,7x x y x x x +≤⎧=⎨++>⎩∴设该厂x 天购买一次配料平均每天支付的费用为()f x 元．2370236,7()3321432,7x x xf x x x x x +⎧≤⎪⎪=⎨++⎪>⎪⎩．当7x ≤时236()370f x x =+当且仅当7x =时()f x 有最小值28264047≈（元）当7x >时23321432144()3(333219)x x f x x x x++==≥++．当且仅当12x =时取等号．∴所求椭圆方程为2214x y +=．（2）①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x =，原点O 到直线AB ， 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由2214m y y kx x ==+⎧+⎪⎨⎪⎩，得：222(14)8440k x kmx m +++-=，2216(14)0k m ∆=+->，122814km x x k+=-+，21224414m x x k -=+， 由2212122544014m k OA OB x x y yk --=+==+，得224(1)5m k =+， ∴原点O 到直线AB的距离d ===， 综上所述，原点O 到直线AB ；即该定圆方程为2245x y +=． ②当直线AB 的斜率不存在时AB =，当直线AB的斜率存在时，12|||AB x x =-= 当0k ≠时，||AB =12K =±时等号成立． 当0k =时，||AB =||AB 1255125=．19．解：（1）直线方程为1()2n n n y y x x x -=--+，因为直线过点111(,)n n n A x y +++， ∴111111111()()222n n n n n n n n n n n n n y y x x x x x x x x x x x +++++-=--⇒-=--⇒=+++． （2）设1123n n a x =+-，由（1）得 111111112()22233232n n n n n na a x x x x ++=+=+=-+=-+---又120a =-≠，故11{}23n x +-是等比数列； 1(2)21(2)3n n n n a x =-⇒=+--．（3）由（2）得∴1(1)(1)212(1)3n n n nnx -=-+--当n 为偶数时，则11111111222211(1)(1)11222222239n n n n n nn n n n n n n n n x x --------++-+-=<=++-∴2312321111(1)(1)(1)...(1) (112222)n n n n x x x x -+-+-++-<+++=-<；当n 为奇数时，则23123(1)(1)(1)...(1)1(1)n n n n x x x x x -+-+-++-<+- 而120123n n x =->+，所以1(1)11n n n x x +-=-<∴23123(1)(1)(1)...(1)1n n x x x x -+-+-++-<综上所述，当*n ∈N 时，23123(1)(1)(1)...(1)1nn x x x x -+-+-++-<成立．20．解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞．当0a =时，11()1x f x x x-'=-=．()001f x x '<⇔<<；()01f x x '>⇔>． 所以，函数()f x 的增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1)．（2）2()(1)ln g x a x x =---，则21221()2(1)ax ax g x a x x x-+'=---=-．令2()221(0)h x ax ax x =-+>，若函数()g x 有两个极值点，则方程()0h x =必有两个不等的正根，设两根为x 1，x 2．于是2121220480,10,10.2a a a x x x x a ≠⎧⎪∆=->⎪⎪⎨+=>⎪⎪=>⎪⎩解得2a >．当2a >时，()0h x =有两个不相等的正实根，设为x 1，x 2，不妨设12x x <， 则122()()()()a x x x x h x g x x x--'=-=-． 当10x x <<时，()0h x >，()0g x '<，()g x 在1(0,)x 上为减函数； 当12x x x <<时，()0h x <，()0g x '>，()g x 在12(,)x x 上为增函数； 当2x x >时，()0h x >，()0g x '<，函数()g x 在2(,)x +∞上为减函数．由此，1x x =是函数()g x 的极小值点，2x x =是函数()g x 的极大值点．符合题意． 综上，所求实数a 的取值范围是(2,)+∞．（3）212(21)1(1)(21)()12(1)ax a x x ax f x a x x x x-++--'=---=-=-①当0a ≤时，210ax x-<．当01x <<时，()0f x '<，()f x 在(0,1)上为减函数； 当1x >时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上为增函数．所以，当(0,](12)x b b ∈<<时，min ()(1)0()f x f f b ==<，()f x 的值域是[0,)+∞． 不符合题意．②当0a >时，12(1)()2()a x x a f x x--'=-．（i ）当112a <，即1a >时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下：若满足题意，只需满足1()(2)2f f a>，即21111(1)ln 1ln2222a a a a a ---->--． 整理得11ln2ln21()42a a a ++-≥．令11()ln2ln21()42F a a a a =++-≥，当12a >时，221141()044a F a a a a -'=-=>，所以()F a 在1(,)2+∞上为增函数，所以，当12a >时，111()()ln20222F a F >=->=．可见，当12a >时，1()(2)2f f a >恒成立，故当12a >，(0,](12)x b b ∈<<时，函数()f x 的值域是[(),)f b +∞；所以12a >满足题意．（ⅱ）当112a =，即12a =时，2(1)()0x f x x -'=-≤，当且仅当1x =时取等号． 所以()f x 在(0,)+∞上为减函数．从而()f x 在(0,]b 上为减函数．符合题意．（ⅲ）当112a >，即1a <<时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表： 若满足题意，只需满足(2)(1)f f <，且122a <（若122a≥，不符合题意）， 即1ln2a >-，且14a >． 又11ln24->，所以1ln2a >-．此时，11ln22a -<<．综上，1ln2a >-．所以实数a 的取值范围是(1ln2,)-+∞．21．A ．连接OD ，∵DE 是圆O 的切线，∴OD DE ⊥，又∵CE DE ⊥于E ，∴OD CE ∥， ∴ECD ODC OCD ∠=∠=∠，∵3DE =，4CE =，∴5CD =，∴3tan tan tan 4ECD ODC OCD ∠=∠=∠=，∴4cos 5OCD ∠=，故25cos 4CD BC OCD ==∠，故75tan 16AB BC OCD =∠=． B ．由题意得旋转变换矩阵cos90sin900110sin90cos90M ⎡⎤--⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 设00(,)P x y 为曲线2y x =上任意一点，变换后变为另一点(,)x y ，则000110x x y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即00,,x y y x =-⎧⎨=⎩所以00,,y x x y =-⎧⎨=⎩又因为点P 在曲线2y x =上，所以200y x =，故2()x y -=， 即2x y =为所求的曲线方程．C ．（1）由已知得31sin cos 2302ρθρθ-+，即0x -． （2）由C 2得221x y +=，所以圆心为2(0,0)C ，半径为1．又圆心到直线C 1的距离为d =||PQ 的最大值为1．D ．(1)不等式()2f x >可化为22122x x x >⎧⎨+-+>⎩或1222122x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++->⎩或122122x x x ⎧<-⎪⎨⎪--+->⎩， 解得5x <-或1x >，所以所求不等式的解集为{|51}x x x <->或．(2)因为3,21()|21||2|31,2213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪+>⎪⎪=+--=--≤≤⎨⎪⎪--<-⎪⎩，可得5()2f x ≥-， 若x ∀∈R ，211()2f x t t ≥-恒成立，则211522t t -≤-，解得152t ≤≤． 22．设Ai 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，0,1,2i =；Bi 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，0,1,2i =．依题意，有112423()39P A ⨯⨯=＝， 222433()9P A ==⨯， 0111()224P B =⨯=， 1111()2222P B =⨯⨯=．故所求的概率为010212)1414144(()()4949299P P B A P B A P B A =⨯+⨯+⨯=＝＋＋． （2）由题意知X 的可能值为0，1，2，3，故有 35125()()97290P X ===， 123451001()99243()P X C ⨯⨯===， 22345802()99243()P X C ⨯⨯===， 34643()9(7)29P X ===． 从而，X 的分布列为数学期望1251008064401237292432437293EX ⨯⨯+⨯⨯＝++=． 23．①当2n =时，22222264C ⨯<=<不等式成立． ②假设当n k =时，2264k k k k C <=<成立，则当1n k =+时由122(22)(21)2(1)2(21)(+1)(+1)(+1)(+1)(+1)k k k k k k C k k k k k k ++++⨯++===！！！！！！！！！11222222k k k k k k C C ++=>=>=，即11222k k k C +++<．11222122221222244441k k k k k k k k k k k k k C C C C C k +++++=<<=<=+， 因此1112224k k k k C ++++<<成立，即当1n k =+时，不等式成立， 所以，对2n ≥，n ∈N ，不等式224n n n n C <<恒成立．江苏省南通市2017年（数学学科基地命题）高考模拟数学试卷（四）解 析一、填空题1．∵A={x|-4<x<4}， B={-5，0，1}。
【备考2014】2013高考数学-(真题+模拟新题分类汇编)-选修4系列-文
选修4系列N1选修4-1 几何证明选讲21．N1[2013·江苏卷] A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图1－1所示，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC. 求证：AC ＝2AD.图1－1证明：联结OD ，因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ， 所以∠ADO＝∠ACB＝90°.又因为∠A＝∠A，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB ， 所以BC OD ＝AC AD.又BC ＝2OC ＝2OD. 故AC ＝2AD.N2[2013·江苏卷]B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝错误! 0,2)，B ＝1,0) 2,6)，求矩阵A －1B . 解：设矩阵A 的逆矩阵为a,c) b,d)， 则－1,0) 0,2)a,c) b,d)＝1,0) 0,1)． 即－a,2c) －b,2d)＝1,0) 0,1)， 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0,12)))．所以A－1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0,12)))1,0) 2,6)＝－1,0) －2,3)．N3[2013·江苏卷]C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)，试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标． 解：因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0. 同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2，2)，12，－1.N4[2013·江苏卷]D ．[选修4－5：不等式选讲]已知a≥b>0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b.证明：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b)＝2a(a 2－b 2)＋b(a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b)＝(a －b)(a ＋b)(2a ＋b)．因为a≥b>0，所以a －b≥0，a ＋b>0，2a ＋b>0.从而(a －b)(a ＋b)(2a ＋b)≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b. 22．N1[2013·辽宁卷] 选修4－1：几何证明选讲如图1－6，AB 为⊙O 直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，联结AE ，BE ，证明：(1)∠FEB＝∠CEB ；(2)EF 2＝AD·BC.图1－622．解：证明：(1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB 为⊙O 的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝π2.又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝π2，从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE 是公共边，得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF. 类似可证：Rt △ADE ≌Rt △AFE ，得AD ＝AF.又在Rt △AEB 中，EF⊥AB，故FE 2＝AF·BF.所以EF 2＝AD·BC.B ．N1[2013·陕西卷] (几何证明选做题)如图1－4所示，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知∠A＝∠C，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________．图1－46 [解析] 利用已知图形关系可得∠BCE＝∠PED＝∠BAP，可得△PDE∽△PEA，可得PE PA ＝PDPE ，而PD ＝2DA ＝2，则PA ＝3，则PE 2＝PA·PD＝6，PE ＝ 6.22．N1[2013·新课标全国卷Ⅰ] 选修4－1：几何证明选讲如图1－6，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D.(1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．图1－622．解：(1)联结DE ，交BC 于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE. 而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE ＝CE. 又因为DB⊥BE，所以DE 为直径，∠DCE＝90°， 由勾股定理可得DB ＝DC.(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB ＝DC ， 故DG 是BC 的中垂线，所以BG ＝32. 设DE 的中点为O ，联结BO ，则∠BOG＝60°， 从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°， 所以CF⊥BF，故Rt △BCF 外接圆的半径等于32. 13．N1[2013·天津卷] 如图1－2所示，在圆内接梯形ABCD 中，AB∥DC.过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E.若AB ＝AD ＝5，BE ＝4，则弦BD 的长为________．图1－213.152 [解析] 联结AC.由圆内接梯形的性质得，∠DCB＝∠ABE，∠DAB＋∠DCB＝180°，∠ABC＋∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠ABC，∠DAB＋∠ABE＝180°，又∵∠ADB ＝∠ACB，∴∠CAB＝∠DBA，又∠ADB＝∠ABD，∴∠BAC＝∠BCA，∴BC＝AB ＝5.由切割线定理得AE 2＝BE·EC＝4×(4＋5)＝36，由cos ∠ABE ＝－cos ∠DAB ，得－AD 2＋AB 2－BD 22AD ·AB ＝AB 2＋BE 2－AE 22AB ·BE，即－52＋52－BD 22×5×5＝52＋42－362×5×4，解之得BD ＝152.22．N1[2013·新课标全国卷Ⅱ] 选修4－1：几何证明选讲如图1－10，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC·AE＝DC·AF，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．图1－1022．解：(1)因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知BC FA ＝DCEA ，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°. 所以∠CBA＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．图1－11(2)联结CE ，因为∠CBE＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ， 由DB ＝BE ，有CE ＝DC.又BC 2＝DB·BA＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB·DA＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.15．N1[2013·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图1－3，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE⊥AC，垂足为E ，则ED ＝________．图1－315.212[解析] AB ＝3，BC ＝3AC ＝3＋9＝2 3，∵AB 2＝AE·AC，∴AE＝32.又∵tan ∠ACB ＝AB BC ＝33，∴∠ACB＝π6，故∠EAD＝π6.在△AED 中，由余弦定理得ED 2＝AE 2＋AD 2－2AE·AD cos∠EAD ＝34＋9－2×32×3cos π6＝214，故ED ＝212.N2 选修4-2 矩阵N3 选修4-4 参数与参数方程14．N3[2013·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．14.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数) [解析] 将曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θ化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，则其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ.(θ为参数)．11．N3[2013·湖南卷] 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为________．11．4 [解析] l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s ，即x －2y －1＝0，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1，即2x －ay －a ＝0.由两直线平行，得21＝－a －2≠－a－1，解得a ＝4.23．N3[2013·辽宁卷] 选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos θ－π4＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t∈R为参数)，求a ，b 的值．23．解：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4. 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（y －2）2＝4，x ＋y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为4，π2，2 2，π4.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)，故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1.所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.23．N3[2013·新课标全国卷Ⅱ] 选修4－4：坐标系与参数方程已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．23．解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α ，2sin 2α)，因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0<α<2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．C ．N3[2013·陕西卷] (坐标系与参数方程选做题)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t ，(t 为参数)的焦点坐标是________．(1，0) [解析] 由所给的曲线的参数方程化为普通方程为：y 2＝4x ，为抛物线，其焦点坐标为(1，0)．23．N3[2013·新课标全国卷Ⅰ] 选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．23．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0， 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.N4选修4-5 不等式选讲21．B12，N4[2013·湖北卷] 设a>0，b>0，已知函数f(x)＝ax ＋bx ＋1.(1)当a≠b 时，讨论函数f(x)的单调性；(2)当x>0时，称f(x)为a ，b 关于x 的加权平均数． (i)判断f(1)，fb a ，f b a 是否成等比数列，并证明f b a≤f ba； (ii)a ，b 的几何平均数记为G ，称2aba ＋b 为a ，b 的调和平均数，记为H.若H≤f(x)≤G，求x 的取值范围．