正比例函数第1课时
正比例函数(第1课时)ppt课件
活动一：情境创设
（2）京沪高铁列车的行程y（单位：km）与运行时间t（单 位：h）之间有何数量关系？ • y=300t（0≤t≤4.4）
活动一：情境创设
（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后，是否已经过 了距始发站1 100 km的南京站？ • y=300×2.5=750（km）, 这是列车尚未 到 达 距 始 发 站 1 100km的南京站.
作业
• 7.若y=(k+3)x|k|-2是y关于x的正比例函数，试求k的值，并 指出正比例系数. • 8.若y关于x-2成正比例函数，当x=３时，y=-4.试求出y与x
的函数关系式.
活动五：判定正误
• 下列说法正确的打“√”，错误的打“×”
（1）若y=kx，则y是x的正比例函数（ × ） （2）若y=2x2，则y是x的正比例函数（ ×） （3）若y=2(x-1)+2，则y是x的正比例函数（ √ ） （4）若y=2(x-1) ，则y是x-1的正比例函数（ √ ） 在特定条件下自变量可能不单独就是x了， 要注意自变量的变化
l 2 πr
（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量 m（单位：g）随它的体积V（单位： cm3）的变化而变化．
m 7.8V
活动二：问题再现
（3）每个练习本的厚度为0.5cm， 一些练习本摞在一起的总厚度h （单位：cm）随练习本的本数n的 变化而变化．
h 0 .5 n
（4）冷冻一个0°C的物体，使它每 分钟下降2°C，物体问题T（单位：°C） 随冷冻时间t（单位：min）的变化而变 化．
作业
•
x3 3.关于y= 说法正确的是（ ） 2
1 B.是y关于x的正比例函数，正比例系数为 2
第 1课时 正比例函数
第1课时正比例函数基础知识夯实知识沉淀1.正比例函数的定义：一般地，形如(k是常数，k 0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做2.正比例函数的图象是一条直线，其性质为：基础过关1.在下列四个函数中，是正比例函数的是( )A. y=2x+1B.y=2x²+1D. y=2xC.y=2x2.正比例函数y=--3x的大致图象是( )典型案例探究知识点1 正比例函数的概念【例题1】已知y=(k+1)x+k-1是正比例函数,求k的值.【变式1】下面各组变量的关系中，成正比例关系的有( )A.人的身高与年龄B.买同一练习本所要的钱数与所买本数C.正方形的面积与它的边长D.汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度知识点2 正比例函数的图象【例题 2】画出下列函数的图象：(1)y=4x; (2)y=-4x.【变式2】正比例函数 y=5x 的大致图象是 ( )知识点3 正比例函数的图象及性质【例题3】已知正比例函数图象上一点 A 到x 轴的距离为4，点 A 的横坐标为-2，请回答下列问题：(1)求这个正比例函数；(2)这个正比例函数经过哪几个象限?(3)这个正比例函数的函数值y 随x 的增大而增大?还是随x 的增大而减小?【变式3】已知正比例函数. y =(2m +4)x.求:(1)m 为何值时，函数图象经过第一、三象限；(2)m 为何值时，y 随x 的增大而减小；(3)m 为何值时，点(1，3)在该函数图象上.课后作业A 组1.正比例函数y=3x 的大致图象是 () 二2.若y关于x的函数y=(m-2)x+n是正比例函数,则m，n应满足的条件是( )A. m≠2且n=0B. m=2且n=0C. m≠2D. n=0x,下列结论正确的是( )3.y=12A.函数图象必经过点(1，2)B.函数图象必经过第二、四象限C.不论x取何值,总有y>0D. y随x的增大而增大4.若函数y=(k−1)x|k|是正比例函数，则k= .5.