柯西不等式的应用篇
浅谈柯西不等式的证明及应用
浅谈柯西不等式的证明及应用刘治和柯西 （Cauchy ）不等式21122 ()n n a b a b a b ++⋯+≤2222221212 ()()n n a a a b b b ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+(,,1,2,)i i a b R i n ∈=⋅⋅⋅， 当且仅当1212n na a ab b b ==⋅⋅⋅=时等号成立。
现将它的证明介绍如下： 证明1（构造法）：构设二次函数2221122()()()()n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅++222222212112212()2()(),n n n n a a a x a b a b a b x b b b =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+22212()0n a a a f x ++⋅⋅⋅+≥＞0,恒成立，2222222112212124()()n n n n a b a b a b a a a b b b ∴∆=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+≤-4(++)+0,即222222*********()()n n n n a b a b a b a a a b b b ++⋅⋅⋅+≤⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+(++)+,当且仅当12120(1,2,,),n i i na a a a xb i n b b b +==⋅⋅⋅==⋅⋅⋅=即时等号成立. 证明2（数学归纳法）：1）22211111=),=,=n a b a b =当时,左式(右式显然左式右式，2n =当时，右式=2222222222121211222112()()=()()a a b b a b a b a b a b +++++≥22212112212121122211212()()2=()===a a a b a b a a b b a b a b a b a b b b +++左式，仅当，即时取等号，故=12.n ，时不等式成立 2）假设(,2)n k k N k *=∈≥时，不等式成立，即222222*********()()(),k k k k a b a b a b a a a b b b ++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+当且仅当1212k ka a ab b b ==⋅⋅⋅=时取符号。
柯西不等式各种形式的证明及其应用演示版.doc
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233222222312322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na a ab b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。
柯西施瓦茨不等式 数学归纳法
柯西施瓦茨不等式数学归纳法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：柯西施瓦茨不等式是数学中一个非常重要的不等式，它在许多领域中都有着广泛的应用。
柯西施瓦茨不等式是由法国数学家柯西（Augustin Louis Cauchy）和瑞士数学家施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz）分别独立提出的，后来被称为柯西施瓦茨不等式。
这个不等式可以用来描述内积空间中的向量之间的关系，也可以用来证明各种数学问题。
柯西施瓦茨不等式的数学表达式如下：\left(\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^{n} a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n} b_i^2\right)a和b都是n维向量，\sum_{i=1}^{n} a_i b_i是向量a和b的内积，\sum_{i=1}^{n} a_i^2和\sum_{i=1}^{n} b_i^2分别是向量a和b的范数的平方。
柯西施瓦茨不等式的几何意义是，两个向量的内积的绝对值不会超过它们的范数的乘积。
这个不等式可以用来证明一系列的数学问题，例如在线性代数、实分析、概率论等领域中经常会用到。
下面我们将通过数学归纳法来证明柯西施瓦茨不等式。
我们来看一下当n=2时的情况。
假设有两个向量a和b，它们的分量分别为a=(a_1,a_2)，b=(b_1,b_2)。
根据柯西施瓦茨不等式的定义，我们有：(a_1b_1 + a_2b_2)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2)展开计算可得：这就证明了当n=2时，柯西施瓦茨不等式成立。
假设当n=k时柯西施瓦茨不等式成立，即对于任意k维向量a=(a_1,a_2,...,a_k)和b=(b_1,b_2,...,b_k)，有：假设有两个k+1维向量a=(a_1,a_2,...,a_{k+1})和b=(b_1,b_2,...,b_{k+1})。
柯西不等式在解题中的几点应用(二)
