高二数学类比推理2
高二数学选修2-2(B版)_总结归纳：推理与证明
推理与证明对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力形式．通过本章的复习，要有着扎实的推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力．一．推理部分1．知识结构：2．和情推理：归纳推理与类比推理统称为和情推理．①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．③定义特点；归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；都能由已知推测、猜想未知，从而推理结论．但是结论的可靠性有待证明．例如：已知2()53f n n n =-+-，可以(1)10f =>，(2)30,f =>(3)30,(4)10f f =>=>，于是推出：对入任何n N *∈，都有()0f n >；而这个结论是错误的，显然有当5n =时，(5)30f =-<．因此，归纳法得到的结论有待证明．例如：“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”；类比线与线得到：“在空间与同一条直线垂直的两条直线平行“；显然此结论是错误的”．类比线与面得到：在空间与同一个平面垂直的两个平面平行；显然此结论是错误的．④推理过程：从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 猜想．3．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（逻辑推理）．①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；②数学应用：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；推理模式：“三段论”：ⅰ大前提：已知的一般原理（M 是P ）；ⅱ小前提：所研究的特殊情况（S 是M ）；ⅲ结论：由一般原理对特殊情况作出判断（S 是P ）；集合简述：ⅰ大前提：x ∈M 且x 具有性质P ；ⅱ小前提：y ∈S 且S ⊆M ；ⅲ结论： y 也具有性质P ；例题1．若定义在区间D 上的函数()f x 对于D 上的n 个值12,,n x x x ，总满足[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++++++≤，称函数()f x 为D 上的凸函数；现已知()sin f x x =在(0,)π上是凸函数，则ABC ∆中，sin sin sin A B C ++的最大值是 ．解答：由[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++++++≤（大前提）因为()sin f x x =在(0,)π上是凸函数 （小前提）得()()()3()3A B C f A f B f C f ++++≤ （结论）即sin sin sin 3sin 3A B C π++≤=因此，sin sin sin A B C ++的最大值是2 注：此题是一典型的演绎推理“三段论”题型4.和情推理与演绎推理的关系：①和情推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；例2．设()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（其中0a >且1a ≠） （1）5＝2＋3请你推测(5)g 能否用(2),(3),(2),(3)f f g g 来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广.解答:（1）由(3)(2)(3)(2)f g g f +＝332a a -+222a a --＋332a a --222a a -+ ＝552a a -- 又(5)g ＝552a a -- 因此，(5)g ＝(3)(2)(3)(2)f g g f +（2）由(5)g ＝(3)(2)(3)(2)f g g f +即(23)g +＝(3)(2)(3)(2)f g g f +于是推测()g x y +＝()()()()f x g y g x f y + 证明：因为：()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（大前提） 所以()g x y +＝2x y x ya a ++-， ()g y ＝2y y a a --，()f y ＝2y ya a -+，（小前提及结论） 所以()()()()f x g y g x f y +＝2x x a a -+2y y a a --＋2x x a a --2y ya a -+ ＝2x y x ya a ++-＝()g x y + 解题评注：此题是一典型的由特殊到一般的推理，构造(23)g +＝(3)(2)(3)(2)f g g f +是此题的一大难点，要经过观察、分析、比较、联想而得到；从而归纳推出一般结论()g x y +＝()()()()f x g y g x f y +．二．证明部分1．知识结构2．综合法与分析法①综合法；利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过一系列推理论证，推导出所要证明的结论成立．