北京初二数学竞赛二次根式专题(PDF版)
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小值，如图易求 u= a2 4 b2 1 的最小值为 13
17.(2003 年）已知 a,b 均为正数，且 a+b=2，求 u= a2 1 b2 4 的最小值( )
A. 13
B. 5
C. 2 5
D. 7
分析：同上可求 u= a2 1 b2 4 的最小值为 13
四．有理化 (1)分母有理化
A. 2 3
B2 2
C.2
D。 2 3 -1
分析：同上可求 4 2 3 4 - 2 3 = 2 3
7.（2014 年）若 a+b=
5
，则
a4 a2b2 b4 a2 ab b2
+3ab
的值为（
）
A.5
B. 3 5
2
C.2 5
D. 5 5 2
分析：a4+a2b2+b4=a4+2a2b2+b4-a2b2=(a2+b2)2-(ab)2=(a2+b2-ab)(a2+b2+ab)
m2 n 3
m 2 n 8 =- 1 m 2 n 2002 401
二．裂项相消
11.（2011 年）化简
1 1 1 1 1 1 1 1 8 11 11 14 14 17 17 20 20 23 23 26 26 29 29 32 的结果是（ ）
A.1
B. 2 2
A.p
B.q
C.r
D.s
分析：
P= 1993a 1993a 1= 1993a 1993a 1 1993a 1993a 1
1
1993a 1993a 1
1993a 1993a 1
同理可求 q= 1993a 1 1993a
1
1993a 1 1993a
r= 1993a 1993a 1 =
A1
B 3 C2
D4
分析： 2 6 =
2 6 2- 3 2 1 3 2 3 2- 3
2- 3 1 3 2 2- 3
2 3 1 3 4 - 2 3 1 3 3 -1 2
17.（2016 年）用 x表示不超过 x 的最大整数，把 x- x称为 x 的小数部分，已
1 n 1
n
1
12
= n 1 1 2 n 1 1 1 1 1 n为正整数
n n1 n n1 n n1
S = 2016
1
1 12
1 22
1
1 22
1 32
1
1 n2
n
1
12
=1+ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
12 23 34
2016 2017
=2016+1- 1 = 20172 1 2018 2016
x
9 2018 2
2025
9.(2012 年）两个正数的算术平均数等于 2 3 ，它们乘积的算术平方根等于 3 ， 则其中的大数比小数大（ ）
A 4 B.2 3
C .6 D .3 3
分析：设两个正数为 a,b(a>b)则
a b 2 ab
2
3 3
a b 4 ab 3
3
a
b2
48
a
b2
2017 2017
2017
则： s2016 2018 2016 2017
三．构造直角三角形
16.(2003 年)已知 a,b 均为正数，且 a+b=2，求 u= a2 4 b2 1 的最小值。 分析：作线段 AB=AE+EB=a+b=2,过点 A 作 AC 垂直 AB 且 AC=1，过点 B 作 BD 垂直 AB，且 BD=4， 则 a2 4 b2 1 的几何意义：线段 AB 任一点 E 到两定点 C，D 距离之和的最
4
2
23.(2015 年）四个数 2 3 , 2 2 3 , 2 2 2 3 , 2 2 2 3 的乘
积等于：( )
A 2 3
B.2
C.1
D.2- 3
分析 ：
2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3
2 - 3 2 - 2 - 3 22 - 2 - 2 - 3 2
3 D.2
15.（2014 年）记 S=
1
1 12
1 22
1
1 22
1 32
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1
1 n2
n
1
12
,则 S2016 2016
A. 2016 2017
分析：由
B. 2017 2016
C. 2017 2018
D. 2018 2017
1
1 n2
n
1
12
1
1 n
2
2 n
n
1
12
n
1 2 n
2
n 1 n
1 1
2 3
3 1
1 1 = 2 2 3 3 1 2 2 3 2 3 3 1 3 1
2b a 2 3 3 1 1
2
22
18.(2003 年)如果正数 a,b,c 满足 a+c=2b，求证： 1 1 2 a b b c c a
分析：由 a+c=2b a c b c
3
C.2 2
D. 4 2
分析：由
1
n3 n
n 3 n 可得
n3 n n3 n n3 n
3
3
1 1 1 1 1 1 1 1 8 11 11 14 14 17 17 20 20 23 23 26 26 29 29 32
11 - 8 14 - 11 17 - 14 32 - 29
52
52
4 4
1 1 52
4
4
1 1
4 1
52
则 5 2 5 2k k 1
20. (2003 年)若 a>1,P= 1993a 1993a 1 ,q= 1993a 1 1993a ,
r= 1993a 1993a 1 ,s= 1993a 1 1993a ，则 p,q,r,s 中取值最小的一个是 （ ）
x 2 x 1 x 2 x 1
x 1 2 x 1 1 x 1 2 x 1 1 x 1 1 2 x 1 1 2
= x 1 11 x 1 2
14.（2015 年）当 x=3 时，
x2 2
x 2 2 的值是（ ）
x2 4 2x 8 x2 4 2x 8
A.1
B. 2
C.