21．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，f ′(x)＝a （x ＋1）－（ax ＋b ）（x ＋1）2＝a －b（x ＋1）2.当a ＞b 时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递增；当a ＜b 时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递减． (2)(i)计算得f(1)＝a ＋b 2＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＝2ab a ＋b ＞0，f ⎝⎛⎭⎪⎫b a ＝ab ＞0. 故f(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＝a ＋b 2·2ab a ＋b ＝ab ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，即 f(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫b a 2.① 所以f(1)，f ⎝⎛⎭⎪⎫b a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 成等比数列． 因a ＋b 2≥ab ，即f(1)≥f ⎝⎛⎭⎪⎫b a ，结合①得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤f ⎝⎛⎭⎪⎫b a . (ii)由(i)知f ba＝H ，fba＝G ，故由H≤f (x)≤G ， 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤f (x)≤f ⎝⎛⎭⎪⎫b a .② 当a ＝b 时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＝f(x)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫b a ＝a. 这时，x 的取值范围为(0，＋∞)；当a ＞b 时，0＜b a ＜1，从而ba＜b a ，由f(x)在(0，＋∞)上单调递增与②式，得ba≤x ≤ba，即x 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ba ，b a ；得b a ≤x ≤b a ，即x 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤b a ，b a . 24．N4[2013·辽宁卷] 选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x －a|，其中a>1.(1)当a ＝2时，求不等式f(x)≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f(2x ＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a 的值． 24．解：(1)当a ＝2时，f(x)＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x≤2，2，2<x<4，2x －6，x≥4.当x≤2时，由f(x)≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2<x<4时，f(x)≥4－|x －4|无解； 当x≥4时，由f (x)≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x≥5；所以f(x)≥4－|x －4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．(2)记h(x)＝f(2x ＋a)－2f(x)，则h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x≤0，4x －2a ，0<x<a ，2a ，x≥a.由|h(x)|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}．所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.24．N4[2013·新课标全国卷Ⅱ] 选修4－5：不等式选讲 设a ，b ，c 均为正数，a ＋b ＋c ＝1. 证明：(1)ab ＋bc ＋ca≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c2a≥1.24．证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca.由题设得(a ＋b ＋c)2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca)≤1，即ab ＋bc ＋ca≤13.(2)因为a 2b ＋b≥2a，b 2c ＋c≥2b，c2a ＋a≥2c，故a 2b ＋b 2c ＋c2a ＋(a ＋b ＋c)≥2(a＋b ＋c)， 即a 2b ＋b 2c ＋c2a ≥a ＋b ＋c. 所以a 2b ＋b 2c ＋c2a≥1.A ．N4[2013·陕西卷] (不等式选做题)设a ，b∈R ，|a －b|>2，则关于实数x 的不等式|x －a|＋|x －b|>2的解集是________．(－∞，＋∞) [解析] 利用绝对值不等式的性质可得|x －a|＋|x －b|≥|(x－a)－(x －b)|＝|b －a|＝|a －b|.又由|a －b|>2恒成立，故不等式解集为(－∞，＋∞)．14．N4[2013·天津卷] 设a ＋b ＝2，b>0，则12|a|＋|a|b 的最小值为________．14.34 [解析] 12|a|＋|a|b ＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋|a|b ≥a 4|a|＋2b 4|a|·|a|b ≥－14＋1＝34. 24．N4[2013·新课标全国卷Ⅰ] 选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|2x －1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a ＞－1，且当x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f(x)≤g(x)，求a 的取值范围．24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f(x)<g(x)化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x<12，－x －2，12≤x≤1，3x －6，x>1.其图像如图所示，从图像可知，当且仅当x∈(0，2)时，y<0，所以原不等式的解集是{x|0<x<2}．(2)当x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f(x)＝1＋a. 不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.所以x≥a－2对x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12都成立． 故－a 2≥a －2，即a≤43.从而a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，43.N5选修4-7 优选法与试验设计P图1－13．BP [2013·安徽卷] 如图1－1所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为( ) A.34 B.16 C.1112 D.25243．C [解析] 依次运算的结果是s ＝12，n ＝4；s ＝12＋14，n ＝6；s ＝12＋14＋16，n ＝8，此时输出s ，故输出结果是12＋14＋16＝错误!.1．[2013·漳州五校期末] 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2. (1)求直线l 的直角坐标方程；(2)点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．2．解：(1)ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2化简为ρcos θ＋ρsin θ＝4， ∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝4. (2)设点P 的坐标为(2cos α，sin α)，得P 到直线l 的距离d ＝|2cos α＋sin α－4|2，即d ＝|5sin （α＋φ）－4|2，其中cos φ＝15，sin φ＝25.当sin (α＋φ)＝－1时，d max ＝2 2＋102. 4．[2013·云南师大附中月考] 如图X8－4所示，已知圆O 外有一点P ，作圆O 的切线PM ，M 为切点，过PM 的中点N ，作割线NAB ，交圆于A ，B 两点，联结PA 并延长，交圆O 于点C ，连PB 交圆O 于点D ，若MC ＝BC.(1)求证：△APM∽△ABP；(2)求证：四边形PMCD-----WORD 格式--可编辑--专业资料-------完整版学习资料分享----4．证明：(1)∵PM 是圆O 的切线，NAB 是圆O 的割线，N 是PM 的中点，∴MN 2＝PN 2＝NA·NB，∴PN NB ＝NA PN. 又∵∠PNA＝∠BNP，∴△PNA ∽△BNP ，∴∠APN ＝∠PBN，即∠APM＝∠PBA.∵MC ＝BC ，∴∠MAC ＝∠BAC，∴∠MAP ＝∠PAB，∴△APM ∽△ABP.(2)∵∠ACD＝∠PBN，∠PBN ＝∠APN，∴∠ACD ＝∠APN，即∠PCD＝∠CPM，∴PM ∥CD.∵△APM ∽△ABP ，∴∠PMA＝∠BPA.∵PM 是圆O 的切线，∴∠PMA ＝∠MCP，∴∠BPA ＝∠MCP，即∠MCP＝∠DPC，∴MC ∥PD ，∴四边形PMCD 是平行四边形．。
2013年江苏省南通、扬州、泰州、宿迁四市高考数学二模试卷 (2)
2013年江苏省南通、扬州、泰州、宿迁四市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷卡的相应位置上．1．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系中，已知向量=（2，1），向量=（3，5），则向量的坐标为_________．2．（5分）（2013•南通二模）设集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|x2﹣5x≥0}，则A∩（∁R B）=_________．3．（5分）（2013•南通二模）设复数z满足|z|=|z﹣1|=1，则复数z的实部为_________．4．（5分）（2013•南通二模）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+e x（e为自然对数的底数），则f（ln6）的值为_________．5．（5分）（2013•南通二模）某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间（单位：分钟）用茎叶图表示（如图），图中左列表示训练时间的十位数，右列表示训练时间的个位数，则该运动员这7天的平均训练时间为_________分钟．6．（5分）（2014•盐城一模）根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为_________．7．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆与双曲线y2﹣3x2=3共焦点，且经过点，则该椭圆的离心率为_________．8．（5分）（2013•南通二模）若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的高为_________cm．9．（5分）（2013•南通二模）将函数的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），得函数y=f（x）的图象，则f（x）的一个解析式为_________．10．（5分）（2013•南通二模）函数f（x）=（x﹣1）sinπx﹣1（﹣1＜x＜3）的所有零点之和为_________．11．（5分）（2013•南通二模）设α，β∈（0，π），且，．则cosβ的值为_________．12．（5分）（2013•南通二模）设数列{a n}满足：a3=8，（a n+1﹣a n﹣2）（2a n+1﹣a n）=0（n∈N*），则a1的值大于20的概率为_________．13．（5分）（2013•南通二模）设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1•x2•x3•x4•x5=729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是_________．14．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，设A（﹣1，1），B，C是函数图象上的两点，且△ABC为正三角形，则△ABC的高为_________．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2013•南通二模）已知△ABC的内角A的大小为120°，面积为．（1）若AB=，求△ABC的另外两条边长；（2）设O为△ABC的外心，当时，求的值．16．（14分）（2013•南通二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．求证：（1）AD∥平面PBC；（2）平面PBC⊥平面PAB．17．（14分）（2013•南通二模）为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会．计划用1600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为（kx+800）元（其中k为常数）．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1270元．（每平方米平均综合费用=）．（1）求k的值；（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？18．（16分）（2013•南通二模）已知函数f （x）=（m﹣3）x3+9x．（1）若函数f （x）在区间（﹣∞，+∞）上是单调函数，求m的取值范围；（2）若函数f （x）在区间[1，2]上的最大值为4，求m的值．19．（16分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2=r2和直线l：x=a（其中r和a均为常数，且0＜r＜a），M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q．（1）若r=2，M点的坐标为（4，2），求直线PQ方程；（2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标．20．（16分）（2013•南通二模）设无穷数列{a n}满足：∀n∈N*，a n＜a n+1，．记．（1）若，求证：a1=2，并求c1的值；（2）若{c n}是公差为1的等差数列，问{a n}是否为等差数列，证明你的结论．选做题：本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（10分）（2013•南通二模）如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．求证：DE2=DB•DA．22．（10分）（2013•南通二模）选修4﹣2：矩阵与变换设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵（m＞0）对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．23．（2013•南通二模）选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标xOy中，已知圆，圆．（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1，C2的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标；（2）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．24．（2014•江苏模拟）选修4﹣5：不等式选讲若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值．必做题：本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）（2013•南通二模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=AC=A1B=2．（1）求棱AA1与BC所成的角的大小；（2）在棱B1C1上确定一点P，使二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值为．26．（10分）（2013•南通二模）设b＞0，函数，记F（x）=f′（x）（f′（x）是函数f（x）的导函数），且当x=1时，F（x）取得极小值2．（1）求函数F（x）的单调增区间；（2）证明|[F（x）]n|﹣|F（x n）|≥2n﹣2（n∈N*）．2013年江苏省南通、扬州、泰州、宿迁四市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷卡的相应位置上．1．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系中，已知向量=（2，1），向量=（3，5），则向量的坐标为（1，4）．考点：平面向量的坐标运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由=，代入坐标即可运算．解答：解：∵=（2，1），=（3，5），∴==（3，5）﹣（2，1）=（1，4）故答案为：（1，4）点评：本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础试题2．（5分）（2013•南通二模）设集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|x2﹣5x≥0}，则A∩（∁R B）=（0，3]．考点：交、并、补集的混合运算．分析：由题意，可先解一元二次不等式，化简集合A，B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（∁R B）即可得出正确答案．解答：解：由题意B={x|x2﹣5x≥0}={x|x≤0或x≥5}，故∁R B={x|0＜x＜5}，又集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，∴A∩（∁R B）=（0，3]．故答案为（0，3]．点评：本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键．3．（5分）（2013•南通二模）设复数z满足|z|=|z﹣1|=1，则复数z的实部为．考点：复数求模．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．解答：解：设z=a+bi（a，b∈R）．∵复数z满足|z|=|z﹣1|=1，∴，解得．∴复数z的实部为．故答案为．点评：熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键．4．（5分）（2013•南通二模）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+e x（e为自然对数的底数），则f（ln6）的值为ln6﹣．考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由x＜0时的解析式，先求出f（﹣ln6），再由f （x）是定义在R上的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），得到答案．解答：解：∵当x＜0时，f （x）=x+e x，∴f（﹣ln6）=﹣ln6+e﹣ln6=﹣ln6又∵f （x）是定义在R上的奇函数，∴f（ln6）=﹣f（﹣ln6）=ln6﹣故答案为：ln6﹣点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的值，其中熟练掌握奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x），是解答的关键．5．（5分）（2013•南通二模）某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间（单位：分钟）用茎叶图表示（如图），图中左列表示训练时间的十位数，右列表示训练时间的个位数，则该运动员这7天的平均训练时间为72分钟．考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：先由茎叶图写出所有的数据，求出所有数据和，再利用和除以数据的个数，得到该运动员的平均训练时间．解答：解：有茎叶图知，天中进行投篮训练的时间的数据为64，65，67，72，75，80，81；∴该运动员的平均训练时间为：=72．故答案为：72．点评：解决茎叶图问题，关键是能由茎叶图得到各个数据，再利用公式求出所求的值．6．（5分）（2014•盐城一模）根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为145．考点：伪代码．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28时，S的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28值．∵S=1+4+7+10+13+…+28=145，故输出的S值为145．故答案为：145．点评：本题考查的知识点是伪代码，其中根据已知分析出循环的循环变量的初值，终值及步长，是解答的关键．7．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆与双曲线y2﹣3x2=3共焦点，且经过点，则该椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意，双曲线y2﹣3x2=3焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0）．然后根据椭圆的定义，结合两点的距离公式得2a=|AF1|+|AF2|=4，从而a=2，可得c，可得该椭圆的离心率．解答：解：∵双曲线y2﹣3x2=3，即，∴双曲线的焦距为4，∴c=2，焦点坐标为F1（0，﹣2），F2（0，2），∵椭圆经过点A，∴根据椭圆的定义，得2a=|AF1|+|AF2|=+=4，可得a=2，所以离心率e===．故答案为：．点评：本题给出椭圆的焦点和椭圆上一点的坐标，求椭圆的基本量，着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质，属于基础题．8．（5分）（2013•南通二模）若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的高为cm．考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：根据半圆的周长等于圆锥底面圆的周长求出底面圆的半径，再根据圆锥的轴截面图形求高即可．解答：解：设圆锥的底面圆半径为r，则2πr=2π⇒r=1cm，∴h==cm．故答案是．点评：本题考查圆锥的侧面展开图及圆锥的轴截面．9．（5分）（2013•南通二模）将函数的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），得函数y=f（x）的图象，则f（x）的一个解析式为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由左加右减上加下减的原则，可确定函数平移后的函数解析式，利用伸缩变换推出所求函数解析式．