②分析法：从要证明的结论出发逐步寻求使它成立的充分条件，直至把要证明的结论归结为判别一个明显成立的条件为止．③综合应用：在解决问题时，经常把综合法与分析法和起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程．例3．已知：0a b >>，求证：22()()828a b a b a b ab a b-+-<-< 证明：因为0a b >> 所以22()()828a b a b a b ab a b-+-<< ⇔222()()()44a b a b a b a b--<< ⇔|22a b a b<< ⇔2a b a b a b<< ⇔121b a a b < ⇔1b a a b<又由已知0a b >>1b a a b<<成立． 由于以上分析步步等价，因此步步可逆．故结论成立．解题评注：(1)以上解答采用恒等变形，其实质从上往下属于分析法，反之属于综合法．(2)1b a a b<,(0a b >>)是结论成立的充要条件,当然找到了结论成立的充分条件就可以了.例4.求证抛物线22(0)y px p =>，以过焦点的弦为直径的圆必与2p x =-相切. 证明：（如图）作AA ／、BB ／垂直准线，取AB 的中点M ，作MM ／垂直准线. 要证明以AB 为直径的圆与准线相切只需证｜MM ／｜＝12｜AB ｜ 由抛物线的定义：｜AA ／｜＝｜AF ｜，｜BB ／｜＝｜BF ｜所以｜AB ｜＝｜AA ／｜＋｜BB ／｜因此只需证｜MM ／｜＝12（｜AA ／｜＋｜BB ／｜） 根据梯形的中位线定理可知上式是成立的. 所以以过焦点的弦为直径的圆必与2p x =-相切. 以上解法同学们不难以综合法作出解答.解题评注:分析法是从结论出发寻找证题思路的一种重要的思维方法,特别是题设和结论相结合,即综合法与分析法相结合,可使很多较为复杂的问题得到解决.3.数学归纳法一般地，证明一个与正整数ｎ有关的命题的步骤如下：（1）（归纳奠基）证明当ｎ取第一个值ｎ0时命题成立；（2）（归纳递推）假设ｎ＝k （0(,)k n k n ≥∈*时命题成立，证明当1n k =+ 时命题也成立。
高二数学推理与证明试题答案及解析
高二数学推理与证明试题答案及解析1.观察以下等式：sin230°＋cos260°＋sin 30°·cos 60°＝，sin240°＋cos270°＋sin 40°·cos 70°＝，sin215°＋cos245°＋sin 15°·cos 45°＝.…写出反映一般规律的等式，并给予证明．【答案】sin2α＋cos2(α＋30°)＋ sin α·cos(α＋30°)＝【解析】反映一般规律的等式是(表述形式不唯一)：sin2α＋cos2(α＋30°)＋ sin α·cos(α＋30°)＝.证明如下：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin α·cos(α＋30°)＝sin2α＋(cos α·cos 30°－sin α·sin 30°)2＋sin α·(cos αcos 30°－sin α·sin 30°)＝sin2α＋2＋sin α ·cos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＋sin2α－sin α·cos α＋sin α·cos α－sin2α＝(sin2α＋cos2α)＝.2.观察下列恒等式：∵∴tanα－＝－①∴tan2α－＝－②tan4α－＝－③由此可知：tan＋2tan＋4tan－＝()A．－2B．－4C．－6D．－8【答案】D【解析】根据题意，由于观察下列恒等式：∵∴tanα－＝－①∴tan2α－＝－②tan4α－＝－③由此可知：tan＋2tan＋4tan－=2tan＋4tan-= -8tan=-8，故答案为D.【考点】归纳推理点评：主要是考查了归纳推理的运用，属于基础题。
高二数学 5.1.2 归纳推理与类比推理水平测试 试题
第四中学高二数学 归纳推理与类比推理程度测试一、自学导引1、在数列{}n a 中，*1121,()2nn na a a n N a +==∈+试猜测这个数列的通项公式。
2、探求凸多边形的面数F ，顶点数V 和棱数E 之间的关系：归纳、猜测对于一般的凸n 面体的面数F 、顶点数V 、棱数E 的关系是 。
3、对于任意的正整数n ，猜测12n -与2(1)n +的大小关系。
4、类比圆与球的概念与性质：5、从运算性质的角度，类比实数的加法和乘法：二、应用探究：1、类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体的猜测。
90三边的长分别为三边的关系：试证明你猜测的结论。
三、反应与练习1、数列{}n a 的前n 项和为n S ，123a =-，满足12(2)n n n S a n S ++=≥，计算1S 、2S 、3S ，并猜测n S 的表达式。
2、在等差数列{}n a 中，假设100a =，那么有*121219(19,)n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈且成立。
类比上述性质，在等比数列{}n b 中，假设91b =，那么存在怎样的等式？励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
