六年级我爱数学杯

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2013数学竞赛试题imc六年级

2013数学竞赛试题imc六年级2013年国际数学竞赛（IMC）六年级试题包含了多个部分，旨在测试学生的数学能力和解决问题的技巧。

以下是一些可能的题目类型和示例题目：一、选择题1. 下列哪个数是质数？A. 45B. 47C. 51D. 532. 如果一个圆的半径是5厘米，那么它的周长是多少？A. 15π厘米B. 30π厘米C. 35π厘米D. 40π厘米二、填空题1. 一个数的平方根是7，那么这个数是______。

2. 如果2x + 3 = 11，那么x的值是______。

三、计算题1. 计算下列表达式的值：\( 3^2 - 4 \times 2 + 1 \)2. 求下列分数的和：\( \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{5}{6} \)四、解答题1. 一个班级有40名学生，其中女生占班级总人数的60%。

如果班级要组织一次郊游，需要至少80%的学生参加，那么至少需要多少名女生参加？2. 一个长方形的长是宽的两倍，如果长增加5厘米，宽增加3厘米，面积就增加了35平方厘米。

求原来长方形的长和宽分别是多少？五、应用题1. 一个农场主有一块长方形的土地，长是宽的3倍。

如果这块土地的周长是240米，那么这块土地的长和宽分别是多少？2. 一个班级有学生参加数学竞赛，其中获得一等奖的人数是二等奖人数的两倍，获得三等奖的人数是二等奖人数的一半。

如果班级总共有45名学生参加竞赛，那么获得一等奖、二等奖和三等奖的学生各有多少人？请注意，以上题目仅为示例，并非2013年IMC六年级实际试题。

实际的试题可能会包含更复杂或不同类型的问题，需要学生运用数学知识和逻辑推理能力来解答。

六年级我爱数学试卷

一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列哪个数是质数？A. 18B. 19C. 20D. 212. 下列哪个图形是正方形？A. 矩形B. 平行四边形C. 梯形D. 菱形3. 小明有10个苹果，每天吃掉3个，几天后小明将吃掉所有的苹果？A. 2天B. 3天C. 4天D. 5天4. 下列哪个分数与1/3相等？A. 1/4B. 2/6C. 3/9D. 4/125. 下列哪个数是3的倍数？A. 24B. 25C. 26D. 27二、填空题（每题5分，共25分）6. 6 + 7 = _______，7 - 6 = _______，6 × 7 = _______，7 ÷ 6 = _______。

7. 3/4的分数单位是 _______，1/2的分数单位是 _______。

8. 0.5 + 0.25 = _______，0.75 - 0.3 = _______。

9. 2 × 5 × 3 = _______，6 ÷ 2 ÷ 3 = _______。

10. 12个苹果分给3个小朋友，每人分得 _______个苹果。

三、解答题（每题10分，共40分）11. 小华有25元，他要用这些钱买一些铅笔，每支铅笔2元。

小华最多能买多少支铅笔？12. 小明骑自行车去公园，他骑了5分钟，速度是每分钟200米。

请问小明骑了多远？13. 一个长方形的长是8厘米，宽是5厘米，求这个长方形的周长。

14. 小红有12个气球，她要把这些气球分给3个小朋友，每个小朋友分得同样多的气球。

每个小朋友分得多少个气球？四、应用题（每题10分，共20分）15. 小明有15本书，小华有20本书。

他们把书平均分给4个同学，每个同学能分到多少本书？16. 小红和小刚一起买了一些铅笔，小红买了3盒，每盒20支，小刚买了2盒，每盒25支。

他们一共买了多少支铅笔？五、简答题（每题5分，共25分）17. 简述分数的基本性质。

wmo世界奥林匹克数学竞赛试题六年级

wmo世界奥林匹克数学竞赛试题六年级WMO世界奥林匹克数学竞赛是一项国际性的数学竞赛，旨在激发学生对数学的兴趣，培养他们的数学思维和解决问题的能力。

以下是一些适合六年级学生的WMO数学竞赛试题：1. 数字填空题：- 题目：在数列 2, 4, 6, 8, __ 中，下一个数字是什么？- 解答：这是一个简单的等差数列，公差为2。

下一个数字是 8 +2 = 10。

2. 图形推理题：- 题目：观察下列图形序列，找出规律并填写缺失的图形。

图形序列：△, □, ○, △, □, __- 解答：这是一个交替出现的图形序列，缺失的图形是圆形（○）。

3. 逻辑推理题：- 题目：如果所有的猫都怕水，而小明的宠物是一只猫，那么小明的宠物怕水吗？- 解答：根据题目中的条件，小明的宠物是一只猫，而所有的猫都怕水，所以小明的宠物也怕水。

4. 数学应用题：- 题目：小明有3个苹果，他给了小华2个苹果，然后又买了4个苹果，现在小明有多少个苹果？- 解答：小明原本有3个苹果，给了小华2个，剩下3 - 2 = 1个。

然后他又买了4个，所以现在他有 1 + 4 = 5个苹果。

5. 几何题：- 题目：一个正方形的边长是5厘米，它的周长是多少？- 解答：正方形的周长是边长的四倍，所以周长是 5 × 4 = 20厘米。

6. 概率题：- 题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，是红球的概率是多少？- 解答：总共有8个球，其中5个是红球。

所以取出红球的概率是5/8。

7. 计算题：- 题目：计算下列表达式的值：(12 + 8) × (15 - 9)- 解答：首先计算括号内的值，12 + 8 = 20，15 - 9 = 6。

然后计算乘积，20 × 6 = 120。

8. 组合问题：- 题目：一个班级有20名学生，如果老师需要从这20名学生中选出5名代表，有多少种不同的选择方式？- 解答：这是一个组合问题，计算公式为C(n, k) = n! / [k! × (n - k)!]，其中 n = 20，k = 5。

