第九章压杆稳定问题
材料力学 第九章 压杆稳定
cr s cr a b
cr
小柔度杆 中柔度杆
O
π2 E
2
大柔度杆
2
1
l
i
大柔度杆—发生弹性失稳 中柔度杆—发生非弹性失稳 小柔度杆—不发生失稳，而发生强度失效
Fuzhou University
杆类型
大柔度杆
定义
1
临界力
π EI Fcr ( l ) 2
n 0,1, 2
取
n 1
π 2 EI Fcr 2 l
细长压杆的临界载荷的欧 拉公式 (两端铰支)
Fuzhou University
材料力学课件
w A sin kx B co s kx
kl n , n 0,1, 2
F x l w F x
取 n 1
π 2 EI Fcr 2 l
2
临界应力
cr π2E性质Fra bibliotek2
稳定 稳定 强度
中柔度杆 2 1 Fcr A(a b ) 小柔度杆
cr a b
2
Fcr A s
cr s
l
i
1 π
i
E
I A
1.0, 0.5, 0.7, 2.0
a s 2 b
Fcr
Fcr
π 2 EI
2l
2
π 2 EI
0.7l
2
π 2 EI Fcr 2 (l )
欧拉公式的普遍形式
Fuzhou University
材料力学课件 讨论：
π 2 EI Fcr ( l )2
材料力学第九章 压杆稳定
02
创新研究方法与手段
积极探索新的实验技术和数值模拟方法，提高压杆稳定研究的精度和可
靠性。
03
拓展应用领域
将压杆稳定研究成果应用于更多领域，解决实际工程问题，推动科学技
术进步。
THANKS
感谢观看
稳定性取决于压杆的初始弯曲程度、压力的大小 和杆件的材料特性。
当压杆受到微小扰动时，如果能够恢复到原来的 平衡状态，则称其为稳定；反之，则为不稳定。
压杆的临界载荷
临界载荷是指使压杆由稳定平衡 状态转变为不稳定平衡状态的载
荷。
当压杆所受压力小于临界载荷时， 压杆保持稳定平衡状态；当压力 大于临界载荷时，压杆将失去稳
相应措施进行解决。
建筑结构中的压杆问题
02
高层建筑、大跨度结构等建筑中的梁、柱等部件可能发生失稳，
需要加强设计和施工控制。
压力容器中的压杆问题
03
压力容器中的管道、支撑部件等可能发生失稳，需要采取相应
的预防和应对措施。
05
压杆稳定的未来发展与展望
压杆稳定研究的新趋势
跨学科交叉研究
压杆稳定与材料科学、计算科学、工程结构等领域相互渗透，形 成多学科交叉的研究趋势。
工程中常见的压杆问题
1 2
细长杆失稳
细长杆在压力作用下容易发生弯曲，导致失稳。
短粗杆失稳
短粗杆在压力作用下可能发生局部屈曲，导致失 稳。
3
弹性失稳
材料在压力作用下发生弹性变形，当压力超过某 一临界值时，杆件发生失稳。
解决压杆失稳的方法与措施
加强材料质量
选择优质材料，提高材料的弹 性模量和抗拉强度，以增强压
材料力学第九章 压杆稳 定
• 引言 • 压杆稳定的基本理论 • 压杆稳定的实验研究 • 压杆稳定的工程应用 • 压杆稳定的未来发展与展望
材料力学 第九章 压杆稳定分析
我国建筑业常用：
cr
s
1
c
2
对于A3钢、A5钢和16锰钢： 0.43，c
2E 0.56 S
c 时，由此式求临界应力 。
②s< 时：
cr s
几点重要说明：
1. 所有稳定问题（包括后续内容）均需首先计算λ以界定压 杆的属性。
2. 对一般金属材料，作如下约定：
A. λp≈100；λs≈60。故：
i
二、压杆的分类
1、大柔度杆：
cr
2E 2
P
2E P
P
100
满足 P 的杆称为大柔度杆（或 细长杆），其临界力用 欧拉公式求。
P 的杆为中小柔度杆，其 临界力不能用欧拉公式 求。
2、中柔度杆─λP＞λ≥λS，即： P＜≤S
直线型经验公式： cr ab
crab s
a s
b
s
60
支承情况
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
一端固定 另端自由
两端固定但可沿 横向相对移动
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
