江苏省常州市2020届高三上学期期中考试数学(理)试题 (含答案)

江苏省常州市2020届高三第一学期期中考试试题

数学(理科)

第I 卷（必做题，共160分）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}

2x x <，B ＝{﹣2，﹣1，0，2}，则A I B ＝ ． 答案：{﹣1，0}

2．函数2

2log (76)y x x =+-的定义域是 ．

答案：(﹣1，7)

3．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，则S 6＝ ．

答案：

2

4．设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0，0)处的切线方程为2y x =，则a ＝ ． 答案：3

考点：导数的几何意义

5．已知点A(1，3)，B(4，﹣1)，则与向量AB uuu r

同方向的单位向量的坐标是 ．

答案：(

35，45

-) 6．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，()ax

f x e =-．若(ln 3)9f =，则a ＝ ． 答案：﹣2

7．已知关于x 的不等式101

ax x -<+的解集是(-∞，﹣1)U (1

2-，+∞)，则实数a 的值为

．

答案：﹣2

8．已知a r ，b r 为单位向量，且0a b ⋅=r r ，若2c b =+r r ，则cos

>＝ ．

答案：

3

9．已知函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，ϕ＜π)是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将

()y f x =的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若

()3

g π=，则3()8f π

= ．

答案：2

10．函数()y f x =定义域为R

，(1)f x +为偶函数，且对121x x ∀<≤，满足2121

()()

f x f x x x --

＜0，若(2)f ＝1，则不等式2(log )1f x <的解集为 ． 答案：(1，4)

11．已知正实数x ，y 满足21xy x y --=，则2x y +的最小值为 ． 答案：264+

12．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，AD DC =u u u r u u u r ，1AE EB 2

=u u u r u u u r ，若BD AC 5⋅=u u u r u u u r ，则CE AB ⋅u u u r u u u r

＝ ．

答案：6

13．已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，若3tanA ＋tanB ＝0，则角C 的取值范围为 ． 答案：(0，

6

π] 14．若对任意的x ∈[1，e 2

]，都有3ln (1)a x a x ≤+恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 答案：[﹣1，

3e e

-] 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．

内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）

已知函数2()3sin 22sin f x x x =

+．

（1）求()f x 的最小正周期及单调递增区间； （2）求()f x 在区间[0，

2

π

]上的最大值．

16．（本题满分14分）

已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，且a cosB＋1

2

b＝c．

（1）求∠A；

（2）若a＝4，D是BC中点，AD＝3，求△ABC的面积．

17．（本题满分14分）

某超市销售某种商品，据统计，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克，其中4≤x ≤l5)满足：当4≤x ≤9时，2

(9)3

b

y a x x =-+

-(a ，b 为常数)；当9≤x ≤15时，y ＝﹣5x ＋85，已知当销售价格为6元/千克时，每日售出该商品170千克．

（1）求a ，b 的值，并确定y 关于x 的函数解析式；

（2）若该商品的销售成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使店铺每日销售该商品所获利润()f x 最大．

18．（本题满分16分）

已知点A(﹣1，0)，B(0，﹣1)，倾斜角为θ的直线OP 与单位圆在第一象限的部分交于点P ，PA 与y 轴交于点N ，PB 与x 轴交于点M ．

（1）设PN PA n =u u u r u u u r ，PM PB m =u u u r u u u r

，试用θ表示m 与n ；

（2）设PO PM PN x y =+u u u r u u u r u u u r

(x ，y ∈R)，试用θ表示x ＋y ；

（3）求x ＋y 的最小值．

19．（本题满分16分）

已知：定义在R 上的函数2

2()2x m f x x -=

+的极大值为1

2

．

（1）求实数m 的值；

（2）若关于x 的不等式2

2

()(22)()20f x a f x a a --+->有且只有一个整数解，求实数a 的取值范围．