解答：解：图象上的每一点向右平移1个单位，得到函数，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象，函数y=f（x）的图象，则f（x）的一个解析式为．故答案为：．点评：本题主要考查三角函数的平移与伸缩变换．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．10．（5分）（2013•南通二模）函数f（x）=（x﹣1）sinπx﹣1（﹣1＜x＜3）的所有零点之和为4．考点：数列的求和；函数的零点．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：画出图象，可看出交点的个数，并利用对称性即可求出．解答：解：由（x）=（x﹣1）sinπx﹣1=0（﹣1＜x＜3）可得sinπx=令g（x）=sinπx，h（x）=，（﹣a＜x＜3）则g（x），h（x）都是关于（1，0）点对称的函数故交点关于（1，0）对称又根据函数图象可知，函数g（x）与h（x）有4个交点，分别记为A，B，C，D则x A+x B+x C+x D=4故答案为：4点评：熟练掌握数形结合的思想方法和函数的对称性是解题的关键11．（5分）（2013•南通二模）设α，β∈（0，π），且，．则cosβ的值为﹣．考点：二倍角的正切；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由tan的值，利用二倍角的正切函数公式求出tanα的值大于1，确定出α的范围，进而sinα与cosα的值，再由sin（α+β）的值范围求出α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+β）的值，所求式子的角β=α+β﹣α，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：∵tan=，∴tanα==＞1，∴α∈（，），∴cosα==，sinα==，∵sin（α+β）=＜，∴α+β∈（，π），∴cos（α+β）=﹣，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣×+×=﹣．故答案为：﹣点评：此考查了二倍角的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．12．（5分）（2013•南通二模）设数列{a n}满足：a3=8，（a n+1﹣a n﹣2）（2a n+1﹣a n）=0（n∈N*），则a1的值大于20的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由给出的等式得到数列递推式，说明数列是等差数列或等比数列，求出a3=8时对应的a1的值，则a1的值大于20的概率可求．解答：解：∵（a n+1﹣a n﹣2）（2a n+1﹣a n）=0，∴a n+1﹣a n﹣2=0或2a n+1﹣a n=0，分别取n=1，2．则a3﹣a2=2，a2﹣a1=2或a2=2a3，a1=2a2．当a3=8时，a2=6或a2=16，当a2=6时，a1=4或a1=12，当a2=16时，a1=14或a1=32，∴a1的值大于20的概率为．故答案为．点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了古典概型及其概率计算公式，解答此题的关键是不能把数列看做等差数列或等比数列独立的求解，此题虽是基础题但容易出错．13．（5分）（2013•南通二模）设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1•x2•x3•x4•x5=729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是9．考点：进行简单的合情推理；函数的值．专题：新定义．分析：先根据基本不等式得x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于，及x2x3+x4x5≥2+≥2，再研究使三个不等式等号都成立的条件，即可得出max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值．解答：解：∵x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于，同样x2x3+x4x5≥2，+≥2，使三个不等式等号都成立，则x1x2=x3x4=，x2x3=x4x5=，x1=x5即x1=x3=x5，x2=x4 x1x2=x2x3=x3x4=x4x5所以729=x13×x22=，（x1x2）3=729×x2x2最小为1，所以x1x2最小值为9，此时x1=x3=x5=9 x2=x4=1．故答案为：9．点评：本题主要考查了进行简单的合情推理及基本不等式的应用，属于中档题．14．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，设A（﹣1，1），B，C是函数图象上的两点，且△ABC为正三角形，则△ABC的高为2．考点：点到直线的距离公式．专题：综合题．分析：设B、C为直线y=kx+b（k＜0，b＞0）与y=的交点，联立方程组⇒kx2+bx﹣1=0．设B（x1，y1），C（x2，y2），利用韦达定理，结合△ABC为正三角形，可求得k及|AD|，从而可得答案．解答：解：设B、C为直线y=kx+b（k＜0，b＞0）与y=的交点，由得kx2+bx﹣1=0．设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=﹣，y1+y2=+==b，设BC的中点为D，则D（﹣，）．因为A（﹣1，1），依题意，k AD•k BC=﹣1，即•k=﹣1，由于k＜0，故1﹣k≠0，∴b=（b＞0）．∵|BC|=|x1﹣x2|=•=•=•∴d A﹣BC=|BC|，即=×|BC|=×2•，即=ו，解得：k=．∵b=＞0，∴k=，k2=，∴d A﹣BC======2．故△ABC的高为2．故答案为：2．点评：本题考查韦达定理与点到直线的距离公式，考查方程思想与等价转化思想的综合运用，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2013•南通二模）已知△ABC的内角A的大小为120°，面积为．（1）若AB=，求△ABC的另外两条边长；（2）设O为△ABC的外心，当时，求的值．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．专题：计算题；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由三角形的面积公式及已知AB，可求b，c，然后再利用余弦定理可求（2）由（1）可知BC，利用余弦定理可求b，设BC的中点为D，则，结合O为△ABC的外心，可得，从而可求解答：解：（1）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，于是，所以bc=4．…（3分）因为，所以．由余弦定理得．…（6分）（2）由得b2+c2+4=21，即，解得b=1或4．…（8分）设BC的中点为D，则，因为O为△ABC的外心，所以，于是．…（12分）所以当b=1时，c=4，；当b=4时，c=1，．…（14分）点评：本题主要考查了三角形的面积公式及余弦定理的应用．还考查了向量的基本运算及性质的应用．16．（14分）（2013•南通二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．求证：（1）AD∥平面PBC；（2）平面PBC⊥平面PAB．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由BC∥平面PAD，利用线面平行的性质定理即可得到BC∥AD，再利用线面平行的判定定理即可证明AD∥平面PBC；（2）自P作PH⊥AB于H，由平面PAB⊥平面ABCD，可得PH⊥平面ABCD．于是BC⊥PH．又BC⊥PB，可得BC⊥平面PAB，进而得到面面垂直．解答：证明：（1）因为BC∥平面PAD，而BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD=AD，所以BC∥AD．因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC．（2）自P作PH⊥AB于H，因为平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，所以PH⊥平面ABCD．因为BC⊂平面ABCD，所以BC⊥PH．因为∠PBC=90°，所以BC⊥PB，而∠PBA≠90°，于是点H与B不重合，即PB∩PH=P．因为PB，PH⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB．因为BC⊂平面PBC，故平面PBC⊥平面PAB．点评：本题综合考查了线面、面面垂直的判定与性质定理，线面平行的判定与性质定理，需要较强的推理能力和空间想象能力．17．（14分）（2013•南通二模）为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会．计划用1600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为（kx+800）元（其中k为常数）．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1270元．（每平方米平均综合费用=）．（1）求k的值；（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？考点：函数模型的选择与应用．分析：（1）求出每幢楼为5层时的所有建筑面积，算出所有建筑费，直接由每平方米平均综合费用=列式求出k的值；（2）设小区每幢为n（n∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f （n），同样利用题目给出的每平方米平均综合费用的关系式列出f （n）的表达式，然后利用基本不等式求出f （n）的最小值，并求出层数．解答：解：（1）如果每幢楼为5层，那么所有建筑面积为10×1000×5平方米，所有建筑费用为[（k+800）+（2k+800）+（3k+800）+（4k+800）+（5k+800）]×1000×10，所以，1270=，解之得：k=50．（2）设小区每幢为n（n∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f （n），由题设可知f （n）==+25n+825≥2+825=1 225（元）．当且仅当=25n，即n=8时等号成立．答：该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1225元．点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了学生的数学建模能力和计算能力，是中档题．18．（16分）（2013•南通二模）已知函数f （x）=（m﹣3）x3+9x．（1）若函数f （x）在区间（﹣∞，+∞）上是单调函数，求m的取值范围；（2）若函数f （x）在区间[1，2]上的最大值为4，求m的值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；综合题；导数的综合应用．分析：（1）函数f （x）在R上是单调函数，说明y=f'（x）在（﹣∞，+∞）上恒大于等于0或恒小于等于0，根据f'（x）=3（m﹣3）x2+9得f'（0）=9＞0，从而得到只有f'（x）≥0在R上恒成立，由此建立关于m的不等式即可解出实数m的取值范围．（2）根据（1）的结论，当m≥3时f （x）在R上为增函数，当m＜3时在区间，上单调递减，在区间单调递增．再根据m的取值结合函数的单调性建立关于m的方程，解得m=﹣2符合题意，得到本题答案．解答：解：（1）求导数，得f'（x）=3（m﹣3）x2+9∵f'（0）=9＞0，∴f （x）在区间（﹣∞，+∞）上只能是单调增函数．…（3分）又∵f'（x）=3（m﹣3）x2+9≥0在区间（﹣∞，+∞）上恒成立，∴，解之可得m≥3，即m的取值范围是[3，+∞）．…（6分）（2）由（1）的结论，得当m≥3时，f （x）在[1，2]上是增函数，所以[f （x）]max=f （2）=8（m﹣3）+18=4，解得m=＜3，不合题意舍去．…（8分）当m＜3时，f'（x）=3（m﹣3）x2+9=0，解之得．所以f （x）的单调区间为：在区间，上单调递减，在区间单调递增．…（10分）①当，即时，得，∴f （x）在区间[1，2]上单调增，可得[f （x）]max=f（2）=8（m﹣3）+18=4，m=，不满足题设要求．②当，即0＜m＜时，可得[f （x）]max=舍去．③当，即m≤0时，则，∴f （x）在区间[1，2]上单调减，可得[f （x）]max=f （1）=m+6=4，m=﹣2，符合题意综上所述，m的值为﹣2．…（16分）点评：本题给出三次多项式函数，讨论了函数的单调性，已知函数在区间[1，2]上的最大值为4的情况下求参数m 的值．着重考查了利用导数研究函数的单调性、三次多项式函数在闭区间上最值的求法等知识，属于中档题．19．（16分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2=r2和直线l：x=a（其中r和a均为常数，且0＜r＜a），M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q．（1）若r=2，M点的坐标为（4，2），求直线PQ方程；（2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标．考点：直线与圆的位置关系；恒过定点的直线．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）通过r=2，M点的坐标为（4，2），求出A1（﹣2，0），A2（2，0）．然后推出P、Q坐标，即可求直线PQ方程；（2）证明法一：设A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），求出直线MA1的方程，直线MA1的方程，通过直线与圆的方程联立，求出直线PQ的方程，然后说明经过定点，求定点的坐标．法二：设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），求出直线MA1的方程，与圆C的交点P设为P（x1，y1）．求出直线MA2的方程，与圆C的交点Q设为Q（x2，y2）．点P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线[（a+r）y﹣t（x+r）][（a﹣r）y﹣t（x﹣r）]=0上，有P（x1，y1），Q（x2，y2）在圆C上，求出公共弦方程，说明经过定点，求定点的坐标．解答：解：（1）当r=2，M（4，2），则A1（﹣2，0），A2（2，0）．直线MA1的方程：x﹣3y+2=0，解得．…（2分）直线MA2的方程：x﹣y﹣2=0，解得Q（0，﹣2）．…（4分）由两点式，得直线PQ方程为：2x﹣y﹣2=0．…（6分）（2）证法一：由题设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），直线MA1的方程是：y=（x+r），直线MA1的方程是：y=（x﹣r）．…（8分）解得．…（10分）解得．…（12分）于是直线PQ的斜率k PQ=，直线PQ的方程为．…（14分）上式中令y=0，得x=，是一个与t无关的常数．故直线PQ过定点．…（16分）证法二：由题设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），直线MA1的方程是：y=（x+r），与圆C的交点P设为P（x1，y1）．直线MA2的方程是：y=（x﹣r）；与圆C的交点Q设为Q（x2，y2）．则点P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线[（a+r）y﹣t（x+r）][（a﹣r）y﹣t（x﹣r）]=0上，…（10分）化简得（a2﹣r2）y2﹣2ty（ax﹣r2）+t2（x2﹣r2）=0．①又有P（x1，y1），Q（x2，y2）在圆C上，圆C：x2+y2﹣r2=0．②①﹣t2×②得（a2﹣r2）y2﹣2ty（ax﹣r2）﹣t2（x2﹣r2）﹣t2（x2+y2﹣r2）=0，化简得：（a2﹣r2）y﹣2t（ax﹣r2）﹣t2 y=0．所以直线PQ的方程为（a2﹣r2）y﹣2t（ax﹣r2）﹣t2 y=0．③…（14分）在③中令y=0得x=，故直线PQ过定点．…（16分）点评：不考查直线与圆的位置关系，直线系方程的应用，考查计算能力与转化思想．20．（16分）（2013•南通二模）设无穷数列{a n}满足：∀n∈N*，a n＜a n+1，．记．（1）若，求证：a1=2，并求c1的值；（2）若{c n}是公差为1的等差数列，问{a n}是否为等差数列，证明你的结论．考点：等差数列与等比数列的综合；等差关系的确定．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）根据已知条件排除a1=1、a1≥3即可证得a1=2，，通过计算可得a2=3，故=b2，代入数值可求得；（2）由a n+1＞a n⇒n≥2时，a n＞a n﹣1，由此可推得a n≥a m+（n﹣m）（m＜n），从而，即c n+1﹣c n≥a n+1﹣a n，又{c n}是公差为1的等差数列，所以1≥a n+1﹣a n，又a n+1﹣a n≥1，故a n+1﹣a n=1，由此可判断{a n}是否为等差数列；解答：（1）因为，所以若a1=1，则矛盾，若，可得1≥a1≥3矛盾，所以a1=2．于是，从而．（2）{a n}是公差为1的等差数列，证明如下：a n+1＞a n⇒n≥2时，a n＞a n﹣1，所以a n≥a n﹣1+1⇒a n≥a m+（n﹣m），（m＜n），即c n+1﹣c n≥a n+1﹣a n，由题设，1≥a n+1﹣a n，又a n+1﹣a n≥1，所以a n+1﹣a n=1，即{a n}是等差数列．点评：本题考查等差数列的判定及通项公式，考查学生的逻辑推理能力，难度较大．选做题：本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（10分）（2013•南通二模）如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．求证：DE2=DB•DA．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：欲证DE2=DB•DA，由于由切割线定理得DF2=DB•DA，故只须证：DF=DE，也就是要证：∠CFD=∠DEF，这个等式利用垂直关系通过互余角的转换即得．解答：证明：连接OF．因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．（5分）所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB•DA．所以DE2=DB•DA．（10分）点评：本题考查的与圆有关的比例线段、切线的性质、切割线定理的运用．属于基础题．22．（10分）（2013•南通二模）选修4﹣2：矩阵与变换设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵（m＞0）对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．考点：逆变换与逆矩阵．专题：计算题．分析：确定点在矩阵对应的变换作用下得到点坐标之间的关系，利用变换前后的方程，即可求得矩阵M；再求出对应行列式的值，即可得到M的逆矩阵．解答：解：设曲线2x2+2xy+y2=1上任一点P（x，y）在矩阵M对应的变换下的像是P'（x'，y'），由，得因为P'（x'，y'）在圆x2+y2=1上，所以（mx）2+（nx+y）2=1，化简可得（m2+n2）x2+2nxy+y2=1．…（3分）依题意可得m2+n2=2，2n=2，m=1，n=1或m=﹣1，n=1，而由m＞0可得m=1，n=1．…（6分）故，故矩阵M的逆矩阵M﹣1=．…（10分）点评：本题考查矩阵与变换，考查逆矩阵的求法，确定变换前后坐标之间的关系是解题的关键．23．（2013•南通二模）选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标xOy中，已知圆，圆．（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1，C2的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标；（2）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆．分析：（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及x2+y2=ρ2，直接写出圆C1，C2的极坐标方程，求出圆C1，C2的交点极坐标；（2）求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C1与C2的公共弦的参数方程．解答：解：（1）圆C1的极坐标方程为ρ=2，圆C2的极坐标方程为ρ=4cosθ，由得，故圆C1，C2交点坐标为圆．…（5分）（2）由（1）得，圆C1，C2交点直角坐标为，故圆C1与C2的公共弦的参数方程为…（10分）注：第（1）小题中交点的极坐标表示不唯一；第（2）小题的结果中，若未注明参数范围，扣（2分）．点评：本题考查简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标与直角坐标的互化，考查计算能力．24．（2014•江苏模拟）选修4﹣5：不等式选讲若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值．考点：一般形式的柯西不等式．专题：计算题．分析：利用柯西不等式，即可求得的最小值．解答：解：∵正数a，b，c满足a+b+c=1，∴（）[（3a+2）+（3b+2）+（3c+2）]≥（1+1+1）2，即当且仅当a=b=c=时，取等号∴当a=b=c=时，的最小值为1．点评：本题考查求最小值，解题的关键是利用柯西不等式进行求解，属于中档题．必做题：本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）（2013•南通二模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=AC=A1B=2．（1）求棱AA1与BC所成的角的大小；（2）在棱B1C1上确定一点P，使二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值为．考点：用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法．专题：空间角．分析：（1）因为AB⊥AC，A1B⊥平面ABC，所以以A为坐标原点，分别以AC、AB所在直线分别为x轴和y 轴，以过A，且平行于BA1的直线为z轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=A1B=2求出所要用到的点的坐标，求出棱AA1与BC上的两个向量，由向量的夹角求棱AA1与BC所成的角的大小；（2）设棱B1C1上的一点P，由向量共线得到P点的坐标，然后求出两个平面PAB与平面ABA1的一个法向量，把二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值为转化为它们法向量所成角的余弦值，由此确定出P点的坐标．解答：解：（1）如图，以A为原点，AC、AB所在直线分别为x轴和y轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），B1（0，4，2），，．所以==，所以向量与所成的角为，故AA1与棱BC所成的角是．（2）设P为棱B1C1上的点，由，得P（2λ，4﹣2λ，2）．设平面PAB的法向量为=（x，y，z），，，由，得，取x=1，得z=﹣λ，故=（1，0，﹣λ）．而平面ABA1的一个法向量是=（1，0，0），则=，解得，即P为棱B1C1中点，其坐标为P（1，3，2）．。
高考考点总结之复数的概念与复数的运算
(3)对于 a＋bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件,只注意了 a＝0 而漏掉了 b≠0.