x 1 x 2 x 1 x 21 2 1 2 1 21 2 n x 2柯西不等式在解题中的几点应用（二）a) 用柯西不等式证明条件不等式n nn柯西不等式中有三个因式∑ a 2， ∑ b 2，∑ a b 而一般题目中只有一个或两个因式，为了运用柯西不ii =1ii =1i i i =1等式，我们需要设法嵌入一个因式（嵌入的因式之和往往是定值），这也是利用柯西不等式的技巧之一。
又柯西不 等式中诸量 a i ， b i具有广泛的选择余地，任意两个元素 a i ， a j （或b i ， b j ） 的交换，可以得到不同的不等式，因此在证题时根据需要重新安排各量的位置，这种形式上的变更往往会给解题带来意想不到的方便。
这种变换也是运用柯西不等式的一种技巧，下面我们简单举例说明怎样利用上述技巧运用柯西不等式来证明条件不等式。
例：已知 a,b ∈ R + ，a+b=1, x , x ∈ R + ,求证： (ax 1 + bx 2 ) • (bx 1 + ax 2 ) ≥ x 1 x 2分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论。
若把第二个小括号内的前后项对调一下， 情况就不同了。
证明： (ax 1 + bx 2 ) • (bx 1 + ax 2 )= (ax 1 + bx 2 ) • (ax 2 + bx 1 )≥ (a + b )2= (a + b )2x x = x x 。
例、设 x , x , , x ∈ R + , 求证：x 2 x 1 + x 2 x 3+ + x x n x 2 + n x 1≥ x 1 + x 2 + + x n （1984 年全国高中数学联赛题）证明：在不等式的左端嵌乘以因式(x 2 + x 3 + + x n + x 1 ) ，也即嵌以因式(x 1 + x 2 + + x n )，由柯西不等式，得( 1 + xx 2 x 3 + + x x n x 2 + n x 1) • (x 2 + x 3 + + x n + x 1 )x 2 x 3x n x 1x 2x 3x nx 1x 2 x 2 x 3 x 3 x n x n x 1 x 1 1⎡⎛ x ⎫2 ⎛ x ⎫2⎛ x ⎫2 ⎛ x ⎫2⎤ ⎡ 2222⎤ = ⎢ 1 ⎪ + 2 ⎪ + + n -1 ⎪ + n ⎪ ⎥ • ⎢( ) + ( ) + + ( ) + ( )⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎦ ⎛ x x x x⎫ ≥ 1 • + 2 • + + n -1 • + n • ⎪ ⎝ ⎭= ( x + x + + x )2,12x 2x于 是 1+ x 2 x 3n+ + x x nx 2 + n x 1≥ x 1+ x 2+ + x n .b) 利用柯西不等式求函数的极值有些极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；而有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的， 但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误。
浅析中学数学中柯西不等式的应用
浅析中学数学中柯西不等式的应用（3）2.4 柯西不等式在解析几何中的应用对于柯西不等式不仅在平面和立体几何中有应用，同时也在解析几何中发挥了作用。
例1 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点C 在抛物线的准线上，且//BC x 轴。
证明直线AC 经过原点O .分析：xyOABC图2-3如图所示，欲证直线AC 经过原点O ，只须证,,A O C 三点共线即可。
因为AB 是抛物线的焦点弦，可知,A B 两点纵坐标之积为2p -，故可设2(2,2)A pt pt ，2(,)82p p B t t-. 据题意不难得出(,0),(,)222p p p F C t --，从而20(2,2),A pt pt =(,),22p pOC t--=24OA t OC =-，因此,,A O C 三点共线。
2.5 柯西不等式在解其它题方面的应用柯西不等式在整个不等式证明求解当中都起了很大的作用，它与我们的其它知识相结之后，就变得更加灵活，使解题增加了难度。
例1 设123,,a a a ⋅⋅⋅是正实数数列，对所有的1n ≥满足条件21nj j a n =≥∑，证明对所有1n ≥，有21111(1)42nj j a n=≥++⋅⋅⋅+∑ 证明：先证一个更一般的命题：设12,,n a a a ⋅⋅⋅和12,,n b b b ⋅⋅⋅都是正数， 且12n b b b >>⋅⋅⋅> （2-1）若对所有1,2,,k n =⋅⋅⋅，11kkj j j j b a ==≤∑∑ （2-2）则有2211k kj j j j b a ==≤∑∑（2-3）事实上，设10n b +=，由（2-1）和（2-2）可得111111()()nk n kkk j k k j k j k j bb b b b a ++====-≤-∑∑∑∑改变求和次序得1111()()nnnnj k k j k k j k jj k jb b b a b b ++====-≤-∑∑∑∑由此可得211nnjj jj j b a b ==≤∑∑由柯西不等式，有222111()nnnj j jjj i j a b ab===≤∑∑∑所以22221111()()n n nnjj j jjj j j j b a b ab====≤≤∑∑∑∑ 即2211nnj j j j b a ==≤∑∑令1,2,,)j b j n ===⋅⋅⋅则211111(1)42nnnj j j j a n ===≥>=++⋅⋅⋅+∑ 例 2 试问：当且仅当实数01,,,(2)n x x x n ⋅⋅⋅≥满足什么条件时，存在实数01,,,n y y y ⋅⋅⋅，使得2222012n z z z z =++⋅⋅⋅+成立，其中222k k k z x iy =+，i 为虚数单位，0,1,,k n =⋅⋅⋅.证明你的结论。