失
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Pc
r
2
l
EI
工程实例
目录
一、稳定平衡与不稳定平衡 ： 1. 不稳定平衡
2. 稳定平衡
3. 稳定平衡和不稳定平衡
第9章 压杆稳定
第九章压杆稳定§9.1 压杆稳定的概念§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力§9.3 其它支座条件下细长压杆的临界压力§9.4 欧拉公式的适用范围，经验公式§9.5 压杆的稳定校核§9.6 提高压杆稳定性的措施1. 引言强度——构件抵抗破坏（塑性变形或断裂）之能力2．实例crcr①受均匀外压作用的圆筒形薄壳——由圆形平衡变成椭圆形平衡。
②受均匀压力作用的拱形薄板——由拱形平衡变成翘曲平衡。
③窄高梁或薄腹梁的侧向弯曲——由平面弯曲变成侧向弯曲。
④圆筒形薄壳在轴向压力或扭转作用下引起局部皱折。
⑤细长压杆由直线平衡变成曲线平衡。
3．稳定研究发展简史早在18世纪中叶，欧拉就提出《关于稳定的理论》但是这一理论当时没有受到人们的重视，没有在工程中得到应用。
原因是当时常用的工程材料是铸铁、砖石等脆性材料。
这些材料不易制细细长压杆，金属薄板、薄壳。
随着冶金工业和钢铁工业的发展，压延的细长杆和薄板开始得到应用。
19世纪末20世纪初，欧美各国相继兴建一些大型工程，由于工程师们在设计时，忽略杆件体系或杆件本身的稳定问题向造许多严重的工程事故。
例如：19世纪末，瑞士的《孟希太因》大桥的桁架结构，由于双机车牵引列车超载导致受压弦杆失稳使桥梁破坏，造成200人受难。
弦杆失稳往往使整个工程或结构突然坍蹋，危害严重，由于工程事故不断发生，才使工程师们回想起欧拉在一百多年前所提出的稳定理论。
从此稳定问题才在工程中得到高度重视。
§9.1 压杆稳定的概念 1．工程实例（1当推动摇臂打开气阀时就受压力作用。
（2）磨床液压装置的活塞杆，当驱动工作台移动时受到压力作用。
（3）空气压缩机，蒸汽机的连杆。
（4）桁架结构的某些杆件。
（5）建筑物中的柱。
2．压杆分类⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫--.,,.3.2.1曲线平衡而发生失稳杆件会由直线平衡变成比例极限甚至低于或者强度极限当应力低于屈服极限稳定问题细长杆中长杆强度问题短杆b b s σσσ 3．压杆失稳：压杆由直线形状的稳定平衡而过渡到曲线平衡称为失稳或者屈曲。
(整理)压杆稳定(教材).
第九章压杆稳定§9-1 压杆稳定的基本概念在前面的一些章节中，已经讨论了构件在静力平衡状态下的应力、应变以及强度和刚度的设计问题。
构件除了强度和刚度不足而引起失效外，有时由于不能保持其原有的平衡状态而失效，这种失效形式称为丧失稳定性。
考察图9-1所示的等直杆AB，若A端固定，B端作用沿轴线方向的载荷p。
实验表明，若外力p较小时，杆件保持在直线形状的平衡，微小的外界扰动将使杆件发生轻微的弯曲，干扰力解除后，杆件仍恢复直线形状，即外界的干扰不能改变其原有的铅垂平衡状态，压杆的直线平衡是稳定的；若外力p慢慢地增加到某一数值并且超过这一数值时，任何微小的外界扰动将使杆件AB发生弯曲，干扰力解除后，杆件处于弯曲状态下的平衡，不能恢复原图9-1有的直线平衡状态，杆件原有的直线平衡状态是不稳定的。
若外力P继续增大，杆件将因过大的弯曲变形而突然折断。
杆件维持直线稳定平衡的最大外力称为临界压力，记为P cr。
压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线平衡，称为丧失稳定，简称“失稳”。
工程上，一般的细长压杆，由于轴向载荷的偏心或杆件的初曲率，往往因这种屈曲而导致失效的。
因此压杆的“失稳”也称为“屈曲”。
机械中有许多细长压杆，如螺旋千斤顶的螺杆（图9-2a），内燃机气阀门的挺杆（图9-2b）等。
还有，桁架结构中的抗压杆、建筑物中的柱等都是压杆。