分析 ：同上可求值为 2
知 t= 1 ，a 是 t 的小数部分，b 是-t 的小数部分，则 1 1 =( )
2 3
2b a
A. 1
B. 3
C.1
2
2
D. 3
分析：t= 1 = 2 3 2 3 则 t= 2 3 =3 2 3 2 - 3 2 3
a=t- t= 3 1
t 2 3 4
b=-t- t=-2- 3 -(-4)=2- 3
北京初二数学竞赛二次根式专题
一．整体代换：
整理：顺天府学王统好
1.（2019 年）已知 200 t 2 125 t 2 3 ，求 200 t 2 125 t 2 的值是（ ）
A.22
B.23
C.24
D.25
分 析 ： 由 公 式 (a+b)(a-b)=a2-b2 取 a= 200 t 2 ,b= 125 t 2 可 求
2
2
A.2 5
B.2
C.1
D. 5
分析：取 3 5 - 3 - 5 =a,则 a2= 3 5 2 3 5 3 5 3 5 3 2 1
2
2
2
2
2
2
5. （2002 年）化简： 2 3 2 - 3 _____
分析：同上可求 2 3 2 - 3 _____ 6
6.(1993 年）化简 4 2 3 4 - 2 3 的结果是（ ）
最大值为_____.
分析： a2 2a 1 36 12a a2 10 b 3 b 2
｜b+3|+|b-2|+|a-1|+|a-6|=10
几何意义：数轴上点 B 到-3，2 的距离之和与 A 到点 1
｜b+3|+|b-2| 5
|a-1|+|a-6| 5
，6 距离之和的和为 10
｜b+3|+|b-2|+|a-1|+|a-6|=10 1 a 6,3 b 2
2- 3 2- 2- 3 2 2- 3
2- 3 2 3 1
24.（2008 年）设 x= a2 - 3 a3 。则 x 的值为（ ）
A 正数 B 负数
C 非负数 D 零
分析：x=
a2
-3
a3
0a 0 =|a|-a= 2aa 0选
C
25.(1998 年)实数 a,b 满足 a2 2a 1 36 12a a2 10 b 3 b 2 ，则 a2+b2 的
a4 a2b2 b4 +3ab=a2-ab+b2+3ab=(a+b)2=5 a2 ab b2
8.(2018 年)已知
x
1 x
3 ，则
x2
x
的值是（
2018x 1
）
A.2020
B
1
2020
C.2025
D. 1 2025
分析：
x
=
1
1
1
1
x2 2018x 1 x 2018 1 x
x 1 2 2018 2
a2+b2 的最大值为 45
26.(1998 年）已知如下数组：
① 3，4，5 ② 10 - 3，2 2 - 5，32 -10 10 ③12402，12240，1998④1998，640，
ab 3
36 a b 6
10(2002 年)正数 m,n 满足 m 4 mn 2 m 4 n 4n 3 ，求 m 2 n 8 的 m 2 n 2002
值。
分析： m 4 mn 2 m 4 n 4n 3
m 2 4 m n 4 n 2 2 m 2 n 3 0 m 2 n 2 2 m 2 n 3 0 m 2 n 3 m 2 n 1 0
15.(2015 年).试确定与 2 1 2 1 最接近的整数为_______. 2 1 2 1
分析： 2 1 2 1 = 2 1 2 1
2 1 2 -1
2 2
1 1
-
2 -1 2 1
2 2
-1 -1
2 1 2 -
2 -1 2 4
2 41.4 5.6
最接近的整数为 6
16.（2008 年）化简 2 6 的结果是（ ） 2 3
200 t 2 125 t 2 =25
2.(2016 年)已知 24 t 2 8 t 2 2 ，求 24 t 2 8 t 2 的值为____
分析：同上 24 t 2 8 t 2 =8
3.（2008 年）已知 a-b=5+ 6 ，b-c=5- 6 ,则 a2+b2+c2-ab-bc-ca=_____
3 2001 - 2 1
3 2000 1
3
2000
1
3 2 -21
3 - 2 0
22.(1998 年).若 x+y= 3 5 2 , x y 3 2 5 ，则 xy=______
分析：解方程组可求
x 3 5 2 3 2 5 ,y 3 5 2 3 2 5
2
2
xy 3 5 2 2 3 2 5 2 5 2