柯西不等式在高中数学中的应用研究
柯西不等式在高中数学中的应用研究柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，技巧以拆常数，凑常值为主。
巧拆常数证不等式例：设a、b、c为正数且互不相等，求证：2/a+b+2/b+c+2/c+a>9/a+b+c证明：将a+b+c移到不等式的左边，化成：(a+b+b+c+c+a)*(1/a+b+1/b+c+1/c+a)=[( √a+b) ²+ ( √b+c) ²+ ( √a+c) ²][(√1/a+b) ²+√1/ b+c) ²+√1/a+c) ²≧(√a+b√1/a+b+√b+c√1/ b+c + √a+c√1/a+c) ²=（1+1+1）²=9 由于a、b、c为正数且互不相等，等号取不到。
附用基本不等式证设，则所证不等式等价于1/x+1/y+1/z>9/x+y+z x+y+z/x+x+y+z/y+x+y+z/z>5 y/x+z/x+x/y+z/y+x/z+y/z>6(y/x+x/y)+(z/x+x/z)+(y/z+z/y)>6因为y/x+x/y>2,z/x+x/z>2,y/z+z/y>2 所以上式显然成立。
求某些函数最值例：求函数y=3√x-5+4√9-x的最大值。
函数的定义域为[5，9]，y>0, ，由柯西不等式变形ac+bd≦√(a²+b ²)(c²+d²)则y=3√x-5+4√9-x≦√3²+4²*√(√x-5) ²+( √9-x) ²=6*2=10.函数仅在3√9-x=4√x-5，即x=161/25时取到。
柯西—许瓦兹不等式,Holder 不等式的应用例题
（1） 设B A ,为n 阶正定矩阵，则成立()0tr AB >。
证明 因为B A ,为n 阶正定矩阵，所以存在可逆矩阵T 使得，A TT '=，1()AB T T BT T -'=，显然T BT '是n 阶正定矩阵，它的特征值全为正的， 由矩阵的特征值和迹在相似变换下保持不变，于是1()(())()tr AB tr T T BT T tr T BT -''==。
（2）设B A ,为n 阶半正定矩阵，则成立()0tr AB ≥。
证明 对任意0ε>，有,I A I B εε++为n 阶正定矩阵，(()())0tr I A I B εε++>令0ε+→，由连续性,可知, ()0tr AB ≥。
定理 (Cauchy-Schwarz 不等式)设g f ,在],[b a 上可积，则有212212))(())((|)()(|dx x g dx x f dx x g x f bababa⎰⎰⎰≤。
证明 证法一 对区间],[b a 的任意分割∆：b x x x x a n n =<<<<=-110 ， 任取 ],[1i i i x x -∈ξ，，n i ,,2,1 =，记1--=∆i i ix x x ，i ni x ∆=∆≤≤1max )(λ；由于成立 |)()(|1iiini xg f ∆∑=ξξ 21212121)|)(|()|)(|(i i ni i i ni x g x f ∆∆≤∑∑==ξξ，在上式中，令0)(→∆λ取极限，则得到212212))(())((|)()(|dx x g dx x f dx x g x f bababa⎰⎰⎰≤ ；证法二 考虑二次函数dx x g x f ba2)]()([)(λλϕ+=⎰0)()()(2)(222≥++=⎰⎰⎰dx x g dx x g x f dx x f bab ab aλλ，),(+∞-∞∈∀λ；如果0)(2>⎰dx x gba，在上式中取dxx g dxx g x f b aba⎰⎰-=)()()(2λ，得到0))()(()(1)(222≥-⎰⎰⎰dx x g x f dxx g dx x f bababa，从而dx x g dx x f dx x g x f bab ab a)()())()((222⎰⎰⎰≤，于是成立212212))(())((|)()(|dx x g dx x f dx x g x f b ab ab a⎰⎰⎰≤；如果0)(2=⎰dx x g ba，则对),(+∞-∞∈∀λ，成立0)()(2)(2≥+⎰⎰dx x g x f dx x f babaλ ，必有0)()(=⎰dx x g x f b a，此时自然成立，212212))(())((|)()(|dx x g dx x f dx x g x f b ab ab a⎰⎰⎰≤。
浅议柯西不等式及其变式的应用
浅议柯西不等式及其变式的应用
柯西不等式是微积分领域不可或缺的数学思想之一，为学习者们提供无限的想
象空间以及涉及和探索不同数学概念的可能性。
它的变式在理论和实际生活中都有广泛的应用，能够有效解决复杂的数学问题，丰富学习者的知识体系。
柯西不等式的十分重要的异质性体现在它的核心概念：它结合了对凸性函数的
分析，它能够更为有效地灵活地反映函数的图像，浓缩了函数表达式中的详细信息，省略了无关紧要的内容，使得计算结果更加简洁高效。
柯西不等式的变式应用广泛，特别是在优化理论和统计学中，其中有许多数学
问题可以精确地使用最小化或最大化柯西不等式来求解。