这类构件除了要有足够的强度外，还必须有足够的稳定性，才能正常工作。
(a)(b)图9-2除了压杆的失稳形式外，一些细长或薄壁的构件也存在静力平衡的稳定性问题。
例如，细长圆杆的纯扭转，薄壁矩形截面梁的横力弯曲以及承受均布压力的薄壁圆环等，都有可能丧失原有的平衡状态而失效。
图9-3给出了几种构件失稳的示意图，图中虚线分别表示其丧失原有平衡形式后新的平衡状态。
(a)(b)(c)图9-3承受轴向压力的细长压杆的平衡，在什么条件下是稳定的，什么条件下是不稳定的；怎样才能保证压杆正常、可靠地工作等等问题，统称为“稳定问题”。
建筑力学第9章压杆稳定
• 为了说明压杆平衡状态的稳定性，我们取一根细长的直杆进行压缩试 验，如图９-１所示。
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第一节 压杆稳定的概念
• 压杆的平衡状态可以分为三种。图９-１（ａ）中，当压力P不太大时， 用一微小的横向力干扰它，压杆微弯，当横向力撤去后，压杆能自动 恢复原有的直线形状，这时压杆处于稳定的平衡状态。图９-１（ｂ） 中，当压力P增大到某一特定值Pｃｒ时，微小的横向干扰力撤去后， 压杆在微弯状态下维持新的平衡，这时压杆处于临界平衡状态，这个 特定值Pｃｒ叫作临界力。图９-１（ｃ）中，当压力P超过临界力Pｃｒ 后，干扰力作用下的微弯会越来越大直至压杆弯断，此时压杆丧失了 稳定性。
• σｃｒ＝π２E/λ２≤σＰ
• ■四、中长杆的临界应力计算———经验公式
• 当压杆的柔度小于λＰ时，称为中长杆或中柔度杆。中长杆的临界应 力σｃｒ大于材料的比例极限σＰ，此时欧拉公式不再适用。工程中对 这类压杆一般采用经验公式计算临界力或临界应力。常用的经验公式 有两种：直线公式和抛物线公式。
上一页
• Pｃｒ＝π２EI/（μl）２（９-１） • 式中 • E———材料的弹性模量； • I———压杆横截面的最小惯性矩； • EI———压杆的抗弯刚度；
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第二节 临界力和临界应力
• l———压杆的实际长度； • μ———压杆的长度系数，见表９-１； • μl———压杆的计算长度。 • ■二、临界应力 • 在临界力作用下，细长压杆横截面上的平均压应力叫作压杆的临界应
• 从前面几节内容可知，影响压杆稳定性的主要因素有：压杆的截面形 状、长度、两端的约束条件以及材料的性质等。要提高压杆的稳定性 ，可采取以下四个措施。
材料力学：第九章 压杆稳定问题
实际临界力
若杆端在不同方向的约束情况不同， I 应取挠 曲时横截面对其中性轴的惯性矩。即，此时要 综合分析杆在各个方向发生失稳时的临界压力， 得到直杆的实际临界力（最小值）。
求解临界压力的方法：
1. 假设直梁在外载荷作用下有一个初始的弯曲变形
2. 通过受力分析得到梁截面处的弯矩，并带入挠曲线 的微分方程
P
采用挠曲线近似微分方程得
B
到的d —P曲线。
Pcr A
B'
可见，采用挠曲线近
似微分方程得到的d —P曲
线在压杆微弯的平衡形态
d
下，呈现随遇平衡的假象。
大挠度理论、小挠度理论、实际压杆
欧拉公式
在两端绞支等截面细长中心受压直杆
的临界压力公式中
2EI
Pcr l 2
形心主惯矩I的选取准则为
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形
P
压杆稳定性的概念
当P较小时，P
Q
P
当P较大时，
P Q
稳定的平衡态
P
撤去横向力Q 稳定的
小
稳
P定
的
P P
临界压力
Pcr
不
稳
撤去横向力Q 不稳定的
定 的
P
大
不稳定的平衡态
压杆稳定性的概念
压杆稳定性的工程实例
细长中心受压直杆临界 力的欧拉公式
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
压杆的线（性）弹性稳定性问题
利用边界条件
得 w D,
xl
Dcos kl 0
若解1
D0
表明压杆未发生失稳
w(x) Asin kx B cos kx D
