4.4_差分方程简介

G( x, yt , yt , , n yt ) 0. 差分方程中含有未知函数下标的最大值与最小值之 差数称为差分方程的阶.
差分方程的不同形式之间可以相互转化.
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例如，
yt2 2 yt1 yt 3t
是一个二阶差分方程， 可以化为
yt 2 yt1 yt2 3t2.
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0 的通解与它自己本身的一个特解之和，即通解等于
Y C1 y1(t ) C2 y2(t ) Cn yn(t ) y*(t),
其中 y*(t) 是它自己本身的一个特解.
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以上三个定理揭示了n阶齐次及非齐次线性差 分方程的通解结构, 它们是求解线性差分方程非常 重要的基础知识．
t1 a t 0 ( 0)，
化简得：
a 0,
即
a.
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t1 a t 0 和 a
分别称为方程
yt1 ayt 0
(4)
的特征方程和特征根. 故
yt at
是方程 (4) 的解. 再由解的结构及通解的定义知： yt Cat (C 为任意常数)
yt 1 ayt cbt
(6)
设差分方程 (6) 具有形如
yt* kt sbt (b a 时取 s 0 ; b a 时取 s 1. )
的特解。
(1) 当 b a 时 ， 令yt* kbt , 代 入 方 程(6) , 得
kbt1 akbt cbt 即 k(b a) c ,
于是
解 对应齐次差分方程的通解为
Y A3t , 由于 a 3 1 , 故可设其特解为： yt* k, 代入方程，解得： k 1 ,
故原差分方程通解为：
yt Y yt* A3t 1 .
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(二) f (t) cbt (c、b 1为常数)， 则方程为
4.4 差分方程简介
一、差分方程的基本概念 二、一阶常系数线性差分方程 三、差分方程在经济问题中的简单应用 四、 小结
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一、 差分方程的基本概念 1. 差分的定义 定义4.4.1 设函数
yt f (t ), 我们称
t 0, 1, 2, , n, .
在本书中． 我们只探讨一阶常系数线性差分方程的解法．
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二、 一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程的一般形式为
yt1 ayt f (t )，
(3)
其中 a 0 为常数，f (t) 为已知函数.
当 f (t) 0 时，称方程
yt1 ayt 0 (a 0)
22
故可设其特解为： yt* kbt .
代入方程，解得：k c 1 ,
ba 2
故原差分方程通解为：
yt
Y
yt*
A
1 t
2
1 2
5 t
2
.
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(三) f (t) ctn (c为常数)， 则差分方程为
yt1 ayt ct n
(7)
设差分方程(7) 具有形如
的n个线性无关的解，则方程 的通解为
Y C1 y1(t ) C2 y2(t ) 其中 C1,C2 ,,Cn为任意常数．
Cn yn(t ),
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定理4.4.3 n阶非齐次线性差分方程
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt f ( x) 它对应的齐次方程
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2. 差分方程
例3 设某种商品t 时期的供给量St 与需求量Dt都 是这一时期价格Pt的线性函数：
St a bPt (a,b 0), Dt c dPt (c,d 0).
则t 时期的价格Pt由t -1时期的价格Pt-1与供给量及 需求量之差St-1-Dt-1按以下关系确定
Pt Pt1 ( St1 Dt1 ) (为常数),
即wenku.baidu.com
Pt [1 (b d )]Pt1 (a c).
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定义4.4.2 含有未知函数差分或未知函数几个时期值 的方程就称为差分方程.
例如
F ( x, yt , yt1, , ytn ) 0,
也是该差分方程的解，其中 C1 ,C2 , ,Ck 为任意常数.
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定理4.4.2 n阶常系数齐次线性差分方程一定存在n 个线性无关的特解．若
是方程
y1(t ), y2(t ), , yn(t )
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0
(2)
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定理4.4.1 设
y1(t ), y2(t ), , yk (t )
是n阶常系数齐次线性差分方程
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0
(2)
的k个特解，则线性组合
y(t ) C1 y1(t ) C2 y2(t ) Ck yk (t )
yt*
b
c
a
bt
.
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(2) 当 b a 时 ， 令yt* ktbt 代 入 方 程(6) , 得 ：
k(t 1)bt1 aktbt cbt
即 k(t 1)b akt c ,
解得 k c . a
于是
yt*
c a
tbt
ctbt1 .
为三阶差分.
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依此类推，函数的 n 阶差分定义为：
且有
n yt (n1 yt )
n
n yt
C
i n
(
1)i
yt ni
.
i0
二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分．
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性质4.4.1 当 a,b,C 是常数， yt , zt 是函数时， 有以下结论成立：
yt* t s (B0 B1t Bnt n ) (a 1时取 s 0 ; a 1时取 s 1. ) 的特解.