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类比推理教案
“类比推理”教案泰兴市第三高级中学杨翠“类比推理”是苏教版选修2—2的第二章第一节的内容，本节课是其中的第二课时.课程标准要求：“结合已经学过的数学案例和生活实例，了解合情推理的含义，能利用类比的方法进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用”.并指出：“合情推理是数学发现过程和数学体系建构过程中的一种重要思维形式”.要求“在教学中要注意从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发，唤起学生的经验，找到知识的生长点”根据课程标准的要求，结合教材实际，我将从重难点分析、目标定位、教法学法、教学设想、教学评价等五个方面对本节课的教学设计进行说明.一、重难点分析重点:了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理.难点：用类比进行推理，做出猜想.二、目标定位1、知识与能力：通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去.2、过程与方法：类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠.3、情感态度与价值观：（1）正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识.（2）认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善正确的数学意识.三、教法学法针对本节课的特点，在教法上，我采用以教师引导为主，学生合作探索、积极思考为辅的探究式教学方法；在教学过程中，我注重启发式引导、反馈式评价，充分调动学生的学习积极性，鼓励同学们结合实际、大胆联想，让同学们积极主动分享自己的发现和感悟；在教学手段上，我灵活运用黑板板书和多媒体展示，激发学生的创造力，活跃了气氛，加深了理解；在教学思想上，我以建构主义为主，强调数学知识的建构过程，让学生亲历逻辑推理的发现之旅.课时安排：1课时.四、教学设想3、师生合作、共探新知——进一步体会类比推理五、教学评价1、教学内容:类比推理作为合情推理的第二课时，必须把学生的认知力引导到类比上来，让学生理解并区分两类合情推理.故事形式开讲————激发学习兴趣生活实例讨论————学生全情投入例题演练巩固————延续求知热情课堂小结反思————分享自身成长2、教学理念：始终贯彻以学生为中心的教育理念.关注学生的认知过程，重视学生的自由发挥，随时发现、肯定学生的闪光点，让学生及时享受成功的愉悦.同时，结合学生暴露出的思想或方法上的问题，给予适时点拨.在教学设计中，我突显了教学的有效性：引导学生.3、教学预想：“类比推理”概念枯燥抽象，学生似懂非懂，道理似易实难.题目浅深度难以把握，而且对具体题目的处理，没有确信的统一方法.思辨之美，难以体会.笔者根据新课程标准的要求，更多的专注于推理的形式，引用多个实例，带领学生亲历思维过程即推理过程，真正理解推理概念.同时，笔者也希望通过这节课的教学，能让学生体会数学和生活的联系，体会数学应用的广泛性，认识数学的文化价值.当然，课堂是一个动态的过程，为使严谨的课堂更具弹性，我还做了其他准备，比如仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇；利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理；科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征; 1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星;2)有大气层,在一年中也有季节变更;3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等. 科学家猜想;火星上也可能有生命存在.等学生感兴趣的且与本节课相关的问题，以便适时的给学生拓宽知识，让学生更充分地感受到数学知识在其他方面的广泛应用.。
人教版高中数学高二数学《合情推理(类比推理)》学案
教学目标：结合已经学过的数学实例和生活实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等方法进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等方法进行简单的推理教学难点：利用归纳和类比等方法进行简单的推理教学过程：课前检测：1、当1,2,3,4,5n =时，2()41f n n n =++的值分别是43，47，53，61，71，它们都是素数，由此你得到的猜想是2、已知113,21n n a a a +==+则数列的通项公式为一、问题情境：课本第65页鲁班发明锯子的例子二、讲解新课试根据等式的性质，猜想不等式的性质相关概念：1、类比推理的概念：2、类比推理的思维过程（流程图）三、例题讲解例1：(G..波利亚的类比) 类比实数的加法与乘法，并列出它们类似的性质.例2：试将平面上的圆与空间中的球进行类比.练习：1、平面上任意三角形都有内切圆，在空间可类比为 2、平面上任意三角形内切圆的半径ABC r ABC ∆=∆的面积的2倍的周长，在空间可类比为：例3：已知O 为ABC ∆内任意一点，如图，连结AO 、BO 、CO 并延长交对边于''',,A B C ，则''''''1OA OB OC AA BB CC++=，请运用类比思想，对于三棱锥V BCD -，存在什么类似的结论？并加以证明。