此外，柯西不等式还用于数据处理，大数据分析以及问题解决，能够为学习者提供全面而精细的解答。
柯西不等式是数学研究的重要方法，尤其在涉及数学建模、偏微分方程解法等
领域中都十分重要，同时它也能为实际生活中的科学研究搭建宽泛的框架。
柯西不等式的变式应用范围更是大，因为柯西的基本概念不仅与凸性函数有关，而且还可以扩展至更多的方向，为学习者的探索带来了无穷的可能性。
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柯西不等式的应用篇 The following text is amended on 12 November 2020.柯西不等式的证明及相关应用摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。
关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（Cauchy ）不等式：等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=） 现将它的证明介绍如下： 方法1 证明：构造二次函数=()()()2222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ 由构造知 ()0≥x f 恒成立又22120nn a a a +++≥即()()()222212222122211nn n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ 当且仅当()n i b x a i i 2,10==+ 即1212nna a ab b b ===时等号成立 方法2 证明:数学归纳法（1） 当1n =时 左式=()211a b 右式=()211a b 显然 左式=右式当2=n 时 右式 ()()()()2222222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式 故1,2n =时 不等式成立（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立即 ()()()222212222122211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++当 i i ma b =，m 为常数，k i 2,1= 或120k a a a ====时等号成立设A=22221k a a a +++ B=22221k b b b +++ 1122k k C a b a b a b =+++则()()212121212121+++++++++=++k k k k k k b a Ba Ab AB b B a A当 i i ma b =，m 为常数，12,1+=k i 或121+===k a a a 时等号成立 即 1n k =+时不等式成立 综合（1）（2）可知不等式成立二、柯西不等式的简单应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。
灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，常通过适当配凑，直接套用柯西不等式解题，常见的有两大类型： 1、证明相关数学命题（1）证明不等式例1 已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明 2223333a b c a b c ++++≥证明：利用柯西不等式又因为 222a b c ab bc ca ++≥++ 在此不等式两边同乘以2，再加上222a b c ++得：()()2222222c b a 222c b a c b a 3++=+++++≥++ac bc ab故2223333a b c a b c ++++≥（2）三角形的相关问题例2 设p 是ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆的半径，≤证明：由柯西不等式得： 记S 为ABC 的面积，则 故不等式成立。
2、求解有关数学问题 常用于求最值例3 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=试求a 的最值 解：由柯西不等式得，有 即由条件可得， ()2253a a -≥-解得，12a ≤≤== 时等号成立， 代入111,,36b c d ===时， max 2a =211,,33b c d ===时 min 1a =例4 空间中一向量a与x 轴，y 轴，z 轴正向之夹角依次为，，（，， 均非象限角），求γβα222sin 9sin 4sin 1++的最小值。
