6.1-3习题菱形的性质与判定
6.1(1)菱形的性质
教学流程：二、 探索新知 （一）、自主学习：观察课本第二页的图片后，你能从中发现你熟悉的图形吗？你认为它们有什么样的共同特征呢？菱形定义： _________________________ 的平行四边形叫菱形几何语言：∵四边形ABCD 是平行四边形，AB=BC ∴四边形ABCD 是 _____________ 定义中强调的条件：（1） __________________（2）_____________________________ （二）合作交流：1、将平行四边形沿某条线对折，使线段AB 落在线段BD 上，点A 与点F 重合，BE 是折痕，沿EF 剪开，得到四边形ABFE有一组____________的_____________叫做菱形。
菱形是___________的平行四边形。
2、探究菱形的性质。
（1）边: __________________________________________________（位置和大小两方面） 几何语言：如图1， ∵四边形ABCD 是菱形, ∴________________________已知：四边形ABCD 是菱形，且AD=AB 求证：_____________________________(证明大小关系) 练习：如图，在菱形ABCD 中，AB=4，则菱形ABCD 的周长是_________。
规律：菱形的边长为a ，则菱形的周长c=_________。
（2）角：____________________________________________（平行四边形性质） 练习：如图1，在菱形ABCD 中，AB=5，∠ABC=60°，则AC 长为________。
（3）对角线：① _____________________________________（平行四边形性质） 根据__________________________________性质得到下面结论： ②______________________________________（两条对角线的位置关系） ③____________________________________（对角线和一组对角的关系）几何语言：如图1， ∵四边形ABCD 是菱形, ∴①____________②_____________③________________练习：在菱形ABCD 中，AC=6，∠ABC=60°，则BD 长为_______。
菱形性质及判定练习题
菱形性质及判定练习题
菱形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质。
本文将介绍
关于菱形性质的一些基本概念，并提供一些判定练题，以帮助大家
加深对菱形的理解。
菱形的定义和性质
菱形是一个有四条边的四边形，其特点是所有四条边的长度相等。
以下是一些关于菱形的基本性质：
1. 菱形的对边平行：菱形的对边是平行的。
这意味着连接菱形
对角线的线段也是平行的。
2. 菱形的对角线相等：菱形的两条对角线相等的长度。
3. 菱形的角度性质：菱形的内角都是直角，即90度。
此外，
菱形的两个邻边的夹角也是相等的。
这意味着，如果一个角是直角，则菱形的其他三个角也都是直角。
菱形的判定练题
下面是一些菱形的判定练题，用以考察你对菱形性质的理解。
1. 若一个四边形的边长都相等，且对角线相等，是否可以判定该四边形是菱形？
2. 若一个四边形的对边平行，且对角线相等，是否可以判定该四边形是菱形？
3. 若一个四边形的内角都是直角，对角线相等，是否可以判定该四边形是菱形？
4. 若一个四边形的两个邻边的夹角相等，对角线相等，是否可以判定该四边形是菱形？
请你在思考后回答以上问题，并确切判断其是否是菱形。
这些练题将帮助你加深对菱形性质的认识和理解。
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菱形是一种有四条边的特殊四边形，其所有边长相等。
菱形的
对边平行，对角线相等，内角都是直角，且邻边的夹角相等。
通过
判定四边形的边长、对边平行、内角直角以及邻边夹角相等的条件，我们可以推断出一个四边形是否是菱形。
鲁教版八年级下册6.1菱形的性质与判定同步课时训练(word版含答案)
鲁教版八年级下册6.1菱形的性质与判定同步课时训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在菱形ABCD 中，∠ABC=60゜，AC=4，则BD=( )A B ．C ．D ．2．如图，在平行四边形ABCD 中，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE ．添加一个条件，使四边形AEBD 是菱形，这个条件是（ ）A ．BAD BDA ∠=∠B ．AB DE =C ．DF EF =D ．DE 平分ADB ∠3．如图，菱形ABCD 中，50A ∠=︒，则ADB ∠的度数为（ ）A ．65︒B ．55︒C ．45︒D ．25︒ 4．如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF ．若菱形ABCD 的边长为4，120B ∠=︒，则EF 的值是（ ）A B ．2 C ．D ．45．如图，将三角形纸片ABC 沿过,AB AC 边中点D 、E 的线段DE 折叠，点A 落在BC 边上的点F 处，下列结论中，一定正确的个数是（ ）①BDF 是等腰三角形 ②12DE BC = ③四边形ADFE 是菱形 ④2BDF FEC A ∠+∠=∠A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＝8．BD ＝6，点E 是CD 上一点，连接OE ，若OE ＝CE ，则OE 的长是（ ）A ．2B ．52C ．3D ．47．如图，在菱形ABCD 中，75CBD ∠=︒，分别以A ，B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，过两弧的交点作直线分别交AB 、AD 于E 、F 两点，则DBF ∠的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°8．如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C D 、，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知，四边形ADBC 一定是（ ）．A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形 9．已知菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，8AC =，6BD =，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．30B ．20C ．15D ．1210．如图，已知菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6，8，AE BC ⊥，垂足为点E ，则AE 的长是（ ）A ．B ．C ．485D ．245二、填空题 11．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，已知BO ＝4，S 菱形ABCD ＝24，则AH ＝________．12．菱形的周长为12cm ，一个内角等于120︒，则这个菱形的面积为_________2cm ． 13．如图，菱形ABCD 的边长为10，对角线BD 的长为16，点E ，F 分别是边AD ，CD 的中点，连接EF 并延长与BC 的延长线相交于点G ，则EG 的长为________．14．菱形ABCD 有一个内角是60°，它的边长是2，则此菱形的对角线AC 长为_________． 15．如图，在菱形ABCD 中，2,60AB BAD =∠=︒，将菱形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转，对应得到菱形,AEFG 点E 在AC 上．EF 与CD 交于点,P 则PE 的长是____．16．如图，在菱形纸片ABCD 中，4AB =，60A ∠=︒，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 边的中点E 处，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，则GE =_______．三、解答题17．如图，四边形ABCD 中，∠B=60°，AC=BC ，点E 在AB 上，将CE 绕点C 顺时针旋转60°得CF ，且点F 在AD 上．（1）求证：AF=BE ；（2）若AE=DF ，求证：四边形ABCD 是菱形；（3）若BC=AFCE 的面积．18．△ABC 是等腰三角形，其中AB ＝BC ，将△ABC 绕顶点B 逆时针旋转50°到△A 1BC 1的位置，AB 与A 1C 1相交于点D ，AC 与A 1C 1，BC 1分别相交于点E ，F ．（1）求证：△BCF ≌△BA 1D ；（2）当∠C ＝50°时，判断四边形A 1BCE 的形状并说明理由．19．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．（1）如图1，求证：∠BAF＝∠DAE；（2）如图2，若∠ABC＝45°，AE⊥BC，连接BD分别交AE，AF于G，H，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的只含有一个3∠ABD的三角形．，若以点D为圆心，DC长为半径20．已知：如图，在梯形ABCD中，DF平分D作弧，交边AD于点E，联结EF、BE、EC．（1）求证：四边形EDCF是菱形；（2）若点F是BC的中点，请判断线段BE和EC的位置关系，并证明你的结论．参考答案1．D2．D3．A4．B5．C6．B7．B8．B9．B10．D11．24 51213．1214． 215116．2.817．（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形AFCE的面积=．