将特解代入差分方程(7)后比较两端同次项系数
yn ayn1 a(ayn2 ) a2 yn2 an1 y1 an y0 ,
一般地，
yt at y0 (t 0,1,2, ).
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yt1 ayt 0
(4)
(2) 特征方程法求解：设
Y t ( 0)
是方程 (4) 的解，代入(4)，得
1 (C) 0;
2 (Cyt ) C( yt );
3 (ayt bzt ) a( yt ) b(zt );
4 ( yt zt ) zt1yt ytzt yt1zt ztyt ;
5
yt zt
zt yt yt zt zt zt1
zt1yt yt1zt zt zt1
.
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当b a 和 b a 时，方程(6) 的通解分别为：
yt
c ba
bt
Aat
和
yt ctbt1 Aat .
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例6 求差分方程
yt 1
1 2
yt
5 t
2
的通解。
解 对应齐次差分方程的通解为 Y A 1 t .
2
由于 a 1 , b 5 , a b,
(1)
的差分方程称为n 阶常系数线性差分方程，其中
a1 , a2 , , an 为常数，且 an 0, f (t )为已知函数.
当 f (t) 0时，差分方程(1)称为齐次的，
否则称为非齐次的. 当 f (t) 0 时，与差分方程 (1)
对应的齐次差分方程为
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0.
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例1 求 (t 2 ),2(t 2 ), 3(t 2 ). 解 设 yt t2 , 则
yt (t 2 ) (t 1)2 t 2 2t 1,
2( yt ) 2(t 2 ) (yt ) (2t 1)
2(t 1) 1 (2t 1) 2,
3( yt ) (2 yt ) (2) 2 2 0. 例2 设 yt at (0 a 1), 求 ( yt ). 解 ( yt ) at1 at at (a 1).
是齐次方程的通解.
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例4 求 2 yt1 yt 0 的通解.
解 特征方程为
2 1 0,
从而特征根为
1.
2
于是原方程的通解为
其中C为任意常数.
yt
C(
1)t , 2
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考虑差分方程
yt1 ayt f (t )
yt yt1 yt f (t 1) f (t )
为函数 yt 的一阶差分；
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称 2 yt (yt ) yt1 yt ( yt2 yt1 ) ( yt1 yt ) yt2 2 yt1 yt
为函数 yt 的二阶差分. 同样，称 3 yt (2 yt )
a3 yt3 c 1 a a2 at y0 c 1 a a2 at1 .
yt
y0
y0a
t
ct , 1 at
c 1a
,
a a
1, 1.
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2)一般法求解：设差分方程 yt1 ayt c
(5)
具有形如 yt* kt s (a 1时取 s 0 ; a 1时取 s 1. )
的右端项为某些特殊形式的函数时的特解. (一) f (t) c (c为任意常数), 则差分方程为
yt1 ayt c，
(5)
1) 采用迭代法求解：
给定初值 y0，有迭代公式
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yt ayt1 c a ayt2 c c a2 yt2 c 1 a a2 ayt3 c c 1 a
(4)
为一阶常系数齐次线性差分方程.
若 f (t) 0, 则 (3) 称为一阶常系数非齐次线性
差分方程.
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1. 常系数齐次线性差分方程的通解 对于一阶常系数齐次线性差分方程
yt1 ayt 0
(4)
通常有如下两种解法.
(1) 迭代法求解： 设 y0 已知，则
定义4.4.3 如果一个函数代入差分方程后，方程两边 恒等，则称此函数为差分方程的解.
例： y 2t A 是差分方程 yt1 yt 2的解， 其中A为任意常数.
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我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态，
对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称之为 初始条件.满足初始条件的解称之为特解. 如果差分 方程中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于差
的特解. (1) 当 a 1 时，令 yt* k 代入方程 (5) , 得：
k ak c
即
yt*
k
1
c
a
;
(2) 当 a 1 时，令 yt* kt 代入方程 (5) , 得：
k(t 1) akt c 即 k c .
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例5 求差分方程 yt1 3 yt 2 的通解.
如果将原方程的左边写为
( yt2 yt1 ) ( yt1 yt ) yt1 yt 2 yt ,
则原方程还可化为 2 yt 3t.
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又如： 可化为
yt2 2 yt1 yt 3t , yt 2 yt1 yt2 3t2 ,
2 yt 2 yt 3t.
分方程的阶数，则称它为差分方程的通解.
例如，y 2t 1 是差分方程 yt1 yt 2的特解， y 2t A 是差分方程 yt1 yt 2的通解， 其中A为任意常数.
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3. 常系数线性差分方程及解的性质
定义4.4.4 形如
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt f ( x)