(4)进行复数的乘法与除法运算,误认为 i2 1,导致运算错误
(5)设 z a bi （a,b∈R）,注意 z a bi, z z a 2 b 2 ,不要出现 z a bi, z z a2 b2 的错误
对 C： OP (a,b) , OQ (a, b) ,当 b 0 时, OP OQ ,故 C 错误；
对 D：当 z 为实数时, z z a ,此时 OP OQ (a, 0) ,故 D 正确.故选 ABD
15．（2021 湖南省长沙市雅礼中学高三下学期二模）设 z1, z2 是复数,则下列命题中的真命题是（ ）
11．（2021 广东省高州市高三二模）已知复数 z 满足： z i 1 2i i3 （其中 i 为虚数单位）,复数 z 的虚
部为（ ）
A． 4 i 5
【答案】C
B． 4 i 5
C． 4 5
D． 4 5
【解析】 z i3 i i i i 2 i 2 4 i ,∴ z 2 4 i ,
(2)
(其中 a,b∈R),|z|表示复数 z 对应的点与原点的距离．|z1－z2|表示两点的距离,即表示
复数 z1 与 z2 对应的点的距离． 2.求解复数运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位 i 的看作一类同类项,不含 i 的看作
另一类同类项,分别合并即可．
ai 1 i
(a i)(1 i) (1 i)(1 i)
a 1 2
(a 1) 2
i
,因为复数
z1
ai 1 i
(a R) 为纯虚数,
a 1 2
江苏省南通市合作盟校2013届高三考前全真模拟密卷数学卷1
江苏省南通市合作盟校2013届高三考前全真模拟密卷数学卷1—、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1.已知集合{}3,2,1=A ，集合{}4,3=B ，则=B A .2.已知复数i z 21-=（i 为虚数单位），则=2z .3.已知命题:p 直线a ，b 相交，命题:q 直线a ，b 异面，则p ⌝是q 的条件.4.某公司为了改善职工的出行条件，随机抽取100名职工，调查了他们的居住地与公司间的距离d （单位：千米）.由其数据绘制的频率分布直方图如图所示，则样本中职工居住地与公司间的距离不超过4千米的人数为 .5.如图，给出一个算法的伪代码，已知输出值为3，则输入值=x .Read xIf 0≥x Then 13)(2--←x x x f Else)5(log )(2+←x x f End If Print )(x f6.已知角α（πα20<≤）的终边过点)32cos ,32(sin ππP ，则=α .7.写出一个满足1)()()(-+=y f x f xy f （x ，0>y ）的函数=)(x f .8.已知点M 与双曲线191622=-y x 的左，右焦点的距离之比为3:2，则点M 的轨迹方程为 .9.先后投掷一颗质地均匀的骰子两次，得到其向上的点数分别为m ，n ，设向量),(n m =，的概率为 .10.等差数列{}n a 中，已知158≥a ，139≤a ，则12a 的取值范围是 .11.已知a ，b 为正实数，函数xbx ax x f 2)(3++=在[]1,0上的最大值为4，则)(x f 在[]0,1-上的最小值为 .12.如图，已知二次函数c bx ax y ++=2（a ，b ，c 为实数，0≠a ）的图象过点)2,(t C ，且与x 轴交于A ，B 两点，若BC AC ⊥，则a 的值为 .13.设)(n u 表示正整数n 的个位数，)()(2n u n u a n -=，则数列{}n a 的前2012项和等于 .14.将函数3322-++-=x x y （[]2,0∈x ）的图象绕坐标原点逆时针旋转θ（θ为锐角），若所得曲线仍是一个函数的图象，则θ的最大值为 .二．解答题：本大题共6小题，共90分。
江苏省2013届高三最新数学(精选试题26套)分类汇编2：函数 Word版含答案.pdf
江苏省2013届高三最新数学（精选试题26套）分类汇编2：函数 一、填空题 ．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）定义在R上的奇函数f(x),当x∈(-∞,0)时,f(x)=x2+2x-1,则不等式f(x)<-1的解集是______. 【答案】(-2,0)∪(1+,+∞) ．（南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）设函数f(x)的定义域为D,如果(x∈D,(y∈D,使=C(C为常数)成立,则称函数f(x)在D上的“均值”为C. 已知四个函数:①y=x3 (x∈R);②y=()x (x∈R);③y=lnx (x∈(0,+∞));④y=2sinx+1 (x∈R). 上述四个函数中,满足所在定义域上“均值”为1的函数是_____.(填满足要求的所有的函数的序号) 【答案】①③④ ．（江苏省常州市西夏墅中学2013年高考冲刺模拟试卷）某同学为研究函数的性质,构造了如右图所示的两个边长为1的正方形和,点是边上的一个动点,设,则. 请你参考这些信息,推知函数的零点的个数是_______. 【答案】2个 ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）定义在 上的函数 ;当若;则的大小关系为______________. 【答案】 ．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）(),如果 (),那么的值是______. 【答案】 . ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（1））若方程仅有一个实根,那么的取值范围是____ 【答案】或; ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（2））已知为奇函数,_____ 【答案】 ．（江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试题）已知奇函数的图像关于直线对称,当时,,则=________._ 【答案】 ．（江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试题）已知函数,若在任意长度为2的闭区间上总存在两点,使得成立,则的最小值为_____________. 【答案】 ．（武进区湟里高中2013高三数学模拟试卷）给出四个函数:①;②;③;④,则下列甲、乙、丙、丁四个函数图象对应上述四个函数分别是_____________(只需填序号). 甲 乙 丙 丁 【答案】解析:④,①,②,③ ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（3））设且若定义在区间内的函数是奇函数,则的取值范围是_______. 【答案】 ．（江苏省常州市金坛市第一中学2013年高考冲刺模拟试卷）设函数,则方程的实数解的个数为_________. 【答案】 3 ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（2））设定义域为R的函数若关于的方程有8个不同的实数根,则实数b的取值范围是_______.【答案】 ．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）从轴上一点A分别向函数与函数引不是水平方向的切线和,两切线、分别与轴相交于点B和点C,O为坐标原点,记△OAB的面积为,△OAC的面积为,则+的最小值为______. 【答案】8 提示:,设两切点分别为,,(,),:,即,令,得;令,得.:,即,令,得;令,得.依题意, ,得, +===,=,可得当时,有最小值8.．（江苏省南通市通州区姜灶中学2013届高三5月高考模拟数学试题 ）函数的单调减区间是________. 【答案】 ．（江苏省常州市横山桥中学2013年高考数学冲刺模拟试卷doc）已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调增函数.若f(1)<f(lnx),则x的取值范围是_____. 【答案】(0, )∪(e, +∞) ．（江苏省常州市金坛四中2013年高考数学冲刺模拟试卷doc）设实数,若仅有一个常数c使得对于任意的,都有满足方程,这时,实数的取值的集合为_________ 【答案】 ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）设函数是定义在上的奇函数,且对任意都有,当 时,,则的值为______________. 【答案】 ．（江苏省常州市第五中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷）已知函数,若,则的取值范围是____. 【答案】 ．（江苏省常州市武进高级中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷doc）对任意两个实数,定义若,,则的最小值为____. 【答案】-1 ．（江苏省常州市西夏墅中学2013年高考冲刺模拟试卷）若关于x的方程2-|x|-x2+a=0有两个不相等的实数解,则实数a的取值范围是_______【答案】 ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）已知函数(其中,为常数),若的图象如右图所示,则函数在区间[-1,1]上的最大值是__________. 【答案】 ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）设是定义在R上的偶函数,对任意,都有,且当时,,若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根,则的取值范围为______________. 【答案】 ．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）定义在R上的函数f(x)满足f(x)=则f(2013)=________. 【答案】- ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（1））函数对于任意实数满足条件,若,则______. 【答案】.; ．（江苏省常州市第五中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷）函数的定义域为,若满足①在内是单调函数,②存在,使在上的值域为,那么叫做对称函数,现有是对称函数, 那么的取值范围是_____________. 【答案】 ．（南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）设实数a,x,y,满足则xy的取值范围是_____. 【答案】[-,+] ．（武进区湟里高中2013高三数学模拟试卷）已知,,,若为偶函数,则的零点为________. 【答案】解析:根据函数的图像,有,所以或(舍去),所以的零点为. ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）设的奇函数,则使的X的取值范围是______________. 【答案】(一1. 0) ．（江苏省常州市第二中学2013年高考数学（文科）冲刺模拟试卷doc）已知函数若函数有3个零点,则实数m的取值范围是_____________. 【答案】 (0,1) ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（1））已知函数f(x)=是R上的增函数,则实数k的取值范围是_______. 【答案】[,1); ．（2013年江苏省高考数学押题试卷 ）函数f(x)=lg(x2ax1)在区间(1,+∞)上单调增函数,则a的取值范围是________. 【答案】填(-∞,0]. g(x)=x2ax1的对称轴x=≤1,且 g(1)=a≥0, 所以a≤0. 二、解答题 ．（江苏省常州市第五中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷）某公司有价值万元的一条流水线,要提高该流水线的生产能力,就要对其进行技术改造,从而提高产品附加值,改造需要投入,假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足:①与和的乘积成正比;②时,; ③,其中t为常数,且. 求:(1)设,求表达式,并求的定义域;(2)求出附加值的最大值,并求出此时的技术改造投入.【答案】解:(1)设,当时,,可得:,∴ ∴定义域为,为常数,且 (2) 当时,即,时,当,即,在上为增函数∴当时, ∴当,投入时,附加值y最大,为万元;当,投入时,附加值y最大,为万元14分 ．（江苏省常州市奔牛高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数f(x)与时间x(小时)的关系为,其中a为与气象有关的参数,且,若用每天f(x)的最大值为当天的综合污染指数,并记作M(a).(1)令,求t的取值范围.(2)求函数M(a)的表达式;(3)市政府规定,每天的综合污染指数不得超过2,试问目前市中心的完全污染指数是多少?是否超标?【答案】 ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）设函数是定义域为的奇函数. (1)求值; (2)若,试判断函数单调性并求使不等式恒成立的的取值范围; (3)若,且,在上的最小值为,求的值. 【答案】解:(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0, ∴1-(k-1)=0,∴k=2, (2) 单调递减,单调递增,故f(x)在R上单调递减. 不等式化为恒成立, ,解得 (3)∵f(1)=,,即 ∴g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x)=(2x-2-x)2-2m(2x-2-x)+2. 令t=f(x)=2x-2-x,由(1)可知f(x)=2x-2-x为增函数,∵x≥1,∴t≥f(1)=, 令h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2 (t≥) 若m≥,当t=m时,h(t)min=2-m2=-2,∴m=2 若m,舍去综上可知m=2. ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）某人年底花万元买了一套住房,其中首付万元,万元采用商业贷款.贷款的月利率为‰,按复利计算,每月等额还贷一次,年还清,并从贷款后的次月开始还贷. ⑴这个人每月应还贷多少元? ⑵为了抑制高房价,国家出台“国五条”,要求卖房时按照差额的20%缴税.如果这个人现在将住房万元卖出,并且差额税由卖房人承担,问:卖房人将获利约多少元? (参考数据:) 【答案】⑴设每月应还贷元,共付款次,则有 , 所以(元) 答:每月应还贷元 ⑵卖房人共付给银行元, 利息(元), 缴纳差额税(元), (元). 答:卖房人将获利约元 ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）已知函数. (1)若,求不等式的解集;(2)当方程恰有两个实数根时,求的值;(3)若对于一切,不等式恒成立,求的取值范围. 【答案】解:(1)由得当时,恒成立 ∴ 当时,得或又 ∴ 所以不等式的解集为 (2)由得 令由函数图象知两函数图象在y轴右边只有一个交点时满足题意,即由得由图知时方程恰有两个实数根(3) 当时,,,, 所以 当时 ①当时,,即,令 时,,所以 时,,所以, 所以 ②当时,,即 所以, 综上,的取值范围是 ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）已知函数()在区间上有最大值和最小值.设.(1)求、的值;(2)若不等式在上有解,求实数的取值范围;【答案】解:(1),因为,所以在区间上是增函数,故,解得. (2)由已知可得,所以可化为,化为,令,则,因,故,记,因为,故, 所以的取值范围是. ．（武进区湟里高中2013高三数学模拟试卷）省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射性污染指数与时刻(时)的关系为,其中是与气象有关的参数,且,若用每天的最大值为当天的综合放射性污染指数,并记作. (1)令,,求t的取值范围; (2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过2,试问目前市中心的综合放射性 污染指数是否超标?【答案】解析:(1)当时,t=0; 当时,(当时取等号),∴,即t的取值范围是. (2)当时,记,则,∵在上单调递减,在上单调递增,且.故. ∴当且仅当时,. 故当时不超标,当时超标. y x 0 y x 0 y x 0 y x 0。
江苏省南通市2014届高三数学学科基地密卷(3) Word版含答案
2014年高考模拟试卷(3)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1. 函数()sin()3f x x πω=-的最小正周期为3π，其中0ω>，则ω= .2. 若复数21(1)z a a i =-++是纯虚数，则实数a = .3. 若{Z |2216},{3,4,5}x A x B =∈≤≤=，则AB = .4. 已知双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>中，若以其焦点为圆心，半实轴长为半径的圆与渐近线相切，则其渐近线方程为 ． 5．如果数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的方差是a ，若数据132x -，232x -，332x -，…，32n x -的方差为9，则a = .6. 执行右边的程序框图，若p ＝80，则输出的n 的值为 .7. 如果投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为x 和y ，则log (1)1x y -=的概率为 . 8．若)(x f 是R 上的增函数，且2)2(,4)1(=-=-f f ，设{}31)(|<++=t x f x P ，{}4)(|-<=x f x Q ，若“P x ∈”是“Q x ∈的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是______.9．正方形铁片的边长为8cm ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为4π的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于________cm 3.10. 若方程[][]22221,1,5,2,4x y a b a b+=∈∈表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆，则z a b =+的最小值为 ．11. 已知22()9,f x x x kx =-++若关于x 的方程()0f x =在（0，4）上有两个实数解，则k 的取值范围是 .12. 已知圆C 过点(1,1)P ，且与圆M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.若Q 为圆C 上的一个动点，则PQ MQ ⋅的最小值为 .13. 已知函数3221()(21) 1.3=++-+-+f x x x a x a a 若函数()f x 在(]1,3上存在唯一的极值点．则实数a 的取值范围为 ．14. 已知函数22 () n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数 ，且()(1)n a f n f n =++，则1232014a a a a +++⋯+=.(第6题)二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,向量(1,2)m =，2(cos2,cos )2An A =，且1m n ⋅=.(1)求角A 的大小；(2)若2b c a +==,求证：ABC ∆为等边三角形.16.（本小题满分14分）在直三棱柱111ABC A B C -中，AC=4,CB=2,AA 1=2，60ACB ∠=，E 、F 分别是11,AC BC 的中点．（1）证明：平面AEB ⊥平面1B CF ；（2）设P 为线段BE 上一点，且2EP PB =，求三棱锥11P B C F -的体积．P F EC 1B 1A 1CBA17.（本小题满分14分）设椭圆方程22221x y a b+=(0)a b >>，椭圆上一点到两焦点的距离和为4，过焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，AB =2． （1）求椭圆方程；（2）若M ，N 是椭圆C 上的点，且直线OM 与ON 的斜率之积为12-，是否存在动点00(,)P x y ，若2OP OM ON =+，有22002x y +为定值．18. (本小题满分16分) 某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，AB 至少长3米，C 为AB 的中点，B 到D 的距离比CD 的长小0.5米，∠BCD=600（1）若,CD x =,BC y =将支架的总长度表示为y 的函数，并写出函数的定义域.（注：支架的总长度为图中线段AB 、BD 和CD 长度之和）（2）如何设计,AB CD 的长，可使支架总长度最短．19.（本小题满分16分）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足等式23n n a S +=.（1）能否在数列中找到按原来顺序成等差数列的任意三项，说明理由；（2）能否从数列中依次抽取一个无穷多项的等比数列，且使它的所有项和S 满足9116013S <<，如果这样的数列存在，这样的等比数列有多少个？（注：设等比数列的首项为1,a ，公比为(||1)q q <，则它的所有项的和定义为11a q-）20.