四、课堂总结作业班级 姓名 学号 等第1、三角形任意两边之和大于第三边，则在四面体中存在类似结论：2、将平面几何中结论“等腰三角形底边上任意一点，到两腰的距离之和是一个定值”类比到空间立体几何中：3、如图，若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比21212211ON ON OM OM S S N OM N OM ⋅=∆∆，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上，分别有点P 1、P 2，点Q 1、Q 2和点R 1、R 2，则类似的结论为 。
灌南高级中学高二年级下学期数学导学案：合情推理--类比推理
1． 什么叫类比推理？2． 类比推理的思维过程是什么？例1．（G.Polya ）波利亚的类比：类比加法与乘法，并列出它们类似的性质。
探究：由上述例题，你联想到减法该与何种运算类比？说说你的结论和想法？你能继续引申说出其他代数运算间的类比吗？数学应用：等差数列可以与___________类比？请你说出它们之间类比的得到的一些正确的结论。
例2：几何上的类比：试将平面上的圆与空间中的球进行类比。
分析一：为何是圆和球进行类比？该类比是合情合理吗？写出原因.1.若数列{a n }是等差数列，则有数列na a ab n n +++= 21也为等差数列；类比上述性质， 相应地，若数列{C n }是等比数列，且C n >0，则有数列d n =__________________也是等比数列.2.已知命题“若数列{a n }为等差数列，且,a a m =b a n =（m<n ，m,n ∈N *），则mn am bn a n m --=+” 现已知数列{b n }（b n >0，n ∈N *）为等比数列，且,a b m =b b n =（m<n ，m,n ∈N *），类比上述结论，则可得到b m+n =_____________3.通过圆与球的类比，由“半径为R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为22R ”.猜想关于球的相应命题为____________________________________4.先解答（1），再通过类比解答（2）（1）已知正三角形的边长为a ，求它们的内切圆的半径r ；（2）已知正四面体的棱长为a ，求它的内切球的半径。
5．命题p ：“若实数数列{a n }是等比数列，满足)(1042a a a =64，则数列{a n }的前11项的积为定值”。
由于印刷问题，括号处的数模糊不清，已知命题P 是真命题，则可推得括号处的数为__________________类比上述真命题，将本题改编成以等差数列为背景的一个题。
高考数学复习课件：类比推理(共26张PPT)
的集合.
圆
球
弦
截面圆
直径
大圆
周长
表面积
面积
体积
探究： 利用圆的性质类比得出球的性质
圆的概念和性质
球的概念和性质
圆的周长 cSc= 2πR
球的表面积 S = 4πR2
圆的面积 S =πR2
球的体积 V = 4πR3
3
圆心与弦(非直径)中点的连线 球心与不过球心的截面(圆面)
垂直于弦
的圆心的连Leabharlann 垂直于截面通项公式 an a1 (n 1)d
an a1qn1
等差数列
等比数列
中项
任意实数a、b都有等 当且仅当a、b同号时才
差中项 ，为 a b 有等比中项 ，为 ab
2
下标等差,项等差 下标等差,项等比
n+m=p+q时,
n+m=p+q时,
性质
am+an= ap+aq
an am (n m)d
以点(x0,y0)为圆心, r为半径 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半
的圆的方程为(x-x0)2+(y-
径的球的方程为(x-x0)2+(y-
y0)2 = r2
y0)2+(z-z0)2 = r2
练习
三角形的面积为S＝ 12(a＋b＋c)·r，a、b、c为三角形的
边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得到四面
3、火星上是否有生命？
地球
火星
相似点: ①绕太阳运转、 ②绕轴自转、
③有大气层、
④有季节变换
由火星上大部分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存。 我们可以有新的猜想。
高中数学北师大版选修2-2学案1.1.2 类比推理 Word版含解析