【详解】(1)证明:∵AC=BC,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC,∠ACB=60°.∵∠ECF=60°,∴∠ACB=∠ECF, ∴∠ECB=∠ACF.在△BCE和△ACF中,,,,BC ACECB ACF EC FC∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△BCE≌△ACF(SAS), ∴AF=BE.(2)证明:由(1)得∠FAC=∠EBC=∠ACB=60°,∴AF ∥BC.∵AF=BE,AE=DF,∴AD=AB.∴AD=BC,∴四边形ABCD 是平行四边形.∵AB=BC,∴▱ABCD 是菱形.(3)∵△BCE ≌△ACF,∴四边形AFCE 的面积=△AFC 的面积+△ACE 的面积 =△BEC 的面积+△ACE 的面积=△ABC 的面积,∵△ABC 是一个等边三角形且,∴四边形AFCE 的面积=12×18．（1）见解析；（2）四边形A 1BCE 是菱形，理由见解析．【详解】解：（1）证明：∵△ABC 是等腰三角形，∴AB=BC ，∠A=∠C ，∵将等腰△ABC 绕顶点B 逆时针方向旋转50度到△A 1BC 1的位置， ∴A 1B=AB=BC ，∠A=∠A 1=∠C ，∠A 1BD=∠CBC 1， 在△BCF 与△BA 1D 中，111A C AB BCA BD CBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BCF ≌△BA 1D （ASA ）；（2）四边形A 1BCE 是菱形，理由：∵将等腰△ABC 绕顶点B 逆时针方向旋转50度到△A 1BC 1的位置， ∴∠A 1=∠A ，∵∠ADE=∠A 1DB ，∴∠AED=∠A 1BD=50º，∴∠DEC=180°-50º=130º，∵∠C=50º，∴∠A 1=50º，∴∠A 1BC=360°-∠A 1-∠C-∠A 1EC=180°-50º=130º， ∴∠A 1=∠C ，∠A 1BC=∠A 1EC ，∴四边形A 1BCE 是平行四边形，∴A 1B=BC ，∴四边形A 1BCE 是菱形．19．（1）见解析；（2）△BEG ，△ADG ，△DFH, △ABH【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠B=∠D ，AB=AD ，在△ABE 和△ADF 中，AB AD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ADF （SAS ），∴∠BAE=∠DAF ．∴∠BAF ＝∠DAE ；（2）∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝45°，∴∠ABD=∠CBD= 22.5°，∴3∠ABD=67.5°，∵AE ⊥BC ，∴∠AEB= 90°，∴∠BGE=67.5°，∵△ABE ≌△ADF∴∠AFD= 90°，∴△BEG 只含有一个3∠ABD ；同理可得：∠DHF=67.5°， △DFH 只含有一个3∠ABD ； ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD//BC ，AB//CD ∵AE ⊥BC ，∠AFD= 90°， ∴∠DAG=∠BAH= 90°， ∵∠DHF=∠AH B=67.5°，∠BGE=∠ AGD=67.5°， ∴△ADG 只含有一个3∠ABD ； △ABH 只含有一个3∠ABD ； 20．（1）见解析；（2）线段BE 和EC 的位置关系是垂直．证明见解析．【详解】（1）∵DF 平分EDC ∠， ∴EDF CDF ∠=∠． 由题意，ED DC =． 在△EDF 与△CDF 中， ED DC EDF CDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩． ∴△EDF ≌△CDF ． ∴EF CF =． ∵四边形ABCD 为梯形． ∴AD ∥BC ．∴EDF DFC ∠=∠． ∴DFC CDF ∠=∠． ∴CF CD =．∴ED CD CF EF ===． ∴四边形ECDF 是菱形． （2）线段BE 和EC 的位置关系是垂直． 理由如下：∵点F是BC的中点，=．∴BF CF=．∴BF ED∵ED∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．∴BE∥DF．∵四边形EDCF是菱形，∴EC⊥DF．∴BE⊥EC．答案第5页，总5页。
菱形的性质与判定
菱形的性质与判定一．选择题1．若菱形的周长为100cm，有一条对角线为48cm，则菱形的面积为（）A．336cm2B．480cm2C．300cm2D．168cm22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD分别为16和12，DE⊥AB于点E，则DE＝（）A．B．C．10D．83．如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件：____使得▱ABCD是菱形（）A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AO＝2，OB＝4，则菱形ABCD的面积是（）A．4B．8C．16D．205．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在边BC上，连接AE，OE．若∠CAE＝∠OBE，OE＝2，CE＝，则边AB的长为（）A．B．C．D．56．已知菱形的面积为120cm2，一条对角线长为10cm，则这个菱形的周长为（）cm．A．13B．24C．52D．607．如图，菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，点E在AC上，CE＝CD，AC＝16，CD＝10，则DE的长为（）A．2B．4C．D．48．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB的垂直平分线EF交AC 于点F，连接DF，若∠BAD＝80°，则∠CDF的度数为（）A．60°B．80°C．85°D．100°9．如图，一个木制的活动衣帽架由3个全等的菱形构成．已知菱形的边长为13cm，当挂钩B、D间的距离是30cm时，则挂钩A、C间的距离是（）cm．A．B．C．12D．2410．已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为5，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列命题中正确的是（）①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③△ECF的边长最小值为3；④若AF＝2，则S△FGC ＝S△EGC．A．①②B．①③C．①②④D．①②③二．填空题11．如图，在菱形ABCD中，∠A＝40°，则∠CBD的度数为．12．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴上，顶点B，C的坐标分别为（﹣6，0），（4，0），则点D的坐标是．13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为．14．菱形的边长为10厘米，一条对角线为16厘米，它的面积是平方厘米．15．如图，菱形ABCD中，∠A＝100°，点E、G分别是AB、BC边上的中点，过点E作EF⊥CD交CD于点F，连接GE、GF，则∠GFC＝．三．解答题16．如图．P是菱形ABCD的对角线AC上一点，PE⊥AB于点E，PF ⊥AD于点F．（1）若∠BAD＝60°，PE＝1，求AE的长；（2）若∠BAD＝90°，判断四边形AEPF的形状，并说明理由．17．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD 的垂线交BA的延长线于点E．（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC＝24，BD＝10，求△ADE 的周长．18．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O．且AO＝CO，点E在BD 上，满足∠EAO＝∠DCO．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若AB＝BC，求证：四边形AECD是菱形．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝，BD＝2，请直接写出△AOE的面积为．20．在△ABC中，过A作AD∥BC，交∠ACB的平分线于点D，点E是BC上，连接DE，交AB于点F，∠EFB＝∠CAB．（1）如图1，求证：四边形ACED是菱形；（2）如图2，G是AD的中点，H是边AC的中点，连接CG、EG、EH，若∠ACB＝90°，BC＝2AC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与△CEH全等的三角形（不含△CEH本身）．21.已知，在菱形ABCD 中，∠ADC=60°，点H 为CD 上任意一点（不与C 、D 重合），过点H 作CD 的垂线，交BD 于点E ，连接AE ．（1）如图1，线段EH 、CH 、AE 之间的数量关系是________；（2）如图2，将∠DHE 绕点D 顺时针旋转，当点E 、H 、C 在一条直线上时，求证：AE+EH=CH ．22.如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（﹣3，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ，连接BM.（1）菱形ABCO 的边长________（2）求直线AC 的解析式；（3）动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位/秒的速度向终点C 匀速运动，设∠PMB 的面积为S （S≠0），点P 的运动时间为t 秒，①当0＜t ＜ 25时，求S 与t 之间的函数关系式；②在点P 运动过程中，当S=3，请直接写出t 的值．。