分析：由 a2+b2+c2-ab-bc-ca= 1 a b2 a c2 b c2 2 a-b=5+ 6 ，b-c=5- 6 可求 a-c=10 代入
a2+b2+c2-ab-bc-ca= 1 a b2 a c2 b c2 =81 2
4. (2013 年）化简 3 5 - 3 - 5 的结果是（ ）
3 - 2 2 5 - 2 6 7 - 2 12 9 - 2 20 11- 30 13 - 2 42 15 - 2 56 17 - 2 72
= 2 - 1 3 - 2 4 - 3 9 - 8 9 - 1 2
13.（2009 年）当1 x 2 时，经化简 x 2 x 1 x 2 x 1 ，等于_______ 分析：同上：由1 x 2 0 x 1 1 x 1 1 0, x 1 1 0
a+c=2b a c 2(b c)
1 1 a b b c a c
a b b c ab
bc
bc
a
_b
c c)
a a
c c
b
c
a
c a
c
b
2b c
c
a
c
2 c a
（2）分子有理化
19.(2010
年)已知
4
4
4
1
1
1
5 - 2k
5 2 ,则 k=______
分析：
5 2 4 5 - 2 4 5 - 2 5 2 4 1
=3 3 3 3 3 3
33
32 - 8 2 2 33 3
12.（2001 年）化简：
3 - 2 2 5 - 2 6 7 - 2 12 9 - 2 20 11- 30 13 - 2 42 15 - 2 56 17 - 2 72
分析：由 a b 2 ab a b 2 a b(a b 0) 可求
1
1993a 1993a 1
s= 1993a 1 1993a
1
1993a 1 1993a
a 1易知最小为 q
五．其他
21.(2002 年)计算： 1 3 2002 - 2 1 3 2001 - 2 1 3 2000
分析： 1
3 2002 - 2 1
17.(2003 年）已知 a,b 均为正数，且 a+b=2，求 u= a2 1 b2 4 的最小值( )
A. 13
B. 5
C. 2 5
D. 7
分析：同上可求 u= a2 1 b2 4 的最小值为 13
四．有理化 (1)分母有理化
A. 2 3
B2 2
C.2
D。 2 3 -1
分析：同上可求 4 2 3 4 - 2 3 = 2 3
7.（2014 年）若 a+b=
5
，则
a4 a2b2 b4 a2 ab b2
+3ab
的值为（
）
A.5
B. 3 5
2
C.2 5
D. 5 5 2
分析：a4+a2b2+b4=a4+2a2b2+b4-a2b2=(a2+b2)2-(ab)2=(a2+b2-ab)(a2+b2+ab)
m2 n 3
m 2 n 8 =- 1 m 2 n 2002 401
二．裂项相消
11.（2011 年）化简
1 1 1 1 1 1 1 1 8 11 11 14 14 17 17 20 20 23 23 26 26 29 29 32 的结果是（ ）
A.1
B. 2 2
A.p
B.q
C.r
D.s
分析：
P= 1993a 1993a 1= 1993a 1993a 1 1993a 1993a 1
1
1993a 1993a 1
1993a 1993a 1
同理可求 q= 1993a 1 1993a
1
1993a 1 1993a
r= 1993a 1993a 1 =
A1
B 3 C2
D4
分析： 2 6 =
2 6 2- 3 2 1 3 2 3 2- 3
2- 3 1 3 2 2- 3
2 3 1 3 4 - 2 3 1 3 3 -1 2
17.（2016 年）用 x表示不超过 x 的最大整数，把 x- x称为 x 的小数部分，已
1 n 1
n
1
12
= n 1 1 2 n 1 1 1 1 1 n为正整数
n n1 n n1 n n1
S = 2016
1
1 12
1 22
1
1 22
1 32
1
1 n2
n
1
12
=1+ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
12 23 34
2016 2017
=2016+1- 1 = 20172 1 2018 2016
x
9 2018 2
2025
9.(2012 年）两个正数的算术平均数等于 2 3 ，它们乘积的算术平方根等于 3 ， 则其中的大数比小数大（ ）