（本小题满分16分）已知函数32()(63)x f x x x x t e =-++，t R ∈. （1）若函数()y f x =有三个极值点，求t 的取值范围；（2）若()f x 依次在,,()x a x b x c a b c ===<<处取到极值，且22a c b +=，求()f x 的零点； （3）若存在实数[0,2]t ∈，使对任意的[1,]x m ∈，不等式()f x x ≤恒成立，试求正整数m 的最大值.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）在ABC ∆中，,=AB AC 过点A 的直线与其外接圆交于点P,交BC 延长线于点D. 求证：⋅=⋅AP AD AB ACB ．（选修４－２：矩阵与变换）ABC ∆的顶点A （1，2），B （3，3），C （2，1），求在矩阵2002⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的变换下所得图形的面积．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知直线11:()5x tl t y =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数和直线2:0l x y --=的交于点P . （1）求P 点的坐标；（2）求点P 与(1,5)Q -的距离.D ．（选修４－５：不等式选讲）设,a b 是正数，证明：3322222a b a b a b+++≥⋅.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，PDC BA∠BAF =90º， AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点， 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （2）若二面角D -AP -CPF 的长度．23．数列{}n a 满足2121n n a a +=-，1N a =且11N a -≠，其中{}2,3,4,N ∈（1）求证：1||a ≤1； （2）求证：()12cos 2N k a k Z π-=∈．PFEDCAB2014年高考模拟试卷(3)参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题 1. 6．263T ππωω==⇒= ;2. 1.将复数表示为(,)z a bi a b R =+∈的形式，然后由0,0a b =≠即可求；3.{}3,4.142216,222,14x x x ≤≤∴≤≤∴≤≤，即{}1,2,3,4A =. {}3,4,5B = ，{}3,4A B ∴⋂=；4. y x =±.设焦点为(,0)c ，渐近线方程为by xa=±，即0,bx ay ±=所以a =所以,a b =即渐近线方程为y x =±;5. 3.原数据的方差为a ，则新方差为2a ，而已知新方差为9，所以3a =;6. 7 .依次产生的S 和n 值分别为2,2;6,3;14,4;30,5;62,6;126,7;所以，输出的n 值为7;7.19.因为抛掷两枚均匀的正方体骰子的基本事件数为36种，又由l o g (1)1x y -=知1(1)y x x =+>，所以，满足条件的事件有: (2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)共4种，则log (1)1x y -=的概率为19;8.3>t .{}|()13{()2}{()(2)}P x f x t x f x t x f x t f =++<=+<=+<，{}|()4{()(1)}Q x f x x f x f =<-=<-，因为函数)(x f 是R 上的增函数，所以{}|2{2}P x x t x x t =+<=<-，{}|1Q x x =<-，要使“P x ∈”是“Q x ∈的充分不必要条件，则有21t -<-，即3t >；9..由题意知，弧长为4π×8＝2π，即围成圆锥形容器底面周长为2π，所以圆锥底面半径为r ＝1，可得圆锥高h ＝，所以容积V ＝13πr 2×h ＝13π×1.⨯;10. 4 .方程22221x y a b+=表示焦点在x 的椭圆时，有22a b c e a ⎧>⎪⎨==⎪⎩，即22224a b a b ⎧>⎨<⎩，化简得2a b a b >⎧⎨<⎩， 又[1,5]a ∈，[2,4]b ∈，画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示，令z y x =+，平移直线,y x z =-+当过(2,2)时，min 4Z =; 11. 23(,3).4--()0f x =可以转化为22|9|x x kx -+=-，记22()|9|g x x x =-+，则()0f x =在（0，4）上有两个实数解，可以转化为函数2229,03()929,34x g x x x x x <≤⎧=-+=⎨-<<⎩与()h x kx =-的图象，结合图像和特殊点(3,9),(4,23)A B 可知23(,3)4k ∈--; 12.－4.设圆心C (,)a b ，则222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得00a b =⎧⎨=⎩，则圆C 的方程为222x y r +=，将点P 的坐标代入得22r =，故圆C 的方程为222x y +=，设(,)Q x y ，则222x y +=，且(1,1)(2,2)PQ MQ x y x y ⋅=--⋅++=224x y x y +++-=2x y +-，法一：令x α，y α=，则2sin()4x y πα+=+≥-2法二：令x y t +=，则y x t =-+，所以2PQ MQ x y ⋅=+-≥-4，PQ MQ ⋅的最小值为4- ; 13. [)7,1--.2()221'=++-f x x x a ， 若函数()f x 在(]1,3上存在唯一的极值点，则方程2221++-x x a =0在区间(]1,3上有唯一解.因为抛物线21122=--+a x x 的对称轴为1=-x ，函数21122=--+a x x 在区间(]1,3单调递减，所以[)7,1∈--a ；14. 2014. n 为奇数时 1+n 为偶数 ，22(1)21=-+=--n a n n n ， n 为偶数时，1+n 为奇数，22(1)21=-++=+n a n n n ∴ 13=-a ，25=a ，37=-a ，49=a ，511=-a ，713=a ，…… ，∴ 122+=a a ，342+=a a ，即1220142014a a a ++=.二、解答题15. (1)由(1,2)m =，2(cos2,cos )2A n A =， 得222cos22cos 2cos 1cos 12cos cos 2Am n A A A A A ⋅=+=-++=+ …………4分 又因为1m n ⋅=，所以，22cos cos 1A A +=解得1cos 2A =或cos 1A =- …………6分0,3A A ππ<<∴=……7分(2)在ABC ∆中，2222cos a b c bc A =+-且a =所以，22222122b c bc b c bc=+-⋅=+-① …………9分又b c +=b c =，代入①整理得230c -+=，解得c =b于是a b c ===， .…………13分 即ABC △为等边三角形. .…………14分 16．（1）在ABC ∆中，∵AC =2，BC =4,060ACB ∠=，∴AB =222AB BC AC +=， ∴AB BC ⊥.………………………………3分 由已知1AB BB ⊥，1BB BC B =，∴11AB BB C C ⊥面. …………………5分又∵AB ABE ⊂面，11ABE BB C C ⊥故平面平面，即平面AEB ⊥平面1B CF ……7分 （2）取11B C 的中点H ，连结EH ， 则//EH AB且12EH AB ==由（1）11AB BB C C ⊥面，∴11EH BB C C ⊥面， ……10分C 1A 1A∵2EP PB =，∴111111111333P B C F E B C F B C F V V S EH --∆==⨯⋅=. ……14分17. （1）因为24a =，所以，2a = ---------------------------------2分∵过焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，AB =2．∴由椭圆的对称性知，椭圆过点(,1)c ，即22114c b+= --------------------4分224c b =-，解得22b =椭圆方程为22142x y += ------------------------------------------------------------7分（2）存在这样的点00(,)P x y .设11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则121212OM ON y y k k x x ==-，化简为 121220x x y y += ---------------------9分 ∵M ，N 是椭圆C 上的点，∴2211142x y +=，2222142x y += 由2OP OM ON =+得0121222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩- ----------------------------------------11分所以22220012122(2)(2)x y x x y y +=+++ 222211221212(2)4(2)4(2)x y x y x x y y =+++++444020=+⨯+=即存在这样的点00(,)P x y -----------------------------------------------------14分 18. （1）由,CD x =则(0.5)BD x m =-，设CB y =， 则支架的总长度为AC BC BD CD +++，在BCD ∆中，由余弦定理2222cos60(0.5)x y xy x +-=-化简得 20.25y xy x -=-+ 即20.250y xy x -+-= ① ……4分 记0.5220.5l y y x x y x =++-+=+- 由20.250y xy x -+-=，则20.251y x y -=-222220.2520.52220.5420.5220.520.50.50.51111y y y y y y y l y y y y y y ---+---=+⨯-=+-=-=--------------6分（2）由题中条件得23y ≥，即 1.5y ≥设1(0.5)y t t -=≥则原式224(1)2(1)0.5484220.50.50.5t t t t t l t t+-+-++---=-=-=246 1.5 1.5 1.50.5460.54 5.5t t t t t t t++-=++-=++ ……10分0.5t ≥由基本不等式 1.54t t∴+≥有且仅当24 1.5t = ，即t =时成立，又由t = 满足0.5t ≥1y ∴=，x ∴= ∴当2,AB CD =+=金属支架总长度最短． (16)分19. （1）当1n =时，1123a a +=，则11a =.又23n n a S +=，所以1123n n a S +++=，两式相减得113n n a a +=，即 {}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，所以113n n a -=------------------------------------------------------4分 假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为,,,()p q r a a a p q r << 则111211333q p r ---=+，即211333q p r=+，所以2331r q r p --⋅=+，即2331r q r p --⋅-=，即3(23)1r q q p ---=又p q r <<，*,r q r p N ∴--∈，所以33,230r q q p -->-<所以3(23)0r q q p ---<∴假设不成立，所以不存在三项按原来顺序成等差数列 --------8分 （2）设抽取的等比数列首项为13m ，公比为13n，项数为k ，且,,m n k N +∈则111[1()]333()111133k m nmn nS k -=<--， -------------------------------------------10分因为9116013S <<，所以191311601313<<-， ------------------12分 所以1311(1)3391609(2)33m nn m ⎧<-⎪⎪⎨⎪<+⎪⎩由（1）得到113133nm +<，所以3,1m n ≥≥， ------------13分 由（2）得到1609933m n +>， --------------------------------14分 当3,1m n ==时，适合条件，这时等比数列首项为311327=，公比为11133= 当3,1m n =>时，均不适合. 当3,1m n >≥时，均不适合.综上可得满足题意的等比数列有只有一个. ------------------16分20. （1）①23232()(3123)(63)(393)x x f x x x e x x x t x x x t e '=-++-++=--++∵()f x 有3个极值点，∴323930x x x t --++=有3个不同的根， --------2分 令32()393g x x x x t =--++，则2()3693(1)(3)g x x x x x '=--=+-， 从而函数()g x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上递增，在(1,3)-上递减.∵()g x 有3个零点，∴(1)0(3)0g g ->⎧⎨<⎩，∴824t -<<. -----------------4分（2）,,a b c 是()f x 的三个极值点∴3232393()()()()()x x x t x a x b x c x a b c x ab bc ac x abc --++=---=-+++++-----6分∴23932a b c ab ac bc t abca c b++=⎧⎪++=-⎪⎨+=-⎪⎪+=⎩，∴1b =或32-（舍∵(1,3)b ∈-）∴111a b c ⎧=-⎪=⎨⎪=+⎩， 所以，()f x的零点分别为1-1，1+ -------------------10分 （3）不等式()f x x ≤，等价于32(63)x x x x t e x -++≤，即3263x t xe x x x -≤-+-. 转化为存在实数[0,2]t ∈，使对任意的[1,]x m ∈，不等式3263x t xe x x x -≤-+-恒成立. 即不等式32063x xe x x x -≤-+-在[1,]x m ∈上恒成立.即不等式2063x e x x -≤-+-在[1,]x m ∈上恒成立. ----------------12分 设2()63x x e x x ϕ-=-+-，则()26x x e x ϕ-'=--+. 设()()26x r x x e x ϕ-'==--+，则()2x r x e -'=-.因为1x m ≤≤，有()0r x '<. 所以()r x 在区间[1,]m 上是减函数. 又1(1)40r e -=->，2(2)20r e -=->，()3330r -=-<， 故存在()02,3x ∈，使得00()()0r x x ϕ'==.当01x x ≤<时，有()0x ϕ'>，当0x x >时，有()0x ϕ'<. 从而()y x ϕ=在区间0[1,]x 上递增，在区间0[,)x +∞上递减. 又1(1)40e ϕ-=+>，2(2)50e ϕ-=+>，3(3)60e ϕ-=+>，4(4)50e ϕ-=+>，5(5)20e ϕ-=+>，6(6)30e ϕ-=-<.所以，当15x ≤≤时，恒有()0x ϕ>；当6x ≥时，恒有()0x ϕ<. 故使命题成立的正整数m 的最大值为5. -----------------16分第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A. 由AB AC =，所以ABC ACB ∠=∠，所以,,∠=∠∠=∠ACD APC CAP CAP 所以,APCACD ∆∆所以,=AP ACAC AD所以2,=⋅AC AP AD 由AB AC =，所以⋅=⋅AP AD AB AC .………10分B ．由20120224⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以，A ，B ，C 在矩阵变换下变为(2,4),(6,6),(4,2)A B C '''---，从而可得A B B C A C ''''''===，可得S=6． ………10分C. （1）将15x t y =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩代入0x y --=得t =得(1P +， ………5分（2）由(1,5)Q -，得PQ =. ………10分D. 332233222()()()222a b a b a ba b a b a b +++≥⋅⇔+≥++ ……3分3322332222()()()a b a b ab a b a b ab a a b b a b ⇔+≥+⇔+-+=--- ……6分 2()()0a b a b ⇔+-≥.当且仅当a b =时等号成立. ……10分22. （1）因为∠BAF=90º，所以AF ⊥AB ，因为 平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ∩平面ABCD= AB ，所以AF ⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 为矩形， 所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -． 所以 (1,0,0)B ，1(,0,1)2E ，1(0,1,)2P ，(1,2,0)C ．所以 1(,0,1)2BE =-，1(1,1,)2CP =--，所以4cos ,||||BE CP BE CPBE CP ⋅<>==⋅即异面直线BE 与CP ． -----------------------------5分 （2）因为AB ⊥平面ADF ，所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =．设P 点坐标为(0,22,)t t -，在平面APC 中，(0,22,)AP t t =-，(1,2,0)AC =， 所以 平面APC 的法向量为222(2,1,)t nt-=-， 所以，121212||cos ,||||n n n n n n ⋅<>==⋅解得23t =，或2t =（舍）． 所以PF = ---------------10分 23. （1）猜想：N K a -≤1，1≤k <N －1，k ∈N *，接下来用数学归纳法对k 进行证明：当k =1时，由2121n n a a +=-，1N a = 得 21N a -=12N a +=1 但11N a -≠ ∴1-N a =－1，∴11N a -≤成立 --------------------------------------------2分 假设k =m (1≤m <N －1，m ∈*N )时，1N m a -≤ 则21N m a --=12N m a -+∈[0，1] 所以11N m a --≤ 所以k =m+1时结论也成立.综上 ，有1N K a -≤，1≤k <N －1，k ∈*N 故有11a ≤ ----------------5分 （2）当N=2时，由12=a 且11≠a 得11cos a π=-=成立假设N=m (m ≥2)时，存在Z k ∈，使得12cos2m k a π-= ------------------7分 则当N=m ＋1时，由归纳假设，存在k ，使得23cos 2m k a π-=，则21a =212a +=3cos 122m k π-+=22cos 2m k π- 所以12cos 2m k a π-==(1)22cos 2m k π+-或12cos 2m k a π-=-=(1)2(1)2(22)cos 2m m k π+-+-- 所以无论N 取任何大于1的正整数，都存在k 使得()12cos2N k a k Z π-=∈ --10。
(高清版)【江苏省南通市】2017年高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(四)
