流体动力学(双流体) 双流体的柏努利方程式
伯努利方程计算
伯努利方程计算
伯努利方程是应用于流体力学和气体流动的基本方程之一，用于描述沿流体流动方向上的动能、压力和重力势能之间的关系。
伯努利方程可以用以下的数学形式表示：
P + 1/2 ρv² + ρgh = constant
其中，P表示流体的压力，ρ表示流体的密度，v表示流体的
流速，g表示重力加速度，h表示流体的高度。
伯努利方程适用于理想流体在稳定流动时，沿着流动方向，流速变化不大，流线不弯曲，且没有其他外力作用的情况下。
利用伯努利方程可以计算流体在不同位置处的压力和流速。
通过等式中的常数项，可以比较不同位置处的流体状态。
需要注意的是，伯努利方程忽略了一些现实流动的因素，如黏性、湍流和摩擦等，因此只适用于某些特定情况。
在实际应用中，伯努利方程常用于气候学、飞行器设计、水力学、管道流动等领域的计算和分析。
流体动力学柏努利方程应用
当被测流体密度为ρ，测压计工作介质为ρ介质：
u2
p总p 2
(介 质)gR
pa
u实
2g(介质)R
式中R—u形管内流流体动体力学的柏努高利度方程差应用
❖
必须着重指出，u 并不是管道截面上的平均速度。
皮托管只能直接测出测量点上流体的点速度。若要使
用皮托管来测量管道流量，尚须采用下述办法来确定
管道截面的平均流速。
流体动力学柏努利方程应用
1.3.8.1 测速管（皮托管）
流体动力学柏努利方程应用
❖
皮托管是一种测速仪器，能测出管道截面某一点上流体
的速度。图所示出皮托管的结构和测速原理。利用套装在一
起的同心管道，内管的顶端开一小孔角，正迎向流动着的流
体；外管前部侧壁上开有一排（同流体流动方向相垂直的）
小孔。工作时，内管将流体滞止，使速度压头变为静压头，
p(p22gv22)(p12gv12)
流体动力学柏努利方程应用
1.3.8.4 离心水泵扬程
如图所示为离心式水泵工作示意图，设离心式水泵要求
的输出体积流量为Q，把水自1－1截面处输送至2－2截面处。
在截面1－1与2－2处均为大气压Pa,吸水高度为Hg，排 水高度为Hd，吸水和排水管的总阻力损失为hw，吸水管和排 水管内径分别为d1，d2，试计算离心式水泵扬程H。
流体动力学柏努利方程应用
流体动力学柏努利方程应用
gz1p12 v12gz2p2v 222hp
流体动力学柏努利方程应用
❖
在孔板上游截பைடு நூலகம்1－1（截面积为A1，流速为v1，静压强
为p1）与孔板所在截面0－0（截面积为A0，流速为v0，静压
强为p0）之间列出柏努利方程式，先略去两截面之间的流
流体力学-04-2 伯努利方程的应用
伯努利方程的应用伯努利方程对于流动体系除了掌握体系的对于流动体系，除了掌握体系的物料衡算关系以外，还必须找出体系各种形式能量之间的转换关系系各种形式能量之间的转换关系。
伯努利(Bernoulli)方程：描述了流体流动过程中各种形式能量之间的转换关系，是流体在定常流动情。
是热力学第一Daniel Bernoulli ，1700-1782况下的能量衡算式是热力学第定律对流体流动过程的具体描述。
流动系统的能量流动系统的能量：流动系统的能量流动系统的能量：(3) 动能：流体以一定的速度运动时便具有一定的动能，大时所需要的功小等于流体从静止加速到流速v时所需要的功。
(4) 静压能：流体进入划定体积时需要对抗压力所做的功。
流体进入划定体积时需要对抗压力所做的功若质量为m的流体体积为，某截面处的静压强为p，截面面积为A，则将质量为m的流体压入划定体积的功为：则将质量为的流体压入划定体积的功为质量为能量还可以通过其他外界条件与流动系统进行交换，包括：：流体通过换热器吸热或放热Q e吸热时为正，放热时为负。