鲁教版2019-2020八年级数学下册6.1菱形的性质与判定自主学习基础达标测试题3(附答案)
鲁教版2019-2020八年级数学下册6.1菱形的性质与判定自主学习基础达标测试题3（附答案）1．如图，菱形ABCD 中，AB ∥y 轴，且B （﹣10，1）、C （2，6），则点A 的坐标为（ ）A ．（﹣10，12）B ．（﹣10，13）C ．（﹣10，14）D ．（2，12） 2．如图，在菱形ABCD 中，E 是AC 的中点，EF ∥CB ，交AB 于点F ，如果EF=3，那么菱形ABCD 的周长为（ ）A ．24B ．18C ．12D ．93．在A B C 中，点D 是边BC 上的点（与B ，C 两点不重合），过点D 作DE //AC ，DF//AB ，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，下列说法正确的是（ ）A ．若AD BC ⊥，则四边形AEDF 是矩形B ．若AD 垂直平分BC ，则四边形AEDF 是矩形C ．若BD CD =，则四边形AEDF 是菱形D ．若AD 平分BAC ∠，则四边形AEDF 是菱形4．在菱形ABCD 中，AE BC ⊥，AF CD ⊥，且E ，F 分别为BC ，CD 的中点，那么EAF ∠的度数为（ ）A ．75B ．60C ．45D ．305．菱形不具备的性质是（ ）A ．四条边都相等B ．对角线一定相等C ．是轴对称图形D ．是中心对称图形6．若顺次连接四边形各边中点所构成的四边形是菱形，则原四边形一定是（ ） A ．矩形B ．菱形C ．平行四边形D ．对角线相等的四边形7．如图，在菱形ABCD 中，23DAF ∠=︒，60ADC ∠=︒，AF 交对角线BD 于点E ，交CD 边于点F ，则BEC ∠=（ ）A ．53︒B ．63︒C ．73︒D ．83︒8．如图，△ABC 中，点P 是AB 边上的一点，过点P 作PD ∥BC ，PE ∥AC ，分别交AC ，BC 于点D ，E ，连按CP ．若四边形CDPE 是菱形，则线段CP 应满足的条件是（ ）A ．CP 平分∠ACBB ．CP ⊥ABC ．CP 是AB 边上的中线D ．CP ＝AP9．菱形的两条对角线长分别是6cm 和8cm ，则它的面积是（ ）A ．6cm 2B ．12cm 2C ．24cm 2D ．48cm 210．如图，已知四边形ABCD 是菱形，过顶点D 作DE AD ⊥，交对角线AC 于点E ，若20DAE ∠=，则CDE ∠的度数是（ ）A ．70B ．60C ．50D ．4011．已知四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，AC=8cm ，DB=6cm ，菱形的边长是________ cm ，面积是________ cm 2 ．12．一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和______.13．菱形的两对角线长分别为10和24，则它的面积为____________.14．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB 8=，E 是AB 的中点，则OE 的长等于________．15．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠DAB=60°，点E 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，则PB+PE 的最小值为__________.16．如图，在ABC 中，D 为BC 上一点，//DE AC 交AB 于E 点，//DF AB 交AC 于F 点，当AD 满足条件________时，四边形AEDF 是菱形．17．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作直线EF 分别与AB 、DC 相交于E 、F 两点，若AC ＝10，BD ＝4，则图中阴影部分的面积等于_____．18．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD 为AC 的中线，过点C 作CE BD ⊥于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG =BD ，连接 BG ，DF ．若AF =8，CF =6，则四边形BDFG 的周长为_______________．19．如图，正方形ABCO 的顶点A 、C 在坐标轴上，BC 是菱形BDCE 的对角线，若∠EBD=120°，BC=2，则点E 的坐标是_____．20．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且OC=OD,PD ∥AC ，PC ∥BD ，PD ，PC 相交于点P ，四边形PCOD 是菱形吗？试说明理由．21．如图，在ABC 中，AB AC =，O 过点B 、C ，且交边AB 、AC 于点E 、F ，已知A ABO ∠=∠，连接OE 、OF 、OB ．() 1求证：四边形AEOF 为菱形；()2若BO 平分ABC ∠，求证：BE BC =．22．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且6A C c m =，8BD cm =，动点P ，Q 分别从点B ，D 同时出发，运动速度均为1/cm s ，点P 沿B C D →→运动，到点D 停止，点Q 沿D O B →→运动，到点O 停止1s 后继续运动，到点B 停止，连接AP ，AQ ，PQ ．设APQ 的面积为()2y cm （这里规定：线段是面积0的几何图形），点P 的运动时间为()x s ．()1填空：AB =________cm ，AB 与CD 之间的距离为________cm ；()2当410x ≤≤时，求y 与x 之间的函数解析式；()3直接写出在整个运动过程中，使PQ 与菱形ABCD 一边平行的所有x 的值．23．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BE∥AC，CE∥BD，△ABO 是等边三角形，试判断四边形BECO的形状，并给出证明．24．如图，已知：△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE∥AC交BC于E，DF∥BC 交AC于F.请问四边形DECF是菱形.吗?说明理由.25．在平面直角坐标系xOy中，边长为6的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴和y 轴的正半轴上，直线y=mx+2与OC，BC两边分别相交于点D，G，以DG为边作菱形DEFG，顶点E在OA边上．（1）如图1，顶点F在边AB上，当CG=OD时，①求m的值；②菱形DEFG是正方形吗?如果是请给予证明.（2）如图2，连接BF，设CG=a，△FBG的面积为S，求S与a的函数关系式；（3）如图3，连接GE，当GD平分∠CGE时，请直接写出m的值．26．如图，将ABCD沿EF折叠，恰好使点C与点A重合，点D落在点G处，连接AC、CF．()1求证：ABE AGF≅．()2判断四边形AECF的形状，说明理由．27．（提高题）如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD•交AC于点D，CH⊥AB于H，且交BD于点F，DE⊥AB于E，四边形CDEF是菱形吗？请说明理由．参考答案1．C【解析】【分析】根据两点间距离公式求出BC，再根据菱形的性质即可解决问题．【详解】∵B（﹣10，1）、C（2，6），∴BC=13．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=13，∴点A坐标为（﹣10，14）．故选C．【点睛】本题考查了菱形的性质、两点间距离公式、坐标与图形性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．2．A【解析】【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．【详解】∵E是AC中点，∵EF∥BC，交AB于点F，∴EF是△ABC的中位线，∴BC=2EF=2×3=6，∴菱形ABCD的周长是4×6=24，故选A．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.3．D【解析】【分析】根据矩形、菱形的判定定理逐一进行判断即可.【详解】AD BC⊥，不能证明四边形AEDF有直角，故A选项错误，AD垂直平分BC，不能证明四边形AEDF有直角，故B选项错误，BD CD=，与四边形AEDF是菱形没有关系，故C选项错误.∵AD平分BAC∠，∴∠BAD=∠DAC∵DE//AC，DF//AB，∴∠EAD=∠ADF，∴∠DAC=∠ADF，∴AF=DF，∴四边形AEDF是菱形，D选项正确，故选D.【点睛】本题考查矩形、菱形的判定，熟练掌握矩形、菱形的性质及判定定理是解题关键. 4．B【解析】【分析】如图，根据已知条件和四边形的内角和为360度可得∠C+∠EAF=180°，又因为∠B+∠C=180°，再由已知条件证得BE=12BC，AB=BC，BE=12AB，即可求得∠EAF=60°．【详解】如图，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AFC+∠AEC=180°，∴∠C+∠EAF=180°．又∵∠B+∠C=180°，∴∠EAF=∠B．又∵BE=12BC，AB=BC，∴BE=12 AB，∴∠BAE=30°，∴∠B=60°，∴∠EAF=60°．故选B．【点睛】本题主要考查的知识点：（1）直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半的逆定理；（2）菱形的两个邻角互补；（3）同角的补角相等；（4）菱形的四边相等．5．B【解析】【分析】根据菱形的性质逐项进行判断即可得答案.【详解】菱形的四条边相等，菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，菱形对角线垂直但不一定相等，故选B．