江苏省南通市2017年高考（数学学科基地命题）模拟数学试卷（四）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合21{}|60A x x =-<，5,{1}0,B -=，则AB =________．2．命题“若a b >，则22a b >”的否命题是________． 3．已知i 为虚数单位，复数12i1iz +=-，则复数z 的虚部是________． 4．一支田径队有男运动员28人，女运动员21人，现按性别用分层抽样的方法，从中抽取14位运动员进行健康检查，则男运动员应抽取________．5．执行如右图所示的程序框图，若输出s 的值为16，那么输入的n 值等于________．6．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则其中恰有一个红球的概率是________． 7．等差数列{}n a 中，若357911100a a a a a ++++=，则9133a a -=________．8．将函数()sin2cos2f x x x =+的图像向右平移ϕ个单位（0ϕ>），可得函数()sin2cos2g x x x =-的图像，则ϕ的最小值为________．9．已知圆锥的底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥母线的长度取最小值时，该圆锥的体积为________． 10．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，4AC =，2BC =，D 是BC 的中点，E 是AB 的中点，P 是ABC △（包括边界）内任一点．则AD EP 的取值范围是________．11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，在(0,2]上是增函数，且(4)()f x f x -=-，给出下列结论： ①若1222x x -<<<且120x x +>，则12()()0f x f x +>；②若1204x x <<<且125x x +=，则12()()f x f x >；③若方程()f x m =在[8,8]-内恰有四个不同的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则12348x x x x +++=-或8； ④函数()f x 在[8,8]-内至少有5个零点，至多有13个零点； 其中正确的结论的个数是________个．12．已知函数()f x 满足1()2()f x f x =，当[1,3]x ∈时，()ln f x x =，若在区间1[,3]3上，函数()()g x f x ax =-恰有一个零点，则实数a 的取值范围是________．13．设P 是圆M ：22()(55)1x y -+-=上的动点，它关于()9,0A 的对称点为Q ，把P 绕原点依逆时针方向旋转90到点S ，则||SQ 的取值范围为________．14．如图，在数轴上截取与闭区间[0,4]对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）．那么原闭区间[0,4]上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后（1n ≥），恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标组成的集合是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A B =，3sin B =． （1）求cos A 及sin C 的值； （2）若2b =，求ABC △的面积． 16．（本小题满分14分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=，平面11AA B B ⊥平面11BB C C ．（1）求证：11B C AC ⊥；（2）设点E ，F 分别是B 1C ，AA 1的中点，试判断直线EF 与平面ABC 的位置关系，并说明理由．17．（本小题满分14分）已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．（1）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P 是多少元？（2）设该厂x 天购买一次配料，求该厂在这x 天中用于配料的总费用y （元）关于x 的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？ 18．（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>3，短轴端点到焦点的距离为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点A ，B 是椭圆C 上的任意两点，O 是坐标原点，且OA OB ⊥；①求证：存在一个定圆，使得直线AB 始终为该定圆的切线，并求出该定圆的方程； ②若点O 为坐标原点，求AOB △面积的最大值． 19．（本小题满分16分） 已知曲线C ：1xy =，117x =过C 上一点(,)n n n A x y 作一斜率12n n k x =-+的直线交曲线C 于另一点，111(,)n n n A x y +++．（1）求n x 与1n x +之间的关系式； （2）求证：数列11{}23n x +-是等比数列，并求数列{}n x 的通项公式； （3）求证：23*123(1)(1)(1)...(1)1()n n x x x x n -+--+-<∈N ．20．（本小题满分16分）已知函数2()1(1)ln ()f x x a x x a =----∈R ． （1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()()1g x f x x =-+既有一个极小值和又有一个极大值，求a 的取值范围； （3）若存在(1,2)b ∈，使得当(0,]x b ∈时，()f x 的值域是[(),)f b +∞，求a 的取值范围． 注：自然对数的底数 2.71828...e =．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．A ，（选修4-1；几何证明选讲）如图，已知AB 切圆O 于点B ，BC 是圆O 的直径，AC 交圆O 于点D ，DE 是圆O 的切线，CE DE ⊥于E ，3DE =，4CE =，求AB 的长．B ．（选修4-2：矩阵与变换）求将曲线2y x =绕原点逆时针旋转90后所得的曲线方程．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合．若曲线C 1的方程为πsin()2306ρθ-+=，曲线C 2的参数方程为cos sin x y θ,θ.=⎧⎨=⎩（1）将C 1的方程化为直角坐标方程；（2）若点Q 为C 2上的动点，P 为C 1上的动点，求||PQ 的最小值． D ．（选修4-5：不等式选讲）设函数()|21||2|f x x x =+--． （1）求不等式()2f x >的解集； （2）若x ∀∈R ，211()2f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围． 【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分．22．设A ，B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的只数多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A 有效的概率为23，服用B 有效的概率为12． （1）求一个试验组为甲类组的概率；（2）观察三个试验组，用X 表示这三个试验组中甲类组的个数，求X 的分布列和数学期望．23．用数学归纳法证明：224n n nn C <<，其中2n ≥，n ∈N ．15．解：（1）∵2A B =，∴2cos cos21sin A B B ==-．∵sin B =11cos 1233A =-⨯=．由题意可知，π(0,)2B∈．∴cos Bsin sin22sin cos3A B B B===．∴sin sin[π()]sin()sin cos cos sin9C A B A B A B A B=-+=+=+=．（2）∵sin sinb aB A=，2b==，∴a=．16．解：（1）连接BC1．在正方形ABB1A1中，1AB BB⊥．因为平面11AA B B⊥平面11BB C C，11111AA B B BB C C BB=平面平面，11AB ABB A⊂平面，所以11BB CA B C⊥平面．因为111BC CB B C⊂平面，所以1AB B C⊥在菱形11BB C C中，．11BC B C⊥因为11B C ABC⊂平面，1AB ABC⊂平面，1B C AB B=，所以11B C ABC⊥平面．因为11AC ABC⊂平面，所以11B C AC⊥．（2）EF ABC∥平面，理由如下：取BC的中点G，连接GE，GA．因为E是B1C的中点，所以1GE BB∥，且112GE BB=．因为F是AA1的中点，所以112AF AA=．在正方形ABB1A1中，11AA BB∥，11AA BB=．所以GE AF ∥，且GE AF =． 所以四边形GEF A 为平行四边形． 所以EF GA ∥．因为EF ABC ⊄平面，GA ABC ⊂平面，所以EF ABC ∥平面．17．解：（1）当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用 700.03200(12)88P =+⨯⨯+=（元）． （2）（1）当7x ≤时36010236370236y x x x =++=+（2）当7x >时2[(7)360236706(6)21332143]2y x x x x x =++++-+⋯⋯++=++-∴2370236,73321432,7x x y x x x +≤⎧=⎨++>⎩∴设该厂x 天购买一次配料平均每天支付的费用为()f x 元．2370236,7()3321432,7x x xf x x x x x +⎧≤⎪⎪=⎨++⎪>⎪⎩．当7x ≤时236()370f x x =+当且仅当7x =时()f x 有最小值28264047≈（元）当7x >时23321432144()3(333219)x x f x x x x++==≥++．当且仅当12x =时取等号．∴所求椭圆方程为2214x y +=．（2）①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x =，原点O 到直线AB ， 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由2214m y y kx x ==+⎧+⎪⎨⎪⎩，得：222(14)8440k x kmx m +++-=，2216(14)0k m ∆=+->，122814km x x k+=-+，21224414m x x k -=+， 由2212122544014m k OA OB x x y y k --=+==+，得224(1)5m k =+， ∴原点O 到直线AB的距离d ===， 综上所述，原点O 到直线AB；即该定圆方程为2245x y +=． ②当直线AB的斜率不存在时5AB =， 当直线AB的斜率存在时，12|||AB x x =-= 当0k ≠时，||AB =12K =±时等号成立． 当0k =时，||AB =||AB 1255125=．19．解：（1）直线方程为1()2n n n y y x x x -=--+，因为直线过点111(,)n n n A x y +++， ∴111111111()()222n n n n n n n n n n n n n y y x x x x x x x x x x x +++++-=--⇒-=--⇒=+++． （2）设1123n n a x =+-，由（1）得 111111112()22233232n n n n n na a x x x x ++=+=+=-+=-+---又120a =-≠，故11{}23n x +-是等比数列；1(2)21(2)3n n n na x =-⇒=+--．（3）由（2）得∴1(1)(1)212(1)3n n n nnx -=-+--当n 为偶数时，则11111111222211(1)(1)11222222239n n n n n nn n n n n n n n n x x --------++-+-=<=++-∴2312321111(1)(1)(1)...(1) (112222)n n n n x x x x -+-+-++-<+++=-<；当n 为奇数时，则23123(1)(1)(1)...(1)1(1)n n n n x x x x x -+-+-++-<+- 而120123n n x =->+，所以1(1)11n n n x x +-=-<∴23123(1)(1)(1)...(1)1n n x x x x -+-+-++-<综上所述，当*n ∈N 时，23123(1)(1)(1)...(1)1nn x x x x -+-+-++-<成立．20．解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞．当0a =时，11()1x f x x x-'=-=．()001f x x '<⇔<<；()01f x x '>⇔>． 所以，函数()f x 的增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1)．（2）2()(1)ln g x a x x =---，则21221()2(1)ax ax g x a x x x-+'=---=-．令2()221(0)h x ax ax x =-+>，若函数()g x 有两个极值点，则方程()0h x =必有两个不等的正根，设两根为x 1，x 2．于是2121220480,10,10.2a a a x x x x a ≠⎧⎪∆=->⎪⎪⎨+=>⎪⎪=>⎪⎩解得2a >．当2a >时，()0h x =有两个不相等的正实根，设为x 1，x 2，不妨设12x x <， 则122()()()()a x x x x h x g x x x--'=-=-． 当10x x <<时，()0h x >，()0g x '<，()g x 在1(0,)x 上为减函数； 当12x x x <<时，()0h x <，()0g x '>，()g x 在12(,)x x 上为增函数；当2x x >时，()0h x >，()0g x '<，函数()g x 在2(,)x +∞上为减函数．由此，1x x =是函数()g x 的极小值点，2x x =是函数()g x 的极大值点．符合题意． 综上，所求实数a 的取值范围是(2,)+∞．（3）212(21)1(1)(21)()12(1)ax a x x ax f x a x x x x-++--'=---=-=-①当0a ≤时，210ax x-<．当01x <<时，()0f x '<，()f x 在(0,1)上为减函数； 当1x >时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上为增函数．所以，当(0,](12)x b b ∈<<时，min ()(1)0()f x f f b ==<，()f x 的值域是[0,)+∞． 不符合题意．②当0a >时，12(1)()2()a x x a f x x--'=-．（i ）当112a <，即1a >时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下：若满足题意，只需满足()(2)2f f a>，即21(1)ln 1ln2222a a a a a ---->--． 整理得11ln2ln21()42a a a ++-≥．令11()ln2ln21()42F a a a a =++-≥，当12a >时，221141()044a F a a a a -'=-=>，所以()F a 在1(,)2+∞上为增函数，所以，当12a >时，111()()ln20222F a F >=->=．可见，当12a >时，1()(2)2f f a >恒成立，故当12a >，(0,](12)x b b ∈<<时，函数()f x 的值域是[(),)f b +∞；所以12a >满足题意．（ⅱ）当112a =，即12a =时，2(1)()0x f x x -'=-≤，当且仅当1x =时取等号．所以()f x 在(0,)+∞上为减函数．从而()f x 在(0,]b 上为减函数．符合题意． （ⅱ）当112a >，即1a <<时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表： 若满足题意，只需满足(2)(1)f f <，且22a <（若22a≥，不符合题意）， 即1ln2a >-，且14a >． 又11ln24->，所以1ln2a >-．此时，11ln22a -<<．综上，1ln2a >-．所以实数a 的取值范围是(1ln2,)-+∞．21．A ．连接OD ，∵DE 是圆O 的切线，∴OD DE ⊥，又∵CE DE ⊥于E ，∴OD CE ∥， ∴ECD ODC OCD ∠=∠=∠，∵3DE =，4CE =，∴5CD =，∴3tan tan tan 4ECD ODC OCD ∠=∠=∠=，∴4cos 5OCD ∠=， 故25cos 4CD BC OCD ==∠，故75tan 16AB BC OCD =∠=． B ．由题意得旋转变换矩阵cos90sin900110sin90cos90M ⎡⎤--⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 设00(,)P xy 为曲线2y x =上任意一点，变换后变为另一点(,)x y ，则000110x x y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即00,,x y y x =-⎧⎨=⎩ 所以00,,y x x y =-⎧⎨=⎩又因为点P 在曲线2y x =上，所以200y x =，故2()x y -=，即2x y =为所求的曲线方程． C ．（1）由已知得31sin cos 2302ρθρθ-+，即0x -． （2）由C 2得221x y +=，所以圆心为2(0,0)C ，半径为1．又圆心到直线C 1的距离为d =||PQ 的最大值为1． D ．(1)不等式()2f x >可化为22122x x x >⎧⎨+-+>⎩或1222122x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++->⎩或122122x x x ⎧<-⎪⎨⎪--+->⎩， 解得5x <-或1x >，所以所求不等式的解集为{|51}x x x <->或．(2)因为3,21()|21||2|31,2213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪+>⎪⎪=+--=--≤≤⎨⎪⎪--<-⎪⎩，可得5()2f x ≥-，若x ∀∈R ，211()2f x t t ≥-恒成立，则211522t t -≤-，解得152t ≤≤． 22．设Ai 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，0,1,2i =；Bi 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，0,1,2i =．依题意，有112423()39P A ⨯⨯=＝，222433()9P A ==⨯，0111()224P B =⨯=，1111()2222P B =⨯⨯=．故所求的概率为010212)1414144(()()4949299P P B A P B A P B A =⨯+⨯+⨯=＝＋＋． （2）由题意知X 的可能值为0，1，2，3，故有35125()()97290P X ===， 123451001()99243()P X C ⨯⨯===， 22345802()99243()P X C ⨯⨯===， 34643()9(7)29P X ===． 从而，X 的分布列为数学期望1251008064401237292432437293EX ⨯⨯+⨯⨯＝++=．23．①当2n =时，22222264C ⨯<=<不等式成立．②假设当n k =时，2264k k k k C <=<成立，则当1n k =+时由122(22)(21)2(1)2(21)(+1)(+1)(+1)(+1)(+1)k k k k k k C k k k k k k ++++⨯++===！！！！！！！！！11222222k k k k k k C C ++=>=>=，即11222k k k C +++<．11222122221222244441k kk k k k k k k k k k k C C C C C k +++++=<<=<=+， 因此1112224k k k k C ++++<<成立，即当1n k =+时，不等式成立， 所以，对2n ≥，n ∈N ，不等式224n n nn C <<恒成立．江苏省南通市2017年（数学学科基地命题）高考模拟数学试卷（四）解 析一、填空题1．∵A={x|-4<x<4}， B={-5，0，1}。
江苏高考南通密卷四(南通市数学学科基地命题)