如图，正比例函数y=kx,y=mx,y=nx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示.则比例系数k，m，n的大小关系是.6.列式表示下列问题中y与x 的函数关系式，并指出哪些是正比例函数.(1)圆的半径为x,周长为y;(2)每本练习本0.5元，购买练习本的总费用y(单位：元)与购买练习本的本数x(单位：本)；(3)汽车以80千米/时的速度匀速行驶，行驶时间为x小时，所行驶的路程为y千米；(4)某人一个月的收人为3 500 元，这个人的总收入y(单位：元)随工作时间x(单位：月)的变化而变化.B 组7.已知正比例函数y=(1-2m)x.(1)m为何值时，函数图象经过第一、三象限?(2)m为何值时，y随x的增大而减小?(3)若函数图象经过(--1，2)，求此函数的解析式，并画出函数的图象.8.已知正比例函数y=(m+2)x中,y随x 的增大而增大,而正比例函数y=(2m-3)x中,y随x的增大而减小，且m 为整数，你能求出m 的可能值吗?为什么?C 组9.已知y−3与2x-1成正比例，且当x=1时, y=6.(1)求y与x 之间的函数解析式；(2)如果y的取值范围为( 0≤y≤5,，求x的取值范围；(3)若点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)都在该函数的图象上，且y₁>y₂,试判断x₁,x₂的大小关系.第1 课时正比例函数【基础知识夯实】知识沉淀1. y=kx ≠ 比例系数2.基础过关1. D2. A【典型案例探究】例题1解:根据题意,得k+1≠0且k-1=0.解得k=1.变式1 B例题2解:(1)当x=0时,y=0;当x=1时,y=4.画出函数y=4x的图象,如图(1).(2)当x=0时,y=0;当x=1时,y=-4.画出函数y=-4x的图象,如图(2).变式2 B例题3 解：(1)∵正比例函数图象上一点A到x 轴的距离为4,点A 的横坐标为-2,∴A(-2,4),(-2,-4).设解析式为y=kx,则4=-2k,-4=-2k.解得k=-2,k=2.故正比例函数解析式为y=±2x.(2)当y=2x时，图象经过第一、三象限；当y=-2x时，图象经过第二、四象限.(3)当y=2x时,y随x的增大而增大;当y=-2x时,y随x的增大而减小.变式3 解：(1)∵函数图象经过第一、三象限，∴2m+4>0.解得m>-2.(2)∵y随x的增大而减小,∴2m+4<0.解得m<-2.(3)∵点(1,3)在该函数图象上,.∴2m+4=3.解得m=−12【课后作业】1. B2. A3. D4.-15. k>m>n6.解:(1)由题意,得y=2πx.是正比例函数.(2)由题意,得y=0.5x.是正比例函数.(3)由题意,得y=80x.是正比例函数.(4)由题意,得y=3 500x.是正比例函数..7.解: (1)m<12.(2)m>12(3)y=-2x,图略.8.解:m的可能值为-1,0,1.理由如下：∵正比例函数y=(m+2)x中,y随x的增大而增大, ∴m+2>0.解得m>-2.∵正比例函数y=(2m-3)x中,y随x的增大而减小,.∴2m-3<0,解得m<32∵m为整数,∴m的可能值为-1,0,1.9.解:(1)由题意可设y--3=k(2x-1).∵当x=1时,y=6,∴6-3=k(2-1).解得k=3.∴y-3=3(2x--1),即y=6x.(2)当y=0时,0=6x,解得x=0;当y=5时,5=6x,解得x=5.6.∴x的取值范围为0≤x≤56(3)由(1)知该函数解析式为y=6x,∵k=6>0,∴y随x的增大而增大.又∵y₁>y₂,∴x₁>x₂.。
正比例函数(第一课时)课件
直线运动问题
路程、速度和时间的关系
当物体做匀速直线运动时，路程与时间成正比例关系，即s=vt，其中s表示路 程，v表示速度，t表示时间。
相遇和追及问题