小学六年级数学竞赛讲座第1讲几何综合之立长方体三视图

第一讲几何综合之立长方体三视图模块一、用三视图求表面积三视图：主视图：从前向后看所得的图形；俯视图：从上向下看所得的图形；左视图：从左向右看所得的图形；有小立方体堆砌而成的立体图形，其表面积可用三视图法求解，从三个方向去考虑表面积；S=(正视图面积+俯视图面积+侧视图面积+凹槽增加的面积)×2.例1．如图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面刷油漆，如果打正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是平方米。

解：正视图面积为42+22+12=21（平方米），侧视图的面积也是21平方米，俯视图的面积是16平方米，所以涂刷油漆的面积为2×(21+21)+16=100(平方米)。

例2．一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如图的立体图形，已知大、中、小三类正方体的棱长分别为5厘米、2厘米、1厘米，那么这个立体图形的表面积是平方厘米。

解：正视图面积=25+4+1=30，侧视图面积=25+4+1=30，俯视图面积=25，表面积=2×(30+30+25+10+10)=230（平方厘米）。

模块二、三视图求正立方体堆的表面积三视图在分析立体几何空间结构时是一种有效的模型，通过三视图我们可以有序、准确地求算立体图形的表面积、正方体堆的堆积方式。

特别的，在多数问题中，不一定要求我们具体的把三视图画出来，更多的是一种思考方式，通过前后面、左右面、上下面有序全面地准确地认识题目中的立体图形，在解题中一定要灵活运用三视图。

例3．如图所示，立体图形是由21个棱长为1的小正方体堆砌而成的，其表面积是。

解：主视图面积=9，侧视图面积=9，俯视图面积=9，表面积=2×(9+9+9+6+6)=78.例4．如图所示，一个5×5×5的立方体，在一个方向上开有1×1×5的孔，在另一个方向上开有2×1×5的孔，在第三个方向上开有3×1×5的孔，剩余部分的表面积为。