【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．6．D【解析】【分析】画出图形，由菱形的四边相等和中位线性质可知该四边形的两条对角线相等.【详解】解：如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，∴EF=FG=GH=EH，BD=2EF，AC=2FG，∴BD=AC．∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选：D．【点睛】本题考查了菱形和三角形中位线的知识，注意只能得到对角线相等，无法进一步确定该四边形的特点.7．A【解析】【分析】根据对称性可知：∠DAE=∠DCE=23°，∠ADE=∠CDE=30°，再利用三角形的外角的性质即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，∴点A、点C关于直线BD对称，∴∠ADF=∠CDB=30°，∠DAE=∠DCE=23°，∴∠BEC=∠CDE+∠ECD=53°，故选：A．【点睛】本题考查菱形的性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．A【解析】【分析】根据菱形的性质进行解答即可.【详解】∵四边形CDPE是菱形，∴∠DCP=∠ECP，∴CP平分∠ACB，故选：A．【点睛】本题考点：菱形的性质.解此题的关键在于熟练掌握菱形的有关知识点. 9．C【解析】【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．【详解】根据对角线的长可以求得菱形的面积，根据S=12ab=12×6cm×8cm=24cm2．故选：C．【点睛】考查菱形的面积公式，熟练掌握菱形面积的两种计算方法是解题的关键.10．C【解析】【分析】利用菱形的对角线平分每组对角，进而得出∠ADC的度数，进而得出∠CDE的度数．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAC=∠BAC，∵∠DAE=20°，∴∠BAC=20°，∴∠ADC=180°−40°=140°，∵DE⊥AD，∴∠CDE=140°−90°=50°.故答案选：C.【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练的掌握菱形的性质与运用.11．5； 24【解析】 分析：先根据菱形的性质得142AC BD OA OC AC ⊥===，， 132BO DO BD ===，则可利用勾股定理计算出AB =5，即得到菱形的边长为5cm ，然后利用菱形的面积等于对角线乘积的一半计算菱形ABCD 的面积．详解：如图，∵四边形ABCD 为菱形， ∴142AC BD OA OC AC ⊥===，，132BO DO BD ===，在Rt △ABO 中,5AB ===，∴菱形的边长为5cm ,菱形的面积216824().2cm =⨯⨯= 故答案为：5，24.点睛：考查菱形的性质，熟记菱形的面积公式是解题的关键.12．【解析】【详解】如图所示： 3,4,AB AC BD ===∵四边形ABCD 是平行四边形112,22OA AC OB BD ∴====∵22223+=，90.AOB ∴∠=即两条对角线互相垂直，∴这个四边形是菱形，∴142S =⨯⨯=故答案为13．120【解析】根据菱形的面积等于对角线之积除以2，可知其面积为10×24÷2=120. 故答案为：120.14．4【解析】【分析】题目已知O 是菱形对角线交点，于是可以得到O 是AC 的中点；结合E 是AB 的中点，就能得到OE 是△CAB 的中位线；利用中位线的性质得到1OE BC 2=，进而结合已知求出OE 的长.【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴OA=OC.∵E 是AB 的中点，∴OE 是△CAB 的中位线， ∴1.2OE BC = ∵8AB BC ==，∴OE=4.故答案为：4.【点睛】考查菱形的性质以及三角形中位线的性质，掌握三角形中位线的性质是解题的关键.15【解析】试题分析：连接DE，与AC相交于点P’，连接BD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC与BD互相垂直平分，∴P′D＝P′B，∴PB＋PE的最小长度为DE的长，∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴△BCD是等边三角形，BD＝BC＝2，∵E为BC中点，∴DE⊥BC，BE＝1，∴DE，即PB＋PE点睛：本题考查了菱形的性质、轴对称以及最短路线问题、等边三角形的性质，熟练掌握最短距离问题的模型并能进行推理计算是解决问题的关键．∠16．平分BAC【解析】【分析】因为有一直角的平行四边形是矩形，可添加条件：∠BAC=90°；邻边相等的平行四边形是菱形，可添加条件：AD平分∠BAC；【详解】若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，∵DE∥AC,DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴∠DAF=∠FDA.∴AF=DF.∴平行四边形AEDF为菱形。
菱形的性质和判定(习题)
先证明四边形EFBD是 平行四边形 得到：DE=BF
F
H
B
C
从而：AE=BF 又：AE∥ BF 则：四边形AFBE是平行四边形 从而AB与EF互相平分
（三）合作探究
2、如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点。连结AD、DE、DF （1）求证：四边形EDFA是平行四边形 （2）△ABC满足_____________条件时，四边形EDFA为菱形， 并根据你添加的条件给予证明。 (1) ∵DE、DF是△ABC的中位线 ∴DE∥AC DF∥AB ∴四边形EDFA是平行四边形 (2) 当△ABC是等腰三角形时， 四边形EDFA为菱形， 提示：DE=0.5AC DF=0.5AB 而 ：AC=AB ∴DE=DF ∴平行四边形EDFA是菱形
1 1 AB AB AC BD 2 2
即：AB2 AC BD
（五）课堂作业
P93 习题 B组 1、2、3、4题
则：AO=
2 a
∴AC=
3a
（三）合作探究
内容： 1. 预习中遇到的疑问； 2.讲学稿“合作探究”部分的问题。 时间：12分钟
要求： （1）“探究1”由C层同学提出问题，其它同学自由回 答、讨论， “探究2” 由B层同学提出问题，其它同学自 由回答、讨论。 （2）人人参与，热烈讨论，大声表达自己的思想。
A B
O
D
C
（四）巩固练习
3、已知：如图，在□ABCD中，AE平分∠BAD，与BC相交于 点E，EF∥AB，与AD相交于点F ，求证：四边形ABEF是菱形．
提示：AF∥BE EF∥AB ∴四边形ABEF是平行四边形 ∵ AF∥BE ∴∠1=∠2 又∠1=∠3 ∴∠2=∠3 ∴AB=EB ∴平行四边形ABEF是菱形
5、菱形的判定和性质 - 答案
菱形的判定和性质情景导入1.（复习）什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么？2.（引入）我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形【强调】菱形（1）是平行四边形（2）一组邻边相等请同学们列举一些日常生活中所见到过的菱形的例子折纸探究把一张矩形纸片对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下、打开，你能发现它是一个什么样的图形吗？菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质．即对称性：菱形是中心对称图形,对角线的交点是对称中心边：菱形的对边平行且相等角：菱形的对角相等对角线：菱形的对角线互相平分那么菱形作为作为特殊的平行四边形具有哪些特殊的性质呢？（1）菱形的都相等（2）菱形的对角线.例1.如图，菱形ABCD 中，AE 和AF 分别是BC 和DC 边上的高，请问AE 与AF 有什么样的关系？为什么？E C B A FD例2.在菱形ABCD中，对角线AC、BD的长分别为a、b，AC、BD相交于点O.（1）用含a、b的代数式表示菱形ABCD的面积S；（2）若a=3cm，b=4cm，求菱形ABCD的面积和周长.知识点：菱形的面积==.菱形的判定提出问题1.根据菱形的定义，需要具备什么条件可以判定一个四边形是菱形？2.还可以用什么方法判定一个四边形是菱形？成果展示1.问题1：拿出十根小木条（其中只有四根一样长），让学生从中选取四根，能否搭成一个菱形？为什么？2.问题2：拿出事先准备好的平行四边形（对角线是木条，四边是橡皮筋），转动木条成直角，观察得到的四边形的形状是菱形吗？为什么？3.问题3：你认为，的四边形是菱形的平行四边形是菱形（注意：一个的基础条件是四边形，一个的基础条件是平行四边形）归纳：四边形、平行四边形、菱形之间的关系：Array例1、证明：四条边都相等的四边形是菱形例2、证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形题型一：菱形的性质-求角度1．如图，在菱形ABCD 中，40ABC ∠=︒，点E 为对角线BD 上一点，F 为AD 边上一点，连接AE 、CE 、FE ，若AE FE =，56BEC ∠=︒，则DEF ∠的度数为（）A．16︒B．15︒C．14︒D．13︒【答案】A 【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC=40°，∴AB=CB=AD，∠ABE=∠CBE=20°，AD BC ∥，∴∠BAD=140°，∠ADB=∠ABD=20°，又∵BE=BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴∠BEA=∠BEC=56°，∴∠BAE=104°，∴∠DAE=36°，∵AE=FE，∴∠EFA=∠EAF=36°，∴∠DEF=∠EFA-∠EDF=16°，故选A．2．