2015年高考模拟试卷(4)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 全集，集合，，则．2. 已知复数满足，(是虚数单位)，则复数的共轭复数= .3. 已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是．4. 某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位：支)进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的鲜花数(单位：支)为．5. 如图程序运行的结果是．6. 顶点在原点且以双曲线的右准线为准线的抛物线方程是．7. 给出下列命题：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；（2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；（3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；（4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．则其中所有真命题的序号是．8. 已知，若存在，使对一切实数x恒成立，则= ．9. 设实数x ，y ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b，若z ＝2x ＋y 的最小值为3， 则实数b 的值为 ．10. 若则的最小值为 ．11. 在R t △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为 ．12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P 作圆M 的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，当P 在圆C 上运动时，使得∠APB 恒为60︒，则圆M 的方程为 ．13．三次函数的两个极值点为且重合，又在曲线上，则曲线的切线斜率的最大值的最小值为_________.14. 设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54=2014，且存在正整数k ，使a 1，a 54，a k 成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， . （1）求；（2）若△ABC 的外接圆直径为1,求的取值范围.16．(本小题满分14分)在正四棱锥中，底面边长为，侧棱长为，为侧棱上的一点. （1）当四面体的体积为时，求的值；（2）在（1）的条件下，若是的中点，求证：17．（本小题满分14分）如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知为直径，且km ,为圆心，为圆周上靠近 的一点，为圆周上靠近 的一点，且∥．现在准备从经过到建造一条观光路线，其中到是圆弧，到是线段.设，观光路线总长为. （１）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域； （２）求观光路线总长的最大值.18．（本小题满分16分）如图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为.（1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.(第17题图) OA C D19．（本小题满分16分）已知函数()()32ln ,g x a x f x x x bx ==++.（1）若在区间上不是单调函数，求实数的范围；（2）若对任意，都有()2(2)g x x a x ≥-++恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，设()()1()1f x x F x g x x -<⎧=⎨≥⎩，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由.20．（本小题满分16分）已知a ，b 是不相等的正数，在a ，b 之间分别插入m 个正数a 1，a 2，…，a m 和正数b 1，b 2，…，b m ，使a ，a 1，a 2，…，a m ，b 是等差数列，a ，b 1，b 2，…，b m ，b 是等比数列．（1）若m ＝5，a 3b 3＝54，求ba 的值；（2）若b ＝λa (λ∈N *，λ≥2)，如果存在n (n ∈N *，6≤n ≤m )使得a n －5＝b n ，求λ的最小值及此时m 的值；（3）求证：a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE =AC ，求证：∠PDE =∠POC ．B ．（选修４－２：矩阵与变换）若二阶矩阵满足：.(Ⅰ）求二阶矩阵；(Ⅱ）若曲线在矩阵所对应的变换作用下得到曲线，求曲线的方程.C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知点(1)P αα-（其中，点的轨迹记为曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点在曲线21:)4C ρπθ=+上． (Ⅰ)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程; (Ⅱ)当时，求曲线与曲线的公共点的极坐标．D ．（选修４－５：不等式选讲）已知x ，y ，z 均为正数．求证：111yxz yz zxxy xyz≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．（本小题满分10分）从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}M =中任取三个元素构成子集 （1）求中任意两数之差的绝对值不小于2的概率；（2）记三个数中相邻自然数的组数为（如集合中3和4相邻，4和5相邻， ），求随机变量的分布率及其数学期望.23．（本小题满分10分）设整数3，集合P {1，2，3，…，n }，A ，B 是P 的两个非空子集．记a n 为所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A ，B )的个数． （1）求a 3；（2）求a n．2014年高考模拟试卷(4)参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1.；2.；3．；4．1200；5．14；6．；7．①②；8．；9．；10．.【解析】=，当且仅当时，取等号；11．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2 . 【解析】以CA、CB所在直线为x、y轴，建立平面直角坐标系，设M(x,y)，则x＋y＝2，y＝2－x，即M(x,2－x)，又MN＝2，所以点N坐标为(x＋1，2－x－1)，即N(x＋1，1－x)，于是＝x(x＋1)＋(2－x) (1－x)＝2x2－2x＋2＝(0≤x≤1)，所以x＝时取最小值，x＝0或1时取最大值2，因此的取值范围为⎣⎡⎦⎤32，2；12．.【解析】∵当P在圆C上运动时∠APB恒为60°，∴圆M与圆C一定是同心圆，∴可设圆M的方程为(x－1)2＋y2＝r2.当点P坐标是(3，0)时，设直线AB与x轴的交点为H，则MH＋HP＝2，MH＝，AB＝2×，所以＋2××＝2，解得r＝1，所以所求圆M的方程为(x－1)2＋y2＝1；13．.【解析】设dcxbxaxxf+++=23)(，依题意知，∴，故，，由及点Q在其上，可设Q点的坐标为],0[),sin1,cos1(πθθθ∈++. 由Q为的一个极值点得⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=+)cos1(2)cos1(3)cos1()cos1(sin1223θθθθθbaba，显然，∴，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++-=23)cos1()sin1(3)cos1()sin1(2θθθθba，∵，∴存在最大值θθθcos1sin123)2cos1()32(''++⋅=+=-fabf，数形结合可求得，其最小值为.14．92．【解析】易知d=0，成立．当d>0时，dadaa5320142014531154-=⇒=+=d)k(d)k(aak5420145454-+=-+=[][]2014201454201438535420145320141254⨯=-+-=-+-==d)k()d(d)k()d(aaak[]20143854201438⨯=-+-)dk()d()k(d)k(d)k(d)k(107385410738542-=-⇒=-+--107385438107383854⨯-=-⇒⨯-=-k)d(ddkd*N dd d )d (d d k ∈-⨯+=-⨯+=-⨯-⨯+-=-⨯-=3853385438533854381073838543854381073854又⎩⎨⎧>>-⇒>-=-=038038535320141d d )d (d a ， ，所以公差d 的所有可能取值之和为92． 二、解答题 15． (1)因为,即,所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+, 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-, 得 ， 所以,或(不成立).即 , 得 ；(2)法一：由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333A B α<<<<知-.因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====, 故(sin sin )sin()sin()33a b A B ππαα+=+=++- ，，，.法二：233sin sin sin sin()sin 32a b A B A A A A π+=+=+-= ， 250,3666A A ππππ<<<+<，13sin()1,326A a b π∴<+≤∴<+≤. 16．（1）设，设作于，SBD ABCD ⊥平面平面且为交线，则，又， 在中，2262SO SB BO =-=， 63222x a PH PD PD SOPH SO SD SDa ⋅⋅=∴==，311636()322218SPAC S ACD P ACD V V V a a a x a --∴=-=⨯⨯⨯-= ，解得.（2）取中点，连结，则//,,//EQ PC EQ PAC PC PAC EQ PAC ⊄⊂∴平面，平面平面 ， 则//,,//BQ PO BQ PAC PO PAC BQ PAC ⊄⊂∴平面，平面平面，而为平面内的两条相交直线，//BEQ PAC ∴平面平面，而，．【注】第（2）问，也可以连结ED ，ED 交CP 于Q ，用平几知识证明Q 为ED 中点，进而证明OQ ∥BE ，从而获证. 17．(1)由题意知，， ，因为为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且，所以,所以 ， . (2)记,则，令，得， 列表x (0，) (，) ＋ 0 － f (x ) 递增 极大值 递减所以函数在处取得极大值，这个极大值就是最大值， 即，答：观光路线总长的最大值为千米． 18．（1）设，其中， 由,得. 从而122112122,222DF F S DF F F c ∆=⋅==故. 从而，由得222211292DF DF F F =+=，因此. 所以12222a DF DF =+=，故2222,1a b a c ==-=.因此，所求椭圆的标准方程为.（2）如图，设圆心在轴上的圆与椭圆相交，是两个交点，，,是圆的切线，且由圆和椭圆的对称性，易知,，由（1）知，所以()()111122111,,1,F P x y F P x y =+=--， 再由得，由椭圆方程得，即， 解得或.当时，重合，此时题设要求的圆不存在.当时，过分别与,垂直的直线的交点即为圆心，设 由得而故.圆的半径2241542CP ⎛⎫⎛⎫=-+-=.综上，存在满足条件的圆，其方程为.19.（1）由得，因在区间上不是单调函数.所以在上最大值大于0，最小值小于0,()313132322-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++='b x b x x x f , ，.(2)由，得, []x x e x ≤≤∴∈1ln ,,1 ，且等号不能同时取，，即.恒成立，即.令()[]()e x x x x x x t ,1,ln 22∈--=，求导得()()()()2ln ln 221x x x x x x t --+-=', 当时，0ln 22,1ln 0,01>-+≤≤≥-x x x x ，从而.在上是增函数，..(3)由条件，()⎩⎨⎧≥<+-=1,ln 1,23x x a x x x x F ,假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴两侧,不妨设，则，且,是以为直角顶点的直角三角形，,()()0232=++-∴t t t F t是否存在等价于方程在且是否有解. ①当时，方程为()()232320t t t t t -+-++=，化简，此方程无解； ②当时，方程为()0ln 232=++-t t t a t ，即设，则,显然，当时，，即在上为增函数.的值域为，即，当时，方程总有解.对任意给定的正实数，曲线上存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上.20．（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，则d ＝b －a 6，q ＝6b a． a 3＝a ＋3d ＝a ＋b 2，b 3＝aq 3＝ab ． 因为a 3b 3＝54，所以2a －5ab ＋2b ＝0，解得b a ＝4或14．（2）因为λa ＝a ＋(m ＋1)d ，所以d ＝λ－1m ＋1a ，从而得a n ＝a ＋λ－1m ＋1a ×n ． 因为λa ＝a ×q m ＋1，所以q ＝λ1m ＋1，从而得b n ＝a ×λn m ＋1．因为a n －5＝b n ，所以a ＋(λ－1)(n －5)m ＋1×a ＝a ×λn m ＋1． 因为a ＞0，所以1＋(λ－1)(n －5)m ＋1＝λn m ＋1（*）． 因为λ，m ，n ∈N *，所以1＋(λ－1)(n －5)m ＋1为有理数． 要使（*）成立，则λnm ＋1必须为有理数．因为n ≤m ，所以n ＜m ＋1．若λ＝2，则λnm ＋1为无理数，不满足条件．同理，λ＝3不满足条件．当λ＝4时，4n m ＋1＝22n m ＋1．要使22n m ＋1为有理数，则2n m ＋1必须为整数． 又因为n ≤m ，所以仅有2n ＝m ＋1满足条件．所以1＋3(n －5)m ＋1＝2，从而解得n ＝15，m ＝29． 综上，λ最小值为4，此时m 为29．(3)证法一：设c n ＞0，S n 为数列{c n }的前n 项的和．先证：若{c n }为递增数列，则{S n n}为递增数列． 证明：当n ∈N *时，S n n ＜nb n ＋1n＝b n ＋1． 因为S n ＋1＝S n ＋b n ＋1＞S n ＋S n n ＝n ＋1n S n ，所以S n n ＜S n ＋1n ＋1，即数列{S n n}为递增数列． 同理可证，若{c n }为递减数列，则{S n n}为递减数列． ①当b ＞a 时，q ＞1．当n ∈N *，n ≤m 时，S m ＋1m ＋1＞S n n． 即aq (q m ＋1－1)q －1m ＋1＞aq (q n －1)q －1n ，即aq m ＋1－a m ＋1＞aq n －a n ． 因为b ＝aq m ＋1，b n ＝aq n ，d ＝b －a m ＋1，所以d ＞b n －a n，即a ＋nd ＞b n ，即a n ＞b n ． ②当b ＜a 时，0＜q ＜1，当n ∈N *，n ≤m 时，S m ＋1m ＋1＜S n n． 即aq (q m ＋1－1)q －1m ＋1＜aq (q n －1)q －1n ． 因为0＜q ＜1，所以aq m ＋1－a m ＋1＞aq n －a n ．以下同①． 综上， a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．A ．因AE=AC ，AB 为直径，故∠OAC=∠OAE ．所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC ．又∠EAC=∠PDE ，所以，∠PDE=∠POC ． B ．（1）设，则，1213122A --⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥-⎣⎦， 21582131461122M -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦(2）11112x x x x x M M y y y y y -'''-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'''-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即代入可得()()()()2222221x y x y x y x y ''''''''-+--++-+=，即， 故曲线的方程为．C ．(Ⅰ)曲线：，极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为；(Ⅱ) 曲线与曲线的公共点的坐标为，极坐标为．D ．因为x ，y ，z 都是为正数，所以12()x y x y yz zx z y x z+=+≥． 同理可得22y z z x zx xy x xy yz y++≥，≥． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z yz zx xy x y z ++++≥． 22．（1）从9个不同的元素中任取3个不同的元素，为古典概型.记“中任意两数之差的绝对值均不小于2”为事件A ，其基本事件总数为．由题意，均不相邻，利用插空法得，事件A 包含基本事件数 ，所以，中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率为 ．（2）5112()012122123E ξ=⨯+⨯+⨯= ． 23．（1）当3时，P {1，2，3 }，其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，则所有满足题意的集合对(A ，B )为：({1}，{2})，({1}，{3})，({2}，{3})， ({1}，{2，3}），（{1，2}，{3})共5对，所以a 3；（2）设A 中的最大数为k ，其中,整数3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k 可在A 中，故A 的个数为：0111111C C C 2k k k k k -----++⋅⋅⋅+=， B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k 1，k 2，…，n 可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：12C C C 21n k n k n k n k n k -----++⋅⋅⋅+=-， 从而集合对(A ，B )的个数为，所以a n ()11111111222(1)2(2)2112n n n k n n k n n ------=-=-=-⋅-=-⋅+-∑．。
数学_2013年江苏省高考数学模拟试卷(七)(含答案)
2013年江苏省高考数学模拟试卷（七）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 设集合U =N ，集合M ={x|x 2−3x ≥0}，则∁U M =________．2. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________．3. 已知i 为虚数单位，a+4i2+i =2i ，则实数a =________．4. 在平面直角坐标系xoy 中，角α的始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y =−√3x 上，且x >0，则cosα=________．5. 已知函数f(x)=√1−log 2x ，则函数y =f(x +1)的定义域为________．6. 从集合{1, 2, 3, 4, 5}中随机选取一个数记为a ，则使命题：“存在x ∈(−3, 3)使关于x 的不等式x 2+ax +2<0有解”为真命题的概率是________．7. 已知向量a →=(x,1)，b →=(2,y +z)，且a →⊥b →．若x 、y 满足不等式组{x −2y +2≥0x +2y −2≥0x ≤2，则z 的取值范围是________．8. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的一条渐近线方程是y =√3x ，它的一个焦点与抛物线y 2=16x 的焦点相同．则双曲线的方程为________．9. 设函数f(x)=4sin(πx)−x ，函数f(x)在区间[k −12，k +12](k ∈Z)上存在零点，则k 最小值是________．10. 数列{a n }的各项都是整数，满足a 3=−1，a 7=4，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列，则数列{a n }前10项的和是________． 11. 若函数f(x)=tanx +4π3在点P(π3，√3+4π3)处的切线为l ，直线l 分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为________．12. 如果圆(x −2a)2+(y −a −3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是________．13.如图放置的腰长为2的等腰三角形ABC 薄片，∠ACB =π2，沿x 轴滚动，设顶点A(x, y)的轨迹方程为y =f(x)，则f(x)其相邻两个零点间的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为________．14. 定义区间(c, d],[c, d)，(c, d)，[c, d]的长度均为d −c ，其中d >c ．则满足不等式1a 1x−1+1a 2x−1≥1，(a 1>0,a 2>0)的x 构成的区间长度之和为________．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15. 如图，四边形ABCD 为正方形，平面ABCD ⊥平面ABE ，BE =BC ，F为CE 的中点，且AE ⊥BE ． （1）求证：AE // 平面BFD ； （2）求证：BF ⊥AC ．16. 已知锐角△ABC 中的三个内角分别为A 、B 、C ． （1）设BC →⋅CA →=CA →⋅AB →，∠A =5π12，求△ABC 中∠B 的大小；（2）设向量s →=(2sinC,−√3)，t →=(cos2C,2cos 2C2−1)，且s → // t →，若sinA =23，求sin(π3−B)的值．17. 如图，现有一个以∠AOB 为圆心角、湖岸OA 与OB 为半径的扇形湖面AOB ．现欲在弧AB 上取不同于A ，B 的点C ，用渔网沿着弧AC （弧AC 在扇形AOB 的弧AB 上）、半径OC 和线段CD （其中CD // OA ），在该扇形湖面内隔出两个养殖区域--养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ．若OA ＝1cm ，∠AOB =π3，∠AOC ＝θ．（1）用θ表示CD 的长度；（2）求所需渔网长度（即图中弧AC 、半径OC 和线段CD 长度之和）的取值范围． 18. 已知a ，b 为实数，a >2，函数f(x)=|lnx −ax |+b ，若f(1)=e +1,f(2)=e2−ln2+1．（1）求实数a ，b ；（2）求函数f(x)在[1, e 2]上的取值范围；（3）若实数c 、d 满足c ≥d ，cd =1，求f(c)+f(d)的最小值．19.