7-10 向量内积的定义和基本性质

1

运用性质和运算律进行相关的运算和判断；

1

2

4

≤<>≤

,180

a b

注：①a与b同向时，,a b

<>=

a与b反向时，,180

a b>=

a b

⊥时，90

<>=

b

=

a b

cos

∙的结果是一个实数，可以等于正数、负数、零；注：①a b

<>

cos,

b a b

cos a =2

a =或a a a =∙；④cos ,a

b a b a b

∙<>=； ⑤a b a b ∙≤

二、向量内积的坐标运算及运算律注：一般地，()()a b c a b c ∙≠∙∙。也就是说，向量内积没有“乘法的结合律”。12(,)OA a a =和1(,OB b =为任意两个向量，且两向量的夹角为因为OB BA +,BA OA =2222

2BA OA OB OA OB OA =-=+-∙2221

cos (OA OB OA OB BA =+-1212112[()()[()(2

a a

b b a b a =+++--+-结论：设12(,),a a a =1122cos b a b a b a b θ==+）若a 与b 皆不为0，则2a b

a =

）若向量a 与b 不为a b a =⇔∙⇔

2

cos

a a a

==

8,a b

1

2

a b

a b

a b

∙

∙>==-，且,a bπ

≤<>≤

(3,1),(1,3)

b

=-=-,a b>

2222

(3)12,1(3)2

a b

=-+==+-=，3

-⨯

3

2

a b

b

a b

∙

∙>==-，且0,a bπ

≤<>≤,

6

b>=

“已知两向量的直角坐标，求夹角”，只需求出,a b和a b

∙，再用向量夹角公式即可。

AB AC

∙

的坐标，再用向量内积的坐标公式即可解

，5），B（2，3），

∆ABC是直角三角形

BC AC

=，求

>

BC可联想到“找向量

2

a

BC AC

=∴(AB BC

-

AB BC

∙=即AB BC

⊥，故=

∠90

ABC

课堂练习 P34 A 1，