马尔科夫链模型的应用研究

管理预测与决策马尔科夫链模型的应用研究

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2012年11月1日

摘要

预测春运客流量是铁路部分的一项重要工作。运用马尔科夫链模型可以对

春运期间一天中的客流量进行预测。

首先，介绍了马尔科夫链模型及其预测的基本原理；其次，分析了**火车站2011年春运期间每天的客流量，并按照**火车站突发事件三级预警方案将客流量数据处理为三个状态；最后，运用马尔科夫链模型对2011年的春运客流进行预测，结果表明，运用马尔科夫链模型具有良好的预测结果。

关键词：马尔科夫链模型；火车站；客流量

马尔科夫链模型的应用研究

**站每年春运都面临着大规模客流。大量人群的聚集会带来许多安全隐

患，相关领导部门非常重视。如果能够根据以往的客流量，对下一年的春运客流量做出正确预测，就能够为领导决策层提供有力的信息支持，使他们能够提前做好应对高峰客流的准备，从而降低风险。影响春运客流的因素很多，并且各个因素的作用机制无法用精确的熟悉模型描述。目前常用的预测方法主要有数学模型方法和人工经验模型法。对客流量做预测，目前所知道的是以前客流量的记录。

如何从大量已知的数据中挖掘出有用的信息或知识，为下一步工作服务，这是数据挖掘技术所完成的工作。数据挖掘领域中有许多新的研究成果，如关联规则、Web挖掘、马尔科夫链模型等。其中马尔科夫链模型是近年来在数据挖掘方法的

一个研究热点。本文运用该方法对**站春运客流进行预测。

1.马尔科夫链模型

1．1马尔科夫链

马尔科夫链，是数学领域中具有马尔科夫性质的离散时间随机过程。该过

程中，在给定当前指示或信息的情况下，过去（即现在时期以前的历史状态）对

与预测将来（即现在时期以后的状态）是无关的。如果n个连续变动事物在变动过程中，其中任一次变动的结果都具有无后效性，那么，这n个连续变动事物的集合就叫做马尔科夫链，这类事物演变的过程称为马尔科夫过程。

1.2 马尔科夫预测的基本原理

对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各种可能结果，而且还必

须给出每一种结果出现的概率，说明被预测的事件在预测期内出现每一种结果的

可能性程度。这就是关于事件发生的概率预测。马尔科夫预测法，就是一种关于事件发生的概率预测方法。它是根据事件的目前状况来预测其将来各个时刻（或时期）变动状况的一种预测方法。

1.2.1 状态

在马尔科夫预测中，“状态”是一个重要的术语。所谓状态，就是指某一事

件在某个时刻出现的某种结果。譬如，在商品销售预测中，有“畅销”、“一般”、“滞销”等状态。

1.2.2 状态转移过程（马尔科夫过程）

在事件的发展过程中，从一种状态转变为另一种状态，就称为状态转移。

譬如，天气变化从“晴天”转变为“阴天”、从“阴天”转变为“晴天”、从“晴天”转变为“晴天”、从“阴天”转变为“阴天”等都是状态转移。事件的发展，

随着时间的变化而所作的状态转移，就称为状态转移过程。若每次状态的转移只与前一时刻的状态有关而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性

的，则这样的状态转移过程就称为马尔科夫过程。

1.2.3 状态转移概率矩阵

在事件的变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可

能性，称为状态转移概率。根据条件概率的定义，由状态Ei转移到状态Ej的状态转移概率P（Ei→Ej）就是条件概率P（Ei/Ej）,

假定某一被预测的事件有E1，E2，E3…，En，共n个可能的状态。记Pij为从状态Ei转为状态Ej的状态转移概率，作矩阵

则称P为状态转移概率矩阵。

如果被预测的某一事件目前处于状E1，那么在下一时刻，它可能由状态E1转向E1，E2，…Ei…En中的任一个状态。所以Pij满足条件：

一般地，将满足条件（3）的任何矩阵都称为概率矩阵。不难证明，如果P为概率

矩阵，则对任意整数m>0，矩阵Pm都是概率矩阵。

如果P为概率矩阵，而且存在整数m> 0 ，使得概率矩阵Pm中诸元素皆非零，则称P为标准概率矩阵。可以证明，如果P为标准概率矩阵，则存在非零向量α=[x1,x2,…,xn]，而且xi满足0≤xi≤1及

，这样的向量α称为平衡向量或终极向量。

计算状态转移概率矩阵P，就是要求出每个状态转移到其它任何一个状态

的转移概率Pi j （i，j = 1 ，2，…，n）。为求出每一个Pij，这里采用频率近似概率的思想计算。

1.2.4 马尔科夫预测法

为运用马尔科夫预测法对事件发展过程中状态出现的概率进行预测，需要

介绍一个名词：状态概率π i ( k ) 。π i ( k)表示事件在初始（k = 0 ）状态为已知的条件下，经过k次状态转移后，第k个时刻处于状态Ei的概率。根据概率的性质，显然有：

从初始状态开始，经过k次状态转移后到达状态Ei这一状态转移过程，可以看作是首先经过（k-1）次状态转移后到达状态Ei （i = 1 ，2 ，…，n），然后再由Ei经过一次状态转移到达状态Ej。根据马尔科夫过程的无后效性及Bayes条件概率公式，有

若记行向量π(k ) = [ π 1 (k )，π 2 (k )，…，π n (k ) ] ，则由（5）式可得逐次计算状态概率的递推公式：

…

2．客流量数据处理

根据上面的分析，运用马尔科夫链模型预测客流量，需要对客流量数据进

行简单的处理，按照一定的规则转化为若干“状态”，然后，才能进行预测。2.1 三级预警方案

要对客流量数据进行处理，转化为若干“状态”，需要一定的依据，这里将《北京西站突发事件三级预警方案》作为标准进行数据到“状态”的转换。三级

预警方案如下（见表1）：（下列达到条件中的一条就启动相应预警。《管规》第208条规定：候车室旅客占用面积标准为 1 . 1 ～ 1 . 2 m 2/人，此表标准按1 . 2 m 2/ 人计算，最大可容纳人数为经验值。）

2.2 生成状态

这里根据三级预警将预测状态规定如表2：