已知圆C 1：x 2+y 2=1，椭圆C 2：x 23+2y 23=1，四边形PQRS 为椭圆C 2的内接菱形． （1）若点P(−√62，√32)，试探求点S （在第一象限的内）的坐标； （2）若点P 为椭圆上任意一点，试探讨菱形PQRS 与圆C 1的位置关系．20. 已知数列a n 中，a 1=1，a 2=a −1（a ≠1，a 为实常数），前n 项和S n 恒为正值，且当n ≥2时，1S n=1a n−1an+1．（1）求证：数列S n 是等比数列；（2）设a n 与a n+2的等差中项为A ，比较A 与a n+1的大小；（3）设m 是给定的正整数，a =2．现按如下方法构造项数为2m 有穷数列b n ：当k =m +1，m +2，…，2m 时，b k =a k ⋅a k+1；当k =1，2，…，m 时，b k =b 2m−k+1．求数列{b n }的前n 项和为T n (n ≤2m, n ∈N ∗)．三、[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．21. （选修4−1：几何证明选讲）从⊙O 外一点P 向圆引两条切线PA 、PB和割线PCD ．从点A 作弦AE 平行于CD ，连接BE 交CD 于F ．求证：BE 平分CD ．22. 设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换． 求逆矩阵M −1以及椭圆x 24+y 29=1在M −1的作用下的新曲线的方程．23. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是：{x =√22t +1y =√22t，求直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长．24. （选修4−5：不等式选讲）设x 、y 均为正实数，且12+x+12+y=13，求xy 的最小值．四、【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.25. 如图，一个小球从M 处投入，通过管道自上而下落A 或B 或C ．已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A ，B ，C ，则分别设为l ，2，3等奖．（1）已知获得l ，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%．记随变量ξ为获得k(k =1, 2, 3)等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望Εξ；（2）若有3人次（投入l 球为l 人次）参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P(η=2)．26. 已知集合A ={x|x 2+a ≤(a +1)x, a ∈R}． （I ）求A ；（II ）若a >0，以a 为首项，a 为公比的等比数列前n 项和记为S n ，对于任意的n ∈N +，均有S n ∈A ，求a 的取值范围．2013年江苏省高考数学模拟试卷（七）答案1. {1, 2}2. 153. −24. 125. {x|−1<x <1}6. 357. −5≤z ≤−1 8. x 24−y 212=1 9. −4 10. 57 11. 3812. −65<a <013. 2+4π 14.a 1+a 2a 1a 215. 证明：（1）连接AC 交BD 于点M ，如图所示： 由正方形ABCD 可得：AM =MC ， 又∵ F 为CE 的中点，∴ MF // AE ． ∵ AE ⊄平面BFD ，MF ⊂平面BFD ， ∴ AE // 平面BFD ；（2）∵ BC =BE ，F 为CE 的中点，∴ BF ⊥CE ；∵ 平面ABCD ⊥平面ABE ，BC ⊥AB ，∴ BC ⊥平面ABE ，∴ BC ⊥AE ． 又∵ AE ⊥BE ，BC ∩BE =B ，∴ AE ⊥平面BCE ，∴ AE ⊥BF ． ∵ AE ∩CE =E ，∴ BF ⊥平面ACE ， ∴ BF ⊥AC ．16. 解：（1）因为BC →⋅CA →=CA →⋅AB →，所以CA →⋅(BC →−AB →)=0， 又AB →+BC →+CA →=0，所以CA →=−(AB →+BC →)，所以−(AB →+BC →)⋅(BC →−AB →)=0， 所以AB →2−BC ¯2=0，所以|AB →|2=|BC →|2，即|AB →|=|BC →|， 故△ABC 为等腰三角形． 因为∠A =5π12，所以∠B =12(π−5π12)=7π24．（2）∵ s →=(2sinC,−√3)，t →=(cos2C,2cos 2C2−1)，且s → // t →， ∴ 2sinC(2cos2C2−1)=−√3cos2C ，∴ sin2C =−√3cos2C ，即tan2C =−√3， ∵ C 为锐角，∴ 2C ∈(0, π)， ∴ 2C =2π3，∴ C =π3．∴ A =2π3−B ，∴ sin(π3−B)=sin[(2π3−B)−π3]=sin(A −π3)．又sinA =23，且A 为锐角，∴ cosA =√53， ∴ sin(π3−B)=sin(A −π3)=sinAcos π3−cosAsin π3=23×12−√53×√32=2−√156．17. 由CD // OA ，∠AOB =π3，∠AOC ＝θ，得∠OCD ＝θ，∠ODC =2π3，∠COD =π3−θ．在△OCD 中，由正弦定理，得CD =√3sin(π3−θ)，θ∈(0, π3)设渔网的长度为f(θ)． 由（1）可知，f(θ)＝θ+1+√3sin(π3−θ)． 所以f′(θ)＝1√3cos(π3−θ)，因为θ∈(0, π3)，所以π3−θ∈(0, π3)，令f′(θ)＝0，得cos(π3−θ)=√32，所以π3−θ=π6，所以θ=π6．所以f(θ)∈(2, π+6+2√36]．故所需渔网长度的取值范围是(2, π+6+2√36]．18. 解：（1）由f(1)=e+1,f(2)=e2−ln2+1．得：{|ln1−a|+b=e+1|ln2−a2|+b=e2−ln2+1，因为a>2，所以，{a+b=e+1a2−ln2+b=e2−ln2+1，解得：a=e，b=1．（2）由（1）知，f(x)=|lnx−ex|+1，令g(x)=lnx−ex ，则g′(x)=1x+ex2=x+ex2，当x∈[1, e2]时g′(x)>0恒成立，所以，g(x)在[1, e2]上为增函数，所以g(x)min=g(1)=−e，g(x)max=g(e2)=lne2−ee2=2−1e．所以，|lnx−ex|∈[0,e]，则函数f(x)在[1, e2]上的取值范围是[1, e+1]．（3）由c≥d，cd=1，得e≥1，所以lnc≥0，ce≥0，若1≤c<e，f(c)+f(d)=|lnc−ec|+|−lnc−ce|+2=ec −lnc+lnc+ce+2=ec+ce+2≥2√ec⋅ce+2=2e+2．若c=e，f(c)+f(d)=|lnc−ec|+|−lnc−ce|+2=e2+3．若c>e，f(c)+f(d)=|lnc−ec|+|−lnc−ce|+2=lnc−ec+lnc+ce+2=2lnc+e(c−1c)+2，函数ℎ(c)=2lnc+e(c−1c)+2为(e, +∞)上的增函数，所以，f(c)+f(d)>ℎ(e)=2lne+e(e−1e)+2=e2+3．因为e2+3≥2e+2，所以，当c=d=1时，f(c)+f(d)的最小值为2e+2．19. 解：（1）利用椭圆和菱形的对称性可知：点R与P关于原点O对称，点S与Q关于原点OD 对称，∴ k OP k OS=−1，而k OP=√32−√62=−√22，∴ k OS=√2．∴ 直线SO的方程为y=√2x，联立{y=√2xx23+2y23=1，及x>0，解得{x=√155y=√305，∴ S(√155，√305)．（2）设P(x1, y1)，S(x2, y2)，①当直线PS的斜率存在时，设直线PS的方程为：y=kx+t，联立{y=kx+tx2+2y2=3消去y得到关于x的一元二次方程：(1+2k2)x2+4ktx+2t2−3=0，∵ 直线与椭圆相交于不同的两点，∴ △=16k2t2−4(1+2k2)(2t2−3)>0，即3+6k2> 2t2．(∗)∴ x1+x2=−4kt1+2k2，x1x2=2t2−31+2k2．∵ OP⊥OS，∴ x1x2+y1y2=0，又y1=kx1+t，y2=kx2+t，∴ x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=0，整理为(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=0，代入得(1+k2)×2t2−31+2k2−4k2t21+2k2+t2=0，化为t2=k2+1，满足(∗)式．∴ 原点到直线的距离d=√1+k2=1，∴ 菱形PQRS与圆C1相切．②当直线PS的斜率不存在时，上述结论也成立．综上可得：点P为椭圆上任意一点，试探讨菱形PQRS与圆C1的位置关系是相切．20. 解：（1）当n≥3时，1S n =1a n−1a n+1=1S n−S n−1−1S n+1−S N，化简得S n2=S n−1S n+1(n≥3)，又由a1=1，a2=a−1得1a =1a−1−1a3，解得a3=a(a−1)，∴ S1=1，S2=a，S3=a2，也满足S n2=S n−1S n+1，而S n恒为正值，∴ 数列{S n}是等比数列．（2）S n的首项为1，公比为a，S n=a n−1．当n≥2时，a n=S n−S n−1=(a−1)a n−2，∴ a n ={1n =1(a −1)a n−2，n ≥2当n =1时，A −a n+1=a 1+a 32−a 2=a 2−3a+32=12[(a −32)2+34]≥38，此时A >a n+1．当n ≥2时，A −a n+1=a n +a n+22−a n+1=(a−1)a n−2+(a−1)a n2−(a −1)a n−1=(a−1)a n−2(a 2−2a+1)2=(a−1)3a n−22．∵ S n 恒为正值∴ a >0且a ≠1，若0<a <1，则A −a n+1<0，若a >1，则A −a n+1>0． 综上可得，当n =1时，A >a n+1；当n ≥2时，若0<a <1，则A <a n+1， 若a >1，则A >a n+1．（3）∵ a =2∴ a n ={1n =12n−2，n ≥2，当m +1≤k ≤2m 时，b k =a k ⋅a k+1=22k−3．若n ≤m ，n ∈N ∗，则由题设得b 1=b 2m ，b 2=b 2m−1，b n =b 2m−n+1 T n =b 1+b 2+...+b n =b 2m−1+...+b 2m−n+1 =24m−3+24m−5+⋯+24m−2n−1=24m−3(1−4−n )1−4−1=24m−1(1−2−2n )3．若m +1≤n ≤2m ，n ∈N ∗，则T n =b m +b m+1+b m+2+...+b n = 24m−1(1−2−2m )3+22m−1+22m+1+⋯+22n−3=24m−1(1−2−2m )3+22m−1(1−4n−m )1−4=24m−1+22n−13．综上得T n ={24m−1(1−2−2n )3，1≤n ≤m24m−1+22n−13，m +1≤n ≤2m．21. 证明：∵ AE // CD∴ ∠PFB =∠AEB又PA ，PB 均⊙O 的切线故OP 平分AB̂，由圆周角定理和圆心圆定理可得∠POB =∠AEB ∴ ∠PFB =∠POB由四点共圆判定定理的推论可得O ，F ，B ，P 四点共圆 又由PB 为圆O 的切线，OB 为过切点的半径 可得∠OBP =90∘再由同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠OFP =90∘ 再由垂径定理可得CF =DF22. 解：∵ M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换， ∴ 逆矩阵M −1是把坐标平面上的点的横坐标缩短到12倍，纵坐标缩短到13倍的伸压变换∴ M−1=[1213]．任意选取椭圆x 24+y 29=1上的一点P(x 0, y 0)，它在矩阵M −1=[1213]对应的变换下变为P ′(x 0′, y 0′)，则有[120013][x 0y 0]=[x 0′y 0′]，故{x 0=2x 0′y 0=3y 0′．又因为点P 在椭圆x 24+y 29=1上，所以x 0′2+y 0′2=1．椭圆x 24+y 29=1在M −1的作用下的新曲线的方程为x 2+y 2=1．23. 解：曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ化为直角坐标方程为x 2+y 2−4x =0，即(x −2)2+y 2=4直线l 的参数方程{x =√22t +1y =√22t，化为普通方程为x −y −1=0，曲线C 的圆心(2, 0)到直线l 的距离为√2=√22所以直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长2√4−12=√14． 24. 解：由12+x +12+y =13两边同乘以3(2+x)(2+y)可得3(2+y +2+x)=(2+x)(2+y)，即xy =x +y +8，由基本不等式可得xy ≥2√xy +8，即(√xy)2−2√xy −8≥0， 解得√xy ≤−2（舍去），或√xy ≥4，平方可得xy ≥16，当且仅当x =y =4时取等号， 故xy 的最小值为16 25. 解：（1）解：随变量量ξ为获得k(k =1, 2, 3)等奖的折扣，则ξ的可能取值是50%，70%，90% P(ξ=50%)=316，P(ξ=70%)=616，P(ξ=90%)=716∴ ξ的分布列为∴ Εξ=316×50%+38×70%+71690%=34．（2）解：由（1）可知，获得1等奖或2等奖的概率为316+38=916． 由题意得η∼(3, 916)则P(η=2)=C 32(916)2(1−916)=17014096．26. 解：(I)A ={x|x 2+a ≤(a +1)x, a ∈R}={x|(x −1)(x −a)≤0, a ∈R}． （1）a ≥1时，A ={x|1≤x ≤a}； （2）a <1时，A ={x|a ≤x ≤1}(II)(I)当a ≥1时，A ={x|1≤x ≤a}．而S 2=a +a 2>a ，S 2∉A ，故a ≥1时，不存在满足条件的a ；(II)当0<a <1时，A ={a ≤x ≤1}，S n =a(1−a n )1−a，S n −a =a(1−a n )1−a−a =a 2−a n+11−a≥0，∴ S n ≥a ， 又a n >0，∴ S n <a 1−a对任意的n ∈N +，S n ∈A ，只须a 满足{0<a <1a 1−a≤1，解得0<a ≤12．综上所述，a 的取值范围是0<a ≤12．。
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EFAB
C
D
P
2013年江苏高考数学模拟试卷（四）
第1卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．设aR，且2()aii为正实数，则a的值为 .
2．抛物线22(0)ypxp上的一点(1,)Am到其焦点的距离为3，则m .
3．函数2221(0)()1(0)xxxfxxaxx是奇函数，则实数a .
4．已知全集UR，集合250AxZxx，40Bxx，则()UABð中最大的
元素是 .
5．若向量a，b满足1a，2b，且()aa+b，则a与b的夹角为 .
6．下面求258112012的值的伪代码中，正整数m的最大值为 .
7．设曲线1*()nyxnN在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为nx，
则201212012220122011logloglogxxx的值为 ．
8．若0＜x＜4，则函数y＝tan3xtan2x的最大值为 ．
9．在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，点O为底面ABCD的中心，在正方
（第6题图）
体1111ABCDABCD内随机取一点 P，则点P到点O的距离大于1的概率为 .
10．在ABC中，两中线AD与BE相互垂直，则cosAB的最大值为 .
11．某同学为研究函数)10()1(11)(22xxxxf的性质，构造了如右
图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，
设CPx=，则()APPFfx+=. 请你参考这些信息，推知函数()4()9gxfx=-
的零点的个数是 .
12．在平面直角坐标系xOy中，直线l：x－y＋3＝0与圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B
两点．若OA＋2OB＝3OC，且点C也在圆O上，则圆O的方程为 .
I←2
S←0
While I＜m
S←S+I
I←I+3
End While
Print S
End
（第11题图）
13．设正项数列{an}的前n项和是Sn，若{an}和{Sn}都是等差数列，且公差相等，则a
1
＝ .
14．对于函数()yfx，若存在区间[,]ab，当[,]xab时的值域为[,]kakb(0)k，则称
()yfx为k倍值函数．若()lnfxxx
是错误！不能通过编辑域代码创建对象。倍值
函数，则实数k的取值范围是 .
二、解答题：本大题共6小题，共90分.
15. （本小题满分14分）已知锐角ABC中的三个内角分别为,,ABC．
⑴设BCCACAAB，求ABC是等腰三角形；
⑵设向量2sin,3sC,2(cos2,2cos1)2CtC，且s∥t,若12sin13A，求
sin()3B
的值．
16. （本小题满分14分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，PA
平面ABCD，点E是PA 的中点．
⑴求证：PC∥平面BDE；
⑵求证：平面PAC平面BDE．
A
B
D
P
E
（第16题）
C
17.（本小题满分14分如图一块长方形区域ABCD，AD＝2（km），AB＝1（km）．在边AD
的中点O处，有一个可转动的探照灯，其照射角∠EOF始终为π4，设∠AOE＝α，探
照灯O照射在长方形ABCD内部区域的面积为S．
（1）当0≤α＜π2时，写出S关于α的函数表达式；
（2）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个
来回”，忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间），且转动的角速度大小一定，
设AB边上有一点G，且∠AOG＝π6，求点G在“一个来回”
中，被照到的时间．
G
F E D C B
A O
（第17题）
18．(本小题满分16分) 已知椭圆221:12xCy和圆222:1Cxy，A，B，F分别为椭圆
C1左顶点、下顶点和右焦点．
⑴点P是曲线C2上位于第二象限的一点，若△APF的面积为1224，求证：AP⊥OP；
⑵点M和N分别是椭圆C1和圆C2上位于y轴右侧的动点，且直线BN的斜率是直线
BM斜率的2倍，证
明直线MN恒过定点．
O
N
M
FBPAyx
19.（本小题满分16分）对于函数y＝f(x)，若存在开区间D，同时满足：①存在t∈D，当x
＜t时，函数f(x)单调递减，当x＞t时，函数f(x)单调递增；②对任意x＞0，只要t－x，
t＋x∈D，都有f(t－x)＞f(t＋x)，则称y＝f(x)为D内的“勾函数”．
（1）证明：函数y＝log(0,1)axaa为(0，＋∞)内的“勾函数”；
（2）若D内的“勾函数”y＝g(x)的导函数为y＝g(x)，y＝g(x)在D内有两个零点x1，
x2，求证：
g(x1＋x22)＞0；
（3）对于给定常数，是否存在m，使函数h(x)＝13x3－122x2－23x＋1在(m，＋∞)内为
“勾
函数”？若存在，试求出m的取值范围，若不存在，说明理由．
20．（本小题满分16分）已知数列{}na中，11a，*,0nnNa，数列{}na的前n项和为nS，
且满足1121nnnaSS．
⑴求证：数列21{()}2nS为等差数列，并求数列{}na的通项公式；
⑵数列{}nS中存在若干项，按从小到大的的顺序排列组成一个以S1首项，3为公比的
等比数列{}kb．
①求这个等比数列的项数k与n的关系式()kkn；
②记1(2)()1ncnkn≥，求证：212[,)33niic．
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答
．．．．．．．．．．．．．．
题区域内作答．．．．．．．
A．（选修４－１：几何证明选讲）如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于
点P，E为⊙O上一点，AE=AC， DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．
B．（选修４－２：矩阵与变换）已知矩阵1211A，向量12，求向量，使得
2A
．
C．（选修４－４：坐标系与参数方程）椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率为12，点
(,)Pxy
是椭圆上的一个动点，若yx32的最大值为10，求椭圆的标准方程．
（第21-A题）
A B P F O E D C ·
D．（选修４－５：不等式选讲）已知x，y，z均为正数．求证：111yxzyzzxxyxyz≥++++．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.
22．乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，
比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.
（1）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；
（2）求比赛局数X的分布列和数学期望E(X)．
23．已知fn(x)＝(1＋2x)n，n∈N*.
(1) 若g(x)＝f4(x)＋f5(x)＋f6(x)，求g(x)中含x2项的系数；
(2) 若pn是fn(x)展开式中所有无理项的二项式系数和，数列{an}是各项都大于1的数组
成
的数列，试用数学归纳法证明：1212(1)(1)(1)1nnnaaapaaa．