如图，在菱形ABCD 中，M，N 分别在AB CD ，上，且AM CN =，MN 与AC 交于点O，连接BO ．若28DAC ∠=︒，则OBC ∠的度数为度．【答案】62【详解】解：∵四边形ABCD 为菱形，∴AB CD ∥，AB BC =，∴MAO NCO AMO CNO ∠=∠∠=∠，，在AMO 和CNO 中，∵MAO NCO AM CN AMO CNO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA AMO CNO ≌△△，∴AO CO =，∵AB BC =，∴BO AC ⊥，∴90BOC ∠=︒，∵28DAC ∠=︒，∴28BCA DAC ∠=∠=︒，∴902862OBC ∠=︒-︒=︒．故答案为：62．3．如图，在菱形ABCD 中，∠ADC＝72°，AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB 的度数是（）A．108°B．72°C．90°D．100°【答案】B 【详解】解：连接PA，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ADP＝∠CDP＝12∠ADC＝36°，BD 所在直线是菱形的对称轴，∴PA＝PC，∵AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P，∴PA＝PD，∴PD＝PC，∴∠PCD＝∠CDP＝36°，∴∠CPB＝∠PCD+∠CDP＝72°；故选：B．4．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，DH AB ⊥于点H ，连接OH ，若AH DH =，则DHO ∠=．【答案】22.5︒【详解】解：∵DH AB ⊥，AH =，∴ADH 是等腰直角三角形，∴45BAD ADH ==︒∠∠，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD AB =，点O 为BD 的中点，∴18067.52BAD ABD ADB ︒-===︒∠∠∠，∴22.5BDH ADB ADH =-=︒∠∠，∵90DHB ∠=︒，点O 为BD 的中点，∴OH OD =，∴22.5DHO ODH ∠==︒∠，故答案为：22.5︒．5．如图，在菱形ABCD 中，AC 交BD 于点O，DE BC ⊥于点E，连接OE ，若140ABC ∠=︒，则OEB ∠=．【答案】70︒【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，140ABC ∠=︒，∴1270ABD CBD ABC BO DO ∠=∠=∠=︒=，，∵DE BC ⊥，∴OE OD OB ==，∴70CBD OEB ∠=∠=︒，故答案为：70︒．题型二：菱形的性质-求长度1．菱形相邻两角的比为1:2，那么菱形的对角线长与边长的比为（）A．1:2:3B．1:2:1C．1:2:D．【答案】D【详解】因为菱形相邻的两角互补，所以得到较小的角的度数是60︒，较大的角是120︒．设菱形的边长为1，则60︒角所对的对角线长为1，120︒所以它们所对的对角线长与边长的比为:1．故选：D．2．如图，在菱形ABCD 中，BE AB ⊥交对角线AC 于点E，若120D ∠=︒，1BE =，则AC =．【答案】3【详解】解： 四边形ABCD 是菱形，120D ∠=︒，∴CD AB ∥，120ABC D ∠=∠=︒，∴18012060DAB ∠=︒-︒=︒，∴1302BAE DAB ∠=∠=︒，∴30ECB BAE ∠=∠=︒，BE AB ⊥，∴90ABE ∠=︒，∴30EBC ECB ∠=∠=︒，∴1EB EC ==，在Rt ABE △中，30EAB ∠=︒ ，∴22AE BE ==，∴213AC AE EC =+=+=，故答案为：3．3．菱形ABCD 的边长为8，有一个内角为120°，则较长的对角线的长为（）B．8D．4【答案】A 【详解】根据题意作如图所示：在菱形ABCD 中，111206022BAO BAD ∠=∠=⨯︒=︒，又在△ABC 中，AB=BC，∴∠BCA=∠BAC=60°，∴∠ABC=180°-∠BCA-∠BAC=60°，∴三角形ABC 为等边三角形，∴AC=AB=8，∴AO=4，BO ∴==2BD BO ∴==故选：A．4．如图，菱形ABCD 对角线AC ，BD 交于点O ，15ACB ∠=︒，过点C 作CE AD ⊥交AD 的延长线于点E ．若菱形ABCD 的面积为4，则菱形的边长为（）A．B．2C．D．4【答案】A 【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD＝CD，AD∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝2∠ACB＝30°，∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°，∴CE＝12DC＝12AD，∴菱形ABCD 的面积＝AD•CE＝AD•12AD＝12AD 2＝4，∴AD＝（负值舍去），即菱形的边长为，故选：A．5．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BG ，DH 分别平分ABC ∠，ADC ∠，交AD ，BC 于点G ，H ．要使四边形BHDG 为菱形，则AD 的长为．【答案】1【详解】解：∵在矩形ABCD 中，BG 平分ABC ∠，90ABC ∠=︒，90A ∠=︒ ，45AGB ABG ∴∠=∠=︒，AB AG ∴=．又1AB = ，BG ∴==要使四边形BHDG 为菱形，则GD BG ==，1AD AG GD ∴=+=故答案为：1题型三：菱形的性质-求周长和面积1．如图，在菱形ABCD 中，AC 、BD 交于点O，若6AC =，8BD =，则ABC 的周长为（）A．16B．18C．20D．26【答案】A 【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴132CO AC ==，142BO BD ==，AO BO ⊥，AB BC =，∴5BC =，∴ABC 的周长55616AB BC AC =++=++=，故选：A．2．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AB 的中点，且2OE =，则菱形ABCD 的周长为（）A．12B．16C．8D．4【答案】B 【详解】解： 四边形ABCD 是菱形，AC BD AB BC CD AD ∴⊥===，，90AOB ∠=︒∴，E 为AB 的中点且2OE =，24AB OE ∴==，∴菱形ABCD 的周长44416AB ==⨯=，故选：B．3．如图，菱形ABCD 中，若10DB =，13AB =，则菱形ABCD 的面积为．【答案】120【详解】解：如图，连接AC ，交DB 于点O ，四边形ABCD 是菱形，10DB =，12,5,2AC OA OB DB AC BD ∴===⊥，13AB = ，12OA ∴==，24AC ∴=，则菱形ABCD 的面积为11241012022AC DB ⋅=⨯⨯=，故答案为：120．4．如图，在菱形ABCD 中，6cm AC =，8cm BD =，则菱形AB 边上的高CE 的长是（）A．4.8cmB．9.6cm C．5cm D．10cm【答案】A 【详解】解：对角线AC ，BD O ，则ABO 为直角三角形则3AO OC cm ==．4BO DO cm ==，5cm AB ∴=，∴菱形的面积根据边长和高可以计算，根据对角线长也可以计算，即16852S CE =⨯⨯=⨯，∴24cm 5CE =，故选：A．5．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O，BE AC ∥，AE BD ∥，OE 与AB 交于点F．若5OE =，8AC =，则菱形ABCD 的面积为．【答案】24【详解】解：菱形ABCD 中，142OA AC ==，AC BD ⊥∵BE AC ∥，AE BD∥∴四边形AOBE 是矩形∴5AB OE ==Rt OAB 中，3OB ===∴26BD OB ==∴菱形ABCD 的面积为11862422AC BD ==⨯⨯= 故答案为：24．题型四：菱形的性质运用1．菱形具有而矩形不一定有的性质是（）A．对角相等B．邻角互补C．对角线互相平分D．四条边都相等【答案】D【详解】解：A、因为矩形和菱形都是平行四边形，对角相等，所以本选项不符合题意；B、因为矩形和菱形都是平行四边形，邻角互补，所以本选项不符合题意；C、因为矩形和菱形都是平行四边形，对角线互相平分，所以本选项不符合题意；D、因为菱形的四条边相等，而矩形的四条边不相等，所以本选项符合题意．故选：D．2．如图，在菱形ABCD 中，点E、F 分别在边BC CD ，上，且BE DF =，连接EF ，求证：AEF AFE ∠=∠．【答案】见解析【详解】证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB AD B D =∠=∠，，∵BE DF =，∴()SAS ABE ADF △≌△，∴AE AF =，∴AEF AFE ∠=∠．3．如图，四边形ABCD 为菱形，E 为对角线AC 上的一个动点（不与点A，C 重合），连接DE 并延长交射线AB 于点F，连接BE．(1)求证：DCE BCE △≌△；(2)求证：AFD EBC ∠=∠．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴CD BC =，ACD ACB ∠=∠，在DCE △和BCE 中，CD BC ACD ACB CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DCE BCE SAS △≌△；（2）证明∶∵DCE BCE △≌△，∴CDE EBC ∠=∠，∵四边形ABCD 为菱形，∴AB∥CD，∴CDF AFD ∠=∠，∴AFD EBC ∠=∠．4．如图，四边形ABCD 是菱形，AE⊥BC 于点E，AF⊥CD 于点F．(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)若AE=4，CF=2，求菱形的边长．