小学六年级杯数学竞赛试题

小学六年级杯数学竞赛试题一、拓展提优试题1．A，B两校的男、女生人数的比分别为8：7和30：31，两校合并后男、女生人数的比是27：26，则A，B两校合并前人数比是．2．有一个温泉游泳池，池底有泉水不断涌出，要想抽干满池的水，10台抽水机需工作8小时，9台抽水机需工作9小时，为了保证游泳池水位不变（池水既不减少，也不增多），则向外抽水的抽水机需台．3．某小学的六年级有学生152人，从中选男生人数的和5名女生去参加演出，该年级剩下的男、女生人数恰好相等，则该小学的六年级共有男生名．4．小红整理零钱包时发现，包中有面值为1分，2分，5分的硬币共有25枚，总值为0.60元，则5分的硬币最多有枚．5．A、B、C、D四个箱子中分别装有一些小球，现将A箱中的部分小球按如下要求转移到其他三个箱子中：该箱中原有几个小球，就再放入几个小球，此后，按照同样的方法依次把B、C、D箱中的小球转移到其他箱子中，此时，四个箱子都各有16个小球，那么开始时装有小球最多的是箱，其中装有小球个．6．如图，三个同心圆分别被直径AB，CD，EF，GH八等分，那么，图中阴影部分面积与非阴影部分面积之比是．7．一列快车从甲地开往乙地需要5小时，一列慢车从乙地开往甲地所需时间比快车多，两车同时从甲乙两地相对开出2小时后，慢车停止前进，快车继续行驶40千米后恰与慢车相遇，则甲乙两地相距千米．8．王老师在黑板上写了若干个从1开始的连续自然数：1，2，3，4，…，然后擦去三个数（其中有两个质数），如果剩下的数的平均数是19，那么王老师在黑板上共写了39个数，擦去的两个质数的和最大是．9．如图所示的容器中放入底面相等并且高都是3分米的圆柱和圆锥形铁块，根据图1和图2的变化知，圆柱形铁块的体积是立方分米．10．已知三个分数的和是，并且它们的分母相同，分子的比是2：3：4．那么，这三个分数中最大的是．11．若三个不同的质数的和是53，则这样的三个质数有组．12．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行．甲、乙的速度比是5：3．两人相遇后继续行进，甲到达B地，乙到达A地后都立即沿原路返回．若两人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点50千米，则A、B两地相距千米．13．已知x是最简真分数，若它的分子加a，化简得；若它的分母加a，化简得，则x＝．14．请你想好一个数，将它加上5，其结果乘以2，再减去4，得到的差除以2，再减去你最初想好的那个数，最后的计算结果是．15．若（n是大于0的自然数），则满足题意的n的值最小是．【参考答案】一、拓展提优试题1．解：设A、B两校的男生、女生人数分别为8a、7a、30b、31b，由题意得：（8a+30b）：（7a+31b）＝27：26，27×（7a+31b）＝26×（8a+30b），189a+837b＝208a+780b，837b﹣780b＝208a﹣189a，57b＝19a，所以a＝3b，所以A、B两校合并前人数的比是：（8a+7a）：（30b+31b），＝15a：61b，＝45b：61b，＝（45b÷b）：（61b÷b）＝45：61；答：A，B两校合并前人数比是45：61．故答案为：45：61．2．解：设1台抽水机1小时抽1份水，每小时新增水：9×9﹣10×8＝1；答：向外抽水的抽水机需1台．3．解：设男生有x人，（1﹣）x＝152﹣x﹣5，x+x＝147﹣x+x，x＝147，x＝77，答：该小学的六年级共有男生77名．故应填：77．4．解：因为0.60元＝60分，设1分，2分，5分的硬币各有x枚、y枚和z枚，则有x+y+z＝25，x+2y+5z＝60，把上面的两个式子相减得出y+4z＝35，要使5分的硬币最大，即Z最大，y最小，因为35是奇数，所以y必须是奇数，当y＝1时，z的值不是整数，当y＝3时，z＝8，所以z＝8；答：5分的硬币最多有8枚；故答案为：8．5．解：根据最后四个箱子都各有16个小球，所以小球总数为16×4＝64个，最后一次分配达到的效果是，从D中拿出一些小球，使A、B、C中的小球数翻倍，则最后一次分配前，A、B、C中各有小球16÷2＝8个，由于小球的转移不改变总数，所以最后一次分配前，D中有小球64﹣8﹣8﹣8＝40个；于是得到D被分配前的情况：A8，B8，C8，D40；倒数第二次分配达到的效果是，从C中拿出一些小球，使A、B、D中的小球数翻倍，则倒数第二次分配前，A、B中各有小球8÷2＝4个，D中有40÷2＝20个，总数不变，所以最后一次分配前，C中有小球64﹣4﹣4﹣20＝36个，于是得到C被分配前的情况：A4，B4，C36，D20，同样的道理，在B被分配前，A中有小球4÷2＝2个，C中有小球36÷2＝18个，D中有小球20÷2＝10个，B中有小球64﹣2﹣18﹣10＝34个，即B被分配前的情况：A2，B34，C18，D10；再推导一次，在A被分配前，B中有小球34÷2＝17个，C中有小球18÷2＝9个，D中有小球10÷2＝5个，B中有小球64﹣17﹣9﹣5＝33个，即A被分配前的情况：A33，B17，C9，D5；而A被分配前的情况，就是一开始的情况，所以一开始，A箱子装有最多的小球，数量为33个；答：开始时装有小球最多的是A箱，其中装有33小球个；故答案为：A，33．6．解：由图可知，阴影部分的面积是图中最大圆面积的，非阴影部分的面积是图中最大圆面积的，所以图中阴影部分面积与非阴影部分面积之比是：：＝1：3；答：图中阴影部分面积与非阴影部分面积之比是1：3．故答案为：1：3．7．解：慢车行完全程需要：5×（1+），＝5×，＝6（小时）；全程为：40÷[1﹣（+）×2]，＝40÷[1﹣]，＝40÷，＝40×，＝150（千米）；答：甲乙两地相距150千米．故答案为：150．8．解：由剩下的数的平均数是19，即得最大的数约为20×2＝40个，又知分母是9，所以剩下的数的个数必含因数9，则推得剩余36个数．原写下了1到39这39个数；剩余36个数的和：19×36＝716，39个数的总和：（1+39）×39÷2＝780，擦去的三个数总和：780﹣716＝64，根据题意，推得擦去的三个数中最小是1，那么两个质数和63＝61+2能够成立，61＞39不合题意；如果擦去的另一个数是最小的合数4，64﹣4＝6060＝29+31＝23+37，成立；综上，擦去的两个质数的和最大是60．故答案为：39，60．9．解：25.7÷（1+1+3）＝25.7÷5＝5.14（立方分米）5.14×3＝15.42（立方分米）答：圆柱形铁块的体积是15.42立方分米．故答案为：15.42．10．解：＝＝，答：这三个分数中最大的一个是．故答案为：．11．解：53以内的质数有：2、3、5、7、11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，51，53；若三个不同的质数的和是53，可以有以下几组：（1）3，7，43；（2）3，31，19；（3）3，37，13；（4）5，11，37；（5）5，7，41；（6）5，17，31；（7）5，19，29；（8）7，17，29；（9）11，13，29；（10）11，23，19；（11）13，17，23；所以这样的三个质数有11组．故答案为：11．12．解：因为，甲乙的速度比为 5：3；总路程是：5+3＝8；第一次相遇时，两人一共行了AB两地的距离，其中甲行了全程的，相遇地点离A地的距离为AB两地距离的，第二次相遇时，两人一共行了AB两地距离的3倍，则甲行了全程的＝，相遇地点离A地的距离为AB两地距离的2﹣＝，所以，AB两地的距离为：50÷（）＝50÷＝100（千米）答：A、B两地相距100千米．故答案为：100．13．解：设原来的分数x是，则：＝则：b＝3（c+a）＝3c+3a①＝则：4c＝a+b②①代入②可得：4c＝a+3c+3a4c＝4a+3c则：c＝4a③③代入①可得：b＝3c+3a＝3×4a+3a＝15a所以＝＝即x＝．故答案为：．14．解：设这个数是a，[（a+5）×2﹣4]÷2﹣a＝[2a+6]÷2﹣a＝a+3﹣a＝3，故答案为：3．15．解：当n＝1时，不等式左边等于，小于，不能满足题意；当n＝2时，不等式左边等于+＝＝，小于，不能满足题意；同理，当n＝3时，不等式左边大于，能满足题意；所以满足题意的n的值最小是3．故答案是：3。