当两个物体在同一直线上运动时，它们之间的相对速度等于两物体速度之和或 之差。因此，相遇问题和追及问题可以通过正比例函数来求解。
题目：一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶 路程s（千米）与行驶时间t（小时）之间的关系式为s = 60t，求当t = 2时，汽车行驶的路程s。 解答过程
2. 将v = 60和t = 2代入上式，得到s = 60 × 2 = 120 。
分析：本题主要考察正比例函数在实际问题中的应用。 根据题意，速度v = 60千米/小时，时间t = 2小时，我 们需要求出路程s。 1. 根据正比例函数的定义，我们有s = vt。
比例系数 k 决定了直线的斜率，即 k = tanα (α 为直线与 x 轴正方向的夹角)。
函数图像是一条经过原点的直线。
性质：正比例函数具有以下性质
当 x > 0 时，y 与 x 同号；当 x < 0 时 ，y 与 x 异号。
图像特征
图像形状
01
正比例函数的图像是一条直线。
图像位置
02
该直线经过坐标原点 (0,0)。
结合实际问题进行求解
01
仔细阅读题目，理解题 意，将实际问题抽象成 数学模型。
02
根据题意列出方程或方 程组，注意方程两边的 量要对应。
03
解方程或方程组，求出 未知数的值，并对结果 进行验证和取舍。
04
将求得的未知数的值代 回原方程进行检验，确 保答案的正确性。
06
典型例题分析与解答过程展示
《正比例函数》一次函数(第1课时正比例函数的概念)
总结词
提升学生对正比例函数的掌握程度和 应用能力。
详细描述
进阶练习题包括计算题、作图题和解 析题等，难度略高于基础练习题。这 些题目要求学生能够运用正比例函数 解决实际问题，提高解题技巧和思维 能力。
综合练习题
总结词
检验学生对正比例函数的综合运用能力和问题解决能力。
详细描述
综合练习题包括跨学科的应用题和实际问题的数学建模题目，这些题目需要学生综合运用数学知识，特别是正比 例函数与其他数学知识的结合，以解决复杂问题。题目难度较高，适合学有余力的学生挑战自我。
04
正比例函数的解析式
函数的解析式
函数解析式是表示函 数关系的数学表达式 ，由变量、运算符和 常数组成。
解析式可以表示函数 在任意自变量取值下 的因变量取值。
函数解析式是研究函 数性质、图像和变化 规律的基础。
正比例函数的解析式形式
正比例函数解析式为 $y = kx$ ，其中 $k$ 是比例常数，$x$ 是自变量，$y$ 是因变量。
函数图像是解析式的几何表现，通过 图像可以直观地观察函数的性质和变 化规律。
05
课堂练习与巩固
基础练习题
总结词
帮助学生掌握正比例函数的基本概念 和性质。
详细描述
基础练习题包括判断题、选择题和填 空题等，主要考察学生对正比例函数 定义、图像和性质的理解。这些题目 难度较低，适合全体学生练习。
进阶练习题
制函数图像。
描点
根据正比例函数的表达 式，计算出若干个x值所 对应的y值，并描出对应
的点。
连线
使用直线连接所描出的 点，得到正比例函数的
图像。
验证
通过代入已知的x值，验 证所绘制的图像是否准
人教版八年级数学下册 19.2.1 第1课时 正比例函数的概念 (19张PPT)
∴ m-1≠0， 即 m≠1，
m2=1，
m=±1，
∴ m=-1.
函数解析式可转化为y=kx 函数是正比例函数 （k是常数，k ≠0）的形式.
练一练
(1)若 y = (m - 2)x |m|- 1 是正比例函数，则m= -2 ；
m-2≠0， ∴ m=-2.
|m|-1=1，
(2)若 y = (m -1)x + m2 -1 是正比例函数，则m= -1 ；
不是
(6) y 3x. 是， 3
试一试
2.回答下列问题： (1)若y=(m-1)x是正比例函数，m取值范围是 m≠1 ； (2)当n =1 时，y=2xn是正比例函数； (3)当k =0 时，y=3x+k是正比例函数.
例1 已知函数 y=(m-1) xm2 是正比例函数，求m的值.