【答案】(1)见解析(2)5【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=CD=AD（菱形的四条边相等），∠B=∠D（菱形的对角相等），∵AE⊥BC AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°（垂直的定义），在△ABE 和△ADF 中，AEB AFD B D AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADF(AAS)；（2）解：设菱形的边长为x，∴AB=CD=x，CF=2，∴DF=x −2，∵△ABE≌△ADF，∴BE=DF=x −2（全等三角形的对应边相等），在Rt△ABE 中，∠AEB=90°，∴AE 2+BE 2=AB 2（勾股定理），∴42+(x −2)2=x 2，解得x=5，∴菱形的边长是5．题型五：菱形的判定1.判断下列命题是否正确，并说明理由（1）对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形（2）两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形（3）邻角相等的四边形是菱形（4）有一组邻边相等的四边形是菱形（5）两组对角分别相等且对角线互相垂直的四边形是菱形（6）对角线互相垂直的四边形是菱形（7）对角线互相垂直平分的四边形是菱形（8）一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形【答案】✔✔✖✖✔✖✔✔2.下列说法正确的是（）A．对角线互相平分的四边形是菱形B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形【答案】D3.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．不能确定【答案】C4.下列说法不正确的是（）A．对角线相互垂直的四边形是菱形B．有三个角是直角的四边形是矩形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形【答案】A5.下列条件中不能用来判定四边形是菱形的是（）A．AB=CD，AB=AD，BC=CD B．∠A=∠C，∠B=∠D，AC⊥BDC．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD D．OA=OB=OC=OD（O是对角线交点）【答案】D6．如图，在矩形ABCD 中．点E，F，G，H 分别是四条边的中点．求证：四边形EFGH 是菱形．【答案】连接AC BD 、，∵点E，F，G，H 分别是四条边的中点，∴12EF GH AC ==，12EH FG BD ==∵矩形ABCD ，∴AC BD =，∴EF GH EH FG ===，∴平行四边形EFGH 为菱形．7．如图，在四边形ABCD 中，BC CD =，C BAD ∠=∠，O 是四边形ABCD 内一点，且OA OB OD ==．求证：(1)BOD C ∠=∠；(2)四边形OBCD 是菱形．【答案】（1）∵OA OB OD ==，∴点A 、B 、D 在以点O 为圆心，OA 为半径的圆上，∴2BOD BAD ∠=∠，∵2C BAD ∠=∠，∴BOD C ∠=∠，（2）证明：如图，连接OC ，∵OB OD =，CB CD =，OC OC =，∴(SSS)OBC ODC ≌，∴BOC DOC ∠=∠，BCO DCO ∠=，∵BOD BOC DOC ∠=∠+∠，BCD BCO DCO ∠=∠+∠，∴12BOC BOD ∠=∠，12BCO BCD ∠=∠，∵BOD BCD ∠=∠，∴BOC BCO ∠=∠，∴BO BC =，∵OB OD =，BC CD =，∴OB BC CD DO ===，∴四边形OBCD 是菱形.8．如图，△ABC 中，AB=AC，AD 是A ∠的平分线，E 为AD 延长线上一点，CF//BE 且交AD 于F，连接BF、CE．求证：四边形BECF 是菱形．【答案】∵AB=AC，AD 是角平分线，∴BD=CD，∵CF∥BE，∴∠DBE=∠DCF，在△BDE 和△CDF 中，DBE DCF DB CD BDE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BDE≌△CDF（ASA），∴CF=BE，又∵CF∥BE，∴四边形BFCE 是平行四边形；∵AB=AC，AD 是角平分线，∴AD⊥BC，又∵四边形BFCE 是平行四边形，∴四边形BFCE 是菱形．9．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AE 平分CAB ∠交CB 于点E ，CD AB ⊥于点D ，交AE 于点G ，过点G 作GF BC ∥交AB 于F ，连接EF．(1)求证：CG CE =；(2)判断四边形CGFE 的形状，并证明；(3)若3cm 4cm AC BC ==，，求线段DG 的长度．【答案】(1)见解析(2)菱形，理由见解析(3)910（1）证明：AE 平分CAB ∠，CAE BAE ∴∠=∠，90ACB CD AB ∠=︒⊥ ，，90CAE CEA BAE AGD ∴∠+∠=∠+∠=︒，CEA AGD ∴∠=∠，又CGE AGD ∠=∠ ，CEA CGE ∴∠=∠，CG CE ∴=；（2）解：四边形CGFE 是菱形，理由如下：GF BC ∥，CEG EGF ∴∠=∠，由（1）知CEA CGE ∠=∠，CGE EGF ∴∠=∠，AGC AGF ∴∠=∠，又AG AG CAE BAE =∠=∠ ，，()ASA AGC AGF ∴ ≌，CG FG ∴=，由（1）知CG CE =，CE FG ∴=，又GF BC ∥，CE FG ∴∥，∴四边形CGFE 是平行四边形，又CG CE = ，∴四边形CGFE 是菱形；（3）解：Rt ABC △中，903cm 4cm ACB AC BC ∠=︒==，，，5cm AB ∴===，由（2）知AGC AGF ≌，3cm AF AC ∴==，2cm BF AB AF ∴=-=，四边形CGFE 是菱形，EF CG ∴∥，CD AB ⊥ ，EF AB ∴⊥，设CE EF CG GF x ====，则4BE BC CE x =-=-，在Rt EFB △中，222EF BF BE +=，即()222x 24x +=-，解得：32x =，32CG ∴=，1122ABC S AC BC AB CD =⋅=⋅ ，341255AC BC CD AB ⋅⨯∴===，12395210GD CD CG ∴=-=-=．课后练习1．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD＝80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F，E 为垂足，连接DF，则∠CDF 的度数为．【答案】60°【详解】解：连接BD，BF，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠DAC=12∠BAD=12×80°=40°，AC 垂直平分BD，AB//CD，∴∠ADC=180°-∠BAD=180°-80°=100°，又∵EF 垂直平分AB，AC 垂直平分BD，∴AF=BF，BF=DF，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA=40°，∴∠CDF=100°-40°=60°，故答案为：60°．2．如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线交对角线BD 于点F，垂足为点E，连接AF、AC，若∠DCB＝70°，则∠FAC＝．【答案】20°【详解】解：∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AF＝BF，∴∠FAB＝∠FBA，∵四边形ABCD 是菱形，∠DCB＝70°，∴BC＝AB，∠BCA＝12∠DCB＝35°，AC⊥BD，∴∠BAC＝∠BCA＝35°，∴∠FBA＝90°﹣∠BAC＝55°，∴∠FAB＝55°，∴∠FAC＝∠FAB﹣∠BAC＝55°﹣35°＝20°，故答案为：20°．3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE AB⊥，垂足为E点，若130ADC∠=︒，则AOE∠=．【答案】65°【详解】解：在菱形ABCD中，∠ADC=130°，∴∠BAD=180°-130°=50°，∴∠BAO=12∠BAD=12×50°=25°，∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°-∠BAO=90°-25°=65°．故答案为：65°．4．如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF．当100BAD∠=︒时，CDF∠=（）A．15°B．30°C．40°D．50°【答案】B【详解】如图，连接BF，∵四边形ABCD是菱形，∴CD BC =，DCF BCF ∠=∠，在BCF △和DCF 中，∵CD BC DCF BCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BCF DCF SAS △≌△∴CBF CDF∠=∠∵FE 垂直平分AB ，1100502BAF ∠=⨯︒=︒，∴50ABF BAF ∠=∠=︒∵18010080ABC ∠=︒-︒=︒，805030CBF ∠=︒-︒=︒∴30CDF ∠=︒．故选：B．5．菱形的周长是24，两邻角比为1∶2，较长的对角线长为．【答案】【详解】解：如图， 菱形的周长是24，∴菱形的边长6AB =，菱形的两邻角之比为1:2，∴较小的内角11806012ABC ∠=︒⨯=︒+，ABC ∴ 是等边三角形，6AC AB ∴==， 在菱形ABCD 中，12OA OC AC ==，12OB BD =，AC BD ⊥，116322AO AC ∴==⨯=，在Rt ABO 中，OB ===∴较长的对角线22BD OB ==⨯．故答案为：6．