小学六年级数学竞赛讲座第14讲数论总复习

x +x=180，解得 x=135. 3
4．两个整数的最小公倍数是 1925，这两个整数分别除以它们的最大公因数，得到两个商的和是 16，写出这两个数。解：设这两个数分别是 a=mp、b=np，其中 m，n 互质，由题意 m+n=16，mnp=1925，
1925=52×7×11，其中 5+11=16，可取 m=5、n=11、p=35，于是 a=5×35=175，b=11×35=385。
所以这些数字都不会是偶数，只能从 1、3、5、7、9 中选取，且各不相同，其中取 3 个数字，任何 3 个数字的和都不能被 9 整除，所以排除 9，如果选取 3，则只有 1、3、5 三个数的和能被 3 整除，或 3、5、7 三个数的和能被 3 整除，有 135 和 315 能被 1、3、5 整除；或 735 能被 3、5、7 整除；如果不取 3，只剩下 1、5、7，其中 175 能被 1、7、5 整除；所以三位数是 135、315、175、735.
例 6．有一个四位数，它和 6 的积是一个完全立方数，它和 6 的商是一个完全平方数，那么这个四位数是。解：在这个四位数的因数中有 63m−1，同时满足 3m−2 是偶数，所以 m=2，
即一定含有 65=7776 这个因数，而它是一个四位数，就是 7776。
例 7．如果 2×38 能表示成 k 个连续正整数的和，则 k 的最大值为
此时 B 的最小值是 4，有 3 个因数，A=96=25×3，有 12 个因数。
A+B=96+4=100.
模块三、综合问题：
例 5．设六位数 abcdef 满足 fabcde f abcdef ，请写出这样的六位数。
解：设 abcde =x，则