解：∵函数y (m 1)xm2是正比例函数，
l 2，π r m 7.8 V h 0.5 n T -2 t
这些函数解析式都 是常数与自变量的 乘积的形式！
函数=常数×自变量
y＝ k
x
知识要点
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，
叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
正比例函数一般 形式
比例系数 y = k x (k≠0的常数)
注: 正比例函数y=kx(k≠0) 自变量
（2）当 x=6 时, y = -3.
待定系数法
做一做
已知y与x成正比例，当x等于3时，y等于-1.则当 x=6时，y的值为 -2 .
2.下列说法正确的打“√”，错误的打“×”.
（1）若y=kx，则y是x的正比例函数（ ×） （2）若y=2x2，则y是x的正比例函数（ ×）
正比例函数(第一课时)ppt
02
CHAPTER
正比例函数的性质
函数值与自变量的关系
总结词：正比关系
详细描述：正比例函数中，函数值与自变量之间存在正比关系，即当自变量x增 大时，函数值y也相应增大，反之亦然。
函数的增减性
总结词：单调性
详细描述：正比例函数是单调递增函数，随着x的增大，y的值也持续增大。
函数图像的对称性
正确应用正比例函数解决实际问题
03
正比例函数在现实生活中有着广泛的应用，如速度、时间、距
离等问题。
下一步的学习计划
学习正比例函数的实际应用
通过具体实例了解正比例函数在实际问题中的应用，如速度、时 间、距离等问题。
学习一次函数的其他形式
了解一次函数的其他形式，如y=kx+b等，并掌握其图像和性质。
练习解决实际问题
若一次函数 y = ax + b 与正比例函数 y = kx (k ≠ 0) 的图象交于点 (2,4)， 求 a、b、k 的值。
05
CHAPTER
总结与回顾
本课时的重点内容回顾
正比例函数的定义
正比例函数的性质
正比例函数是一种特殊的线性函数， 其函数形式为 y=kx，其中k为比例常 数。
正比例函数具有一些基本的性质，如 当k>0时，y随x的增大而增大；当 k<0时，y随x的增大而减小。
通过练习解决实际问题，提高应用正比例函数解决实际问题的能力。
THANKS
谢谢
02
函数可以用来描述很多实际问题 ，比如速度、时间、距离之间的 关系等。
正比例函数的定义和表达式
正比例函数是一种特殊的线性函数， 它的表达式为 y = kx，其中 k 是比例 常数。
第1课时 正比例函数的概念
(7) y=(a2+1)x 是，a2+1 （8） y= (a2+1)x+2 不是
2.回答下列问题： (1)若y=(m-1)x是正比例函数，m取值范围是 m≠1 ； (2)当n =1 时，y=2xn是正比例函数； (3)当k =0 时，y=3x+k是正比例函数.
3.下列说法正确的打“√”，错误的打“×”.
（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的 质量m（单位：g）随它的体积V （单位：cm3）的变化而变化．
(2)m 7.8V
（3）每个练习本的厚度为0.5cm， 一些练习本摞在一起的总厚度h （单位：cm）随练习本的本数n的 变化而变化．
(3)h=0.5n （4）冷冻一个0℃的物体，使它每 分钟下降2℃，物体温度T（单位：
h = 0.5n
h 0.5
n
函数=常数×自变量
T = -2t
T
-2
t
y＝ k
x
知识要点
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，
叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
正比例函数一般 形式
比例系数 y = k x (k≠0的常数)
自变量
观察正比例函数的结构，回答以下问题。
1、自变量的次数是几次？ 2、比例系数有什么限定要求？
3、 y= k 3x k 2 是y关于x的函数，求k的值，并
写出正比例函数。
课堂小结 正比例函数
1.定义：一般地，形如 y=kx (k是常数，k≠0) 的函数，叫做_正__比__例__函数，其中k叫做比例系数 _________.