解 : 由柯西不等式得： )sin sin ](sin )sin 3()sin 2()sin 1[(222222γβαγβα++++ ≥ 2)sin sin 3sin sin 2sin sin 1(γγββαα⋅+⋅+⋅ 2222222)321()sin sin )](sin sin 9()sin 4()sin 1(++≥++++⇒γβαγβα ∵ sin 2 sin 2 sin 2 2 ∴ 236)sin 9sin 4sin 1(222≥++γβα 18)sin 9sin 4sin 1(222≥++⇒γβα ∴γβα222sin 9sin 4sin 1++的最小值为18 三、巧用柯西不等式的变形解题很多高考数学问题的解决，如果仅从基础知识、基本公式的正面人手，就很难取得知识性的突破，而如果对基础知识、基本公式稍作变形，就会大大降低问题的难度，达到化难为易、化繁为简、化陌生为熟悉的目的．而学习柯西不等式，仅了解柯西不等式的基本公式还是不够的，学生还必须掌握下面这个柯西不等式的变形公式，此公式也是权方和不等式的一种特殊情况，这样我们就可以在解题过程中更快更准地解决问题．柯西不等式的变形公式： 约定n i R b i 2,1,=∈+有 ()nn n n b b b a a a b a b a b a ++++++≥+++ 212212222121 当且仅当n n b a b a b a === 2211等号成立 分析：由柯西不等式可得 ()()221212222121n n n n a a a b b b b a b a b a +++≥+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ 例1 设1,,,,2121=+++∈+n n x x x R x x x 且，证明211212132222121≥++++++++--x x x x x x x x x x x x n n n n n证明：由变形公式得：1212132222121x x x x x x x x x x x x n n n n n ++++++++-- 例2 (2007年广州市一模理科) 已知a ，b>0，且a+b=1，求1／2a+1／b 的最小值解析： a ，b>0，且a+b=1，由柯西不等知:()()22312/212/2121222+=++≥+=+b a ba b a当且仅当b a 12/2=即22,12-=-=b a 时等号成立 223121min +=⎪⎭⎫⎝⎛+∴b a练习 设且各不相同*∈N a a a n ,,,21 ，证明nn a a a a n 13121132223221++++≥++++证明：将n a a a ,,,21 从新排序设为''2'1n a a a <<<则有n a a a n≥≥≥''2'1,,2,1 ∴∑∑==≥n k knk a k 1111而所需证目标：∑∑==≥nk nk k k k a 1121 2111211⎪⎭⎫⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔∑∑∑===n k n k n k k k k k a结合柯西不等式得：得结论∑∑==≥nk nk k kk a 1121柯西不等式在解题中的几点应用一、 引言柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。
本文仅就使用柯西不等式的技巧做一粗略归纳。
主要就是使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式证明有关的不等式人民教育出版社高中《代数》下册“不等式”一章的习题中有这样一道题（P 、15练习第2题）：求证：ac+bd ≤22b a +*22d c +这题用比较法是很容易证明的，这里用比值的方法来证明。
证明：当a=b=c(或c=d=0)时，显然成立； 假设2a +2b ≠0 且2c +2d ≠0,则 =22222222**dc b a bddc b a ac+++++=222222222222**d c d b a b d c c b a a +++++ =1故ac+bd ≤2222*d c b a bd ac bd ac ++≤+≤+ (1)式就是着名的柯西不等式的一个简单特例。
柯西不等式的一般形式为：对任意的实数有及n n b b b a a a ,,,,,,2121(2) 或,*12121∑∑∑===≤ni ini ini i i bab a (3)其中等号当且仅当nn b a b a b a === 2211时成立（当0=k b 时，认为).1,0n k a k <≤= 柯西不等式有许多证明方法，这里就不作证明，仅就如何利用柯西不等式解题作一些介绍。
二、 柯西不等式在解题中的应用a) 利用柯西不等式证明恒等式利用柯西不等式来证明恒等式，主要是利用其取等号的充分必要条件来达到目的，或者是利用柯西不等式进行夹逼的方法获证。
例、已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。
证明：由柯西不等式，得当且仅当a b ab2211-=-时，上式取等号， 于是 122=+b a 。
b) 利用柯西不等式解无理方程（或方程组）用柯西不等式解无理方程，是先把方程的（含有无理式的）运用柯西不等式化为不等式，然后结合原方程把不等式又化成等式，在判定为等式后再利用柯西不等式取等号的特性，得到与原方程同解的且比原方程简单的无理方程，进而得到简单的整式方程，从而求得原方程的解。
例：解方程()()()11211112222++=+++•+x x x x x x 。
解： ()()22221111+++•+x x xx= ()()22221111+++•+x x x x由柯西不等式知 即+x当上式取等号时有)1(1)1(+=+x x x x 成立，即012=++x x （无实根） 或012=-+x x ，即 251±-=x ，经检验，原方程的根为 用柯西不等式解方程组，也同样是利用柯西不等式取等号的条件，从而求得方程组的解。
例：解方程组解：原方程组可化为 运用柯西不等式得2739)(2222=≥++z y x , 1826222=≥+w x 两式相乘，得当且仅当x=y=z=w=3时取等号。
故原方程组的解为x=y=z=w=3.c) 柯西不等式证明不等式。