上海市世界外国语小学六年级杯数学竞赛试题百度文库

一、拓展提优试题1．已知A是B的，B是C的，若A+C＝55，则A＝．2．（15分）二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制，其中二进制数转换成十进制数的方法如下：那么，将二进制数 11111011111 转化为十进制数，是多少？3．如图，设定E、F分别是△ABC的边AB、AC上的点，线段CE，BF交于点D，若△CDF，△BCD，△BDE的面积分别为3，7，7，则四边形AEDF的面积是．4．如图是甲乙丙三人单独完成某项工程所需天数的统计图，根据图中信息计算，若甲先做2天，接着乙丙两人合作了4天，最后余下的工程由丙1人完成，则完成这项工程共用天．5．根据图中的信息计算：鸡大婶和鸡大叔买的花束中，玫瑰、康乃馨、百合各多少枝？6．如图，一个直径为1厘米的圆绕边长为2厘米的正方形滚动一周后回到原来的位置．在这个过程中，圆面覆盖过的区域（阴影部分）的面积是平方厘米．（π取3）7．如图，一个底面直径是10厘米的圆柱形容器装满水．先将一个底面直径是8厘米的圆锥形铁块放入容器中，铁块全部浸入水中，再将铁块取出，这时水面的高度下降了3.2厘米．圆锥形铁块的高厘米．8．甲挖一条水渠，第一天挖了水渠总长度的，第二天挖了剩下水渠长度的，第三天挖了未挖水渠长度的，第四天挖完剩下的100米水渠．那么，这条水渠长米．9．若A：B＝1：4，C：A＝2：3，则A：B：C用最简整数比表示是．10．如图所示的点阵图中，图①中有3个点，图②中有7个点，图③中有13个点，图④中有21个点，按此规律，图⑩中有个点．11．如图，一只玩具蚂蚁从O点出发爬行，设定第n次时，它先向右爬行n个单位，再向上爬行n个单位，达到点A n，然后从点A n出发继续爬行，若点O 记为（0，0），点A1记为（1，1），点A2记为（3，3），点A3记为（6，6），…，则点A100记为．12．已知x是最简真分数，若它的分子加a，化简得；若它的分母加a，化简得，则x＝．13．a，b，c是三个互不相等的自然数，且a+b+c＝48，那么a，b，c的乘积最大是．14．如图，由七巧板拼成的兔子图形中，兔子耳朵（阴影部分）的面积是10平方厘米，则兔子图形的面积是平方厘米．15．张强晚上六点多外出锻炼身体，此时时针与分针的夹角是110°；回家时还未到七点，此时时针与分针的夹角仍是110°，则张强外出锻炼身体用了分钟．16．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，在C点相遇，若在出发时，甲将速度提高，乙将速度每小时提高10千米，二人依然在C点相遇，则乙原来每小时行千米．17．小明把一本书的页码从1开始逐页相加，加到最后，得到的数是4979，后来他发现这本书中缺了一张（连续两个页码）．那么，这本书原来有页．18．2015减去它的，再减去余下的，再减去余下的，…，最后一次减去余下的，最后得到的数是．19．已知两位数与的比是5：6，则＝．20．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行．甲、乙的速度比是5：3．两人相遇后继续行进，甲到达B地，乙到达A地后都立即沿原路返回．若两人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点50千米，则A、B两地相距千米．21．若算式（□+121×3.125）÷121的值约等于3.38，则□中应填入的自然数是．22．用底面内半径和高分别是12cm，20cm的空心圆锥和空心圆柱各一个组成如图所示竖放的容器，在这个容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还能填部分圆柱，经测量，圆柱部分的沙子高5cm，若将这个容器倒立，则沙子的高度是cm．23．从12点开始，经过分钟，时针与分针第一次成90°角；12点之后，时针与分针第二次成90°角的时刻是．24．有一个温泉游泳池，池底有泉水不断涌出，要想抽干满池的水，10台抽水机需工作8小时，9台抽水机需工作9小时，为了保证游泳池水位不变（池水既不减少，也不增多），则向外抽水的抽水机需台．25．小红整理零钱包时发现，包中有面值为1分，2分，5分的硬币共有25枚，总值为0.60元，则5分的硬币最多有枚．26．宏富超市购进一批食盐，第一个月售出这批盐的40%，第二个月又售出这批盐的420袋，这时已售出的和剩下食盐的数量比是3：1，则宏富超市购进的这批食盐有袋．27．若A、B、C三种文具分别有38个，78和128个，将每种文具都平均分给学生，分完后剩下2个A，6个B，20个C，则学生最多有人．28．如图．从楞长为10的立方体中挖去一个底面半径为2，高为10的圆柱体后，得到的几何体的表面积是，体积是．（π取3）29．若将算式9×8×7×6×5×4×3×2×1中的一些“×”改成“÷”使得最后的计算结果还是自然数，记为N，则N最小是．30．甲、乙两家商店出售同一款兔宝宝玩具，每只原售价都是25元，为了促销，甲店先提价10%，再降价20%；乙店则直接降价10%．那么，调价后对于这款兔宝宝玩具，店的售价更便宜，便宜元．31．定义新运算“*”：a*b＝例如3.5*2＝3.5，1*1.2＝1.2，7*7＝1，则＝．32．图中每一个圆的面积都是1平方厘米，则六瓣花形阴影部分的面积是平方厘米．33．如图，正方形ABCD和EFGH分别被互相垂直的直线分为两个小正方形和两个矩形，小正方形的面积的值已标在图中，分别为20和10，18和12，则正方形ABCD和EFGH中，面积较大的正方形是．34．从五枚面值为1元的邮票和四枚面值为1.60元的邮票中任取一枚或若干枚，可组成不同的邮资种．35．从1，2，3，4，…，15，16这十六个自然数中，任取出n个数，其中必有这样的两个数：一个是另一个的3倍，则n最小是．36．王老师在黑板上写了若干个从1开始的连续自然数：1，2，3，4，…，然后擦去三个数（其中有两个质数），如果剩下的数的平均数是19，那么王老师在黑板上共写了39个数，擦去的两个质数的和最大是．37．小强和小林共有邮票400多张，如果小强给小林一些邮票，小强的邮票就比小林的少；如果小林给小强同样多的邮票，则小林的邮票就比小强的少，那么，小强原有227张邮票，小林原有张邮票．38．对于一个多边形，定义一种“生长”操作：如图1，将其一边AB变成向外凸的折线ACDEB，其中C和E是AB的三等分点，C，D，E三点可构成等边三角形，那么，一个边长是9的等边三角形，经过两次“生长”操作（如图2），得到的图形的周长是；经过四次“生长”操作，得到的图形的周长是．39．已知自然数N的个位数字是0，且有8个约数，则N最小是．40．一个两位数除以一位数，所得的商若是最小的两位数，那么被除数最大是．【参考答案】一、拓展提优试题1．解：A是C的×＝，即A＝C，A+C＝55，则：C+C＝55C＝55C＝55÷C＝40A＝40×＝15故答案为：15．2．解：（11111011111）2＝1×210+1×29+1×28+1×27+1×26+0×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20＝1024+512+256+128+64+0+16+8+4+2+1＝（2015）10答：是2015．3．解：连接AD，因△CDF和△BCD的高相等，所以FD：DB＝3：7，所△AFD和△ABD的面积比也是3：7，即可把△AFD的面积看作是3份，△ABD的面积看作是7份，S△BCD＝7，S△BDE＝7所以CD＝DE，S△ACD＝S△ADE，S△ACD+S△BDE＝S△ABD，S△ACD+S△BDE＝7份，S△AFD+S△CDF+S△BDE＝7份，3份+3+7＝7份，则1份＝2.5，S四边形AEDF＝10份﹣7＝10×2.5﹣7＝25﹣7＝18答：四边形AEDF的面积是18．故答案为：18．4．解：依题意可知：甲乙丙的工作效率分别为：，，；甲乙工作总量为：×2+×4＝；丙的工作天数为：（1﹣）＝3（天）；共工作2+4+3＝9故答案为：95．解：依题意可知：玫瑰与康乃馨和百合的枝数化连比为：10：15：3；购买一份比例的价格为：3×20+15×6+15×10＝300；正好是1倍关系．答：购买玫瑰10枝，康乃馨15枝，百合3枝．6．解：2×1×4+3×12＝8+3＝11（平方厘米）答：阴影部分的面积是11平方厘米．故答案为：11．7．解：圆锥形铁块的体积是：3.14×（10÷2）2×3.2＝3.14×25×3.2＝251.2（cm3）铁块的高是：251.2×3÷[3.14×（）2]＝251.2×3÷50.24＝15（cm）答：铁块的高是15cm．