线性代数与解析几何复习考试题

《线性代数与解析几何》复习题

一、矩阵部分

(一)填空题.

1．设()1123

123,(1,,)αβ==，T

T B A βαβα==,，则

3___________A =.

提示：A 3=βαββαβααββαβααT

T T T T T T 3)(==

2．设方阵A 满足240,,A A I I +-=其中为单位矩阵，1)_____________A I --=则(. 提示：A 2+A-4I=0→A 2+A-2I-2I=0→(A-I)(A+2I)=2I →(A-I)(A+2I)/2=I 3．设方阵A 满足0322

=--I A A ，则=-1

A ____________.

提示：A 2-2A-3I=0 → A(A-2A)=3I

4．设⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡-------=1301113111211111A ，则=)(A r . 提示： 对矩阵A 施行初等行变换，非零行的行数即为矩阵A 的秩。

5．设⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=a a a a a a A 111，则当a 满足条件 时，A 可逆.

提示：矩阵A 的行列式detA ≠0时，矩阵可逆。

(二)选择题

1．设n 阶矩阵,,,A B C ABC I I =满足为单位矩阵，则必有 （ ）

（A ）I ACB = （B ）I BCA = （C ）I CBA = （D ）I BAC = 提示：A 的逆矩阵为BC

2．12321,,0,312Q t P QP t ⎛⎫ ⎪

=-== ⎪ ⎪⎝⎭

已知是三阶非零矩阵且则 （ ）

()1()1()2()2A B C D --

提示：P 的列为齐次线性方程组Qx=0的解，P 非零，Qx=0有非零解，故Q 的行列式detQ=0 3．11

12

1321

22

2321

2223111213131

32

333111

3212

3313010,100001a a a a a a A a a a B a a a P a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦

⎣⎦⎣⎦

设

2100010,101P ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

则必有 （ ）

12211221()()()()A APP B B AP P B C PP A B D P P A B ====

提示：矩阵B 由矩阵A 经初等行变换得到，故在C 或D 中选择，P1、P2为初等矩阵，P1

为交换第1、2行，P2为将第一行的1倍加到第三行，故选C 4．设n 维向量)2

1

,0,,0,21(

=α,矩阵ααααT T I B I A 2,+=-=,其中I 为n 阶单位矩阵,则=AB ( )

()

()

()()

T A B I

C I

D I αα-+

提示：AB ＝ (I-αT α)(I+2αT α)=I+αT α-2 αT α αT α= I+αT α-2 αT (α αT )α=I

5．A 、B 则必有且阶矩阵均为,))((,2

2

B A B A B A n -=-+ （ ） （A ） B=E （B ） A=E （

C ）A=B （

D ）AB=BA

提示：(A+B)(A-B)=AA-AB-BA-BB

6．矩阵==≠≠⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=)(,4,3,2,1,0,0,443

42

41

4433323134232221

241312111A r i b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A i

i 则其中 ( )

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4 提示：A=(a 1,a 2,a 3,a 4)T (b 1,b 2,b 3,b 4) (三)计算题

1．2101,02010AB I A B A I B ⎛⎫ ⎪

+=+= ⎪ ⎪-⎝⎭

设,为单位矩阵,求矩阵。1

提示：AB-B=A 2-I →(A-I)B=A 2-I →B=(A-I)-1(A 2-I)

也可使用矩阵初等行变换。

2．利用矩阵的初等变换解线性方程组123412341

2341234232633325

323334x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪

-++=⎪⎨--+=⎪⎪-+-=⎩

.

提示：对方程组增广矩阵进行初等行变换。

3．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=410110003A ，X B X AX B 求矩阵且满足,2,321163+=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=. 提示：AX=2X+B →AX-2X =B →(A-2I)X =B →使用矩阵初等行变换。

4．若,011111011220111⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--X 则X = .

提示：使用矩阵初等列变换。

(四)证明题

1．设B A ,都是一个n 阶对称矩阵，证明：AB 对称的充要条件是BA AB =。

提示：参见作业上相关内容：