：泵等流体输送机械向系统做功W em 的流体交换热量=m Q e流体接受外功为正流体对外作功为负作功为负的流体所接受的功= mW e以截面两边同除以m单位质量流体稳定流动过程的总能量衡算式力学第一定律表达式系统内能变化是单位质量流体从截面1-1到截面系统内能变化：是单位质量流体从截面1-1到截面2-2(1)流体通过环境直接获得的热量流体通过环境直接获得的热量，Q e 流体流动时需克服阻力做功，因而消耗机械能转化为热量，若流体等温流动，这部分热量则散失到系统外部。
设单位流体因克服阻力而损失的则，则不可压缩流体ρ=const=0无外加功W e=0理想流体，Σhf伯努力方程努力方程的有关伯努力方程的讨论(1)伯努力方程的适用条件：不可压缩的理想流体做定常流动而无外功输入的情况，选取截面符合缓变流条件。
单位质量流体在任一截面上所具有的势能、动能和静压能之和是常数是一常数。
3-3 流体 伯努利方程
5
1 、伯努利方程是流体动力学的基本规律之一，它 说明了理想流体在管道中作稳定流动时，同一流线 上各点的压强p、流速v和高度h三者之间的关系为
1 p ρv 2 ρgh 常量 2
红电 子 工 程 学 院 杨 小
式中是流体的密度，g是重力加速度。
6
2、伯努利方程的推导过程
研究对象： 取一段细流管，研究经过 t 时间流体微元 自ab运动到a’b’过程中的功能关系 受力分析：
2 流体连续性方程
如果流 体不可压缩 ,则通过流管各横截面的流量都相等。
红电 子 工 程 学 院 杨 小
S1v1t S2v2t
v1S1 v2 S2 C
注：vS qV
是流量，单位： m3/s
v2
物理本质：体现了流体在流动中质量守恒
3
【例】横截面是4m 的水箱，下端装有一 导管，水以2m/s从导管流出，如果导管横 2 截面是10cm ，那么水箱下降时的速度是 多少？
应用条件：①定常流动；②理想流体; ③ 同一流线
9
三 伯努利方程的应用： （1）小孔流速
设在一个大容器的水面下h处的器壁上开有一个小孔，水 由小孔流出。求小孔处水流的速度。
由伯努力方程 红电 子 1 2 工 p0 gh p0 v 2 程 学 院 得小孔流速
杨 小
p0
A
v 2 gh
（3）将 ② 、③ 代入 ① 得：
红电 子 工 程 学 院 杨 小
1 2 1 2 ( p1 p2 )V V [( v 2 gh2 ) ( v1 gh1 )] 2 2 整理后得 1 2 1 2 p1 v1 gh1 p2 v 2 gh2 2 2 即： 1 p v 2 gh 常量 2
流体的能量方程和伯努利定律
流体的能量方程和伯努利定律流体的能量方程和伯努利定律是研究流体力学中非常重要的两个定律。
在本文中，我将详细介绍这两个定律的概念、原理和应用。
一、能量方程流体的能量方程是描述流体在运动过程中能量守恒的一种数学表达形式。
它是基于流体力学中的伯努利原理和能量守恒定律推导得出的。
能量方程的基本形式如下：\[P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = \text{constant}\]其中，\(P\) 表示流体的压力，\(\rho\) 表示流体的密度，\(v\) 表示流体的速度，\(g\) 表示重力加速度，\(h\) 表示流体的高度。
根据能量方程，我们可以看出，在流体中，当速度增加时，压力会减小，而当速度减小时，压力会增大。
而当流体在重力作用下上升或下降时，其速度也会相应发生变化。
能量方程的应用非常广泛，例如在水力学中，我们可以利用能量方程计算水流经过水轮机时的能量转换效率；在流体管道工程中，能量方程可以帮助我们分析管道中的压力损失情况等。