注意：1、在特定条件下，自变量不一定就是单独的x，可以把 一个整体看作为自变量。 2、判定正比例函数时，要看化简后的最终表达式是否符合正 比例函数的特点。
第1课时正比例函数的图象和性质课件(湘教版)
解：（1）矩形的面积y（cm2）随宽x（cm）而变化的 函数表达式是：y=6x.
（2）函数的图象略. （3）当x=3时，y=18；当x=4时，y=24；当x=5时，
y=30.
• 连线：视察描出的这些点的散布，我们可以猜测y=2x的图 象是经过原点的一条直线，数学上可以证明这个猜测是正 确的.因此，用一条直线将平面直角坐标系中的各点连接， 即可得到y=2x的图象，如图4-7所示.
结论 类似地，数学上已经证明：正比例函数
y=kx（k为常数，k≠0）的图象是一条直线. 由于两点确定一条直线，因此画正比例函数 的图象，只要描出图象上的两个点，然后过 这两点作一条直线即可.我们常常把这条直线 叫作“直线y=kx”.
4.3 一次函数的图象
第1课时 正比例函数的图象和性质
探究
画出正比例函数y=2x的图象.
• 列表：先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值，列 成表格如下：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … -6 -4 -2 0 2 4 6 …
• 描点：建立平面直角坐标系，以自变量值为横坐标，相应 的函数值为纵坐标，描出这些点，如图4-6.
做匀速运动（即速度保持不变）的物体，走过的 路程与时间的函数关系的图象一般是一条线段.
练习
1.画出正比例函数y=- 1 x，y=3x图象略. 第一个函数的图象经过第二、四象限； 第二个函数的图象经过第一、三象限.
练习
2.已知矩形的长为6cm，宽为xcm. （1）求矩形的面积y（cm2）随宽x（cm）而变化的函数
一般地，直线y=kx（k为常数，k≠0）是一 条经过原点的直线.
当k>0时，直线y=kx经过第三、一象限从左 向右上升，y随x的增大而增大；
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19.2.1正比例函数教学设计
一．教材分析
1、教材的地位与作用
《正比例函数》是义务教育八年级数学下册19.2.1第一课时的内容。
从比例中的两个量的比值是一个定值，得出两个量成正比例的概念。
学生已经学习了比例的意义与性质，在这个基础上，学生能很容易接受正比例概念。
再从正比例关系到正比例函数，从互相联系的两个变量在变化过程中有互相依从，互相制约的关系，初步引出正比例函数的概念。
因此，本节课具有承上启下的重要作用，函数思想是一种重要的数学思想，它体现了运动变化和对立统一的观点，体现了数学的建模思想和数形结合思想，对于初次接触到函数的学生而言，理解函数的意义是个难点。
因此本节课在教学中力图向学生展示常见问题中的变量和变量之间的关系，使学生对以后函数的定义有一定的了解。
2、教学目标
（1）理解正比例函数及正比例的意义；
（2）根据正比例的意义判定两个变量之间是否成正比例关系；
（3）识别正比例函数，根据已知条件求正比例函数的解析式或比例系数。
（4）经历用函数解析式表示函数关系的过程，进一步发展符号意识；
经历从一类具体函数中抽象出正比例函数概念的过程，发展数学抽象概括能力．
3、教学重、难点
重点：理解正比例函数的概念。
难点：理解正比例函数的意义。
二、学情分析
学习本节课之前，学生已经学习了变量和函数等知识，掌握了比例的意义和性质，对正比例的定义的掌握以及函数的概念没有什么问题。
根据给出的实际问题，能列代数式或是列方程。
三、教法分析
1、教学方法
本节教材实例取自生活实际，通过引导学生对身边事物的观察，让学生认识到大量活生生的正比例函数模型就在我们身边，从而让他们感受到数学贴近于现实生活，通过创设问题情景，精心设问，适时适度运用激励性语言，采用引导讨论法，让学生主动、愉快的参与到学习的全过程中来。
2、学法指导