09 第9章 压杆稳定
An
4 稳定性校核步骤：
•计算柔度 •判断压杆类型并计算临界应力或临界压力 •稳定性校核
【例9.3】 千斤顶如图9.6所示，丝杠长度，螺纹内径，材料为
45钢，最大起重重量为F=80kN，规定的稳定安全因数[nst]=4，
试校核丝杠的稳定性。 解：(1) 计算柔度。
丝杠可以简化为下端固定，上端自由的压 杆，因此长度因数取μ=2。
稳定失效：压杆丧失稳定性而破坏，具有突发性
逐渐成为构件或结构安全工作的控制条件
称为临界压力
稳定 平衡
Pcr
不稳定 平衡
§9.2 细长压杆的临界载荷的计算及欧拉公式
9.2.1 两端铰支细长压杆的临界载荷的计算
Pcr
y
Pcr
x
M (x) Pcr w M M (x) EIw''
EIw'' Pcr w 0
解： (1) 计算截面的极惯性矩
I min
0.05 0.033 12
m4
11.25 108 m 4
(2) 两端为铰支约束，则代入欧拉公式得
Pcr
2EI l2
2
9 109
11.25 108 1
N
10kN
所以，当杆的轴向压力达到10kN时， 此杆就会丧失稳定。
9.3 欧拉公式的适用范围·经验公式
记：2
a
s
b
a s
b
2 1 ——直线公式的适用范围
——这种压杆称为中柔度杆或中长杆
2 的压杆 ——小柔度杆或短粗杆
不存在失稳问题，应考虑强度问题
cr s
经验公式中，抛物线公式的表达式为
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v(x) d sin x
A
l
这里， d 是一个未定的量，即只要d l d
是一个小量，上式均成立。
这表明在线性弹性稳定性理论的范畴 内，受压直杆在临界压力处是一个随 B 遇平衡状态。
欧拉公式
在实际中，这种随遇平衡状态是 Pcr 不存在的，前面的分析之所以得到这 样的结论，其原因是我们采用了近似 A 的线性弹性稳定性理论。
个平衡态。
P
P
现假想有一微小的横向力Q同 时作用于直杆上，则在力P和Q作 Q 用下，直杆发生压缩和弯曲的耦合 变形。
P
压杆稳定性的概念
如果
撤去横向力Q后，杆的弯曲变形消失，直杆恢复 到其原来的直线平衡状态，则称直杆的直线平 衡态是稳定的平衡态。
撤去横向力Q后，杆的弯曲变形不能消失，杆的 轴线不能保持为一条曲线，则称直杆的直线平 衡态是不稳定的平衡态。
l
Pcr A ld B
欧拉公式 Pcr 至此，得到结论
对两端绞支的等截面细长中心受 A 压直杆，其临界压力为
Pcr
2 EI l2
ld
此式称为欧拉公式
临界压力Pcr下，直杆的失稳挠曲线为 B
v(x) d sin x
l
其形状为半个正弦波
欧拉公式
两端绞支的等截面细长中心受
Pcr
压直杆的失稳挠曲线为
围内，杆件的变形可分别由
杆件的压缩和弯曲变形叠加
而得到——组合变形
如果轴向压力逐渐增大，轴
P
向压力对杆件弯曲变形的影 w
响就不可忽略，并且，当轴
向压力达到某一特定值时，
杆件的变形极度增大，从而 导致受压杆件丧失承载能力
Pcr
P
压杆稳定性的概念
P
受压杆件的理想力学模型
考虑受轴向压力P作用的一
理想直杆，则其直线形态是一
杆的直线平衡态由稳定平衡转化为不稳定平衡 时所受的轴向压力称为临界压力，简称为临界 力。
压杆稳定性的概念
当P较小时，P
Q
P
当P较大时，
P Q
P
撤去横向力Q 稳定的
小
稳
P定
的
P P
临界压力
Pcr
不
稳
撤去横向力Q 不稳定的
定 的
P
大
压杆稳定性的概念
压杆稳定性的工程实例
细长中心受压直杆临界 力的欧拉公式
d
可见，只有当P Pcr时， 压杆才可能存在轴线非直线的 平衡态，即直杆发生失稳，并
且，挠度d 与压力P之间存在一
对一关系，既不存在随意平衡 的状态
欧拉公式
中点挠度d 与压力P的
曲线在P=Pcr处的切线就是
P
采用挠曲线近似微分方程得
B
到的d —P曲线。
Pcr A
B'
可见，采用挠曲线近
似微分方程得到的d —P曲
由此可得
A 0, 或 sin kl 0
若