类比推理.通过具体实例理解类比推理的意义.(重点).会用类比推理对具体问题作出判断.(难点)[基础·初探]教材整理类比推理阅读教材“类比推理”至前行，完成下列问题.由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其，他特征推断另一类对象也具有类似的其他特征我们把这种推理过程称为类，比推理.类比推理是两类事物特征之间的推理.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是(填序号).①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.【解析】正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对.【答案】①②③教材整理合情推理阅读教材的最后个自然段，完成下列问题.合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，的推理方式.某些结果推测出正确.合情推理的结果不一定下列说法正确的是( ).由合情推理得出的结论一定是正确的.合情推理必须有前提有结论.合情推理不能猜想.合情推理得出的结论不能判断正误【解析】根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论.【答案】[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]，，也成等比数列，且公比为；类比上述结论，相应地在公差为的等差数列{}中，若是{}的前项和.()写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明；()写出一个更为一般的结论(不必证明).【精彩点拨】结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔项和的有关性。
人教版数学高二 数学A版选修1-2 第二章《推理与证明》教辅资料
满足y=x 2,则log 2(22)x y +的最小值是78；④若a 、b ∈R ，则221a b ab a b +++>+。
其中正确的是（ ）。
(A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④解析 用综合法可得应选（B ） 例2 函数y ＝f （x ）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 .解析∵函数y ＝f （x ）在（0，2）上是增函数， ∴ 0＜x+2＜2即-2＜x ＜0∴函数y=f(x+2) 在（-2，0）上是增函数， 又∵函数y=f(x+2)是偶函数，∴函数y=f(x+2) 在（0，2）上是减函数 由图象可得f(2.5)>f(1)>f(3.5)故应填f(2.5)>f(1)>f(3.5)例3 已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3>-++-++-+ccb a b bc a a a c b解析∵ a ，b ，c 全不相等∴ a b 与b a ，a c 与c a ，b c 与c b 全不相等。
∴ 2，2，2b a c a c ba b a c b c+>+>+>三式相加得6b c c a a ba ab bc c+++++>∴ (1)(1)(1)3b c c a a ba ab bc c+-++-++->即 3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>练习一、选择题1．如果数列{}n a 是等差数列，则（ ）。
（A ）1845a a a a +<+ （B ） 1845a a a a +=+ （C ）1845a a a a +>+ （D ）1845a a a a =2．在△ABC 中若b=2asinB 则A 等于( )(A)06030或 (B)06045或 (C)0012060或 (D)0015030或 3．下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++222；②()411≤-a a ；③2≥+abb a ；④()()()22222bd ac d c b a +≥+•+.其中不成立的有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个二、填空题4． 已知 5,2==b a ，向量b a 与的 夹角为0120，则a b a ．)2(-=5. 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足n，n证明：如图，连接BD ，∵在△ABC 中，BE=CE DF=CF ∴E F ∥BD又BD ⊂平面ABD ∴BD ∥平面ABD7．解：∵f(x-4)=f(2-x)，∴函数的图象关于x= -1对称 ∴12-=-ab即b =2a 由③知当x = 1时,y=0，即ab +c =0；由①得 f (1)≥1，由②得 f (1)≤1. ∴f (1)=1，即a +b +c =1，又ab +c =0 ∴a =41 b =21 c =41 ，∴f (x )=4121412++x x 假设存在t ∈R ，只要x ∈[1,m ]，就有f (x +t )≤x 取x =1时，有f (t +1)≤1⇒41(t +1)2+21(t +1)+41≤1⇒-4≤t ≤0 对固定的t ∈[-4,0]，取x =m ，有f (t +m )≤m ⇒41(t +m )2+21(t +m )+41≤m ⇒2m +2(t-1)m +(t 2+2t +1)≤0 ⇒t t 41---≤m ≤t t 41-+- ∴m ≤t t 41--≤)4(4)4(1-⋅-+--=9当t = -4时，对任意的x ∈[1,9]，恒有f(x-4)≤x ⇒41(2x -10x +9)=41(x-1)(x-9)≤0∴m 的最大值为9.