8．解：把这条水渠总长度看作单位“1”，则第一天挖的分率为，第二天挖的分率（1﹣）×＝，第三天挖的分率为（1﹣）×＝，100÷（（1﹣﹣﹣）＝100÷＝350（米）答：这条水渠长350米．故答案为：350．9．解：A：B＝1：4＝：＝（×6）：（×6）＝10：29C：A＝2：3＝：＝（×15）：（×15）＝33：55＝3：5＝6：10这样A的份数都是10，所以A：B：C＝10：29：6．故答案为：10：29：6．10．解：根据分析得出的规律我们可以得到：图⑩中有3+（4+6+8+10+12+14+16+18+20）＝3+（4+20）×9÷2＝111；故答案为：111．11．解：根据分析可知A100记为（1+2+3+…+100，1+2+3+…+100）；因为1+2+3+…+100＝（1+100）×100÷2＝5050，所以A100记为（5050，5050）；故答案为：A100记为（5050，5050）．12．解：设原来的分数x是，则：＝则：b＝3（c+a）＝3c+3a①＝则：4c＝a+b②①代入②可得：4c＝a+3c+3a4c＝4a+3c则：c＝4a③③代入①可得：b＝3c+3a＝3×4a+3a＝15a所以＝＝即x＝．故答案为：．13．解：48÷3＝16，16﹣1＝15，16+1＝17，所以，a，b，c的乘积最大是：15×16×17＝4080．故答案为：4080．14．解：10＝80（平方厘米）答：兔子图形的面积是80平方厘米．故答案为：80．15．解：依题意可知：分针开始落后时针共格；后来分针领先格，路程差为格．锻炼身体的时间为：＝40（分）；故答案为：40．16．解：依题意可知：根据甲乙两人的相遇点相同，那么他们的速度比例是不变的．当甲提高时，乙也同样需要提高，而乙提高的是每小时10千米．即10÷＝40千米/小时．故答案为：4017．解：设这本书的页码是从1到n的自然数，正确的和应该是1+2+…+n＝n（n+1），由题意可知，n（n+1）＞4979，由估算，当n＝100，n（n+1）＝×100×101＝5050，所以这本书有100页．答：这本书共有100页．故答案为：100．18．解：2015×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）＝2015××××…×＝1故答案为：1．19．解：因为（10a+b）：（10b+a）＝5：6，所以（10a+b）×6＝（10b+a）×560a+6b＝50b+5a所以55a＝44b则a＝b，所以b只能为5，则a＝4．所以＝45．故答案为：45．20．解：因为，甲乙的速度比为 5：3；总路程是：5+3＝8；第一次相遇时，两人一共行了AB两地的距离，其中甲行了全程的，相遇地点离A地的距离为AB两地距离的，第二次相遇时，两人一共行了AB两地距离的3倍，则甲行了全程的＝，相遇地点离A地的距离为AB两地距离的2﹣＝，所以，AB两地的距离为：50÷（）＝50÷＝100（千米）答：A、B两地相距100千米．故答案为：100．21．解：令□＝x，那么：（x+121×3.125）÷121，＝（x+121×3.125）×，＝x+121×3.125×，＝x+3.125；x+3.125≈3.38，x≈0.255，0.255×121＝30.855；x＝30时，x＝×30≈0.248；x＝31时，x＝×31≈0.255；当x＝31时，运算的结果是3.38．故答案为：31．22．解：据分析可知，沙子的高度为：5+20÷3＝11（厘米）；答：沙子的高度为11厘米．故答案为：11．23．解：分针每分钟走的度数是：360÷60＝6（度），时针每分钟走的度数是：6×5÷60＝0.5（度），第一成直角用的时间是：90÷（6﹣0.5），＝90÷5.5，＝16（分钟），第二次成直角用的时间是：270÷（6﹣0.5），＝270÷5.5，＝49（分钟）．这时的时刻是：12时+49分＝12时49分．故答案为：16，12时49分．24．解：设1台抽水机1小时抽1份水，每小时新增水：9×9﹣10×8＝1；答：向外抽水的抽水机需1台．25．解：因为0.60元＝60分，设1分，2分，5分的硬币各有x枚、y枚和z枚，则有x+y+z＝25，x+2y+5z＝60，把上面的两个式子相减得出y+4z＝35，要使5分的硬币最大，即Z最大，y最小，因为35是奇数，所以y必须是奇数，当y＝1时，z的值不是整数，当y＝3时，z＝8，所以z＝8；答：5分的硬币最多有8枚；故答案为：8．26．解：420÷（1﹣40%﹣）＝420÷0.35＝1200（袋）答：宏富超市购进的这批食盐有1200袋．故答案为：1200．27．解：38﹣2＝36（个）78﹣6＝72（个）128﹣20＝108（个）36、48和108的最大公约数是36，所以学生最多有36人．故答案为：36．28．解：10×10×6﹣3×22×2+2×3×2×10，＝600﹣24+120＝696；10×10×10﹣3×22×10，＝1000﹣120＝880；答：得到的几何体的表面积是696，体积是880．故答案为：696，880．29．解：根据分析，先分解质因数9＝3×3，8＝2×2×2，6＝2×3，故有：9×8×7×6×5×4×3×2×1＝（3×3）×（2×2×2）×7×（3×2）×5×（2×2）×3×2×1，所以可变换为：9×8×7÷6×5÷4÷3×2×1＝70，此时N最小，为70，故答案是：70．30．解：甲商店：25×（1+10%）×（1﹣20%），＝25×110%×80%，＝27.5×0.8，＝22（元）；乙商店：25×（1﹣10%），＝25×90%，＝22.5（元）；22.5﹣22＝0.5（元）；答：甲商店便宜，便宜了0.5元．故答案为：甲，0.5．31．解：根据分析可得，，＝，＝2；故答案为：2．32．解：1×2＝2（平方厘米）；答：六瓣花形阴影部分的面积是2平方厘米．故答案为：2．33．解：小正方形的面积之和为30时，两正方形的面积差最小，则大正方形的面积越大，即EFGH的面积较大；故答案为：EFGH．34．解：根据分析可得：6×5﹣1＝29（种）；答：可组成不同的邮资29种．故答案为：29．35．解：将有3倍关系的放入一组为：（1，3，9）、（2，6）、（4，12）、（5，15）共有4组，其余7个数每一个数为一组，即将这16个数可分为11组，．则第一组最多取2个即1和9，其余组最多取一个，即最多能取12个数保证没有一个数是另一个的三倍，此时只要再任取一个，即取12+1＝13个数必有一个数是另一个数的3倍．所以n最小是13．36．解：由剩下的数的平均数是19，即得最大的数约为20×2＝40个，又知分母是9，所以剩下的数的个数必含因数9，则推得剩余36个数．原写下了1到39这39个数；剩余36个数的和：19×36＝716，39个数的总和：（1+39）×39÷2＝780，擦去的三个数总和：780﹣716＝64，根据题意，推得擦去的三个数中最小是1，那么两个质数和63＝61+2能够成立，61＞39不合题意；如果擦去的另一个数是最小的合数4，64﹣4＝6060＝29+31＝23+37，成立；综上，擦去的两个质数的和最大是60．故答案为：39，60．37．解：（1﹣）：1＝13：19，13+19＝32；1：（1﹣）＝17：11，17+11＝28，32与28的最小公倍数是224，小强和小林共有邮票400多张，所以共有224×2＝448张，448÷32×13＝182，448÷28×17＝272．小强：（182+272）÷2＝227张小林：448﹣227＝221．故答案为：227，221．38．解：边长是9的等边三角形的周长是9×3＝27第一次“生长”，得到的图形的周长是：27×＝36第二次“生长”，得到的图形的周长是：36×＝48第三次“生长”，得到的图形的周长是：48×＝64第四次“生长”，得到的图形的周长是：64×＝＝85答：经过两次“生长”操作，得到的图形的周长是48，经过四次“生长”操作得到的图形的周长是85．故答案为：48，85．39．解：自然数N的个位数字是0，它一定有质因数5和2，要使N最小，5的个数应最少为1个，而求其它因数最好都是2和3，并且2的个数不能超过2个，其它最好都是3；设这个自然数N＝21×51×3a，根据约数和定理，可得：（a+1）×（1+1）×（1+1）＝8，（a+1）×2×2＝8，a＝1；所以，N最小是：2×3×5＝30；答：N最小是30．故答案为：30．40．解：商是10，除数最大是9，余数最大是8，9×10+8＝98；被除数最大是98．故答案为：98．。