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 分别为16和12，DE AB ⊥于点E ，则DE =．【答案】485【详解】解：如图，设AC 与BD 的交点为O ，∵四边形ABCD 是菱形，8AO CO ∴==，6DO BO ==，AC BD ⊥，∴10AB ===，ABCD S =菱形AC BD AB DE ⋅=⋅，∴11612102DE ⨯⨯=⨯，∴485DE =，故答案为：485．7．如图，菱形ABCD 的对角线AC BD 、相交于点O，过点D 作DH AB ⊥于点H，连接OH ，若64OA OH ==，，则菱形ABCD 的面积为．【答案】48【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴6OA OC ==，OB OD =，AC BD ⊥，∴12AC =，∵DH AB ⊥，∴90BHD ∠=︒，∴2248BD OH ==⨯=，∴菱形ABCD 的面积111284822AC BD =⋅=⨯⨯=，故答案为：48．8．如图，在菱形ABCD 中，58AB BD ==，，过点D 作DE BA ⊥，交BA 的延长线于点E，则线段DE 的长为（）A．4B．3C．485D．245【答案】D 【详解】解：如图，设AC 与BD 的交点为O，∵四边形ABCD 是菱形，∴142AO OC OB OD BD AC BD ====⊥，，，∴3OA ===，∴26AC OA ==，∵12菱形ABCD S AB DE AC BD =⋅=⋅，∴1168242255AC BD DE AB ⋅⨯⨯===，故选：D．9．如图，在菱形ABCD 中，100A ∠=︒，M、N 分别是边AB BC 、的中点，MP CD ⊥于点P．则NPC ∠的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°【答案】A 如图所示，延长PN 交AB 的延长线于点G，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB BC AB CD AD BC =，∥，∥，∴BMP DPM G NPC ∠=∠∠=∠，，18080ABC A ∠=︒-∠=︒，∵MP CD ⊥，即90DPM ∠=︒，∴90BMP ∠=︒，∵M、N 分别是边AB BC 、的中点，∴1122BM BN CN AB BC ====，∴180502MBN BMN BNM ︒-===︒∠∠∠，在BGN △与CPN △中，GNB PNC BN CN G NPC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()AAS BGN CPN ≌，∴GN PN =，∴N 为PG 中点．∴12MN PN PG ==，∴NMP NPM =∠∠，∴BMP NMP MPC MPN ∠-∠=∠-∠，即50BMN NPC ∠=∠=︒，故选A．10．如图，菱形ABCD ，E 、F 分别是BC ，CD 上的点，60B EAF ︒∠=∠=，18BAE ︒∠=，求CEF ∠的度数．【答案】18︒【详解】连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴ABC 为等边三角形，∴60BAC ACB ︒∠=∠=，AB AC =，∴60ACF B ︒∠=∠=，∵60EAF BAC ︒∠=∠=，∴BAE CAF ∠=∠，∴ABE ACF V V ≌，∴AE AF =，∴AEF △为等边三角形，∴60AEF ︒∠=，∵AEF CEF B BAE ∠+∠=∠+∠，且18BAE ︒∠=，∴18CEF ︒∠=11．如图，ABCD Y 中，对角线AC 、BD 交于点O ，在BD 上截取OE OF OA ==．(1)求证：四边形AECF 是矩形；(2)若AE AF =，求证：AC 平分BAD ∠．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA OC =，∵OE OF OA ==，∴OE OF OA OC ===，∴四边形AECF 是平行四边形，AC EF =；∴四边形AECF 是矩形；（2）证明：∵四边形AECF 是矩形，AE AF =，∴四边形AECF 是正方形，∴AC BD ⊥，又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形，∴AC 平分BAD ∠．12．如图，在三角形纸片ABC 中，AD 平分∠BAC，将△ABC 折叠，使点A 与点D 重合，展开后折痕分别交AB、AC 于点E、F，连接DE、DF．求证：四边形AEDF是菱形．【答案】∵AD 平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°∵在△AEO 和△AFO 中EAO FAO AO AO AOE AOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO=FO又∵A 点与D 点重合，∴AO=DO，∴EF、AD 相互平分，∴四边形AEDF 是平行四边形∵点A 与点D 关于直线EF 对称，∵EF⊥AD，∴平行四边形AEDF 为菱形．13．如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE 和CE 相交于E.（1）求证：四边形OCED 是菱形；（2）若矩形ABCD 中，AD=6，点F 为BC 边中点，且OF=2，求四边形OCED 的面积.【答案】（1）见解析；（2）12()1证明：∵四边形ABCD 是矩形,2,2,,AC OC BD OD AC BD ∴===,OD OC ∴=,.DE AC CE BD ∴四边形OCED 是菱形．（2）如图，连接,OE ∵四边形OCED 是菱形,,OE CD ∴⊥.OE AD ∴ /,.DE AC OE AD ∴四边形AOED 是平行四边形,6,OE AD ∴==2,4,OF CD =∴=114612.22S CD OE ∴=⋅=⨯⨯=14．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与对角线AC 交于点O，与边AD、BC 分别交于点E、F，那么四边形AFCE 是不是菱形？为什么？【答案】四边形AFCE 是菱形，理由详见解析.【详解】解：四边形AFCE 是菱形，理由：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，即AE∥FC．∴∠OAE＝∠OCF．∵∠AOE＝∠COF＝90°，AO＝CO，∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF，∴四边形AFCE 是平行四边形．∵EF⊥AC 于O，∴平行四边形AFCE 是菱形．15．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，DE 垂直平分BC ，垂足为D ，交AB 于点E ．又点F 在DE 的延长线上，且AF CE =．(1)求证：点E 是AB 的中点：(2)求证：四边形ACEF 是平行四边形．【答案】(1)证明：90ACB DE ∠=︒，是BC 的中垂线，DE BC ∴⊥，又AC BC ⊥Q ，//DE AC ∴，又D 为BC 中点，//DE AC∴DE ∴是ABC ∆的中位线，E ∴为AB 边的中点：(2)证明：E 为AB 边的中点，CE AE BE ∴==，AF CE = ，CE AE AF ∴==，ECA EAC AEF F ∴∠=∠∠=∠，，//DE AC ，180EAC AEF FEC ECA ∴∠=∠∠+∠=︒，，ECA F ∴∠=∠，180FEC F ∴∠+∠=︒，.//AF CE ∴，∴四边形ACEF 是平行四边形．16．尺规作图如下：如图，在ABC 中，①作AD 平分BAC ∠交BC 于D ；②作线段AD 的垂直平分线分别交AB 于点E 、交AC 于点F ；③连接DE 、DF ；（1）在所作图的步骤中①得到角平分线AD 的依据是______．A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS（2）试判断四边形AEDF 的形状，并说明理由．【答案】（1）D；（2）菱形，见解析【详解】解：（1）如图：连接ON、OM。
6.1菱形的性质与判定(1)
做一做
用菱形纸片折一折，回答下列问题： （1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它 有几条对称轴？对称轴之间有什么位置 关系？ （2）菱形中有哪些相等的线段？
菱形是
轴对称图形
通过上面的折纸活动，我们 可以发现:菱形的四条边相等， 对角线互相垂直.下面我们证明 这些结论.
动动脑筋
已知：如图6-1，在菱形ABCD 中，AB=AD,对角线AC与BD相交 于点O. 求证：（1）AB=BC=CD=AD； （2）AC⊥BD. 证明：（1）∵四边形ABCD是 菱形， ∴AB = CD，AD= BC（菱形 的对边相等）. 又∵AB=AD， ∴AB=BC=CD=AD.
图62
随堂练习
如图，在菱形ABCD中， 对角线AC与BD相交于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm ， 求 BD的长.
今天你学到了什么
平行四边形
菱形
定义:有一组邻边相等的平行四边形 叫做菱形.
菱形的四条边相等
菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角 线平分一组对角
图6-1
（2）∵AB=AD， ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是菱形， ∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD， ∴AO⊥BD， 即AC⊥BD.
定理 定理
菱形的四条边相等. 菱形的对角线互相垂直.
例1 如图6-2，在菱形ABCD中，对 角线AC与BD相交于点O, ∠BAD=60°，BD=6，求AB和AC的长.
下面几幅图片中都含有一些平行四边形，观 察这些平行四边形，你能发现它们什么样的 共内特征？
一组邻边相等的平行四边形是菱形.
你能举出一些生活中菱形的例子吗？
与同伴交流.