二、伯努利定律伯努利定律是基于能量方程得出的一个特殊情况，即在水平流动的不可压缩流体中，流线沿程不受外力做功的情况下，流体的总能量保持恒定。
伯努利定律的表达形式如下：\[P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = \text{constant}\]伯努利定律告诉我们，流体在不同的位置上有不同的流速时，其压力也会相应发生变化。
当流体流速增大时，压力会降低；当流速减小时，压力会增加。
伯努利定律在实际应用中非常广泛，例如在空气动力学中，我们利用伯努利定律可以解释为什么翅膀上方流速较大、压力较小，从而产生升力，使飞机能够飞翔。
在气象学中，伯努利定律也有重要应用，可以帮助我们研究气压系统的演化和气候变化。
结语流体的能量方程和伯努利定律是流体力学中的重要定律，它们不仅揭示了流体在运动过程中能量守恒的规律，而且在各个领域具有广泛的应用价值。
流体力学伯努利方程
流体力学伯努利方程
伯努利方程是描述流体在不可压缩、不黏性、定常流动条件下的基本定律。
它揭示了流体在沿流线运动过程中的能量转换关系。
下面按照列表的形式对伯努利方程进行说明：
1. 方程含义
伯努利方程是流体力学中的一条重要方程，描述了流体在沿流线运动过程中压强、速度和位能之间的关系。
2. 方程表达式
伯努利方程的数学表达式为：
P + 1/2ρv^2 + ρgh = constant
其中，P是流体的压强，ρ是流体的密度，v是流体的流速，g是重力加速度，h是流体元素的高度。
3. 方程意义
伯努利方程可以从宏观上描述流体的能量守恒。
方程右侧的常数表示流体在不同位置的能量之和，包括压力能、动能和重力势能。
4. 各项参数的意义
- 压强：表示流体内部分子之间的相互作用力，与流体的密度和速度无关，随着深度增加而增加。
- 速度：表示单位时间内流体通过某一横截面的体积，与压强和密度的乘积成反比。
- 位能：表示流体元素相对于某一参考点的高度，与压强和速度无关，
随着高度增加而增加。
5. 应用范围
伯努利方程可应用于多个领域，如工程中的管道流动、航空航天中的
气体动力学、水力学中的水流运动等。
总结：
伯努利方程是流体力学的重要定律，可以揭示流体在运动过程中压强、速度和位能之间的转换关系。
它广泛应用于工程、航空航天、水力学
等领域，对于理解和分析流体运动具有重要意义。
流体力学伯努利三个公式
流体力学伯努利三个公式
嘿，朋友！让我来给你讲讲流体力学伯努利的三个公式哈。
第一个公式就是连续性方程啦，简单来说就是在一个流管中，流体的质量流量是保持不变的哟。
就好比是一条水管，水从这头进，那头出，进去多少水就得出来多少水呀！比如说，你家里的水龙头一直在放水，水在水管里流动，不管中间怎么拐来拐去，进去的水量和出来的水量肯定是一样的嘛。
第二个公式是伯努利定理啦。
哎呀呀，这个可神奇了！它说流体的速度和压力之间有个特别的关系呢。
想象一下，一阵风吹过，风速度快的地方压力是不是就小呀？就好比在刮大风的时候，你会感觉风大的地方好像有股力量在拉你一样！比如飞机能飞起来，不就是利用了这个原理嘛，机翼上方空气流速快压力小，下方空气流速慢压力大，这不就把飞机给托起来啦？
第三个公式是动量方程。
这就像是流体的一种“力气”表现哟！比如消防水管里喷出的水，可以冲倒一些东西，这就是水的动量在起作用呀。
想想看，消防员用高压水枪灭火的时候，那水流的力量多大呀，不就是因为动量嘛！
怎么样，是不是对流体力学伯努利的三个公式有点感觉啦？哈哈，好好去琢磨琢磨吧！。
流体力学-04-2 伯努利方程的应用.