A 4 B.2 3
C .6 D .3 3
分析：设两个正数为 a,b(a>b)则
a b 2 ab
2
3 3
a b 4 ab 3
3
a
b2
48
a
b2
2017 2017
2017
则： s2016 2018 2016 2017
三．构造直角三角形
16.(2003 年)已知 a,b 均为正数，且 a+b=2，求 u= a2 4 b2 1 的最小值。 分析：作线段 AB=AE+EB=a+b=2,过点 A 作 AC 垂直 AB 且 AC=1，过点 B 作 BD 垂直 AB，且 BD=4， 则 a2 4 b2 1 的几何意义：线段 AB 任一点 E 到两定点 C，D 距离之和的最
4
2
23.(2015 年）四个数 2 3 , 2 2 3 , 2 2 2 3 , 2 2 2 3 的乘
积等于：( )
A 2 3
B.2
C.1
D.2- 3
分析 ：
2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3
2 - 3 2 - 2 - 3 22 - 2 - 2 - 3 2
3 D.2
15.（2014 年）记 S=
1
1 12
1 22
1
1 22
1 32
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1
1 n2
n
1
12
,则 S2016 2016
A. 2016 2017
分析：由
B. 2017 2016
C. 2017 2018
D. 2018 2017
1
1 n2
n
1
12
1
1 n
2
2 n
n
1
12
n
1 2 n
2
n 1 n
1 1
2 3
3 1
1 1 = 2 2 3 3 1 2 2 3 2 3 3 1 3 1
2b a 2 3 3 1 1
2
22
18.(2003 年)如果正数 a,b,c 满足 a+c=2b，求证： 1 1 2 a b b c c a
分析：由 a+c=2b a c b c
3
C.2 2
D. 4 2
分析：由
1
n3 n
n 3 n 可得
n3 n n3 n n3 n
3
3
1 1 1 1 1 1 1 1 8 11 11 14 14 17 17 20 20 23 23 26 26 29 29 32
11 - 8 14 - 11 17 - 14 32 - 29
52
52
4 4
1 1 52
4
4
1 1
4 1
52
则 5 2 5 2k k 1
20. (2003 年)若 a>1,P= 1993a 1993a 1 ,q= 1993a 1 1993a ,
r= 1993a 1993a 1 ,s= 1993a 1 1993a ，则 p,q,r,s 中取值最小的一个是 （ ）
x 2 x 1 x 2 x 1
x 1 2 x 1 1 x 1 2 x 1 1 x 1 1 2 x 1 1 2
= x 1 11 x 1 2
14.（2015 年）当 x=3 时，
x2 2
x 2 2 的值是（ ）
x2 4 2x 8 x2 4 2x 8
A.1
B. 2
C.
分析 ：同上可求值为 2
知 t= 1 ，a 是 t 的小数部分，b 是-t 的小数部分，则 1 1 =( )
2 3
2b a
A. 1
B. 3
C.1
2
2
D. 3
分析：t= 1 = 2 3 2 3 则 t= 2 3 =3 2 3 2 - 3 2 3
a=t- t= 3 1
t 2 3 4
b=-t- t=-2- 3 -(-4)=2- 3
北京初二数学竞赛二次根式专题
一．整体代换：
整理：顺天府学王统好
1.（2019 年）已知 200 t 2 125 t 2 3 ，求 200 t 2 125 t 2 的值是（ ）
A.22
B.23
C.24
D.25
分 析 ： 由 公 式 (a+b)(a-b)=a2-b2 取 a= 200 t 2 ,b= 125 t 2 可 求
2
2
A.2 5
B.2
C.1
D. 5
分析：取 3 5 - 3 - 5 =a,则 a2= 3 5 2 3 5 3 5 3 5 3 2 1
2
2
2
2
2
2
5. （2002 年）化简： 2 3 2 - 3 _____
分析：同上可求 2 3 2 - 3 _____ 6
6.(1993 年）化简 4 2 3 4 - 2 3 的结果是（ ）
最大值为_____.