求余数

求余数文/乐家骏来源：小学数学教师计算一个较小自然数除以非零自然数的商和余数，那是容易的事情，但要计算出一个较大的自然数除以非零自然数的余数，就不是一个简单的问题了，我们必须借助余数的性质来寻求简捷的解法。

下面先介绍四条余数的性质。

为了叙述简洁，我们把一个自然数N除以非零自然数p 所得的余数称为数N的p余数。

（1）设a、b是两个自然数，a＞b，p是非零自然数，a=pq1+r，b=pq2+s（q1，q2，r，s是整数，0≤r＜p，0≤s＜p），则（a×b）的p余数等于（r×s）的p余数；（a+b）的p余数等于（r+s）的p余数；（a-b）的p余数等于r-s（当r≥s时）或p+r-s（当r＜s时）。

（2）A×10n（A，n都是非零自然数）的9余数等于A的9余数。

以上两条性质的证明过程较简单，请读者自行推导。

（3）把n位自然数N任意切成p段（p≤n），切成p个整数N1，N2，N3，…，Np，这p个整数的和的9余数等于N的9余数。

性质（3）的证明如下：把n位数N任意切成p段（p≤n），切成p个整数N1，N2，N3，…，Np，则N可以表示成p-1个形如Ni×10k（i=1，…，p-1）的数加上Np的和。

根据性质（2），Ni×10k的9余数等于Ni的9余数，所以N的9余数等于p个整数的和（N1+N2+N3+…+Np）的9余数。

特殊情况：一个自然数的9余数等于这个数的各位数字之和的9余数。

如1020304除以9的余数，等于1+0+2+0+3+0+4=10除以9的余数1。

（4）9个连续自然数连写所组成的多位数能被9整除。

证明：设9个连续自然数为a，a+1，a+2，…，a+8，它们的和为9a+36，能被9整除。

根据性质（3），9个连续自然数连写组成的多位数的9余数，等于这9个连续自然数之和的9余数0，即这个多位数能被9整除。

例1设A=2006+2006×2006+2006×2006×2006，那么A除以11的余数是。

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2014年“我爱数学”六年级数学竞赛卷
参考答案

注意：本试共12题，全卷满分120分。
1．(8分) 计算：
741＋1071＋13101

＋…＋1121091＝。

解原式＝31×(743＋1073＋13101＋…＋1121093)
＝31×(41－71＋71－101…＋1091－
112

)

＝31×(41－1121)＝31×(41－
112

)＝1129。

2．(8分) 计算：2013×2014×2015÷(6×95×143)＝。
解原式＝(3×11×61)×(2×19×53)×(5×13×31)×÷(2×3×5×19×11×13)
＝61×53×31＝ 100223 。

3．(9分) 如果六位数BA2014能够被88整除，那么，这个六位数BA2014＝。
解由于六位数BA2014能够被88＝11×8整除，即必须同时能够被11和8整除。
要被8整除，则要求末三位被8整除，从而可知B＝4；再根据被11整除可知A＝3。所
以，这个六位数为 320144 。

4．(9分) 设A为自然数，如果2014＋A是一个立方数，那么，A最小可以是。
解此题是一个估值的题。因为12
3＝1728＜2014，133
＝2197＞2014，所以，自然

数A最小为2197－2014＝ 183 。

5．(10分) 如果自然数A被123除余79，被124除余29，那么，自然数A最小可
以是。
解设A＝123×B＋79＝124×C＋29，因为同一个数被两个自然数除，除数大则商
小，所以可知B≥C。将上式变形得
123×(B－C)＝C－50，
要使被除数A尽可能小，即要使A被124除所得的商C尽可能小。当B＝C时，C最小
可取50，所以，A最小可取124×50＋29＝ 6229 。