伯努利方程的应用伯努利方程对于流动体系除了掌握体系的对于流动体系，除了掌握体系的物料衡算关系以外，还必须找出体系各种形式能量之间的转换关系系各种形式能量之间的转换关系。
伯努利(Bernoulli)方程：描述了流体流动过程中各种形式能量之间的转换关系，是流体在定常流动情。
是热力学第一Daniel Bernoulli ，1700-1782况下的能量衡算式是热力学第定律对流体流动过程的具体描述。
流动系统的能量流动系统的能量：流动系统的能量流动系统的能量：(3) 动能：流体以一定的速度运动时便具有一定的动能，大时所需要的功小等于流体从静止加速到流速v时所需要的功。
(4) 静压能：流体进入划定体积时需要对抗压力所做的功。
流体进入划定体积时需要对抗压力所做的功若质量为m的流体体积为，某截面处的静压强为p，截面面积为A，则将质量为m的流体压入划定体积的功为：则将质量为的流体压入划定体积的功为质量为能量还可以通过其他外界条件与流动系统进行交换，包括：：流体通过换热器吸热或放热Q e吸热时为正，放热时为负。
：泵等流体输送机械向系统做功W em 的流体交换热量=m Q e流体接受外功为正流体对外作功为负作功为负的流体所接受的功= mW e以截面两边同除以m单位质量流体稳定流动过程的总能量衡算式，流动系统的力学第一定律表达式系统内能变化系统内能变化：是单位质量流体从截面1-1到截面是单位质量流体从截面1-1到截面2-2流体通过环境直接获得的热量，Q e(1)流体通过环境直接获得的热量流体流动时需克服阻力做功，因而消耗机械能转化为热量，若流体等温流动，这部分热量则散失到系统外部。
设单位流体因克服阻力而损失的，则则不可压缩流体ρ=const=0无外加功W e=0理想流体，Σhf伯努力方程努力方程的有关伯努力方程的讨论(1)伯努力方程的适用条件：不可压缩的理想流体做定常流动而无外功输入的情况，选取截面符合缓变流条件。
单位质量流体在任一截面上所具有的势能、动能和静压能之和是一常数。
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1
Ⅱ Ph2
ρ
2
h
Ⅱ P
1
Ⅰ P 1 Z1
ρ
Z2 X
由(1)-(2)式得：
(ph1-pa1)+ (ρh-ρa)gz1+ (ρhυ12)/2= (ph2-pa2)+ (ρh-ρa)g z2+(ρhυ22)/2 +hp1-2 因为管道内流动的是热气体；所以： ρh<ρa；即ρh-ρa<0； (3)
解得：
hs Ⅱ ＝123 Pa 能量分布图见图a
能量分布图
12 气 流 运 动 方 向 200 气 流 运 动 方 向 hk hl hg 30 15 44 图a
15
10 m
Ⅰ
Ⅰ
压头为多少？绘出这两种情况的能量
分布，并说明在此两种情况下的能量 转化关系。
Ⅱ Ⅱ
解题方法
1 分析问题是单流体问题还是双流体问题；
2 选定基准面， 是单流体问题基准面选在下面截面中心线的水 平面上，z轴方向向上为正； 是双流体问题时通常将基准面选在上面截面中 心线的水平面上，z轴方向向下为正；
(6)
2）双流体柏努利方程式各符号的意义
(1) hs：相对静压头； 指单位体积气体所具有的相对压力能，在数值上等于管道内外 同一高度上气体的压强差。 hs=Ph-Pa J/m3或Pa
式中的hs1、hs2分别表示Ⅰ－Ⅰ，Ⅱ－Ⅱ两截面的相对静压头。
(2) hg：相对几何压头；
指单位体积气体所具有的相对位能； hg=(ρ a-ρ h)gz J/m3或Pa
(3) hk ：相对动压头；
指单位体积气体所具有的相对动能；
hk= (ρh υ22)/2 J/m3 或 Pa
(4) hp1-2：压头损失； 单位体积气体流动时的能量损失；它包括摩擦阻 力损失和局部阻力损失等。
1.3.7.3.双流体柏努利方程式中各能量的转换
例：热气体沿竖直管道流动，如图所 示，其密度为ρh为0.75kg/m3，外界空 气的密度为1.2kg/m3，Ⅰ－Ⅰ面动压头 为12Pa，Ⅱ－Ⅱ面动压头为30Pa，沿 程压头损失为15Pa，测得Ⅰ－Ⅰ面静 压头为200Pa，求气体由上而下和气体 由下而上运动时Ⅱ－Ⅱ截面的相对静