分析： a2 2a 1 36 12a a2 10 b 3 b 2
｜b+3|+|b-2|+|a-1|+|a-6|=10
几何意义：数轴上点 B 到-3，2 的距离之和与 A 到点 1
｜b+3|+|b-2| 5
|a-1|+|a-6| 5
，6 距离之和的和为 10
｜b+3|+|b-2|+|a-1|+|a-6|=10 1 a 6,3 b 2
2- 3 2- 2- 3 2 2- 3
2- 3 2 3 1
24.（2008 年）设 x= a2 - 3 a3 。则 x 的值为（ ）
A 正数 B 负数
C 非负数 D 零
分析：x=
a2
-3
a3
0a 0 =|a|-a= 2aa 0选
C
25.(1998 年)实数 a,b 满足 a2 2a 1 36 12a a2 10 b 3 b 2 ，则 a2+b2 的
a4 a2b2 b4 +3ab=a2-ab+b2+3ab=(a+b)2=5 a2 ab b2
8.(2018 年)已知
x
1 x
3 ，则
x2
x
的值是（
2018x 1
）
A.2020
B
1
2020
C.2025
D. 1 2025
分析：
x
=
1
1
1
1
x2 2018x 1 x 2018 1 x
x 1 2 2018 2
a2+b2 的最大值为 45
26.(1998 年）已知如下数组：
① 3，4，5 ② 10 - 3，2 2 - 5，32 -10 10 ③12402，12240，1998④1998，640，
ab 3
36 a b 6
10(2002 年)正数 m,n 满足 m 4 mn 2 m 4 n 4n 3 ，求 m 2 n 8 的 m 2 n 2002
值。
分析： m 4 mn 2 m 4 n 4n 3
m 2 4 m n 4 n 2 2 m 2 n 3 0 m 2 n 2 2 m 2 n 3 0 m 2 n 3 m 2 n 1 0
15.(2015 年).试确定与 2 1 2 1 最接近的整数为_______. 2 1 2 1
分析： 2 1 2 1 = 2 1 2 1
2 1 2 -1
2 2
1 1
-
2 -1 2 1
2 2
-1 -1
2 1 2 -
2 -1 2 4
2 41.4 5.6
最接近的整数为 6
16.（2008 年）化简 2 6 的结果是（ ） 2 3
200 t 2 125 t 2 =25
2.(2016 年)已知 24 t 2 8 t 2 2 ，求 24 t 2 8 t 2 的值为____
分析：同上 24 t 2 8 t 2 =8
3.（2008 年）已知 a-b=5+ 6 ，b-c=5- 6 ,则 a2+b2+c2-ab-bc-ca=_____
3 2001 - 2 1
3 2000 1
3
2000
1
3 2 -21
3 - 2 0
22.(1998 年).若 x+y= 3 5 2 , x y 3 2 5 ，则 xy=______
分析：解方程组可求
x 3 5 2 3 2 5 ,y 3 5 2 3 2 5
2
2
xy 3 5 2 2 3 2 5 2 5 2
分析：由 a2+b2+c2-ab-bc-ca= 1 a b2 a c2 b c2 2 a-b=5+ 6 ，b-c=5- 6 可求 a-c=10 代入
a2+b2+c2-ab-bc-ca= 1 a b2 a c2 b c2 =81 2
4. (2013 年）化简 3 5 - 3 - 5 的结果是（ ）
3 - 2 2 5 - 2 6 7 - 2 12 9 - 2 20 11- 30 13 - 2 42 15 - 2 56 17 - 2 72
= 2 - 1 3 - 2 4 - 3 9 - 8 9 - 1 2
13.（2009 年）当1 x 2 时，经化简 x 2 x 1 x 2 x 1 ，等于_______ 分析：同上：由1 x 2 0 x 1 1 x 1 1 0, x 1 1 0
a+c=2b a c 2(b c)
1 1 a b b c a c
a b b c ab
bc
bc
a
_b
c c)
a a
c c
b
c
a
c a
c
b
2b c
c
a
c
2 c a
（2）分子有理化
19.(2010
年)已知
4
4
4
1
1
1
5 - 2k
5 2 ,则 k=______
分析：
5 2 4 5 - 2 4 5 - 2 5 2 4 1
=3 3 3 3 3 3
33
32 - 8 2 2 33 3
12.（2001 年）化简：
3 - 2 2 5 - 2 6 7 - 2 12 9 - 2 20 11- 30 13 - 2 42 15 - 2 56 17 - 2 72
分析：由 a b 2 ab a b 2 a b(a b 0) 可求
1
1993a 1993a 1
s= 1993a 1 1993a
1
1993a 1 1993a
a 1易知最小为 q
五．其他
21.(2002 年)计算： 1 3 2002 - 2 1 3 2001 - 2 1 3 2000
分析： 1
3 2002 - 2 1