解法二：∵f (x -4)=f (2-x )，∴函数的图象关于x =-1对称 ∴ 12-=-abb =2a 由③知当x=1时,y=0，即a b +c =0；由①得 f (1)≥1，由②得 f (1)≤1∴f (1)=1，即a +b +c =1，a b +c =0∴a =41 b =21 c =41∴f (x )=4121412++x x =41(x +1)2由f (x +t )=41(x +t +1)2≤x 在x ∈[1,m ]上恒成立 ∴4[f (x +t )-x ]=x 2+2(t -1)x +(t +1)2≤0当x ∈[1,m ]时，恒成立 令 x =1有t 2+4t ≤0⇒-4≤t ≤0令x =m 有t 2+2(m +1)t +(m -1)2≤0当t ∈[-4,0]时，恒有解令t = -4得，2m - 10m +9≤0⇒1≤m ≤9 即当t = -4时，任取x ∈[1,9]恒有f (x -4)-x =41(2x -10x +9)=41(x-1)(x-9)≤0 ∴ m max =92．2直接证明2．2．1 综合法一、选择题（1）由等差数列的性质：若m+n=p+q 则q p n m a a a a +=+可知应填（B ）。
测控设计高二数学北师大选修同步训练： 类比推理 含解析
1.2类比推理课后作业提升1已知扇形的弧长为l,半径为r,类比三角形的面积公式S=,可推知扇形面积公式S扇等于()A. B.C. D.不可类比解析:由扇形的弧长与半径分别类比于三角形的底与高,可得扇形的面积公式.答案:C2已知Rt△ABC的两条直角边长分别为a,b,则其面积S=ab.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,类比上述结论可得此三棱锥的体积V P-ABC等于()A.abcB.abcC.abcD.abc答案:C3下列类比错误的是()A.三角形的两边中点连线得到的中位线平行并且等于第三边的一半,类似地,三棱锥的中截面的面积等于底面面积的一半B.三角形的两边中点连线得到的中位线平行且等于第三边的一半,类似地,三棱锥的中截面的面积等于底面面积的C.三角形被平行于一边的直线所截得的三角形与原三角形相似,面积比等于相似比的平方,类似地,棱锥被平行于底面的平面所截得的多边形与底面相似,面积比等于相似比的平方D.梯形的中位线等于两底和的一半,类似地,圆台的中截面半径等于上、下两底半径和的一半解析:选项A错误,三棱锥的中截面的面积等于底面面积的.答案:A4若数列{a n}(n∈N+)是等差数列,则通项公式为b n=(n∈N+)的数列{b n}也是等差数列.类比上述性质,相应地:若数列{c n}(n∈N+)是等比数列,且c n>0,则通项公式为d n=(n∈N+)的数列{d n}也是等比数列.答案:5如图(1)有面积关系:,则图(2)有体积关系:=.解析:把平面中三角形的知识类比到空间三棱锥中,得.答案:6已知等差数列{a n},公差为d,前n项和为S n,请类比等差数列的如下性质,写出等比数列的性质:(1)通项a n=a m+(n-m)d;(2)若m+n=2p,m,n,p∈N+,则a m+a n=2a p;(3)S n,S2n-S n,S3n-S2n构成等差数列.解:等比数列{b n},公比为q,前n项和为S n,有如下性质:(1)通项a n=a m q n-m.(2)若m+n=2p,p,m,n∈N+,则a m a n=.(3)S n,S2n-S n,S3n-S2n构成等比数列.7在Rt△ABC中,若∠C=90°,则cos2A+cos2B=1,△ABC的外接圆半径r=,请在立体几何中给出类似的四面体性质的猜想.解:如图所示,在Rt△ABC中,cos2A+cos2B==1.把此结论类比到空间四面体P-A'B'C'中,我们猜想:在四面体P-A'B'C'中,若三个侧面PA'B',PB'C',PC'A'两两垂直且与底面所成的二面角分别为α,β,γ,则cos2α+cos2β+cos2γ=1.在三棱锥P-A'B'C'中,PA',PB',PC'两两垂直,PA'=a,PB'=b,PC'=c,则三棱锥P-A'B'C'的外接球的半径R=.8三角形的面积为S=(a+b+c)r,a,b,c为三角形的边长,r为三角形内切圆的半径,利用类比推理,求出四面体的体积公式.分析:由平面到空间可以类比许多结论.平面三角形变为空间四面体即三棱锥,平面内的圆变为空间中的球,面积变为空间中的体积.解:类比得到四面体的体积公式为V=(S1+S2+S3+S4)r(S1,S2,S3,S4分别为四面体四个面的面积,r 为其内切球的半径).如图,设△ABC的三边与☉O分别切于点D,E,F,则OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,且OD=OE=OF=r.连接OA,OB,OC,则S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=cr+br+ar=(a+b+c)r.类似地,如图,三棱锥P-ABC的内切球为球O,半径为r,则球心O到各面的距离都为r,四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,则V P-ABC=V O-ABC+V O-PBC+V O-PAC+V O-PAB=S1r+S2r+S3r+S4r=(S1+S2+S3+S4)r.。