6．(10分) 设A是一个自然数，如果A满足：
A1＜20141＋20151＋20161＋…＋20321＜11A
，
那么，自然数A＝。
解比较分数的大小。因为

20141＋20151＋20161＋…＋20321＜20141×19＝106
1
，

又

20141＋20151＋20161＋…＋20321＞20321×19＞2033
1
×19＝

107

，

所以

107
1
＜20141＋20151＋20161＋…＋20321＜

106

，

得A＝ 107 。

7．(10分) 在乘法算式
29×数学竞赛＝72×竞赛数学
中，不同汉字代表不同的非零数字，相同汉字代表相同的非零数字。要使得算式成立，
那么，数学×竞赛＝。
解由位值原理可知：
29×(00数学＋竞赛竞赛)＝72×(00竞赛＋数学)，
2900×数学＋29×竞赛＝7200×竞赛＋72×数学，
2828×数学＝7171×竞赛。
将2828和7171质因数分解：
2828＝2
2
×7×101， 7171＝71×101，

可知2828与7171的最大公因数为101，将2828和7171同时分解为一个两位数和一个
公因数之积，只有：
2828＝28×101， 7171＝71×101，
所以
28×101×数学＝71×101×竞赛，
即
28×数学＝71×竞赛，
要使等式成立，则只有数学＝71，竞赛＝28，从而得
数学×竞赛
＝71×28＝ 1988 。

8．(10分) 在下图中，包含“★”的长方形共有
个。
★
解由于图形不规则，我们只有将各种形状的长方
形列表计数：

形状 1×1 2×1 1×2 3×1 1×3 2×2 4×1 1×4 5×1 1×5 6×1
个数 1 1 1 1 1 3 0 0 0 0 0
形状 3×2 2×3 4×2 2×4 3×3 5×2 2×5 4×3 3×4 5×3
个数 4 4 2 2 3 1 1 2 1 1

共 29 个。
9．(11分) 已知甲、乙两车的速度比为4 : 5，甲、乙两车分别从A，B两地同时出
发，相向而行，计划在C地相遇。由于下雨，甲车的速度减少了25%，乙车的速度减少
了20%，结果两车相遇在D地。如果C，D两地相距5千米，那么，A，B两地相距
千米。
解由于甲、乙两车的速度比为4 : 5，可知在计划相遇过程中，甲车行驶了全程的

544
＝
9

。

另一方面，雨后甲、乙两车的速度比变为
4×(1－25%) : 5×(1－20%)＝3 : 4，
从而知，在实际相遇的过程中，甲车行驶了全程的

433
＝
7

。

因为C，D两地相距5千米，所以，A，B两地相距
5÷(94－73)＝ 315 千米。

10．(11分) 有两堆棋子，A堆有黑子350个和白子500个，B堆有黑子400个和
白子100个。为了使A堆中黑子占A堆的21，B中黑子占B堆的43，那么，要从B堆
中拿到A堆个黑子，个白子。
解 (1) 我们先从B堆中拿150个黑子到A堆，此时A堆中有黑子和白子都为500
个，满足A堆黑子占一半的条件。以后只要从B堆中拿出的黑子个数与白子个数相等，
那么，A堆中黑子与白子各半的条件都能满足。
(2) 此时B堆中有黑子400－150＝250个，白子100个。黑子与白子的个数之差为
250－100＝150，只要再从B堆拿到A堆的黑子与白子数是相同的，不论个数多少，它
们的差仍为150个。而对于B堆，要求黑子3份，白子1份，所以其差为2份，每份为
75个。所以，最后B堆中剩下黑子75×3＝225个，白子75个，所以还需要从B堆各拿
25个黑子和白子到A堆。
(3) 综合上面分析，要满足题中的条件，要从B堆拿到A堆 175 个黑子， 25
个白子。

11．(12分) 如下左图所示，在△ABC中，AE与BD交于O点，AC＝3AD，BC＝
4EC。如果△AOD的面积为1，那么，△ABC的面积等于 30 。
解连结OC，设S△ABC＝S，S△COE＝x。由题中条件知：
S△AOC＝3，S△COD＝2，S△BOE＝3x，
从而有

S△AOC＋S△COE＝S△ACE＝41S△ABC，

S△COD＋S△BOC＝S△BCD＝32S△ABC，
即3＋x＝41S，2＋4x＝32S，可得S＝ 30 。

12．(12分) 如上右图是一张50行和100列的表，如果按斜线依次填入自然数 (如
自然数14在第2行，第4列)。那么，自然数2014填在第行，第列。

解因为前50条斜线，每一条都比前一条多写填一
个数，所以前50条斜线上的数有
1＋2＋3＋…＋50＝1275
个数，即1275填在第1行，第50列；1276填在第50行，
第2列。
填到自然数2014还需要填2014－1275＝739个数。
由于以后的50条斜线上都写50个数，而
739÷50＝14……39，
所以，自然数1275＋50×14＝1975应填在第1行，第64 (＝50＋14) 列上，而自然数1976
应填在第50行，第16 (＝2＋14) 列上。
剩下的数可列表找规律：
自然数 1976 1977 1978 … 2014
行数 50 49 48 … 12
列数 16 17 18 … 54

所以，自然数2014填在第 12 行，第 54 列。

A
B
D

C E
O

1 3 2 5 4 8 7 12 6 10 9 14 13 … … 15 … … 11 … … …
2014年“我爱数学”六年级数学竞赛卷
参考答案

1． 1129。 2． 100223 。 3． 320144 。
4． 183 。 5． 6229 。 6． 107 。
7． 1988 。 8． 29 。 9． 315 。
10．黑子 175 个，白子 25 个。 11． 30 。
12．第 12 行，第 54 列。