想一想
菱形的性质及判定典型题(精选)
板块一、菱形的性质【例1】 菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为【例2】 在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例3】 如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1∠= 度．图21CBA【例4】 如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD的边长是______．【例5】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分．E FDBCA菱形的性质 及判定P HFE DCBA【例6】 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于 ．图1HO DC BA【例7】 如图，已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ，则DE 的长为【例8】 菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为 ．【例9】 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为【例10】 如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（ ）A ．5B ．10C ．6D ．8图2DCBA【例11】 如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（ ）A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒图3E DP CF BA【例12】 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（ ）A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒ D ．30︒或60︒【例13】 菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ⊥，AF CD ⊥，那么EAF ∠等于 ．【例14】 已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为________．【例15】 如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A ．210cmB ．220cmC ．240cm D．280cm图1DCBA【例16】 已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【例17】 如图，菱形花坛ABCD 的周长为20m ，60ABC ∠=︒，•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积．图2【例18】 如图，在菱形ABCD 中，4AB a E =，在BC 上，2120BE a BAD P =∠=︒，，点在BD 上，则PE PC+的最小值为DB【例19】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．FEDCBA【例20】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FEDCBA板块二、菱形的判定【例21】 如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．DCAB【例22】 如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形FEDCBA【例23】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由．EDCB A【例24】 已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.ODEFCAB【例25】 如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．C'DCB A E【例26】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分AB CDEF P PF EDC B A【例27】 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．GF E DCBA【例28】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DM EP 是菱形．PMF E DG CBA【例29】 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．H F DECBA【例30】 如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将M AB ∆沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M 移动到点'M 的位置⑴画出平移后的三角形；⑵连结'MD MC MM ，，，试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB AD ，的长；⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDM C 是菱形？为什么？M'MDC BA【例31】 如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．⑵ 当BAC ∠为 度时，四边形ADFE 为正方形．FEDCBA三、与菱形相关的几何综合题【例32】 已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？MPFABCDE【例33】 问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值．小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：⑴ 写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值；⑵ 将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．⑶ 若图1中()2090ABC BEF αα∠=∠=︒<<︒，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，求PGPC的值（用含α的式子表示）． 图2AB CDEFG P四、中位线与平行四边形【例34】 顺次连结面积为20的矩形四边中点得到一个四边形，再顺次连结新四边形四边中点得到一个 ，其面积为 ．【例35】 如图，在四边形ABCD 中，AB CD ≠，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD 还满足的一个条件是 ，并说明理由．HGFE D CBA【例36】 在四边形ABCD 中，AB CD =，P ，Q 分别是AD 、BC 的中点，M ，N 分别是对角线AC ，BD中点，证明：PQ 与MN 互相垂直．Q PMNCB D A【例37】 四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是 （ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减小 C ．线段EF 的长不变D ．线段EF 的长与点P 的位置有关P FREDCBA【例38】 如图，ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，CE AD ⊥于E ，M 为BC 的中点，14cm AB =，10cm AC =，则ME 的长为 ．M EDCBA【例39】 如图，四边形ABCD 中，AB CD =，E F ，分别是BC AD ，的中点，连结EF 并延长，分别交BA CD ，的延长线于点G H ，，求证：BGE CHE ∠=∠ ABH G FEDCBA【例40】 如图，已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE ⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．NMEFCBA【例41】 如图，四边形ABCD 中，E F ，分别是边AB CD ，的中点，则AD BC ，和EF 的关系是（ ） A ．2AD BC EF +> B ．2AD BC EF +≥ C ．2AD BC EF +< D ．2AD BC EF +≤ADFEDCBA【例42】 已知如图所示，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的四边的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形．HGFDC BA【例43】 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，AD E ∆和BCE ∆都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，证明四边形PQMN 为平行四边形且PQ PN =．QEP NMDCBA【例44】 如图，四边形ABCD 中，AB CD E F G H =，，，，分别是AD BC BD AC ，，，的中点，求证：EF GH ，相互垂直平分ABGH GFEDCBA【例45】ABC ∆的三条中线分别为AD 、BE 、CF ，H 为BC 边外一点，且BHCF 为平行四边形，求证：AD EH ∥．ABCDE FH【例46】 在平行四边形ABCD 的对角线BD 上取一点E ，使13B E D E =，连接AE 并延长与DC 的延长线交于F ，则2CF AB =．图1CAEDBF【例47】 如图，ABC ∆中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 、H 是AC 的三等分点，连结并延长EG 、FH 交于点D ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．HGFEDCBA【例48】 如图，在四边形ABCD 中，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，BD AC =，BD 和AC 相交于点O ，MN 分别与AC 、BD 相交于E 、F ，求证：OE OF =．FE ONM D CBA【例49】 如图，线段AB CD ，相交于点O ，且A B C D =，连结AD BC ，，E F ，分别是AD BC ，的中点，EF 分别交AB CD ，于M N ，，求证：OM ON = ACFEO N M DCB A【例50】 如图，梯形ABCD 中，AD BC AB CD =∥，，对角线AC BD ，相交于点O ，60AOD ∠=︒，E F G ，，分别是OA OB CD ，，的中点，求证：EFG ∆是等边三角形A BEFO GFE DCBA【例51】 如图，求证：四边形两组对边中点连线与两对角线中点连结这三条线共点．OE FLHNMDCB A【例52】 如图，O 是平行四边形ABCD 内任意一点，E F G H ，，，分别是OA OB OC OD ，，，的中点．若DE ，CF 交于P ，DG ，AF 交于Q ，AH ，BG 交于R ，BE ，CH 交于S ，求证：PQ SR ．SR QPH GOEFDCB A。
(完整word)菱形的性质和判定(北师版)(含答案)-推荐文档
学生做题前请先回答以下问题题1: 菱形的定义是什么？答：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.问题2: 菱形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？答：菱形是轴对称图形, 两条对角线均为对称轴；是中心对称图形, 对角线的交点为对称中心．问题3: 菱形有哪些性质？答：边：菱形的四条边都相等；对角线：菱形的对角线互相垂直平分, 每一条对角线平分一组对角；面积：菱形对角线乘积的一半．问题4: 菱形的判定有哪些？答：边：四条边都相等的四边形是菱形；对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.问题5: 一条对角线平分一组对角的四边形是菱形吗？答：本结论错误. 一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.举反例：菱形的性质和判定（北师版）一、单选题(共11道, 每道9分)1.下列说法错误的是( )A.菱形的对边互相平行B.菱形的对角相等C.菱形的对角线相等D.菱形的每一条对角线平分一组对角答案：C解题思路:试题难度: 三颗星知识点: 菱形的性质2.菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )A.对角线互相平分B.邻角互补C.每条对角线平分一组对角D.对角相等答案：C解题思路:试题难度: 三颗星知识点: 菱形的性质3.下列说法正确的是( )A.对角线相等的平行四边形是菱形B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.有一个角是直角的平行四边形是菱形答案：B解题思路:试题难度: 三颗星知识点: 菱形的判定4.如图, 已知菱形ABCD的对角线AC, BD的长分别为6, 8, AE⊥BC于点E, 则AE的长是( )A. B.C. D.答案：B解题思路:试题难度: 三颗星知识点: 菱形的性质5.菱形ABCD的周长为8, 高为1, 则该菱形两邻角的度数之比为( )A.3:1B.4:1C.5:1D.6:1答案：C解题思路:试题难度: 三颗星知识点: 菱形的性质6.如图, 在平行四边形ABCD中, 添加下列条件不能判断平行四边形ABCD是菱形的是( )A.AB=BCB.AC⊥BDC.BD平分∠ABCD.AC=BD答案：D解题思路:试题难度: 三颗星知识点: 菱形的判定7.如图, 已知E是菱形ABCD的边BC上一点, 且∠DAE=∠B=80°, 则∠CDE的度数为( )A.30°B.25°C.20°D.35°答案：A解题思路:试题难度: 三颗星知识点: 菱形的性质8.如图, 在菱形ABCD中, ∠ADC=50°, AD的垂直平分线交对角线BD于点P, 垂足为E, 连接CP, 则∠CPB 的度数为( )A.40°B.50°C.60°D.80°答案：B解题思路:试题难度: 三颗星知识点: 垂直平分线的性质9.在菱形ABCD中, AE⊥BC于E, AF⊥CD于F, 且E, F分别为BC, CD的中点, 则∠EAF的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.75°答案：C解题思路:试题难度: 三颗星知识点: 菱形的性质10.如图, 将△ABC沿BC方向平移得到△DCE, 连接AD, 下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是( )A.AB=BCB.AC=BCC.∠B=60°D.∠ACB=60°答案：B试题难度: 三颗星知识点: 菱形的判定11.如图, 四边形ABCD是菱形, 过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E, 则下列结论错误的是( )A.DA=DEB.∠EAC=90°C.BD+AD=CED.∠ABC=2∠E答案：C解题思路:试题难度: 三颗星知识点: 平行四边形的性质与判定。
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菱形性质与判定练习题
1．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（）
A、163
B、16
C、83
D、8
2．菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）
A．2 B．C．1 D．
3．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）
A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
4．如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）
A．15 B．C．7.5 D．
5.如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（）
A．2 B． C．4 D．
6．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________cm2．
7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．
8．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．
6题图7题图8题图9题图9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________．
10．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=_________度．
11．如图，活动菱形衣架的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1=度．
10题图13题14题图15题图
12．已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________．
13．如图，两个全等菱形的边长为1米，一机器人由A点开始按A—B—C—D—E—F—C—G—A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_____点．
14．如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是____ cm．15．已知：菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为______．
16．已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________cm2．
17．已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是_________cm2．
18．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB 于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_________．
17题图18题图19题图
19．如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________．
20．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=度．
21．如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．
22．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．
23．如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．
（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．
24．如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．
（1）证明：∠APD=∠CBE；
（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？
25．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．
（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？
（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．。