A0
则
v(x) 0
Pcr
x
A
v
Pcr
M(x)
l
m
x
B
y
欧拉公式
v(x) 0
Pcr
意味着直杆保持直线平衡状态，
不存在非直线的平衡态，即直杆
未发生失稳，显然无意义
A
x v
若
Pcr
sin kl 0
l
M(x)
m
得
kl n (n 1, 2,3,)
x
由此求得
M (x) Pcrv(x)
x
这里，压力Pcr取为正值，位移 B
y
v(x)以沿y轴正向为正。
欧拉公式
将弯曲M(x)代入梁弯曲的挠 曲线微分方程，得
Pcr
EI
d 2v dx2
M (x)
Pcrv( x)
令
k 2 Pcr
EI
x Av
Pcr
M(x) lm
则梁挠曲线微分方程变为
x
d 2v dx2
k
2v(
线在压杆微弯的平衡形态
d
下，呈现随遇平衡的假象。
大挠度理论、小挠度理论、实际压杆
欧拉公式
在两端绞支等截面细长中心受压直杆
的临界压力公式中
Pcr
2 EI l2
形心主惯矩I的选取准则为
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形
绞），I 应取最小的形心主惯矩，得到直杆的
B
y
Pcrn
n2 2EI
l2
(n 1, 2,3,)
欧拉公式
Pcrn中最小的值称为直杆的临界 压力，记为Pcr。即
2EI
Pcr
min 1n
Pcrn
Pcr1
l2
此时，直杆的挠曲线为
v(x) Asin x
l
若杆中点处的挠度为d ，利用条件
v( l ) d
2
得
v(x) d sin x
其它结构
柱壳受轴压作用
变形特点：突发性
稳定性问题
压杆稳定性的概念
细长压杆弯曲原因 ——这是由于在杆件的受压变形过
程中，往往伴随着杆件的弯曲变形， 因为
实际压杆的轴线存在着初始曲率 作用在杆件上的外力作用线一般也不
与杆件的轴线恰好重合 杆件的材料不可能达到理想的均匀性
压杆稳定性的概念
P
如果杆件的抗弯刚度比较大， 并且，轴向压力在一定的范
下面以两端绞支的细长中心受压直杆为例， 说明压杆临界压力的分析和计算方法
欧拉公式
变形前后问题
如图所示，考虑两端绞支， Pcr 长为l的等截面细长中心受压直杆，
设直杆在临界压力Pcr的作用下发 生失稳，产生微小弯曲。
x Av
Pcr
设杆件失稳后轴线的挠度为 v(x)，则任一横截面上的弯矩为 l
m
M(x)
压杆稳定问题
压杆稳定性的概念
压杆稳定性的概念
现象
粗短压杆
塑性材料(Steel)
脆性材料（Iron）
压力增加
压力增加
强度问题
压杆稳定性的概念
强度满足情况下，变形不能过大 刚度问题
变形特点：连续性
压杆稳定性的概念
P
细长压杆 P<Pcr
P
内燃机挺杆
P
油缸中活塞杆ຫໍສະໝຸດ PP P>Pcr
P
压杆稳定性的概念
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
压杆的线（性）弹性稳定性问题
设细长中心受压直杆在临界力的作用下 处于不稳定平衡的直线形态，如果此时材 料仍处于理想的线弹性范围内，（即虎克 定理成立），则称细长中心受压直杆的稳 定性问题为线弹性稳定性问题
线弹性稳定性问题是结构稳定性问题分析 中最简单的一类，其中又以细长中心受压 直杆的稳定性问题为最基本的
x)
0
B
y
这是一个二阶线性齐次常微分方程
欧拉公式
方程 的通解为
d 2v dx2
k
2v(x)
0
v(x) Asin kx B coskx
其中，A、B和k为待定常数
利用边界条件
v(x) 0, x 0
得
B0
Pcr
x
A
v
Pcr
M(x)
l
m
x
B
y
欧拉公式
利用边界条件
v(x) 0, x l
得
Asin kl 0
更严格合理的分析需采用非线性 l 弹性稳定性理论。
梁弯曲挠曲线的精确微分方程
B
d P sin
ds EI
这里，q 为挠曲线上一点的切线与x 轴的夹角。
欧拉公式
求解上述非线性微分方程，可得挠曲线
中点挠度d 与压力P之间的近似关系
d 2 2l
P Pcr
11
1 2
P Pcr
1
其图形为
P
A
B
Pcr