倡导学生参与，师生互动，充分调动学生思考与探究的积极性，使学生成为学习的主体，让学生在学习过程中体验“观察、思考、探索、归纳”整个思维过程。
四、教学过程
1、课前复习
（1）什么是正比例？
（2）什么是函数？
师生活动：教师出示问题，学生思考后独立回答，后集体总结。
设计意图：复习以前学过的正比例和函数的概念，为本节课的学习打好基础。
2、创设情境，建立模型
问题：2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km，设列车的平均
速度为300km/h.考虑以下问题：
（1）京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需要多少小时（结果保留小数点后一位）？
（2）京沪高铁列车的行程y（单位：km）与运行时间t（单位：h）之间有何数量关系？
（3）京沪高铁从北京南站出发2.5h后，是否已经过了始发站1100km的南京南站？
思考：（1）这个问题中得到的函数解析式有什么特点？
（2）函数值与对应的自变量的值的比有什么特点？
师生活动：教师利用多媒体课件出示问题，学生思考后回答，教师点拨指导。
设计意图：通过学生感兴趣的“高铁行驶路程问题”建立数学模型，为导出正比例函数作铺垫，同时激发了学习兴趣，让学生在一种轻松的环境进入新课的学习。
3、解读正比例函数概念
问题2 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式．
（1）圆的周长l 随半径r 的变化而变化；
（2）铁的密度为7.8 g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V （单位：cm3）的变化而变化；
（3）每个练习本的厚度为0.5 cm，练习本摞在一起的总厚度 h（单位：cm）随练习本的本数 n 变化而变化；
（4）冷冻一个0 ℃的物体，使它每分下降2 ℃，物体的温度 T（单位：℃）随冷冻时间 t（单位：min）的变化而变化．
师生活动：（1）先让学生完成问题2，并让学生分组讨论所得答案中的函数表现形式有什么特征，后让各组选出代表用字母概括出正比例函数的一般形式。
（2）教师对学生的答案进行归纳总结，从而得出正比例函数的概念（一般地，形如（是常数，≠0）的函数，叫做正比例函数。
）并对函数的特征进行强调。
设计意图：通过归纳分析使学生明白正比例函数的特征，理解其解析式的特点，培养学生的归纳比较的能力。
4、应用迁移，巩固提高(让学生完成下题），
例1 下列式子中，哪些表示y 是x 的正比例函数？
（1）y=2x; (2)y=-3x
; (3)y=x 2； （4）y 2=1.5x
(5)y=Πx ; (6)y=7(x+1).
例2 列式表示下列问题中的 y 与 x 的函数关系，并指出哪些是正比例函数．
（1）正方形的边长为 x cm ，周长为 y cm ；
（2）某人一年内的月平均收入为 x 元，他这年（ 12个月）的总收入为 y 元；
（3）一个长方体的长为2 cm ，宽为1.5 cm ，高为 x cm ，体积为 y cm 3
． 思考：在（2）中，此人若每月收入6 000 元，则一年收入是多少？若一年收入是84 000 元，则每月收入又是多少？
师生活动：学生独立完成，后集体点评。
设计意图：通过以上几题进一步加深学生对正比例函数概念的理解，使学生能学以致用，举一反三。
y kx k k
5、拓展练习
若y=(k+3)x|k|-2是y关于x的正比例函数，试求k的值，并指出正比例系数.
6、归纳、总结
（1）谈谈你今天学了哪些内容？
（2）正比例函数与正比例关系有什么联系？
（3）请举一个生活中正比例函数的实例.
设计意图：通过提问，引导学生进行小结，发挥学生自评与互评的作用，培养学生的归纳概括与表达能力。
7、布置作业：
必做题：课本练习P87页中的第1题。
选做题：已知函数y=(3+2m)x3-2m是正比例函数，求这个函数的解析式。
8、课后反思：
19.2.1正比例函数教学设计
大通县石山乡中心学校
韩玉娟。