由于ρ a>ρ h知，热气体所受的浮力大于自身重力， 说明温度较高，密度较小的气体具有自动向上的趋势， 所以相对几何压头可以理解为气体所具有的向上做功的 能力。
由于几何压头与基准面的选取有关，所以通常将基 准面选在所研究的容器的上部，这样在基准面上气体的 几何压头为零，离基准面越远，几何压头越大。 此外，相对几何压头还和密度差ρ a-ρ h有关。当 ρ h越小，外界温度T越小，ρ a越大时，相对几何压头 越大；
Z Ⅰ Ph1
1
Ⅱ Ph2
ρ
2
h
Ⅱ P
1
Ⅰ P 1 Z1
ρ
Z2 X
首先，将基准面选在两截面的下方，z轴的方向向上为正； 对管道内的热气体列出Ⅰ－Ⅰ，Ⅱ－Ⅱ两截面的柏努利方程 式： ph1 +ρh g z1+ (ρhv12)/2= ph2+ρh g z2+(ρhv22)/2 + hp1-2 (1) 对管道外的冷空气，由于气流可以看作是静止不动；所 以速度可以认为是零，那么能量损失项也为零，同样列出柏 努利方程式为： pa1 +ρa g z1=pa2+ρa g z2 (2)
3) 分析已知条件： hk1=12Pa，hk Ⅱ ＝30Pa，hs1＝200Pa， hg Ⅱ ＝(ρa-ρh)gz Ⅱ = (1.2-0.75)×9.81×10， hp1- Ⅱ ＝15Pa； 将上面的条件代入双流体柏努利方程式有： 200+0+12＝hs Ⅱ + (1.2-0.75)×9.81×10+30+15
较高位置截面的中心线上，这样另一截面到基准面的距离
就可以用两截面高度差的绝对值来表示。
1.3.7.2 双流体柏努利方程式中各符号的意义
1）简写的双流体柏努利方程式
由于双流体的柏努利方程式书写很不方便,所以采用了一种简写 的形式：
hs1+hg1+hk1=hs2+hg2+hk2+hp1-2
那么可以将(3)式写为：
(ph1-pa1)+ (ρa-ρh) g (-z1)+ (ρhυ12)/2=
(ph2-pa2)+ (ρa-ρh) g (-z2)+(ρhυ22)/2 +hp1-2
由(4)式得到： (ρa-ρh) g (-z1)<0 和 (ρa-ρh) g (-z2)<0
(4)
为了计算的方便，于是可以令z＝－z，即将基准面移到 研究系统的上方， z轴方向取向下为正；那么(4)式可以变形 为：
1.3.7.双流体的柏努利方程式
1.3.7.1 双流体柏努利方程式的推导
如图所示的管道中流有热空气，其密度为ρh，周围是冷 空气，密度为ρa；ph1、ph2及pa1、pa2 分别表示管道Ⅰ-Ⅰ， Ⅱ-Ⅱ两截面处内外气体的绝对压强；v1、v2分别为热气体在 Ⅰ-Ⅰ，Ⅱ-Ⅱ两截面处的流速；z1、z2分别表示Ⅰ-Ⅰ，Ⅱ-Ⅱ 两截面至基准面的距离。
(ph1-pa1)+ (ρa-ρh)gz1+ (ρhυ12)/2=
( ph2-pa2)+ (ρa-ρh)g z2+(ρhυ22)/2 +hp1-2 (5)
பைடு நூலகம்
(5)式即为双流体柏努利方程式。
若设备中的气体静止不动时，(5)式即变为双流体静力学 方程。 (ph1-pa1)+ (ρa-ρh)g(z1)= ( ph2-pa2)+ (ρa-ρh)g (z2) (6)
3写出柏努利方程式； 分析已知条件，代数求解。
解题过程
分析：此问题为双流体问题，所以应该用双流体柏努利方
程式解决；同时基准面应该选在Ⅰ－Ⅰ面上； 解：一）假设流体由上而下从Ⅰ－Ⅰ面流向Ⅱ－Ⅱ面
1) 写出双流体柏努利方程式：
hs1+hg1+hk1=hs Ⅱ +hg Ⅱ +hk Ⅱ +hp1- Ⅱ 2) 选基准面：将基准面选在Ⅰ－Ⅰ面上，那么z1＝0， 则hg1＝0；
小结：以上(3)、(4)、(5)式均为双流体的柏努利方程式，
但是它们各自的基准面选取和Z轴的方向各不一样；其中：
(3)式的基准面在两截面的下方，z轴的方向向上；
(4)式的基准面在两截面的下方，z轴的方向向上；
(5)式的基准面在两截面的上方，z轴的方向向下；
在实际计算中，我们多使用第 (5)式，同时将基准面选在